Teoria de Controle IIAula 1

Adrielle C. Santana

Por quê Trabalhar com Controle Digital?

• Praticamente todos os sistemas de controle industriais são implementados em sistemas computacionais digitais.

• Sistemas computacionais digitais possibilitam:

Facilidade de implementação;Facilidade para correção de erros;Testes em tempo real;Processadores muito eficientes;Ambientes de desenvolvimento amigáveis;

Por quê Trabalhar com Controle Digital?

A desvantagem de controladores digitais é a existência de erros de amostragem e quantização que degradam influenciam no desempenho do sistema bem como o atraso resultante de conversões A/D, D/A e processamento.

No entanto, tais controladores estão cada vez mais modernos de modo que tais desvantagens são controláveis e bem menos problemáticas que o projeto e uso de controladores analógicos.

Discreto x Digital

Um sistema de controle dito, de tempo discreto, é aquele em que uma ou mais variáveis podem mudar somente em instantes de tempo discretos (distintos). Tais instantes serão denotados por kT (ou nT) onde k (ou n) é uma constante inteira (k=n=0,1,2,3,...) e T é o período de amostragem escolhido para a aplicação (de acordo com o Teorema da amostragem).

Um sinal digital é um sinal codificado para uma representação que o computador entenda (ex.: binária, hexadecimal).

• Amostragem: Um sinal amostrado é gerado amostrando-se o sinal analógico em instantes discretos de tempo.

• Quantificação: Ajuste do sinal amostrado dentro de uma faixa de valores distintos.

• Codificação: Representação do sinal quantificado em números binários ou hexadecimais de forma que o controlador digital os “entenda”.

Digitalização

Digitalização

Sistema de Controle Digital

Amostragem x Reconstrução

Exemplo Conversores

Circuito conversor D/A básico com amplifica-

dor operacional

Exemplo Conversores

 

Seja o número 49510 e o circuito anterior com os valores de resistências ajustados conforme a figura abaixo a seguir.

Exemplo Conversores

Exemplo Conversores

Exemplo Conversores

Exemplo ConversoresConversão A/D

São utilizados na reconstrução do sinal que está na forma de um trem de pulsos. O “� � � � � �” ou segurador, preenche os espaços entre os períodos de amostragem.

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ZOH: Segura a amplitude da amostra por um instante de tempo. Quantomenor o T melhor o sinalreconstruído.

FOH: Retém o valor da amostra anterior e da atual para prever o valor da próxima amostra. Se a diferença entre as amostras é pequena a predição é boa mas, se for grande a predição é errada causando grandes erros de reconstrução. Não costuma ser utilizado.

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Erros de Digitalização

Em todo processo de digitalização ocorrem erros que influenciam negativamente na perfeita reconstrução do sinal.Amostragem -> Aliasing (Teorema da amostragem)Ex.: Seja a cossenoide de 1 Hz.

Erros de Digitalização

Se amostrada a 2 Hz:

Erros de Digitalização

Se amostrada a 1,5 Hz:

Reconstrução...

Erros de Digitalização

Quantificação -> A resolução de um sistema computacional limita a quantidade de níveis para a quantificação da amostra forçando arredondamentos que resultarão num sinal semelhante mas, nunca igual ao original. Esse erro de quantificação é conhecido como Ruído de Quantificação.

Equação de Diferenças

Do Cálculo, sabe-se que a transformada de Laplace tem a propriedade de transformar uma equação diferencial numa equação algébrica.

A transformada Z não é diferente. Ela tem a propriedade de transformar uma “Equação de Diferenças” em equação algébrica.

Equação de Diferenças

Mas o que é uma equação de diferenças???

Equação de Diferenças

BASICAMENTE UMA EQUAÇÃO DE DIFERENÇAS É O EQUIVALENTE A UMA EQUAÇÃO DIFERENCIAL NO TEMPO DISCRETO.

Equação de Diferenças

Seja a seguinte equação diferencial:

Da disciplina de Cálculo, sabe-se que a derivada de um sinal genérico x(t) ou é dada por:

Equação de DiferençasFazendo-se que que não se aproxime de zero mas sim, que tenha um valor finito T, que é o nosso período de amostragem, tem-se para a derivada primeira de x(t):

E para a derivada segunda:

Substituindo na equação diferencial inicial tem-se:

Onde pode-se agrupar alguns termos iguais para simplificar de modo a obtermos:

Equação de Diferenças

Como o poderia ser negativo, o T também pode nessa substituição de modo que:

Dessa forma pode-se reescrever a equação encontrada ao fim do slide anterior como:

Equação de Diferenças

Como o tempo agora é discreto, teremos valores de x(t) apenas em múltiplos inteiros do período de amostragem T. Para simplicidade de entendimento vamos omitir o T e representar t=n ou t=k.

Equação de Diferenças

Esta equação é uma equação de diferenças que nesse caso é de segunda ordem.

Os colchetes indicam que estamos lidando com um sinal discreto no tempo.

Equação de Diferenças

A Transformada ZSeja a função delta de Heaviside-Dirac ou Impulso unitário. Pode-se obter um trem de impulsos fazendo:

∑k=−∞∞ δ(t−kT )

Sabe-se que o sinal amostrado x*(t) é obtido pela modulação de um trem de impulsos distanciados de T segundos um do outro, em que cada impulso tem como amplitude o valor do sinal contínuo x(t).

A Transformada Z

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A Transformada Z

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A Transformada Z

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A Transformada Z

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A Transformada Z

UNILATERAL !

Observa-se portanto que a transformada Z é a transformada de Laplace de uma equação de diferenças a qual descreve um sinal amostrado no tempo.

Obtemos assim uma relação direta entre um sinal amostrado a sua transformada Z. Ex.: Z{y(t-T)} = Z{y(n-1)}=z-1 Y(z)

A Transformada Z

Mapeamento plano s para z

Chalis e Kitney (1982)

Mapeamento plano s para z

Chalis e Kitney (1982)

Mapeamento plano s para z

Chalis e Kitney (1982)

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z=eTs=eσ+ω j=eσT e j ωT

s=σ+ jω

Mapeamento plano s para z

Mapeamento plano s para z

 

A Transformada Z

ReferênciasTonidandel, A. D. V. (2010).XVIII Congresso Brasileiro de Automática, pp. 663-668.

Ogata, K. (1995). Englewood Cliffs, New Jersey, EUA: Prentice Hall

IDOETA, I. V. ; CAPUANO F. G. (2012). 41 ed. Editora Érica. São Paulo-SP.

CHALIS, R.E.; KITNEY, R. I. (1982). The design of digital filters for biomedical signal processing.