Upload
vuonghuong
View
229
Download
7
Embed Size (px)
Citation preview
1
Teori Statistika I (STK501) – S2 STK
Peubah Acak Ganda
(Bagian II)
Dr. Kusman Sadik, M.Si
Departemen Statistika IPB, 2017/2018
2
Transformasi Peubah Acak Ganda : Diskret
3
Contoh Kasus (1):
4
5
6
Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu
7
Transformasi Peubah Acak Ganda : Kontinu
8
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai sebaran U(0, 1),
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dari
sebaran ini. Apabila didefinisikan Y1 = X1 + X2 dan
Y2 = X1 – X2, tentukan:
a. Fungsi kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
),( 21, 21yyf YY
.
b. Fungsi kepekatan marginal bagi p.a. Y1 dan Y2 yaitu
)( 11yfY
dan )( 22yfY
.
Contoh Kasus (2):
9
Karena X U(0, 1), sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh
acak bebas dan identik dari sebaran ini maka fkp bersama
bagi X1 dan X2 adalah:
10dan 10 ;1)().(),( 212121, 2121 xxxfxfxxf XXXX
kemudian didefinisikan bahwa
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
10
y1 = h1(x1, x2) = x1 + x2
y2 = h2(x1, x2) = x1 x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan
di atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = h1-1(y1, y2) = (y1 + y2)/2
x2 = h2-1(x1, x2) = (y1 y2)/2
x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;
11
x1/y1 = ½; x1/y2 = ½;
x2/y1 = ½; x2/y2 = -½;
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
J
12
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y1 dan Y2 adalah
Tyy
yyyyf
Jyyhyyhfyyf
XX
XXYY
),( ;2
1
2
1).1(
2
1}.2/)(,2/){(
)}.,(),,({),(
21
2121,
21
1
221
1
1,21,
21
2121
Persoalan berikutnya adalah menentukan batas nilai bagi y1
dan y2 yaitu T,
13
Untuk 0 < x1 < 1
0 < x1 < 1 0 < (y1 + y2)/2 < 1 0 < y1 + y2 < 2
0 < y1 + y2 dan y1 + y2 < 2
y2 > y1 dan y2 < 2 y1
Untuk 0 < x2 < 1
0 < x2 < 1 0 < (y1 y2)/2 < 1 0 < y1 y2 < 2
0 < y1 y2 dan y1 y2 < 2
y2 < y1 dan y2 > y1 2
14
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sehingga batas nilai bagi y1 dan y2 adalah
y2 > y1 ; y2 < 2 y1 ; y2 < y1 ; dan y2 > y1 2
15
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y1 adalah
Untuk 0 < y1 1
12221,1
1
1
1
1
211 2
1),()( ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
16
Untuk 1 < y1 < 2
1
2
2
2
2
2
221,1 22
1),()(
1
1
1
1
211ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
21;2
10;
)(
1
11
11
11
y
yy
yy
yfY
17
y1
y2
y2 = -y1
y2 = 2 - y1
y2 = y1
y2 = y1 - 2
Sebaran marginal bagi y2 adalah
Untuk -1 < y2 0
12
1),()( 2
2
1
2
121,2
2
2
2
2
212
ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
18
Untuk 0 < y2 < 1
2
2
1
2
121,2 12
1),()(
2
2
2
2
212ydydyyyfyf
y
y
y
y
YYY
Sehingga
lainnya ;0
10;1
01;1
)(
2
22
22
22
y
yy
yy
yfY
19
Misalkan p.a. kontinu X mempunyai fkp sebagai berikut
0 ,)( xexf x
X
sedangkan X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan
identik dari fkp ini. Ingin ditentukan fkp p.a. Y = X1/(X1 + X2).
Karena X1 dan X2 merupakan contoh acak bebas dan identik
dari sebaran ini maka fkp bersama bagi X1 dan X2 adalah
0dan 0 ;),( 21
)(
21,2121
21
xxeeexxf
xxxx
XX
Contoh Kasus (3):
20
Perlu didefinisikan satu peubah acak lain agar transformasi
terjadi dari ruang berdimensi dua ke ruang berdimensi dua.
Misalkan Z = X1 + X2, sehingga diperoleh sepasang
transformasi yaitu y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2.
Trasformasi ini bersifat satu-satu untuk seluruh daerah
fungsi.
y = x1/(x1 + x2) dan z = x1 + x2
Melalui metode substitusi ataupun eliminasi dari persamaan
di atas, akan diperoleh persamaan berikut:
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
21
x1 = yz
x2 = (1 – y)z
x1/y = z; x1/z = y;
x2/y = - z; x2/z = 1- y;
z
yz
yz
J
1
22
Sehingga kepekatan bersama bagi p.a. Y dan Z adalah
Tzyze
ze
Jxxfzyf
z
zyyz
XXZY
),( ,
.
).,(),(
))1((
21,, 21
Selanjutnya menentukan batas nilai bagi y dan z yaitu T.
Perhatikan, karena x1 0 dan x2 0, maka
0 y = x1/(x1 + x2) 1 0 y 1
z = x1 + x2 0 z 0
sehingga
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
23
0dan 10 ,),(, z yzezyf z
ZY
Sebaran marginal bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
0
1dzze z
Dengan demikian, fkp bagi p.a. Y = X1/(X1 + X2) adalah
lainnya ;0
10;1
)(
y
y
yfY
24
Contoh Kasus (4):
25
26
27
28
Materi Responsi
29
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Eksponensial Negatif dengan = 1, dan didefinisikan
bahwa peubah acak U = (X + Y)/2 dan V = (X – Y)/2.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
Catatan: Sebaran Eksponensial Negatif adalah:
0 ,0 ,)( xexf x
X
Materi Responsi (1)
30
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Normal(0, 1), dan didefinisikan U = X + Y dan V = X – Y.
a. Tentukan fkp bersama fU,V(u, v).
b. Tentukan fkp marginalnya yaitu fU(u) dan fV(v).
c. Tunjukkan bahwa U dan V independen.
d. Hitung peluang P(U < 0, V > 0).
Materi Responsi (2)
31
Misalkan peubah acak X dan Y saling bebas dan mempunyai
fkp Normal(0, 2). Tunjukkan bahwa peubah acak U = X2 + Y2
mempunyai fkp Eksponensial Negatif dengan =1/(22).
Materi Responsi (3)
32
Materi Responsi (4)
33
Materi Responsi (5)
34
Materi Responsi (6)
35
Materi Responsi (7)
36
Pustaka
1. Casella, B. and R.L. Berger. 2002. Statistical Inference,
2nd Edition. Duxbury.
2. Hogg, R., Mc Kean, and Craig, A. 2005. Introduction to
Mathematical Statistics, 6th Edition. Prentice Hall.
3. Pustaka lain yang relevan.
37
Catatan Kuliah
Bisa di-download di
kusmansadik.wordpress.com
38
Terima Kasih