Upload
lamxuyen
View
364
Download
1
Embed Size (px)
Citation preview
Persamaan Diferensial Stokastik
dan Beberapa Penerapannya
Herry Pribawanto Suryawan
3. April 2014
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 1 / 24
Isi Presentasi
Motivasi
Derau Putih dan Gerak Brown
Persamaan Diferensial Stokastik
Beberapa Penerapan
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 2 / 24
Motivasi
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 3 / 24
Model Pertumbuhan Populasi
Model Malthus (1798):
dN(t)
dt= rN(t) N(0) = N0 > 0
Tidak realistis!
Persamaan Logistik / Model Verhulst (1845):
dN(t)
dt= rN(t)
(1− N(t)
K
), N(0) = N0 > 0
Penyelesaian:
N(t) =N0K
N0 + (K − N0)e−rt
dan perilaku jangka panjang (long time behaviour)
limt→∞
N(t) = K .
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 4 / 24
Beberapa cara untuk memperbaiki model logistik:
1 Persamaan logistik yang dimodikasi:
dN(t)
dt= rN(t)
(N(t)
L− 1
)(1− N(t)
K
), 0 < L < K , N(0) = N0 > 0
2 Laju pertumbuhan takkonstan:
dN(t)
dt= r(t)N(t)
(1− N(t)
K
), N(0) = N0 > 0
3 Persamaan logistik stokastik (mempertimbangkan adanya derau (noise)):
dNt
dt= rNt
(1− Nt
K
)+ αNt · Dt
N0 = Y > 0
Kita tidak tahu perilaku eksak dari derau Dt , hanya distribusi peluang dari Dt
yang diketahui.
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 5 / 24
kurva logistik deterministik vs stokastik
deterministik:
stokastik:
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 6 / 24
Beberapa pertanyaan (matematis) yang muncul
Apa artinya dan formulasi matematika dari:
Kuantitas acak Nt untuk setiap waktu t => peubah acak (random variable)
Keluarga kuantitas acak (Nt)t≥0 yang diindeks oleh waktu t => prosesstokastik (stochastic processes)
Derau Dt => derau putih Gaussian (Gaussian white noise) (turunan darigerak Brown)
Integral stokastik ∫ T
0
Nt · Dt dt
=> integral Ito atau integral Stratonovich
Persamaan diferensial stokastik
dNt
dt= rNt
(1− Nt
K
)+ αNt · Dt
=> persamaan integral stokastik
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 7 / 24
Derau Putih dan Gerak Brown
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 8 / 24
Tonggak sejarah gerak Brown dan derau putih
1 R. Brown (1827): percobaan serbuk sari tumbuhan pada larutan
2 L. Bachelier (1900): pemodelan bursa saham Paris dengan gerak Brown
3 A. Einstein (1905): teori pertama gerak Brown terkait dengan persamaanpanas/difusi
4 N. Wiener (1923): fondasi matematika yang rigor untuk gerak Brown
5 K. Ito (1942): penemuan kalkulus stokastik (integral terhadap gerak Brown)
6 F. Black dan M. Scholes (1973): Rumus Black-Scholes untuk harga opsitipe Eropa dalam keuangan
7 T. Hida (1976): fondasi matematika yang rigor untuk derau putih (whitenoise analysis)
8 L. Streit (1983): Pemecahan masalah integral Feynman di dalam mekanikakuantum dengan analisis derau putih
9 M. Scholes dan R. Merton (1997): Nobel Ekonomi untuk rumusBlack-Scholes
10 W. Werner (2006): Medali Field untuk masalah self-intersection gerakBrown dimensi tinggi
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 9 / 24
Derau Putih (White Noise)
Derau: takperiodik, kompleks, tidak menyenangkan, suara atau sinyal yangrusak (corrupted)
Derau putih: derau akustik atau elektrik yang memuat semua frekuensi yangdapat didengar dengan intensitas yang sama
Putih berarti derau tersebut tersusun dari semua frekuensi pada spektrumyang dapat didengar, terdistribusi secara acak. Hal ini analog dengan cahayaputih yang tersusun dari semua warna pada spektrum visual.
Di dalam penerapan, derau putih digunakan sebagai sebuah idealisasimatematis dari fenomena-fenomena yang memuat uktuasi yang mendadakdan sangat besar.
Derau putih Gaussian (Gaussian white noise): terkait dengan teori bahwaderau putih adalah turunan (terhadap waktu) dari gerak Brown.
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 10 / 24
Gerak Brown:
Derau Putih:
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 11 / 24
Gerak Brown adalah proses stokastik B = (Bt)t≥0 yang terdenisi pada sebuahruang peluang (Ω,F ,P) sehingga:
1 B0 = 0 P-hampir pasti
2 B memiliki kenaikan yang bebas (independent increments)
3 Bt − Bs ∼ N (0, t − s) (normally distributed)
4 P-hampir pasti t 7→ Bt(ω) kontinu
Partikel Brownian tidak memiliki laju:
Bt+ε − Bt
ε∼ N (0,
1
ε) =⇒ dBt
dt= limε→0
Bt+ε − Bt
εtidak ada!
Fakta:
Dengan peluang satu, trayektori (lintasan sampel) gerak Brownian bersifatkontinu dimana-mana tapi tidak terdiferensial dimana-mana. => integralRiemann-Stieltjes tidak bisa digunakan
Gerak Brown bersifat serupa diri (self-similar) => terkait dengan fraktal
Gerak Brown adalah proses Markov => tidak punya memori
Gerak Brown adalah proses Gaussian => Kajian probabilitik dan analitiknyarelatif mudah
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 12 / 24
Proses stationer lemah adalah proses stokastik (Xt)t≥0 dengan sifat:
1 E(Xt) = m
2 E((Xt+u −m)(Xu −m)) = F (t)
F positif denit dan F (0) = E(Xu −m)2 = σ2. Dengan asumsi F kontinu,teorema Bochner memberikan
F (t) =
∫Re itx f (x) dx .
Derau putih adalah sebagai proses Gaussian stationer lemah sehingga fungsikepadatan spektralnya f konstan. Akibatnya, σ2 =∞.Derau putih adalah proses Gaussian Dt yang saling bebas pada waktu yangberbeda dan memiliki distribusi identik dengan rata-rata 0 dan variansi ∞, dalamarti:
E(DtDs) =
∫Re i(t−s)x dx = δ(t − s)
(secara matematika, kedua denisi di atas belum bisa diterima 100 persen)
Teori derau putih yang rigor secara matematika adalah melalui teoridistribusi (generalized function) stokastik pada sebuah ruang vektortopologi berdimensi takhingga. (T. Hida,1976).
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 13 / 24
Persamaan Diferensial Stokastik
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 14 / 24
Contoh
Persamaan Langevin
dXt = −bXt dt + a dBt , X0 = x0
Solusi PDS ini adalah proses Ornstein-Uhlenbeck
Xt = e−btx0 + a
∫ t
0
e−b(t−u) dBu
Persamaan Logistik Stokastik
dNt = rNt
(1− Nt
K
)dt + αNt dBt , N0 = Y > 0
Solusi PDS ini adalah proses Logistik
Nt =e(rK−
12α
2)t+αBt
Y−1 + r∫ t
0e(rK−
12α
2)s+αBs ds
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 15 / 24
Secara umum: Persamaan diferensial stokastik
dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt)Dt dt, X0 = Y
dituliskan sebagai
dXt = f (t,Xt) dt + σ(t,Xt) dBt , X0 = Y
dan diinterpretasikan (dimaknai secara matematis) sebagai persamaan integralstokastik
Xt = Y +
∫ t
0
f (s,Xs) ds︸ ︷︷ ︸integral deterministik
+
∫ t
0
σ(s,Xs) dBs︸ ︷︷ ︸integral stokastik
integral deterministik : integral Riemann, integral Lebesgue, integral Henstock,dsbintegral stokastik : integral Ito, integral Stratonovich, integral Russo-Vallois, dsb
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 16 / 24
Teorema Eksistensi-Ketunggalan Solusi dalam kalkulus Ito
Theorem
Misalkan f (t, x) dan σ(t, x) adalah fungsi-fungsi terukur pada [0,T ]× R yangmemenuhi kondisi Lipschitz dan kondisi membesar secara linear dalam peubah x ,dan Y adalah peubah acak yang teradaptasi terhadap F0 dengan E(Y 2) <∞.Maka persamaan integral
Xt = Y +
∫ t
0
f (s,Xs) ds +
∫ t
0
σ(s,Xs) dBs
mempunyai sebuah solusi kontinu yang tunggal. Lebih lanjut solusi ini adalahsebuah proses Markov.
Alat penting lainnya: Rumus ItoDiberikan sebuah fungsi kontinu f (t, x) dengan turunan-turunan parsial yang
kontinu ∂f∂t ,
∂f∂x , dan
∂2f∂x2 , maka
f (t,Bt) = f (0,B0) +
∫ t
0
∂f
∂x(s,Bs) dBs +
∫ t
0
(∂f
∂t(s,Bs) +
1
2
∂2f
∂x2(s,Bs)
)ds
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 17 / 24
Beberapa Penerapan
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 18 / 24
Penyaringan Stokastik (stochastic ltering)
Keadaan sistem (proses input) Xt pada setiap waktu t:
dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt,X0 pada saat t = 0,
α(t), β(t) fungsi deterministik, Bt gerak Brown, distribusi awal X0 salingbebas dengan Bt
Observasi (proses output) Zt dari sistem pada waktu t:
dZt = f (t) dWt + g(t)Xt dt, Z0 = 0,
f (t), g(t) fungsi deterministik, Wt gerak Brown yang saling bebas dengan Bt
dan X0
Masalah penyaringan: berdasarkan nilai-nilai yang teramati Zs , 0 ≤ s ≤ t,bagaimana menentukan estimator terbaik Xt dari keadaan Xt dari sistempada waktu t?
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 19 / 24
Penyelesaian dengan menggunakan metode kesalahan rata-rata kuadrat
terkecil (least mean square error method):
Dicari estimator Xt yang meminimalkan kesalahan rata-rata kuadrat:
Rt := E((
Xt − Xt
)2)≤ E
((Xt − Y )2
)untuk setiap peubah acak Y ∈ L2(P) yang terukur terhadap aljabar-σ
FZt := σ Zs : s ≤ t .
Estimator Xt adalah proyeksi ortogonal dari Xt ke ruang Hilbert L2(FZt ) dan
berlakuXt = E
(Xt
∣∣FZt
)Jadi, ekspektasi bersyarat adalah estimator terbaik untuk keadaan Xt darisistem berdasarkan observasi Zs , 0 ≤ s ≤ t.
Bagaimana menentukan E(Xt
∣∣FZt
)?
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 20 / 24
Theorem (Kalman-Bucy)
Jika
1 keadaan Xt dari sebuah sistem diberikan oleh dXt = α(t) dBt + β(t)Xt dt,
2 distribusi initial X0 saling bebas dengan gerak Brown Bt dan memilikirata-rata µ0 dan variansi σ2
0
3 Observasi Zt dari sistem diberikan oleh dZt = f (t) dWt + g(t)Xt dt, Z0 = 0,dengan gerak Brown Wt saling bebas dengan Bt dan X0,
maka ekspektasi bersyarat Xt = E(Xt
∣∣FZt
)adalah penyelesaian dari persamaan
diferensial stokastik
dXt =g(t)Rt
f (t)2dZt +
(β(t)− g(t)2Rt
f (t)2
)Xt dt, X0 = µ0,
dengan Rt adalah penyelesaian persamaan Riccati
dRt
dt= α(t)2 + 2β(t)Rt −
g(t)2
f (t)2R2
t , R0 = σ20.
Lebih lanjut, Rt = E(
(Xt − Xt)2
).
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 21 / 24
Penerapan lainnya dari Gerak Brown, derau putih dan PDstokastik
Matematika keuangan (dinamika harga saham/aset berharga/nilai kursvaluta asing, dsb)
Rangkaian listrik dengan derau
Pergerakan acak dari (mikro)organisme
Masalah turbulensi dalam dinamika uida (persamaan Navier-Stokesstokastik)
Pemodelan polimer pada sika
Integral Feynman dalam mekanika kuantum
Transformasi Fourier dimensi takhingga
Masalah Dirichlet dalam persamaan diferensial parsial
dsb
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 22 / 24
Daftar Pustaka
B. Oksendal. Stochastic Dierential Equations, 6th ed. , Springer, 2005
I. Karatzas and S. Shreve. Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd ed,Springer, 1999
J.M. Steele. Stochastic Calculus and Financial Applications, Springer, 2001
P. Kall and J. Mayer. Stochastic Linear Programming, 2nd ed. Springer, 2011
J. Xiong. An Introduction to Stochastic Filtering Theory, OUP, 2008
M. Bachar, et al. Stochastic Biomathematical Models, Springer, 2013
P. Kloeden and E. Platen. Numerical Solution of SDEs, Springer, 1992
R. Khasminskii. Stochastic Stability of Dierential Equations, 2nd ed.Springer, 2012
C. Prevot and M. Röckner. A Concise Course on Stochastic PartialDierential Equations, Springer, 2007
T. Hida, H-H. Kuo, J. Pottho, and L. Streit. White Noise. An InniteDimensional Calculus, Kluwer, 1993
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 23 / 24
Terima kasih
Herry Pribawanto Suryawan (Mat USD) Seminar FST USD 3. April 2014 24 / 24