Upload
dotram
View
611
Download
11
Embed Size (px)
Citation preview
PEUBAH ACAK GANDAPengantar Hitung Peluang | Pertemuan [email protected]
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA
2
Dari suatu ruang contoh percobaan bisa didefinisikan lebih dari satupeubah acak
Misalkan pada percobaan melempar koin setimbang sebanyak 3 kali
= {AAA, AAG, AGA, GAA, GGA, GAG, AGG, GGG}
Jika p.a. X didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul, maka :
X = {0, 1, 2, 3}
Jika p.a. Y didefinisikan sebagai frekuensi Angka (A) muncul padadua lemparan terakhir, maka :
Y = {0, 1, 2}
3
Y
0 1 2
X 0 {GGG}
1 {AGG} {GGA,GAG}
2 {AAG, AGA} {GAA}
3 {AAA}
Y
0 1 2
X 0 1/8 0 0
1 1/8 2/8 0
2 0 2/8 1/8
3 0 0 1/8
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA
4
Y Total
0 1 2
X
0 1/8 0 0 1/8
1 1/8 2/8 0 3/8
2 0 2/8 1/8 3/8
3 0 0 1/8 1/8
Total 2/8 4/8 2/8
Sama dengan P(X=x)
Sama dengan P(Y=y)f.m.p bersama X,Y
P(X=x, Y=y)
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA
5
Jika Y1 dan Y2 adalah masing-masing peubah acak,
maka (Y1, Y2) kita sebut peubah acak ganda dua
Secara umum, jika Y1, Y2, Y3, …, Yn adalah peubah
acak, maka (Y1, Y2, Y3, …, Yn ) adalah peubah acak
ganda n.
Untuk selanjutnya dalam pembahasan akan difokuskan
pada peubah acak ganda dua.
PENGERTIAN PELUANG BERSAMA
PEUBAH ACAK GANDA - DISKRET
6
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak diskret, fungsipeluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah
untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asalbagi(Y1, Y2).
Syarat fungsi tersebut merupakan fungsi peluangbersama :
7
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu, fungsi kepekatanpeluang bersama bagi Y1 dan Y2 adalah
untuk semua (y1, y2) ∈ RY1Y2 yang merupakan daerah asal (Y1, Y2).
Syarat fungsi tersebut merupakan fungsi kepekatan peluangbersama adalah :
PEUBAH ACAK GANDA - KONTINU
𝑓𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 , 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2
1) fY1Y2 y1, y2 > 0, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2
2) −∞∞ −∞∞fY1Y2 y1, y2 𝑑𝑦1𝑑𝑦2 = 1
HUBUNGAN FUNGSI SEBARAN & FKP
8
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu dengan fungsikepekatan peluang bersama 𝑓𝑌1,𝑌2 𝑦1, 𝑦2 , fungsi sebaranbersamanya adalah :
fkp dapat diperoleh dengan cara mendiferensialkan fungsi tsb.
Peluang (Y1, Y2) ∈ A, untuk 𝐴 ⊂ ℛ2 dalah
𝐹𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 =
−∞
𝑦2
−∞
𝑦1
fY1Y2 t1, t2 𝑑𝑡1𝑑𝑡2, 𝑦1, 𝑦2 ∈ 𝑅𝑌1𝑌2
𝑓𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2 =𝜕2
𝜕𝑦1𝜕𝑦2𝐹𝑌1𝑌2 𝑦1, 𝑦2
𝑃 𝑌1, 𝑌2 ∈ 𝐴 =
𝑦1,𝑦2
fY1Y2 y1, y2 𝑑𝑦1𝑑𝑦2
9
Jika Y1 dan Y2 adalah peubah acak kontinu denganfungsi kepekatan peluang bersama sbb :
(a) Tentukan c
(b) Hitung P(Y1 > 15, Y2 < 1)
(c) Hitung P(Y2 > Y1/5)
ILUSTRASI - 1
10
(a) Syarat fungsi kepekatan peluang bersama adalah :
sehingga :
dan
ILUSTRASI – 1 (CONT’D)
𝑑𝑦2𝑑𝑦1
𝑑𝑦2𝑑𝑦1
11
(b) Misalkan , maka :
ILUSTRASI – 1 (CONT’D)
𝑑𝑦2𝑑𝑦1
12
(c) Misalkan , maka :
ILUSTRASI – 1 (CONT’D)
𝑑𝑦2𝑑𝑦1
LATIHAN - 1
13
FKP BERSAMA 2 PEUBAH ACAKYANG SALING BEBAS
14
ILUSTRASI - 2
A man and a woman decide tomeet at a certain location. If eachof them independently arrives at atime uniformly distributed between12 noon and 1 P.M., find theprobability that the first to arrive hasto wait longer than 10 minutes.
15
ILUSTRASI - 2
16
17
y
X yYxXPxXP ),()(
x
Y yYxXPyYP ),()(
FMP MARGINAL PEUBAH ACAK DISKRET
18
FKP MARGINAL PEUBAH ACAK KONTINU
19
Diberikan fkp bersama peubah acak (Y1, Y2)
Tentukan fkp marginal masing-masing Y1 dan Y2
ILUSTRASI - 3
LATIHAN - 2
Suppose that a point is uniformly chosen on asquare of area 1 having vertices (0,0), (0,1),(1,0), and (1,1). Let X and Y be the coordinatesof the point chosen.
a) Find the marginal distributions of X and Y
b) Are X and Y independent?
20
• Kasus diskret, f.m.p X dengan syarat Y didefinisikan sebagai
• Jika dilanjutkan diperoleh
• Analog untuk kasus kontinu diperoleh
SEBARAN PELUANG BERSYARAT
• Kasus diskret
• Kasus Kontinu
NILAI HARAPAN
23
Dapat ditunjukkan bahwa untuksembarang X dan Y, E(X+Y) = E(X) + E(Y)
Dapat pula ditunjukkan bahwa jika X danY saling bebas maka E(XY) = E(X) E(Y).
NILAI HARAPAN
Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai
Formula tersebut dapat disederhanakan dalambentuk
Sehingga jika X dan Y saling bebas maka Cov(X,Y) = 0
PERAGAM (COVARIANCE)
Peragam antara X dan Y didefinisikan sebagai
dengan
KORELASI (CORRELATION)
25
REFERENSI
1. Aidi, M.N., Djuraidah, A. 2012. PengantarPeluang. Bogor: IPB Press.
2. Baron, M. 2014. Probability and Statistics forComputer Scientist, Second Edition. Boca Raton:CRC Press Taylor & Francis Group.
3. Montgomery, D.C, Runger, G.C. 2003. AppliedStatistics and Probability for Engineers, ThirdEdition. New Jersey: John Wiley & Sons.
4. Ross, S.M. 2010. A First Course in Probability, 8th
Edition. New Jersey: Prentice Hall.
5. Referensi lain yang relevan.
26