TRANFORMASI PEUBAH ACAK

8/16/2019 TRANFORMASI PEUBAH ACAK

1/40

Makalah

Transformasi Peubah Acak

Diajukan sebagai Syarat Memenuhi Tugas Terstruktur dalam Mata Kuliah

Statistika Matematika yang Diampu oleh Dr. Ahmad Yani T M.Pd

Kelompok !

". #erlina $%"&'""("&&)*

). +ini Petronela $%"&'""("&",*

(. Siti %atimah $%"&'""("&),*

'. -hopri Desandi $%"&'""("&)!*

P+/0+AM ST1D2 P34D2D2KA4 MAT3MAT2KA

51+1SA4 P34D2D2KA4 MAT3MAT2KA 26M1 P3403TA#1A4 A6AM

%AK16TAS K301+1A4 26M1 P3403TA#1A4

14273+S2TAS TA45140P1+A

P/4T2A4AK

)&"8


2/40

Transformasi Peubah Acak

Tujuan Pembelajaran

Adapun tujuan mempelajarai materi ini adalah sebagai berikut 9

". Menentukan fungsi peluang dari satu fungsi peubah acak diskrit dengan teknik

transformasi peubah acak

). Menentukan fungsi densitas dari satu fungsi peubah acak kontinu dengan teknik

transformasi peubah acak

(. Menentukan fungsi densitas dari fungsi dua peubah kontinu dengan menggunakan

teknik transformasi peubah acak

'. Menentukan fungsi densitas dari dua peubah acak kontinu yang berbentuk

penjumlahan pengurangan perkalian dan pembagian dengan menggunakan teknik

tranformasi peubah acak

A. Peubah Acak

Misalnya E adalah sebuah eksperimen dengan rumus sampelnya S,

sebuah fungsi X yang menetapkan setiap s ∈ S dengan sebuah

bilangan real X(s) dinamakan peubah acak. Peubah acak ada 2, yaitu

peubah acak diskrit dan peubah acak kontinu.

1. Peubah Acak Diskrit

Misalnya X adalah peubah acak. ika banyak nilai!nilai yangmungkin dari X(yaitu ruang hasil "#) berhingga atau tak

berhingga tapi dapat dihitung, maka X dinamakan peubah acak

diskrit.

2. Peubah Acak KontinuMisalnya X adalah peubah acak. ika banyak nilai!nilai yang

mungkin dari X(yaitu ruang hasil "#) merupakan sebuah inter$al

pada garis bilangan real, maka X dinamakan peubah acak

kontinu.B. Teknik Tranformasi Peubah Acak

%eknik ini bisa berlaku untuk satu maupun dua buah peubah acak

sehingga transformasi peubah acaknya &uga bisa merupakan fungsi

dari satu peubah acak maupun fungsi dari dua buah peubah acak.

'husus transformasi dari fungsi dua buah peubah acak, idealnya harus

ada dua transformasi peubah acak yang diketahui. alam praktiknya,

transformasi peubah acak yang diketahui mungkin hanya sebuah. leh


3/40

karena itu kita harus memisalkan satu transformasi peubah acak lagi

berdasarkan bentuk transformasi peubah acak yang diketahui.

%ransformasi peubah acak yang diketahui itu bisa berupa

pen&umlahan, pengurangan, perkalian atau pembagian.

C. Teknik Transformasi Satu Peubah Acak

1. Teknik Transformasi Satu Peubah Acak Diskrit

Teorema

Misalkan X suatu peubah acak diskrit dengan fungsi peluangnya

f ( x) . Misalkan Y =u ( X ) suatu transformasi satu!satu antara

nilai x dan y sehingga persamaan y=u( x) mempunyai

&a*aban tunggal untuk x dinyatakan dalam y . Misalnya

x=w ( y) , maka fungsi peluang y adalah g ( y )=f [w ( y )] .

Buktiiketahui X adalah peubah acak diskrit dengan fungsi peluang f(#).

+erdasarkan sifat ketiga pada fungsi peluang yaitu f(#) P( X #)

dan karena fungsi peluang akan ditransformasi pada peubah acak

- diperolehf γ = P (Y = y ) Sifat iii fungsi peluang

¿ P (u ( X )= y ) - u (X)

¿ P (u ( X )=u( x )) y u (#)

w ( y )u( X )=u (¿)

¿ P¿ u (#) *(y)

¿ P ( X =w ( y ) ) . de/nisi fungsi in&ektif

¿ f γ (w ( y ) ) ... syarat iii de/nisi peluang

ContohMisalkan fungsi peluang dari peubah acak X adalah 0

f(#) (1

2) # 1 #,2,3,...

%entukan fungsi peluang dari peubah acak - X3

Penyelesaian

%ransformasinya 0 Y =¿ X3


4/40

4ubungan antara nilai # dari peubah acak X dan nilai y dari peubah

acak - diberikan dengan 0 y= x3

5n$ersnya 0 x=3√ y

6ilai!nilai yang mungkin dari Y = { y| y=1,8,27, …}

adi fungsi peluang dari Y adalah 0

f ( y )=1

2

3

√ y

; y=1,8,27 …


5/40

a

b

*(a) *(b)

y

2. Teknik Tranformasi Satu Peubah Acak Kontinu

Teorema

Misalkan X suatu peubah acak kontinu dengan fungsi densitas

f ( x ). Misalkan Y =u ( X ) menyatakan hubungan satu!satu antara

nilai x dan y sehingga persamaan y=u ( x ) mempunyai

&a*aban tunggal untuk x dalam y misalnya x=w ( y ) Maka

distribusi peluang y adalah g ( y )=f [ w ( y ) ]|J | dengan J =w' ( y )

dan disebut acobi %ransformasi.

Bukti

Misalkan y=u( x) fungsi naik, terlihat bah*a bila

y bernilai a dan b maka peubah acak X bernilai

antara w (a ) dan w (b) .

+erdasarkan sifat ketiga pada fungsi padat peluang yaitu

P (a


6/40

'arena integral memberikan nilai peluang yang dicari untuk setiap

a


7/40

a

b

*(a) *(b)

'emudian dimisalkan bah*a y=u( x) fungsi turun, terliha bah*a

bah*a y bernilai a dan b maka peubah acak X bernilai

antara w (a) dan w (b ) , &adi 0

P (a


8/40

g( y )=f [ w ( y ) ] J

Bukti lain

ika y=u( x) adalah fungsi satu!satu, maka y naik monoton atau

turun monoton. Pertama kita asumsikan naik, maka u( x )≤ y &ika

dan hanya &ika x ≤ w ( y) . engan demikian

F Y = P (u ( X ) ≤ y ) ..... de/nisi fungsi distribusi

y

X ≤ w(¿)¿ P¿

.... sifat fungsi monoton

¿ F Y (w ( y )) .... de/nisi fungsi distribusi

Sehingga fungsi densitasnya men&adi

f Y ( y )= d

dy F

Y ( w ( y )) ... de/nisi fungsi densitas

¿ F Y (w ( y ))

d

d (w ( y ) )d

dyw ( y)

... aturan rantai

¿ F Y ( w ( y ))∨

d

dy w( y)∨¿ ... sifat kalkulus

alam hal inid

dy w ( y )>0, karena y monoton naik. Sekarang

dalam kasus monoton turun u( x )≤ y &ika dan hanya &ika w ( y)≤x

dengan demikian 0

F Y = P (u ( X ) ≤ y ) ... de/nisi fungsi distribusi

y

X ≥ w(¿)¿ P ¿

... sifat monoton turun


9/40

¿1− P( X ≤ w ( y )) ... sifat peluang

¿1− F X (w( y )) ... de/nisi fungsi distribusi

Sehingga fungsi densitasnya men&adi

f ( y )= d

dy (1− F

X ( w ( y ))) ... de/nisi fungsi densitas

¿ d

dy (1 )−

d

dy F

X (w ( y )) ¿ ... aturan kalkulus

¿0− d

d (w ( y ) )

F X (w ( y ))

d

dy

w( y )... aturan rantai

¿−f X (w ( y ))∨

d

dy w ( y )∨¿ ... de/nisi fungsi densitas

¿ f X (w ( y ))

d

dy w ( y) ...

d

dy w ( y )


10/40

a*ab 0

7ungsi kebalikan dari Y =2 X −3 adalah x= y+3

2 sehingga

diperoleh

J =w' ( y )= d

dy ( y+32 )= ddy ( 12 ( y+3))=12 ( 0 )+0 ( y+3 )=12+0=12'emudian untuk inter$al daerahnya didapat 0

x=1 dan y=−1

x=5 dan

y=7

engan demikian didapatlah bah*a 0

g ( y )={( y +3

2 )12 ( 12 ) ,−1


11/40

in$ers nya adalah X *(-,-2), X2 *2(-,-2) yang memetakan

;(-,-2) + ke :

+erdasarkan teknik satu peubah acak diskrit f ( y )= f [w( y)]

Maka untuk dua peubah acak diskrit diperoleh0

g ( y1 , y2 )=f [w 1 ( y1 , y 2) , w 2( y1 , y2)] adi distribusi peluang gabungan - dan -2 adalah g(y,y2)

f8*(y,y2) , *2(y,y2)9 ∈ +. dan nol untuk yang lainnya.

%ransformasi ini sangat berguna untuk menentukkan distribusi

peubah acak y u(X,X2) peubah acak diskrit dengan distribusi

peluang f(#,#2).


12/40

+entuk peubah acak kedua misalnya -2X2, kemudian didapat

fungsi kebalikan nya yaitu #y!y2 dan #2 y2. engan demikian

distribusi peluang gabungan - dan -2 didapat, yaitu 0

?(y , y2) e−( μ 1+ μ 2) μ 1

y1− y 2

μ 2 y2

( y 1− y 2)! y 2 ! dengan #>, , 2, ... an#2>, , 2,

, y

'arena # @ > transformasi # y!#2 mengakibatkan #2, &adi &uga y2,

harus selalu lebih kecil atau sama dengan y, &adi distribusi peluang

pias y adalah

h(y) ∑ y 2=0

y1g( y 1, y 2)

∑ y 2=0

y1e−( μ 1+ μ 2) μ 1 y1− y 2 μ 2 y2

( y 1− y 2)! y 2 !

e−( μ 1+ μ 2) ∑

y 2=0

y1 μ1

y1− y 2 μ 2

y2❑

( y 1− y 2)! y 2 !

e−( μ 1+ μ 2)

y 1! ∑

y 2=0

y1 y 1 !

❑

( y 1− y 2)! y 2! μ 1

y1− y 2 μ 2

y2

e−( μ 1+ μ 2)

y 1! ∑

y 2=0

y1

( y 1 y 2

) μ 1 y 1− y 2 μ 2 y 2

e−( μ 1+ μ 2)

y 1! ( μ 1+ μ 2 ) y 1

ari rumus tersebut dapat disimpulkan baha*a &umlah dua peubah

acak bebas yang berdistribusi poisson dengan parameter μ1 dan

μ 2 akan berdistribusi poisson &uga dengan parameter μ 1+ μ 2

2. Teknik Transformasi Dua Peubah Acak Kontinu


13/40

Teorema

Misalkan X dan X2 peubah acak kontinu dengan distribusi peluang

gabungan f(#,#2). Misalkan -u(X,X2) merupakan transformasi

satu!satu antara titik (#,#2) dan (y,y2) sedemikian rupa sehingga

persamaan y u(#,#2) dan y2u2(#,#) mempunyai &a*aban

tunggal untuk # dan #2 dinyatakan dalam y dan y2, misalkan #

*(y,y2) dan #2 #2(y,y2). Maka distribusi peluang gabungan -

dan -2 adalah g(y,y2) f8*(y,y2),*2(y,y2)989 dengan &acobi adalah

determinan 2 X 2

| x 1

y 1

x 1

y 2

x 2

y 1

x 2

y 2| dan x 1

y 1 adalah turunan # *(y,y2) terhadap

y bila y2 tetap disebut turunan parsial # terhadap y.

%urunan parsial lainnya dide/nisikan dengan cara yang sama.

! 0 x 1

y 1 adalah turunan parsial dari #*(y,y2) terhadap y

dengan y konstan

! 0 x1

y 2 adalah turunan parsial dari #*(y,y2) terhadap y2

dengan y konstan

! 0 x 2

y 1 adalah turunan parsial dari #2*2(y,y2) terhadap y

dengan y2 konstan

! 0 x2 y 2 adalah turunan parsial dari #2*2(y,y2) terhadap y2

dengan y konstan

Contoh

Misalkan X dan X2 peubah acak kontinu dengan distribusi peluang

gabungan


14/40

7(#,#2) A4 x 1 x 2. 0


15/40

Dalam prakteknya, penentuan fungsi ensitas ari peubah

acak transformasi bisa ter!ai alam empat kemungkinan yaitu

"

1. Dua Transformasi Peubah Acak dan Fungsi Densitas Gabungan DiketahuiMisalkan kita mempunyai fungsi densitas gabungan dari dua peubah

acak kontinu dan dua peubah acak transformasi yang masing!

masing merupakan fungsi dari dua peubah acak kontinu tersebut.

'edua peubah acak transformasi itu merupakan peubah acak yang

baru. Fangkah!langkah untuk menentukan fungsi densitas marginal

dari salah satu peubah acak transformasi itu sebagai berikut 0!


16/40

5n$ersnya 0 x=1

2(u+" ) dan y=(

−12

(u−" ))

acobiannya 0 J =

| x

u

x

" y

u

y

"|=

| 1

2

1

2−1

2

1

2|=1

4+ 1

4=1

2,|J |=1

2

7ungsi densitas gabungan dari < dan ; adalah

g (u , " )=f ([ 12 (u+" ),(−12 (u−" ))]) . |J |¿

1

4

.1

2

¿1

8

+atas!batas dari < dan ; adalah 00


17/40

semula. Fangkah!langkah untuk menentukan fungsi densitas

marginal dari salah satu peubah acak transformasi itu adalah

sebagai berikut 0! %entukan fungsi densitas gabungan dari kedua peubah acak

kontinu semula!


18/40

Karena : dan Y saling bebas maka fungsi densitas gabungannya adalah

# ( x , y )= f ( x ) . g ( x )

¿ (1 )

(1

3

)¿

1

3

5adi # ( x , y )=1

3;1


19/40

1


20/40

1bah bentuk dua peubah acak transformasi dari huruf besar $dalam bentuk

peubah acak* menjadi huruf kecil $dalam bentuk nilai peubah acak* sehingga

diperoleh nilai peubah acak transformasi.

Tentukan in@ers dari nilai peubah acak transformasi itu sehingga akan diperoleh

dua nilai peubah acak lama yang merupakan fungsi dari nilai peubah acak

transformasi.

#itung nilai 5acobian $ditulis dengan 5* dari dua nilai peubah acak lama dengan

jacobiannya berupa determinan dari matriks berordo ) ? ). Kemudian hitung

harga mutlak dari jacobian itu.

Tentukan distribusi gabungan dari kedua peubah acak transformasi. Tentukan batas;batas nilai dari kedua peubah acak transformasi yang diketahui.

Penjelasan dari uraian di atas 9

a. Teorema ATransformasi Berbentuk Pen$um!ahan

Misalkan X dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas

gabungannya f(x,y). Jika S = X + Y, aka fungsi densitas da!i S di!uuskan

sebagai be!ikut"

k 1 (% )=∫

−&

&

f (w, %−w )dw

Atau

k 1 (% )=∫−&

&

f (%−w,w )dw

Misalkan : dan Y adalah peubah acak kontinu dengan fungsi densitas

gabungannya f$?y*. 5ika S < : > Y maka fungsi densitas dari S dirumuskan

sebagai berikut9

k 1 (% )=∫

−&

&

f ( x , %−w ) dw

Atau

k 1 (% )=∫−&

&

f ( x−w, w )dw

ukti9

Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk S < : > Y maka kita

mengambil transformasdi peubah acak keduanya adalah C Y dan C


21/40

5acobiannya 9 J =| x

w

x

%

y

w

y

%|=|−1 11 0|=−1 ,|J |=1

%ungsi densitas gabungan dari S dan C adalah9k (% , w )=f ( %−w , w ) .|J |

¿ f ( %−w , w ) .1

k (% ,w )=f (%−w ,w)

5adi fungsi densitas marginal dari S adalah9

k 1 (% )=∫

−&

&

f ( x−w, w )dw

Contoh

Misalkan fungsi densitas gabungan dari peubah acak kontinu : dan Y berbentuk9

f ( x , y )=2 x ; 0


22/40

angun AED merupakan daerah yang memenuhi & B B " dan "> B s B )>

%ungsi densitas marginal dari S adalah9

g1 ( % )=∫

0

%−1

2 wdw=w2 ¿0%−1= (%−1 )2 ; 1


23/40

¿∫%−2

1

2 wdw=w2¿w=%−21 =1−(%−2 )2 ; 2≤ % ≤3

Maka9 g1 ( % )=(%−1)2

; 1


24/40

Contoh9

Misalkan fungsi densitas dari peubah acak kontinu : dan Y berbentuk9

f(x,y) =2y; 1 < x< 2, 0 < y < 1

= 0; x,y lainnya

5ika U = X – Y , maka tentukan fungsi densitas dari 1.Penyelesaian9

Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk U = X – Y, maka kita

mengambil transformasi peubah acak keduanya adlah T < :

5adi transformasi peubah acaknya9 1 < : = Y dan T < :

#ubungan antara nilai ? dari : dan nilai y dari Y serta hubungan nilai t dari T dan

nilai u dari 1 diberikan dengan9

u = x – y dan t = x

in@ersnya9 x = t dan y = t – u

5acobiannya 9 J =| x

t

x

u

y

t

y

u |=|1 01 −1|=1 ,|J |=1

%ungsi densitas gabungan dari T dan 1 adalah9

h(t,u) = f(t,t – u)F !"

= 2(t – u) (1)

=2t – 2u

atas;batas dari T dan 1 adalah9

"< x < 2 0 < y < 1

1 < t < 2 0 < t-u < 1u < t < 1+u

%ungsi identitas marginal dari 1 adalah9

#1 (u )=∫

1

1+u

(2t −2u )dt ;0


25/40

Sehingga9 #1 (u )=2 u−u2

0


26/40

f ( x , y )= x+ y ; 0


27/40

¿u−w

u ¿u=w

1

¿ (1−w )−( w−1 )

¿1−w−w+1

g1( w )=2−2 w ; 0


28/40

:+

B

2>$

I

2:

¿0 x , y lainnya

ika H X

Y , maka tentukan fungsi densitas dari H.

Penyelesaian0

'arena transformasi peubah acak yang diketahuinya H X Y

,

maka kita mengambil transformasi peubah acak keduanya

adalah ;-.

adi transformasi peubah acaknya adalah H X

Y dan ; -

4ubungan antara nilai # dari X dan nilai y dari - serta hubungan

nilai $ dari ; dan nilai I dari H diberikan dengan0

= x y dan

"= y

5n$ersnya0 x=" dan y="

acobiannya0 J =¿ | x

"

x

y

"

y

| | "1 0|=−" ,|J |="

7ungsi densitas marginal dari I adalah0

g (" , )=f ( " , " )|J |=( 49 ) (" ) (" ) (" )=( 49 )"3 +atas!batas dari ; dan H adalah0

1


29/40

+angun :+B merupakan daerah yang memenuhi

1


30/40

diketahui berebntuk pen&umlahan, pengurangan, atau perkalian,

maka kita bebas mengambil transformasi peubah acak yang

kedua. ika transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk

pembagian, maka kita sebaiknya mengambil transformasipeubah acak yang keduanya adalah penyebutnya.

!


31/40

f ( x )={ y+1

2

3

1

2, y=1,3,5

0, untuk x yang lain

2. Misalkan X peubah acak kontinu dengan distribusi peluang

f ( x )={ 2( x+1)

9,−1


32/40

√ y+12(¿)¿

¿9( 12√ y ) , 1


33/40

g (u , " )= f ( x , y )|J |

[ 12 (u+" ) ,(−12 )(u−")]|J |¿ f ¿

¿3

5−

1

2

¿ 3

10

+atas!batas dari < dan ; adalah


34/40

1


35/40

7ungsi kebalikan dari Y = X 3

adalah x=3√ y sehingga diperoleh

J =w' ( y )

¿d

dy ( y1

3

dy )¿

1

3 y

−23

¿ 1

33√ y2

'emudian untuk inter$al daerahnya didapat 0

x=0 dan y=0

x=3 dan y=27

engan demikian didapatlah bah*a 0

g ( y )={( 3√ y )

2

9 ( 1

33

√ y2 ) ,1


36/40

Maka tentukan fungsi densitas dari 1 < : > Y

Penyelesaian 9

Karena kedua peubah acak saling bebas maka fungsi densitas gabungannya adalah 9

f ( x , y )=f ( x ). g ( y )

¿2. e−2 x . 3. e−3 y

< 6. e−2 x

. e−3 y

; x ≥ 0, y ≥ 0

< & untuk ?y lainnya

Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbetuk 1 < : > Y maka kita

mengambil transformasi peubah acak keduanya adalah 9 C Y dan C < :

#ubungan antara nilai ? dari : dan nilai y dari Y serta nilai u dari 1 dan nilai dari

C diberikan dengan 9 s < ? > y dan < ?

2n@ersnya 9 ? < dan y < u;

5acobiannya 9 | x

w

x

u

y

w

y

u|=| 1 0−1 1|=1 ,|J |=1

%ungsi densitas gabungan dari 1 dan C adalah 9

k (u , w )=f ( w , u−w ) . ,|J |

¿6. e−2 w . e−3 (u−w ).1

¿6. e−2 w . e−3 (u−w )

¿6. e−2 w . e−3 u e3 w

¿6. ew . e−3 u

atas;batas nilai dari 1 dan C adalah 9

x ≥ 0 y ≥ 0

w≥0 u−w≥0


37/40

u≥w

%ungsi densitas marginal dari 1 adalah

e

(¿¿u−1)

g1 (u )=∫0

u

6ew. e

−3udw=6e−3u∫

0

u

ew. dw=6 e−3u ¿

5adi 9

e

(¿¿u−1); w ≥0,

g 1(u)=6. e−3 u .¿ u≥w

¿0 ;untuku,wlainnya

J. ika $ariabel acak X dan - memiliki fungsi kepadatan gabungan

f ( x , y )= xy

96; 0


38/40

| x

u

x

"

y

u

y

"| |0 112 −12 |=−12

adi, fungsi kepadatan gabungan dari < dan ; adalah 0

g (u , " )="

1

2(u−" )

96.

1

2=

" (u−" )384

; 2


39/40

¿0 ; x , y lainnya

Tentukan fungsi densitas marginal dari 1 < : > Y

Penyelesaian9

Karena transformasi peubah acak yang diketahui berbentuk 1 < : > Y maka kita

mengambil transformasi peubah acak keduanya adalah C < :.

5adi transformasi peubah acaknya9 1 < : > Y dan C < :.

#ubungan antara nilai ? dari : dan y dari Y serta hubungan antara nilai u dari 1 dan

nilai dari C siberikan denganu= x+ y dan w= x

2n@ersnya9 x=w dan y=u−w

5acobiannya9 J =

|x

w

x

u y

w

y

u |=|

1 0−1 1|=1

|J |=1

%ungsi densitas gabungan dari 1 dan C dalah9

g (u ,w )=f (w ,u−w ) .|J |

¿w (u−w )

¿uw−w2

atas;batas dari 1 dan C adalah90


40/40

¿[ 12 u w2−13 w3]u−54

; 5

Documents

TRANFORMASI PEUBAH ACAK