Teoreticne osnove za poucevanja naravoslovjaza 6. in 7. razred devetletke

T. Kranjc, PeF

4. aprila 2008

Kazalo

1 Modul 7: Svetloba in slike 11.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2 Odboj svetlobe 2

3 Lomni zakon 33.1 Popolni (totalni) odboj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53.2 Planparalelna plast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

4 Prizma 7

5 Zrcala 95.1 Ravna zrcala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105.2 Krogelna zrcala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

6 Lece 166.1 Zbiralna leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 176.2 Razpršilna leca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

7 Opticne priprave 237.1 Oko . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.2 Lupa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237.3 Daljnogled . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247.4 Mikroskop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

0

1 Modul 7: Svetloba in slike

1.1 Uvod

V geometrijski optiki se ne menimo za uklon in interferenco. Pri podrobnem opa-zovanju meje svetlobnega curka niso preme. V geometrijski optiki pa vzamemocurke za preme in upoštevamo, da se odbijajo curki po odbojnem zakonu in lomijopo lomnem zakonu. Pri tem oznacujemo curke z žarki (pri širokih curkih zazna-mujejo žarki meje curka, pri ozkih žarkih pa osi). Žarki so osnovno pomagalogeometrijske optike. Z žarki, ki so nam pomenili pravokotnice na valovne ploskve(slika 1), se žarki geometrijske optike ujemajo le,ce se ni treba ozirati na uklon.

Slika 1: Ravno valovanje, ki se širi proti desni. Žarki so ravnecrte, pravokotne navalovne ploskve. Žarki vedno kažejo v smeri razširjanja valovanja.

Geometrijska optika je uporaben približek, dokler ostanemo pri razsežnostih,ki so zelo velike v primerjavi z valovno dolžino svetlobe (slika 2). Prehod izvalovne optike v geometrijsko naredimo,ce postavimo valovno dolžino svetlobeenako nic.

V tem modulu bomo vescas delali v približku geometrijske optike.

1

Slika 2: Ravno valovanje z valovno dolžinoλ vpada na oviro z odprtino širined.(a) Ce jeλ � d, ni opaznega uklona curka in meje curka so preme – geometrijskaoptika je dober približek. (b) Ko je λ ≈ d, postane uklon pomemben, približekgeometrijske optike ni vec uporaben. (c) Pri λ � d deluje odprtina kot tockastizvir krogelnih valov.

2 Odboj svetlobe

Naredimo taklePoskus:

Slika 3: Odboj svetlobe, odbojni zakon.

Na mizo postavimo ravno zrcalo in nanj usmerimo droben curek svetlobekakor kaže slika 3. Lahko zasledujemo potekvpadnegain odbitegažarka. Sucimosvetilo tako, da curek vpadne svetlobe spreminja smer.

Ugotovimo, da se hkrati s spreminjanjem smeri curka vpadne svetlobe spre-minja tudi smer curka odbite svetlobe. Narišimo v tocki, v kateri vpada curek na

2

zrcalo,vpadno pravokotnico. Kót med vpadnim curkom in vpadno pravokotnicoimenujemovpadni kot, kot med odbitim curkom in vpadno pravokotnico paod-bojni kot. Ugotovimo, da vedno veljaodbojni zakon, ki pravi:

Svetloba se na gladki ploskvi odbije tako, da je odbojni kot enak vpad-nemu; vpadni žarek, odbiti žarek in vpadna pravokotnica leže v isti ravnini.

Odbojni zakon ne velja le za ravna zrcala, temvec tudi za kriva zrcala in splohza kakorkoli “nagubane” površine. Samo paziti moramo, da narišemo vpadnopravokotnico vedno tam, kjer pade nek žarek na površino.Ce posvetimo na ne-ravno površino z vec vzporednimi tankimi curki svetlobe, odbiti curki niso vecvzporedni kakor pri ravnem zrcalu. To je zato, ker imajo vpadne pravokotnicerazlicne smeri; zato ima tudi vsak curek svojo smer.

Kadar je hrapavost površine zelo drobna, se na njej tudi tanek curek svetlobeodbija razpršeno. Saj tedaj že znotraj tankega curka vpadne pravokotnice kažejov razlicne smeri.

3 Lomni zakon

Poskus:

Slika 4: Lom in odboj svetlobe na meji zrak-voda: (a) prehod curka iz zraka vvodo. (b) prehod curka iz vode v zrak. (c) popolni (totalni) odboj svetlobe priprehodu iz vode v zrak.

V stekleno kad nalijmo vode. S tankim curkom svetlobe (npr. iz laserskesvetilke) posvetimo poševno na vodno gladino. (Da svetlobne curke vidimo,kanemo v vodo nekaj kapljic mleka, nad vodo pa zrak nekoliko “zakadimo”.)

3

Opazimo, da se svetloba na vodni gladini (na “meji dveh prozornih sredstev”,namrec zraka in vode) delno odbije, delno vstopi v vodo.

Opazimo tudi, da je svetlobni curek v vodi bolj strm kakor v zraku. Žarki seob prehodu iz zraka v vodolomijo. Poskus lahko dopolnimo: svetilko potopimov vodo in opazujemo prehajanje svetlobe iz vode v zrak. Tudi v tem primeruopazimo, da se svetlobni curki na meji sredstev lomijo in da so v vodi bolj strmikakor v zraku.

Zaznamujmo vpadni kot (tj. kot med vpadnim žarkom in vpadno pravokot-nico) zα ter lomni kot, tj. kot med vpadno pravokotnico inlomljenim žarkom, zβ (slika 4).

Ko spreminjamo vpadni kot, se spreminja tudi lomni kot. Povezava med njimaje odvisna od lomnih kolicnikov snovi, v katerih potuje svetloba. Pokaže se, da priprehodu svetlobnega curka iz sredstva z lomnim kolicnikomn1 v drugo sredstvoz lomnim kolicnikomn2 velja lomni zakon:

sinα

sinβ=

n2

n1oziroma n1 sinα = n2 sinβ .

Pravimo, da je sredstvo z vecjim lomnim kolicnikom opticno gostejše, sredstvo zmanjšim lomnim kolicnikom pa opticno redkejše. Iz lomnega zakona vidimo, dase svetlobni curek pri prehodu iz opticno redkejšega sredstva v opticno gostejšesredstvo lomiproti vpadni pravokotnici, pri prehodu iz opticno gostejšega sredstvav opticno redkejše pa stranodvpadne pravokotnice.

Slika 5: Lom valovanja na meji dveh sredstev.

Lom svetlobe je posledica tega, da je hitrost svetlobe v razlicnih snoveh razlicna.Svetlobni valovi se vedejo kakorceta vojakov, ki korakajo tako, da so njihove vrste vedno

4

pravokotne na smer hoje. Kaj se zgodi, koceta vojakov s kopnega, kjer napreduje shitrostjoc1, zagazi v sneg, kjer vojaki korakajo z manjšo hitrostjoc2? Ce zakorakacetana zasneženo podrocje v poševni smeri, potem vojaki, ki prvi zagazijo v sneg, zaostanejo.Ce najceta še vedno napreduje v smeri, ki je pravokotna na njihove vrste, mora spremenitismer hoje (slika 5) in sicer tako, da je

sinα

sinβ=

c1

c2.

Ker je c1 = c0/n1 in c2 = c0/n2 (c0 je svetlobna hitrost v vakuumu), jec1/c2 = n2/n1,tako da je sinα/sinβ = c1/c2 = n2/n1.

Še drugace lahko pridemo do lomnega zakona. Imejmo dve opticno razlicni sredstvi, venem je svetlobna hitrostc1, v drugemc2. V vsakem si izberimo po eno tocko. Vprašajmose, kako se mora gibati svetlobni curek, da prepotuje pot iz ene tocke v drugo v najkrajšemcasu. Pokaže se, da mora ubogati lomni zakon (Fermatovo nacelo).

Pri prehodu svetlobe iz zraka (ki ima lomni kolicnik 1,00027≈ 1) v vodo alisteklo ali kako drugo prozorno sredstvo z lomnim kolicnikomn lahko zapišemolomni zakon takole:

sinα

sinβ= n.

Saj je sedajn1 = 1 in n2 = n, tako da jen2/n1 = n.

3.1 Popolni (totalni) odboj

Pri prehodu iz svetlobe iz opticno gostejšega sredstva v opticno redkejše (npr. izvode v zrak) se svetloba lomi stran od vpadne pravokotnice.

• Iz svetila pod vodo (n1 = n) padajo žarki z vodne strani na vodno gladino inse lomijo v zrak (n2 = 1). Izracunajmo kot žarka v zraku (β ), ce oklepa v vodi(n = 4/3) z vpadno pravokotnico koteα = 40, 48, 49 in 50 stopinj!

◦ Iz lomnega zakona sinα/sinβ = n2/n1 = 1/n dobimo sinβ = n sinα; odtod imamo:α = 40◦, sinβ = 0,857 inβ = 59◦; α = 48◦, sinβ = 0,991 inβ = 82◦;α = 49◦, sinβ = 1,0 in β = 90◦; pri α = 50◦ bi dobili sinβ = 1,02 – toda sinus nipri nobenem kotu vecji od 1! Po lomnem zakonu za ta vpadni kot ni na razpolagonobene smeri za žarek v zraku. Ali svetloba, ki prihaja z vodne strani pod takimkotom na vodno gladino, sploh more skozi gladino?

S poskusi ugotovimo, da se svetloba vse do kota 49◦ iz vode lomi v zrak. Koje vpadni kotα blizu 49◦, poteka žarek v zraku skoraj vodoravno,β je blizu 90◦.Ko pa prekoracimo mejni kot(49◦), žarek v zraku izgine. Vsa svetloba se odbije

5

nazaj v vodo. Pojav imenujemopopolni (totalni) odboj. Vpadni kot, pri kateremse to zgodi, imenujemomejni kot popolnega odboja.

• Izracunajmo mejni kot popolnega odboja za prehod iz sredstva z lomnimkolicnikomn1 v sredstvo z lomnim kolicnikomn2. Ce naj dobimo popolni odboj,mora seveda bitin1 > n2.

◦ Mejni vpadni kotα0 je dolocen tako, da je lomni kot (β ) ravno enak 90◦.Tedaj je po lomnem zakonu sinα0/sin90◦ = sinα0 = n2/n1. Pri prehodu iz vode(lomni kolicnik n1 = n) v zrak je sinα0 = n2/n1 = 1/n = 1/(4/3) = 3/4 in α0 =arcsin3/4 = 49◦, kakor smo že ugotovili.

Racun se da obrniti: z merjenjem mejnega kota lahko dolocimo lomni kolicnik.Pri prehodu svetlobe iz stekla v zrak namerimoα0 = 41◦. Za mejni kot je sinα0 =1/n, od koder dobimon = 1/sinα0 = 1/sin41◦ = 1,52. Lomni kolicnik najvec-krat merijo na ta nacin.

Totalni odboj se uporablja v opticnih instrumentih za spreminjanje smeri svet-lobnega curka, npr. v daljnogledih, mikroskopih, v periskopih itn. (slika 6).

Slika 6: Totalni odboj v prizmi. (a) Sprememba smeri žarka za 90 stopinj. (b)Žarku obrnemo smer. (c) Periskop: z dvema prizmama svetlobni curek vzporednopremaknemo.

Na totalnem odboju temelji tudi vodenje svetlobe v opticnih vlaknih (slika 7).

3.2 Planparalelna plast

Z vzporednim curkom svetlobe poševno posvetimo na enakomerno debelo stek-leno plošcico (“planparalelno plast”) z lomnim kolicnikomn (slika 8). Opazimo,

6

Slika 7: Opticni vodnik: zaradi totalnih odbojev na stenah vodnika svetloba vod-nika ne more zapustiti, tudi kadar je ta ukrivljen, ampak potuje vzdolž vodnika.

da je svetlobni curek, ki izhaja iz plošcice, vzporeden z vpadnim curkom, a pre-maknjen. To brez težav razumemo,ce dvakrat zaporedoma uporabimo lomni za-kon. Brez racunanja zapišimo, da je pri plošcici z debelinoh in lomnim kolicnikomn (tako da jen1 = 1 in n2 = n) pri vpadnem kotuα vzpredni premik curka enak

d = h sinα

(1− cosα√

n2−sin2α

).

Slika 8: Premik curka pri prehodu skozi planparalelno plast.

4 Prizma

Prizmo smo že nekajkrat srecali. Newton je uporabil prizmo, da je z njo razklo-nil belo svetlobo na njene mavricne sestavine. Radi bi ugotovili, kako pride do

7

razklona oz. kako se curek, ki vpada na prizmo, odkloni od prvotne smeri.Sklepamo, da je odklon svetlobnega curka (δ ) odvisen od prizme – od lom-

nega kolicnika (n) snovi, iz katere je prizma, in od njene oblike – ter od vpadnegakota (α).

Zaradi enostavnosti se bomo zanimali samo za simetricen prehod curka mo-nokromaticne svetlobe skozi prizmo (slika 9). Zaznamujmo kót ob vrhu prizmes Φ (imenujemo galomeci kot). Izkaže se, da je pri simetricnem prehodu odkloncurka najmanjši (δmin) in enak

δmin = 2 arcsin(n sin12

Φ)−Φ.

Odklon je tem vecji, cim vecji je lomni kolicnik n.

Slika 9: Odklon curka pri simetricnem prehodu skozi prizmo.

Pri zelo tanki (ploski) prizmi (Φ � 1) se gornji izraz poenostavi in za odklondobimo

δmin = (n−1)Φ.

Odklon curka je odvisen od lomnega kolicnika; ker je ta odvisen od valovnedolžine, je tudi odklon odvisen od nje – vecji ko je n, vecji je odklon. Slika10 kaže odvisnost lomnega kolicnika od valovne dolžine;n z narašcajoco valovnodolžino pada. Zato se pri razklonu bele svetlobe na prizmi najmanj odkloni rdeca,najbolj pa vijolicna svetloba. To izkorišcajo spektrometri na prizmo.

8

Slika 10: Lomni kolicnik v odvisnosti od valovne dolžine za tri snovi, kremenovosteklo, akrilno steklo in steklo brez svinca.

5 Zrcala

Ko postavimo pred zrcalo sveco, skorajda ne vidimo, kje zadeva svetloba površinozrcala. Pac pa v zrcalu zagledamo sveco. Zdi se, ko da bi bila za zrcalom še enasveca in da od nje prihaja svetloba. Pravimo, da je tamslika svece. Za vsakpredmet, ki ga postavimo pred zrcalo, dobimo zrcalno sliko.

Geometrijska optika se najvec ukvarja spreslikavami: Neko telo (predmet) zzrcalom ali leco preslikamo (upodobimo) v sliko.

Kako nastane zrcalna slika predmeta? Zakaj se vidimo v zrcalu?Svetloba, ki pada na predmet, se na njem razpršuje in gre z vsakega mesta

narazen na vse strani. V zrcalu vidimo sliko tega mesta na predmetu tako, kakorsmo prej videli sliko svetila. Slike vseh mest na predmetu dajo skupaj sliko celot-nega predmeta, ki je pri ravnem zrcalu enaka kakor predmet pred zrcalom. Samostrani sta zamenjani – kar je pri predmetu na levi, je pri sliki na desni in obratno(slika 11).

To je povezano ssimetrijo: predmet in njegova slika ležita simetricno gledena zrcalo. Taki simetriji pravimozrcalnasimetrija, zrcalo predstavljasimetrijskoravnino.

Poleg ravnih zrcal se veliko uporabljajo tudi ukrivljena zrcala. Ta imajo naj-veckrat obliko krogelne kapice. Pravimo, da je zrcalokonveksno, ce se svetlobaodbija na izboceni strani. Prikonkavnemzrcalu se svetloba odbija na vdrti strani.Primer konveksnega zrcala so prometna zrcala, primer konkavnega imamo v av-tomobilskih žarometih.

9

Slika 11: “Vecina ogledal zamenja levo in desno. Ta pa zgoraj in spodaj!?”

5.1 Ravna zrcala

Kako nastane slika predmeta pri ravnih zrcalih? Sliki 12a in 12b sta geometrijskikonstrukciji, ki kažeta upodobitev predmeta v sliko. Povedali smo že, da slikopredmeta sestavljajo slike vseh tock predmeta. Slike posameznih tock dobimoz odbojnim zakonom (slika 12a). Žarki, ki izhajajo iz neke tocke (P na sliki12a), se po odboju na zrcalu razpršijo in se nikoli ne zberejo nazaj v eno tocko.Podaljškiteh na zrcalu odbitih žarkov pa se zberejo v eni tocki (S na sliki 12a);tam nastane slika (upodobitev) prvotne tocke. Dobili smo preslikavoP→ S. Izsimetrije vidimo, da je razdalja predmetaP od zrcala (a) enaka razdalji slikeSodzrcala (b): a = b.

Ce znamo preslikati eno tocko, znamo preslikati ves predmet. Seveda nam nitreba risati vseh žarkov, ampak se omejimo le na nekaj zancilnih, iz katerih lahkopotem povzamemo vso sliko.

Na sliki 12b smo upodobili le najbolj zgornjo tocko predmeta (vrh pušcice).Za to zadošcata že dva žarka: eden, ki pade na zrcalo pod pravim kotom in seodbije vase, ter še en žarek – mi smo ga izbrali tako, da vpada na zrcalo “pri tleh”.Slika nastane v presecišcu podaljškovobeh žarkov.Ce bi narisali vec žarkov, bise podaljški vseh sekali v isti tocki – v sliki upodobljene tocke.

Upodobitev najbolj spodnje tocke bi potekala na enak nacin kakor upodobitevnajbolj zgornje. Zgornja in spodnja tocka sta skrajni tocki na predmetu, vse drugeso vmes; isto velja za tocke slike. Na sliki 12b je prikazana upodobitev predmetaP v sliko P′, za konstrukcijo katere sta nam zadošcala samo dva znacilna žarkazgornje tocke. Z risanjem dodatnih žarkov se lahko brez težav prepricamo, da je

10

Slika 12: (a) Preslikava predmeta v sliko na ravnem zrcalu. Iz tocke (P) na vsestrani izhajajo žarki. Na zrcalu se snop žarkov odbije; v sliki (S) se sekajo po-daljški odbitih žarkov. (b) Geometrijska konstrukcija, s katero poišcemo upodo-bitev predmeta (P) v sliko (P′).

upodobitev vsake tocke predmeta dolocena s presecišcem podaljškov tistih žarkov,ki izhajajo iz tocke predmeta in se odbijajo na zrcalu.

Pri upodabljanju bomo slike predmetov opredelili s tremi osnovnimi znacil-nostmi:

i) Ali je slika prava(realna) ali navidezna(virtualna)?ii ) Ali je slika pokoncnaali obrnjena?iii ) Ali je slika povecanaali pomanjšana?

Ce se žarki, ki izhajajo iz neke tocke (P), po odboju na zrcalu ali po prehoduskozi leco vsi sekajo v eni tocki (P′), je tockaP′ prava slika tockeP. TockaP′ jenavidezna slika,ce se v njej sekajopodaljškižarkov, ki izhajajo iz tockeP.

Kaj pomeni, da je slika pokoncna ali obrnjena, povecana ali pomanjšana, nitreba posebej razlagati.

Za preslikave z ravnim zrcalom ugotovimo: slika je vedno navidezna (saj sesekajo podaljški žarkov), pokoncna in enako velika kakor predmet.

Kako lahko z ocmi vidimo navideznosliko, ki je nastala “za” ravnim zrcalomin ni nic drugega kakorgeometrijska konstrukcijapodaljškov tam, kjer v resnicisploh ni nobenih žarkov? – Ko gledamo navidezno sliko, vpadajo v oko od zrcalaodbiti žarki na popolnoma enak nacin (ce odmislimo nepopolnosti zrcala), kakorda bi izhajali iz pravega predmeta, ki bi stal na mestu slike. Oko ne more lociti“pravega predmeta” od navidezne slike,ce v obeh primerih vpada vanjnatancno

11

enaka svetloba (ce odmislimo nepopolnosti upodobitve).Ce pa je vidna informa-cija, ki jo prejema oko, v obeh primerih (pri “pravem” predmetu in pri navideznisliki) enaka, je enak ves proces gledanja in s tem tudi vidni vtis.

• Kako “se vidimo” v ogledalu? Kako veliko mora biti ravno zrcalo, da se vnjem ravno v celoti vidimo?

◦ Na sliki 13 sta prikazana dva žarka, ki vpadata v naše oko: žarek z vrhaglave in žarek s stopal. Žarki z vseh drugih (“vmesnih”) delov telesa, ki dospejodo naših oci, leže v snopu med tema skrajnima žarkoma.

Iz geometrijske konstrukcije je razvidno, da se ravno še v celoti vidimo vravnem zrcalu, ki je pol tako visoko kakor mi. To je neodvisno od tega, kakodalec od zrcala stojimo.

Slika 13: Kako veliko ogledalo potrebujemo, da se v njem v celoti vidimo?

12

5.2 Krogelna zrcala

Vrnimo se h krogelnim (sfernim) zrcalom. Krogelno zrcalo dobimo,ce del stek-lene krogelne ploskve prevlecemo s kovinsko plastjo. Prikonkavnem(vbocenem,zbiralnem) zrcalu je predmet na vdrti strani, prikonveksnem(izbocenem, razpršil-nem) zrcalu pa je predmet na izboceni strani. Središce krogle, katere del je zrcalo,imenujemokrivinsko središce, radij krogle pakrivinski radij. Premica, ki greskozi krivinsko središce in teme krogelnega zrcala, se imenujeopticna os.

Konkavno krogelno zrcalo

Posvetimo na konkavno krogelno zrcalo s curkom vzporednih žarkov, ki tecejovzporedno z opticno osjo. Žarki se na zrcalu odbijejo po odbojnem zakonu inpokaže se, da se vsi sekajo v eni tocki na opticni osi (slika 14). To tocko imenu-jemogorišcein zaznamujemo zF . Lega gorišca je seveda odvisna od krivinskegaradija (r) zrcala. Dá se izracunati, da jegorišcna razdalja( f ), to je razdalja gorišcaod zrcala, enaka

f =12

r.

Potek nekega žarka lahko obrnemo.Ce vpada žarek na zrcalo tako, da gre skozigorišce, se odbije tako, da tece vzporedno z opticno osjo.

Slika 14: Upodobitev predmeta s konkavnim krogelnim zrcalom. (a) Krivinskosredišce zrcala (C) je med predmetom in zrcalom. Iz poteka žarkov dobimo sliko,ki je prava, obrnjenain pomanjšana. (b) Fotografija predmeta (svece) in njegoveslike.

13

Žarek, ki gre skozi krivinsko središce, imenujemosredišcni žarek. Tak žarekvpada na zrcalo vedno pravokotno, zato se odbije vase.

Pri “temenskem žarku”, tj. žarku, ki pada v teme zrcala, je vpadna pravokot-nica kar opticna os. Zato vpadni in odbiti žarek z opticno osjo oklepata enak kot.

Zanima nas upodabljanje s konkavnim zrcalom. Pomagamo si z risbo, nakateri dolocimo, kje nastane slika, kako je obrnjena in kako velika. Gorišce bomovedno zaznamovali zF in gorišcno razdaljo zf , velikost predmeta zy in razdaljopredmeta od zrcala za ter velikost slike zy′ in razdaljo slike od zrcala zb.

Na risbi predstavimo predmet kot pušcico, ki jo postavimo z dnom na op-ticno os in pravokotno nanjo. Za konstrukcijo slike zadošca, da potegnemo nekajžarkov, ki izhajajo iz konice pušcice. Risali bomo nekaj znacilnih žarkov: žarek,ki je vzporeden z opticno osjo, se odbije tako, da gre skozi gorišce; smer žarkasmemo obrniti, zato: žarek, ki gre skozi gorišce, je po odboju vzporeden z opticnoosjo; žarek, ki vpada na teme, se odbije simetricno glede na opticno os; središcnižarek se odbije vase. Vsi ti žarki se sekajo v eni tocki. Tudi drugi žarki, ki izvirajoiz konice pušcice in jih ne narišemo, bi šli skozi isto tocko. Tam je slika konicepušcice. Na enak nacin bi lahko dobili slike vseh drugih delov predmeta in s temsliko celotnega predmeta.

Izkaže se, da obstaja enacba, ki povezuje gorišcno razdaljo zrcala z razdaljopredmeta in slike od zrcala; imenujemo joenacba zrcala:

1a

+1b

=1f.

Za predmet, ki je dalec pred zrcalom, pravimo, da jeneskoncno oddaljenoziromada jev neskoncnosti; “dalec” pomeni, da jea� f . Slika “neskoncno oddaljenegapredmeta” nastane v gorišcni ravnini.

S konkavnim zrcalom lahko dobimo prave in navidezne slike.Ce postavimopredmet pred gorišce, je slika prava;ce ga postavimo med zrcalo in gorišce, jeslika navidezna.

Slika 14 kaže upodobitev predmeta, ki stoji pred krivinskim središcem (torejdalj od dvojne gorišcne razdalje). Na sliki smo narisali tri žarke:

- Žarek 1 tece z vrha predmeta vzporedno z opticno osjo in se na zrcalu odbijetako, da gre skozi gorišceF .

- Žarek 2 gre z vrha predmeta skozi gorišce in se odbije vzporedno z opticnoosjo.

- Žarek 3 gre z vrha predmeta skozi krivinsko središce in se odbije nazaj vase.

14

Za konstrukcijo slike bi si lahko izbrali tudi kake druge žarke (npr. žarek,vzporeden z opticno osjo, temenski žarek in žarek skozi gorišce). Iz poteka žarkovje razvidno, kje in kakšna slika nastane: slika je prava (saj nastane kot presecišcežarkov), obrnjena in pomanjšana.

Na sliki 15 stoji predmet med zrcalom in gorišcem. Vidimo, da gredo žarki,ki izhajajo iz konice pušcice, po odboju na zrcalu narazen. Torej se ne sekajo; pacpa se secejo njihovi podaljški. Zato dobimo navidezno sliko (za zrcalom), ki jepokoncna in povecana.

Slika 15: Upodobitev predmeta s konkavnim krogelnim zrcalom, predmet je medgorišcem in zrcalom. (a) Potek žarkov kaže, da je slikanavidezna, pokoncnain povecana. Slika nastane kot presecišce podaljškovžarkov za zrcalom. (b)Fotografija predmeta (svece) in slike.

Žal je tu potrebna pripomba glede predznakov kolicin a, b in f v enacbi zrcala.Razdalja predmeta od zrcala (a) je vedno pozitivna. Razdaljo slike od zrcala (b)pa štejemo kot pozitivno,ce nastane slika pred zrcalom (prava slika), toda kotnegativno, ce nastane slika za zrcalom (navidezna slika). V tabeli 1 so prikazanevse možnosti za predznake tako za konkavna kakor tudi za konveksna zrcala.

Tabela 1Predznaki zab in f v enacbi zrcala

b je +, ce je slika pred zrcalom (prava slika)b je−, ce je slika za zrcalom (navidezna slika)

f in r sta+, ce je krivinsko središce pred zrcalom (konkavno zrcalo)f in r sta−, ce je krivinsko središce za zrcalom (konveksno zrcalo)

15

Konveksno krogelno zrcalo

Ko posvetimo na konveksno krogelno zrcalo s curkom vzporednih žarkov, kitecejo vzporedno z opticno osjo, se žarki na zrcalu odbijejo po odbojnem zakonu;vidimo, da gredo narazen in se nikoli ne sekajo. Pac pa se pokaže, da sepodaljškižarkov sekajo vsi v eni tocki na opticni osi za zrcalom. To tocko imenujemogorišce(F). Tudi sedaj velja, enako kakor pri konkavnem zrcalu, da jef = 1

2 r.Potek žarka lahko obrnemo.Ce vpada žarek na zrcalo tako, da bi šel njegov

podaljšek skozi gorišce (za zrcalom), se dejansko odbije tako, da je odbiti žarkvzporedno z opticno osjo.

Žarek, katerega podaljšek gre skozi krivinsko središce (za zrcalom) (središcnižarek), vpada na zrcalo pravokotno in se odbije vase.

Pri “temenskem žarku”, tj. žarku, ki pada v teme zrcala, je vpadna pravokot-nica opticna os in zato vpadni in odbiti žarek oklepata z opticno osjo enak kot.

S konveksnim zrcalom lahko dobimo le navidezne, pokoncne in pomanjšaneslike. Slika 16 kaže primer upodobitve predmeta s konveksnim zrcalom.

Slika 16: Upodobitev predmeta s konveksnim krogelnim zrcalom. (a) Iz po-daljškov žarkov dobimo sliko, ki jenavidezna, pokoncnain pomanjšana. (b)Fotografija predmeta (svece) in slike.

6 Lece

Lece so telesa iz prozorne snovi (navadno stekla) z lomnim kolicnikomn. Ploskvi,ki omejujeta leco, sta pogosto krogelni kapici s krivinskima radijemar1 in r2.

16

Vcasih je ena od mejnih ploskev ravna. Skozi obe krivinski središci greopticnaos lece (slika 17).

Slika 17: Razlicne vrste lec. Prve tri lece (bikonveksna, plankonveksna inkonkavno konveksna) so zbiralne, druge tri (bikonkavna, plankonkavna in kon-veksno konkavna) so razpršilne. Pri prvi leci smo zaznamovali krivinska radijar1

in r2.

Steklene lece so bistveni sestavi del mnogihopticnih priprav, kakor so lupa,ocala, mikroskop, daljnogled, fotoaparat itn. Vcasih rabimozbiralne lece, ki sona sredini debelejše kakor na robovih, vcasih parazpršilnelece, ki so tanjše nasredini in debelejše ob robovih. Pogosto potrebujemo kombinacijo enih in drugihlec.

Zaradi enostavnosti bomo obravnavali le tanke lece, pri katerih je debelinamajhna v primerjavi s krivinskima radijema.

Žarki se na leci dvakrat lomijo, pri vstopu v leco in pri izstopu iz nje. Kako sežarki pri prehodu skozi leco odklonijo od prvotne smeri, je odvisno od snovi, izkatere je leca (od lomnega kolicnikan) in od oblike lece (krivinskih radijevr1 inr2). V naslednjih razdelkih bomo ugotovili potek nekaterih znacilnih žarkov skozizbiralne in skozi razpršilne lece.

6.1 Zbiralna leca

Vzemimo tanko bikonveksno leco in posvetimo nanjo s curkom z opticno osjovzporednih žarkov. Vidimo, da se vsi žarki za leco zberejo v eni tocki – v gorišcuF2 (slika 18).Gorišcna razdalja fje razdalja med leco in gorišcem.Ce posvetimona leco s curkom vzporednih žarkov vzdolž opticne osi z nasprotne strani, se žarki

17

spet zberejo v eni tocki – gorišcu F1. Vsaka leca ima tako dve gorišci. Gorišcnarazdalja je na obeh straneh enaka (f ).

Slika 18: Curek z opticno osjo vzporednih žarkov vpada na zbiralno leco. Žarkise po prehodu skozi leco zberejo v gorišcu (F2 ali F1). Gorišcna razdalja je naobeh straneh enaka (f ).

Gorišcna razdalja je odvisna od lastnosti lece – od snovi, iz katere je leca (odlomnega kolicnika n), in od njene oblike (od krivinskih radijevr1 in r2). Brezdokaza zapišimo izraz za gorišcno razdaljof :

1f

= (n−1)(

1r1

+1r2

).

Pripomnimo, da velja gornja enacba le za leco v zraku z lomnim kolicnikom 1. Vvodi ima enaka leca drugacno gorišcno razdaljo, ker je drugacen lomni kolicnik okol-nega sredstva – vode. Splošno lahko zapišemo, da je gorišcna razdaljafn′ lece z lomnimkolicnikomn v sredstvu z lomnim kolicnikomn′ enaka

1fn′

= (nn′−1)

(1r1

+1r2

)=

n−n′

n′(n−1)· 1

f1.

(Z f1 smo zaznamovali gorišcno razdaljo lece v zraku.) Lahko se zgodi, da dobimo zagorišcno razdaljofn′ negativno vrednost,ceprav jef1 pozitivna. Pozneje bomo videli, dato pomeni, da je postala leca, ki je zbiralna v zraku (f1 > 0), v snovi z lomnim kolicnikomn′ razpršilna (fn′ < 0). Torej odloca o tem, ali je neka leca zbiralna ali razpršilna, tudilomni kolicnik snovi, ki obdaja leco.

Kaj se pri prehodu skozi leco zgodi s središcnim žarkom? Središcni žarek nespremeni svoje smeri. (Srednji del lece deluje kot planparalelna plošcica, ki samovzporedno premakne žarek.Ce je plošcica tanka, je premik zanemarljivo majhen.)

18

Povzemimo potek žarkov pri zbiralni leci: Žarek, ki je vzporeden z opticnoosjo, se lomi skozi gorišce na nasprotni strani lece. Žarek, ki pride skozi gorišce,se lomi tako, da tece vzporedno z opticno osjo. Središcni žarek ne spremeni smeri.

Upodabljanje z zbiralno leco

Upodabljanje predmeta v sliko je pri lecah cisto podobno kakor pri zrcalih.Sliko izbrane tocke na predmetu poišcemo tako, da narišemo nekaj znacilnihžarkov, ki izhajajo iz nje, in ugotovimo, kako potekajo pri prehodu skozi leco. Cese vsi žarki iz opazovane tocke na predmetu po prehodu skozi leco spet zberejo veni tocki, je toslika tiste tocke.

Slika 19: Upodabljanje z zbiralno leco. (a) Predmet stoji pred gorišcem; lecaustvari pravo in obrnjeno sliko. Slika je pomanjšana,ce je predmet dalj od dvoj-ne gorišcne razdalje, in povecana,ce je predmet med enojno in dvojno gorišcnorazdaljo. (b) Ce postavimo predmet med leco in gorišce, dobimo navidezno,pokoncno in povecano sliko.

Na slikah, ki bodo kazale upodabljanje z lecami, bomo uporabljali enake oz-nake kakor pri zrcalih.

Pokaže se, da imamo kakor pri zrcalih tudi pri lecah enacbo –enacbo lece– kipovezuje gorišcno razdaljo (f ) ter oddaljenost predmeta od lece (a) in oddaljenostslike od lece (b). Enacba je enaka kakor za zrcala:

1a

+1b

=1f.

Gorišcno razdaljo lece torej najlaže dobimo tako, da upodobimo “neskoncno odd-aljen” predmet; tedaj jea→ ∞ in ocitno b = f : slika nastane v gorišcni ravnini,iz cesar lahko odmerimo gorišcno razdaljo.

Slike bomo konstruirali tako, da bomo iz tocke na vrhu predmeta narisali triznacilne žarke (glej sliko 19):

19

- Žarek 1, ki je vzporedno z opticno osjo, gre po prehodu skozi leco skozigorišce.

- Žarek 2 je središcni žarek, ki pri prehodu skozi leco ne spremeni smeri.- Žarek 3 gre skozi gorišce in se lomi tako, da gre vzporedno z opticno osjo.

Kakor pri zrcalih bodo tudi pri upodobitvah z lecami slike lahko prave alinavidezne, pokoncne ali obrnjene ter povecane ali pomanjšane. Z zbiralno lecolahko dobimo tako prave kakor tudi navidezne slike. Na sliki 19 sta predstavljenadva tipicna primera upodobitve z zbiralno leco.

6.2 Razpršilna leca

Posvetimo s curkom z opticno osjo vzporednih žarkov na tanko bikonkavno leco.Vidimo, da se žarki pri prehodu skozi leco razpršijo. Hkrati ugotovimo, da senjihovi podaljški zberejo vsi v eni tocki na strani vpadnih žarkov – vgorišcuF1 (slika 20). Gorišcna razdalja f je spet razdalja med leco in gorišcem. Ceposvetimo na leco z nasprotne strani, se zgodi isto: žarki, ki gredo skozi leco, serazpršijo, njihovi podaljški pa se spet zberejo v gorišcu (F2) na strani vpadnegacurka. Tudi razpršilne lece imajo dve gorišci, gorišcna razdalja (f ) je na obehstraneh enaka.

Slika 20: Curek z opticno osjo vzporednih žarkov vpada na razpršilno leco. Žarkise po prehodu skozi leco razpršijo tako, da se njihovi podaljški zberejo v gorišcuna strani vpadnega curka (F2 ali F1). Gorišcna razdalja je na obeh straneh enaka( f ).

Za razpršilne lece veljajo enake enacbe kakor za zbiralne. Vendar moramo bitipozorni na predznak nekaterih kolicin (r1, r2, a, b in f ), ki so lahko pozitivne ali

20

negativne (tako pri zbiralnih kakor tudi pri razpršilnih lecah). Naredimo podobnokakor pri zrcalih preglednico (Tabela 2), v katerih bo razvidno, kakšen je predznakteh kolicin.

V tabeli 2 so prikazane vse možnosti za predznake tako za konkavne kakortudi za konveksne lece.

Tabela 2Predznaki zab in f v enacbi lece

b je +, ce je slika za leco (prava slika)b je−, ce je slika pred leco (navidezna slika)

f je + pri zbiralnih lecahf je− pri razpršilnih lecah

Pri racunanju gorišcne razdalje iz enacbe 1/ f = (n−1)(1/r1 +1/r2 velja, daje krivinski radij kake ploskve pozitiven,ce je leca med ploskvijo in ustreznimkrivinskim središcem.Ce je ploskev med leco in ustreznim krivinskim središcem,pa je krivinski radij negativen.

Upodabljanje z razpršilno leco

Slike bomo pri razpršilnih lecah konstruirali enako kakor pri zbiralnih. Iztocke na vrhu predmeta bomo narisali tri znacilne žarke (glej sliko 21):

- Žarek 1, ki je vzporedno z opticno osjo, se pri prehodu skozi leco lomi tako,kakor da bi prihajal iz gorišca na vpadni strani.

- Žarek 2 je središcni žarek, pri prehodu skozi leco ne spremeni smeri.- Žarek 3, ki vpada na leco v smeri proti gorišcu na nasprotni strani lece, se

lomi tako, da gre vzporedno z opticno osjo.

Z razpršilno leco dobimo vedno le navidezne slike. Slika nastane na stranipredmeta tam, kjer se sekajopodaljškižarkov, ki gredo skozi leco. Sliki 21 kažeprimer upodobitve z razpršilno leco.

Naredimo dva primera.

• Z zbiralno leco z gorišcno razdaljo 10cm upodobimo predmet, ki ga postavimo(a) 30cm, (b) 10cm in (c) 5cm pred leco. Kje in kakšne slike dobimo?

◦ Bralcu prepušcamo nalogo, da nariše skico upodobitve predmeta (slika 19ain b). Kakšna slika predmeta se pokaže na skici?

21

Slika 21: Upodobitev z razpršilno leco. Slika je navidezna, pokoncna in pomanj-šana.

(a) Iz enacbe lece, 1a + 1

b = 1f , izrazimo1

b = 1f −

1a; ko vstavimof = 10cm in

a = 30cm, dobimob = 15cm. Pozitiven predznak zab pomeni, da nastane slikaza leco in da je slika prava. Iz podobnosti trikotnikov razberemo, da jey/a= y′/bin tedajy′/y = b/a = 15cm/30cm= 0,5cm. Slika je pomanjšana, je polovicotako visoka kakor predmet. Pozitiveny′ pomeni, da je slika obrnjena, kar vidimotudi iz skice.

(b) Predmet smo postavili v gorišce lece (a= f ). Tedaj nastane slika v neskoncnosti(b→ ∞). Bralcu priporocamo, da nariše sliko.

(c) Predmet stoji med gorišcem in leco. Enacba lece za ta primer pove, daje b = −10cm. Negativenb pomeni, da nastane slika na isti strani kakor pred-met; slika je navidezna. Iz podobnih trikotnikov (slika 19b) vidimo, da je|y′|/y=|b|/a= 2. Slika je dvakrat vecja od predmeta, leca dá dvakratno povecavo. Vidimo,da jey′ = y(b/a) po predznaku negativen; slika je torej pokoncna.

• Z razpršilno leco z gorišcno razdaljo−20cm upodobimo 2cm visok pred-met, ki ga postavimo 30cm, pred leco. Kje in kakšno sliko dobimo?

◦ Bralcu spet toplo priporocamo, da nariše skico (slika 21). Iz enacbe lece1a + 1

b = 1f dobimob=−12cm. Negativen predznak zab pomeni, da nastane slika

pred leco; slika je navidezna in pokoncna. Iz podobnosti trikotnikov (slika 21)razberemo, da je|y′|/y = |b|/a = 12/30= 0,4. Slika torej meri 0,8cm.

Ne bomo se spušcali v nepopolnosti pri upodabljanju z zrcali in z lecami (znapakami zrcal in lec).

22

7 Opticne priprave

7.1 Oko

O ocesu nas bo poducil seminar.

7.2 Lupa

Lupo je zbiralna leca, ki jo uporabljamo kot povecalo. Lupa naredi povecanosliko predmeta, tako da z njo gledamo navidezno povecan predmet. Zanima nas,kolikšna je povecava lupe.

Z zdravim ocesom lahko gledamo predmete na razdaljah od neskoncnosti donekako 10 centimetrov. Oko se mora gledanju na razlicnih razdaljah prilagoditi(akomodirati). Najbolj udobno je gledanje na razdalji nekako 25cm. Razdaljoa0 = 25cm so poimenovalinormalna vidna razdalja.

Majhen predmet, ki ga postavimo v normalno vidno razdaljo, vidimo podzornim kotomϕ, za katerega velja tgϕ = y/a0 (slika 22). Ce bi predmet gledalibolj od blizu, bi bil zorni kot vecji, a bi teže gledali, ker bi morali oko bolj nape-njati. Z lupo (zbiralna leca z gorišcno razdaljof ) lahko povecamo zorni kot, neda bi obremenjevali oko.

Slika 22: (a) Tangens zornega kota, pod katerim vidimo predmet na razdaljia0 =25cm, je tgϕ = y/a0. (b) Predmet, ki ga gledamo z lupo, lahko postavimo vgorišcno ravnino. Skozi lupo vidimo predmet pod zornim kotomϕ ′.

Navadno uporabljamo lupo tako, da postavimo predmet v gorišcno ravnino.Tedaj so žarki, ki izhajajo iz posamezne tocke na predmetu, na drugi strani lecevzporedni. Opazovalcu se tedaj zdi, da prihajajo žarki iz neskoncnosti: dobimonavidezno sliko v neskoncnosti in oko prilagodimo na neskoncnost.

Ko gledamo predmet skozi lupo, ga vidimo pod zornim kotomϕ ′. Iz slike 22bvidimo, da je tgϕ ′ = y/ f ; spomnimo se, da je pri opazovanju predmeta s prostim

23

ocesom tgϕ = y/a0. PovecavoM lupedefiniramokot razmerje obeh tangensov,torej

M =tgϕ ′

tgϕ=

y/ fy/a0

= a0/ f .

Seveda lahko postavimo predmet, ki ga gledamo z lupo, tudi med lupo in njenogorišce (slika 19b). Tedaj dobimo navidezno, pokoncno in povecano sliko, ki jogledamo z ocesom (povecava|y′|/y = |b|/a). Slika nastane v koncni razdalji (b),na katero moramo prilagoditi oko.

7.3 Daljnogled

Z daljnogledom povecamo zorne kote zelo oddaljenih predmetov. (Seveda z dalj-nogledom ne dobimo povecane slike, npr. oddaljene zvezde. Slika je pomanjšana;a zorni kot pri gledanju z daljnogledom je vecji kakor pri gledanju s prostim oce-som.)

V najpreprostejši izvedbi sestavljata daljnogled dve zbiralni leci, objektiv(go-rišcna razdaljaf1) in okular (gorišcna razdaljaf2), ki sta namešceni na skupniopticni osi vsaka na enem koncu cevi; razdaljo med objektivom in okularjem lahkospreminjamo (slika 23).

Slika 23: Potek žarkov v daljnogledu.

Proti opazovanemu predmetu usmerimo objektiv, ki ustvari v svoji gorišcniravnini pravo, obrnjeno in pomanjšano sliko (saj je predmet “v neskoncnosti”)velikosti y′. To sliko gledamo z okularjem, ki ga uporabljamo kot lupo: okularnamestimo na razdaljif2 od slike, tako da je slikay′ tudi v njegovi gorišcni ravnini.Slika slikey′, ki jo da okular, je v neskoncnosti, vidimo jo pod zornim kotomϕ ′.

Povecavo daljnogledaM spet definiramo kot razmerje tangensa zornega kotaϕ ′, pod katerim vidimo predmet skozi daljnogled, in tangensa zornega kotaϕ, pod

24

katerim vidimo predmet s prostim ocesom. Iz slike 23 razberemo, da je tgϕ =y′/ f1 in tgϕ ′ = y′/ f2, tako da je povecava

M =tgϕ ′

tgϕ=

y′/ f2y′/ f1

= f1/ f2.

• Daljnogled z objektivom z gorišcno razdaljo f1 = 1m in z okularjem zgorišcno razdaljof2 = 2cm da 50-kratno povecavo.

7.4 Mikroskop

Z mikroskopom delamo povecane slike bližnjih majhnih predmetov.V najpreprostejši izvedbi je tudi mikroskop sestavljen iz dveh zbiralnih lec,

objektiva(gorišcna razdaljaf1) in okularja(gorišcna razdaljaf2), ki sta namešcenina skupni opticni osi vsaka na enem koncu cevi. Razdaljo med objektivom inokularjem lahko spreminjamo (slika 24).

Slika 24: Potek žarkov v mikroskopu.

Opazovani predmet (velikostiy) postavimo pred objektiv med enojno in dvoj-no gorišcno razdaljo, tako da nastane prava, obrnjena in povecana slika velikostiy′. To sliko gledamo z okularjem, ki spet služi kot lupa: okular namestimo narazdalji f2 od slike, tako da je slikay′ v njegovi gorišcni ravnini. Slika slikey′, kijo da okular, je v neskoncnosti in jo vidimo pod zornim kotomϕ ′.

25

Povecava mikroskopaM je razmerje tangensa zornega kotaϕ ′, pod katerimvidimo predmet skozi mikroskop, in tangensa zornega kotaϕ, pod katerim bi gavideli s prostim ocesom v normalni vidni razdaljia0. Od prej vemo (podrazdeleko lupi), da je tgϕ = y/a0, iz slike 24 pa razberemo, da je in tgϕ ′ = y′/ f2. Nadaljeiz podobnosti trikotnikov razberemo, da jey/ f1 = y′/(b− f1); zaznamujmox =b− f1, pa dobimo tgϕ ′ = y′/ f2 = xy/ f1 f2. Potemtakem je povecava

M =tgϕ ′

tgϕ=

xy/ f1 f2y/a0

= xa0/ f1 f2.

• Mikroskop, ki ima f1 = 1,5mm, f2 = 2,5cm terx = 15cm, poveca “1000-krat”. Pri tem naredi objektiv 100-krat povecano pravo sliko (y′/y = x/ f1 =15cm/0,15cm= 100), okular pa to sliko poveca še “10-krat”, saj jea0/ f2 =25cm/2,5cm= 10.

26