Upload
rahsarah
View
398
Download
44
Embed Size (px)
DESCRIPTION
teorema limit pusat
Citation preview
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
4.3 Konvergen dalam Distribusi
Pada Subbab 4.2 telah dibahas konsep ”konvergen dalam peluang” yang dapat digunakanuntuk memeriksa kedekatan estimator dengan parameter yang diestimasinya. Pada sub-bab ini dibahas jenis kekonvergenan lainnya, yaitu ”konvergen dalam distribusi”. Materiini merupakan konsep dasar yang perlu dipelajari untuk pembahasan Teorema Limit danpembahasan distribusi asimtotik serta selang kepercayaan suatu estimator.
Definisi 1 (Konvergen dalam distribusi) Misal {Xn} barisan variabel acak dengancdf masing-masing FXn , dan X suatu variabel acak dengan cdf FX . Barisan variabel acak{Xn} dikatakan konvergen dalam distribusi ke X, dinotasikan
Xnd−→ X
jikalimn→∞
FXn(x) = FX(x),
untuk setiap x ∈ C(F (x)), dengan C(F (x)) menyatakan himpunan semua titik sehinggaFX kontinu.
Pada Definisi 1, distribusi dari X yang dinyatakan dalam cdf F (x), disebut distribusiasimtotik atau distribusi limit dari barisan {Xn}.
Sebagai contoh, pernyataan
”Xnd−→ X dengan X berdistribusi normal standar”
atau secara singkat,
Xnd−→ N(0, 1)
dapat dibaca sebagai ”Xn mempunyai distribusi asimtotik normal standar.”
Contoh 4.3.1. Misal Xn mempunyai cdf
Fn(x̄) =
∫ x̄
−∞
1√1/n√
2πe−nw
2/2dw.
Jika dimisalkan v =√nw maka
Fn(x̄) =
∫ √nx̄−∞
1√2πe−v
2/2dv
sehingga
limn→∞
Fn(x̄) =
0, x̄ < 01/2, x̄ = 01, x̄ > 0
1
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Definisikan fungsi
F (x̄) =
{0, x̄ < 01, x̄ ≥ 0
makalimn→∞
Fn(x̄) = F (x̄)
untuk setiap titik x̄ sedemikian sehingga F (x̄) kontinu. Artinya, ketika F tidak kontinudi x = 0, Fn(0) tidak harus konvergen ke F (0). Jadi, yang diperhatikan hanya titik-titiksedemikian sehingga F kontinu. Berdasarkan hasil ini, maka barisan X1, X2, X3, . . .konvergen ke variabel acak yang berdistribusi degenerate di x̄ = 0. �
Contoh 4.3.2. Misal X1, . . . , Xn sampel acak dari distribusi U(0, θ). Misalkan Yn =max{X1, . . . , Xn}, dan Zn = n(θ − Yn).
(a). Tentukan cdf dari Yn.
(b). Tunjukkan Zn konvergen dalam distribusi dan tentukan distribusi asimtotiknya.
Penyelesaian.
(a). Diketahui Yn = max{X1, . . . , Xn} maka DYn = {y ; 0 < y ≤ θ}. Misal diambily ∈ (0, θ]. Fungsi distribusi (cdf ) dari Yn adalah
FYn(y) = P (Yn ≤ y) = P (max{X1, . . . , Xn} ≤ y)
= P (X1 ≤ y, . . . , Xn ≤ y)
= [P (X ≤ y)]n (karena X1, . . . , Xn independen)
= [FX1(y)]n
Karena X1 berdistribusi U(0, θ), maka
FX1(y) = P (X1 < y) =
∫ y
0
1
θdx =
y
θ,
sehingga untuk 0 < y ≤ θ,
P (Yn ≤ y) = [FX1(y)]n =(yθ
)n.
Jadi cdf dari Yn adalah
FYn(y) =
0, y < 0(yθ )n, 0 < y ≤ θ1, y ≥ θ
(b). Diketahui Zn = n(θ−Yn), maka DZn = {z ; 0 < z ≤ nθ}. Misal diambil z ∈ (0, nθ].Karena Zn = n(θ−Yn) ekivalen dengan Yn = θ−Zn/θ, maka fungsi distribusi dari
2
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Zn adalah
FZn(z) = P (Zn ≤ z) = P [Yn ≥ θ − (z/n)]
= 1− P (Yn ≤ θ − (z/n))
= 1−(θ − (z/n)
θ
)n= 1−
(1− z/θ
n
)ndan
limn→∞
FZn(z) = 1− e−z/θ
sehingga
Znd−→ Z.
Berikut akan ditunjukkan Z berdistribusi eksponensial dengan parameter 1/θ.Misal Z berdistribusi eksponensial dengan parameter 1/θ, maka pdf dari Z,
f(z) =1
θe−z/θ, z > 0
dan 0 untuk z lainnya, sehingga cdf dari Z
FZ(z) =
∫ z
0
1
θe−x/θdx = 1− e−z/θ, z > 0
dan 0 untuk z lainnya.
Jadi, distribusi asimtotik dari Zn adalah distribusi eksponensial dengan parameter1/θ. �
Hubungan konvergen dalam distribusi dan konvergen dalam peluang dinyatakan dalamsifat-sifat berikut:
(a). Jika Xnp→ X maka Xn
d−→ X. Pernyataan sebaliknya belum tentu benar danberlaku benar hanya jika X degenerate.
(b). Jika b suatu konstanta dan Xnd−→ b maka Xn
p→ b.
(c). Jika Xnd−→ X dan Yn
d−→ 0, maka Xn + Ynd→ X.
(d). Jika Xnd−→ X dan g fungsi yang kontinu pada support dari X maka
g(Xn)d−→ g(X).
(e). (Teorema Slutsky). Misal Xn, X,An, Bn, variabel-variabel acak. Misalkan pula a
dan b konstanta. Jika Xnd−→ X, An
p→ a, dan Bnd−→ b maka An + BnXn
d−→a+ bX.
3
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Teknik Fungsi Pembangkit Momen. Selain menggunakan cdf, distribusi asimtotiksuatu barisan variabel acak yang konvegen dalam distribusi, juga dapat dicari menggu-nakan teknik fungsi pembangkit momen (teknik mgf ).
Teorema 2 Misal {Xn} barisan variabel acak dengan mgf MXn(t) yang ada untuk −h <t < h dan untuk setiap n.Misalkan pula X variabel acak dengan mgfM(t) yang ada untuk|t| < h1 < h untuk setiap n. Jika
limn→∞
MXn(t) = M(t)
makaXn
d−→ X.
Berikut aturan limit di Kalkulus yang berguna dalam penentuan distribusi asimtotikberdasarkan Teorema 2:
Jika diberikan bentuk limit berikut
limn→∞
[1 +
b
n+ψ(n)
n
]cn,
dengan b dan c tidak bergantung pada n dan limn→∞ ψ(n) = 0, maka
limn→∞
[1 +
b
n+ψ(n)
n
]cn= lim
n→∞
(1 +
b
n
)cn= ebc (1)
Sebagai contoh, untuk menghitung
limn→∞
[1 +
t2
n+
t3
n3/2
]−n/2= lim
n→∞
(1− t2
n+t2/√n
n
)−n/2dapat dimisalkan b = −t2, c = −1
2 , dan ψ(n) = t2/√n sehingga limn→∞ t
2/√n = 0 dan
limn→∞
[1 +
t2
n+
t3
n3/2
]−n/2= et
2/2.
Contoh 4.3.3. Misal Yn berdistribusi B(n, p) dan untuk setiap n mean dari Yn adalahsama yaitu µ = np. Akan ditentukan distribusi asimtotik dari distribusi binomial denganp = µ/n, dengan cara mencari limit dari mgf
M(t;n) = E[etYn ] =[(1− p) + pet
]n=
[1 +
µ(et − 1)
n
]n, −∞ < t <∞
Dengan memisalkan b = µ(et − 1), c = 1 dan ψ(n) = 0, maka dari persamaan (1) dapatdiperoleh
limn→∞
M(t;n) = eµ(et−1), −∞ < t <∞,
4
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
yang tidak lain merupakan bentuk mgf dari distribusi Poisson dengan parameter µ.Dengan demikian, dapat disimpulkan bahwa untuk n → ∞, distribusi B(n, p) dapatdiaproksimasi oleh distribusi Poisson dengan parameter µ = np.
Sebagai ilustrasi, jika Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 50 dan p = 125 maka
P (Y ≤ 1) =
(24
25
)50
+ 50
(1
25
)(24
25
)49
= 0, 400
Peluang tersebut juga dapat dihitung melalui aproksimasi distribusi Poisson yaitu denganmemisalkan µ = np = 2, sehingga
P (Y ≤ 1) = e−2 + 2e−2 = 0, 406. �
Contoh 4.3.4. Misal Zn berdistribusi χ2(n). Akan ditunjukkan bahwa distribusi limitdari Yn = (Zn − n)/
√2n adalah N(0, 1).
Diketahui Yn = (Zn − n)/√
2n, maka mgf dari Yn
M(t;n) = E[etYn ] = E
[exp
{t
(Zn − n√
2n
)}]= etn/
√2nE[etZn/
√2n]
= exp
[−
(t
√2
n
)(n2
)](1− 2
t√2n
)−n/2, t <
√2n
2.
Bentuk mgf ini juga dapat ditulis sebagai
M(t;n) =
(et√
2/n − t√
2
net√
2/n
)−n/2, t <
√2n
2.
Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ(n), antara 0 dan t√
2/n, sehingga
et√
2/n = 1 + t
√2
n+
1
2
(t
√2
n
)2
+eξ(n)
6
(t
√2
n
)3
.
Akibatnya,
M(t;n) =
(1− t2
n+ψ(n)
n
)−n/2,
dengan
ψ(n) =
√2t3eξ(n)
3√n
−√
2t3√n− 2t4eξ(n)
3n.
Karena ξ(n)→ 0 ketika n→∞, maka limn→∞ ψ(n) = 0 untuk setiap nilai t.
Dari persamaan (1) dapat diperoleh
limn→∞
M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞.
5
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Karena bentuk pada ruas kanan merupakan mgf dari distribusi normal standar, makadapat disimpulkan bahwa distribusi asimtotik dari Yn = (Zn − n)/
√2n adalah normal
standar. �
Latihan
Soal No.1-11, 18, 19 (Hogg, dkk., hal 218-220).
4.4 Teorema Limit Pusat
Pada Subbab 3.4 telah dibahas bahwa jika X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusiN(µ, σ2) maka variabel acak (Xn − µ)/(σ/
√n) berdistribusi N(0, 1). Permasalahannya
bagaimana perilaku variabel acak tersebut jika distribusi asalnya sembarang? Jawaban-nya dapat ditemukan pada teorema limit pusat.
Teorema 3 (Teorema Limit Pusat) Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari suatu dis-tribusi dengan mean µ dan variansi σ2, maka variabel acak
Yn =Xn − µσ/√n
d−→ N(0, 1)
Bukti. Pembuktian dengan teknik mgf memerlukan asumsi tambahan, yaitu mgf M(t) =E[etX ] ada untuk −h < t < h. Dengan asumsi ini, maka fungsi
m(t) = E[et(X−µ)] = e−µtM(t)
juga ada untuk −h < t < h. Karena m(t) mgf untuk X − µ, maka m(0) = 1, m′(0) =E[X − µ] = 0, dan m′′(0) = E[(X − µ)2] = σ2.
Menurut rumus Taylor, terdapat bilangan ξ antara 0 dan t sehingga
m(t) = m(0) +m′(0)t+m′′(ξ)t2
2
= 1 +m′′(ξ)t2
2
Melalui manipulasi σ2t2/2− σ2t2/2 = 0, mgf m(t) dapat juga ditulis sebagai
m(t) = 1 +σ2t2
2+m′′(ξ)t2
2− σ2t2
2
= 1 +σ2t2
2+
[m′′(ξ)− σ2]t2
2. (2)
6
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Berikut ini akan ditentukan mgf dari Yn:
Karena
Yn =Xn − µσ/√n
=
∑ni=1Xi − nµσ√n
maka mgf dari Yn dapat ditulis
M(t;n) = E[etYn ] = E
[exp
(t
∑Xi − nµσ√n
)]= E
[exp
(tX1 − µσ√n
)exp
(tX2 − µσ√n
)· · · exp
(tXn − µσ√n
)]= E
[exp
(tX1 − µσ√n
)]· · ·E
[exp
(tXn − µσ√n
)]=
{E
[exp
(tX − µσ√n
)]}=
[m
(t
σ√n
)], −h < t
σ√n< h.
Dari persamaan (2) dapat diperoleh
m
(t
σ√n
)= 1 +
t2
2n+
[m′′(ξ)− σ2]t2
2nσ2,
dengan ξ antara 0 dan t/σ√n dengan −hσ
√n < t < hσ
√n. Akibatnya
M(t;n) =
{1 +
t2
2n+
[m′′(ξ)− σ2]t2
2nσ2
}nKarena m′′(t) kontinu di t = 0 dan karena ξ → 0 ketika n→∞, maka
limn→∞
[m′′(ξ)− σ2] = 0.
Dari persamaan (1) dapat diperoleh
limn→∞
M(t;n) = et2/2, −∞ < t <∞
yang tidak lain merupakan mgf dari distribusi normal standar. Jadi dapat disimpulkanbahwa
Yn =Xn − µσ/√n
d−→ N(0, 1). �
Dengan adanya teorema limit pusat maka distribusi rata-rata sampel X yang berasaldari distribusi apapun dapat didekati (diaproksimasi) oleh distribusi normal. Berartiperhitungan peluang atau penentuan selang kepercayaan dari X juga dapat didekatioleh peluang distribusi normal.
7
Nunung Nurhayati Teori Peluang (PAM 2231)-Unsoed
Contoh 4.4.1. Misal X rata-rata dari sampel acak berukuran n = 75 dari distribusiuniform
f(x) =
{1, 0 < x < 10, x lainnya.
Karena µ = 12 dan variansi σ2 = 1
12 , maka
P (0, 45 < X < 0, 55) ≈ P(
0, 45− µσ/√n
< Z <0, 55− µσ/√n
)= P (−1.5 < Z < 1.5)
= P (Z < 1.5)− P (Z < −1, 5)
= 0, 9332− (1− 0, 9332)
= 0, 8664.
Contoh 4.4.2. Misal X1, X2, . . . , Xn sampel acak dari distribusi B(1, p). Di sini µ = pdan σ2 = p(1− p). Telah diketahui di Subbab 3.1 bahwa jika Yn = X1 + . . .+Xn makaYn berdistribusi B(n, p). Karena
Yn − np√np(1− p)
=√n
Xn − p√np(1− p)
=Xn − µσ/√n
konvergen dalam distribusi ke N(0, 1), maka Yn yang berdistribusi B(n, p) dapat didekatioleh distribusi N(µ, σ2) dengan µ = np dan σ2 = np(1−p). Distribusi normal yang terjadihanya untuk sampel besar disebut distribusi normal asimtotik.
Contoh 4.4.3. Misal Y berdistribusi B(n, p) dengan n = 100 dan p = 12 . Karena
µ = np = 50 dan σ2 = np(1 − p) = 25 atau σ = 5, maka dari Contoh 4.4.2 dapatdihitung
P (Y = 48, 49, 50, 51, 52) = P (47, 5 < Y < 52, 5)
≈ P(
47, 5− 50
5< Z <
52, 5− 50
5
)= P (−0, 5 < Z < 0, 5) = 0, 382.
Di sini titik Y = 47, 5 dan Y = 52, 5 disebut angka koreksi kekontinuan.
Latihan
Soal No.1-12 (Hogg, dkk., hal 225-226).
8