TEOREMA INTEGRAL CAUCHY Drs. GIM TARIGAN …library.usu.ac.id/download/fmipa/matematika-gim.pdf · pengertian-pengertian seperti teorema Weiestrass-Bolzano, teorema Nested, teorema

TEOREMA INTEGRAL CAUCHY

Drs. GIM TARIGAN Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam

Jurusan Matematika Universitas Sumatera Utara

PENDAHULUAN

Dalam tulisan ini dapat kita lihat bahwa teorema Green dapat membuktikan perbedaan pembuktian teorema integral Cauchy yang menggunakan teorema Green dan menggunakan beberapa teorema riil variabel seperti teorema Weiestrass-Bolzano, teorema Nested, teorema Heine-Borel dan lain-lain. Oleh karena itu tujuan dalam tulisan ini menunjukkan suatu studi pembuktian teorema integral Cauchy dengan tujuan memperlihatkan persamaan dan perbedaan pengidentifikasian masalah. Persamaannya: Didalam pembuktian sama-sama menggunakan integral garis. Perbedaannya: Didalam pembuktian dengan menggunakan teorema Green lebih

menekankan integral garis, sedang didalam pembuktian dengan menggunakan beberapa teorema riil variabel, lebih menekankan pengertian-pengertian seperti teorema Weiestrass-Bolzano, teorema Nested, teorema Heine-Borel.

Adapun kegunaan pembahasan skripsi ini adalah untuk dapat lebih mudah mempelajari rumus integral Cauchy dan rumus umum integral Cauchy dimana hal ini, sebagai alat/penunjang dalam mempelajari teorema residu. METODA

2.1. Beberapa teorema riil variabel Dalam bagian ini akan dibicarakan beberapa teorema yakni teorema Weiestrass-Bolzano, teorema kumpulan Nested, teorema Heine-Borel yang menyangkut pengertian-pengertian titik limit, titik sekutu, kumpulan tertutup dan terbatas. Selanjutnya dibicarakan mengenai kontinu seragam (uniform Continue). Teorema 2.1.1.: Andaikan S suatu kumpulan dalam bidang sedemikian sehingga S

kumpulan tak berhingga dan terbatas. Maka S mempunyai paling sedikit satu titik limit.

Bukti : Teorema ini akan dibuktikan untuk S = R2. Dengan [a,b; c,d] dimaksud kumpulan Q dari semua titik z = (x,y), dimana a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d.

Karena S terbatas maka terdapatlah bilangan M sehingga z< M untuk semua z ∈ S.

Ambil a = c = -M; b = d = M, Qo = [a,b; c,d] Jadi S ⊂ Qo. Pandang empat himpunan. [a, ½ (a+b); c, ½ (c+d)] , [a, ½(a+b); ½(c+d), d] [½ (a+b), b; c, ½(c+d)] , [½(a+b), b; ½(c+d), d] yang unionnya adalah Qo. Salah satu dari keempat himpunan ini dinyatakan dengan Q1 = [a1, b1 ;

c1,d1] memuat tak berhingga bagian dari S.

2002 digitized by USU digital library 1

Q1 dibagi sampai n diperoleh suatu barisan {Qn} n = 1,2,3, … sehingga Qn = [an, bn ; cn, dn]

an ≤ an+1 < b n+1 ≤ bn cn ≤ c n+1 < dn+1 ≤ dn

2cdab nnnnnab −

=−=−

Qn memuat tak berhingga bagian dari S, mempunyai batas atas terkecil dan batas bawah terbesar sehingga,

A = sup an , B = inf bn

C = sup cn , D = inf dn

Karena untuk semua n dan m berlaku :

an ≤ an+m < bn+m ≤ bn, dan A ≤ bm untuk semua m maka A ≤ B.

ABab2n

−−

≤

Jika B > A akan berlaku; ,...2,1n,2

ababABbahwajelas nnn =−

=−≤−

untuk semua n yang tidak mungkin. Jadi A = B. Dengan cara yang sama dapat dibuktikan bahwa C = D. Akan diperlihatkan bahwa titik z = (A,C) adalah titik limit dari S. Misalkan N suatu lingkungan dari z dengan jari-jari r, z ∈ Qn untuk semua

n.

,rab21

n2 p− Jika n dipilih sedemikian sehingga

Maka Qn ⊂ N(z,r). Karena Qn memuat tak berhingga banyaknya titik-titik dari S, demikian juga N(z,r) , maka terbukti bahwa z titik limit dari S.

Teorema 2.1.2. (kumpulan Nested).

Misalkan S1, S2, …, Sn sekumpulan barisan pada suatu bidang yang memenuhi sifat-

sifat sebagai berikut :

1. ∀Sn, tertutup, Sn ≠ φ

2. Sn+1 ⊆ Sn , ∀n

3. limn→∞ diam Sn = 0

sekututitiksatuhanyadansatuatasterdiriSMaka

1nnI

∞

=

Bukti :

limn→∞ diam Sn = 0 ≡ ∃ no ∈ N ∋ n > no ⇒ diam Sn < ε


Misalkan p1, p2 ∈ Sn

Jika p1 ≠ p2 maka p1-p2 = d > 0.

dppSdiamSSs

0Sdiamlim21nono

n1n

nn =−∋∃⇒

⊆

=

+

∞→ p

Akibat p1, p2 ∉ Sno → Kontradiksi dengan Sn ⊆ Sno Jadi harus p1 = p2 atau Sn memuat satu dan hanya satu titik persekutuan

∀n. Jadi :

sekututitiksatuhanyadansatuatasterdiriS1n

nI∞

=

Cara lain : Sn : kumpulan tak berhingga

Sn : kumpulan terbatas

∞

n

.sekututitiksatuhanyadansatuatasterdiriSClaim1

nI=

Dengan teorema 2.1.1 maka Sn mempunyai sekurang-kurangnya satu titik

limit.

Ambil zn ∈ Sn ; ditinjau 2 kasus :

Kasus 1. Zn terdiri dari titik-titik yang sama.

Jika zn terdiri dari titik-titik yang sama, maka jelas terdiri atas satu

dan hanya satu titik sekutu. I∞

=1nnS

Kasus 2. Jika zn terdiri dari titik-titik yang berlainan maka zn terbatas, dan

tak berhingga, menurut teorema 2.1 maka zn mempunyai sekurang-

kurangnya satu titik limit.

Misalkan titik limitnya p.

P ∈ Sn

Zn+1, zn+2, … ∈ Sn

Dimana = kumpulan titik-titik limit S

'nnn

n

n1n SSStertutupSn;SS

∪=⇒∀⊆+

'n

p Akibat terdiri atas satu dan hanya satu titik persekutuan.

.n,SpS n'n ∀∈⇒∈

∞

I=1n

nS


Teorema 2.1.3. (Heine-Borel). Andaikan S kumpulan tertutup, terbatas pada suatu bidang dan Φ koleksi disk yang

menutup S. Maka ada suatu bagian koleksi yang terbatas banyaknya menutup S. Bukti : Dibuktikan secara kontradiksi. Dianggap bahwa tak terhingga banyaknya

disk yang diperlukan menutup S. Pandang R seperti pada gambar. R

R1

RRRR

Gbr.:1 (Disk yang menutupi bidang s)

S terbatas, S ⊂ R. R dibagi menjadi 4 (empat) empat persegi panjang maka S ⊂ R telah

terbagi menjadi empat kumpulan bagian yang masing-masing menjadi bagian dari empat persegi panjang tersebut, dan masing-masing bagian S ditutupi tak terhingga banyaknya disk.

Pandang R1 memuat bagian S. R1 dibagi seperti pada R diperoleh R2 ⊂ R1 yang memuat kumpulan bagian

S juga memerlukan tak terhingga banyaknya disk menutup S. Proses dilanjutkan sampai tak terhingga sehingga diperoleh : R1, R2, R3, …,Rn,… atau R1 ⊃ R2 ⊃ R3 ⊃ … ⊃ Rn …, ……………………………..(1) yang memuat kumpulan bagian S, dimana masing-masing bagian S

ditutupi tak berhingga banyaknya disk. Barisan ini memenuhi sifat :

1. Setiap Rk tertutup (paling sedikit memuat satu titik) 2. Rk ⊂ Rk-1 untuk k = 2,3,… 3. diam Rk → 0 bila k → ∞

Menurut teorema 2.2, p merupakan titik sekutu dari Rk. Karena diam Rk → 0 maka N(p,r) memuat beberapa Rk. Rk memuat tak berhingga banyaknya titik-titik S, karena itu jelas N(p,r) memuat tak berhingga banyaknya titik-titik S. Jadi p merupakan titik limit dari S. S tertutup maka p ∈ S.

Kumpulan bagian dari S ⊂ N(p,r) ditutupi beberapa disk. Jadi ada paling sedikit satu disk D yang memuat p. Ambil diam Rm cukup kecil sedemikian sehingga Rm berada dalam disk.

Jadi satu disk D menutup bagian S ⊂ Rm Kontradiksi dengan pernyataan 1. Teorema : 2.1.4. Andaikan R suatu daerah pada bidang, dan C path sembarang dalam R. Maka ada

suatu bilangan riil positip λ sedemikian sehingga untuk setiap z pada C, dan untuk setiap w pada R berlaku :


z - w > λ Bukti : Z ∈ C ⊂ R (seperti pada gambar)

C

W

Gbr.:2 (lingkungan Nq yang memuat didalam path C)

Karena R kumpulan terbuka (tidak memuat batas R) maka ada

lingkungan NZ ⊂ R. Dicari suatu NZ sedemikian sehingga untuk setiap z

pada path C dan ambil lingkungan MZ yang lain dari z dengan jari-jari ½

NZ. Koleksi MZ jelas menutup C.

C kumpulan tertutup dan terbatas maka menurut teorema 2.1.3; MZ

jumlahnya berhingga dan cukup menutup C namakan : M1, M2, … , Mk.

Jari- jari disk dari koleksi MZ adalah k bilangan riil positif dan selanjutnya

dapat dicari jari-jari MZ yang terkecil namakan λ.

Selanjutnya dibuktikan bahwa bilangan λ memenuhi kesimpulan teorema

diatas.

Andaikan z suatu titik pada C dan w suatu titik dalam R, z harus berada

pada satu dari setiap Mn yang pusatnya q, maka :

| q – z | < λ

dan | q – w | > 2λ akan dibuktikan : | z – w | > λ. dari | q – w | > 2λ 2λ < | q – w | = | q – z + z + w | 2λ < | q – w | ≤ | q – z | + | z - w | 2λ < λ + | z – w | 2λ - λ < | z – w | λ < | z – w | sehingga : | z – w | > λ.


Teorema 2.1.5.

Misalkan f(z) kontinu pada setiap titik dari kumpulan B B : kumpulan tertutup dan terbatas. Maka f kontinu seragam pada B. Bukti : Untuk membuktikan kontinu seragam dari f(z),pada B diberikan ε>0 ∃ δ>0 ∋ | f(z) – f(p) | < ε bila : | z – p | < δ…………………………….. (1) Ambil q∈B, karena f kontinu pada B maka f kontinu pada q, ini berarti : ∀ε>0 ∃ λq>0 ∋ | f(q) – f(w) | < ε/2 bila | q – w | < λq . Dengan mengulangi proses yang sama untuk setiap q∈B,diperoleh koleksi

dari Nq (satu untuk setiap q∈B)dengan pusat q dan jari-jari λq. Untuk setiap Nq, perhatikan suatu disk Mq yang bukan sepusat denagn Nq

dan berjari-jari λq/2, maka menurut teorema 2.3 koleksi Mq menutup B terbatas banyaknya.

Jari-jari Mq dinyatakan dengan :

2,,

2,

2,

2321 kλλλλK

adalah k bilangan positif, dan dipilih jari-jari Mq terkecil disebut δ. Dibuktikan bahwa δ memenuhi (1). Untuk titik z dan titik p dalam B maka

berlaku | z – p | < δ. Karena z berada pada salah satu dari k disk (dinamakan Mv dan pusatnya

v) menutup B, diperoleh : | z – v | λv/2 < λv dan | f(z) – f(v) | < ε/2

karena

| z – p | < δ < λv/2 maka diperoleh

| p – v | ≤ | z – p | + | z – v | < λv/2 + λv/2 = λv

karena | f(p) – f(v) | < ε/2 maka

f(z) – f(p) ≤ f(z) – f(v) + F(p) – f(v) < 22ε

+ε

jadi f(z) – f(p) < ε.

2.2. Integral Garis Dari Fungsi Kompleks Misalkan f(z) fungsi yang kontinu pada setiap titik pada path C yang berhingga. Path C dibagi menjadi n bagian dengan memilih titik-titik zo, z1, z2, ... ,zn-

1 sembarang titik pada path C. Selanjutnya pada setiap bagian zk-1 dan zk (∀k=1,2,...,n) dipilih titik tk seperti pada gambar.


Y

a=zo

X Gbr.: 3 Path C yang dibagi atas n bagian sembarang

Dinyatakan bahwa : ∆z1 = z1 - zo

∆z2 = z2 – z1

∆z3 = z3 – z2

M ∆zn = zn – zn-1

Definisikan :

Sn = f(t1) ∆z1 + f(t) ∆z2 + ... + f(tn) ∆zn

Dengan menyebut :

∆zk = zk – zk-1 ∀k=1,2, ... , n diperoleh :

Sn = kn

kk ztf ∆∑

=1)(

Untuk n → ∞ maka ∆zk → 0, maka :

( ) kn

kk

n

cn

b

a

tf

Sdzzfdzzf

∆Ζ=

==

∑

∫∫

=∞→

→∆Ζ

1

0

lim

lim)()(

Dimana : ∆z = max {∆z1, ∆z2, ... , ∆zn} disebut : integral garis dari f(z), fungsi kompleks. Jika f(z) = u + iv = u(x,y) + iv(x,y) dan dz = dz + idy maka integral garis :


( )( )

∫ ∫ ∫

∫ ∫

++−=

++=

c c c

c c

udyvdxivdyudxdzzf

idydzivudzzf

)(

)(

Teorema : 2.2.1. Misalkan p konstanta sembarang. C+K suatu path yang mengandung dua path C dan K. f(z) dan g(z) dapat

diintegalkan sepanjang C dan K, maka :

1. ∫∫ =cc

dzzfpdzzfp )()(

2. ∫ ∫ +=+c c c

dzzgdzzfzgzf )()()}()({ ∫

k

3. ∫ ∫ ∫+

+=kc c

dzzfdzzfdzzf )()()(

4. ∫ ∫−

−=c c

dzzfdzzf )()(

5. Andaikan bahwa f(z) dapat diintegralkan sepanjang C, untuk semua M>0, fungsi f memenuhi f(z) ≤ M∀z pada C dan andaikan sepanjang C adalah L maka berlaku :

MLdzzfc

≤∫ )(

Bukti : Menurut definisi berlaku :

∫ ∑

=∞→∆Ζ=

c

n

kk

ndzzf

1lim)(

karena berlaku :

( )

ML

M

tftf

n

kk

kn

kk

n

kkk

≤

∆Ζ≤

∆Ζ≤∆Ζ

∑

∑∑

=

==

1

11)()(

Maka :

( ) MLtfdzzf kn

kk

n ≤∆Ζ= ∑∫ ∞→ 1lim)(


2.3. Teorema Green

Teorema : 2.3.1 . (Teorema Green pada Bidang). Misalkan : P(x,y) dan Q(x,y) dua fungsi yang kontinu dan mempunyai turunan

parrsial yang kontinu pada suatu daerah D, dan pada batas daerah D. Maka teorema Green menyatakan bahwa :

∫ ∫

∫

∂∂

−∂∂

=+c D y

PxQdyQdxP

Teorema ini berlaku untuk daerah terhubung sederhana (simply connegted region)

dan daerah terhubung tak sederhana (multiple connected region).

Bukti: Y H

F

g

e f X

Gbr.: 4 Path C yang tertutup sederhana Misalkan C path tertutup sedrhana yang memenuhi bahwa setiap garis sejajar dengan sumbu koordinat pada bidang akan memotong path C paling banyak di dua titik (seperti pada gambar diatas). Akan dibuktikan :

1. ∫ ∫ dydxyPdxP

c D∫

∂∂

−=

2. ∫ ∫ dydxxQdxQ

c D∫

∂∂

=

Bukti 1 : Misalkan persamaan path dari E,G,F adalah ; y = y1(x), dan persamaan path dari E,H,F adalah y = y2(x).


( )

( )

( )( )

( )

( )

∫

∫ ∫

∫

∫

∫∫∫∫

−=

−−=

−=

=

∂∂

=

∂∂ =

==

c

f

e

e

f

f

e

xyxy

f

e

xyy

xyy

f

exD

dxP

dxyxPdxyxP

dxyxPyxP

dxyxP

dxdyyPdxdy

yP

21

12

,),(

,),(

),( 21

2

1

dydxyPdxP∫ ∫∫

∂∂

−=c

Jadi :

Bukti 2 : Misalkan persamaan path dari G, E, H adalah x = x1(y) Persamaan path dari G, F, H adalah x = x2(y).

( )

( )

dydxxQdxdy

xQ h

gy

yxx

yxxD∫ ∫∫∫=

=

=

∂∂

=

∂∂ 2

1

( ) ( )( ) dyyxQ

h

g

yxyx∫= 2

1,

( ) ( ) dyyxQyxQ

h

g∫ −= ],,[ 12

( ) ( )∫∫ +=

g

h

h

g

dyyxQdyyxQ ,, 12

∫=c

Qdy

dydxxQQdy

Dc∫∫∫

∂∂

=Jadi


Akibatnya :

dydx

yP

xQQdyPdx

Dc∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+

Misalkan path C tertutup, untuk path C memenuhi bahwa garis-garis yang sejajar sumbu-sumbu koordinat memotong path C lebih dari dua titik (seperti pada gambar dibawah ini). Y U

S T T V X Gbr.:5. Path C tertutup tak sederhana Buat garis S T sedemikian sehingga daerah D (daerah yang dibatasi oleh path C) menjadi dua daerah D1 dan daerah D2 dengan batas kedua daerah tersebut merupakan path tertutp sederhana. Path pertama adalah S T U S dan kedua S V T S, sehingga menurut teorema Green berlaku :

dydxyP

xQQdyPdx

DSTUS∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+1

dydxyP

xQQdyPdx

DSVTS∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+2

Karena :

= ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −=+=+ST TUS SVTS SVT TS TS STSTUS

dan, Maka berlaku : ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ +++=+

SVTS ST TUS SVT TSSTUS ∫ ∫+=

TUS SVT ∫=

TUSVT


Dari ∫∫ ∫∫ ∫∫=+

1 2D D D Jadi :

dydxyP

xQQdyPdx

Dc∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+ Dibuktikan teorema Green pada bidang juga berlaku untuk daerah tersambung tak sederhana D seperti pada gambar dibawah ini :

Y

H

A

L

X

Gbr.:6.Daerah tersambung D Pilih titik untuk A L K J H I G F E sedemikian sehingga path A I E F G I A L K J H A adalah suatu path tertutup sederhana, dan daerah yang dibatasi oleh path ini adalah tersambung sederhana, sehingga teorema Green berlaku :

Karena maka berlaku : Dc

dydxyP

xQQdyPdx ∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+

−=∫ ∫AI IA

∫ ∫∫ ∫∫ +++=IA ALKJHAAI IEFGIHAAIEFGIALKJ

∫ ∫+=IEFGI ALKJHA

Jadi bila C1 adalah path ALKJHA dan C2 path IEFGI adalah path yang memuat C1 dan C2 maka:

∫ ∫∫ =+1 2c cc

Sehingga berlaku :


dydx

yP

xQQdyPdx

Dc∫∫∫

∂∂

−∂∂

=+

Teorema 2.3.2 (Teorema Green dalam bentuk kompleks)

Andaikan B( ) fungsi kontinu dan mempunyai turunan-turunan parsial yang kontinu pada daerah D dan batasnya (path C), dengan z = x + iy, = x – iy maka : z

zz,

dAzBidzzzB

Dc∫∫∫ ∂∂

= 2),(

dimana dA = dx dy.

Bukti : Misalkan B( ) = P(x,y) + iQ(x,y) maka menurut teorema Green berlaku : z z,

( )( idydxiQPdzzzBcc

++= ∫∫ ),( )

)( ) (∫∫ ++−=cc

PdyQdxiQdyPdx

dydxyQ

xPidxdy

yP

xQ

DD∫∫∫∫

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

−=

+

[ ] dydxxQ

yPi

yQ

xPi

D

∂∂

+∂∂

∂∂

−∂∂

= ∫∫

dydxzBi

D∫∫ ∂∂

= 2

PEMBUKTIAN TEOREMA INTEGRAL CAUCHY

Dalam bab ini dibicarakan mengenai pembuktian teorema integral cauchy, yang mana pembuktiannya dapat digolongkan atas dua cara: Pertama dibuktikan dengan menggunakan teorema Green. Dan kedua dibuktikan dengan menggunakan beberapa teorema riil variabel. Teorema: Misalkan f(z) analitik pada daerah terhubung. C adalah path tertutup dalam daerah terhubung maka : ∫ =

cdzzf 0)(

Teorema integral Cauchy ini berlaku untuk daerah terhubung sederhana dan daerah terhubung tak sederhana.


Pada mulanya Cauchy membuktikan teorema tersebut dengan memakai pembatasan bahwa f(z) mmemenuhi f′(z) juga kontinu di D (daerah). Selanjutnya Goursat membuktikan teorema tersebut dengan menghilangkan syarat tambahan (pembatasan tadi) untuk f(z). Sejak itu teorema tersebut dinamakan sebagai teorema Cauchy-Goursat.

3.1. Pembuktian Teorema Integral Cauchy Dengan Menggunakan Teorema Green. Teorema : Misalkan f(z) analitik pada daerah terhubung R. C adalah path tertutup

dalam daerah terhubung, maka:

∫ =c

dzzf 0)( Bukti : Karena f(z) = u + iv diketahui analitik dan mempunyai yurunan kontinu

maka :

yui

yv

xvi

xuzf

∂∂

−∂∂

=∂∂

+∂∂

=)('

Sehingga :

v∂

( )

( )2

1

LLLLLL

LLLLLL

yu

x

yv

xu

∂∂

−=∂

∂∂

=∂∂

Kontinu di dalam dan pada path C. Jadi teorema Green dapat digunakan, sehingga diperoleh : ( )( idydxivudzzf

c c++=∫ ∫)( )

)

Dengan menggunakan persamaan 1 dan 2 diperoleh :

( ) (∫∫ ∫ ++−=cc c

udyvdxivdyudxdzzf )(

dxdyyv

xuidxdy

yu

xvdzzf

dd d

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

−= ∫∫∫ ∫∫)(

0)( =∫ dzzf

c Cara lain : Hasil yang sama akan diperoleh yaitu dengan memakai bentuk kompleks teorema Green sebagai berikut :


Dengan menuliskan f(z) = B ( ), dan karena f(z) bebas dari maka

zz z 0=

∂∂zB,

∫ ∫∫ =∂∂

=c D

dydxzBdzzf 0)(sehingga :

Selanjutnya teorema integral Cauchy dibuktikan dengan menggunakan beberapa teorema dari riil variabel. 3.2. Pembuktian Teorema Integral Cauchy Dengan Menggunakan Beberapa Teorema

Riil Variabel. Misalkan f(z) analitik pada daerah tersambung sederhana R dan C suatu path tertutup termuat dalam R. Maka :

∫ =c

dzzf 0)( Bukti : Kasus 1. Path C suatu segitiga. Path C dibagi menjadi beberapa segitiga yakni C1, C2, C3 dan C4 (seperti dalam gambar berikut).

A D B Gbr. : 7. Path C dalam bentuk segitiga

Perhatikan bahwa sisi C3 dijalani dua kali dengan arah yang berlainan, maka:

∫ ∫ ∫ ++=c FCE EAD DBF

∫

∫

∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

+++=

+++=

+++++=

C c c c c

FCEF EADE DBFD FEDF

FCEF FE EADE ED DBFD DF

1 2 3 4

∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫∫ −++−++−+=EF EF EAD DE DE DBF FD FDFCE


Dengan menggunakan hubungan ini, selanjutnya bahwa paling sedikit satu C1 adalah benar bahwa:

)1(414

11

4321

4321

1 2 3 4

K∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫∫∫∫∫

∫ ∫ ∫ ∫ ∫

≥⇒≤

+++≤

+++=

+++=

CCCC

CCCCC

CCCCC

C C C C C

Dengan menggunakan k1 sebagai salah satu dari segitiga, dimana ketidaksamaan adalah benar maka diperoleh:

Selanjutnya perhatikan k1; k1 dibagi seperti pada C diperoleh suatu segitiga k2⊂k1 sedemikian sehingga :

)2(41

K∫∫ ≤KC

Dari bentuk (2) dan (3) diperoleh :

21

)3(4 K∫∫ ≤KK

∫∫

∫∫∫

≤

≤≤

2

21

24

444

KC

KKC

Jika proses dilakukan sampai n kali diperoleh :

)3(42

K∫∫ ≤

KK

)4(4 K∫∫ ≤

nK

n

C Perhatikan bahwa bagian-bagian segitiga k1, k2, k3, … , kn adalah kumpulan tertutup dan terbatas yang limn→∞ diam kn = 0, jika n → ∞. Maka k1, k2, … , kn … adalah Nested. Menurut teorema 2.1.2 :

I∞

=1nnk

kn terdiri atas satu dan hanya satu titik sekutu.

p ∈ maka p ∈ C atau p titik dalam C. I∞

n=1nk

Karena f(z) analitik pada C ⇒ f(z) analitik pada p, jadi f′(p) ada, maka menurut definisi dari turunan :


∀ ∈ > 0 ∃ δ > 0 sedemikian sehingga :

δε <−≤′−

−− pzbilapfpzpfzf ,)()()(

ε≤

−−′−−

pzpzpfpfzf )()()()(

( )pzpzpfpfzf −≤−′− ε)()()()(

Maka ada suatu bilangan kompleks q (tergantung pada harga z) dengan sifat q < ∈ sedemikian sehingga : f(z) – f(p) - f′(p) (z-p) ≤ q(z-p)

f(z) – f(p) - f′(p) (z-p) = q (z-p)

f(z) = f(p) + f′(p) (z-p) + q(z-p) …………………(5)

atau :

)()()( pfpzpfzfq ′−

−−

=

Karena limn→∞ diam kn = 0 dan p ∈ ∞

I=1n

nk

kn ; kumpulan terbatas dan tak terhingga, maka menurut teorema 2.1.1 ⇒ p merupakan titik limit. Akibatnya ada N(p,δ) atau lingkungan N dengan p titik pusat, δ jari-jari.

N(p , δ)

Gbr.: 8. Lengkungan N(p , δ) Akibatnya untuk setiap z dalam kn atau z pada kn mempunyai sifat z-p < δ dan karena itu … (5) dipenuhi untuk setiap z, maka : [ ]∫∫ −+−′+=

nn kk

dzpzqpzpfpfdzzf )()()()()(

∫∫∫ −+−′+=nnn kkk

dzpzqdzpzpfdzpf )()()()(

∫∫ ∫∫ −+′−′+=nn nn kk kk

dzpzqdzpfpdzzpfdzpf )()()()(

Karena limn→∞ diam kn = 0 maka ;


(f 0) =∫nk

dzp

)( =′ zdzpf 0∫nk

0)( =′ ∫nk

dzpfp

Jadi : )6(;)()( Kεε <−= ∫∫ qCqdzpzqdzzf

nn kk

Selanjutnya disebutkan dua fakta yang akan diperlukan sebagai berikut :

1. mengenai keliling lingkaran-lingkaran ; k1, k2, … , kn. Nyatakan keliling lingkaran

C=C dan k1 = k1, diperoleh :

nn

Ck

Ckk

Ck

2,,

22,

2 21

21 ==== K

2. Jarak antara dua titik pada segitiga ≤ ½ keliling segitiga atau z-p≤ ½ kn.

Selanjutnya gunakan teorema 2.2.1 dan dua fakta diatas pada persamaan (6)

diperoleh:

∫∫ −=nn kk

pzqdzzf )()(

n

nn

kn

n

k

kk

CC

k

kk

dzpzq

qdzpzq

dzpzqdzzf

n

n

nn

4222

2

2

,)(

)()(

2

2

2εεε

ε

ε

=

=≤

••≤−≤

≤−≤

−=

∫

∫

∫∫

Jadi :

knn

Cdzzf

42)(

2ε

≤∫

Telah dibuktikan :

∫∫ ≤nk

n

C

4

Maka diperoleh :


ε

ε

2)(

424)(4)(

2

2

Cdzzf

Cdzzfdzzf

C

Cn

n

k

n

n

=

•≤≤

∫

∫ ∫

Karena ε > 0, dan terbatas maka : C2

2

0)( =∫C

dzzf

Kasus 2 : path C adalah polygon tertutup. Dalam hal ini dinyatakan bahwa polygon C dapat dibagi menjadi segitiga-

segitiga yang terbatas jumlahnya yakni : C1, C2, … , Cn sedemikian sehingga setiap sisi dari setiap segitiga yang tidak berimpit dengan beberapa sisi dari C (sebahagian dari padanya) akan terletak dalam C.

Dengan menjalani setiap segitiga ini (seperti pada Gbr.9) dengan arah yang ditentukan pada path C dan menggunakan hasil kasus 1, diperoleh :

021

=+++ ∫∫∫NCCC

L

Gbr.: 9. Path C dalam bentuk polygon

Tetapi setiap sisi dari segitiga ini menjadi interior poligon tersebut dijalani dua kali dalam arah yang berlainan, maka nilai integral sepanjang sisi dalam interior ini tidak menambah perjumlahan dari integral tersebut, dan hanya sisi-sisi yang asli dari poligon tersebut yang berperan dalam integral tersebut maka : 0)( =∫

C

dzzf Kasus 3 : C sembarang path tertutup. Misalkan path C terletak pada daerah R, dimana f(z) analitik. Pilih n buah

titik pada path C : z1, z2, … , zn sebut zo = zn, dengan menghubungkan titik-titik pada path tersebut diperoleh suatu poligon tertutup (seperti pada gambar 10 dihalaman berikut).


Gbr.: 10. Path C sembarangan

Maka membuktikan kasus ini diperlukan empat hal yang menjadi landasan sebagai

berikut :

1. Menurut definisi : 2.2

C)()(lim)( 10 −→

−Σ=∫ kkk zztfdzzfµ

Sebut Sn = Σ f(tk) (zk – zk-1)

∫ sndzzf0

lim)(→

=µ

C 2. Menurut teorema 2.1.4. C

NndzzfNns >∀≤−∋∃>∀ ∫ ,)(0 εε

C sembarang path dalam R ⇒ ∃ λ > 0, λ ∈ R ∋ ∀ z ∈ C dan ∀w pada batas R, maka berlaku z-w> λ. Perhatikan Q adalah kumpulan yang terdiri dari semua titik-titik dalam R yang jaraknya dari batas R ≥ λ/2 atau ditulis : Q = {z ; z-w≥ λ/2. Jelas Q ; tertutup dan terbatas. f(z) analitik ⇒ f(z) kontinu pada Q. Menurut teorema 2.1.5 maka f(z) kontinu seragam pada Q, akibatnya : ∀ ε > 0, ∃ δ > 0 ∋ : ∀z, p ∈Q berlaku : f(z) – f(p) < ε, bila z-p < δ.

3. Berikan ε > 0, sembarang, ambil partisi P; zo, z1, z2, … , zn dari C memenuhi : a. f – Sn< ε b. Bagian path [zk-1, zk] dengan ; zk-1, zk≤ λ/2. c. Panjang setiap bagian path juga < δ, dimana δ ditentukan kontinu seragam

(dijamin oleh 2). Kondisi a s/d c berlaku pada partisi P. Suatu tali dapat digambarkan sebagai panjang zk-1 ke zk untuk k=1,2,3, … yang semuanya terletak dalam Q ⊂ R. Karena panjang dari tiap bagian path [zk-1, zk] lebih kecil dari < δ maka zk – zk-1< δ. Oleh karena itu tiap kali (chord) zk-1 ke zk lebih kecil dari δ, karena itu jika z adalah tiap titik pada tali (chord) ke k maka : z – zk< δ, karena itu f(z) – f(zk)< ε. Akibatnya ; ∀k=1,2,… dan tiap titik < pada chord ke k ∃ εk(z) ∈ C ∋ εk(z)< ε yang bebas dari z dan : f(z) = f(zk) + εk(z) .

4. Akhirnya, ditulis bahwa partisi P dari poligon disebut ∏, sebagai hubungan z ke z1, z1 ke z2, z2, ke z3, … , zn-1 ke zn dan zn ke zo.


0→− ∫∫ΠC

Berdasarkan 1 s/d 4 diatas, maka cukup dibuktikan ;

Dari kasus 2 0=∫Π

Jika partisi P menuju garis lengkung, misalnya : µ → 0 akkhirnya diperoleh

(untuk mudahnya misalkan zn = zo) ;

∫

∑ ∫Π =

−

=n

k

z

z

k

k

dzzfdzzf1 1

)()(

n zk

[ ]

∑ ∫

∑ ∑ ∫

∑ ∫ ∑ ∫

∑ ∫

=

= =−

= =

=

−

−

− −

−

+=

+−=

+=

+=

n

k

z

zkn

n

k

n

k

z

zkkkk

n

k

z

z

n

k

z

zkk

k zkk

k

k

k

k

k

k

k

k

k

dzzS

dzzzzzf

dzzdzzf

dzzzf

1

1 11

1 1

1

1

1

1 1

1

)(

)()()(

)()(

)()(

ε

ε

ε

ε

∫ ∑ ∫Π =

−

=−n

k

z

zkn

k

k

dzzSdzzf1 1

)()( ε=− ∑ ∫∫ ε )(

n z

kn dzzSk

Π<−<−

−≤

≤

∑∫

∑

∑ ∫

−Π

=−

=

=Π

−

−

εε

ε

ε

1

11

1

1

)(

)(1

1

kkn

n

kkkk

n

k

z

zk

k z

zzS

zzz

dzzk

k

k


Dimana ∏ menyatakan panjang keliling poligon yang terbatas, dengan

mengunakan relasi 3(a) diperoleh :

C

Π+<

−+−≤

−+

−=−

−+−≤−

∫∫

∫∫∫∫

∫ ∫∫∫

Π

ΠΠ

Π Π

εε

nnC

nnC

nnCC

SS

SS

SS

Jadi : ∫ ∫ ( )+Π=−ΠC

ε1

Karena ε > 0 sembarang, dan ∏ + 1 besaran yang terbatas:

∫ ∫ =−ΠC

0

sehingga :

∫ ∫ ==ΠC

dzzfdzzf 0)()(


DAFTAR PUSTAKA

Konrad Knopp, DR., Theory of Functions, Part One, Elements of the General Theory

of Analytic functions, New York, Dover Publication, Inc, 1945.

Margha M, Drs., Fungsi dengan Peubah Kompleks, Armico, Bandung, Edisi Pertama,

1982.

Paliouras, John D., Complex Variable for Scientists And Engineers, Mac Millan

Publishing, Co., 1975.

Spiegel, Murray, Ph.D., Theory and Problema of Complex Variable, Schaum’s, Out

Line Series, Mc Graw-Hill Book Company, New York, London, Sydney,

Toronto.

Spiegel, Murray, Ph.D., Theory and Problema of Riel Variable, Schaum’s, Mc Graw-

Hill Book Company, New York, London, Sydney, Toronto.

Wylie,C.R.,Jr., Advanced Engineering Mathematics, Second Edition, Mc Graw-Hill

Book Company, Inc., New York, Toronto, London, 1960.


Documents

TEOREMA INTEGRAL CAUCHY Drs. GIM TARIGAN …library.usu.ac.id/download/fmipa/matematika-gim.pdf · pengertian-pengertian seperti teorema Weiestrass-Bolzano, teorema Nested, teorema