-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
1/6
INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL
UNIDAD PROFESIONAL INTERDISCIPLINARIA
EN INGENIERA Y TECNOLOGAS AVANZADAS
Teorema del Transpore de Re!nolds
"e#$n%#a de Fl&%dos
Perdomo Fragoso Daniel Alejandro
Pro'esor( S$n#)e* +errera Yasser Id%
GRUPO( ,""-
-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
2/6
El teorema del transporte de Reynolds es una expresin
matemtica
muy til que relaciona integrales y derivadas y tiene grandes
usos en
la mecnica de medios continuos. En su aplicacin a este
campo,
relaciona cmo varan las propiedades de una masa de control
con
cmo varan las propiedades de un volumen de control.
Masa de control
Es una cierta cantidad de material a la que hacemos un
seguimiento.
Volumen de control
Es un volumen al que hacemos un seguimiento. Las masas de
control pueden atravesar un volumen de control.
El teorema del transporte de Reynolds relaciona el ritmo de
variacin
en un dominio mvil (el de la masa de control) y un dominio fijo
(el del
volumen de control) o incluso entre varios volmenes mviles. Es
una
generalizacin a dimensiones mltiples de la regla de Leibniz. En
lo
que sigue, se usarn volmenes y superficies, pero en realidad
el
teorema es vlido para dimensiones superiores e inferiores.
Propiedades extensivas y propiedades intensivas
En un instante de tiempot, una masa de control cualquiera
tiene
distintas propiedades (cantidad de movimiento, masa,
energainterna). Diremos que estas propiedades sonCm(t). La masa
de
-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
3/6
control ocupa un cierto volumenVm(t). Se puede suponer que
la
propiedadC(t), que llamaremosextensiva, es la suma de una
propiedad intensivac(t,x)distribuida por los puntosxdel
espacio
ocupado por la masa de control: Cm(t) = Vm(t)c(t,x) dV.
En la anterior integral, el smbolodVindica el elemento
diferencial de
volumen.
Ritmo de variacin de las propiedades de una masa de control
Las masas de control son objetos fsicos normales y corrientes
como
pelotas, bolgrafos y gotas de agua. Sus propiedadesCm(t)tienen
un
ritmo de variacin con el tiempotque es igual a un trmino
forzante o
fuente (la fuerza para la cantidad de movimiento, por
ejemplo)F:
dCm dt= F.
El trmino forzanteFvariar, en general, con el tiempo, la regin
del
espacio ocupada por la masa de control y la distribucin de
las
variables fsicas en el espacio y el tiempo. Esta distribucin de
las
variables fsicas estar determinada por cmo se hayan movido
las
masas de control (partcula por partcula).
Llega el teorema del transporte de Reynolds
Ahora, supongamos que tenemos un volumen de control fijoVque
en
el preciso instantetcoincide con el volumenVm(t)ocupado por la
masa
de control:V= Vm(t).La frontera del volumen de control es la
superficieS.
Podemos integrar las variables intensivasc(t,x)en este volumen
para
obtener las variables extensivasCv(t)correspondientes:
Cv(t) = Vc(t,x) dV.
Un cortsimo instante ms tarde, en el tiempot+dt,los dos
volmenes
no tienen por qu coincidir. Por lo tanto, el ritmo de variacin
de las
variables extensivas en el volumen de control no tiene por
qu
coincidir con el ritmo de variacin de las variables extensivas
en la
masa de control. Para relacionarlos:
-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
4/6
Cada puntoxde la frontera de la masa de control se desplaza a
una
velocidadv(t,x).La direccin normal (hacia el exterior) a la
frontera del
volumen de control es el vector unitarion(x).Por lo tanto, la
velocidad
normalvn(x)a la que se separa la frontera de la masa de control
de la
del volumen de control esvn(t,x) = v(t,x) n(x).La frontera de la
masa de
control entra
dentro del volumen
de control cuando
la anterior expresin
es negativa
y sale cuando
es positiva.
Cierta parte de la masa de control sale del volumen de
control,
mientras que otra parte entra. Fijmonos en un puntoxde la
fronteradel volumen de control. Definamos un elemento diferencial
de
superficie de fronteradS alrededor de este punto. Como el
incremento
de tiempodtes extremadamente pequeo, podemos despreciar
cualquier variacin de la velocidadv(t,x)a la que se desplaza
la
frontera de la masa de control entre el instantety el
instantet+dt. En
este tiempo, habr entrado dentro del volumen de control una
pequea
cantidad de material de volumenvn(x) dtdS.
-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
5/6
El signo negativo se debe a que, si la velocidad relativa es
negativa, el
material entra, mientras que, si la velocidad relativa es
positiva, el
material sale. Esta pequea cantidad de material que entra o sale
lleva
consigo cierta cantidad extensiva de propiedades
fsicas:vn(x) dtdSc(t,x).
La suma (la integral) de esta contribucin por toda la superficie
de la
frontera del volumen de control ser igual a la cantidad de
las
variables extensivas que habr entrado menos la que habr
entrado
en el volumen de control en el intervalo de tiempo
entretyt+dt:
dtSc(t,x) vn(x) dS.
Ya se puede hacer una relacin entre el ritmo de variacin en la
masa
de control y el ritmo de variacin en el volumen de control.
Elincremento en la variable extensivaCven el volumen de
controlCmen
la masa de control (que coincide en el espacio con el volumen
de
control en el instante de inters) ms lo que entra y menos lo
que
sale:
dCv(t) = dCm(t) dtSc(t,x) vn(t) dS.
-
7/24/2019 Teorema Del Transporte Reynolds
6/6
Por otra parte, el ritmo de variacin en el volumen de control ha
de ser
igual a la suma (la integral) de los ritmos de variacin en su
interior:
dCv(t) dt= V(c t)(t,x) dV.
Finalmente laecuacin del transporte de Reynoldsqueda :
(ddt) Vm(t)c(t,x) dV= V(ct)(t,x) dV+ Sc(t,x) vn(x) dS.
El trmino de la izquierda de la igualdad es el ritmo
devariacindCm dtde las propiedades de la masa de control, igual
al
trmino forzanteFque vimos antes, pero ahora todo es
potencialmente ms fcil porque usamos variables referidas no
a
partculas materiales mviles, sino a puntos fijos del
espacio.
