Aula Teórica 16 & 17

Adimensionalização. Nº de Reynolds e Nº de Froude. Teorema dos PI’s , Diagrama de Moody, Equação de Bernoulli Generalizada

e coeficientes de perda de carga.

Why Dimensionless Equations?

• Finite Volumes,• Partial Differential Equations,• Laboratory Models.• How to extrapolate from the model to the

prototype?

Escalas

• Equação de Navier-Stokes:

j

i

jij

ij

i

xv

xxP

xv

vtv

• Escalas:

ULtt

ULtt

UuuUuu

LxxLxx

iii

i

**

**

**

Replacing

• The same non-dimensional geometry and the same Reynolds and the same Froude guarantee the same non-dimensional solution

*

*

*

*

**

*

*

**

*

*

*

*

2*

*

**2*

**

*

*

*

*

*

*2**

**

2*

11

1

1

irj

i

jeij

ij

i

ij

i

jij

ij

i

ij

i

jij

ij

i

xz

Fxu

xRxP

xuu

tu

xz

UgL

xu

xULxP

Uxuu

tu

UL

xzg

xu

xLU

xP

Lxuu

LU

tuU

Meaning of Reynolds and Froude

• Reynolds: Inertia forces/viscous forces• Froude: Inertia forces/gravity forces.

• We can’t guarantee both numbers…..• What to do?

*

*

*

*

**

*

*

**

*

* 11

irj

i

jeij

ij

i

xz

Fxu

xRxP

xuu

tu

What is the Froude Number?

• The Froude number is the square of the ratio between the flow velocity and the velocity of a free surface wave in a Free surface flow.

• The geometry is similar only if the free surface wave velocity propagation is similar in the model and in the prototype. So the Froude number must be the same in the model and in the prototype.

• How to calculate the period of the waves in the model and in the prototype (using the non-dimensional time).

What is the Reynolds Number?

• When it is high, the diffusive term becomes less important in the equation and can be neglected. Then the Reynolds number looses importance (see next slide)

Reynolds: Inertia forces/viscous forces…

*

*

*

*

**

*

*

**

*

* 11

irj

i

jeij

ij

i

xz

Fxu

xRxP

xuu

tu

The ππ’s Theorem

• We can study a process with N independent variables and M dimensions building (N-M) non-dimensional groups.

• M Primary variables are chosen for building one non-dimensional group using the remaining variables.

• Primary variables must include all the problem dimensions and it must be impossible to build a non-dimensional group with them.

Shear stress in a pipe

• Shear stress depends on:• Velocity gradient, fluid properties and pipe

material (roughness) . The velocity gradient depends on the average velocity and pip+e diameter. Fluid properties are the specific mass and the viscosity.

• The variables involved are:

• We have 3 dimensions are: Length, Mass, Time) ),,,,,( DUw

Primary Variables and non-dimensional groups

• We need 3 primary variables:• Mass: ρ• Length: D• Time: U• How to build the non-dimensional groups?

333

222

111

*

*

*

LU

LU

LUw

333

222

111

*

*

*

LU

LU

LUw

333

222

111

13*

13*

13*22

LLTML

LLTMLL

LLTMLLMLT

1

111

1

13*22

231

1

111

LLTMLLMLT

2

*

21 U

f w

The 3 non dimensional groups are

e

w

RUD

D

Uf

1

21

*

*

2

3 groups can be represented in a X-Y graph with several curves….

Equação de Bernoulli Generalizada

• É a equação que mais uso faz dos resultados de laboratório e da análise adimensional.

• A energia dissipada em cada região do escoamento pode ser adimensionalizada e determinada a partir de ensaios de laboratório.

EgzVPgzVP

2

2

1

2

21

21

Energy dissipation

2

*

*

*3

2

21 U

Ee

LUEe

LUeL

LMLTVolEnE

2*

2

2

1

2

21

21

21 UegzVPgzVP

Coeficiente de perda de carga num tubo

• Fazendo um balanço de força e de quantidade de movimento:

2*

2

2

1

2

21

21

21 UegzVPgzVP

2*21 2

1 UePP

DLfe

orDfLe

Then

UePP

but

UfDL

DLPP

DLDPP

w

w

21'

*

21*

2*21

2212121

21

2

21

4:

21

:2144

4

• Ver sebenta (capítulo IV), White (capítulos 5 e 6)

Problemas

• Pretende-se ensaiar um submarino construído para navegar a 20 nós utilizando um modelo à escala de 1:100.

• a) determine a velocidade a que deve ser feito o ensaio, se pretendermos garantir semelhança dinâmica.

• b) determine a relação entre a potênica consumida pelo modelo e pelo protótipo.

• C) como procederia para saber a que velocidade poderia fazer o ensaio?

Resolução

• Se o submarino estiver submerso a uma profundidade que já não faça ondas temos que considerar semelhança de Reynolds.

hkmhkmsmsmnósUU

UDUD

PM

PM

PM

/36003600/11000/1000/1000/52.0*20002000100

ReRe

• Esta velocidade seria impossível de conseguir. …• Se a conseguíssemos a potênica necessária seria

enorme

Potência

3

22

22

**

1100

1001

2121

..

..

P

M

PP

MM

P

M

P

M

P

P

M

M

PM

UU

LU

LU

UFUF

PP

UFP

UFPPP

Como fazer?

• Ir ensaiando o modelo a vários Reynolds e calculando a força adimensional:

• O melhor submarino é aquele que tiver a menor força de resistência adimensional.

• O Reynolds deixa de ser importante quando a força adimensional ficar constante.

AU

FCF D2

*

21

Problema

• Determinar a potência necessária para elevar 10 l/s de água a uma altura de 20 metros, utilizando um tubo com 0.5 mm de rugosidade 5 cm de diâmetro e 40 metros de comprimento. Ignore o efeito das curvas e de outros acidentes da instalação.

• Calcule o consumo de energia adicional se a tubagem tivesse 10 curvas e uma válvula de passagem.

Resolução (1/3)

• A Equação de Bernoulli faz balanços de energia por unidade de volume (de massa ou de peso). Sabendo a energia que temos à entrada, a que queremos ter na saída e a que iremos dissipar na intalação poderemos calcular a energia a fornecer.

• Para determinarmos a potência teremos que multiplicar a energia por unidade de massa pela massa por unidade de tempo.

• Se pretendessemos conhecer a energia a fornecer à bomba, precisaríamos de conhecer o seu rendimento.

Resolução (2/3)• A pressão é a atmosférica à entrada e à saída. A

diferença de energia potencial são 20m e a energia cinética é calculável conhecido o caudal e a secção do tubo.

• A energia dissipada por atrito depende de Re e da rugosidade relativa.

01.0505.0

10*510

05.0*/01.0*4/4/4Re 66

222

D

DDQDDQ

Resolução (3/3)

• A potência seriam 4.1kW= 4.1/0.7hp=5.9hp• As curvas têm tipicamente coeficientes de perda de carga de

0.6. Uma válvula de esfera tem um coeficiente quase nulo e uma válvula de globo tem 0.6.

02.04 f

mH

DLf

gzzH

DLfgzgHgz

4217*5*20120

05.040*02.01*5*

20120

4105.001.0*4

21

4*05.001.0*4

21

05.001.0*4

21000

22

2

212

2

2

2

2

21

Problema

• Calcule a força de resistência ao avanço de um carro com cx=0.33, com área frontal de 1.9*1.6 m2 quando se desloca a 120 e a 180km/h. Que hipótese tivemos que fazer sobre a importância de Re para o escoamento?

• Calcule a potência que o motor tem que fornecer em cada uma das condições para vencer a resistência aerodinâmica.

• Calcule a potência que o motor teria que fornecer se o carro pesasse 1000kg e se pretendêssemos passar de 120 para 180 km/h em 10 s.

Resolução (1/2)

• A força de resistência e as potências são: 1hp=0.735 kW

hpPP

hpkWNP

kgNF

AUcF x

73120/180*120180

323.2236001000*120*670

67670

6.1*9.1*36001000*120*2.1*

21*33.0

21

2

22

• A força para acelerar o carro é dada pela lei de Newton. Admitindo que a aceleração era constante:

• NdtdumF i

i 170010

36001000*)120180(

1000

Resolução (2/2)

• No momento em que o carro começa a acelerar a potência seria: de 76 cavalos.

• Se a aceleração se mantivesse constante, ao chegar aos 180 a potência seria de cerca de 100 cavalos.

• Se a isto adicionarmos os 73 da resistência aerodinâmica e a resistência do atrito nos pneus, percebemos porque é que só alguns carros é que permitem grandes acelerações a alta velocidade….