Teorem Kochen-Specker:Implikasi, Variasi & Penyelesaian

Hishamuddin ZainuddinLaboratori Sains Berkomputasi & Informatik, Institut Penyelidikan Matematik

dan

Jabatan Fizik, Fakulti Sains

Universiti Putra Malaysia, 43400 UPM Serdang, Selangor

Susunatur

• Latar belakang teori kuantum

• Teorem KS & pembolehubah tersembunyi

• Teorem KS dua dimensi

• Teorem KS & logik kuantum

• Topos & asas fizik kuantum

• Penyelesaian atau tinjauan

Latar Belakang I

• Fizik kuantum – sukar tapi popular/berjaya• Permasalahan asas teori kuantum: rumit,

cenderung kepada polemik• Kemajuan asas teori kuantum – datang dari

formalisme matematik e.g. ketaksamaan Bell untuk masalah EPR

• Konsep keterbelitan – sumber berguna maklumat kuantum

Latar Belakang II

• Permasalahan teori pembolehubah tersembunyi lwn kem Compenhagen

• Bukti von Neumann bermasalah

• 35 tahun kemudian: teorem Kochen-Specker dan Bell (lebih terperinci)

• Terkini: lumba bukti teorem KS dan formalisme topos

Aksiom Kuantum

• Perbincangan teorem KS – tidak cenderung kpd mana-mana tafsiran

• Guna aksiom lazim:1. Vektor keadaan |> ruang Hilbert H2. Pembolehcerap: operator swa-adjoin O3. Pengukuran: nilai jangkaan <O> = < |O| >4. Dinamik: |,t1> = U(t1t0) |,t0>; U(t) = exp (i2Ht/h), H = Hamiltonan

Bukti von Neumann

• Teori pembolehubah tersembunyi perlu memberi ramalan statistik sama dgn mekanik quantum

• von Neumann (1932) cuba bukti tiada pembolehubah tersembunyi

• Kaedah: manipulasi nilai jangkaan• < a1O1+a2O2+…+anOn >

= a1< O1> + a2< O2 > + … + an < On >• Wujud operator ketumpatan : < O > = Tr(O)• Tiada yang homogen dan rebakan sifar tiada

pembolehubah tersembunyi

Di Sebalik BvN

• Bukti von Neumann bermasalah – tidak tolak terus teori pembolehubah tersembunyi

• Syarat < O1 + O2 > = < O1 > + < O2 > untuk pembolehcerap tak serasi – memang tiada keadaan rebakan sifar

• Hadkan kpd pembolehcerap serasi – OK • Ingat kembali: kaitan nilai eigen – nilai ukuran

pembolehcerap• Gerak hati: tiada masalah jika pembolehcerap

punyai nilai pra-tentu

Teorem KS I

• Mengambil ciri yang perlu saja – nilai pra-tentu bagi pembolehcerap

• Cari fungsi nilaian bagi pembolehcerap O untuk sistem keadaan |>: V(O)

• Bagi pembolehcerap serasi A dan B: V(A+B) = V(A) + V(B)

atau V(AB) = V(A) V(B)

• Juga perlu V(1) = 1

Teorem KS II

• Teorem KS: Tiada fungsi nilaian V jika dimensi ruang Hilbert > 2

• Kochen & Specker (1967): Guna 117 vektor dalam R3 untuk percanggahan nilaian

• Sangat kompleks – ada perlumbaan untuk beri bukti yang paling mudah

Teorem KS III

• Peres (1993): 33 vektorConway & Kochen: 31 vektor

• Dimensi ruang Hilbert = 4 (kes 2 qubit)Peres (1991): 24 vektorKernaghan (1996): 20 vektorCabello, Esterbaranz, Garcia-Alcaine (1996): 18 vektor – kes kritikal

Teorem KS IV

• Dimensi ruang Hilbert = 8Kernaghan & Peres (1995): 20 vektor

• Bukti dgn keadaan tertentuK&P (1995): 13 vektor

• Bukti dgn operator unjuran pangkat 2Toh & Hishamuddin (2009): 5 vektor

Ilustrasi KS I

• Ilustrasi (tanpa vektor) sistem 2 qubit• 9 pembolehcerap:

Setiap baris/lajur – saling serasi

1z z1 z z

x1 1x x x

x z z x y y

Ilustrasi KS II

• Hasildarab dalam setiap baris (B)/lajur (L):B1: (1z)(z1)(z z ) = 1 1B2: (x1)(1x)(x x ) = 1 1B3: (x z)(z x)(y y ) = 1 1L1: (1 z)(x 1)(x z ) = 1 1L2: (z 1)(1 x)(z x ) = 1 1L3: (z z)(x x)(y y ) = 1 1

Ilustrasi KS III• Pemetaan nilaian:

B1: m1z mz1 mzz = 1B2: mx1 m1x mxx = 1B3: mxz mzx myy = 1L1: m1z mx1 mxz = 1L2: mz1 m1x mzx = 1L3: mzz mxx myy = 1

• Setiap nilai m muncul dua kali• Hasildarab kanan = 1; hasildarab kanan = 1

Percanggahan jika nilaian tak berkonteks• Jika nilaian berkonteks – OK (lihat kes berwarna)

(1) (1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1(1) (1) (1) = 1

Implikasi KS I

Jika teori pembolehubah tersembunyi dibenarkan, maka fungsi nilaian adalah berkonteks

Teori pembolehubah tersembunyi berkonteks

Atau tiada pra-nilaian pembolehcerap!

Variasi I KS I

• Gerak hati: struktur matematik kuantum berbeza menyebabkan percanggahan nilaian

• Mengapa perlu kualifikasi dimensi ruang Hilbert (kes qubit tunggal)?

• Benarkan output pengukuran melebihi dimensi ruang Hilbert – guna ukuran bernilai operator positif (POVM)

Variasi I KS II

• Set operator separa tentu positif {Ei} (i = 1…N) dgn i Ei = 1; tidak semesti saling ortogon

• Bagi kes qubit: Ei = N1(I + n.) dgn n vektor unit• Nakamura: heksagon dgn 6 operator Ei

Cabello: dodekahedron dgn 5 set operator (bilangan 20)

• Percanggahan dalam nilaian Ei – berkonteks• Toh & Hishamuddin (2009): model Nakamura

teritlak berdasarkan punca unit

Variasi II KS I

• Sebelum: percanggahan nilaian dalam teorem KS – nilaian {0,1} untuk operator unjuran – dianggap sebagai nilai kebenaran logik

• Aljabar operator unjuran membentuk kekisi Hilbert logik kuantum tapi tidak teragih A (B C) (A B) (A C)

Variasi II KS II

• Itlakkan fungsi nilaian – bukan semestinya nombor

• Isham & Butterfield (1998): guna teori topos pra-rumpunan – pengkelas subojek sebagai ganti {0,1}

• Logik berasaskan aljabar Heyting S S 1

• Döring & Isham (2008): penggunaan bahasa formal, perincian teori aljabar von Neumann

• Landsman & rakan (2007): guna aljabar C* sebagai ganti

• Hishamuddin (20??): … kaedah topos utk kes 2 atau 3 qubit (impian dlm proses)

Implikasi KS II

Jika dibangunkan logik untuk teori kuantum, maka logik kuantum adalah berkonteks dan bernilaian teritlak

Logik kuantum = Logik berintuisi

Atau perlu hadapi logik tak teragih

Penyelesaian?(atau soalan)

• Mana satu dekat dgn konsep realiti yang dikenali? Pemboleh ubah berkonteks atau tiada pra-nilaian yang tentu?

• Mana satu dekat dgn fahaman logik yang dikenali? Logik berkonteks & berintuisi atau logik tak teragih

• Pandangan luaran atau pandangan dalaman?

Tinjauan

• Bukti teorem KS umum dalam POVM• Kaitan antara bukti teorem KS lazim dgn kaedah

topos• Melengkapkan kaedah topos utk pelbagai masalah

teori kuantum• Kaitan kaedah topos dgn kaedah lain spt kaedah

rajah Bob Coecke• Geometri atau struktur tambahan lain dalam

kaedah topos

Penghargaan

• Geran SAGA P55c, ASM, MOSTIGeran Fundamental 01-01-07-170FR, MOHE

• Perbincangan dengan Andreas Döring, Karl Svozil, L.C. Kwek

• Pengurusan ITMA dan INSPEM