Teoría de sistemasIntroducción a la modelización

es u

n m

od

elo

?¿Q

ué

es u

n

Énfasis en aspecto formal, artístico del coche

es u

n m

od

elo

?¿Q

ué

es u

n

Modelo esquemático, transformador de materia y energía

es u

n m

od

elo

?¿Q

ué

es u

n

Diagrama de sistema, incluyendo reguladores de flujo

es u

n m

od

elo

?¿Q

ué

es u

n

Análisis verbal de componentes y función

es u

n m

od

elo

?¿Q

ué

es u

n

Parte de un ciclo global de carbono/energía

es u

n m

od

elo

? Diferentes…

• Perspectivas

• Componentes

• Nivel de detalle (holismo vs. reduccionismo)

¿Qu

ées

un

• Nivel de detalle (holismo vs. reduccionismo)

• Nivel de formalización

DIFERENTES OBJETIVOS

de

mo

del

os

1. Verbales (teorías)

2. Gráficos

3. Matemáticos

Tip

os

de 3. Matemáticos

4. Informáticos

sirv

enlo

s m

od

elo

?1. Comprender mejor los sistemas

2. Integrar y sintetizar conocimientos

3. Predecir

4. Disponer de herramientas para la gestión y la toma de decisiones

5. Explorar el comportamiento de sistemas cuya

¿Par

a q

ué

sirv

en 5. Explorar el comportamiento de sistemas cuyamanipulación sería cara, lenta, de dimensionesexcesivas o éticamente reprobable

NO HAY UN MODELO MEJOR/PEOR

DEPENDE DE LOS OBJETIVOS

de

sist

emas

Economía – relaciones comerciales Ecología – relaciones mutualistas

Teo

ría

de

Sociología– relaciones personales

Electrónica – cara/cruz

Jordi Bascompte

de

sist

emas

BIODIVERSIDAD Y FUNCIONALIDAD DEL ECOSISTEMA: ANÁLISIS DE REDES MUTUALISTAS

Pedro Jordano

Ricard V. Solé

Teo

ría

de

Nombre d’espècies

(En blanc, funcions potencials)

de

sist

emas

BIODIVERSIDAD Y FUNCIONALIDAD DEL ECOSISTEMA: ANÁLISIS DE REDES MUTUALISTAS

Solé i Montoya, 2001

Nombre d’espècies

ConnectànciaTeo

ría

de

BIODIVERSIDAD Y FUNCIONALIDAD DEL ECOSISTEMA: ANÁLISIS DE REDES MUTUALISTAS

Teo

ria

de

sist

emas

Teo

ria

de

QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT

MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITAT

La teoria de la informació es basa en el concepte d’entropia, formulat per C. Shannon (1948) (BellLab.) A partir d’aquesta expressió és senzill veure que existeix una relació entreentropia, informació o diversitat i el nombre de preguntes binàries (de si/no, 1/0) que calformular per a identificar l’estat en què es troba un objecte d’una població o grupd’observacions.

1) Tots els objectes són idèntics. No cal fer cap pregunta per a predir en quin estat es troba unobjecte concret (a quina classe pertany). H=0

2) La meitat dels objectes es troba en un estat, l’altre meitat en l’altre. Només cal fer unapregunta (ex. l’objecte es troba en l’estat 1?)… I per tant H=1

GRUP D’OBSERVACIONS

de

sist

emas

3) Si es consideren quatre estats possibles, caldrà fer un mínim de dos qüestions binàries per a conèixer l’estat d’un objecte triat a l’atzar, i aleshores H=2

Qüestió BinàriaESTAT 1p(a1)=1/2

ESTAT 2p(a2)=1/2

ESTAT 1p(a1)=1/4

ESTAT 2p(a2)=1/4

GRUP D’OBSERVACIONS

ESTAT 3p(a1)=1/4

ESTAT 4p(a2)=1/4

Teo

ría

de

Fixeu-vos que H’=0, H’=1 i H’=2 serien les estimacions de la diversitat de Shannon que calcularíem amb l’expressió H’=-SUM(pi log2 pi)) si ho haguérem calculat per a pi=1, pi=1/2 i pi=1/4 (casos 1, 2 i 3), ja que amb màxima equitativitat, H’=log2 S (on S=1, 2 i 4 estats o espècies, respectivament

ÍNDEX DE SIMPSON

diversitat D = 1/∑(Pi2)

equitativitat Dmax = S; E = D/Dmax = (1/∑(Pi2))(1/S)

ÍNDEX DE SHANNON

QUANTIFICACIÓ DE LA BIODIVERSITAT

MÈTODES: ÍNDEXS DE DIVERSITAT I EQUITATIVITAT

de

sist

emas

diversitat H = -∑(Pi log2 Pi)

equitativitat J = H/Hmax = -∑(Pi log2Pi)/log2S

Comunitats pioneres, pertorbades, contaminades, sobre-explotades 1-3

Fitoplàncton 2’5

Comunitats madures 4-5

Màxim observat 5’3

Valors típics de l’índex de Shannon

Teo

ría

de

Calcula la diversidad de palabras/caracteres de la últimalínea de texto que has escrito

SISTEMAConjunto de reglas o elementos que ordenados contribuyen a un fin

Conjunto de elementos interrelacionadosde

sist

emas

Conjunto de elementos interrelacionados

MODELORepresentación formal de un sistemaTe

orí

ad

e

REALIDAD

SISTEMA 1 MODELO 1

de

sist

emas

FINES, MEDIOS, IDEOLOGÍA (CULTURA)

SISTEMA 2

SISTEMA 3

MODELO 2

MODELO 3Teo

ría

de

UTILIDAD

REALISMO

din

ámic

os

SISTEMAS ESTÁTICOS SISTEMAS DINÁMICOS

Independientes del tiempo Función del tiempo

Sist

emas

din

ámic

os

din

ámic

os

PROYECCIÓNTendencia

PREVISIÓNEvolución de un modelo determinista

SIMULACIONES

Sist

emas

din

ámic

os

SIMULACIONESGeneración de posibles estados del sistema(imágenes) por medio de un modelo, ante diferentes hipótesis o escenarios (es decir, ante diferentes combinaciones de parámetros, valores iniciales de los nivelesy evolución de variables externas)

dinámicosP

RO

YECC

IÓN

: Tend

encia

Variable Y

Sistemas dinámicos

Variable Y

Variab

le X

din

ámic

os

Var

iab

le Y

PREVISIÓN: Evolución modelo determinista

Señala las variables, constantes y parámetros de esta ecuación

Sist

emas

din

ámic

os

Var

iab

le Y

Variable X

Y = a + ebX

din

ámic

os

Var

iab

le Y

SIMULACIONES: posibles estados del sistema

Escenario 2Escenario 1

Escenario 3

Sist

emas

din

ámic

os

Var

iab

le Y

Variable X

bt

tt aN

RNN

)1(1 +=+

Modelo discreto de competencia intraespecífica

Determinismo impredecibled

inám

ico

sSi

stem

asd

inám

ico

s

TIPOS DE ESTABILIDADResistencia, Resiliencia

din

ámic

os

Sist

emas

din

ámic

os

ESTABILIDAD DE UN SISTEMA

Constancia o persistencia: capacidad de un sistema de no cambiar.

Resistencia o inercia: tasa de cambio en respuesta a unapresión externa. Un sistema inerte es aquel que es capaz de resistir fluctuaciones externas.

din

ámic

os

Resiliencia: tendencia de un sistema a volver al estado inicialtras una perturbación.

Elasticidad y amplitud: medidas de resiliencia. Elasticidades la velocidad a la que un sistema vuelve al estado original. Amplitud es una medida de la magnitud de la variación quepuede experimentar un sistema, manteniendo su capacidadde volver al estado original.

Sist

emas

din

ámic

os

Parameter shift: temperature, pH...

State variable shift: population density, Nº of

starting state forward perturbation

same reverse perturbation

din

ámic

os

State variable shift: population density, Nº of reproductive individuals...starting state forward

perturbationsame reverse perturbation

Beisner et al., 2003. Front. Ecol. Environ. 1(7)

Sist

emas

din

ámic

os

din

ámic

os

Nutrients

Scheffer et al., 2001. Nature 413

Sist

emas

din

ámic

os

dinámicosH

ISTÉRESIS

Sistemas dinámicos

dinámicosB

ifurcacio

nes

Sistemas dinámicos

En el ejemplo anterior, representa en un modelográfico las variaciones del flujo de hormigas en función de las dimensiones de la población

Recordad:din

ámic

os

Recordad:Fase 1. Por ambos orificios.Fase 2. Alternativamente por uno u otro.Fase 3. Predominantmente por uno de ellos.

Sist

emas

din

ámic

os

din

ámic

os

MODELOS DE ESTADO Y TRANSICIÓNSi

stem

asd

inám

ico

s

M. Derak (2011)

dinámicosC

atástrofes

Sistemas dinámicos

CARACTERÍSTICAS ESTRUCTURALES DE UN SISTEMA

• Elementos (endógenos/exógenos)

• Relaciones

• Límites

de

sist

emas

CARACTERÍSTICAS ESTRUCTURALES DE UN SISTEMA

• Elementos (endógenos/exógenos)

• Relaciones

CARACTERÍSTICAS ESTRUCTURALES DE UN SISTEMA

• Elementos (endógenos/exógenos)Te

orí

ad

e

COMPARTIMENTO (pool, compartment; compartiment): material con unas determinadas características físicas, químicas o biológicas bajo unas determinadas condiciones

FLUJO (flux; flux): cantidad de material, energía o información transferida desde un compartimento

de

sist

emas

información transferida desde un compartimento (variable de estado) a otro por unidad de tiempo.

FUENTE (source, font): Origen de un flujo

SUMIDERO (sink, embornal): Destino de un flujo.

BALANCE : Revisión de las fuentes y sumideros que afectan a un compartimento

Teo

ría

de

CARACTERÍSTICAS FUNCIONALES DE UN SISTEMA

• Válvulas que controlan los flujos

• Retrasos (efectos hereditarios, inercia)

• Bucles de retroalimentación, cadenas de causalidad o

de

sist

emas

• Bucles de retroalimentación, cadenas de causalidad o influencias circulares

Teo

ría

de

Dia

gram

asca

usa

les

Relaciones causales

Depresivos (reguladores o estabilizadores):

Bucles de retroalimentación

Dia

gram

as

Explosivos:

Dia

gram

asca

usa

les

Pieles en el mercado de Londres (x1000)

Dia

gram

as

Más de dos interaccionesD

iagr

amas

cau

sale

s Simples

Complejos o superpuestos

Sólo signos + � Explosivo

Sólo signos - � explosivo(par) o depresivo (impar)

Combinado � Si Σ– es par: explosivo, impar: depresivo

Dia

gram

as Complejos o superpuestos

Combinaciones complejasdifíciles de predecir

Grafica los bucles de causalidad simple que describen las interacciones ecológicas en las costasdel Oeste de EE.UU.

Dia

gram

asca

usa

les

Dia

gram

as

CARACTERÍSTICAS ESTRUCTURALES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Elementos (variables y parámetros). Definición precisa de un elemento cuya magnitud varía en el tiempo. Endógenos (variables dependientes) y

de

sist

emas

exógenos (variables independientes o explicativas)

Relaciones. Relaciones funcionales o funciones que relacionan variables y parámetros (ecuaciones). Redes.Te

orí

ad

e

de

sist

emas

VARIABLES ENDÓGENAS

CARACTERÍSTICAS ESTRUCTURALES DE LOS MODELOS MATEMÁTICOS

Teo

ría

de

VARIABLES EXÓGENAS

PARÁMETROS

Y1=A+B X1 + C Y2

Y2 = B X2 eD

din

ámic

os

dY1/dt = f (X, Y, Θ)dY2/dt = f (X, Y, Θ)Y = f (X, Θ , T, Y0)

Donde Θ corresponde a parámetro(s) y T a tiempo

Y

constante

Y

lineal

Y

exponencial

Sist

emas

din

ámic

os

Tiempo

Y

Tiempo

Y

Tiempo

Y

Tiempo

Y

sigmoidea

Tiempo

Y

oscilatoria

Tiempo

Y

oscilatoria atenuada

PROCESO DE ORDEN CERO: Si se trata de un flujo de salida independiente del volumen del compartimento.

PROCESO DE PRIMER ORDEN: Si se trata de un

de

sist

emas

PROCESO DE PRIMER ORDEN: Si se trata de un flujo de salida proporcional a las dimensiones del compartimento (F = k M)

PROCESOS DE ORDEN 2, 3,…: F = k Mα donde α>1

Teo

ría

de

Si consideramos un proceso de primer orden, describe gráficamente en un modelo DISCRETO la evolución del compartimento (C) en relación al tiempo (t), considerando que k=0,5 y que el flujo (F) es de salida (no hay flujo de entrada).

F=kMM

de

ord

en1

t

Pro

ceso

sd

e

Considerando que la entrada de aire troposférico en la estratosfera es del 75 % cada año y que la atmósfera se comporta como u n sistema estable 75 % cada año y que la atmósfera se comporta como u n sistema estable con una dinámica de orden 1, calcula la tasa de ren ovación (k) del aire en la estratosfera.

En el caso continuo:

lnlnln

1

tto

MtMo

t

to

Mt

Mo

toktkMoMtktM

dtkdMM

dtkM

dMMk

dt

dM

⇒⋅−⋅=−⇒=⇒

⋅=⋅⇒⋅=⇒⋅= ∫∫

de

ord

en1

)()(ln totkeMo

Mttotk

Mo

Mt −=⇒−=⇒

kttkee

Mo

Moe

Mo

Mt

MoMt

tktkkt 693.0693.05.0

5.0

5.0

=⇒⋅−=−⇒=⇒=⋅⇒=

⋅=

⋅−⋅−−

Y la Vida Media : K: Tasa de renovación (F/M, T-1)TMR: Tiempo Medio de Residencia (1/k, M/F, T)P

roce

sos

de

Considerando que la entrada de aire troposférico en la estratosfera es del 75 % cada año y que la atmósfera se comporta como u n sistema estable con una dinámica de orden 1, calcula la tasa de ren ovación (k) del aire en la estratosfera y el tiempo medio de residencia (TMR).

A continuación, utiliza el modelo continuo para esti mar qué porcentaje de las emisiones que alcanzaron la estratosfera tras la erupción del volcán Eyjafjallajökull (abril de 2010) quedarán ahí en abr il de 2014

Considerando que el flujo de aire troposférico en la estratosfera es del 75 % cada año y que la atmósfera se comporta como un sistema estable con una dinámica de orden 1…

Calcula el tiempo medio de residencia del aire en la estratosfera (TMR) y la tasa de renovación (k)

Utiliza el modelo continuo para estimar qué porcentaje de las emisiones que alcanzaron la estratosfera tras la erupción del volcán Eyjafjallajökull quedarán ahí en abril de 2014

de

ord

en1

añosTMR

añosTMRK

MF

FMTMR

_3.175.01

_75.01

75.0

1

)

==

==

=

=

−05.0

_4

3475.0*0

*

*0

*

===

=⋅=

−×−

−

eeM

M

añost

eMM

t

ktt

Pro

ceso

sd

e

1. Calcula la tasa de renovación del N en un lagoconsiderando que se trata de un sistemaestable de orden 1 , el lago tiene 10 Hm3, la concentración de N en sus aguas es de 1 ppm y recibe unas entradas anuales de 200 kg N.d

e o

rden

1

recibe unas entradas anuales de 200 kg N.

2. ¿Cuánto tiempo deberá transcurrir, traseliminar las fuentes de N, para que los nivelesde N se reduzcan a un tercio de los actuales?

Pro

ceso

sd

e

fun

cio

nal

del

sist

ema A partir de los diagramas causales, con un mayor nivel de formalización...

An

ális

isfu

nci

on

al

http://en.wikipedia.org/wiki/System_dynamicshttp://ssmworld.mit.edu/streams/reunion2002/forrester_20010521.html

J.W. FORRESTER

fun

cio

nal

del

sist

ema

Nube: fuente/sumidero, en la prácticainagotable

Variable de estado: nivel, stock o acumulación de flujo

Variable auxiliar: ayuda a explicar el valor de un flujo

Parámetro: tasa, magnitud constante en cualquier dimensión

An

ális

isfu

nci

on

al

Variable de flujo: variación de nivel, cambio en estado de un sistema

Canal de materia: acción de un flujo sobre un nivel en relación con la materia

Canal de información: acción de un flujosobre un nivel en relación con información

Retraso: transmisión de información no inmediata (período más largo que el elegidocomo unidad temporal del análisis)

Variable exógena: independiente, no se ve afectada por el sistema

fun

cio

nal

del

sist

ema Algunas reglas

1. Canal de materia: se debe establecerentre nube y nivel, o entre niveles

2. Canal de información: conecta causas y efectos: nunca irán de variables endógenas a exógenas

3. Canal de información: no conecta

An

ális

isfu

nci

on

al

3. Canal de información: no conectavariables de flujo o tasas con variables de estado, sinó al revés.

4. Se puede establecer relaciones funcionales alternativas (condicionaleso de ‘clip’): Y1=f(X), Y2=f(Z), Y=MAX(Y1,Y2)

5. Cuando una variable influye sobre ella misma se usa un símbolo de retraso

Dibuja un diagrama causal sobre algún aspectorelativo al cambio climático

fun

cio

nal

del

sist

ema

An

ális

isfu

nci

on

al

funcional del sistemaAnálisis funcional

Dibuja un diagrama causal a partir de esta foto

3 4 . 2 7 L

fun

cio

nal

del

sist

ema

Apertura grifo

An

ális

isfu

nci

on

al

grifo

Flujo gasolina

Nivel depósito

Diferencia 40 € - nivel depósito

Modelo verbal: Esta chica quiere llenar el depósito hasta los 40 litros.

fun

cio

nal

del

sist

ema

POBLACIÓN

DEFUNCIONES

Tasa de defunciones

MIG

RA

CIO

NES

An

ális

isfu

nci

on

al

NACIMIENTOS

Tasa de nacimientos

fun

cio

nal

del

sist

ema

calor

pérdidade calor

Factor de pérdida

temperatura

discrepancia

An

ális

isfu

nci

on

al

calor

generaciónde calor

discrepancia

Temperatura deseada

3 4 . 2 7 L

Ahora inténtalo con un diagrama de Forresterfu

nci

on

ald

elsi

stem

a

Gasolinera

40 €

An

ális

isfu

nci

on

al

Gasolinera

Depósito coche

Discrepancia Grifo

Modelo verbal: Esta chica quiere llenar el depósito hasta los 40 litros.

Dibuja un diagrama de Forrester que tenga en cuenta competencia INTRAespecífica en natalidad

fun

cio

nal

del

sist

ema

An

ális

isfu

nci

on

al

Población A

Muertes

Discrepancia

KA

fun

cio

nal

del

sist

ema

dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA

POBLACIÓN

NACIMIENTOS

Tasa de nacimientos

Nacimientos

Población ADiscrepancia

r

An

ális

isfu

nci

on

al

Competencia intraespecífica(natalidad)

dNA/dt = rANA (KA-NA)/KA

Ahora intenta hacer un diagrama de Forrester que tenga en cuenta competencia iNTRAespecífica e INTERespecífica en natalidad

fun

cio

nal

del

sist

ema

An

ális

isfu

nci

on

al

Población A

Muertes

Discrepancia

KA

Población B

fun

cio

nal

del

sist

ema

Nacimientos

PoblaciónA

Muertes

Discrepancia

KA

r

Nacimientos

Población ADiscrepancia

r

Población B

αAB

An

ális

isfu

nci

on

al

Competencia intra+interespecífica (natalidad)

dNA/dt = [rANA (KA-NA)/KA] - NBαAB

funcional del sistemaO

trasrep

resentacio

nes

form

ales: Od

um

Análisis funcional

fun

cio

nal

del

sist

ema Recopilando... Fases de la modelización

1. Descripción del sistema. Identificación de sus elementos y relaciones fundamentales

2. Diagrama causal

3. Definición precisa de cada magnitud, código de variables

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

1. Descripción del sistema. Identificación de sus elementos y relaciones fundamentales

2. Diagrama causal

3. Definición precisa de cada magnitud, código de variables

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

An

ális

isfu

nci

on

al

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

5. Sistema de ecuaciones

6. Calibrado

7. Análisis de sensibilidad

8. Contrastado

9. Simulación

4. Diagrama de Forrester/MDS/...

5. Sistema de ecuaciones

fun

cio

nal

del

sist

ema Calibrado

Asignar valores a los parámetros y valores iniciales a las variables de estado. En ocasiones puede ser el principal objetivo de la modelización(por ejemplo, cuando variable dependiente sea la más conocida).

• Búsqueda bibliográfica

• ‘Best guess’, opinión experta...

An

ális

isfu

nci

on

al

• Experimentación

• Sintonización con resultados o comportamientos conocidos del modelo (ensayo y error). Métodos de remuestreo (Bootstrapping, Jackknifing).

UNIDAD VAR X VAR Y

1 X1 Y1

2 X2 Y2

3 X3 Y3

4 X4 Y4

MO

DEL

O

fun

cio

nal

del

sist

ema

Métodos de remuestreo

CA

LIBR

AC

IÓN

4 X4 Y4

5 X5 Y5

6 X6 Y6

7 X7 Y7

MO

DEL

O

An

ális

isfu

nci

on

al

CA

LIBR

AC

IÓN

fun

cio

nal

del

sist

ema Análisis de sensibilidad

Evaluación de cambios en las variables endógenas como consecuencia de variaciones en el valor de los parámetros.

Fase importante en el proceso de calibrado

Peso actual

An

ális

isfu

nci

on

al

Contrastado

Grado de ajuste entre modelo y hechos observados

¿Cómo se mide este ajuste?

Normas de convergencia: (Yc-Yo)/Yo < εDonde Yc = valor estimado o previsto, Yo = valor observado y ε es el error admisible

fun

cio

nal

del

sist

ema

admisible

Además, esta fase se puede usar para escoger el “mejor” modelo…

An

ális

isfu

nci

on

al

Suma de Cuadrados Residual

Y D

ata

468

1012141618

Y=Yo+a*XRSS=24.4p<0.0001

Y=Yo+a*X+b*X^2+c*X^3RSS=13.8p<0.0003

Contrastado

Cuando hay varios modelos posibles... ¿cómo optar por uno u otro?fu

nci

on

ald

elsi

stem

a

X Data

0 2 4 6 8 10 12

02

X Data

0 2 4 6 8 10 12

Y D

ata

02468

1012141618

Y=Yo+a*X+b*X^2RSS=23.9p<0.0002

Y=a*X^bRSS=24.5p<0.0001

An

ális

isfu

nci

on

al

Contrastado

AIC: CRITERIO DE INFORMACIÓN DE AKAIKEfu

nci

on

ald

elsi

stem

a

AIC = 2k – 2 ln(L)

Nº de parámetros Función de verosimilitud

An

ális

isfu

nci

on

al

AIC = n ln(RSS/n) + 2k + C

Se puede obviar en comparaciones entre

modelos

Suma de CuadradosResidual

Nº de muestras

RECURSOS

• Martínez, S. y Requena, A. (1986). Dinámica de sistemas. 1. Simulación por ordenador. AlianzaEditorial. Madrid.

• Aracil, J. y Gordillo, F. (2002). Dinámica de sistemas. Alianza Universidad Textos. Madrid.• Caselles, A. (2008). Modelización y simulación de sistemas complejos. Publicacions de la Universitat

de València. València. http://www.uv.es/~caselles/Mod1.pdf• Jorgensen, S. and Bendoricchio, G. Fundamentals of ecological modelling. 3d Ed. Developments in

Environmental Modelling 21. Elsevier. Oxford.• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion• http://www.slideshare.net/jaisraal/modelos-de-simulacion