Embed Size (px)
Citation preview
Teoría de Conjuntos y Conjuntos Numéricos
U N I V E R S I D A D D E P U E R T O R I C O E N A R E C I B O
D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A S
P R O F A . Y U I T Z A T . H U M A R Á N M A R T Í N E Z
A D A P T A D A P O R
P R O F A . C A R O L I N E R O D R Í G U E Z M A R T Í N E Z
¿Qué es un conjunto?
Un conjunto es una colección bien definida
de objetos.
“Bien definida” se refiere a que para cualquier objeto que consideramos, podemos determinar si está o no, en el conjunto.
Una colección no está bien definida si el criterio que determina si un elemento pertenece o no al conjunto depende de opiniones o preferencias.
Ejemplos
Conjuntos bien definido
El conjunto de las vocales del alfabeto español.
El conjunto de los profesores de matemáticas de la UPRA durante el primer semestre del 2012-2013.
Conjunto que NO está bien definido
El conjunto de los mejores sabores de mantecado
El conjunto de los actores más guapos de Hollywood
Notación de lista para conjuntos
Los objetos que forman un conjunto se llaman los elementos del conjunto.
Un conjunto se puede representar enumerando sus elementos separados por comas y entre llaves.
Esta notación se conoce como forma de listado o lista.
Por ejemplo:
1. Los elementos del conjunto de las vocales del alfabeto español son {a, e, i, o, u}.
2. Los elementos del conjunto de los colores primarios se son {azul, rojo, amarillo}.
Notación de elementos
Los elementos del conjunto se denotan o representan con letras minúsculas.
Se utilizan letras mayúsculas, como A, B, y C, para representar conjuntos.
Para un conjunto A, escribimos a ∈ A si a es un elemento de A (∈ significa “pertenece al conjunto”).
Para un conjunto A, escribimos a ∉ A si a NO es un elemento de A (∉ significa “NO pertenece al conjunto”).
Por ejemplo:
Sea B = {☼, ♫, ☺, □} entonces,
☺___ B
@ ___B
Conjunto vacío
El conjunto vacío o nulo, es el conjunto que NO contiene elementos.
Se denota como {} o Ø.
Por ejemplo:
El conjunto de los estudiantes de este salón que han ido al satélite de la Tierra llamado la Luna.
Subconjunto
C es subconjunto de D y escribimos
C D
si cada elemento de C es un elemento del conjunto D.
El conjunto vacío es un subconjunto de cualquier conjunto. ∅ A, es cierto para cualquier conjunto A.
Por ejemplo:
Sea D = {1, 2, 3, %, 0} y C = {%, 1} entonces, C D.
Cierto o Falso: D D.
Ejemplo
Si A = {lunes, martes, jueves} y B = {lunes, martes, viernes} entonces B no es subconjunto de A.
¿Por qué?
Si B no es subconjunto de A, escribimos
B A.
Cierto o Falso: ø B. ______
Conjuntos numéricos
Naturales
Números de conteo
{1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
A este conjunto se le asigna la letra N.
N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Cardinales
• Son utilizados para medir el tamaño de los conjuntos, o sea, el número de elementos en un conjunto dado.
• Se compone de los números naturales + cero
• En inglés el conjunto se llama “Whole Numbers” por lo que algunos le designan la letra W.
{0,1, 2, 3, 4, 5, 6, …}
Opuestos de naturales
2 0
Dos números son opuestos o inversos aditivos si al sumarlos el total es cero.
Por ejemplo:
En general, cualquier número real más su opuesto es igual a cero.
Para n un número real,
n + (─n ) = ─n + n = 0.
1 1 0
2
(-5) + = 0 5
(-10) + = 0 10
Enteros
La unión de los naturales, cero y los opuestos de los naturales
{…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
es el conjunto de los enteros.
A este conjunto se le asigna la letra Z.
Z = {…, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, …}
Sub-conjuntos de los Enteros
implica “es subconjunto de”
El conjunto de los naturales es subconjunto del conjunto de los enteros, N Z, ya que todos los elementos de N están en Z.
El conjunto de los cardinales es un subconjunto de Z, W Z.
Más sub-conjuntos de los Enteros
Al conjunto {0, 1, 2, 3, 4, …} se le llama el conjunto de los enteros no negativos pues no contiene enteros negativos.
Al conjunto {…, −4, −3, −2, −1, 0} se le llama el conjunto de los enteros no positivos pues no contiene enteros positivos.
El conjunto de los enteros positivos es {1, 2, 3, 4, …} y se denota 𝑍+
El conjunto de los enteros negativos es {…, −4, −3, −2, −1} y se denota 𝑍−.
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Racionales
A este conjunto se le asigna la letra Q.
Este conjunto está compuesto por los enteros, las fracciones de naturales y los opuestos de las fracciones de naturales.
𝑄 =𝑝
𝑞| 𝑝 ∈ 𝑍, 𝑞 ∈ 𝑍 𝑦 𝑞 ≠ 0
Racionales
Ejemplos:
5
3
11
4
11
4
8
5
8
5
9
2
9
2
42
8
33
9
07
0
Fracciones
de
naturales
Opuestos de
fracciones de
naturales
Enteros
510
50
Tipos de números racionales
Cualquier número racional se puede representar con uno de dos tipos de números decimales:
decimal exacto
Ejemplo:
decimal periódico
Ejemplo:
2504
1.
3033303
1.....
3
8= 0.375
5
12= 0.41666… = 0.416
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturales Opuestos de fracciones
de naturales
Racionales
Irracionales
Un número que NO se puede representar como el cociente de dos enteros, es irracional.
La representación decimal de los números irracionales
a) nunca termina (no es exacta)
b) nunca se repite (no es periódica).
Irracionales
Ejemplos
Comparación entre un número racional y uno irracional
0.714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285714285 …
1.4142135623730950488016887242096980785696718753769480731766797379907324784621070388503875343276415727350138462309122970249248360558507372126441214970999358314132226659275055927557999505011
2 5
7=
Reales
Es la unión del conjunto de los números racionales y del conjunto de los números irracionales.
Básicamente, es el conjunto que contiene todos los números que usamos en nuestro diario vivir para hacer cómputos.
Se denota con R.
Naturales
N={1, 2, 3, 4, …} {0} {-1, -2, -3, …}
Enteros,
Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}
Fracciones de naturales Opuestos de fracciones
de naturales
Racionales,
Q = {p/q | p, q son enteros y q ≠ 0}
Irracionales
Reales, R
Otro diagrama, R
5
3
9
2
-2
2
-7
0 1 7
250.
30.
Irracionales
π
2
3 4
e
Reales, R
Racionales, Q
Enteros, Z
Naturales, N
Todo número real es un número racional o irracional.
¿Cuál miembro de A pertenece a cada conjunto?
A = 0,−𝜋,4
3, 2 3, 1.414,
2
7, 12. 3 , 7, −23
NATURALES:
ENTEROS:
RACIONALES:
IRRACIONALES:
REALES:
Notación constructiva o generadora de conjuntos
Notación constructiva o generadora para conjuntos
Otra representación para un conjunto es la forma constructiva o generadora de conjuntos.
En esta forma se define un conjunto enunciando propiedades que deben tener sus elementos.
Al igual que en forma de listado se utilizan llaves.
Ejemplo:
Escriba el conjunto A = {1, 2, 3, 4, 5, …, 10} en notación constructiva.
Notación constructiva
Ejemplo: Escriba el conjunto C = {1, 2, 3, 4, 5,…, 100} en notación constructiva.
C = {x ∈ N | x < 101}
C = {x ∈ N | x ≤ 100}
Ejemplo: Escriba el conjunto “los naturales entre 5 y 10” en notación constructiva usando notación de conjuntos y en forma de lista:
C = {x ∈ Z | 0 < x < 101}
C = {x ∈ Z | 1 ≤ x ≤ 100}
La recta numérica real
Los números reales se pueden localizar en una recta numérica, colocando un punto en la localización correcta del número.
A = −2, 0, 2, −1
2,1
3, 𝜋,
11
4, − 2, 16
Práctica
Localice los números reales que se muestran en la recta numérica.
−
𝟏𝟓
𝟒 , −
𝟓
𝟑, 𝟓. 𝟐𝟓,
𝟕
𝟔, 𝟐 𝟑
Subconjuntos de reales
Subconjuntos de los números reales
Subconjuntos de los Reales se pueden representar con notación de intervalo
Un intervalo abierto representa un subconjunto de reales que está entre dos números, pero sin incluirlos.
Ejemplo
Escribir en notación de intervalo el siguiente conjunto: “Todos los números entre 3 y 6.”
Cierto o Falso
_____ 𝝅 ∈ 𝟑, 𝟔
_____ 𝟐𝟕
𝟒 ∈ 𝟑, 𝟔
_____ 𝟏𝟏
𝟐 𝟑, 𝟔
Intervalo cerrado
Un intervalo cerrado representa un subconjunto de reales entre e incluyendo dos números.
Ejemplo
Escribir en notación de intervalo el conjunto que contiene: “todos los números desde -2 hasta 7, incluyéndolos.”
Cierto o Falso
_____ 𝟐𝝅 ∈ [-2, 7]
_____ −𝟑
𝟐 [-2, 7]
_____ 𝟎 ∈ [-2, 7]
Intervalos infinitos
Un conjunto de reales mayores que un número dado se expresa:
Ej: Escribir en notación de intervalo “Todos los
números mayores o iguales a negativo 4”.
Intervalos infinitos
Un conjunto de reales menores que un número dado se expresa.
Ej: Escribir en notación de intervalo “Todos los
números menores que 11”.
• (−∞, 11)
• Como desigualdad: x < 11
• Como gráfica:
Práctica
Complete la tabla.
Exprese cada intervalo en notacion generadora y construya la gráfica
Práctica
𝑎) {𝑥|𝑥 ≥ 5} en notación de intervalo
𝑏) 𝑦 0 < 𝑦 ≤ 10 en notación de intervalo
𝑐) 𝑉 = “naturales menores que 20 pero mayores o iguales a 3”, en
notación generadora de conjuntos y en forma de listado
Operaciones con conjuntos
Operación de conjuntos: Unión
Para A, B la unión de A y B está dada por:
A B = {x | x A o x B}.
Este conjunto contiene a los elementos en A o en B o en ambos.
Ejemplo
Si A = {2, 4, 6, 8, 10}, B = {6, 8, 10, 12, 14} y
C = {4, 6, 10}, determine:
1. A B =
2. A C =
3. B C =
Operación de conjuntos: Intersección
Para A, B la intersección de A y B está dada por:
A B = {x | x A y x B}.
Este conjunto contiene todos los elementos que están en A y en B, simultáneamente.
Ejemplo
Si A = {1, 3, 5, 8, 10}, B = {1, 6, 8, 10, 12, 14} y C = {14, 16, 18}, determine:
1. A B 2. B C 3. A C 4. C B
Conjuntos disyuntos
Si A B = Ø entonces A y B son conjuntos disyuntos.
Dos conjuntos son disyuntos si no tienen elementos en común.
En el ejemplo de la pantalla anterior, A y C son disyuntos.
Ejemplo: Cierto o Falso
_____ 𝑍 ∩ 𝑄 = ∅
_____ Q y el conjunto de los irracionales son
conjuntos disyuntos.
Determinar cada unión o intersección si:
A={2,5}, B={5, 7, 9},
C={x | x sea impar y menor que 9}
D={x | x sea par y menor que 9}
