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Conjuntos Numéricos
Conjunto
Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.
Exemplos:
Conjunto dos números naturais pares;
Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de um determinado colégio;
Conjunto dos números primos;
Formas de representar um conjunto
1º caso: Forma de listagem
Exemplo: Conjunto dos números pares positivos P = {2, 4, 6, 8,...}
2º caso: Propriedades dos elementos
Exemplo: Conjunto dos números pares positivo P = { x / x é par e positivo}
3º caso: Diagrama de Venn
Exemplo: Conjunto dos números pares maiores que 2 e menores ou igual a 8.
Relação de Pertinência
Para relacionar elemento com conjunto é utilizado o símbolo de
(pertence) e (não pertence).
Exemplo:
Se x pertence a um conjunto A, então dizemos que x A
Se y não pertence a um conjunto A, então dizemos que y A
Conjunto Vazio
Quando um conjunto não possui elementos então dizemos que o
conjunto é vazio representado por ou { }.
Exemplo:
= {x; x ≠ x}
Conjunto Universo
Quando um conjunto é formado por todos os elementos então dizemos que o conjunto é o universo U
Exemplo:
U={x; x=x}
Subconjunto
Se todo elemento de um conjunto A também é elemento de um conjunto
B então dizemos que A B lê-se (A esta contido em B), ou seja, A é subconjunto de B.
Observação importante
A A, todo conjunto esta contido nele mesmo;
A, o conjunto vazio esta contido em qualquer conjunto;
Se um conjunto A possui n elementos então ele possui 2n
subconjuntos;
O conjunto formado por todos os subconjuntos de um conjunto A é denominado conjunto das partes de A e é indicado por P(A). Assim, se A = {1,2}, o conjunto das partes de A é dado por
P(A) = {,{1},{2},{1,2}}.
Conjuntos numéricos fundamentais
Entendemos por conjunto numérico, qualquer conjunto cujos elementos são números. Existem infinitos conjuntos numéricos, entre os quais, os chamados conjuntos numéricos fundamentais, a saber:
Conjunto dos Números Naturais
Os números que trabalhamos são distribuídos em forma de conjuntos, primeiro foi definido os Números Naturais representado pela letra N, o conjunto dos números naturais é formado por N={0,1,2,3,4,...}, este
conjunto é infinito, ou seja, não tem fim, porém possui inicio que é o número “zero”. Observou-se que este conjunto não é fechado quanto à subtração e a divisão, pois nem toda subtração e divisão de números naturais é um número natural.
Exemplo:
10 – 15 = ?
500 – 800 = ?
12 : 5 = ?
8 : 7 = ?
Conjunto dos Números Inteiros
Como podemos vê não existe nenhum número natural que represente a diferença 10 – 15 lê-se “ dez menos quinze” ou 500 – 800 lê-se “quinhentos menos oitocentos” assim surgiu à necessidade de se construir outro conjunto, chamado de Números Inteiros, representado pela letra Z.
O Conjunto dos números inteiros Z = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,...}, é formado por todos os números naturais mais seus opostos, lembrando que o zero é tido como nulo ou neutro, ele não é nem negativo nem positivo.
É comum encontrarmos os números inteiros no dia a dia.
Exemplo:
Quando verificamos a situação de débito ou crédito de uma conta bancária.
Quando medimos a temperatura de um líquido
Quando utilizamos o elevador de um prédio.
Reta Numérica
Observe que a reta tem uma seta que indica a ordem de crescimento dos números, que crescem da esquerda para a direita, assim -7 é menor que -2, 0 é maior que -6 e assim por diante.
Vamos comparar alguns números inteiros
-3 > -8, lê-se “ -3 é maior que -8”
-15 < +10, lê-se “-15 é menor que +10”
-200 < 0, lê-se “-200 é menor que 0”
Observação importante:
Zero é maior que qualquer número negativo;
Menos um é o maior número negativo;
Zero é menor que qualquer número positivo;
Qualquer número positivo é maior que qualquer número negativo;
Números opostos ou simétricos
Observe que a distância de -5 até o zero é a mesma do +5 até o zero, estes números são chamados de opostos ou simétricos.
Exemplos:
-4 é o oposto ou simétrico de 4;
20 é o oposto ou simétrico de -20;
-100 é o oposto ou simétrico de 100;
Adição e Subtração de Números Inteiros
Adição:
1º Passo:
Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:
Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.
Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai.
Exemplos:
(+7)+(+3)= +7 +3 = +10
(- 8)+(- 5) = -8 -5 = - 13
(+12) + (-10) = +12 -10 = + 2
(-30) + (+25) = -30 +25 = - 5
Subtração:
1º Passo:
Tiramos os parênteses e trocamos o sinal do número depois da subtração
2º Passo:
Sinais iguais conserva-se o sinal e soma.
Sinais diferentes conserva-se o sinal do número mais distante do zero e subtrai.
Exemplos:
(+7) - (+3)= +7 -3 = +4
(- 8) - (- 5) = -8 +5 = - 3
(+12) - (-10) = +12 +10 = +22
(-30) - (+25) = -30 -25 = - 55
Observação importante:
Para facilitar o entendimento ao efetuar o 2º passo tanto da adição como da subtração pode pensar em débito (número negativo) e crédito (número positivo).
Multiplicação e Divisão de Números Inteiros
Ao multiplicarmos ou dividirmos dois números inteiros efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
(-5) x (-7) = + 35
(+5) x (+7) = +35
(+15) : (+3) = + 5
(-15) : (- 3) = + 5
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
(-5) x (+7) = - 35
(+5) x (-7) = - 35
(+15) : (-3) = - 5
(-15) : (+3) = - 5
Potenciação de Números Inteiros
Uma potência representa a quantidade (n) de vezes que um número (a) é multiplicado por ele mesmo. Representamos simbolicamente uma potência por a
n, onde definimos:
a, como a base
n, como o expoente.
Exemplo:
(+2)x(+2)x(+2)=+8=(+2)3, lê-se “mais dois ao cubo”
(-3)x(-3) = +9 = (-3)2, lê-se “menos três ao quadrado”
Regras para efetuar uma potência
1ª Caso: Se o expoente for zero, a resposta será igual a 1.
Exemplo:
(-3)0 = 1
(+500)0 = 1
Observação Importante:
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:
Exemplo:
- 30 = -1
2º Caso: Se o expoente for natural par, a resposta será sempre positiva.
Exemplo:
(-3)2 = (-3)x(-3)=+9
(+2)4 = (+2)x(+2)x(+2)x(+2) = +16
3º Caso: Se o expoente for natural impar, a resposta terá o mesmo sinal
da base.
Exemplo:
(-3)3 = (-3)x(-3)x(-3)=(+9)x(-3)= - 27
(+2)5= (+2)x(+2)x(+2)x(+2)x(+2)=(+4)x(+4)x(+2)=(+16)x(+2)=+32
Observação Importante:
Sem os parênteses haverá mudança no resultado:
(-2)2 = (-2)x(-2)=+4
-22 = -(2)x(2)= -4
Radiciação de Números Inteiros
A radiciação é a propriedade inversa da potenciação, logo se 32 = 9
então a raiz quadrada de 9 é 3, ou seja,
.
Representamos simbolicamente um radical por onde definimos:
a, como radicando
n, como índice.
Exemplo:
, pois 5 x 5 = 25
, pois 7 x 7 = 49
, não existe raiz de número negativo com índice par.
, neste caso o menos esta fora da raiz, portanto existe resultado que é -9.
, pois (-2)x(-2)x(-2)= - 8
, pois 2 x 2 x 2 = 8
Propriedade:
Exemplo:
Resolvendo Expressões Numéricas com Números Inteiros
É fundamental para a resolução de uma expressão numérica seguirmos alguns passos. Priorizamos nesta ordem às operações de potenciação e radiciação, multiplicação e divisão e por último soma e subtração obedecendo também à ordem de eliminação dos parênteses, colchetes e por último as chaves.
Exemplo:
a) [(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = [(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = [1.3 + 12] : 5 = [3 + 12 ] : 5 = 15 : 5 = 3
Observação importante:
1º) Caso tenha uma expressão com multiplicação e divisão simultaneamente resolvemos primeiro a operação que vier da esquerda para a direita.
Exemplo:
– 8 : 2 x 4 = - 4x4 = - 16
2º) O conjunto dos números inteiros não é fechado quanto a divisão, ou seja, a divisão entre dois números inteiros nem sempre é um número inteiro.
Exemplo:
(- 8) : (- 3) = ?
(+20) : (- 7) = ?
Por isso foi necessário que se construísse um terceiro conjunto, o conjunto dos números racionais.
Conjunto dos Números Racionais
Representado pela letra Q o conjunto dos números racionais é formado por todo número que pode ser escrito em forma de fração, ou seja,
onde z* são os inteiros não nulos, assim definimos:
a , como numerador
b, como denominador
Exemplo:
2, pois 2 = 2/1, onde 2 é o numerador e 1 é o denominador;
-1/2 (lê-se “menos um meio”), onde -1 é o numerador e 2 é o denominador;
3/5 (lê-se “três quintos”), onde 3 é o numerador e 5 é o denominador;
0,001 = 1/1000 (lê-se “Um milésimo”), onde 1 é o numerador e 1000 é o denominador;
0,333...=3/9=1/3, onde 1 é o numerador e 3 é o denominador;
Adição e Subtração de Números Racionais
Adição
1º Passo:
Tiramos os parênteses e conservamos os sinais dos números;
2º Passo:
Denominadores iguais, repetimos o denominador e somamos
os numeradores.
Exemplo:
Denominadores diferentes e primos calcula-se o Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um quinto mais cinco terço;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5.
Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador 1 obtendo 3 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador 5 obtendo 25 o novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações três quinze avos com vinte e cinco quinze avos
Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.
Observação Importante:
O MMC entre números primos é o produto entre eles.
Números primos são números que são divisíveis apenas por 1 e por ele mesmo
Alguns números primos: 2,3,5,7,11,13,17,19,23,...
Denominadores diferentes e Múltiplos calcula-se o Mínimo
Múltiplo Comum (MMC) entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois quinto mais três décimos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 5 e 10 obtendo 10 que substituiu os denominadores 5 e 10.
Dividimos 10 por 5 e multiplicamos pelo numerador 2 obtendo 4 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 10 por 10 e multiplicamos pelo numerador 3 obtendo 3 o novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações quatro décimos com três décimos.
Por últimos repetimos o denominador 15 e somamos os numeradores 3 mais 25 obtendo vinte oito quinze avos.
Observação Importante:
O MMC entre números múltiplos é o maior número entre eles.
Exemplo:
a) mmc(2,4)=4; b) mmc(3,9)=9; c) mmc(20,100)=100;
Denominadores diferentes calcula-se o Mínimo Múltiplo
Comum (MMC), fatoração simultânea, entre os denominadores encontrando frações equivalentes com mesmo denominador como mostra o exemplo abaixo.
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses mantendo os sinais das frações e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais dois sextos mais três oitavos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 6 e 8 obtendo 24 que substituiu os denominadores 6 e 8.
Dividimos 24 por 6 e multiplicamos pelo numerador +2 obtendo +8 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 24 por 8 e multiplicamos pelo numerador +3 obtendo +9 o novo numerador da segunda fração
Igualamos a soma das frações oito vinte quatro avos com dezessete vinte quatro avos.
Por últimos repetimos o denominador 24 e somamos os numeradores 8 mais 9 obtendo dezessete vinte quatro avos.
Observação Importante:
O MMC utilizando fatoração simultânea.
Exemplo:
mmc(16,18)=24.3
2 = 144
Subtração:
Na subtração o processo é semelhante, como mostra o exemplo.
1º Passo:
Tiramos os parênteses e trocamos o sinal da fração após a subtração;
2º Passo:
Tratamos como nos casos da adição.
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses trocando o sinal da fração que aparece após a subtração e igualamos a expressão inicial à nova expressão mais um terço menos três quintos;
Efetuamos o MMC entre os denominadores 3 e 5 obtendo 15 que substituiu os denominadores 3 e 5.
Dividimos 15 por 3 e multiplicamos pelo numerador +1 obtendo +5 o novo numerador da primeira fração
Dividimos 15 por 5 e multiplicamos pelo numerador -3 obtendo -9 o novo numerador da segunda fração
Obtemos a expressão mais cinco quinze avos menos nove quinze avos.
Por últimos repetimos o denominador 15 e efetuamos os numeradores +5 - 9 obtendo menos quatro quinze avos.
Observação importante:
O processo é o mesmo para os diferentes tipos de denominadores.
Multiplicação e Divisão de Números Racionais
Multiplicação
Ao multiplicarmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador 1 vezes 3 e denominador com denominador 5 vezes 7.
Obtemos o resultado mais três trinta e cinco avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Divisão
Ao dividirmos dois números racionais efetuamos o jogo de sinais como nos casos abaixo:
1º caso: Sinais iguais resultado positivo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 7 e denominador com denominador 5 vezes 3.
Obtemos o resultado mais sete quinze avos.
2º caso: Sinais diferentes resultado negativo
Exemplo:
Descrição dos passos:
Repetimos a primeira fração, trocamos o sinal de divisão por multiplicação e invertemos a segunda fração;
Retiramos os parênteses e simultaneamente fazemos o jogo de sinal;
Multiplicamos numerador com numerador, 1 vezes 4 e denominador com denominador 7 vezes 9.
Obtemos o resultado menos quatro sessenta e três avos.
Potenciação de Números Racionais
Os conceitos vistos para potenciação de números inteiros podem ser expandidos para números racionais, seguida de algumas propriedades.
Se an é uma potência de base a e expoente n então são
válidas a propriedade:
Se a base a é uma fração do tipo então:
Exemplos:
Radiciação de Números Racionais
Da mesma forma que na potenciação podemos expandir os conceitos de radiciação já vistos anteriormente para números racionais.
Se é um radical em que o radicando a é uma fração do tipo
Então vale as propriedades:
Exemplos:
Também são chamados de números racionais, ou seja, números que podem ser escritos em forma de fração os seguintes números:
Os decimais;
As dízimas periódicas simples e compostas;
Exemplo:
Como transformar decimal em fração
Exemplo:
Descrição dos passos
Retira-se a vírgula e divide o número obtido por múltiplos de 10 de acordo com a quantidade de casas depois da vírgula, neste caso por 10, pois havia apenas uma casa após a vírgula que era o número 1.
Fração Geratriz
Como transformar uma dízima periódica simples em uma fração.
Exemplo:
Descrição dos passos
Neste caso a dízima é chama de periódica simples, pois só possui parte periódica, desta forma se pega o período que é o número 1 e divide-se por 9 em outros casos por 99 ou 999 e assim por diante, a quantidade de nove corresponde a quantidade de algarismos da parte periódica.
Descrição dos passos
Neste caso a dízima é chamada de periódica composta, pois possui além do período 3 a parte não periódica o número 2, para encontrar a fração geratriz se pega a parte não periódica junta-se à parte periódica formando o número 23 subtrai da parte não periódica encontrando o número 21 que passa a ser o numerador da fração geratriz já o denominador é formado por 90 em outros casos 990 ou 900 e assim por diante, a quantidade de nove equivale a quantidade de algarismos da parte periódica já a quantidade de zero equivale a quantidade de algarismos da parte não periódica.
Observação importante:
Quando a dízima periódica possui parte inteira devemos fazer como dos exemplos c e d.
Conjunto dos Números Irracionais
Dizemos que o conjunto dos números irracionais é o que falta no conjunto dos números racionais para que este fique igual ao conjunto dos números reais, representado pela letra Q
c, ou simplesmente I, os
irracionais são formados por todos os números que não podem ser
escritos em forma de fração, como o número “Pi” =3,14..., muito usado na geometria, o número neperiano e = 2,718281..., as raízes não exatas
como 2,3 e 5 também são exemplos de números irracionais.
Conjunto dos Números Reais
Representado pela letra R, o conjunto dos números reais é formado pela união dos números racionais com os números irracionais como mostramos através do diagrama abaixo.
Observação importante:
Todo número natural é inteiro;
Todo número inteiro é racional;
Nenhum número racional é irracional;
Todo número racional ou irracional é real;