Teor. Estrut Mod11

Teoria das Estruturas I

ESTRUTURAS ASSOCIADAS E ARCOS TRI

ARTICULADOS

APRESENTAÇÃO

Bem vindo aluno(a)! Vamos estudar nesse módulo as estruturas associadas. São estruturas aparentemente complexas e sua análise consiste em desmembrar uma

determinada estrutura em duas ou mais estruturas simples, que sejam isostáticas.

Uma vez desmembradas é preciso resolvê-las separadamente, apoiando uma na outra até o último membro, tornando assim um cálculo simples e fácil de ser resolvido.

Também estudaremos um caso particular das estruturas associadas, que são as Vigas Gerber, que formam um conjunto de vigas articuladas, uma apoiando na outra sucessiva-mente. Esse tipo de solução é muito utilizada na prática em projetos estruturais e por isso é importante a sua compreensão.

Bons estudos.

OBJETIVOS DE APRENDIZAGEMAo final deste módulo, você deverá ser capaz de:

• Resolver problemas de estruturas mais complexas através dos conceitos de estruturas associadas;

• Identificar se uma determinada estrutura associada possui sujeição completa ou parcial;

• Determinar as reações de apoio e esforços solicitantes das estruturas associadas;

• Traçar os diagramas dos esforços solicitantes;

• Fazer análises de casos particulares das estruturas associadas, como as Vigas Gerber;

• Analisar os arcos tri articulados.

FICH

A T

ÉCN

ICA FUMEC VIRTUAL - SETOR DE

EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA

Gestão PedagógicaCoordenaçãoGabrielle Nunes P. AraújoTransposição PedagógicaEdiane Cardoso

Produção de Design MultimídiaCoordenaçãoRodrigo Tito M. ValadaresDesign MultimídiaPaulo Roberto Rosa JuniorRaphael Gonçalves Porto Nascimento

Infra-Estrututura e SuporteCoordenaçãoAnderson Peixoto da Silva

AUTORIA

Prof. Antônio Carlos Viana

BELO HORIZONTE - 2013

ESTRUTURAS ASSOCIADAS E ARCOS TRI ARTICULADOS

Considerações gerais

O que é uma estrutura associada? Como resolver esses tipos de estruturas?

Isso é que vamos aprender nesse módulo.

Muitas vezes, deparamos com estruturas mais complicadas e complexas, que aparente-mente apresentam soluções difíceis para serem resolvidas, como por exemplo, a estrutura representada na figura 1.

A B C

FED

Figura 1 - Estrutura associada

Fonte: próprio autor.

A princípio, podemos pensar que a estrutura da figura 1 é hiperestática, pois apresen-ta 3 apoios fixos articulados, ou seja, 6 reações de apoio para serem determinadas, com equações de equilíbrio. Na verdade sua solução fica fácil de ser resolvida, quan-do desmembramos em outras duas soluções cujas estruturas são isostáticas, conforme mostra a figura 2.

C

FE

A B

ED

(a) (b)

Figura 2- Estruturas desmembradas

Fonte: próprio autor

Observamos que a estrutura (a) é um pórtico triarticulado, portanto uma estrutura isostá-tica, concluindo o mesmo sobre a estrutura (b).

Estruturas Associadas e Arcos Tri articulados 157

A estrutura da figura 1 resulta das outras duas mostradas na figura 2. A essa solução denominamos de estrutura associada. Podemos ter várias estruturas isostáticas uma ligada a outra, formando uma estrutura mais complexa.

Quando duas ou mais estruturas, numa associação, apoiam-se uma na outra no mesmo ponto, essa ligação que articula três ou mais barras é denominada de articulação múltipla, como por exemplo, o ponto E da estrutura associada da figura 1.

Se associarmos mais uma estrutura naquela da figura 1 teremos uma estrutura associada semelhante a representada na figura 3.

A B C

FED

HG

Figura 3 - Estrutura associada


Podemos perceber que três barras concorrem no ponto D, porém duas delas não se articu-lam (ou seja, as barras DE e AD não estão articuladas no nó D). Nesse caso a articulação no ponto D não é múltipla.

No caso das estruturas associadas, as estruturas são ligadas umas nas outras através de articulações, o que permite uma simples identificação.

ARTICULAÇÕES INTERNAS MÓVEISVamos considerar agora duas estruturas isostáticas conforme mostradas na figura 4. A estrutura da figura 4a é uma viga em balanço e a da figura 4b é uma viga bi apoiada com um apoio fixo e outro móvel. Associando as duas estruturas obteremos uma estrutura como a representada na figura 4c. No ponto B existe uma articulação em que é permiti-do o deslocamento horizontal. Nesse ponto podemos dizer que ocorre uma articulação móvel. Observe a figura e veja.

Estruturas Associadas e Arcos Tri articulados158

A B

CA B

B C

(a) (b)

(c)

Figura 4 - Estrutura associada com articulação móvel


SUJEIÇÃO PARCIALÀs vezes podemos associar duas estruturas com um número de vínculos igual ou supe-rior ao mínimo necessário, porém não são distribuídos de maneira adequada, tornando o conjunto instável estruturalmente.

Essa situação é exemplificada na figura 5. As duas soluções apresentadas tem a mesma quantidade de vínculos e tipos de apoios, porém a representada pela figura 5a possui uma distribuição adequada enquanto que a representada na figura 5b é uma sujeição parcial, com a viga AB sendo hiperestática e o trecho BC hipostático, tornando-se uma solução inadequada.

CA B

CA B

(a)

(b)

Figura 5 - Sujeição parcial


ASSOCIAÇÕES SIMPLES E ESPECIAIS

Quando ocorre uma associação simples? Nas estruturas associadas, quando existe uma dependência simples entre as partes que se associam, como, por exemplo, um conjunto de barras com sujeição parcial, ligada a uma estrutura com sujeição completa, servindo de apoio, denominamos que ocorreu uma associação simples.


Entretanto, podemos observar em algumas estruturas, que se analisarmos isoladamente cada parte associada, elas se apresentam como estruturas instáveis ou hipostáticas, mas ao analisar o conjunto esse se torna isostático. Como assim? O que ocorre nessa situação é que o vínculo que falta em uma das partes é fornecido pela outra e vice-versa. Podemos dizer que ocorre uma dependência recíproca. A esse tipo de estrutura associada denominamos associação especial, conforme mostra a figura 6.

C D EA B

Figura 6 - Associação especial


ATENÇÃO

Na figura 6, quando analisamos isoladamente a viga AB e o trecho BCDE, concluímos que se tratam de estruturas hipostáticas. Entretanto o conjunto é isostático. A viga AB apoia verticalmente na estrutura BCDE, enquanto essa apoia horizontalmente na viga AB, tornando o conjunto estável.

RESOLUÇÃO DAS ESTRUTURAS ASSOCIADAS SIMPLESA figura 7 mostra uma estrutura associada e nós iremos resolvê-la passo a passo.

A B

C

F

ED

HG

10kN m 40kN

50kN

4,0m

4,0m

4,0m

2,0m 2,0m

Figura 7 - Resolução de uma estrutura associada


Por onde começamos? A primeira coisa a ser feita é desmembrar a estrutura completa em estruturas isoladas e que sejam isostáticas. Na figura 8, mostramos os diagramas de corpo livre das três estruturas isoladas (I, II, III) que associadas formam a estrutura mostrada na figura 7.


(I)

(II)(III)

A B

ED

50kN

1DH EH

1DV EV

C

F

D

G

10kN m

FH GH

FV GV

1 2D DV V+

1 2D DH H+ ED

H

40kN

HH

HV

2DH

2DV

EH

EV

Figura 8 - Estruturas isoladas


Em seguida vamos determinar as reações de apoio da estrutura (I), VD1, HD1, VE e HE, da seguinte forma:

∑MD = 0 → 4,0 VE + 4,0 × 50 = 0 → VE = −200/4 → VE = −50 kN

∑V = 0 → VE + VD1 = 0 → VD1 = −VE → VD1 = 50 kN

∑MA(AE) = 0 → 4,0 VE + 4,0 HE = 0 → HE = + 200/4 → HE = +50 kN

∑H = 0 → HD1 + HE − 50 = 0 → HD1 = −HE + 50 → HD1 = 0 kN

Uma vez determinados os valores de VE e HE, calcularemos agora as reações da estrutura (II).

∑ME(EH) = 0 → −4,0 HH = 0 → HH= 0 kN

∑MD = 0 → 4,0 VH − 4,0 HH − 4,0 VE − 40 × 2 = 0

→ VH = [0 + 4,0 × (-50) + 80]/4 → VH = −30 kN

∑V = 0 → VH + VD2 − 40 − VE = 0

→ VD2 = 30 + 40 − 50 → VD2 = 20 kN

∑H = 0 → HD2− HE − HH = 0

→ HD2 = 50 − 0 → HD2 = 50kN


Finalmente, conhecidos os valores de HD1, HD2, VD1 e VD2, determinaremos as reações de apoio da estrutura (III).

∑MF = 0 → 4,0 VG + 4,0 (HD1 + HD2 ) − 4,0 (VD1 + VD2 ) − 10 × 4,0 × 2,0 = 0

→ VG = [−4,0 (0+ 50) + 4,0 (50 + 20) + 80]/4 → VG = 40 kN

∑V = 0 → VF + VG − (VD1 + VD2 ) − 10 x 4,0 = 0

→ VF = −40 + (50 + 20) + 40 → VF = 70 kN

∑MD(DG) = 0 → 4,0 HG = 0 → HG = 0 kN

∑H = 0 → HF − HG − (HD1 + HD2) = 0

→ HF = 0 + (0 + 50) → HF = 50 kN

Definidas todas as reações e cargas na estrutura, calcularemos os esforços solicitantes nas seções de cada trecho (que é imediato) e em seguida traçaremos os diagramas em um único esquema, conforme está representado nas figuras 9,10 e 11.

A B

C

F

ED

HG

3040

50

50

70

50

50

( )− ( )−

( )−

( )−

( )−

( )+

( )+

0

( )N kN( )Tração +

Figura 9- Diagrama de esforço normal (N).


A B

C

F

E

D

HG

30

50

50

70

( )−

( )−

( )−

( )+

( )+( )+

( )Q kN

500

2020

0

0 0

Figura 10 - Diagrama de esforço cortante (Q).



AB

C

F

ED

HG

( )−

( )−

( )+

( )+

( )+

00

0( )M kN m

200

200

200200

40

Figura 11 - Diagrama de momento fletor (M).


VIGAS GERBERAs vigas Gerber são casos particulares das estruturas associadas. As figuras 4, 5, e 6 exemplifica esse tipo de estrutura.

Portanto podemos afirmar que as vigas Gerber resultam da associação de estruturas isostáticas de eixo reto, interligadas pelas extremidades por intermédio de articulações.

Sua resolução é feita da mesma forma que são feitas as outras estruturas associadas.

Veja na figura 12 uma viga Gerber com sua decomposição logo abaixo, apresentando em seguida o processo de resolução da estrutura.

C DE

F G HIA

B

20kN m

20kN m

20kN m

50kN m

50kN m

50kN m

200kN

200kN

100kN

100kN

10kN

10kN

2,0m 2,0m 2,0m3,0m 3,0m4,0m 4,0m1,0m

BV CV

CV

GV

GV

HV

DV FV

HH

(I) (II)

(III)

Figura 12 - Viga Gerber



Primeiro vamos determinar as reações de apoio (VB e VC ) do trecho (I):

∑MB = 0 → 4,0 VC − 20 × 6,0 × 1,0 = 0 → VC = 120/4 → VC = 30 kN

∑V = 0 → VB +VC − 20 × 6,0 = 0 → VB = 120 − 30 → VB = 90 kN

∑H = 0 → HC = 0

Da mesma forma calcularemos o trecho (II):

∑MG = 0 → 4,0 VH − 100 x 6 − 50 × 4,0 × 2,0 = 0 → VH = 1000/4 → VH = 250 kN

∑V = 0 → VG +VH − 100 − 50 × 4,0 = 0 → VG = 300 − 250 → VG = 50 kN

∑H = 0 → HH − 10 = 0 → HH = 10 kN

Uma vez conhecidos os valores VC e VG, iremos determinar as reações de apoio do trecho (III), VD e VF, da seguinte forma:

∑MD = 0 → 6,0 VF − 7,0 VG - 50 × 1,0 × 6,5 − 200 × 3,0 + 20 × 2,0 × 1,0 + 2,0 VC = 0

→ 6,0 VF = 7,0 × 50 + 325 + 600 − 40 − 2,0 x 30

→ VF = 1175/6,0 → VF = 195,83 kN

∑V = 0 → VD +VF − VC − VG − 200 − 50 × 1,0 − 20 × 2,0 = 0

→ VD = −195,83 + 30 + 50 + 200 + 50 +40 → VD = 174,17 kN

∑H = 0 → HD = 0 kN

Após determinar todas as reações de apoio, iremos calcular facilmente os esforços soli-citantes das seções dos três trechos e traçar os diagramas de cada esforço num único esquema, conforme mostrado nas figuras 13,14 e 15.

C D E F G H IA B( )−

50

( )N kN ( )Tração +−

Figura 13 - Diagrama de esforço normal ( N )



CD E

FG H I

A B

40

50

30

70

104,17

95,83

10050

150

100

2,5m1,0m

( )−

( )+

( )Q kN

Figura 14 - Diagrama de esforço cortante (Q)


CD

EF G H IA B

2,5m 1,5m

( )−

( )+

( )M kN m40

22,5 22,5

100

212,51

74,98

200

Figura 15 - Diagrama de momento fletor (M)


Agora que você aprendeu a traçar os diagramas de esforços solicitantes de uma estrutura associada e de uma viga Gerber, sugiro que faça vários exercícios. No livro Estruturas Isostáticas 7ª edição, de Otávio Campos do Amaral, capítulo III, páginas 184 a 199, você encontrará uma série de exercícios resolvidos.


Estudo do arco triarticulado

Os arcos são estruturas bastante utilizadas na vida prática, apresentando resultados muito econômicos. Geralmente ao compará-los com uma viga bi apoiada reta de mesmo vão e carregamento, podemos perceber que os esforços solicitantes de momento fletor e esforço cortante são bem menores que aqueles obtidos na viga.

Podemos até fixar o eixo do arco de forma a obter para os esforços cortantes e para o momento fletor, valores nulos em todas as seções do arco, solicitado exclusivamente por forças normais. Para esse eixo denominamos linha de pressões.

TOME NOTA

Quando um determinado arco for solicitado somente por forças verticais, as componentes horizontais das reações de apoio serão iguais e contrárias (H), que denominamos de empuxo.

A figura 16 mostra um arco tri articulado e uma viga reta com o mesmo carregamento e mesmo vão.

C

C

A

A

B

B

D

D

H H

f

x

x

c

c

AV BV

AV BV

L

L

α ( )y f x=

y

(a)

(b)

Figura 16 - Arco tri articulado e viga correspondente



As reações verticais do arco e da viga são iguais e deverão ser obtidas por intermédio das equações de equilíbrio ∑MB = 0 e ∑V = 0.

A determinação dos esforços solicitantes em uma seção D (genérica) do arco da figura 16a (MD, QD e ND ) será em função dos esforços solicitantes da viga (MOD e QOD )na mesma seção correspondente (figura 16b).

Qual a diferença entre elas? A diferença básica entre as duas estruturas é o angulo α no arco que a normal da seção faz com a horizontal, que na viga é igual a zero e a existência do empuxo H que na viga não existe.

Portanto, podemos dizer:

MD = MOD − H ⋅ y, onde y é a ordenada do ponto em questão (D).

O valor do esforço cortante do arco (QD ) é obtido da seguinte forma:

QD = QOD ⋅ cos α − H sen α

De forma semelhante obtém-se o valor do esforço normal do arco (ND ):

ND = QOD ⋅ sen α + H cos α

Utilizando essas fórmulas, podemos determinar todos os esforços solicitantes em qual-quer seção do arco, observando que no trecho descendente o angulo será negativo.

Na seção C, onde ocorre a rótula, o momento fletor é zero. Podemos concluir que:

0 = MOC − H ⋅ y , portanto determinamos o valor do empuxo (H) da seguinte forma:

H = MOC /f

Os valores trigonométricos (sen α, cos α, α), necessários para utilizarmos no cálculo dos esforços solicitantes, determinam-se em função de tg α, da seguinte forma:

tg α = dy / dx , em que y = f(x) é a equação do eixo do arco.

Para traçar os diagramas dos esforços solicitantes escolha os pontos que você acha necessário para representá-los, calcule os esforços em cada um desses pontos e poste-riormente determine os diagramas.

Agora que você conhece os procedimentos de cálculo para determinação de esforços e diagramas de um arco tri articulado, vamos praticar através de um exemplo, para um melhor entendimento.


Exemplo:

Determine os diagramas dos esforços solicitantes do arco tri articulado da figura 17, considerando que a equação do arco é y = x − 0,025 x2 .

(considerar 10 seções ao longo do comprimento do arco, ou seja, um ponto a cada 4,0 m)

Solução:

Determinamos as reações de apoio de imediato:

∑MA = 0 → 40 VB − 30 × 40 × 20 − 1000 × 8 = 0 → VB = 800 kN

∑V = 0 → VA + VB − 30 × 40 − 1000 = 0 → VA = 1400 kN

Para calcular o empuxo, determinamos a expressão abaixo:

H =MOC /f

Em que:

MOC = 1400 × 24 − 30 × 24 × 12 − 1000 × 16 = 8960 kN⋅m

Para determinar f, basta utilizar a função do arco para x = 24 m

f = x − 0,025 x2

f = 24 − 0,025 (24)2 = 9,60 m

Portanto:

H = 8960/9,60 = 933 kN

C

C

A

A

B

B

D

D

H H

f

x

AV BV

AV BV

α

8m 16m

16m

16m

8m 16m

1000kN

1000kN

20,025y x x= −

30kN m

30kN m

y

( )arco

( )viga


C

C

A

A

B

B

D

D

H H

f

x

AV BV

AV BV

α

8m 16m

16m

16m

8m 16m

1000kN

1000kN

20,025y x x= −

30kN m

30kN m

y

( )arco

( )viga

Figura 17 - Exemplo


Para determinar os esforços solicitantes do arco, podemos montar uma tabela, conforme mostrado a seguir, facilitando bastante o nosso cálculo.

Precisamos antes de tudo determinar α, em função da expressão abaixo:

y = x − 0,025 x2

dy/dx = y’ = tgα = 1 − 0,05 x

Determinando o esforço cortante na viga auxiliar:

Para 0 ≤ x ≤ 8 → Q(x) = 1400 − 30 x

Para 8 ≤ x ≤ 40 → Q(x) = 1400 − 30 x − 1000

Determinando o momento fletor na viga auxiliar:

Para 0 ≤ x ≤ 8 → M(x) = 1400 x − 30 x2/2

Para 8 ≤ x ≤ 40 → M(x) = 1400 x − 30 x2/2 − 1000 (x - 8)

ND = QOD ⋅ sen α + H cosα

QD = QOD ⋅ cos α − H senα

MD = MOD - H ⋅ y


TABELA 1 - CÁLCULO DOS ESFORÇOS SOLICITANTES

x(m) 0 4,0 8,0 12,0 16,0 20,0 24,0 28,0 32,0 36,0 40,0

y(m) 0 3,60 6,40 8,40 9,60 10,00 9,60 8,40 6,40 3,60 0

tg α 1,00 0,80 0,60 0,40 0,20 0 −0,20 −0,40 −0,60 −0,80 − 1,00

α 45 38,66 30,96 21,80 11,31 0 −11.31 −21,80 −30,96 −38,66 −45

sen α 0,707 0,625 0,514 0,371 0,196 0 −0,196 −0,371 −0,514 −0,625 −0,707

cos α 0,707 0,781 0,858 0,928 0,981 1,000 0,981 0,928 0,858 0,781 0,707

Q0 (k) 1400 1280 1160 160

40 −80 −200 −320 −440 −560 −680 −800

M0 (kNm) 0 5360 10240 10640 10560 10000 8960 7440 5440 2960 0

Q0 senα 990 800 20482

15 −16 0 63 163 350 425 566

Q0 cosα 990 1000 995137

37 −78 −200 −314 −408 −480 −531 −566

H sen α 660 583 480 346 183 0 −183 −346 −480 −583 −660

H cos α 660 729 801 866 915 933 915 866 801 729 660

H ⋅ y 0 3359 5971 7837 8956 9330 8956 7837 5971 3359 0

N (kN) 1650 4159 61756053

7852 8940 9330 9019 8000 6321 3789 566

Q (kN) 330 417 515−343

−309 −261 −200 −131 −62 0 52 94

M(kNm) 0 2001 4269 2803 1604 670 0 −397 −531 −399 0


Após a determinação de todos os esforços solicitantes em todas as seções, traçamos os diagramas de esforço normal, esforço cortante e de momento fletor do arco, conforme a figura 18.

CDA B1 2 3 4 5 6 7 8 9

4159

617560537852

89409330 9019

8000 6321

3789

566

( ) ( )N kN Tração− +

( )−1650

CDA B

330417

515

343 309 261 200 131 62

52 94

( )Q kN

( )+

( )−


CDA B

( )M kN m⋅

20014269 2803

1604

670

397

531

399( )−

( )+

Figura 18 - Diagramas de esforços solicitantes do arco tri articulado


ATIVIDADE

Acesse a(s) Atividade(s) de Fixação no material didático online da disciplina.


Síntese

Nesse módulo você reviu como determinar as reações de apoio, os esforços solicitantes, esforço normal, esforço cortante e momento fletor de estruturas associadas .

Agora você também é capaz de analisar estruturas como as Vigas Gerber, que são casos particulares de estruturas associadas. Assim como fazer a análise dos arcos tri articulados.

Assim, você está apto a traçar os diagramas utilizando as convenções de sinais conside-radas universalmente das estruturas acima mencionadas.

Referências

AMARAL, Otávio Campos do. Estruturas Isostáticas. 7ª Edição; Belo Horizonte, 2003. 473 p.

BEER, Ferdinand Pierre; JOHNSTON, E. Russell. Mecânica vetoril para engenheiros: vol.1: estática. 5ª ed. rev.. São Paulo: Makron Books, c1991. 793 p.

KRIPKA, Moacir. Análise estrutural para engenharia civil e arquitetura - Estruturas isóstáticas. São Paulo. 2ª edição, Editora PINI, 2011. 240 p.

FONSECA, Adhemar; MOREIRA, Domício Falcão. Estática das construções: estruturas isostáticas: problemas e exercícios: vol1. 2ª ed. Rio de Janeiro: Ao Livro Técnico, 1966. 312p.

HIBBELER, R. C. Estática: mecânica para engenharia. 10ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall. c2005, 540p.

MACHADO JR, E. F. Introdução à isostática. São Carlos: EESC-USP, 1999.

ROCHA, Anderson Moreira da. Teoria e práticas das estruturas: vol.1 : isostática. Rio de Janeiro: LIVRARIA CIENTÍFICA. 1973. 300p.

SUSSEKIND, José Carlos. Curso de análise estrutural: vol1 : estruturas isostáticas. 6ª ed.. Porto Alegre: Globo, 1983. 259 p.

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