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Automática2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
Tema 3.
Modelado de sistemas físicos
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Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos.
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
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Introducción
Concepto de modelo:
Sistema físico:
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Introducción
Concepto de modelo:
Sistema físico:
Perturbaciones
Ver vídeo
La relación R que liga las acciones Ui (entradas) con los efectos Yj (salidas),
según Y = R(U), constituye el modelo del sistema.
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Introducción
Tipos de modelos:
1. Modelos mentales: son los propios de las personas. Son
imprecisos, difíciles de comunicar y borrosos.
2. Modelos físicos: son costosos en tiempo y en dinero.
• Modelos estáticos:
– Modelos a escala; modelos de imitación.
• Modelos dinámicos:
– Analogías o modelos análogos; prototipos.
3. Modelos simbólicos:
• No matemáticos:
– Lingüísticos, ya sean verbales o escritos.
– Gráficos o esquemáticos: mapas, diagramas de flujos…
• Matemáticos:
– Relaciones entre las distintas variables del sistema a modelar en la
correspondiente estructura matemática (ecuaciones).
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Introducción
Modelos matemáticos:
Construcción de un modelo matemático. Etapas.
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Introducción
Modelo computerizado:
Etapas a seguir para su elaboración:
1. Descomposición del sistema en subsistemas.
2. Aplicación de leyes de conservación (masa, momento,
energía,…) en cada subsistema obtención de las
ecuaciones características de cada subsistema.
3. Particularización de las expresiones obtenidas para los
valores de los parámetros característicos de los elementos
del subsistema.
4. Programación de ecuaciones del modelo a través de
software apropiado (Simulink, Modelica,…).
El resultado obtenido es un
modelo formal del sistema
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Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos:
– Ley de Ohm:
La corriente eléctrica (I) en un conductor (o circuito), es igual a la
diferencia de potencial (V) sobre el conductor (o circuito), dividido por
la resistencia (R) que opone a su paso.
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos (cont.):
– Leyes de Kirchoff:
1. La suma de las tensiones en un lazo cerrado es igual a cero.
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Leyes de
conservación
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Conceptos básicos (cont.):
– Leyes de Kirchoff:
2. La suma de las corrientes que entran en un nodo es igual a la
suma de las corrientes que salen del mismo.
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Leyes de
conservación
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Elementos constitutivos:
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Generador de
corriente
Generador
de tensión
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Elementos constitutivos (cont.):
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Resistencia
Bobina
Condensador
Transformador
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
Aplicamos la ecuación de conservación:
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
Aplicamos la transformada de Laplace a las ecuaciones
diferenciales:
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Circuito LRC
Construimos el diagrama de bloques
y obtenemos la función de transferencia del circuito, reduciendo
dicho diagrama.
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Impedancias complejas:
La impedancia compleja Z(s) de un circuito de dos terminales es
el cociente entre la transformada de Laplace de la tensión
existente entre los terminales, E(s), y la transformada de Laplace
de la corriente a través del circuito, I(s), bajo la suposición de
que las condiciones iniciales son cero.
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
I(s) E(s)Z(s)
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ESQUEMAADMITANCIA COMPLEJA (FUNCIÓN DE
TRANSFERENCIA 1)
IMPEDANCIA COMPLEJA (FUNCIÓN
DE TRANSFERENCIA 2)
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Impedancias complejas:
Función de transferencia de circuito sería:sC
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Funciones de transferencia de elementos en cascada:
Muchos sistemas realimentados tienen componentes que cargan
a otros:
Aplicando la Transformada de Laplace (suponiendo condiciones
iniciales nulas) la función de transferencia sería:
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Funciones de transferencia de elementos en cascada:
No obstante, considerando las dos mallas independientes, se
obtendría el siguiente modelo alternativo.
La función de transferencia (errónea) obtenida así difiere de la
obtenida anteriormente bajo suposición de carga entre
componentes.
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Amplificadores operacionales (AO)
Son dispositivos electrónicos base de la electrónica analógica
lineal y no lineal.
Propiedades del AO ideal:
1. Tierra virtual o corto virtual: e+ = e– La tensión entre los
terminales de entrada + y - es nula.
2. Impedancia de entrada infinita: i+ = i– = 0 La corriente entre
los terminales de entrada + y - es nula.
3. Impedancia de salida nula: Salida como fuente de tensión ideal.
4. Ganancia infinita: eo = A(e+ - e–) A infinita.
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Amplificadores operacionales (AO)
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Amplificador inversor:
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Amplificador inversor (cont.):
Configuraciones frecuentes.
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
Amplificador NO inversor:
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Amplificador sumador NO inversor:
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Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Seguidor de tensión:
Modelado de sistemas eléctricos y electrónicos
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Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
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Modelado de sistemas mecánicos
Conceptos básicos:
– La masa de un cuerpo es la cantidad de materia que
contiene.
– La fuerza se define como la causa que tiende a producir un
cambio en el movimiento del cuerpo al cual se aplica.
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Modelado de sistemas mecánicos
Conceptos básicos (cont.):
– Segunda ley de Newton para los sistemas de traslación:
La fuerza aplicada a un cuerpo es igual a masa dicho cuerpo por
su aceleración.
– Segunda ley de Newton para los sistemas de rotación:
En estos sistemas el equivalente del concepto masa y fuerza
corresponde al de inercia y par, respectivamente.
donde J el momento de inercia de la carga
la aceleración angular y
T el par aplicado.
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Leyes de
conservación
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Elementos constitutivos (sist. de traslación):
– Masa, muelle y amortiguador.
Modelado de sistemas mecánicos
Amortiguador
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Elementos constitutivos (sist. de traslación) (cont.):
– Palanca.
Modelado de sistemas mecánicos
“Transformador de fuerza”
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Obtención de ecuaciones dinámicas (sist. traslación):
1. Indicación de los sentidos de desplazamiento en cada masa y
determinación de sistemas de referencia coherentes con los
mismos.
2. Trazado del diagrama del cuerpo libre para cada masa (se
sustituyen los vínculos por fuerzas vinculares).
3. Aplicación de Leyes de la mecánica de Newton en cada
masa:
Modelado de sistemas mecánicos
Ecuación de conservación
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Modelado de sistemas mecánicos
Cuerpo sobre carro:
y
u
u(t) desplazamiento del carro (la entrada del sistema),
y(t) desplazamiento del cuerpo sobre el carro (la salida del sistema),
m masa del cuerpo,
b coeficiente de fricción viscosa de la superficie del carro,
k es la constante del muelle.
Cuerpo
¿ecuaciones
dinámicas?
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Cuerpo sobre carro (cont.):
1. Diagrama del cuerpo libre:
2. Planteamos la ecuación:
Modelado de sistemas mecánicos
MuelleAmortiguador
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Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Cuerpo sobre carro (cont.):
3. Reordenamos los términos:
4. Aplicamos la transformada de Laplace a la ecuación anterior,
para condiciones iniciales nulas:
5. Y obtenemos la función de transferencia del sistema:
Modelado de sistemas mecánicos
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Modelado de sistemas mecánicos
Dos cuerpos conectados:
¿ecuaciones dinámicas?
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Dep
art
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Modelado de sistemas mecánicos
Dos cuerpos conectados (cont.):
Dep
art
am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Elementos constitutivos (sist. de rotación):
– Inercia, muelle y amortiguador.
Modelado de sistemas mecánicos
T T T
Amortiguador
radNmK 1 sradNmB
Dep
art
am
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e I
ng
en
ierí
a
de S
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mas y
Au
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áti
ca
Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Elementos constitutivos (sist. de rotación) (cont.):
– Reductora.
Modelado de sistemas mecánicos
“Transformador de par”
T1
T2
n1
n2
θ1
θ2
T1T2
Dep
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e I
ng
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ierí
a
de S
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mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
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am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Obtención de ecuaciones dinámicas (sist. rotación):
1. Indicación de los sentidos de rotación en cada inercia y
determinación de sistemas de referencia coherentes con los
mismos.
2. Trazado del diagrama del cuerpo libre para cada inercia (se
sustituyen los vínculos por pares vinculares).
3. Aplicación de Leyes de la mecánica de Newton en cada
inercia:
Modelado de sistemas mecánicos
Ecuaciones de conservación
Dep
art
am
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to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Modelado de sistemas mecánicos
Dos inercias conectadas con muelle:
Inercia 1
Inercia 2
¿ecuaciones dinámicas?
Muelle
(momento de
inercia nulo)
Soporte
Dep
art
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e I
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
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e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
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ca
Modelado de sistemas mecánicos
Dos inercias conectadas con muelle (cont.):
Mismo
sistema de
referencia
Dep
art
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e I
ng
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a
de S
iste
mas y
Au
tom
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ca
Dep
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de S
iste
mas y
Au
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ca
BLOQUE
FUNCIONALECUACIONESESQUEMA
Mf(t)
x(t)sin rozamiento
v(t)
Mf(t)
sin rozamiento
Mv(t)
x(t)sin rozamiento
)(tf
)(tf
Modelado de sistemas mecánicos
Dep
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de S
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ESQUEMA ECUACIONESBLOQUE
FUNCIONAL
b
k
M f(t)
x(t)sin rozamiento
k
b
ksbsMsF
sX
sXksbsMsF
ktxbdt
tdxM
dt
txdtf
2
2
2
2
1
)(
)(
)()()(
)()()(
)(
F(s) X(s)
kbsMs 2
1
ksF
sXTF
sXksFCD
txktfTR
1
)(
)(..
)()(..
)()(..
sbsF
sXTF
sXsbsFCD
dt
tdxbtfTR
1
)(
)(..
)()(..
)()(..
F(s) X(s)
bs
1
F(s) X(s)
k
1
Modelado de sistemas mecánicos
Dep
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(s)
2
1
Js
P(s)
k
1P(s) (s)
sB
1P(s) (s)
kBsJs 2
1P(s) (s)
Jdt
tdtp
2
2 )()(
)()( 2 ssJsP
)()( tktp
)()( sksP
Bdt
tdtp
)()(
)()( ssBsP
ktBdt
tdJ
dt
tdtp )(
)()()(
2
2
)()()()( 2 sksBssJssP
ESQUEMA ECUACIONESBLOQUE
FUNCIONAL
)(t
)(tp
B
)(tp)(t
J
)(t
)(tp
k
k
)(t
)(tp
B
Modelado de sistemas mecánicos
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iste
mas y
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Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
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de S
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mas y
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de S
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mas y
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Modelado de sistemas electromecánicos
Conceptos básicos:
Uso de dispositivos de acoplamiento (t) para la conversión de
magnitudes eléctricas a mecánicas o viceversa.
Sistema de traslación
Sistema de rotación
Vel. ang.
Cte. del par motor (Km)
t: translacional
312 bKe
Cte. de fuerza
contra-electromotriz
del motor
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de S
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mas y
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Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua:
)()()(
)()(
)()()(
*
*
titKtT
dt
dtKte
tetiRdt
diLte
am
bm
maaa
aa
0)(2
2
dt
dB
dt
dJtT
iaRa La
ea em
mK
T,
B
Cte. de fuerza contra-
electromotriz del motor
Cte. del par motorCoef. fricción viscosa
carga
bK
if = cte.
Constante
del par motor
Cte. de fuerza contra-
electromotriz del motor
Flujo magnético
en la armadura
)()( tiKt ff
)()(
)(
)()()(
tiKtT
dt
dKte
tetiRdt
diLte
am
bm
maaa
aa
= cte.
Si están expresados en el mismo
sistema de unidades (p.e., SI), se cumple: mb KK
)(e)(,),( titTdt
dte am
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de S
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mas y
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Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua (cont.):
Aplicando las transformadas de Laplace a las ecuaciones:
Construimos el diagrama de bloques del sistema:
)()()(
)()(
)()(
)()()()(
2 sTsBsJs
sIKsT
ssKsE
sEsEsIRsL
am
bm
amaaa
)()()()( sEsEsIRsL maaaa
)(
)()(
2 BsJs
sTs
error
)()()(
1)( sEsE
RsLsI ma
aa
a
Dep
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de S
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mas y
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua (cont.):
Función de transferencia del motor CC si se considera que la
variable de salida es la posición angular del eje motor:
La inductancia La en el circuito de inducido generalmente es
pequeña y se puede despreciar, por tanto:
])([)(
)()(
2
bmaaaa
m
a
PKKBRsJRBLJsLs
K
sE
ssG
)1()(
)()(
sTs
K
sE
ssG
m
gm
a
P
bma
am
KKBR
JRT
bma
mgm
KKBR
KK
Ganancia del motor
Cte. de tiempo del motor
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de S
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mas y
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a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Modelado de sistemas electromecánicos
Motor de corriente continua (cont.):
Función de transferencia del motor CC si se considera que la
variable de salida es la velocidad angular del eje motor:
La inductancia La en el circuito de inducido generalmente es
pequeña y se puede despreciar, por tanto:
)()()(
)(
)(
)()( sGssG
sE
ss
sE
sΩsG PV
aa
V
1)(
)()(
sT
K
sE
sΩsG
m
gm
a
V
bmaaaa
m
a
VKKBRsJRBLJsL
K
sE
sΩsG
)()(
)()(
2
)()()( sssΩdt
dt
Sabiendo que:
Dep
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to d
e I
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ierí
a
de S
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mas y
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de S
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mas y
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Modelado de sistemas electromecánicos
Generador de corriente continua:
)()()(
)()(
)()()(
)()(
2
1
titKtT
dt
dtKte
tetiRdt
diLte
tiRdt
diLte
agg
gg
oaaa
ag
ff
f
ff
iaRa La
ef eo
gT,
eg
if Rf
Lf
0)(2
2
dt
dB
dt
dJtTT gext
~ Cte. del
par motor
Si están expresados en el mismo
sistema de unidades (p.e., SI), se cumple:
~ Cte. de fuerza contra-
electromotriz del motor
Flujo magnético
en la armadura
)()( tiKt ff
)(e)(),(,),( titTtdt
dte agg
21 gg KK
Dep
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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Dep
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to d
e I
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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Modelado de sistemas electromecánicos
Potenciómetro:
)()(max
tE
teo
… de traslación… de rotación
)()(max
txx
Eteo
E
E
Dep
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to d
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Modelado de sistemas electromecánicos
Tacómetro:
)()( tKteo Vel. angular
Dep
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e I
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en
ierí
a
de S
iste
mas y
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e I
ng
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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áti
ca
Servomecanismo de posición:
Obtener la función de transferencia de lazo cerrado para el
mecanismo de posición de la figura, suponiendo que la entrada y
la salida del sistema son la posición del eje de entrada y la
posición del eje de salida, respectivamente.
f
ae
aR
be
ai
aL
T
.consti
f
e
r
c
N
N
1
2
Modelado de sistemas electromecánicos
r = desplazamiento angular del eje de entrada de referencia, en radianes.
c = desplazamiento angular del eje de salida, en radianes.
θ = desplazamiento angular del eje del motor, en radianes.
ea = tensión aplicada al inducido, en voltios.
eb = fuerza contra-electromotriz, en voltios.
ia = intensidad de corriente del devanado de inducido, en amperios.
Kp
Kl
Ganancia
potenciométrica
Ganancia
amplificador
Reductora
Motor CC
Error (r-c)
Potenciometro
Potenciometro
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Servomecanismo de posición (cont.):
Supónganse los siguientes valores numéricos para las constantes
del sistema:
Kl = ganancia del detector de error potenciométrico = 24/π V/rad
Kp = ganancia del amplificador = 10 V/V
Ra = resistencia del devanado de inducido = 0.2
La = inductancia del devanado de inducido = despreciable
Kb = constante de fuerza contra-electromotriz = 1 x 10-4 V/rad/s
K = constante de par motor = 1 x 10-4 N-m/A
J = momento de inercia del eje motor (inc. carga) = 5,4 x 10-5 Kg-m2
f = coeficiente de fricción viscosa del eje motor (inc. carga) = 4 x 10-4 N-m/rad/s
n = relación de engranajes N1/N2 = 1/10
Modelado de sistemas electromecánicos
Dep
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to d
e I
ng
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ierí
a
de S
iste
mas y
Au
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ca
Dep
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am
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to d
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a
de S
iste
mas y
Au
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áti
ca
Servomecanismo de posición (cont.):
El detector de error potenciométrico:
y para el amplificador:
Puesto que la función de transferencia del motor de CC,
asumiendo que la salida del sistema es la posición angular, es:
Modelado de sistemas electromecánicos
)(10)()( sEsEKsE pa
)]()([64,7)]()([)( sCsRsCsRKsE l
)1()(
)(
sTs
K
sE
s
m
gm
a
Dep
art
am
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to d
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a
de S
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mas y
Au
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Dep
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am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Servomecanismo de posición (cont.):
Y sabiendo que:
Tenemos:
25.1)101)(101()104)(2.0(
101444
4
ba
gmKKfR
KK
13.0)101)(101()104)(2.0(
)104.5)(2.0(444
5
ba
am
KKfR
JRT
)113.0(
25.1
)(
)(
sssE
s
a
Modelado de sistemas electromecánicos
Dep
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ierí
a
de S
iste
mas y
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ierí
a
de S
iste
mas y
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ca
Servomecanismo de posición (cont.):
Construimos el diagrama de bloques del sistema:
La función de transferencia de lazo cerrado de este sistema es:
)(sR
)(sEa
)113.0(
25.1
ss
)(sC
10
1)(s1064,7
)(sE
Modelado de sistemas electromecánicos
46.7369.7
46.73
)(
)(2
sssR
sC
Dep
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iste
mas y
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Contenido
Tema 3.- Modelado de sistemas físicos
3.1. Introducción.
3.2. Modelado de sistemas físicos:
3.2.1. Sistemas eléctricos y electrónicos.
3.2.2. Sistemas mecánicos.
3.2.3. Sistemas electromecánicos.
3.3. Linealización de modelos matemáticos de sistemas no
lineales.
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Sistemas lineales vs. Sistemas NO lineales:
– Relación lineal entre todas sus variables:
– Tienen la propiedad de la linealidad:
0))(,),(),(( 21 txtxtxF n
0))(),(( 21 txtxF
)(1 tx
)(2 tx
Sistema
Lineal
Sistema
Lineal
Sistema
Lineal
)(tx
)(tv
)(ty
)(tw
)()( tBvtAx )()( tBwtAy
Linealización de sistemas
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Sistemas lineales vs. Sistemas NO lineales (cont.):
– Relación NO lineal entre todas sus variables:
– NO tienen la propiedad de la linealidad:
0))(,),(),(( 21 txtxtxF n
Sistema
No Lineal
Sistema
No Lineal
Sistema
No Lineal
)(tx
)(tv
)(ty
)(tw
)()( tBvtAx )()( tBwtAy
Linealización de sistemas
0))(),(( 21 txtxF
)(1 tx
)(2 tx
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Punto de operación
En Ingeniería se trabaja usualmente en torno a lo que se denomina punto
de operación. En esas condiciones, los modelos de los sistemas, que
suelen ser por naturaleza no lineales, pueden aproximarse razonablemente
por sistemas lineales, siempre y cuando el valor de las variables que
definen el comportamiento del sistema no se aleje demasiado del que
tienen en el punto de operación.
El procedimiento de linealización que se desarrollará aquí se basa en la
expansión de funciones no lineales alrededor del punto de operación
empleando series de Taylor.
y0=
Linealización de sistemas
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de S
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Método de las perturbaciones (expansión en serie de Taylor):
En el caso de un sistema estático cuyo modelo fuera representable
mediante una función f no lineal, de la forma y = f(u), se aplicará el método
de las perturbaciones considerando pequeñas variaciones alrededor del
punto de operación caracterizado por u0 e y0, siendo y0= f (u0).
Para aplicar dicho método:
1. La variable independiente u se reemplaza por
2. La variable dependiente y = f(u) se representa por
3. Aplicando a y = f(u) la expansion en serie de Taylor, se obtiene
y tomando sólo el término de la primera derivada (aproximación a la
tangente), se obtiene:
Linealización de sistemas
El nuevo modelo obtenido está expresado en términos
incrementales y tiene carácter lineal. Este modelo no sería
estrictamente lineal si se expresa en términos absolutos por tener
término independiente: y - y0 = ḟ (u0) (u - u0).
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iste
mas y
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ca
Las derivadas parciales que aparecen en estas expresiones han de ser
evaluadas en el punto de operación (i.e. son valores constantes). El
nuevo modelo obtenido está expresado en términos incrementales y
tiene carácter lineal.
Método de las perturbaciones (expansión en serie de Taylor):
En el caso de un sistema estático de múltiples variables de entrada (i.e.
multivariable) cuyo modelo fuera representable mediante una función f
no lineal, de la forma en el que se considerará
como punto de operación el caracterizado por e
y0, siendo y0= .
Linealización de sistemas
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de S
iste
mas y
Au
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ca
Linealización de sistemas
Método de las perturbaciones (expansión en serie de Taylor):
En el caso de un sistema dinámico cuyo modelo fuera representable
mediante una ecuación diferencial dependiente de una función F no lineal,
de la forma , en el que se considerará como
punto de operación el caracterizado por ,
podría aplicarse el procedimiento mostrado en el caso anterior sin más
que considerar a la función F como una función no lineal de múltiples
variables: la entrada y sus derivadas y la salida y sus derivadas.
Las derivadas parciales que aparecen en estas expresiones han de ser
evaluadas en el punto de operación (i.e. son valores constantes). El
nuevo modelo obtenido está expresado en términos incrementales y
tiene carácter lineal.
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mas y
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ca
Las derivadas parciales que aparecen en estas expresiones han de ser
evaluadas en el punto de operación (i.e. son valores constantes). El
nuevo modelo obtenido está expresado en términos incrementales y
tiene carácter lineal.
El punto de operación:
El punto de operación considerado suele ser un punto de reposo (o
equilibrio), o sea, un punto en el que las derivadas de las señales de
entrada y salida son nulas.
Por otra parte, en dicho punto de operación deberá satisfacerse la
ecuación diferencial que describe el comportamiento del sistema. Por
tanto, en él deberá cumplirse:
Esto permite reescribir la expresión obtenida anteriormente en la forma
siguiente:
Linealización de sistemas
El punto debe ser
solución de la
ecuación diferencial
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Linealización de sistemas
Características de los modelos linealizados obtenidos:
– Las variables quedan referidas a un sistema de ejes centrados
en el punto de operación elegido.
– Hay tantas posibles aproximaciones lineales como puntos de
operación.
Ventajas e inconvenientes:
– Ventajas:
• Elimina las no linealidades de las ecuaciones y las constantes que
aparecen como términos independientes.
– Inconvenientes:
• El modelo sólo es válido para pequeñas variaciones alrededor del
punto de operación.
• Hay errores de cálculo fuera del punto de operación, que serán
mayores cuanto más se aleje el estado del sistema de dicho punto.
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Péndulo:
Obtener un modelo matemático para el sistema representado en
la figura y proceder a su linealización en su punto de equilibrio.
Se calcula el punto de equilibrio o reposo:
Truco:
Linealización de sistemas
0),,( sin 2
TFmglmlT
JTi
i
T
mg
l
m
0
0
0
0
T 0sin 0
0
0 0
)0,0,0(
),,(
0
0000
p
Tp
)sin(mgl
dFT 2dmJ
sin 2 mlgmlT
),,( 0000 Tp
sin 0
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Linealización de sistemas
Péndulo:
Si se linealiza la función F en torno a este punto, se obtiene:
En este caso particular se cumple:
Esto permite reescribir el modelo en términos incrementales
anteriormente obtenido como un modelo en términos absolutos:
02 Tmlgml
TTTTT
0
0
0
0
0
0
02 Tmlgml Tmlglm 2
0
T
T
FFF
0cos 0
2 Tmlgml
02 Tmlgml
)0,0,0(0 p
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
FIN
