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Automática2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
Tema 6.
Herramientas Gráficas para el
Análisis de Sistemas LTI. El Lugar de
las Raíces
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Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
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La respuesta transitoria de un sistema en bucle cerrado está
directamente relacionada con la ubicación de los polos en bucle
cerrado.
cos
Introducción
Los valores de y n
determinan la ubicación
de los polos del sistema
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Y(s)=G(s)*L[ ]
La respuesta transitoria de un sistema en bucle cerrado está
directamente relacionada con la ubicación de los polos en bucle
cerrado.
Introducción
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Introducción
La respuesta transitoria de un sistema en bucle cerrado está
directamente relacionada con la ubicación de los polos en bucle
cerrado.
Si el sistema tiene una ganancia variable K, la ubicación de los
polos en bucle cerrado dependerá de la ganancia elegida.
A veces, un simple ajuste de la ganancia mueve los polos en bucle
cerrado a las posiciones deseadas.
No obstante, en general será necesario agregar al sistema un
compensador Gc(s) de atraso, adelanto o mixto.
K
)(sH
)(sGp+
-
El diseñador debe
conocer cómo se
desplazan los polos
en bucle cerrado en
el plano s conforme
varía la ganancia.
Tema 5
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Ejemplo:
Root Locus
Real Axis
Ima
g A
xis
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2
1( )
7 10
( ) 1
G ss s
H s
2 7 10BC
KG
s s K
K P1 P2
0 -5 -2
1 -4.62 -2.38
2 -4 -3
2.25 -3.5 -3.5
3 -3.5+0.872i -3.5-0.872i
6.5 -3.5+2.06i -3.5-2.06i
xx
Ecuación característica:
Introducción
Ver MATLAB
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Introducción
El Lugar de las Raíces (LdR) (W.R. Evans) permite obtener el
trazado de las raíces de la ecuación característica del sistema en
bucle cerrado (polos en bucle cerrado) para todos los valores de un
parámetro del sistema, como puede ser la ganancia.
Mediante el método del lugar geométrico de las raíces, el diseñador
puede predecir los efectos que tiene en la ubicación de los polos en
bucle cerrado, variar el valor de la ganancia o agregar polos y/o
ceros del compensador en bucle abierto.
En lo sucesivo se supondrá que la ganancia de la función de
transferencia en bucle abierto es el parámetro variable que puede
adoptar todos los valores en un rango de cero a infinito.
)()(1
)()(
sHsKG
sKGsGeq
0)()(1 sHsKG
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Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
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Introducción:
La ecuación característica que define el lugar geométrico de las
raíces o lugar de los polos del sistema en bucle cerrado viene
dada por:
con K variable.
Al ser G(s)H(s) una magnitud compleja se establecen dos
condiciones:
1. Condición de ángulo (o angular):
2. Condición de magnitud:
Lugar de las Raíces Continuo
0)()(1 sHsKG 1)()( sHsKG
)12()()( ksHsKG k =0,1,2,… y K > 0
1)()( sHsKG
Múltiplos impares de π
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Lugar de las Raíces Continuo
Introducción (cont.):
Root Locus
Real Axis
Ima
g A
xis
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x x
Los valores de s que cumplen
tanto las condiciones de ángulo
como las de magnitud para K=0
son los polos en bucle abierto.
Los valores de s que cumplen tanto las
condiciones de ángulo como las de
magnitud para K>0 variable definen el
lugar geométrico de los polos del
sistema en bucle cerrado (LdR).
Los polos del sistema en bucle
cerrado para un valor específico
de K se determinan a partir de la
condición de magnitud.
x
x
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Introducción (cont.):
Root Locus
Real Axis
Ima
g A
xis
-5 -4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0
-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
2
1( )
7 10
( ) 1
G ss s
H s
xx
Lugar de las Raíces Continuo
Punto de prueba
1( ) ( )
( 2)( 5)G s H s
s s
1 3.5s j
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x x
-5
s1
θθ
jω
σ-2
1
-2.25
|s1+5| |s1+2|
s1+5s1+5
Introducción (cont.):
Punto de prueba
• Condición angular ??
s1 LdR
Lugar de las Raíces Continuo
1 3.5s j
1
1 1( 2) ( 5) ( )( 2)( 5)
s s
Ks s
s s
-3.5
sí
Si s1 LdR 1 3.5 , [0, )s xj x
2
1( )
7 10
( ) 1
G ss s
H s
1( ) ( )
( 2)( 5)G s H s
s s
2
s1
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1
1 1
1 1
1 2 5 3.6( 2)( 5) 2 5
s s
K KK s s
s s s s
Introducción (cont.):
Punto de prueba
• Condición angular:
• Condición modular K
Lugar de las Raíces Continuo
1 3.5s j
-3.5
x x
-5
s1
θθ
jω
σ-2
1
-2.25
|s1+5| |s1+2|
s1+5s1+5
sí
-3.5
2
1( )
7 10
( ) 1
G ss s
H s
1( ) ( )
( 2)( 5)G s H s
s s
2
s1
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x x
x
x
-p1
-p2
-p3
-p4 -z1
A1
A2
A3
A4
B1
θ1
θ2
θ3
θ4 φ1
jω
σ
s1
Lugar de las Raíces Continuo
Introducción (cont.):
En general, para un sistema definido por
• Condición angular para s1
¿ múltiplo impar de π ?
• Condición modular K?
0)())((
)())((1)()(1
21
21
n
ms
pspsps
zszszsKKsHsKG
Punto de prueba
1 1 2 3 4( ) ( )KG s H s
1)()(4321
1 AAAA
BKKsHsKG s
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Introducción (cont.):
En general, para un sistema definido por
1. Condición angular:
2. Condición de magnitud:
Lugar de las Raíces Continuo
)12()()()()(
11
kpszssHsKG
n
i
i
m
i
i
k =0,1,2,… y K > 0
1
)(
)(
)()(
1
1
n
i
i
m
i
is
ps
zsK
KsHsKG
0)())((
)())((1)()(1
21
21
n
ms
pspsps
zszszsKKsHsKG
Múltiplos
impares
de π
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Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
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Trazado del Lugar de las Raíces
Introducción:
Considérese un sistema realimentado como el de la figura
Se observa que G(s) tiene un par de polos complejos conjugados
en bucle abierto:
21;21 21 jsjs
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Introducción (cont.):
1. Determinamos los lugares geométricos de las raíces sobre el
eje real.
0 , [ 2, )s x j x
Hay una asíntota que
coincide con el eje real
negativo
Trazado del Lugar de las Raíces
s
Los polos (y ceros) complejos
conjugados no se tienen en
cuenta en este proceso ya
que sus ángulos son iguales
y de signo opuesto
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Introducción (cont.):
2. Determinamos la existencia de los puntos de bifurcación o
ruptura.
Hay un punto de
bifurcación sobre el
eje real negativo
Los polos en B.C. se
mueven desde los polos en
B.A. a los ceros o al infinito
Trazado del Lugar de las Raíces
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Introducción (cont.):
3. Determinamos los puntos de bifurcación o ruptura.
Trazado del Lugar de las Raíces
??Existe un valor de K para el
cual un par de ramificaciones
“chocan” y cambian de
trayectoria.
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Introducción (cont.):
3. Determinamos los puntos de bifurcación o ruptura (cont.).
El punto de ruptura se verifica que:
( ) ( ) 1KG s H s 1
( ) ( )K
G s H s
Trazado del Lugar de las Raíces
No válido!, pero…
¿por qué?
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Trazado del Lugar de las Raíces
Introducción (cont.):
4a. Determinamos el ángulo de salida de los polos complejos
conjugados en lazo abierto.
Por la CA se tiene que verificar
En este caso, el ángulo de salida es
Dado que el lugar geométrico de las
raíces es simétrico con respecto al
eje real, el ángulo de salida del polo
en s = -p2 es -145º
Punto de
pruebaÁngulo de salida
s está muy
próximo a
–p1
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Trazado del Lugar de las Raíces
Introducción (cont.):
4b. Determinamos los ángulos de llegada al cero en lazo abierto
y al infinito.
Para determinar los ángulos de llegada se procede de forma
análoga a lo descrito en el punto 3a para los ángulos de salida de
los polos en lazo abierto.
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Trazado del Lugar de las Raíces
Introducción (cont.):
5. Trazamos el lugar geométricos de las raíces.
El valor de K en cualquier punto
sobre el lugar geométrico de las
raíces se encuentra aplicando la
condición modular.
( ) ( ) 1KG s H s
Ver MATLAB
Para determinar los lugares
geométricos de las raíces precisos,
deben encontrarse varios puntos
mediante prueba y error entre el punto
de bifurcación y los polos complejos
en lazo abierto.
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Procedimiento general para el trazado del LdR:
1. Obtención de la ecuación característica:
Se ubican los ceros y los polos en BA en el plano s:
Ecuación característica:
0))...()((
))...()((1)()(1
21
21
n
ms
pspsps
zszszsKKsHsKG
Trazado del Lugar de las Raíces
0))...()(())...()(( 2121 msn zszszsKKpspsps
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Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Los polos y ceros en BA son:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
s=-6 s=-5
s=-1-j
s=-1+j
s=-3 s=0
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Procedimiento general para el trazado del LdR
2. Cálculo del número de ramas y sus puntos iniciales y finales:
• El número de ramas es igual al número de polos, n, en BA. De
las cuales, m terminan en lo ceros en BA y (n-m) en el infinito
para n>m, o todas en los ceros en BA para n=m.
• Los puntos iniciales (K=0) de las ramas corresponden a los polos
en BA. Los puntos finales son los ceros de BA o el infinito (K=).
Trazado del Lugar de las Raíces
(cont.):
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Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– El número de ramas del LdR es 5.
– Los puntos de inicio (K=0) y final (K=) de cada rama son:
• Iniciales polos en BA:
• Finales ceros en BA y/o :
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Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
3. Determinación del LdR sobre el eje real:
• Se realiza a partir de los polos y ceros reales en BA, ya que los
complejos conjugados no contribuyen.
• El LdR se extiende desde los polos a los ceros y se tomará un
punto de prueba tal que si el número de polos reales y ceros
reales a la derecha del punto de prueba es impar, el punto
pertenece al LdR.
(cont.):
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Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– LdR sobre el eje real:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
s=-6 s=-5
s=-1-j
s=-1+j
s=-3 s=0
n=4 n=3 n=2 n=1
No se tienen
en cuenta
Impar?
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Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
4. Determinación de las asíntotas del LdR:
• Las asíntotas determinan el comportamiento del LdR cuando K
tiende a infinito. El número de asíntotas es igual a la diferencia
de polos y ceros en BA, (n-m).
• Los ángulos de las asíntotas vienen dados por:
• Los puntos de intersección de las asíntotas con el eje real viene
dado por:
(cont.):
(2 1)0,1,2... 0
kk K
n m
1 2 1 2( ... ) ( ... )n m
a
p p p z z zs
n m
OJO: con signo
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ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Asíntotas del LdR y puntos de corte con el eje real:
• Ángulos:
Puesto que (n-m)=4 45º, 135º, -45º y -135º para k=0, 1, 2, …
• Intersección de las asíntotas con el eje real:
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Asíntotas del LdR y puntos de corte con el eje real:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
s=-2.5
45º135º
-45º-135º
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
5. Cálculo de los puntos de ruptura:
• En un punto de ruptura confluyen 2 o más ramas, es decir, es un
punto que pertenece al LdR en el que para un cierto valor de K
la ecuación característica tiene raíces múltiples.
• Pueden existir puntos de ruptura entre polos adyacentes, ceros
adyacentes o pares polo-cero. Los puntos de ruptura se calculan
aplicando la ecuación
con
• Si s* es solución de la ecuación anterior y K(s*) > 0 entonces s*
es un punto de ruptura.
(cont.):
0
1( ) ( ) 1
( ) ( )
dK
ds
KG s H s KG s H s
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Puntos de ruptura:
No válidos!,
pero… ¿por qué?
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2Pole-Zero Map
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Puntos de ruptura:
s=-5.5
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Dep
art
am
en
to d
e I
ng
en
ierí
a
de S
iste
mas y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
6. Cálculo de los ángulos de partida (llegada) desde polos
(ceros) conjugados:
• Se le resta a 180º la suma de los ángulos de los vectores desde
otros polos y ceros al polo (cero) complejo:
(cont.):
180º (2 1)
180º (2 1)
polo polos ceros
resto
cero ceros polos
resto
r l
r l
0,..., ( 1)l r
Multiplicidad
del cero (polo)Si r>1 entonces se
eliminan los ceros
(polos) repetidos
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
6. Cálculo de los ángulos de partida (llegada) desde polos
(ceros) conjugados:
• Se le resta a 180º la suma de los ángulos de los vectores desde
otros polos y ceros al polo (cero) complejo:
(cont.):
polo polos ceros
resto
cero ceros polos
resto
Si r=1 =>
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Ángulos de partida para s1:
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
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ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Procedimiento general para el trazado del LdR
7. Cálculo de los puntos de cruce con el eje imaginario:
• Se puede abordar de dos modos:
a) Resolver el polinomio característico para s=jω.
b) Resolver por Routh el valor de K.
(cont.):
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Puntos de cruce con el eje imaginario por Routh:
¿cuál es el
valor de K
válido?
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
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De
part
am
en
to d
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a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Puntos de cruce con el eje imaginario por Routh:
• Sustituimos en la ecuación característica el valor de K=35.56
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
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Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Trazamos de forma aproximada el LdR:
De
part
am
en
to d
e In
gen
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de S
iste
ma
s y
Au
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áti
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De
part
am
en
to d
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de S
iste
ma
s y
Au
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áti
ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Ejemplo (cont.): Trazado del LdR
– Dibujamos el LdR con Matlab:
Ver MATLAB
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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s y
Au
tom
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De
part
am
en
to d
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ca
Trazado del Lugar de las Raíces
Lugar de las raíces de algunos sistemas típicos:
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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Au
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Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
De
part
am
en
to d
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gen
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de S
iste
ma
s y
Au
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áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Adición de polos y ceros
• Efectos de la adición de polos:
“Empujan” el LdR hacia la derecha en el plano s.
• Efectos de la adición de ceros:
“Empujan” el LdR hacia la izquierda en el plano s.
Reales y negativos
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
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de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
De
part
am
en
to d
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de S
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am
en
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a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Sistemas con retardo puro:
– El análisis del lugar de las raíces se complica sensiblemente.
– Para un sistema de primer orden con un retardo puro:
el lugar de las raíces tiene un número infinito de ramas que
siguen una distribución periódica sobre el eje imaginario.
– El número de asíntotas es infinito y todas son paralelas al eje
real del plano.
Lugar de la raíces de sistemas con retardo
En BC el sistema es de
orden infinito tiene un
número infinito de raíces
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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ma
s y
Au
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ca
De
part
am
en
to d
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Au
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áti
ca
Lugar de la raíces de sistemas con retardo
Lugar de las raíces de un sistema de primer orden:
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Lugar de la raíces de sistemas con retardo
Condiciones angular y modular:
– La condición de ángulo se convierte en
– La condición de módulo se convierte en
Desfase del retardo
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Lugar de la raíces de sistemas con retardo
Aproximación del retardo:
– Si el retardo T es muy pequeño, se puede aproximar por las
siguientes expresiones:
o
– La aproximación de Padé proporciona una ecuación “más
elaborada” para aproximar el retardo:
Ver MATLAB
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
Especificaciones de control en el LdR
Parámetros de respuesta transitoria:
Para un sistema continuo de segundo orden con un par de polos
dominantes:
• Sobreoscilación (SO):
• Tiempo de pico (tp):
• Tiempo de establecimiento (ts):
• Frecuencia natural no amortiguada:
• Tiempo de subida 0-100% (tr):
21
eSO
%)5crit.(3
%)2crit.( 4
ns
ns tt
n
dpt
d
d
drt
1tan
1
tan
eeee pnpdtt
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Sobreoscilación (SO):
Menor que un valor dado x
Especificaciones de control en el LdR tan100 e
SO% < x
SO% > x
cos
100%SO21
xe
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Tiempo de establecimiento (ts):
Menor que un valor dado x
Especificaciones de control en el LdR
ts < x
ts > x
xxts
4
4%)2(
x/4
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Frecuencia natural no amortiguada (n):
Mayor que un valor dado x
Especificaciones de control en el LdR
n > x
n < x
x
xn
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
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ma
s y
Au
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áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
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ierí
a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
xxt d
d
p
Especificaciones de control en el LdR
Tiempo de pico (tp):
Mayor que un valor dado x
tp > x
tp < x
x/
x/
IMPORTANTE: esta
restricción no la pinta
Matlab directamente
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Especificaciones de control en el LdR
Cálculo de los valores válidos de K:
El cumplimento de las especificaciones se hará en base al
trazado del LdR y las regiones definidas por las
especificaciones, desplazando los polos en BC a través del
ajuste de la ganancia K de la ecuación característica.
Zona de
especificación
transitoria de ωn
Zona de
especificación
transitoria de SO%
Rango de
K válido
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Especificaciones de control en el LdR
Parámetros de respuesta estacionaria:
El comportamiento en estado estacionario viene dado por la
tabla de errores dependiente del tipo del sistema y de la función
de entrada.
En función de la precisión requerida y el tipo de referencia se
obtendrán los intervalos válidos de la ganancia K del
controlador.
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
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de S
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ma
s y
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ca
Contenido
TEMA 6: Herramientas gráficas. El Lugar de las Raíces
6.1. Introducción.
6.2. Lugar de las Raíces de sistemas continuos.
6.3. Reglas de construcción del Lugar de las Raíces.
6.4. Efectos de la adición de polos y ceros.
6.5. Lugar de las Raíces de sistemas con retardo.
6.6. Especificaciones de control sobre el Lugar de las Raíces.
6.7. Compensación en el Lugar de las Raíces.
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Introducción:
– La técnica de compensación en el LdR permite la
modificación de la dinámica del sistema en BC con objeto de
cumplir las especificaciones.
– Estas especificaciones pueden venir dadas por
requerimientos de precisión (erp) y de estabilidad relativa (tr,
SO, ts, etc.)
E s( )R s( ) +
-
G sc ( ) G sp ( )C s( )
Compensación en el LdR
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
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áti
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De
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am
en
to d
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gen
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a
de S
iste
ma
s y
Au
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ca
Compensación en el LdR
Compensador:
El compensador en general vendrá dado por una ganancia, ceros
y polos cuyas localizaciones permitan el cumplimiento
simultáneo de las especificaciones de respuesta, que para el
caso continuo será
– En general, se realizará en primer lugar el ajuste de la
ganancia proporcional, lo cual puede que no baste para
cumplir el conjunto de especificaciones.
– Un aumento de ganancia produce mejora en la precisión, y
aumenta la velocidad de respuesta, pero perjudica la
estabilidad relativa.
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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ma
s y
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tom
áti
ca
Compensación en el LdR
Compensación proporcional:
La compensación proporcional conlleva el uso de Gc(s) = Kp.
El objetivo principal es ubicar un par de polos dominantes de
lazo cerrado que cumplan las especificaciones deseadas.
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
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s y
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en
to d
e In
gen
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a
de S
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ma
s y
Au
tom
áti
ca
Compensación en el LdR
Compensación proporcional (cont.):
1. Sistemas de segundo orden subamortiguados:
El diseño del controlador proporcional para el cumplimiento de
especificaciones transitorias es estrictamente válido ya que los
expresiones utilizadas son las obtenidas matemáticamente sin
aproximaciones.
LdR de un sistema de segundo orden puro
De
part
am
en
to d
e In
gen
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a
de S
iste
ma
s y
Au
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ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca
Compensación en el LdR
Compensación proporcional (cont.):
2. Sistemas de orden superior:
El diseño del controlador proporcional para el cumplimiento de
especificaciones transitorias es válido cuando la dinámica del
sistema se aproxima a un par de polos dominantes o bien hay ceros
cercanos a los polos en bucle cerrado no dominantes.
Efecto polos no dominantes Efecto ceros cercanos
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
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áti
ca
De
part
am
en
to d
e In
gen
ierí
a
de S
iste
ma
s y
Au
tom
áti
ca Automática
2º Curso del Grado en
Ingeniería en Tecnología Industrial
FIN
