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Tema 2
Oscilaciones y Ondas
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Movimientos periódicos
Movimientos que se repiten a intervalos regulares
Período, T ≡ tiempo necesario para describir un ciclo completo (s)
Frecuencia, ν ≡ Número de ciclos por segundo (Hz) T
1=ν
Movimiento armónico simple
)cos()( δω += tsts max
t
smax
s(t)
smax ≡ amplitud
ω ≡ frecuencia angular
δ ≡ fase inicial
πνπ
ω 22
==T
Cinemática del MAS
)2
cos(
)sen(d
)(d)v(
πδωω
δωω
++=
+−==
ts
tst
tst
max
max
sts
tst
tta
max
max
22
2
)cos(
)cos(d
)(vd)(
ωπδωω
δωω
−=++=
=+−==
)cos()( δω += tsts max s TT/2
v
a
t
t
t
ω 2 smax
ω smax
smax
Dinámica del MAS
sKsmamF −=−== 2ω 2ωmK =
( ) ( )
2 2
total cinética potencial
2 2 2 2 2
2
1 1E E E v
2 2
1 1
2 2
1
2
max max
max
m Ks
m s sen t Ks cos t
Ks cte
ω ω δ ω δ
= + = + =
= + + + =
= =
2
0 0
1
2
s s
W F ds K s ds K s= = =∫ ∫
Se comunica energía al sistema realizando trabajo para separar el cuerpo unadistancia s de la posición de equilibrio y después se deja oscilar libremente
Dinámica del MAS
s TT/2t
smax
2
max2
1sK
t
cinética
potencial
E
E
2 2 2
total cinética potencial
1 1 1E E E v
2 2 2maxm Ks Ks cte= + = + = =
Movimiento armónico simple y movimiento circular uniforme
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/circular/oscila1.htm
t
T/2
smax
x
ω smax
y
s
s
ω2 smax
T
ω
Tipos de oscilaciones
)cos()( 0max δω += tstssKF −=
Oscilaciones libres
rozFsKsKF +−=−−= vγ
)cos()( δωµ += − tests t
max
Oscilaciones amortiguadas
2222
0
22 )( ωγωω +−=
m
Fs max
max
)cos(max tFsKF ωγ +−−= v
Oscilaciones forzadas
)cos()( δω += tsts max
t
s
maxs
t
max es µ−
s
s
s
t
t
t
smax
smax
smax
0ωω <
0ωω =
0ωω >
tsmax
s
Frecuencia natural o propia 0ω ≡
Movimiento amortiguado
http://www.ehu.es/acustica/espanol/basico/mases/mases.html
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/rozamiento/rozamiento.htm
Amortiguado
Movimiento amortiguado
http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica/oscilaciones/transitorio/transitorio.htmAmortiguado y forzado
Resonancia
2222
0
22 )( ωγωω +−=
m
Fs max
max
La amplitud de la oscilación forzada depende de la frecuencia impulsora y de la constante de amortiguamiento. La amplitud máxima se produce aproxima-damente a la frecuencia propia o de resonancia ω = ω0, pero si además el rozamiento es pequeño la amplitud puede ser muy grande.
0ωω =Condición de resonancia
Aplicaciones de la resonancia
� Habla y audición humanas
� Sintonizador de aparatos de radio y TV
� Análisis químico de materiales
smax
ωω 0
γgrande
γ = 0
γpequeño
Resonancia
En el año 1940, en Tacoma (EEUU), un puente colgante se destruyó debido al fenómeno de la resonancia unos meses después de haber sido inaugurado.
Un temporal azotó la región y una de las componentes de la fuerza del viento fue de frecuencia igual a una de las frecuencias características del puente. Éste entró en resonancia y empezó a oscilar con una amplitud tan grande que lo destruyó.
Resonancia
http://www.youtube.com/watch?v=SzObC64E2Ag
Medida de las características de una vibración
Osciloscopio: medidas de amplitud, frecuencia y diferencias de fase
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Concepto de onda
Propagación de una perturbación a través del espacio
Movimiento oscilatorio caracterizado por su frecuencia
Clasificación de las ondas
�Según la relación entre la dirección de vibración y la de propagación: longitudinales o transversales
�Según las dimensiones en las que se propaga: uni, bi- o tridimensionales
�Según el tipo de energía que se propaga: mecánicas o electromagnéticas
�Según su confinamiento: viajeras o estacionarias
Ondas longitudinales y transversales
La vibración puede ser perpendicular (ondas transversales) oparalela (ondas longitudinales) a la dirección de propagación
Ondas armónicas: Representación analítica
Función y ecuación de ondas
y
x
dd
y = f(x) y = f(x-d)y = f(x+d)
y
x
y = f(x-ut)y = f(x+ut)
u uPulsos viajeros
Pulsos
( ) 0x
f x,t f ,tu
= −
Ondas armónicas: Representación analítica
s
x
x
( )[ ]tuxks)t,x(s max += cos
( )[ ]tuxks)t,x(s max −= cos
Dirección de propagación
Ondas
maxs( t ) s cos( t )ω=
Vibraciones
[ ]
0 max
max max
x xs( x,t ) s ,t s cos t
u u
s cos t x s cos kx tu
= − = ω − =
ω = ω − = − ω
ku
ω=
smax ≡ amplitud
δ ≡ fase inicial
ω ≡ frecuencia angular
k ≡ número de onda angular
Función y ecuación de ondas
Doble periodicidad de una onda
( )[ ] ( )
−=−=−=
T
txstkxsutxkstxs
λπω 2coscoscos),( maxmaxmax
Tku
λω==
s (x,t0)
x
λ
t
s (x0,t) T
= tt 0en
0xx =Período temporal T en
Período espacial o longitud de onda
( )maxcoss( x,t ) s kx tω= −
λ
Velocidad de propagación de la onda
2 2k
u Tu
ω π π
λ= = =Número de onda
Función y ecuación de ondas
22
02
d0
d
ss
tω+ =
( )tkxstxs ω−= cos),( max
Función de ondas
)txk(st
s)txk(s
t
smaxmax ωωωω −−=
∂
∂−=
∂
∂cos ;sen 2
2
2
)txk(skx
s)txk(sk
x
smaxmax ωω −−=
∂
∂−−=
∂
∂cos ;sen 2
2
2 2
22
2
2
x
su
t
s
∂
∂=
∂
∂
Ecuación de ondas
)cos()( 0max δω += tsts
� Vibraciones
FunciónEcuación
� Ondas
Ondas transversales en una cuerda
2
22
2
2
x
yu
t
y
∂
∂=
∂
∂
( )tkxy)t,x(y max ω−= cos
m
Fu
λ=
Función de ondas
Ecuación de ondasu
F ≡ tensión de la cuerda
mλ ≡ densidad lineal de masa
Ondas: frentes de onda y rayos
Frentes de onda
a) planosb) esféricosc) cilíndricos
x
y
zx
y
zx
y
z
b) c)a)
Rayos
a) paralelosb) divergentesc) convergentes
b) c)a)
A grandes distancias losfrentes de onda esféricosse convierten en planos
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Ondas sonoras
Ondas de presión capaces de estimular el oído humano
Infrasonidos UltrasonidosBandas de ondas sonoras audibles
Graves Medios Agudos
10 Hz 100 Hz 1000 Hz 10000 Hz 100000 Hz
20 Hz 400 Hz 1600 Hz 20000 Hz
Frecuencia de las ondas sonoras
Aplicaciones de las infrasonidos y ultrasonidos
�Infrasonidos: estudios geológicos
�Ultrasonidos: investigación de sólidos, sónar, aplicaciones en medicina (diagnóstico, terapéuticas, quirúrgicas), limpieza de superficies
Generación de las ondas sonoras
Sistema mecánico que vibra: oscilaciones forzadas de las moléculas del medio cercanas que reproducen la vibración original.
La vibración se comunica a las moléculas contiguas, propagándose la perturbación.
Ondas sonoras longitudinales
http://www.kettering.edu/~drussell/Demos/waves/wavemotion.html
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
a) desplazamiento
2
22
2
2
x
su
t
s
∂
∂=
∂
∂
( )tkxs)t,x(s ω−= cosmax
sen2
max max
dsp B kBs ( kx t ) p cos( kx t )
dx
π∆ = − = − − ω = ∆ − ω −
b) presión
V S sp B B
V S x
∆ ∆∆ = − = −
∆
∆x ∆x + ∆s
V S V +∆V S
s1
s2
2 22
2 2
p pu
t x
∂ ∆ ∂ ∆=
∂ ∂
Onda de presión
p
x
Onda de desplazamiento
tMoléculas en reposo
Moléculas al paso de la onda s
x
Ondas longitudinales en un fluido: sonido
m
Bu
ρ=
Velocidad de propagación
20 05aireu , T=
L T
m m
Y Gu ; u
ρ ρ= =
Sólidos
B ≡ Módulo de compresibilidad
mρ ≡ Densidad
T ≡ Temperatura (K)
AireAire
AguaAgua
AluminioAluminio
0’340’34
1’571’57
5’05’0
u (103 m/s)u (103 m/s)
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Intensidad de las ondas
Flujo de energía uSIt
V
VtI EVEE ρρ ==== totaltotal EE
x = u t
V S
Intensidad de la onda: Flujo de energía por unidad de superficie transversal atravesada por la onda
22 2total maxE
max
E I 1
2 2E
pPI u Z s
S S t S Zρ ω= = = = = =
uZ mρ=
Impedancia acústica
Densidad de energíaV
EtotalE
=ρ
2max
2
2
1smE ωρρ =desplazamiento
m
mEu
p
Bk
p
ρ
ωρρ
2
2max
22
2max
2
22
1==presión
Sensación sonora
La sensibilidad del oído varíade forma aproximada con
el logaritmo de la intensidad 0
10I
Ilog)dB(L =
( )212
0 W/m10−=I
Nivel deintensidad
Umbral deaudición sonora
80Tráfico intenso0Nivel mínimo audible
160Rotura del tímpano60Conversación
120Nivel de dolor40Casa (interior)
100Discoteca20Susurro
L (dB)L (dB)
Propagación del sonido: energía
� Ley del cuadrado de la distancia
22
2
21
1
4
4
r
PI
r
PI
π
π
=
=
21
22
2
1
r
r
I
I=
r2
r1
I2
I1
� Ley de absorción
x
I0 I1
xII ∆−=∆ α xII α−= e0
Propagación de las ondas: interacción con un obstáculo
El resultado de la interacción depende de la relación entre las dimensiones del obstáculo (d) y la longitud de onda (λ)
d >>λReflexióny refracción
d < λ La onda no detecta el obstáculo
d ≥ λ Difracción
Principio de Huygens
Cada punto del frente alcanzado por la ondase convierte en un foco puntual emisor de ondas esféricas secundarias, y cualquier frente de ondas posterior, se obtiene como superficie tangente a los frentes de ondas de estas ondas secundarias
Reflexión y refracción: geometría
t
i
tu
tu
θ
θ
sen ADAC
sen ADBD
2
1
==
==
2
1
sen
sen
u
u
t
i =θ
θr
i
tu
tu
θ
θ
sen ADAC
sen ADBD
1
1
==
==ri θθ =
θt
u1
θi
θi
Refracción
u2
u1
θr
θi
Reflexión
Difracción
Cambio de dirección de la onda trasla interacción con un obstáculo de
dimensiones del orden de λ
α
d
αd
d
λα ≈sin
Difracción (cubeta de ondas)
Difracción (luz)
Programa
1. Oscilaciones: movimiento armónico simple.
Oscilaciones amortiguadas y forzadas. Resonancia.
2. Ondas armónicas: función y ecuación de ondas.
3. Sonido: ondas sonoras, velocidad de propagación.
4. Intensidad de las ondas. Fenómenos de
propagación: reflexión, refracción y difracción.
5. Interferencias. Ondas estacionarias.
Interferencias: ondas de la misma amplitud y frecuencia
)cos(1 txkpp max ω−=
[ ]txxkpp max ω−∆+= )(cos2
)2
cos()2
cos(221
xktxk
xkpppp maxR
∆+−
∆=+= ω
Interferómetro
Intensidad de laonda resultante
24 cos2
RI Iϕ
= λ
πδ
2=∆= xk
∆x
4I
λIR
k xϕ ∆=Diferencia de fase
Principio de superposición: cuando a un punto llegan, al mismo tiempo, varias ondas, la función de onda resultante es la suma algebraica de las diferentes funciones de onda que intervienen.
Interferencias constructivas y destructivas
Interferencia: a) constructiva
24 cos2
RI Iϕ
=Intensidad de la onda resultante xk ∆=ϕ
( )...,,,,n 3210=λnx =∆
πϕ 2n=
t
t
t
TT/2p1
p2
pR
p1max
p2max
pRmax
a)
b) destructiva
( )...,,,n 531=2λnx =∆
πϕ n=
TT/2
t
t
t
p1
p1max
p2
p2max
pR
pR= 0
b)
Ondas estacionarias
Interferencias de ondas con sus reflejadas
)cos(1 txkpp max ω−=
)cos(2 δω ++= txkpp max
x
pR
t1 = 0
t4 = T/4
t2
t3
t7 = T/2
t6
t5
1 2 max2 cos( )cos( )2 2
Rp p p p kx tδ δ
ω= + = + +
Amplitud nula: nodoAmplitud máxima: vientre
Ondas estacionarias en tubos sonoros
Tubos sonoros (extremos abiertos)
...,,nnLk 321 == π
...,,n 321=
nL
2=
λ
L
n=1
n=2
n=3
1 2 max2 cos( )cos( )2 2
Rp p p p kx tδ δ
ω= + = + +
( ) )tsin(xksinpp maxR ω2=( ) 00 ==xpR δ π=
( ) 0== LxpR
L
un
2=ν
Tubos sonoros (un extremo cerrado)
...,,nnLk 531 2
==π
...,,n 531=
nL
4=
λ
maxRmax p)Lx(p 2==
L
un
4=ν
L
n=1
n=3
n=5
Tubos sonoros
Órgano de la Catedral (Barcelona)
Ondas estacionarias longitudinales en un tubo sonoro
Extremosabiertos n=1
Un extremocerrado n=1
Extremosabiertos n=2
Un extremocerrado n=3
Ondas estacionarias. Transversales en una cuerda
http://www.physicsclassroom.com/mmedia/waves/
