1

1

GUIA DE TRABAJO DE FÍSICA

QUINTA SESION

2

2

OSCILACIONES Y ONDAS

Los osciladores son dispositivos capaces de repetir dos acciones opuestas en un período regular. Ejemplo: movimiento de un péndulo o mejor conocido como movimiento armónico simple. Algunos términos empleados en el movimiento armónico simple cuyos significados se deben conocer son los siguientes: Oscilación: el movimiento efectuado por una partícula hasta volver a su posición inicial recorriendo todos los puntos de su trayectoria. En nuestro ejemplo oscilación es el movimiento efectuado por la partícula P que parte de A, llega a B y regresa nuevamente a A. Periodo (T): es el tiempo que tarda la partícula en hacer una oscilación. Se mide en segundos. Frecuencia ( f ): es el número de oscilaciones que realiza la partícula en la unidad

de tiempo. Se expresa en oscilaciones por segundo pero operacionalmente se

utiliza únicamente 1s o el Hertz. Es evidente que la frecuencia y el periodo son mutuamente inversos:

1f

1

f f

1

Punto de equilibrio: es el punto de la trayectoria en el cual, la fuerza recuperada es nula. En nuestro ejemplo el punto cero. Puntos de retorno: son los puntos extremos de la trayectoria en los cuales el movimiento cambia de sentido. Elongación (x): en el desplazamiento de la partícula en un instante dado, referido al punto de equilibrio. Se mide en metros o centímetros. Amplitud (A): es la máximo elongación que puede tener la partícula, también se mide en metros o centímetros. La distancia entre dos puntos de retorno es 2A. PÉNDULO SIMPLE Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la

3

3

posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico:

El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

cosmgT

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

mgsenF

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple:

sen

Comprobamos en la tabla siguiente, con datos de ángulos y sus senos, esta afirmación.

grados radianes sen Diferencia %

0 0.0000 0.0000 0

2 0.0349 0.0349 0.00

5 0.0873 0.0872 0.11

10 0.1745 0.1736 0.51

15 0.2618 0.2588 1.14

Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:

4

4

l

xmgmgmgsenF

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, como:

xmF 2 Con la ecuación obtenida anteriormente la fuerza queda de la siguiente manera:

l

xmgF , vemos que la pulsación es:

l

g2 , y teniendo en cuenta que

T

2 , donde T es el período (tiempo utilizado en realizar una oscilación

completa), llegamos que:

g

lT 2

En este caso la masa colgada del resorte forma un oscilador armónico que cumple con la ley senoidal.

Cinemática de un M.A.S.

En un movimiento rectilíneo, dada la posición de un móvil, obtenemos la velocidad derivando respecto del tiempo y luego, la aceleración derivando la expresión de la velocidad.

5

5

La posición del móvil que describe un M.A.S. en función del tiempo viene dada por la ecuación (para eliminar el desfase utilizamos la función coseno)

tAtAsenX cos

Derivando con respecto al tiempo, obtenemos la velocidad del móvil

tsenA

dt

dxv

Derivando de nuevo respecto del tiempo, obtenemos la aceleración

del móvil

Este resultado se suele expresar en forma de ecuación diferencial

XtAdt

dva 22 cos

6

6

02

2

2

xdt

xd

Esta es la ecuación diferencial de un MAS donde x puede ser cualquier magnitud: un desplazamiento lineal, un desplazamiento angular, la carga de un condensador, una temperatura, etc.

Ejemplo: Un cuerpo que oscila con MAS de 10 cm de amplitud, posee un periodo de dos segundos. Calcular la elongación, velocidad y aceleración cuando ha transcurrido un sexto de periodo. Solución:

1. cálculo de la elongación:

Observa que se utilizó T

2 . El tiempo no fue necesario calcularlo porque se

expreso en función del periodo6

Tt ; el ángulo se midió en radianes.

2. cálculo de la velocidad

En éste ejercicio, las unidades de s

rad , los radianes no aparecen, explica el

por qué.

3. cálculo de la aceleración

cmcmx

cmT

Tcmx

tAx

55.010

3cos10

6

2cos10

cos

scm

scmsen

s

cmv

T

Tsen

scmv

tsenAv

2.2766.83

10

6

2

2

210

7

7

Cada vez que la fuerza que actúa sobre una partícula es linealmente proporcional al desplazamiento y esta en dirección opuesta, la partícula efectúa un movimiento

armónico simple. Puesto que el periodo es

2T y la frecuencia es el inverso

del periodo, podemos expresar el periodo y la frecuencia del movimiento de este sistema como:

k

mT

2

2

m

k

Tf

2

11

Es decir, el periodo y la frecuencia dependen solo de la masa y de la fuerza constante del resorte. Como podríamos esperar, la frecuencia es más grande para un resorte de mayor rigidez (tanto más rígido el resorte, será más elevado el valor de k) y disminuye a medida que crece la masa. Ejemplo Cuidado con los baches Un automóvil de 1300 Kg. se construye con un armazón soportado por cuatro

resortes. Cada resorte tiene una constante de fuerza de 20 000 m

N . Si dos

personas que viajan en el auto tienen una masa combinada de 160 Kg., encuentre la frecuencia de vibración del auto cuando pasa por un bache en una calle. Solución: Suponemos que la masa esta distribuida de manera uniforme. Así, cada resorte soporta un cuarto de la carga. La masa total soportada por los resortes es de 1460 Kg. y, en consecuencia, cada resorte soporta 365 kg. Por consiguiente, la frecuencia de vibración es:

Hzkg

mN

m

kf 18.1

365

20000

2

1

2

1

2

22

22

2

2

34.49

53

cos10

6

2cos

2

210

cos

scma

scm

scma

T

Tscma

tAa

8

8

Dinámica de un M.A.S.

Aplicando la segunda ley de Newton obtenemos la expresión de la fuerza necesaria para que un móvil de masa m describa un M.A.S. Esta fuerza es proporcional al desplazamiento x y de sentido contrario a éste.

xmmaF 2

Como la fuerza F es conservativa. El trabajo de dicha fuerza es igual a la diferencia entre el valor inicial y el final de la energía potencial U.

21

2

1

f

x

x

i UUFdx

2

2

22

1

222

2

1

2

1

2

1 2

1

2

1

2

1

xmxmxmkxdxFdxx

x

x

x

x

x

La expresión de la energía potencial U es:

22

2

1xmxE p

tkAkxU 222 cos2

1

2

1

Se toma como nivel cero de la energía potencial U=0 cuando el móvil está en el origen, x=0.

Y tomando K como la energía cinética del sistema, nos queda:

tsenAmmvK 2222

2

1

2

1

La energía total E, es la suma de la energía cinética K y de la energía potencial U que es constante.

222

2

1

2

1xmvUKE

9

9

2222222

2

1

2

1cos

2

1AmtsenAmtAmE

Lo cual significa que la energía de un oscilador armónico simple es una constante del movimiento y es proporcional al cuadrado de la amplitud.

En la figura a) se muestra la energía cinética y potencial contra el tiempo para un oscilador armónico simple, b) energía cinética y potencial contra el desplazamiento para un oscilador armónico simple. En cualquiera de las graficas observe que K + U = constante

Ejemplo:

Una masa de 10 kg de masa se liga a un resorte de constante de elasticidad de

mNk 8.0 . Si se desplaza 10 cm del punto de equilibrio, calcula: la energía

mecánica total del sistema, la velocidad máxima que adquiere la partícula, la energía potencial elástica y cinética cuando ha transcurrido un tercio del periodo.

Solución:

Calculo de la energía total, para 0t toda la energía del sistema masa resorte es

potencial:

julios

mm

NKA

EE pm 004.02

1.08.0

2

22

Cálculo de la velocidad máxima, se obtiene en el punto de equilibrio donde toda la energía mecánica del sistema es cinética ya que 0x

10

10

mk Emv

E 2

2

max ; Por que?

m

Ev m22

max

sm

kg

JEv m 028.0

10

004.02

2

2max

Cálculo de la energía potencial y cinética cuando 3

Tt , se halla la elongación

para ese periodo:

mT

TcmtAx 05.0

3

2cos10cos

Luego se calcula la energía potencial en mx 05.0

J

mm

NKx

E p 001.02

05.08.0

2

22

La energía cinética se calcula aplicando el principio de conservación de la energía mecánica:

pkm EEE

JJjEEE pmk 003.0001.0004.0

ONDAS MECÁNICAS

La propiedad esencial del movimiento ondulatorio es que no implica un transporte de materia de un punto a otro. Así, no hay una ficha de dominó o un conjunto de ellas que avancen desplazándose desde el punto inicial al final; por el contrario, su movimiento individual no alcanza más de un par de centímetros. Lo mismo sucede en la onda que se genera en la superficie de un lago o en la que se produce en una cuerda al hacer vibrar uno de sus extremos. En todos los casos las partículas constituyentes del medio se desplazan relativamente poco respecto de su posición de equilibrio. Lo que avanza y progresa no son ellas, sino la perturbación que transmiten unas a otras. El movimiento ondulatorio supone únicamente un

transporte de energía y de cantidad de movimiento.

Entonces una onda es una propagación de una perturbación de alguna propiedad de un medio, por ejemplo, densidad, presión, campo eléctrico o campo magnético,

11

11

que se propaga a través del espacio transportando energía. El medio perturbado puede ser de naturaleza diversa como aire, agua, un trozo de metal, el espacio o el vacío.

La propiedad del medio en la que se observa la particularidad se expresa como

una función tanto de la posición como del tiempo . Matemáticamente se dice que dicha función es una onda si verifica la ecuación de ondas:

Donde v es la velocidad de propagación de la onda. Por ejemplo, ciertas perturbaciones de la presión de un medio, llamadas sonido, verifican la ecuación anterior, aunque algunas ecuaciones no lineales también tienen soluciones ondulatorias, por ejemplo, un solitón (es una onda solitaria que se propaga sin deformarse en un medio no lineal. Se encuentra en fenómenos físicos como solución a ecuaciones diferenciales no lineales.).

Una vibración puede ser definida como un movimiento de ida y vuelta alrededor de un punto de referencia. El término suele ser entendido intuitivamente como el transporte de perturbaciones en el espacio, donde no se considera el espacio como un todo sino como un medio en el que pueden producirse y propagarse dichas perturbaciones a través de él. En una onda, la energía de una vibración se va alejando de la fuente en forma de una perturbación que se propaga en el medio circundante.

Clasificación de las ondas

Las ondas se clasifican atendiendo a diferentes aspectos:

Medios de propagación

Ondas mecánicas: son ondas que necesitan un medio elástico (sólido, líquido o gaseoso) para propagarse. Las partículas del medio oscilan alrededor de un punto fijo, por lo que no existe transporte neto de materia a través del medio. Como en el caso de una alfombra o un látigo cuyo extremo se sacude, la alfombra no se desplaza, sin embargo una onda se propaga a través de ella. La velocidad puede ser afectada por algunas características del medio como: la homogeneidad, la elasticidad, la densidad y la temperatura. Dentro de las ondas mecánicas tenemos las ondas elásticas, las ondas sonoras y las ondas de gravedad.

Ondas electromagnéticas: son ondas que se propagan por el espacio sin necesidad de un medio, pudiendo por lo tanto propagarse en el vacío. Esto es debido a que las ondas electromagnéticas son producidas por las oscilaciones de

12

12

un campo eléctrico, en relación con un campo magnético asociado. Las ondas electromagnéticas viajan aproximadamente a una velocidad de 300000 Km por segundo, de acuerdo a la velocidad puede ser agrupado en rango de frecuencia. Este ordenamiento es conocido como Espectro Electromagnético, objeto que mide la frecuencia de las ondas.

Ondas gravitacionales: son perturbaciones que alteran la geometría misma del espacio-tiempo y aunque es común representarlas viajando en el vacío, técnicamente no podemos afirmar que se desplacen por ningún espacio, sino que en sí mismas son alteraciones del espacio-tiempo.

Número de dimensiones que se propagan

Ondas unidimensionales: son ondas que se propagan a lo largo de una sola dirección del espacio, como las ondas en los muelles o en las cuerdas. Si la onda se propaga en una dirección única, sus frentes de onda son planos y paralelos.

Ondas bidimensionales o superficiales: son ondas que se propagan en dos direcciones. Pueden propagarse, en cualquiera de las direcciones de una superficie, por ello, se denominan también ondas superficiales. Un ejemplo son las ondas que se producen en una superficie líquida en reposo cuando, por ejemplo, se deja caer una piedra en ella.

Ondas tridimensionales o esféricas: son ondas que se propagan en tres direcciones. Las ondas tridimensionales se conocen también como ondas esféricas, porque sus frentes de ondas son esferas concéntricas que salen de la fuente de perturbación expandiéndose en todas direcciones. El sonido es una onda tridimensional. Son ondas tridimensionales las ondas sonoras (mecánicas) y las ondas electromagnéticas.

Dirección de propagación

Ondas longitudinales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio se mueven (ó vibran) paralelamente a la dirección de propagación de la onda. Por ejemplo, un muelle que se comprime da lugar a una onda longitudinal.

Ondas transversales: son aquellas que se caracterizan porque las partículas del medio vibran perpendicularmente a la dirección de propagación de la onda.

Ondas periódicas

Son aquellas en las cuales las partículas del medio tienen un movimiento periódico, debido a que la fuente perturbadora vibra continuamente. Si la fuente vibra con M.A.S., la onda periódica se llama armónica. La longitud de

13

13

configuración de una onda completa es la distancia entre una cresta y la siguiente, o de un valle y el siguiente, o de cualquier punto al punto correspondiente en la forma. A esta distancia se le llama longitud de onda y si viaja con rapidez

constante y avanza una longitud de onda en el lapso T, podemos afirmar que la velocidad es:

Tv

Ejemplo

Las ondas sonoras son ondas longitudinales en el aire. La rapidez del sonido

depende de la temperatura; a C20 es de s

m344 . Calcule la longitud de onda de

una onda sonora en el aire a C20 si Hzf 262 (la frecuencia aproximada del Do

central en un piano).

Solución

Tomando T

v

, despejo que es la longitud de onda,

ms

sm

f

v31.1

262

344

1

Función de onda de una onda senoidal

La forma más simple de onda periódica es la onda armónica, que se describe matemáticamente

v

xtfAsen

c

xtAsentxy 2,

Esta es una onda senoidal que avanza en el sentido positivo de las x.

Podemos reescribir la función de onda anterior de varias formas útiles, por ejemplo

en términos del periodo f

T1

y de la longitud de onda f

v , de esta manera la

ecuación se transforma:

14

14

x

T

tAsenyxy 2,

Obteniendo otra forma útil de la función de onda si definimos una cantidad K

llamada número de onda

2K .

Sustituyendo K

2 y

2f en la relación fv obtenemos vK , ahora

podemos reescribir la misma ecuación senoidal que se mueve en el eje positivo de las x así:

KxtAsentxy ,

Ejemplo

Onda en un tendedero

Su primo Tito está jugando con la cuerda para tender: desata un extremo, tensa la cuerda y mueve el extremo hacia arriba y hacia abajo senoidalmente con

Hzf 00.2 y amplitud de 0.075 metros. La rapidez de onda es s

mv 0.12 . En

0t , el extremo tiene desplazamiento y se mueve en la dirección positiva de y.

suponga que ninguna onda rebota del extremo lejano para no complicar la configuración en la cuerda. A) calcule la amplitud, frecuencia angular, periodo, longitud de onda y número de onda. B) escriba una función de onda que describa a la onda. C) escriba ecuaciones para el desplazamiento en función del tiempo del extremo que sujeta Tito y de un punto a 3.00 metros de ese extremo.

Solución:

a) la amplitud A de la onda es la del movimiento del extremo de la cuerda, A=0.075 m. la frecuencia angular es

s

rads

ciclociclo

radf 6.1200.400.222

El periodo es sf

T 500.01 . Obtenemos la longitud de onda:

15

15

ms

sm

f

v00.6

00.2

0.12

1

, obtenemos el número de onda de dos formas:

mrad

mK 05.1

00.6

22

mrad

sm

srad

vK 05.1

0.12

00.4

b) tomamos como 0x como la coordenada del extremo de la cuerda que

sujeta Tito, y como dirección el sentido positivo de la x o sea, la dirección en que la onda se propaga por la cuerda. La función de onda esta dada entonces:

x

T

tAsentxy 2,

m

x

s

tsenmtxy

00.6500.02075.0,

xm

radts

radsenmtxy 05.16.12075.0,

Podemos obtener esta misma ecuación usando los valores de y K que

obtuvimos antes.

c) Con la dirección positiva de x que escogimos, los dos puntos en cuestión esta en 0x y 30x m. para cada uno, podemos obtener una expresión

para el desplazamiento en función de t sustituyendo estos valores de x en la función de onda obtenida en el apartado b.

m

x

s

tsenmtxy

00.6500.02075.0,0

ts

radsenmtxy 6.12075.0,0

m

m

s

tsenmtmxy

00.6

00.3

500.02075.0,00.3

16

16

radts

radsenmtxy 6.12075.0,00.3

Todas las ondas tienen un comportamiento común bajo un número de situaciones o fenómenos y pueden experimentar las siguientes:

Difracción: Cuando una onda pasa cerca de un obstáculo o a través de un orificio,

se produce un cambio en la curvat

ura de la

onda.

Efecto Doppler: Efecto debido al movimiento relativo entre la fuente emisora de las ondas sonoras y el receptor de las mismas.

17

17

Interferencia o principio de superposición: Cuando en una región del espacio indicen dos o más ondas, los desplazamientos que ellas producen sobre cada partícula del medio se suman algebraicamente, o simplemente las ondas se

combinan al encontrarse en el mismo punto del espacio.

Reflexión: Ocurre cuando una onda, al encontrarse con un nuevo medio que no puede atravesar, cambia de dirección. . El eco es un ejemplo de Reflexión.

18

18

Refracción: Es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar de un medio material a otro. Sólo se produce si la onda incide oblicuamente sobre la superficie de separación de los dos medios y si éstos tienen índices de refracción distintos. La refracción se origina en el cambio de velocidad que experimenta la onda. El índice de refracción es precisamente la relación entre la velocidad de la onda en un medio de referencia (el vacío para las ondas electromagnéticas) y su

velocidad en

el medio

de que se

trate.

Polarización: Son ondas que solo puede oscilar en una dirección. La polarización de una onda transversal describe la dirección de la oscilación, en el plano perpendicular a la dirección del viaje. Ondas longitudinales tales como ondas sonoras no exhiben polarización, porque para estas ondas la dirección de oscilación es a lo largo de la dirección de viaje. Una onda puede ser polarizada usando un filtro polarizador.

19

19

Actividades

Movimiento armónico simple.

1. La velocidad de la partícula también se puede expresar en función de la elongación a partir de las ecuaciones tAx cos y

.tsenAv demuestra que 22 xAv

.

2. una partícula oscila con M.A.S de 20 cm de amplitud y 1.8 s de periodo. Calcula la elongación, velocidad y aceleración cuando ha transcurrido un tercio de periodo.

3. calcula la velocidad y la aceleración máxima de una partícula que posee M.A.S de 50 cm de amplitud y 6 s de periodo.

4. ¿qué tiempo mínimo debe transcurrirse para que una partícula que oscila con M.A.S de 0.8 m de amplitud y realizan 0.2 oscilaciones cada segundo alcance una elongación de 0.5m?

5. una partícula de 1 Kg de masa oscila con M.A.S ligada horizontalmente a

un resorte de constante m

NK 20 . Si inicialmente el resorte se deforma

0.1m. calcular: la energía potencial del sistema y la velocidad máxima de la partícula.

6. calcula la longitud de un péndulo que realiza 14 oscilaciones en 3 segundos.

7. ¿Cuántas oscilaciones en un minuto da un péndulo de 60 cm de largo? 8. demuestra que en un resorte si la velocidad es máxima y la energía

potencial es igual a la energía mecánica total del sistema es k

mT 2 .

9. calcular el periodo de oscilación de una masa de 3 Kg, sujeta a un resorte

de constante de elasticidad m

Nk 8.0 .

10. consulte y explique en que consistió el experimento de Galileo con el péndulo.

Movimiento ondulatorio

1. investigar en que consiste:

el experimento de Young con una rendija y de doble rendija.

el principio de Huygens

20

20

2. la ecuación de cierta onda transversal es:

cm

x

s

tsencmtxy

0.500300.0200.4, ; determine: a) la amplitud,

b) la longitud; c) la frecuencia; y d) la rapidez de propagación de la onda.

3. cierta ondas transversales en un hilo tienen s

mv 0.12 , mA 0500.0 y

m400.0 . Las ondas viajan en la dirección positiva de las x y en 0t

el extremo 0x del hilo tiene un desplazamiento cero y se mueve hacia

arriba. A) calcule la frecuencia, periodo y número de onda de estas ondas. B) escriba una función de onda que describa la onda. C) calcule el desplazamiento transversal de un punto en mx 250.0 en st 150.0 .

D) ¿Cuánto tiempo debe pasar después de st 150.0 para que en el

punto mx 250.0 tenga un desplazamiento 0?

4. cite una aplicación de cada uno de los fenómenos ondulatorios descritos en ésta sección.