Ondas Viajeras

Oscilaciones Introducción. Vibraciones mecánicasMovimiento Armónico Simple Algunos sistemas oscilanter Oscilaciones amortiguadas Oscilaciones Forzadas y resonancia

Ondas viajeras Movimiento ondulatorio. La ecuación de ondasOndas periódicas: Cuerdas, sonido y ondas electromagnéticasOndas en tres dimensiones. IntensidadOndas que encuentran barreras. Reflexión, refracción y difracciónEfecto DopplerSuperposición e interferenciaOnsa estacionarias

INTRODUCCIÓN. ONDAS VIAJERAS

Una onda es una perturbación que viaja a través del espacio y del tiempo, con transporte de energía

Las ondas viajan y el movimiento ondulatorio transporta energía de un punto a otro, usualmente sin desplazamiento permanente de las partículas del medio y, en muchas ocasiones, sin desplazamiento de masa.

Las ondas se describen mediante la función de onda, cuya ecuación matemática depende de la onda y del medio

INTRODUCCIÓN.TIPO DE ONDAS

Ondas transversales y longitudinales En las ondas transversales la perturbación es en una direción perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección.

Teniendo en cuenta el medio en el que se propagan:

Ondas mecánicas, que se propagan en un medio en el que la substancia que constituye el medio es la que se deforma. La deformación tiende a corregirse mediante fuerzas restauradoras que aparecen como consecuencia de la deformación.

Ondas en una cuerdaOndas de sonido, que se propagan en un fluido, generalmente aire Olas, tsunamis

Ondas electromagnéticas: Un tipo de ondas pueden viajar en el espacio vacío, y se denomina radiación electromagnética, luz visible, radiación infraroja, radiación ultravioleta, rayos gamma, rayos X, microondas, ondas de radio y TV. Este tipo de ondas consiste en campos eléctricos y magnéticos oscilando en la dirección perpendicular al movimiento.

Ondas transversales y longitudinales En las ondas transversales la perturbación es en una direción perpendicular al desplazamiento de la onda. En el caso de las ondas longitudinales, la perturbación es en la misma dirección.

Pulsos

Velocidad de las ondas

La forma del pulso se representa por f(x). El pulso viaja a lo largo de la cuerda

)(

)(

vtxfy

vtxfy

Descripción matemática del pulso que viaja: la función de onda

Las funciones de onda son soluciones de una ecuación diferencial llamada la ecuación de ondas, que puede ser derivada de las Leyes de Newton

y: la deformación del medio desde la posición de equilibrio

v: velocidad de propagación de la onda

2

2

22

2 1

t

y

vx

y

Función de ondas 221

2

tx

txseny

donde x, y están en metros, t en segundos

Gráfica del pulso a diferentes

instante

Pulsos que viajan. Un ejemplo

x (m)

y (m)

t = 0

t = 2t = 4

Escribimos la función de la onda de tal forma que aparezca explícitamente el grupo x+v·t.

2

241

22sen

t

x

tx

y

El pulso se mueve hacia la izquierda con una velocidad de 0.5 m/s. Notar que vt = t/2.

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4-0,5

-0,4

-0,3

-0,2

-0,1

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Velocidad de las ondas

)/( mkgmasadelinealdensidad

cuerdalaentensionF

Fv

T

T

Una propiedad general de las ondas es que su velocidad relativa al medio permanece constante, pero es independiente del movimiento de la fuente de ondas.

Velocidad de una onda en una cuerda

Una cuerda de 25 m de larga y masa de 0,5 kg se mantiene tensa por un objeto de masa 10 kg que cuelga de ella como se muestra en la figura. ¿Cuál es la velocidad de un pulso en esta cuerda. Si la masa de 10 kg se reemplaza por una de 20kg, ¿Cuál es ahora la velocidad del pulso?

Ondas transversales viajan a 150 m/s en un cable de longitud 1 m, que está bajo la tensión de 550 N. ¿Cuál es la masa del cable?

Una cuerda de piano de acero de 0,7 m de longitus posee una masa de 5 g. Si se estira con una tensión de 500N. ¿Cuál es la velocidad de las ondas transversales en la cuerda?

Velocidad de las ondas mecánicas

Sonido (en un material elástico)

vβ modulo de compresión uniforme ρ densidad

VVP

M

TRv

Sonido

(en aire)

γ coeficiente adiabático, para aire 1,4 R Constante universal de los gases 8.314 J/(mol.K) M: Masa molar del gas, aire 28.96x10-3 kg/mol T: Temperatura absoluta

Para las ondas de sonido en el aire,los cambios de presión ocurren tan rápidamente, al menos para las frecuencias audibles, que el proceso de compresión y expansión se puede considerar adiabático.

Calcular la velocidad del sonido (a) 0ºC y (b) 20ºC

El módulo de compresión uniforme para el agua es 2.0x109 N/m2. Encontrar la velocidad del sonido en el agua (b) La velocidad del sonido en mercurio es 1410 m/s ¿Cuál es el valor del módulo de compresión uniforme? (ρ = 13.6 x 103 Kg/m3 )

Y

v

LL

AFY

/

/

ndeformació

esfuerzo

Ondas en sólidos

densidad del sólido (kg/m3)

Y Módulo de Young

Las ondas mecánicas requieren de un medio para propagarse. La velocidad depende de las características del medio

ONDAS PERIÓDICAS

Ondas Armónicas

Las ondas armónicas son el tipo de ondas más básico. Sin embargo, todas las ondas, periódicas o no, pueden ser construidas como combinación de ondas armónicas.

Un ejemplo de onda armónica es la que se genera en una cuerda cuando en su extremo se aplica un movimiento armónico simple; en este caso una onda sinusoidal recorre la cuerda, y cada punto de la cuerda vibra con un movimiento armónico simple.

Ondas armónicas: La función armónica

λ, longitud de onda: la mínima distancia en que la onda se repite (por ejemplo, la distancia entre crestas consecutivas)

cresta

fT

v

Relación básica entre la longitud de onda λ , velocidad v, período, T, y frecuencia, f

)2sin(

x

Ay

La forma de la perturbación sinusoidal se describe como

Para una onda viajera en la dirección positiva de x, con velocidad v, se obtiene reemplazando x, por x –vt, y si consideramos δ = 0

)sin(

)(2sin

)2sin(

tkxAy

ftx

Ay

vtxAy

2

kk: número de ondas

Ondas Armónicas: Transferencia de energía en una cuerda

La energía de un punto que vibra con un MAS es

222

2

1

2

1 AmAkKUEtotal

En la cuerda donde una onda armónica se ha generado, la energía de una partícula de masa dm es

2222

2

1

2

1 dxAl

mAdmE

dxl

mdm

total

La energía se transfiere desde el punto que vibra a toda la cuerda, de tal forma que cuando la onda alcanza una porción de la cuerda esta comienza a vibrar y gana energía. La energía transferida por unidad de tiempo a través de un punto es la potencia

2222sin

2

1

2

1 vAl

mA

dt

dx

l

m

dt

EPotencia gpas

Transferencia de Energía

Ondas armónicas: Energía de las ondas sonorasLa función de ondas del sonido es aquella que obtenemos considerando en vez del desplazamiento transversal y(x,t), el desplazamiento longitudinal s(x,t), en la forma

En el caso del sonido, la masa vibrando en un punto será la que corresponda a un volumen de aire dV, esto es dm = ρ dV. Así pues:

Energy transfer

)sin(),( tkxstxs o

A los desplazamientos corresponden variaciones de presión, dadas por

oo

o

svp

tkxptxp

)2

sin(),(

22

2222

2

12

1

2

1

ototal

ototal

sdV

dE

sdVAdmdE

Energía por unidad de volumen

Ondas en Tres Dimensiones

Frentes de onda Rayos

Fuente

Intensidad de la Onda. Aplicación al caso de ondas sonorasPara una fuente que emite ondas en todas direcciones, la energía se distribuye uniformemente en una superficie esférica A, de radio r. La intensidad de una onda, I, es la potencia por unidad de área, o energía por unidad de tiempo y unidad de área, que incide perpendicularmente a la dirección de propagación

v

pvsv

dV

dE

A

PI

AvdV

dE

dt

drA

dV

dE

AdrdtdV

dEdV

dtdV

dE

dt

dEP

r

P

A

PI

oo

222

2

2

1

2

1

4

Para el caso de una onda sonora

El diafragma de un altavoz de 30 cm de diámetro vibra a 1 kHz, con una amplitud de 0.020 mm. Suponemos que las moléculas de aire vibran con esa amplitud, (a) encontrar la amplitud de la presión (b) la intensidad de la onda sonora enfrente del diafragma © la energía sonora radiada (d) si el sonido se irradia uniformemente en el hemisferio, calcular cual es la intensidad a 5 m del diafragma

Respuesta del oido humano: Intensidad umbral de la onda sonora 10-12 W/m2 Sensación dolorosa 1 W/m2

INTENSIDAD Y VOLUMEN SONORO. EL OIDO HUMANO

La percepción del oido humano no es proporcional a la intensidad de la onda. Es por ello por lo que se usa una escala logarítmica para describir la intensidad para el oído humano, la cual se mide en decibelios, y se define por:

oI

I10log10

Ondas que encuentran barreras: Reflexión, refracción y difracción

Light beam exhibiting reflection, refraction, transmission and dispersion when encountering a prism

Ondas que encuentran barreras: Reflexión, refracción y difracción

Refracción de una onda sinuosidal que incide bajo cierto ángulo y entra en una región en que la velocidad de propagación es menor. Ejercicio: cuantificar la frecuencia de la onda incicdente y reflejada

Sinusoidal traveling plane wave entering a region of lower wave velocity at an angle, illustrating the decrease in wavelength and change of direction (refraction) that results:

Ondas que encuentran barreras: difracción

EFECTO DOPPLER (a)Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia del receptor no es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Esto es conocido como el efecto Doppler.

v

fr s

sss f

uvTuv

)(

Para el caso de un receptor estacionario

Número de crestas por unidad de tiempo que pasan por el receptor

El signo negativo es para el receptor delante, cuando la fuente se mueve hacia el receptor. El signo positivo es para el receptor detrás de la fuente, cuando la fuente se aleja de él.

ss

r fuv

vvf

En el instante 5 la fuente emite una cresta. En un período Ts, mientras la cresta viaja una distancia vTs, la fuente se desplaza usTs y alcanza el punto 6, La longitud de onda es entonces (v-us)Ts

Todo el movimiento se describe respecto al medio

EFECTO DOPPLER (I)Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia del receptor no es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Esto es conocido como el efecto Doppler.

r

r

uvf

s

sss f

uvTuv

)(

Para el caso de un receptor que se mueve

respecto del medio

El signo positivo del numerador es cuando el receptor se mueve hacia la fuente. En el denominador, el signo negativo es cuando la fuente se mueve hacia el receptor. La regla básica es que la frecuencia tiende a incrementarse cuando la fuente y cuando el recpetor se mueve hacia la fuente.

ss

rr f

uv

uvf

Todo el movimiento se describe respecto al medioMovimiento del receptor

Si se mueven simultáneamente fuente y receptor

Número de crestas por unidad de tiempo que pasan por el receptor

EFECTO DOPPLER (y II)Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia del receptor no es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Esto es conocido como el efecto Doppler.

r

r

uvf

s

sss f

uvTuv

)(

Para el caso de un receptor que se mueve

respecto del medio

El signo negativo es para el receptor delante. El signo positivo es para el receptor detrás de la fuente

ss

rr f

uv

uvf

Todo el movimiento se describe respecto al medioMovimiento del receptor

Si se mueven simultáneamente fuente y receptor

Número de crestas por unidad de tiempo que pasan por el receptor

EFECTO DOPPLER. Resumen y Ejercicios

Si la fuente de la onda y el receptor se mueven uno respecto de otro, la frecuencia del receptor no es la misma que la de la fuente. Si el movimiento relativo es de acercamiento, la frecuencia que mide el receptor es mayor; si se alejan la frecuencia es menor. Esto es conocido como el efecto Doppler.

Cuando el receptor se mueve hacia la fuente, se elige el signo positivo en el numerador. Cuando la fuente se mueve hacia el receptor, signo negativo en el denominador

ss

rr f

uv

uvf

Todo el movimiento, todas las velocidades,

se describen respecto al medio

fr frecuencia observada por el receptor; fs frecuencia que emite la fuente; v velocidad de propagación de la onda; ur velocidad del receptor; us velocidad de la fuente;

La frecuencia del silbato de un tren es de 400 Hz. Si el tren se mueve a una velocidad de 122 km/h, (a) con qué frecuencia se oye la bocina por un observador situado delante del tren en el sentido de la marcha; (b) por un observador situado detrás del tren; (c). Suponer ahora que el observador se mueve en una vagoneta a una velocidad de 120 km/h, en la misma dirección que el tren pero en sentido contrario ¿con qué frecuencia oye ahora el silbato?

** El radar de la policía emite con frecuencia 1.5x109 Hz. Un coche pasa delante del radar y la frecuencia de la onda reflejada por el coche, que recibe el receptor, situado al lado del emisor, es de 500 Hz menos que la emisora. ¿Cuál es la velocidad del coche?. ** Considerar que el coche actúa como receptor y emisor.

Un barco en reposo está equipado con un sonar que emite pulsos de sonido a 40 MHz. Los pulsos reflejados por un submarino situado justo en la vertical del barco llegan con un tiempo de retardo de 80 ms, y una frecuencia de 39.958MHz. (a) ¿Cuál es la profundidad del submarino?; (b) cual es la velocidad del submarino en el eje vertical?. Velocidad del sonido en agua de mar: 1540 m/s

ONDAS DE CHOQUE

Cuando el emisor se mueve más rápidamente que la velocidad de propagación de las ondas, no hay ondas delante del emisor, entonces las ondas se acumulan detrás y forman una onda de choque.

SUPERPOSICION DE ONDAS, INTERFERENCIA

ONDAS ESTACIONARIASCuando dos o más ondas se superponen en el espacio, las perturbaciones individuales de cada onda se suman algebraicamente, creando una nueva onda. Esta propiedad es el principio de superposición

Cuando se superponen ondas armónicas de la misma frecuencia se pueden producir patrones ondulatorios sostenidos en el tiempo. Este fenómeno es interferencia

Fenónmenos de interferencia y difracción distinguen las partículas de las ondas

SUPERPOSITION OF WAVES

)sin()cos(2

)sin()sin(

21

21

21

tkxA

tkxAtkxAyyy Constant phase 0

Constant phase π/2

Interference

Interferencia: Constructiva y destructiva

Diferencia de fase debida a diferencia en el recorrido.

Una onda estacionaria es una onda que permanece en la misma posición. Este fenómeno ocurre cuando en un medio estacionario se d la interferencia entre dos ondas que viajan en direcciones opuestas.

La suma de dos ondas que se propagan una contra otras (de igual amplitud y frecuencia) crean una onda estacionaria, en la que se distinguen nodos y vientres

ONDAS ESTACIONARIAS

ONDAS ESTACIONARIAS