Tema 1. Números naturales

Tema 1: Nmeros naturales.

Gema Isabel Marn Caballero Pgina 1 de 18

NDICE

1. ORIGEN Y EVOLUCIN DE LOS NMEROS 3

2. SISTEMAS DE NUMERACIN 3

2.1. Definicin ................................................................................................................................................... 3

2.2. Tipos ............................................................................................................................................................ 3

2.2.1. Sistemas no posicionales .......................................................................................................................... 3

2.2.2. Sistemas posicionales ............................................................................................................................... 5

3. NMEROS NATURALES 6

3.1. Definicin ................................................................................................................................................... 6

3.2. El nmero cero ......................................................................................................................................... 6

3.3. Utilidad ....................................................................................................................................................... 6

4. DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NMERO NATURAL 7

4.1. Definicin ................................................................................................................................................... 7

4.2. Tabla de rdenes ..................................................................................................................................... 7

4.3. Lectura y escritura de un nmero natural ....................................................................................... 8

4.4. Ejercicio ..................................................................................................................................................... 8

5. APROXIMACIONES DE NMEROS NATURALES 8

5.1. Definicin ................................................................................................................................................... 8

5.2. Utilidad ....................................................................................................................................................... 8

5.3. Mtodos de aproximacin ..................................................................................................................... 8

5.3.1. Aproximacin por truncamiento .............................................................................................................. 9

5.3.2. Aproximacin por redondeo .................................................................................................................... 9

6. REPRESENTACIN DE LOS NMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMRICA 10

7. ORDENACIN DE LOS NMEROS NATURALES 10

8. OPERACIONES DE LOS NMEROS NATURALES 10

8.1. Suma: a + b = c ........................................................................................................................................ 10

8.1.1. Definicin .................................................................................................................................................... 10

8.1.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 10

8.2. Resta: a b = c ........................................................................................................................................ 11

8.2.1. Definicin ................................................................................................................................................... 11

8.2.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 11

8.3. Multiplicacin: a b = c ......................................................................................................................... 11



8.3.1. Definicin ................................................................................................................................................... 11

8.3.2. Propiedades ............................................................................................................................................... 11

8.4. Divisin: D : d = c ................................................................................................................................... 12

8.4.1. Definicin ................................................................................................................................................... 12

8.4.2. Tipos de divisiones .................................................................................................................................. 12

8.4.3. Propiedades ............................................................................................................................................... 13

9. OPERACIONES COMBINADAS CON NMEROS NATURALES 13

9.1. Introduccin ............................................................................................................................................ 13

9.2. Reglas ........................................................................................................................................................ 13

9.3. Tipos de operaciones combinadas .................................................................................................... 13

10. EJERCICIOS 14

11. PROBLEMAS 17



1. ORIGEN Y EVOLUCIN DE LOS NMEROS

Desde la antigedad hasta nuestros das, los seres humanos (egipcios, babilonios, griegos,

romanos, chinos, indios, rabes, mayas, etc.) han utilizado nmeros para contar y para el comercio. Sin embargo, la forma de representarlos ha variado a lo largo de la historia. Para ello, han recurrido a diversos mtodos como: hacer muescas en un hueso, hacer nudos en una cuerda, ensartar semillas en un

collar para llevar la cuenta de las cabras de su rebao, inventar diferentes sistemas de numeracin,

etc.

Todas las civilizaciones han tenido un sistema de numeracin. stos han pasado de unos pueblos

a otros y han evolucionado a lo largo del tiempo.

Los sistemas de numeracin asocian la cantidad de objetos con un smbolo para identificar o

expresar tal cantidad (un nmero).

Por tanto, los nmeros surgen de la necesidad de contar y las civilizaciones, desde la

Prehistoria, han manejado sistemas de numeracin muy diversos, con similitudes y diferencias.

Los nmeros que se usan para contar se les llama nmeros naturales desde el siglo XVIII y el

sistema de numeracin que se emplea en la actualidad para escribirlos es el sistema de numeracin

decimal, que tiene su origen en la India 300 aos antes de nuestra era.

Con ellos se puede tambin ordenar, identificar objetos o elaborar cdigos.

Los nmeros, en sus diferentes formas, estn presentes en nuestras vidas y en todo aquello que

nos rodea. Los nmeros gobiernan la msica, la arquitectura, la naturaleza, la economa, la poltica, etc.

2. SISTEMAS DE NUMERACIN

2.1. Definicin

Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que se utilizan para

representar cantidades.

Un sistema de numeracin es un conjunto de smbolos y reglas que permiten escribir cualquier

nmero.

Por tanto, los sistemas de numeracin sirven para escribir nmeros y, as, recordarlos y

transmitirlos. Pero deben servir, tambin, para operar con ellos.

2.2. Tipos

Existen sistemas de numeracin posicionales y no posicionales.

2.2.1. Sistemas no posicionales

Los sistemas no posicionales consisten en que el valor de cada cifra no depende del lugar que

ocupa.

Ejemplos de sistemas no posicionales ms conocidos:

a) Sistema del hombre primitivo:.

b) Sistema egipcio:.

c) Sistema maya:.

d) Sistema romano: utiliza siete letras maysculas del alfabeto latino como smbolos para

representar los nmeros, que son: I, V, X, L, C, D y M. Dichos smbolos tienen su equivalencia en

el sistema decimal: 1, 5, 10, 50, 100, 500 y 1.000, respectivamente.



Ejemplos:

V, IV, XXII,

XI = X + I = 10 + 1 = 11

IX = X - I= 10 - I = 9

El sistema de numeracin romano procede de Roma y utiliza 7 smbolos para expresar cantidades. Los smbolos que usaban y el valor que corresponde a cada una de ellas son:

Smbolos Valor

I 1

V 5

X 10

L 50

C 100

D 500

M 1.000

Las reglas para escribir nmeros en el sistema de numeracin romano son:

Repeticin: Los smbolos I, X, C y M se pueden escribir hasta tres veces seguidas. Los

dems smbolos V, L y D no se pueden repetir. Ejemplos:

III = 3 XXX = 30 CCC = 300 MMM = 3.000

Suma: Un smbolo escrito a la derecha de otro de igual o mayor valor, le suma a sta su

valor. Ejemplos:

XVI = 10 + 5 + 1 = 16 CLV = 100 + 50 + 5 = 155

DCCCLX = 500 + 100 + 100 + 100 + 50 + 10 = 860 MM = 1.000 + 1.000 = 2.000

Resta: Los smbolos I, X y C escritos a la izquierda de otro de mayor valor, le resta a sta

su valor. El smbolo I slo se puede restar de V y X; X slo se puede restar de L y C; y C

slo se puede restar de D y M. Ejemplos:

IV = 5 1 = 4 XC = 100 10 = 90

XL = 50 10 = 40 CM = 1.000 100 = 900

Multiplicacin: Una raya situada sobre uno o ms smbolos multiplica su valor por mil. Dos

rayas multiplican el valor del nmero por un milln. Ejemplos:

000.6000.16 VI 001.51000.15 IV

001.81000.18 IVIII 000.40000.140 XL

000.000.1000.1000.1 M 000.000.000.1000.000.1000.1 M



Utilidad:

Actualmente, los nmeros romanos se usan para numerar captulos de libros, representar los siglos, poner fecha a los monumentos, indicar las horas en algunos relojes, en la denominacin de los reyes, en la designacin de congresos y olimpiadas, etc.

Los tres primeros sistemas representan nmeros con dibujos, es decir, pictogramas. Y el ltimo

sistema representa cantidades con letras.

Estos sistemas son tambin conocidos como sistemas aditivos porque para escribir un nmero,

se van sumando los smbolos necesarios hasta completar la cantidad deseada. Pero en el sistema de

numeracin romano tiene la peculiaridad de que los smbolos situados a la izquierda de un smbolo de

valor superior, restan su valor.

2.2.2. Sistemas posicionales

Los sistemas posicionales son aquellos en los cuales el valor de cada cifra depende de la

posicin que ocupa.

Estos sistemas se caracterizan fundamentalmente por su base, que es el nmero de smbolos

distintos que se emplean en un sistema determinado para representar la informacin. En estos

sistemas tenemos tantos smbolos como la base del sistema, es decir, si la base es b, el alfabeto va de 0

a b-1 smbolos.

Ejemplos de sistemas posicionales ms comunes:

a) Decimal: es de base 10 porque est compuesto de 10 smbolos (o dgitos) distintos que van del 0

al 9 para representar cualquier cantidad. Es el sistema de representacin numrica del ser

humano. Su origen est en la utilizacin de los diez dedos de las manos para contar.

El sistema decimal naci en la India en el siglo VII y lleg a Europa gracias a los rabes.

Cada cifra puede ocupar distintas posiciones, que son los distintos rdenes o categoras

de unidades.

En este sistema el lugar que ocupa cada cifra se denomina orden de unidad. Cada tres

rdenes de unidad forman una clase.

La caracterstica principal de este sistema es que diez unidades de un orden cualquiera

forman una unidad del orden inmediato superior. Es decir, las unidades se agrupan de 10 en 10

para formar una unidad de un orden superior.

En la siguiente tabla se pueden ver las clases y los rdenes de unidad.

Billones Millares de milln Millones Millares Unidades

Cen

tena

s de

bill

n

Dec

enas

de

bill

n

Uni

dad

es d

e bill

n

Cen

tena

s de

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ar d

e m

illn

Dec

enas

de

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ar d

e m

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Uni

dad

es d

e m

illar

de

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n

Cen

tena

s de

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n

Dec

enas

de

mill

n

Uni

dad

es d

e m

illn

Cen

tena

s de

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ar

Dec

enas

de

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ar

Uni

dad

es d

e m

illar

Cen

tena

s

Dec

enas

Uni

dad

es

CM DM UM CMM DMM UMM CM DM UM C D U



b) Binario: es de base 2 porque utiliza nicamente 2 smbolos (el 0 y el 1) para representar

cualquier cantidad. Es el sistema de numeracin utilizado por los computadores para la

codificacin interna de la informacin.

Curiosidad:

Los computadores, mquinas construidas con Electrnica Digital, utilizan el sistema binario y no

el sistema decimal por el fcil procesamiento y almacenamiento de los valores digitales, la

seguridad, la rapidez de respuesta, la facilidad y la estabilidad que tiene representar dos

estados lgicos diferenciados y las operaciones aritmticas son sencillas (slo tiene que

distinguir entre dos dgitos y no entre diez); de modo que permite a la mquina funcionar de

forma fiable.

No se adopt el sistema decimal porque resultaba complejo para crear un cdigo apropiado,

pues maneja diez dgitos y las operaciones aritmticas son ms complicadas.

3. NMEROS NATURALES

3.1. Definicin

Los nmeros naturales son los primeros que se utilizaron y nos proporcionan informacin del mundo que nos rodea.

El conjunto de los nmeros naturales est formado por:

= { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, ... }

El conjunto de los nmeros naturales se representa por la letra .

Los nmeros naturales son ilimitados, si a un nmero natural le sumamos 1, obtenemos otro

nmero natural.

3.2. El nmero cero

Histricamente, el 0 no se empleaba para contar, por lo que en ocasiones no se considera

propiamente un nmero natural.

La introduccin y el uso del 0 en el sistema de numeracin decimal se debe a los rabes, a

travs del matemtico Al Khwarizmi que lo tom de la numeracin hind. A Europa lleg a travs de las

traducciones de sus escritos al latn.

El 0 se utiliza para indicar que no hay ninguna unidad en esa posicin.

En el sistema de numeracin decimal, el 0 facilita la escritura de los nmeros y las operaciones

con ellos.

Se puede considerar que el 0 es un nmero natural porque en el sistema de numeracin decimal,

facilita la escritura de los nmeros y las operaciones con ellos.

3.3. Utilidad

Los nmeros naturales se utilizan para:

Contar los elementos de un conjunto. Ejemplos: contar objetos, personas, los jugadores de un

equipo de ftbol, los sellos de una coleccin, etc. Estos nmeros reciben el nombre de

cardinales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,). Ejemplos: tengo 5 bolgrafos, somos 60 vecinos, etc.



Expresar la posicin u orden que ocupa un elemento en un conjunto ordenado. Ejemplos: orden

que ocupa una persona o un objeto, clasificar los corredores en una vuelta ciclista, numerar las

pginas de un libro, etc. Estos nmeros reciben el nombre de ordinales (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,

). Ejemplos: soy el 5 de la fila, trabajo en el 11 piso, etc.

Identificar personas, lugares, objetos, etc., utilizando cdigos numricos y alfanumricos (combinacin de cifras y letras). Ejemplos: identificar los cdigos del DNI (cdigo numrico),

los cdigos de las matrculas de coches (cdigo alfanumrico), los cdigos de los prefijos

telefnicos (cdigo numrico), los cdigos postales, los cdigos de barras, etc.

Calcular resultados desconocidos y obtener datos con la ayuda de las operaciones (suma, resta, multiplicacin, divisin, etc.).

4. DESCOMPOSICIN POLINMICA DE UN NMERO NATURAL

4.1. Definicin

La descomposicin polinmica de un nmero natural consiste en descomponer un nmero natural en rdenes, es decir, se descompone un nmero natural como sumas de sus diferentes unidades. Para expresar un nmero natural, se utiliza la tabla de las unidades u rdenes.

4.2. Tabla de rdenes

En la siguiente tabla se pueden ver las clases y los rdenes de unidad del conjunto de nmeros naturales.

Billones Millares de milln Millones Millares Unidades

Cen

tena

s de

bill

n

Dec

enas

de

bill

n

Uni

dad

es d

e bill

n

Cen

tena

s de

mill

ar d

e m

illn

Dec

enas

de

mill

ar d

e m

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Uni

dad

es d

e m

illar

de

mill

n

Cen

tena

s de

mill

n

Dec

enas

de

mill

n

Uni

dad

es d

e m

illn

Cen

tena

s de

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ar

Dec

enas

de

mill

ar

Uni

dad

es d

e m

illar

Cen

tena

s

Dec

enas

Uni

dad

es

CM DM UM CMM DMM UMM CM DM UM C D U

Un nmero natural se puede descomponer como sumas de sus diferentes unidades.

Ejemplo:

El nmero 2.345 podemos descomponerlo del siguiente modo:

2.345 = 2.000 + 300 + 40 + 5 = 2 UM + 3 C + 4 D + 5 U

Las unidades ms utilizadas son las siguientes:

1 decena = 10 unidades

1 centena = 10 decenas = 100 unidades

1 unidad de millar = 10 centenas = 100 decenas = 1.000 unidades



Por tanto, en el sistema de numeracin decimal, diez unidades de un orden cualquiera hacen

una unidad del orden inmediatamente superior.

4.3. Lectura y escritura de un nmero natural

Se lee dos mil trescientos cuarenta y cinco unidades o dos millares, 3 centenas, 4 decenas y

5 unidades.

Se lee doscientas treinta y siete millones o dos centenas de milln, 3 decenas de milln y 7

unidades de milln.

4.4. Ejercicio

1) Expresa los siguientes nmeros decimales en los distintos rdenes de unidades: 245 , 890, 26.077 ,

123.987 , 3.782.401 , 590.041.260.000

Solucin:

Nmero natural CM DM UM CMM DMM UMM CM DM UM C D U

245 2 4 5

1.890 1 8 9 0

26.077 2 6 0 7 7

123.987 1 2 3 9 8 7

3.782.401 3 7 8 2 4 0 1

590.041.260.000 5 9 0 0 4 1 2 6 0 0 0 0

5. APROXIMACIONES DE NMEROS NATURALES

5.1. Definicin

Aproximar un nmero es sustituirlo por otro nmero cercano a l.

5.2. Utilidad

Operar con nmeros aproximados simplifica los clculos.

Para trabajar con nmeros decimales, frecuentemente realizamos aproximaciones.

5.3. Mtodos de aproximacin

Dos mtodos para aproximar un nmero son:

a) Truncamiento.

b) Redondeo.



5.3.1. Aproximacin por truncamiento

Truncar un nmero a un cierto orden es sustituir por ceros las cifras de los rdenes inferiores a l.

Ejemplo: Trunca a las centenas el nmero 18.271.

DM UM C D U Truncamiento

1 8 2 7 1 18.200

Ejemplo: Trunca a las decenas los nmeros:

a) 12.348 b) 435.677

CM DM UM C D U Truncamiento

1 2 3 4 8 12.340

4 3 5 6 7 7 435.670

5.3.2. Aproximacin por redondeo

Para redondear un nmero a un cierto orden:

Si la cifra siguiente a la cifra del orden considerado es mayor o igual que 5, aumentamos esta ltima en una unidad y truncamos el resto.

Si es menor, la mantenemos igual y truncamos el resto.

Ejemplo: Redondea a los rdenes indicados el nmero 23.749.

a) A las centenas. b) A las decenas.

CM DM UM C D U Redondeo

2 3 7 4 9 4 < 5 23.700

2 3 7 4 9 9 > 5

2374+1=2375 23.750

Ejemplo: Redondea a los rdenes indicados el nmero 12.599.

b) A las unidades de millar. b) A las decenas.

CM DM UM C D U Redondeo

1 2 5 9 9 5 = 5

12+1=13 13.000

1 2 5 9 9 9 > 5

1259+1=1260 12.600



6. REPRESENTACIN DE LOS NMEROS NATURALES EN LA RECTA NUMRICA

Los nmeros naturales se pueden representar en una recta numrica ordenados de menor a

mayor.

Sobre una recta numrica sealamos un punto, que marcamos con el nmero cero. El cero se

sita en el origen de la recta. A la derecha del cero, y con las mismas separaciones, situamos de menor

a mayor los siguientes nmeros naturales: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ...

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

7. ORDENACIN DE LOS NMEROS NATURALES

Los nmeros naturales estn ordenados, es decir, cada uno es menor que su siguiente. Ejemplo:

< 13 < 14 < 15 <

Los nmeros naturales estn ordenados y ello se puede comprobar al representarlos en la recta

numrica.

Por lo que los nmeros naturales representados en una recta numrica estn ordenados, lo que

nos permite comparar dos nmeros naturales. Ejemplo:

5 > 3 5 es mayor que 3.

3 < 5 3 es menor que 5.

Dados dos nmeros naturales cualesquiera, el que est situado ms a la derecha en la recta es el

mayor y el que est situado ms a la izquierda en la recta es el menor. Ejemplos:

6 es mayor que 4, ya que est a la derecha de 4.

4 es menor que 6, ya que est a la izquierda de 6.

8. OPERACIONES DE LOS NMEROS NATURALES

8.1. Suma: a + b = c

8.1.1. Definicin

Los trminos de la suma, a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, suma.

8.1.2. Propiedades

1) El resultado de sumar dos nmeros naturales es otro nmero natural.

Si a, b a + b = c

Ejemplo: 2, 3 2 + 3 = 5

2) Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los sumandos no vara el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

Ejemplo:

(2 + 3) + 5 = 2 + (3 + 5)

5 + 5 = 2 + 8

10 = 10



3) Conmutativa: consiste en que el orden de los sumandos no vara la suma.

a + b = b + a

Ejemplo:

2 + 5 = 5 + 2

7 = 7

4) Elemento neutro: es el 0 porque todo nmero sumado con l da el mismo nmero.

a + 0 = a

Ejemplo: 3 + 0 = 3

8.2. Resta: a b = c

8.2.1. Definicin

Los trminos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado,

c, lo llamamos diferencia.

8.2.2. Propiedades

1) El resultado de restar dos nmeros naturales no siempre es otro nmero natural.

Si a, b a b = c

Ejemplo: 2, 5 2 5 = 3

2) No es conmutativa:

a b b a

Ejemplo:

5 2 2 5

3 3

8.3. Multiplicacin: a b = c

8.3.1. Definicin

Multiplicar dos nmeros naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo

tantas veces como indica el otro factor.

Los trminos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto.

8.3.2. Propiedades

1) El resultado de multiplicar dos nmeros naturales es otro nmero natural.

Si a, b a b = c

Ejemplo: 2, 5 2 5 = 10

2) Asociativa: consiste en que el modo de agrupar los factores no vara el resultado.

(a b) c = a (b c)

Ejemplo:

(2 3) 5 = 2 (3 5)



6 5 = 2 15

30 = 30

3) Conmutativa: consiste en que el orden de los factores no vara el producto.

a b = b a

Ejemplo:

2 5 = 5 2

10 = 10

4) Elemento neutro: es el 1 porque todo nmero multiplicado por l da el mismo nmero.

a 1 = a

Ejemplo: 3 1 = 3

5) Distributiva: consiste en que la multiplicacin de un nmero natural por una suma es igual a la

suma de las multiplicaciones de dicho nmero natural por cada uno de los sumandos.

a (b + c) = a b + a c

Ejemplo:

2 (3 + 5) = 2 3 + 2 5

2 8 = 6 + 10

16 = 16

6) Sacar factor comn: es el proceso inverso a la propiedad distributiva. Si varios sumandos tienen un factor comn, podemos transformar la suma en producto extrayendo dicho factor.

a b + a c = a (b + c)

Ejemplo:

2 3 + 2 5 = 2 (3 + 5)

6 + 10 = 2 8

16 = 16

8.4. Divisin: D : d = c

8.4.1. Definicin

Los trminos que intervienen en una divisin se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c,

lo llamamos cociente.

8.4.2. Tipos de divisiones

1) Divisin exacta: Una divisin es exacta cuando el resto es cero.

D = d c

Ejemplo:

15 = 5 3

2) Divisin entera: Una divisin es entera cuando el resto es distinto de cero.



D = d c + r

Ejemplo:

17 = 5 3 + 2

8.4.3. Propiedades

1) El resultado de dividir dos nmeros naturales no siempre es otro nmero natural.

Si D, d D : d = c

Ejemplos:

2, 6 6 : 2

2, 6 2 : 6

2) No es conmutativa: consiste en que el modo de agrupar los factores no vara el resultado.

D : d d : D

Ejemplo:

6 : 2 2 : 6

3) Cero dividido entre cualquier nmero da cero.

0 : d = 0

Ejemplo: 0 : 5 = 0

4) No se puede dividir por 0.

D : 0 No se puede

Ejemplo: 5 : 0

9. OPERACIONES COMBINADAS CON NMEROS NATURALES

9.1. Introduccin

Al resolver expresiones con operaciones combinadas, debemos tener en cuenta las normas del

lenguaje matemtico. Estas normas aseguran que cada expresin tenga un significado y una solucin

nicos.

9.2. Reglas

Las reglas para realizar las operaciones de nmeros naturales o prioridad de las operaciones

son las siguientes:

1) Efectuamos las operaciones entre parntesis, corchetes y llaves.

2) Calculamos las potencias y races.

3) Efectuamos los productos (multiplicaciones) y cocientes (divisiones).

4) Realizamos las sumas y restas.

9.3. Tipos de operaciones combinadas

1) Operaciones combinadas sin parntesis.



a) Combinacin de sumas y restas:

Ejemplo:

9 7 + 5 + 2 6 + 8 4 =

Comenzando por la izquierda, vamos efectuando las operaciones segn aparecen.

= 7

b) Combinacin de sumas, restas y multiplicaciones:

Ejemplo:

3 2 5 + 4 3 8 + 5 2 =

Realizamos primero las multiplicaciones por tener mayor prioridad.

= 6 5 + 12 8 + 10 =

Efectuamos las sumas y restas.

= 15

c) Combinacin de sumas, restas, multiplicaciones y divisiones:

Ejemplo:

10 : 2 + 5 3 + 4 5 2 8 + 4 2 16 : 4 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las

dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 5 + 15 + 4 10 8 + 8 4 =


= 10

2) Operaciones combinadas con parntesis.

Ejemplo:

2 + 3 (7 4) 2 5 + (16 : 4) 2 =

Realizamos primero las operaciones contenidas en los parntesis por tener mayor

prioridad y, despus, quitamos los parntesis.

= 2 + 3 3 10 + 4 2 =

Realizamos los productos y cocientes en el orden en el que los encontramos porque las

dos operaciones tienen la misma prioridad.

= 2 + 9 10 + 8 =


= 9

10. EJERCICIOS

1) En una clase de 1 de E.S.O., no todos los alumnos y alumnas tienen los mismos aos, sus edades

pueden variar de 12 a 14 aos. Estos nmeros son positivos. Qu edad tendrn los alumnos o

alumnas que se encuentren entre los 12 y los 14 aos?

Solucin: 13 aos.



2) Representa las cantidades: 14, 2, 12, 5, 7, 21, 11, 9 y 4 en la recta numrica y contesta:

a) Qu nmero es el mayor de todos?

b) Qu nmero es el menor de todos?

c) Escrbelos por orden de mayor a menor.

Solucin:

Representacin en la recta numrica:

0 2 4 5 7 9 11 12 14 21

a) El mayor de todos es 21.

b) El menor de todos es 2.

c) Ordenados de mayor a menor: 21 < 14 < 12 < 11 < 9 < 7 < 5 < 4 < 2

3) Busca el trmino desconocido e indica su nombre en las siguientes operaciones:

a) 327 + ....... = 1.208 Solucin:

Sumando.

1.208 327 = 881

b) ....... 4.121 = 626 Solucin:

Minuendo.

4.121 + 626 = 4.747

c) 321 ....... = 32.100 Solucin:

Factor.

32.100 : 321 = 100

d) 28.035 : ....... = 623 Solucin:

Divisor.

28.035 : 623 = 45

Faltan ejercicios de sacar factor comn, y distributiva, aproximaciones de nmeros (con tablas) y

operaciones (sumas, restas, )

4) Sacar factor comn:

a) 7 5 3 5 + 16 5 5 4 Solucin: 5 (7 3 + 16 4) = 5 16 = 80

b) 6 4 4 3 + 4 9 5 4 Solucin: 4 (6 3 + 9 5) = 4 7 = 28

c) 8 34 + 8 46 + 8 20 Solucin: 8 (34 + 46 + 20) = 8 100 = 800



5) Busca el trmino desconocido en las siguientes operaciones:

a) 4 (5 + ...) = 36 Solucin: 4

b) (30 ...) : 5 + 4 = 8 Solucin: 10

c) 18 ... + 4 ... = 56 Solucin: 2 y 5

d) 30 ... : 8 = 25 Solucin: 40

6) Calcular de dos modos distintos las siguientes operaciones:

a) 17 38 + 17 12 Solucin:

ROPC: 17 38 + 17 12 = 646 + 204 = 850

PD: 17 38 + 17 12 = 17 (38 + 12) = 17 50 = 850

b) 6 59 + 4 59 Solucin:

ROPC: 6 59 + 4 59 = 354 + 236 = 590

PD: 6 59 + 4 59 = 59 (6 + 4) = 59 10 = 590

c) (6 + 12) : 3 Solucin:

ROPC: (6 + 12) : 3 = 18 : 3 = 6

PD: (6 + 12) : 3 = (6 : 3) + (12 : 3) = 2 + 4 = 6

NOTA: PD es propiedad distributiva de la multiplicacin y ROPC es reglas de las operaciones

combinadas.

7) Opera expresando los pasos seguidos.

a) 6 4 - 2 (12 7) Solucin: 14

b) 3 8 8 : 4 4 5 Solucin: 2

c) 21 : (3 + 4) + 6 Solucin: 9

d) 3 [13 3 (5 2)] Solucin: 12

e) (15 4) + 3 (12 5 2) + (5 + 16 : 4) 5 + (10 8) Solucin: 18

f) [15 (8 10 : 2)] [5 + (3 2 4 )] 3 + (8 2 3 ) Solucin: 83

8) Realiza las siguientes operaciones combinadas teniendo en cuenta su prioridad:

a) 27 + 3 5 16 Solucin: 27 + 15 16 = 26

b) 27 + 3 45 : 5 + 16 Solucin: 27 + 3 9 + 16 = 37

c) (2 4 + 12) (6 4) Solucin: (8 + 12) 2 = 20 2 = 40

d) 3 9 + (6 + 5 3) 12 : 4 Solucin: 27 + 8 3 = 32

e) 440 [30 + 6 (19 12)] Solucin: 440 [30 + 6 7] = 440 [30 + 42] =

= 440 72 = 368

f) 2 {4 [7 + 4 (5 3 9)] 3 (40 8)}



Solucin: 2 {4 [7 + 4 (15 9)] 3 32} =

= 2 {4 [7 + 4 6] 3 32} =

= 2 {4 [7 + 24] 3 32} =

= 2 {4 31 3 32}= 2 {124 96} =

= 2 28 = 56

11. PROBLEMAS

1) Dados los nmeros 5, 7 y 9, forma todos los nmeros posibles de tres cifras distintas, ordnalos de

menor a mayor y smalos.

Solucin: 579 + 597 + 759 + 795 + 957 + 975 = 4.662

2) El cociente de una divisin exacta es 504, y el divisor 605. Cul es el dividendo?

Solucin: 504 605 = 304.920

3) El cociente de una divisin entera es 21, el divisor 15 y el dividendo 321. Cul es el resto?

Solucin: 321 21 15 = 321 315 = 6

4) Pedro compr una finca por 643.750 y la vendi ganando 75.250 . Por cunto la vendi?

Solucin: 643.750 + 75.250 = 719.000

5) Con el dinero que tengo y 247 ms, podra pagar una deuda de 525 y me sobraran 37 . Cunto

dinero tengo?

Solucin:

525 + 37 = 562

562 247 = 315

6) Se compran 1.600 Kg de boquerones, a razn de 4 /Kg. Si los portes cuestan 400 y se desea

ganar con la venta 1.200. A cunto debe venderse el kilogramo de boquerones?

Solucin:

1600 4 = 6400

6400 + 400 + 1200 = 8000

8000 : 1600 = 5



7) Cuntos aos son 6.205 das? Consideramos que un ao tiene 365 das.

Solucin: 6.205 : 365 = 17 aos

8) Pedro quiere comprar un automvil. En la tienda le ofrecen dos modelos: uno de dos puertas y otro

de cuatro puertas. En ambos modelos los colores disponibles son: blanco, azul, rojo, gris y verde.

Halla el nmero de posibles elecciones que tiene Pedro.

Solucin: 2 5 = 10 elecciones

9) En una piscina caben 45.000 litros. Cunto tiempo tarda en llenarse mediante un grifo que echa 15

litros por minuto?

Solucin:

45.000 : 15 = 3.000 minutos

3.000 : 60 = 50 horas

10) En un aeropuerto aterriza un avin cada 10 minutos. Cuntos aviones aterrizan en un da?

Solucin:

24 60 = 1.440 minutos por da

1.440 : 10 = 144 aviones al da

11) En una urbanizacin viven 4.500 personas y hay un rbol por cada 90 habitantes. Cuntos rboles

hay en la urbanizacin? Cuntos rboles habr que plantar para tener un rbol por cada 12

personas?

Solucin:

4.500 : 90 = 50 rboles hay en la urbanizacin.

4.500 : 12 = 375 tendra que haber, para que a cada 12 habitantes les correspondiese un

rbol.

375 50 = 325 rboles

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Tema 1. Números naturales