Tehniline Mehaanika

I. Staatika II. Tugevusõpetus

III. Kinemaatika IV. Dünaamika V. Masinaelemendid /aparaatide detailid/

I STAATIKA

1.1. Põhimõisted

Staatika on jäikade kehade tasakaaluõpetus. Ta uurib tingimus, millistel kehale mõjuvad jõud on tasakaalus. 1.1.1. JÄIK KEHA Kõik staatikas vaadeldavad kehad loetakse jäikadeks, st sellisteks mis ei muuda oma kuju ega ruumala mistahes suurte välisjõudude mõjul. 1.1.2. MASSPUNKT Keha mille mass on rakendatud ühte punkti. 1.1.3. VEKTOR Arvulise väärtuse ja kindla suunaga suurus. 1.1.4. SKALAAR Suurus, mis määratakse ainult arvulise väärtusega. Graafiliselt kujutatakse vektori sirglõiguna, millel on teatud pikkus ja kindel suund.

Nool näitab vektori suunda. Joonlõigu pikkus näitab vektori arvulist väärtust – MOODULIT – valitud

mõõtkavas. 1.1.5. JÕUMÕÕTKAVA 1.1.6. JÕUMOODUL Jõuvektori arvuline väärtus.

Vektorit, mis algab punktis D ja lõppeb punktis E, võib tähistada DE . Vektorit võib tähistada ka ühe tähega F ; vastava jõu moodulit tähistatakse F.

1.2. JÕUD Jõud on kehade vaheline mõjutus, mille tulemusena muutub nende kehade liikumine. Kui pole võimalik muuta keha liikumis suunda või kiirust, siis keha deformeerub jõu mõjul. JÕUDU ISELOOMUSTAB: 1) Suurus 2)Suund 3)Rakenduspunkt

F FF

jõumoodul F Nmvektori pikkus l

µ µ ⎡ ⎤= → = ⎣ ⎦

1F 2F

2F F1F

Jõu ühikuks SI-süsteemis on Njuuton

Njuutoni soes jõukologrammiga: 1N=0,102 kgf 1kgf=9,81 N

1.2.1. JÕUDUDE SÜSTEEM Jõudude süsteemiks nimetatakse kehale samaaegselt mõjuvate jõudude kogumit 1.2.2. TASAKAALUS OLEV JÕUDUDE SÜSTEEM Jõudude süsteem on tasakaaus kui ta rakendatuna kehale ei muuda selle olekut. 1.2.3. EKVALENTSED JÕUDUDE SÜSTEEMID Kaht jõudude süsteemi nimetatakse ekvalenteseteks, kui nende mõju kehale on ühesugune.

1.2.4. JÕUDUDE SÜSTEEMI RESULTANT Jõudude süsteemi saab asendada üheainsa jõuga, mis on selle süsteemiga ekvalentne. Sellist jõudu nimetatakse antud jõudude süsteemi resultandiks. Jõudude süsteemi resultant leitakse jõudude liitmise (vektoriaalse liitmise) teel. 1.2.5. JÕUDUDE SÜSTEEMI TASAKAALUSTAV JÕUD Antud jõudude süsteemi tasakaalustav jõud võrdub suuruselt selle jõudude süsteemi resultandiga, mõjub resultantjõu mõjusirgel, kuid on vastassuunaline.

1.3 STAATIKA ASIOOMID

1.3.1. Kaks jäigale kehale rakendatud jõudu on tasakaalus ainult siis kui nad on võrdsete suurustega ja mõjuvad ühel mõjusirgel vastassuunas. 1.3.2. Jäiga keha tasakaal ei muutu, kui temale rakendatud jõududele lisada või sealt eemaldada tasakaalus jõudude süsteem. 1.3.3. Järeldus eeltoodud aksioomidest:

Jõu rakenduspunkti nihutamine piki jõu mõjusirget ei riku jäiga keha tasakaalu.

1.3.4. Jõud mis tekivad kahe keha vastastikusel mõjumisel on alati suuruselt võrdsed ja suunatud piki sama mõjusirget vastassuunas. Mõju ja vastasmõju kujutavad sendast kahte jõudu, mis on alati rakendatud kahele erinevale kehale.

21 1kg mN

s⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦i

A B1 3F N= 2 3F N=

A B

3 2F N= 4 4F N=

AB

1 2F F F= =

1.3.5. Keha ühte punkti rakendatud kahe, teineteise suhtes nurga alla mõjuva jõu resultant on rakendtatud samasse punkti, ning võrdub võrdub suuruselt ja suunalt rööpküliku diagonaaliga, mille külgedeks on liidetavad jõud.

1.3.5.1. Kui on antud 1 2; ; ;F F α β sobib õlesannet lahendada siinusteoreemi kaudu

1 2/ sin / sin / sinF F Rβ α φ= = = 1.3.5.2. Kui on antud 1 2; ;F F α sobib ülesannet lahendada koosinusteoreemi kaudu:

2 21 2 1 22 cosR F F F F φ= + + i i

1.3.6 Jäiga keha tasakaalu tingimused kehtivad ka deformeeritava keha puhul. ERANDID 1.3.6.1. Kaks jõudu mõjuvad samal sirgel ja samas suunas.

1 2R F F= + Resultatntjõud on suunatud piki sama mõjusirget. Resultantjõu suurus võrdub jõudude 1F ja 2F absoluutsväärtuste summaga.

1.3.7.2. Kaks jõudu mõjuvad samal mõjusirgel erinevates suundades. 1 2R F F= − Resultantjõu suurus võrdub antud

jõudude suuruste vahega. Resultantjõud on suurema jõuga samasuunaline.

1.3.7.3. ÜLDJUHT: Samal mõjusirgel mõjub mitu erinevates suundades jõudu.

1 2 3 4 5R F F F F F= + − + − Mitme, samal mõjusirgel erinevates suundades mõjuva jõu

resultant võrdub nende algebralise summaga. 1.3.7.4. Kaks jõudu mõjuvad risti.

2 21 2R F F= +

1.4. SIDEMED JA SIDEMEREAKSIOONID 1.4.1. SIDE Keha, mis kitseneb vaadeldava keha liikumist. 1.4.2. SEOTUD KEHA Sidemega keha. 1.4.3. VABA KEHA Keha, mille liikumist ei kitsenda sidemed. 1.4.4. SIDEMETEST VABASTAVUSE PRINTSIIP Seotud keha võib vaadelda vabana, kui mõttes jätta ära sidemend, ning asendada nende mõjujõududega – sidemereaktsioonid (toereaktsioonidega). Sidemereaktsioonid tekivad muude jõudude vastumõjuna.

1F 2F

1F 2F 3F 4F 5F

1.4.5. ELASTNE SIDE (niit, nöör, tross, kett) Võtab vastu ainult tõmbejõudu. Reaktsioon on suunatud ainult pikki sidet. 1.4.6. SILE PIND Reaktsioon on pinna nominaali sihiline. 1.4.7. KEHA TOETUB NURGA SERVALE Reaktsioon on toetuva keha pinna sihiline.

1.4.8. VARRASSIDEMED Jõud mõjuvad pikki varda telge. Jõudude suunad ei ole teada. 1.4.9. LIIKUV LIIGENTUGI Reaktsioon on tugipinna normaali sihiline. 1.4.10. LIIKUMATU LIIGENDTUGI Reaktsioon asub kehale mõjuvate jõududega samas tasandis, ning tema mõjusirge läbib toe (šarniiri) telge. Reaktsiooni suurus ja suund on tundmatud.

1.5 TASAPINNALINE KOONDUV JÕUSÜSTEEM

(ühes punktis lõikuvate mõjusirgetega jõudude süsteem) Antud jõukimbu resultandi leidmiseks konstrueerime JÕUHULKNURGA.

Vabalt valitud punktist o kanname joonisele mõõtkavas koostatud jõukimbu esimese jõu. Selle lõppunktist teise jõu. Teise jõu lõppunktist kolmanda jõu jne. Resultand jõud R suundub esimese jõu algpunktist viimase jõu lõppunkti. RESULTANTJÕU VEKTOR on suunatud komponentjõudude vektoritele vastu. Kui pöörata resultantvektor ümber (suunata punkti o), saame antud jõusüsteemi tasakaalustava jõu. Jõusüsteemi tasakaaluks on vajalik, et jõuhulknurk oleks kinnine. (Hulknurga viimane jõud lõpeb esimese jõu algpunktis)

1.6. ANTUD JÕU LAHUTAMINE KAHEKS KOMPONENTJÕUKS.

1.6.1. Lahutada jõud R kaheks jõuks, millest üks 1F on teada nii

suuruselt kui suunalt. Kanname jõu R alpunktist joonisele jõu 1F

ja R lõppunktid sirglõiguga ja leiame jõu 2F . 1.6.2. Lahutada jõud R kaheks jõuks, millest üks 1F on teada nii suuruselt kui suunalt. Kanname jõu R algpunktist joonisele jõu 1F ühendame jõudude 1F ja R lõppunktid sirglõiguga ja leiame jõu 2F .

1.6.3. Lahutada jõud R kaheks jõuks, millede suurused on teada. Antud: R ; 1F ja 2F . Leida 1F ja 2F . Lahendus on võimalik kui 1F + 2F = R . Jõu R algusest tõmbame kaare raadiusega 1F ja jõu R lõpust kaare raadiusega 2F .

1.7. KOLME, ÜHES TASANDIS ASUVA MITTEPARALEELSE JÕU

TASAKAALUTINGIMUS.

Kui kolm, jäigale kehale rakendatud, ühes tasandis mõjuvat jõudu on tasakaalus, siis nende mõjusirged lõikuvad ühes punktis. Nihutame jõud 1F ja 2F nende mõjusirgete lõikepunti o ja liidam. Resultantjõud R peab tingimuste kohaselt tasakaalustama jõuga

3F . See on võimalik siis, kui jõud R ja 3F on suuruselt võrdsed, asuvad ühisel mõjusirgel ja on suunatud vastupidi. Seega jõu 3F mõjusirge läbib punkti o.

1.8. KOONDAVA JÕUSÜSTEEMI TASAKAALUÜLESANNETE LAHENDAMISE JUHIS.

1.8.1. Eraldada sülm, mille tasakaalu antud ülesandes vaadeldakse. 1.8.2. Sidemete mõju sõlmele asendada reaktsioonijõududega. 1.8.3. Sülmedele mõjuvate jõudude baasil konstrueerida kinnine jõudude hulknurk (3 jõu puhul kolmnurk) ja leida otsitavad suurused. LAHENDUS VÕIB OLLA: 1.8.4. GRAAFILINE – konstrueeritakse kindlas mõõtkavas jõudude hulknurk 1.8.5. GRAAFOANALÜÜTILINE – hulknurk joonestatakse eskiisina (mõõtkava arvestamata) ja lahendadakse arvutuste teel. 1.8.6. ANALÜÜTILINE – ülesanne lahendatakse tasakaalu võrrandite abil.

1.9. JÕU PROJEKTSIOONID KORDINAATTELGEDEL

Jõu projektsioon teljel on võrdne jõuvektori mooduli ning vektori ja telje vahelise teravnurga koosinuse korrutisega. Projektsioon loetakse POSITIIVSEKS, kui jõud ja telg on samasuunalised. Vastasel korral on projektsioon negatiivne.

cos cos

cos cos

XX

YY

F F FF

F F FF

α α

β β

= =

= =

i

i

Kui on antud projektsioonid XF ja YF siis

2 2

2 2 2 2cos cosX YX Y

X Y X Y

F FF F FF F F F

α β= + = =+ +

1.9.1. ERANDID. a) Jõud on paralleelne teljega. b) Jõud on risti teljega

Kõik toodud valemid kehtivad olenemata jõu rakenduspunkti asukohast teljestikus.

XF F=0XF =

1.10 JÕUSÜSTEEMI RESULTANDI PROJEKTSIOON TELJEL Jõuprojektsiooni resultandi projektsioon teljel võrdub komponentjõudude projektsioonide algebralise summaga samal teljel.

1 2 3RX X X XF F F F= + − Üldjuhul tähistatakse:

RYF Y=∑ Resultantjõud 2 2RF X Y= +∑ ∑ Selleks, et ühte punkti rakendatud jõudude süsteem oleks tasakaalus, peab tema resultant võrduma nulliga 2 2 0RF X Y= + =∑ ∑ Kuna liidetavad juurealuses on positiivsed

suurused, siis peab kumbki liidetav võrduma nulliga st. Ühte punkti rakendatud jõudude süsteem on tasakaalus, kui kõikide jõudude projektsioonide algebralised summad samaaegselt X- ja Y-teljel võrduvad nulliga.

1.11 PARALLEELSED JÕUD TASANDIL

1.11.1 Kahe samasuunalise paralleelse jõu liitmine Jõud on paralleelsed, kui nende mõjusirged on paralleelsed. Kahe samasuunalise paralleelse jõu resultantjõud võrdub nende summaga ja mõjub samas suunas. Resultantjõu rakenduspunkt jagab jõudude rakenduspunkte ühendava sirglõigu kaheks osaks, millede pikkused on pöördvõrdelised jõudude suurustega.

11 2 1 22

RF BCF F F F AC F BC

ACF= + = =i i

1.11.2. Kahe vastasuunalise jõu liitmine

Kahe vastasuunalise, erineva suurusega paralleelse jõu resultantjõud võrdub nende jõudude vahega ja on suunatud suurema jõuga samas suunas. Resultantjõu rakenduspunkt asub jõudude rakenduspunkte läbival sirgel, suurema jõu taga. Kaugused resultantjõu rakenduspunktist komponentjõudude rakenduspunktideni on pöördvõrdelised nende jõudude suurustega.

11 2 1 2

2R

F BCF F F F AC F BCACF

= − = =i i

1.12. JÕUPAAR

Jõupaariks nimetatakse kahe suuruselt võrdse, suunalt vasupidise paralleelse jõu süsteemi. Jõupaaril pole resultanti. 1 2 0RF F F= + = . Jõupaari tähis: 1 2( ; )F F . Jõupaari jõudude mõjusirgete vahelist kaugust (h) nimetatakse jõupaari õlaks. Kuna jõupaari resultant

0RF = , siis ei saa jõupaari tasakaalustada ühe jõuga, vaid ainult jõupaariga. Jõupaar annab kehale pöörleva liikumise. Jõupaari pöörav toime sõltub jõupaari moodustavate jõudude suurusest ja jõupaari õlast, ning teda mõõdetakse jõupaari momendiga. Jõupaari momendiks nimetatakse paari ühe jõu mooduli korrutist paari õlaga. Moment loetakse positiivseks, kui ta püüab keha pöörata päripäeva. 1.12.1 JÕUPAARI PÕHIOMADUSED 1.1 Jõupaari võib tema mõjutamise tasandis üle kanda mistahes asukohta, ilma et jõupaari mõju kehale muutuks (st ei muutu jõupaari moment). 1.2. Ühes tasandis asuvad kaks jõupaari on ekvivalentsed, kui nende momendid on võrdsed. 1.3. Ühes tasandis asuva mitme jõupaari liitmisel saamise ühe resulteeriva jõupaari, mille moment võrdub komponentjõupaaride momentide algebralise summaga.

1 2 nM M M M= + + +… Tõestused: V. Merzon “Teoreetiline mehaanika” lk. 51-55. Tallinn 1972

1.13 JÕUMOMENT PUNKTI SUHTES

Jõu momendiks punkti suhtes nimetatakse jõu suuruse ja õla pikkuse korrutist. Jõu F õlaks (h) nimetatakse lünimat vahemaad momendi punktist jõu mõjusirgel. Punkti (0), mille suhtes arvutatakse jõu moment, nimetatakse momendipunktiks. Jõu F momenti punkti 0 suhtes tähistatakse: [ ]0 ( )M F F h Nm= i Moment loetakse positiivseks, kui ta tekitab ümber momendipunkti päripäeva pöörde ja negatiivseks

vasupäeva pöörde puhul. Kui jõu mõjusirge läbib momendipunkti, siis tema moment selle punkti suhtes võrdub nulliga.

1.14. JÕU TAANDAMINE PUNKTI

Vaaatleme jõu nihutamist paralleelselt iseendaga. Kehale punktis A mõjub jõud F . Rakendame vabalt valitud punkti 0 kaks suuruselt võrdset ja vastassuunalist jõudu 1F ja 2F , mis

on jõuga F paralleelsed ning suuruselt temaga võrdsed. Keha jääb seejuures tasakaalu. Jõudu 1F võib vaadelda kui jõudu F , mis on iseendaga paralleelselt kantud punkti 0. Ülejäänud

jõud F ja 2F moodustavad jõupaari.

JÄRELIKULT: Jõu võib iseendaga paralleelselt üle kanda ükskõik millisesse tasandi punkti, rakendades seejuures lisaks jõupaari, mille moment võrdub antud jõu momendiga taandamistsentri suhtes. Punkti A rakendatud jõu F asendamist jõuga 1F (kusjuures 1F F= ) , mis on rakendatud punkti 0 ja jõupaariga ( 1 2,F F ), nimetatakse antud jõu taandamiseks punkti 0. Punkti 0 nimetatakse taandamistsentriks. Paari ( 1 2,F F ) nimetatakse juurdelisatud paariks. Juurdelisatud paari moment võrdub antud jõu F momendiga taandamistsentri suhtes

[ ]0 ( )M M F F h Nm= = i

1.14 JÕUDUDE SÜSTEEMI TAANDAMINE PUNKTI

Tasandil punktidesse 1 2;A A ja 3A on rakendatud jõud

1 2,F F ja 3F . Taandame kõik jõud punkti o. Taandamise tulemusena aame taandamistsentrisse o rakendatud jõud 1 2`, `F F ja 3`F ja jõupaarid

1 21 2( ; ), ( ; )F Q F Q ja 3 3( ; )F Q . Liites jõud 1 2;F F ja 3F ,

saame resultantjõu R (JÕUSÜSTEEMI PEAVEKTORI). Liites juurdelisatud paaridele momendid, saame resultantjõu R , saame JÕUSÜSTEEMI PEAMOMENDI taandamistsetri o

suhtes 1 2 3( ) ( ) ( )o o oM M F M F M F= + + .

Seejuures: 1 1 2 2 3 31 2 3( ) ; ( ) ( ) ; ( ) ( )o o oM F F h M F F h M F F h= = + = +i i i . SEEGA: Jõusüsteemi taandamisel vabalt valitud taandamistsentrisse o, saame taandamistsentrisse rakendatud PEAVEKTORI R (võrdub antud jõuvektorite summaga) ja ühe jõupaariga, mille moment M võrdub jõusüsteemi PEAMOMENDIGA taandamistsentri suhtes. PEAVEKTOR R ei sõltu taandamistsentri asukohast. PEAMOMENT M sültub tsentri o asukohast. Jõusüsteemi tasakaalu korral peavektor 0R = ja peamoment 0M = . Peavektor 2 2R X Y= +∑ ∑ Valemist nähtub, et R muutub nullik vaid siis, kui projektrioonide algebralised summad X ja Y kordinaattelgedele võrdub nulliga. JÄRELDUS: TASAPINNALISE JÕUSÜSTEEMI TASAKAALUS ON VAJALIK JA PIISAV: ET KÕIGI JÕUDUDE PROJEKTSIOONIDE ALGEBRALINE SUMMA X JA Y KORDINAATTELGEDELE VÕEDUB NULLIGA JA KÕIGI JÕUDUDE MOMENTIDE ALGEBRALINE SUMMA SAMAS TASANDIS VALITUD PUNKTI SUHTES VÕRDUB NULLIGA. Lühidalt kirjutatakse tasakaaluvõrrand nii:

1.15. PINNA GEOMEETRILISED TUNNUSSUURUSED

1.15.1. KUJUNDI STAATILISED MOMENDID Tasapinnalise kujundi staatiliseks momendis samas tasandis asuva telje suhtes nimetatakse kujundi kõigi elementaarpindade korrutiste summat nende raskuskeskmete kaugustega sellest teljest.

.X c Y cS yda y A S y da y A= = = =∫ ∫i i Kus: A – liitkujundi pindala; C cY ja X - liitkujundi raskuskeskme kordinaadid.

1.15.2. KUJUNDI INERTSMOMENDID 1.15.2.1. TELGINERTSMOMENT

Tasapinnalise kujundi telginertsmomendiks nimetatakse kujundi kõigi elementaarpindade korrutiste summat nende raskuskeskmete kauguse ruutudega teljest.

2 2X Y

A A

J Y da J X da= =∫ ∫i i

1.15.2. POLAARINERTSMOMENT Tasapinnalise kujundi polaarinertsmomendiks nimetatakse kujundi kõigi elementaarpindade korrutiste summat nende raskuskeskmete kaugusete ruutudega kordinaattelgede algusest.

2P P X Y

A

J da J J Jρ= = +∫ Polaarinertsmoment on võrdne telginertsmomentide summaga. 1.15.2.3. JÄRELDUSED Pinna raskuskeset läbivate telgede (kesktelgede) suhtes võrduvad staatilised momendid nulliga. Telginertsmomendid on alati positiivsed ja ei saa võrduda nulliga . PEATELG – Kujundi sümmetriatelg ja temaga ristuv telg. KESK-PEATELG – Kujundi raskuskeset läbiv sümmetriatelg.

1.16. TASAPINNALISE KUJUNDI RASKUSKESKME KORDINAADID

Tasapinnalise kujundi raskuskeskme all mõistetakse homogeense, õhukese ja ühtlase paksusega plaadi. 1.16.1. RASKUSKESMETE MÄÄRAMISE VÕTTED 1.16.1.1. SÜMMETRIA-VÕTE põhineb järgneval: Kui homogeensel kehal on kas sümmeetriatasand, -telg või –kese, siis keha raskuskese on vastavalt kas sümmetriatasandil, -teljel või –keskmes. 1.16.1.2. TÜKELDAMISE VÕTE Keerukas kujund jagatakse lihtsamateks kujunditeks, millede raskuskeskmed on teada. Valemid tasapinnalise kujundi raskuskeskme kordinaatide määramiseks tuletame tasapinnalise kujundi staatiliste momentide avaldistest (1.15.1.).

1 1/ /c i c iX A x A Y A y A= =∑ ∑i i Kus cX ja cY - liitkujundi raskuskeskme koordinaadid Ai – lihtkujundi pindala Xi ; Yi – lihtkujundi raskuskeskme koordinaadid A – liitkujundi pindala

1.16.2 LIHTSATE TASAPINNALISTE KUJUNDITE RASKUSKESKMETE KOORDINAADID

Ristküliku raskuskese asub diagonaalide lõikepunktis. Kolmnurga raskuskese asub mediaanide lõikepunktis, kolmnurga alusest 1/3 kõrguse kaugusel.

1.16.3. NÄIDE. Leida kujundi raskuskeskme koordinaadid.

21

1 12

2

2 2

1 1

1 1 2 2

20 80 1600

0 ; 20 80 2 20 40 60

20 80 1600

0 20 2 10

0 ;

1600 60 1600 10 1600 160035

c c

A mm

x y

A mm

x Y mm

x Y A Y AA Y A Y A

mm

= =

= = + ÷ = + =

= =

= = ÷ =

= = ÷ =

= + ÷ == + ÷ + ==

∑

i

i

ii ii i

Seega: 0 ; 35c cx y mm= = MÄRKUS: kujundis esinevad sisselõiked ja avad loetakse raskuskeskme kordinaatide määramisel negatiivseks.

1.17 VÄLISJÕUDUDE LIIGITUS

Sagedamini esinevad järgmised välisjõudude (koormused):

1.17.1. KOONDATUD JÕUD 1.17.2. ÜHTLASELT JAOTATUD KOORMUS q – koomuse intensiivsus [N/m] a – koormuse mõju pikkus [m] ülesnade lahendamise asendatakse ühtlaselt jaotatud koormus koondatud jõuga

[ ]Q q a N= i . Q rakendatakse epüüri kekskele. 1.17.3. JÕUPAAR (jõupaari moment [ ]N mi )

1.18. TALDADE TOEREAKTSIOONID

1.18.1. TALA KAHEL TOEL TALA – jäik varras, mis ühe otsaga toetub lihtliigendtoele (liikumatule liigendtoele), teise otsaga liikuvale liigendtoele ja on koormatud välisjõududega.

1.18.1.1. TUGI A (liikumatu liigendtugi) Reaktsioonijõud aR on tundmatu nii suuruselt kui suunalt. aR lahutatakse komponentideks YA ja XA ;

2 2a Y XR A A= +

1.18.1.2. TUGI B (liikuv liigentugi) Esineb ainult y-teljesihiline raktsiooni jõud

YB . Tundmatu on YB suurus.

Koormuse epüür

1.18.2. KONSOOLTALA Varras, mis on ühest otsast kinnitatud jäigalt; teine ots on vaba. Jõu F mõjul tekib varda paine. Taandades kõik tala otsale mõjuvad reaktsioonijõud punkti A; saame reaktsioonjõu AR ja reaktsioonmomendi AM . 1.19 STAATIKAÜLESANNETE LAHENDAMISE KÄIK 1.19.1. Leitakse keha, mille tasakaalu ülesandes vaadeldakse. 1.19.2. Tehakse kindlaks, millised kehad on vaadeldavale kehale sidemeteks (tugedeks). 1.19.3. Vabastatakse (mõttes) vaadeldav keha sidemetest (tugedest) ja asendatakse nende mõju sidemereaktsioonidega (toereaktsioonidega). 1.19.4. Koostatakse arvutusskeem, kus näidatakse küiki kehale mõjuvaid jõude. 1.19.5. Lahendatakse ülesanne. Kui ülesanne lahendatakse tasakaaluvõrrandite abil, on kasulik; a) Koordinaatteljed, milledele jõud protekteeriteks, paigutada nii, et nad oleksid risti ühe või mitme tundmatu jõuga. b) Momendipunktid valida nii, et neid läbiksid ühe või mitme tundatu jõu mõjusirged. c) Suuruselt ja suunalt tundmatud reaktsioonjõud lahutada kordinaattelgede sihilisteks positiivseteks komponentjõududeks. Kui tasakaaluvõrrandite lahendamisel saadakse jõud negatiivse märgiga, siis see tähendab, et reaktsioonjõu vlitud suund oli vale ja tuleb muuta vastupidiseks. 1.19.5.1. Koostatakse tasakaaluvõrrandid ja lahendatakse.

1.20. TALADE TOERAKTSIOONIDE LEIDMISE NÄITED

1.20.1 KOONDATUD JÕUGA KOORMATUD TALA KAHEL TOEL (tala omakaalu ei arvestata) Ülesandes vaadeldakse tala tasakaalu, mis toetub liikuvale liigentoele A ja liikumatule liigentoele B. Vabastame tala tugedest; asendame nende mõju teoreaktsioonidega (vaata 1.18.1.) ja koostame arvutusskeemi (arvestades 1.19.5. toodud soovituse). Koostame tasakaaluvõrrandid (1.14.1.). Võrrand 0X =∑ ütleb, et tasakaalukorral peab kõigi jõudude projetsioonide summa x teljele võrduma nulliga. x-telje sihiline on ainult BX ; seega BX=0. Tasakaaluvõrrandit

0Y =∑ kasutada ei saa, kuna võrrand 0YA F B− + = sisaldab kaks tundmatut ( YA ja YB ). Momentpuntiks (1.19.5.b) võime valida kas punkti A või B. Kaustades punkti A saame:

Y

Y

Y

Y

0 (momendi märgi määramiseks vaata 1.13.)

F 2-B 3 03B 2B 2 / 3 2 2 / 3B 4 / 3

AM

FF

kN

=

=== ==

∑i i

i i

Nüüd saame kasutada tasakaaluvõrrandit 0Y =∑

NB: Kui jõud läheb läbi mõjusirge punkti siis tema moment on 0. Päripäeva on siin konspektis positiivne. Vastupäeva on negatiivne.

0

2 4 / 32 / 3

Y Y

Y Y

Y

Y

A F BA F BAA kN

− + == −= −=

Lahenduse õigsuse kontrolliks võime kasutada tasakaaluvõrrandit

03 1 0

33 2 / 3 20 0 .

B

Y

Y

MA FA F

Lahendus on õige

=

− ===

=

∑i i

i

1.20.2. TALA KAHEL TOEL, MILLELE MÕJUB ÜHTLASELT JAOTATUD KOORMUS

Talale mõjub pikkusel 2 m ühtlaselt jaotatud koormus intensiivsusega q=3 kN/m. Asendame ühtlaselt jaotatud koormuse koondatud jõuga 3 2 ; 6Q q a Q kN= = =i i , mille rakendame jõuepüüri keskele. Koostame arvutusskeemi, arvestade eelmise ülesande lahenduses antud juhiseid. Koostame ja lahendame tasakaaluvõrrandid.

1.20.3. JÕUPAARIGA KOORMATUD TALA KAHEL TOEL

Tasakaaluvõrrandite koostamisel tuleb arvestada punktis 1.12. toodut ja jõupaari omadusi (1.1.). 0 ; 0

0 ; 4 0/ 4 3/ 4

3/ 40

0

3/ 4

X

A Y

Y

Y

Y Y

Y Y

Y

X A

M M BB MB kN

YA BA BA kN

= =

= − =

= =

=

=

+ == −

= −

∑∑

∑

i

Lahenduse õigsuse kontroll;0 ; 1 6 0

6 6 0 ; 0 0A YM Q B= − =

− = =∑ i i

0 ;

0 ; 6 5 05 / 6

50 ; 0

; 1

X

B Y

Y

Y

Y Y

Y Y Y

X B

M A QA Q

A kNY A Q B

B Q A B kN

=

= − =

=

=

= − + =

= − =

∑∑

∑

i ii

Märk (-) AY vääruse ees näitab, et toe A toereaktsiooni AY on tegelikult suunatud allapoole. Jõupaari moment M püüab tala vasakpoolset otsa toelt A üles tõsta ja reaktsioonijõud AY peab seda takistama. Vastavalt juhisele 1.19.5.c. muudame AY suuna ja koostame uue arrvutusskeemi (1.49).

1.20.4. ÜHTLASELT JAOTATUD KOORMUSEGA JA KALDJÕUGA KOORMATUD TALA KAHEL TOEL

0 ; 0

4

X X

X X

X

X A FF AA kN

= − + =

==

∑

1,5 4 6Q kN= =i Kaldjõu F lahutame c ja y telje sihilisteks komponentjõududeks XF ja XY .

Ülesandes vaadeldakse konsooli tasakaalu . koostame arvutuskeemi (vt 1.18.2.), taandades reaktsioonjõud punkti A. Reaktsioonjõu RA lahutam x ja y telje sihilisteks komponentijõududeks AX ja AY. Olematame, et reaktsioonmoment MA on positiivne. Koostame tasakaaluvõrrandid ja lahendame:

0 ; 4 0

4 ( 3 / 4) 3 0 ; 0 0B YM A M= − + =

− − + = =∑ i

Kontroll:0

1 3 6 03 6

6,96 3 6 6 4,1624,96 24,960 0

A

Y Y

Y Y

MF Q BF Q B

=

+ − =+ =+ ==

=

∑i i i

i i

cos 60 8 cos60 4

cos30 8 cos30 6,96

06 5 3 0

8,80

0

6,96 6 8,84,16

o oX

o oy

B

Y Y

Y

Y Y Y

Y Y Y

Y

Y

F F kN

F F kN

MA F QA kN

YA F Q BB F Q ABB kN

= = =

= = =

=

− − ==

=

− − + == + −= + −=

∑

∑

i ii i

i i i

1 2

1 2

1 2

0 ; ( ) 4 1 0

44 8 5270

( ) 08 53

A A

A

A

A

Y

Y

Y

M F F M

M F FMM kN

YF F A

AA kN

= − + + =

= −= −=

=

− + + == −=

∑

∑

i i

i

2

2

:0

( ) 3 4 03 4

27 3 5 4 327 270 0

B

Y A

A Y

KontrollMF A M

M F A

=

− − − == += +==

∑i i

i i

1.21. HARJUTUS ÜLESANDED. ARVUTA TOEREAKTSIOONID VASTUSED:

2. TUGEVUSÕPETUS. 2.1PÕIIIHÕISTED. KONSTRUKTSIOONELEMENT - Konstruktsiooni (ehitise , masina või muu seadme ) koostisosa, valis jõudude toimel kõik konstniktsiexjnielemendid dg^ormccruvad- s-t. muutuvad nende mõõtmed ja esialgne kuju. Deformatsioonid võivad olla : 1- elastsed (jõu nöju lakkamisel konstiAiktsioonielemendi esialgne kuju ja mõõtmed taastuvad ) 2. plastsed (j aakde formatsioon id) , kus konstruktsioonielemendi defor- matsioonid vähenevad , kuid lõplikult ei kao (joon.2.1) Konstruktsiooni normaalseks tööks on jaakdeformatsiooni teke lubamatu. Konstruktsioonielemendi võimet purunemata ja jääkdeformatsioonideta taluda taluda ettenähtud koormust nimetatakse tugevuseks. Liiga suure jõu mõjumisel konstruktsiconielement puruneb .( joon. 2.2 ) Konstruktsioonielemendi võimet mitte deformeeruda elastselt nimet. jäikuseks.(Etteantud koormuse puhul ei tohi deformatsioon olla suurem etteantud väärtusest). Tugevusõpetuse ülesanne on vastavate arvutustega määrata konstruktsiooni elementide mõõtmed nii töövõimelisus, et nendel tagatud vähese materjalikuluga.

4 ; 5,147,82

2 ; 9,8433,88

X Y

Y

X Y

A

B kN B kNA kN

A kN A kNM kN

= ==

= ==

2.2 KONSTRUKTSI0ONI ELEMENTIDE LIIGITUSA Arvutustes vaadeldakse konstruktsioonielementi massdetailina , koorikuna või vardana. massdetaili( joon2.3a) kõik kolm möödet on sama suurusjärku. kooriku (joon. 2.3.b) üks mõõdu (paksus) on oluliselt väiksem kahest ülejäänust . Tasandi koorikut nim plaadiks, {joon. 2.3.c) varda (joon 2.3-d) üks mõõdu (pikkus) on oluliselt suurem kahest ülejäänust. 2.3 VÄLISJÕUD JA SISEJÕUD. 2.3.1 VÄLISJÕUD (KOORMUS) väljendab mingi keha mõju vaadeldavale konstruktsioonelemendile. Rakendusviisi järgi eristatakse: KOONDJÕUDU (koondkoormust) F [N], mida loetakse tinglikult rakendatuks ühte punkti. JAOTATUD KOORMUST , mis mõjub varda teatud pikkusel ja mida iseloomustatakse koormise intensiivsusega q[N/m] JÕUPAARI mõju hinnataks jõumomendiga Toime isoloomu järgi eristatakse staatilist,dünaamilist ja vahelduvat koormust. STAATILINE KOORMUS ei muutu ajas (või muutub vaga aeglaselt) DÜNAAMILINE KOORMUS on koormus mille suurus, suund või rakenduspunkt muutub kiirelt. VAHELDUV KOORMUS - koormus mis muutub ajas perioodiliselt. Valisjõudude hulka kuuluvad ka sidemereaktsioonid (toereaktsioonid) millised määratakse tasakaaluvõrrandite abil.

kaalu, tuleb lõike pinnale rakendada sisejõud, mis asendaksid eemaldatud osa mõju vaadeldava-

le osale. Vaadeldavale varda osale mõjuvat jõudude süs-teemi on võimalik taandada lõikepinnal raskus keskmesse taandatud resultant jõuks ja resultantrromendiks. üldjuhul saab lõikepinnal mõjuvat resultantjõudu esitada kolme komponent jõuna pikijõud Fx=FN (normaaljõud) ; põikijõud Qy ja Qz ja resultantnomenti kolme komponendina (paindemomendid MY ja MZ ning väändemoment MX=Ty). Kui väliskoormus on

teada, saab vaadeldava lõike kus sisejõudu määrata keha ükskõik kummma, mõtteliselt eraldatud osa kohta koostatud tasakaaluvõrrandites:

0 0 0X Y ZF F FΣ = Σ = Σ = 0 0 0X Y ZM M MΣ = Σ = Σ = .

Kui vardale mõjub tasandiline jõusüsteem (näit. x ja y teljega määratud tasandis), tekivad ristlõikes põikijõud OY, pikijõud FN ja paindemoment MZ ja saab koostada kolm tasakaaluvõrrandit: 0 0 0Y X ZF F MΣ = Σ = Σ = . TÕMME ja SURVE Varda teljesihilisel tõmbel ja survel saab varda ristlõikes mõjuvad sisejõud asendada ühe - varda teljesihilise pikijõuga FN. Kui sisejõud on suunatud lõikest välja, on tegemist tõmbega; kui sisejõud on suunatud lõikesse , on tegemist survega, tõmme loetakse positiivseks, surve negatiivseks.

Nihe Lõikepinnas tekib pikijõud Q.

Vääne Vardale rakendatud pöördemoment M tekitab ristlõikes väändemomendi

Tv. Paine Painet iseloomustab deformeeritava keha (näit. tala) telje kõverdumine. Kui lõikes tekib ainult paindemoment MY või MX on tegemist puhta paindega. Kui peale paindemomendi tekib lõikes veel põikijõud, on tegemist põikipaindega (liitdeformatsiooniga).

2.6 Pinge Eeldatakse,et sisejõud toimivad pidevalt kogu lõike ulatuses. Pingeks nimetatakse lõikepinna vaadeldavas punktis pinnaühikule taandatud sisejõudu. SI süsteemis mõõdetakse pinget ühikutes [N/m2]. Kuna see on väga väike ühik, siis kasutatakse ühikuid [mN/m2]=[N/mm2] Läbi keha ühe ja sama punkti võib paigutada lõpmata palju tasandeid mis jaotavad keha kahte ossa. Pinged erinevates lõigetes on erinevad. Pinge on vektor, mis asetseb vaadeldava lõike suhtes teatud nurga all. Mõjuga keha mingis lõikes punktis C väikesele pinnaühikule ∆A teatud nurga all jõud R. Jagades selle jõu R pinnaühikule ∆A, leiame pinge punktis C.

Lisad: Keha raskuskeskme valemid:

1 1 2 2

1 1 2 2

c

c

A x A xxA

A y A yyA

−=

−=

i i

i i

NB: Kui jõud läheb läbi mõjusirge punkti siis tema moment on 0. Päripäeva on siin konspektis positiivne. Vastupäeva on negatiivne.