Dr Veljko Vuković vanredni prof.

Tehnički Fakultet:Energetska efikasnost-zelena

energija

Instinkt je nešto iznad znanja. Nema sumnje da mi imamo u mozgu neka fina nervna vlakna koja nam omugućavaju da osetimo istinu kada logičnozaključivanje ili nekakav moždani napor, učinjennašom voljom, ne dovodi do uspeha.Nikola Tesla

Sadržaj

Uvod

Elektrostatika

Vremenski konstantne električne struje

Kretanje naelektrisane čestice u elektrostatičkom polju u vakuumu

Naeletrisane čestice u magnetnom polju

Elektromagnetna indukcija

Vremenski promenljive električne struje. Redna RLC veza

Paralelna veza elemenata u kolu

Višefazni sistemi

Elektronika

1. Uvod1.1 Fizičke veličine i jedinice, SI sistemjedinica

Fizičke veličine opisuju pojave, procese i svojstva fizičkih tela. Izmeriti neku fizičku veličinuznači uporediti je sa odgovarajućom veličinom istevrste, koja je izabrana za jednicu mere. Otuda se rezultat merenja izražava brojnom vrednošću i jednicom mere:

x=(xm±xm) x

Xm-mjerni broj, Xm-greška merenja, x-jedinica mere

Dogovorom je izabrano sedam fizičkihveličina za osnovne - osnovne jedinice.

Jedinice koje se dobijaju preko osnovnih -izvedene jedinice.

Skup osnovnih i izvedenih jedinica se nazivasistem jedinica. Na međunarodnojkonferenciji 1960. godine usvojen je međunarodni sistem jedinica (SI). Na tomskupu za osnovne fizičke veličine uvedene su jedinice koje su date u tabeli 1.3.1.

Osnovne fizičke veličine

Osim osnovnih jedinica SI sistema postoje iizvedene jedinice. Razmotrimo neke od njih.

Jedinica za brzinu se može dobiti iz poznatedefinicije brzine:

Jedinicu za ubrzanje ćemo dobiti izdefinicije ubrzanja:

Jedinica za silu se može dobiti izčuvenog drugog Njutnovog zakona:

1.2 Skalarne i vektorske fizičke veličine.Osnovne operacije sa vektorima.

• Skalarne fizičke veličine se mogu izraziti potpunosamo brojnom vrednošću i odogovarajućom jedinicommerenja - npr. masa, vreme, zapremina, gustina i dr.

• Vektorske fizičke veličine karakteriše pravac, smer iintenzitet (brojna vrednost). Takve veličine su npr.brzina, ubrzanje, sila, itd.

• Tenzorske fizičke veličine okarakterisane su sa devetkarakteristika. To su npr. tenzor inercije, permitivnosti,tenzor permeabilnosti i sl.

Operacije skalarnih fizički veličina

• Sabiranje• množe,• oduzimaju itd.Algebarski, tj. ako imamo dve skalarne fizičkeveličine a i b, onda je zbir a+b, razlika a-b,proizvod, količnik :

Dva vektora su jednaka ako su imjednaki intenziteti, pravci i smerovi.

Vektorske fizičke veličine• možemo sabrati, metodom paralelograma, što

je prikazano na slici

Dovedemo oba vektora u zajedničku napadnu tačku.Obrazujemo paralelogram.

Dva vektora su jednaka ako su im jednaki intenziteti,pravci i smerovi.

Vektor predstavlja rezultujući vektor.

a1

a2

aa1

a2

Sabiranje pomenutih vektora metodompoligona, prikazano na slici

Intenzitet vektora se dobija primenom kosinusne teoreme.

r

x

y

r=1

sin

cos

r

x

y

r=1

cos( cos

r cos( -) = -cos

Konačno napisati izraz koji ćemo koristiti za nalaženje rezultujućeg vektora:

a a1 a2 2 a1a2 cos

Na slici 1.5.5 je prikazan slučajoduzimanja vektora

a' a1 a2 a1 ( a2 )

-a2

Slika 1.5.5

2 2 2

a' a1

Na slici 1.5.6 je prikazan slučaj

oduzimanja vektora

-a1

a2

a''

a a

a

2 1

U slučaju da treba da saberemo ili oduzmemo više vektora mnogo je efikasnije raditi metodom poligona. Razmotrimo sledeći primer. Na slici 1.5.7 data su tri vektora i treba naći rezultujući vektor:

Slika 1.5.7

R a1 a2 a3

a2

a1

a3

-a3

R

a1a1+a2

a1

a2

T

a2

T1

a3

Komponente vektora su vektorske veličine, i• one se često koriste zbog elegantnijeg i

efikasnijeg rada, posebno u koordinatnim

sistemima. U x, y koordinatnom sistemu obično vektor razlažemo na dve uzajamno normalne komponente, vidi sliku 1.5.9 i 1.5.10:

Slika 1.5.9 Slika 1.5.19

x

y

ay

ax

a

x

y

b

bx

by

a a

a

x y b bx by

Odgovarajući intenziteti vektora, prema Pitagorinoj teoremi:

a 2 a 2 a 2

x yb2 b 2 b2

x y

Projekcije vektora su skalarne

veličine. One mogu biti pozitivne i

negativne.

x

y

a

ax

ax a cos 0

a y a sin 0

ay

x

y

b

b x

b y

bx b cos 0

by b sin 0

Proizvod vektora a i skalara p daje vektor čijije pravac i smer isti kao i pravac i smer vektora,

dok je intenzitet veći p puta(p>0) (slika 1.5.13).

p.a

a

Slika 1.5.13

Ort – jedinični vektor

Svaki vektor se može prikazati kaoproizvod svog intenziteta i jedničnogvektora - orta:

a a a

0

a a ; a

1

0

U slučaju dve dimenzije, x i y, imamo ortove osa i , j vidi sliku 1.5.14, ili u slučaju tri dimenzije , i ,j,k vidi sliku 1.5.15.

Slika 1.5.14 Slika 1.5.15

j i

x

y

j

ix

y

k

z

Pomenimo dalje još dve mogućnosti množenja vektora.Skalarni proizvod dva vektora daje skalar. Po definiciji skalarni proizvodvektora je:

Skalarni proizvod takođe možemoizraziti na sledeći način, preko projekcijejednog vektora na drugi:

c a b a b cos abcos

a

b

ab

ba

c ab b aba

Vektorski proizvod dva vektora je

vektor :

c a

b

Čita se a krst b

ili

c ab sin

Pravac vektora je normalan i na jedan i na drugi vektor, a smer određujemo pravilom desnog zavrtnja i očigledno je da važi:

c

b

a

b a c

b

a

-c

Možemo dakle zaključiti da za

vektorski proizvod ne važi zakon

komutacije, tj.:

a b b a

Ukoliko je ugao između vektora 90,tada je intenzitet vektora jednak:

c ab

Primer Dokaži da su vektori e i fuzajamno normalni. Vektori i sa dati sa:

Vektori i imaju iste intenzitete ipredstavljeni su na slici 1.5.18.

a

b

Slika 1.5.18

e a

b f a

b

Rešenje Po definiciji skalarnog proizvoda imamo:

e f a b a b a

a a b b a

b b a 2 b2 0

cos 0 900

Primer Dati su vektori a i b, čiji su

njih

Odredi:

a.

b.

a 2intenziteti i b 3 . Ugao između

450

a b

a b a 2b

2 3 2

2a b 2 3 cos 45 6

a b a 2b a2 2ab ab 2b2 4 12 6 18 8

Dodatak 1

Elementi trigonometrije

Pravougli trougao

a i b katete; c hipotenuza

a

b

90

c

sin suprotnakateta

a

hipotenuza c

cos naleglakateta

b

hipotenuza c

suprotnakateta a

nalegla kateta btg tan

ctg cot naleglakateta

b

suprotna kateta a

a

b

c

sin suprotnakateta

b

hipotenuza c

hipotenuza ccos

naleglakateta

a

tg tan suprotnakateta

b

nalegla kateta a

ctg cot naleglakateta

a

suprotna kateta b

90

oo

0

30°

1-

45°

-.fi

60°

J3

90°

1sma

2 2 2

cos a 1 .J3 .fi -10

2 2 2

tan a 0 .J3 1 J300

3

cota J3 1 .J3 0

3

Odrediti vrednosti sin, cos, tani cot za uglove:

30

45

60

Uzimamo jednakostraničnitrougao

a a

a

Delimo trougao na dva jednaka dela

a a

a

Sada imamo sledeću situaciju:

a a

a

30 30

60

a

2

. . 60

a

2

h

33

sin 30 2 1

a 2

a 3

a

31

2

a 3

2

aa

2

a 3tg30 tan30

222

2 a

h a

h a 3

2

2

32cos30

31

3

a

2

ctg30 cot30

U slučaju ugla od

Uzimamo kvadrat i delimo ga po dijagonali.

Koristimo Pitagorinu teoremu

45

a

ah

45 .

45

h2 a2 a2

h2 2a2

h a 2

Primer. Sabrati vektore a i( a

5 , b 4 ), koji su dati na slici

b

b

a30

a

b

bx

by

by

30

b

2

b 3bx

by b2

1

c a bx by2 22

22

2 2 2

b 3 c a

b

c 41 20 3