Dinamika čestice - grad.unizg.hr · Dinamika čestice Pripremila doc.dr.sc.Verica Raduka Zadatak 2. Za štap duljine L, zanemarive mase, vezana je u točki B čestica mase m. Štap

Dinamika čestice

Pripremila doc.dr.sc.Verica Raduka

Analizu gibanja čestice pod djelovanjem sila možemo provesti na dva načina:

primijeniti drugi Newtonow aksiom

( )d m vF m a F

dt

(za translaciju)

( )

0 0

F

I M (za rotaciju)

primijeniti jednadžbe dinamičke (ili fiktivne) ravnoteže. Prema D'Alambertovom

principu za sustav u gibanju vrijede sve jednadžbe ravnoteže, ako se uz sve vanjske

sile dodaju i sile inercije Sile inercije proporcionalne su masi i ubrzanju čestice i

usmjerene su suprotno od ubrzanja.

IF ma

Zadatak 1.

Automobil (čestica) giba se po prikazanom putu u vertikalnoj ravnini. Treba odrediti njegovo

usporenje ako u trenutku aktiviranja kočnica u prikazanim položajima ima brzinu v. Zadan je

koeficijent trenja između kotača i podloge.

a) na horizontalnom dijelu A

b) na početku zakrivljenog dijela u točki B

c) u najnižem položaju u točki C

Usporenje ovisi o veličini sile trenja, a sila trenja ovisi o koeficijentu trenja i normalnoj reakciji. Za

svaki položaj u smjeru gibanja vrijedi jednadžba

Tm a F m a T a

m ,

ali je sila trenja u svakom položaju različita. Negativni predznak znači suprotnu orijentaciju vektora

a (usporavanje!). Normalna reakcija pri gibanju po zakrivljenoj podlozi ovisi o sili pritiska na

podlogu. Prema D'Alambetrovom pravilu moramo dodati sile inercije od normalnog ubrzanja, te

zatim smijemo primijeniti jednadžbe ravnoteže.

a) b) c)

A

T N

N mg

a g

2

,

2

( )

i n

B

T N

mvN mg F mg

R

va g

R

2

2

C

T N

mvN G

R

va g

R

R1

A B R2

C

mg

N

v, a

T

mg

N

v, a

T

mg

N

v, a

T

an

an Fi,n

Fi,n

Dinamika čestice


Zadatak 2.

Za štap duljine L, zanemarive mase, vezana je u točki B čestica

mase m. Štap se počne gibati u vertikalnoj ravnini iz

prikazanog položaja. Treba odrediti reakcije u zglobu A za

trenutak kada:

a) štap zatvara kut α prema horizontalnoj

ravnini

b) čestica prolazi kroz horizontalnu ravninu

c) čestica prolazi kroz najniži položaj

Rješenje:

Analiziramo zašto i kako se čestica giba: čestica rotira oko

točke zglobnog spoja A, zbog djelovanja gravitacijskih sila.

Dakle, zbog gibanja po kružnici radijusa L, čestica može imati

tangencijalno i normalno ubrzanje.

22

t

n

a L

va L

L

Prema D'Alambertovom principu reakcije možemo odrediti iz jednadžbi ravnoteže ako u

sustav dodamo sile inercije. Veličina sila inercije ovisi o kutnoj brzini i kutnom ubrzanju čestice u

položaju za kojeg se traže reakcije, a smjer je suprotan smjeru ubrzanja.

iF ma

Zbog promjene položaja u gravitacijskom polju mijenja se potencijalna energija čestice, a

zbog održanja energije i kinetička energija čestice.

Brzina u položaju II odredi se iz zakona održanja mehaničke energije između početnog i

promatranog položaja, a kutno ubrzanje iz zakona rotacije oko točke A.

a)

1 1

2

0 sin2

2 (1 sin )

K P K P

II

II

E E E E

mvmgL c c mgL

v gL

( )

2

,

coscos

F

A AI M

gmL m g L

L

Sile inercije su 2

,II

i n

vF m

L , ,i t tF ma m L

Iz uvjeta dinamičke ravnoteže slijede jednadžbe:

, ,

, ,

2

0 cos sin 0

cos sin

cos sin

X x i n i t

x i n i t

x

F A F F

A F F

vA m mL

L

, ,

, ,

2

0 sin cos 0

sin cos

cos sin

Y y i n i t

y i n i t

y

F A mg F F

A mg F F

vA mg m L m

L

G

B

A

L

1

g

ω, ε L

Fi,t

c Ax

mg

B

I

c

II

Ay

Fi,n

Dinamika čestice


b) čestica prolazi kroz horizontalni položaj

,1 ,1 , ,

2

02

2

K P K II P II

II

II

E E E E

mvmgL c c

v gL

( )

2

,F

A AI M

gmL m g L

L

,

22 , 0x y

gL gA m mg A mg m L

L L

c) čestica prolazi kroz najniži položaj

,1 ,1 , ,

2

02

2

K P K II P II

II

II

E E E E

mvmgL c mgL c

v gL

( )

2

,

0 0

F

A AI M

mL

0 0,

0 4

5 5

x

y

y

X A

Y A mg mg

A mg G

Zadatak 3.

Odredi s kojom maksimalnom brzinom smije rotirati kuglica težine G=4N oko vertikalne osi, ako

maksimalna nosivost niti kojom je vezana za zglob A iznosi 10 N.

Položaj niti prema osi rotacije (kut ) ovisi o brzini rotacije r=L sinϑ.

A

G x y

S

S

y

z

S

mg

L = 3

ϑ

ϑ Fi,n

2

,sin

i n

vF m

L

c Ax c

ε

L

mg

II

Ay

I

Fi,n

Ax

Ay ε mg

Fi,n

Fi,t

an

at

I

II

c c

Dinamika čestice


Prema D´Alambertovom principu definiramo sile koje djeluju na česticu i postavimo jednadžbe

dinamičke ravnoteže.

Točnost rezultata možemo provjeriti momentnom jednadžbom na zglob A.

,

0

sin cos = 0

A

i n

M

mg L F L

Zadatak 4

Prsten mase m navučen na zakrivljenu žicu rotira oko vertikalne osi konstantnom kutnom brzinom.

Treba odrediti tri položaja, u kojima prsten neće kliziti po žici.

U prikazanom položaju prsten se giba po kružnici polumjera r u horizontalnoj ravnini.

2

2

1 2

0

cos sin 0

sin cos 0

sin ( cos ) 0

sin 0 0

X

n

IN

F

F mg

mR mg

mR mg

2

3 2

cos 0mR mg

g

R

A

B

os

ω

mg

os

ω

Fi,n a

n

r

x y

R

r

m

m

2

,

2

, sin

i n

i n

F m r

F m R

0yF 0xF

2

cos =0 sin 0sin

mvmg S S

L

cos 0

4cos 0,4

10

66,4

mg S

mg

S

10 3 9,81sin 0,916

4

7,86 /

SLv

m

v m s

Dinamika čestice


Zadatak 5.

Na česticu težine G, koja miruje na hrapavoj horizontalnoj podlozi počne djelovati konstantna

horizontalna sila P. Djelovanje sile prestaje nakon t1 sekundi.

Treba odrediti put s kojeg će točka prijeći do zaustavljanja, ako je koeficijent trenja između čestice

i podloge .

1. način:

Pri rješavanju treba razlikovati dva intervala vremena tijekom trajanja gibanja:

1. za vrijeme trajanja aktivne sile P, od t0=0 do t=t1

2. od trenutka t=t1 kada prestaje djelovanje sile P, do trenutka zaustavljanja t=t2

Za vrijeme 0 < t < t1 čestica se giba s ubrzanjem a1 u smjeru djelovanja sile P, a sila trenja djeluje

u suprotnom smjeru. Početna brzina jednaka je nuli (definirano u tekstu zadatka).

0 0

0

2

0 0

0

2

11 1

1 1

1( ) ( )

1( ) ( ) ( ) ( 0)

1( ) ( ) ( ) ( 0)

2

1( )

2

1( )

t

t

m a F

ma P T

T G

a t P G constm

v t a t dt v P G t vm

ts t v t dt s P G s

m

tza t t s P G

m

v P G tm

Za vrijeme t > t1 na česticu djeluje samo sila trenja suprotno od smjera gibanja i čestica usporava.

Na početku drugog intervala uvodi se nova varijabla za vrijeme. Brzina na kraju prvog intervala

početna je brzina za drugi, a isto vrijedi i za prijeđeni put. Čestica se zaustavlja u trenutku t2.

1

( 0) 1 ( 0) 1 1

0

1

12 2 2 1 1

( ) ( '' '' )

( ) ( )

1( ) ( )

1( ) ( )

( ) ( )( ) 0 1

t

t t

t

ma t T G mg t t t novo vrijeme

a t g usporavanje

v t a dt v v gt v v P G tm

v t P G t gtm

P G t P Gv t t t t t t

gm gm

G P

t1

G a P

T

N

P

P P

t

t

Dinamika čestice


Prijeđeni put: 22

1( 0) 1 1 ( 0) 1

0

22

11

2 2 22 2 1 1

2 12 2 2 2

2 2 2

1 12 2

1( ) ( ) ( )

2 2

1 1( ) ( ) ( )

2 2

( )1 ( )( ) ( )

22

( )( )

2 2

t

t t

t

tts t v t dt s v t g s s s P G

m

tts t P G t t g P G

m m

P G t tP Gs t P G t g

m g mm g

t P G tP Gs

m m g

Prijeđeni put do trenutka zaustavljanja je s2.

2. način

Postupak je mnogo kraći ako se koristi zakon impulsa i zakon o promjeni kinetičke energije.

U prvom intervalu 0 < t < t1 djeluje sila P i trenje. Početna brzina jednaka je nuli.

Pomoću zakona impulsa vrlo jednostavno odredi se brzina u trenutku t1. Impuls od

konstantne sile jednak je umnošku sile i vremena.

2

1

2 1

1 1

1 1

( )

0 ( )

1( )

t t

t t

mv mv F t dt S

mv m P T t

v P G tm

Prijeđeni put u prvom intervalu odredi se pomoću zakona o promjeni kinetičke energije.

,2 ,1 1,2

22

011 0

22 21

1 1

2

11

( ) 02 2

1( )

2( ) 2 ( )

( )

2

k kE E W

mvmvP T s v

mvs P G t

P T m P G

P G ts

m

Prijeđeni put tijekom drugog intervala dobije se opet iz zakona promjene kinetičke energije.

Poznate su brzine na početku i kraju tog vremenskog intervala, a nepoznat je samo put Δs2.

,2 ,1 1,2

2 2

2 12 2

2 222 2 1

1 2 22 2

02 2

( )( )

2 2

k kE E W

mv mvT s v

g P G tG gP G t G s s

g G G

Prijeđeni put od početka gibanja do zaustavljanja jednak je sumi prijeđenih puteva tijekom prvog i

drugog intervala.

2 1 2s s s = 2 2 2

1 1

2

( ) ( )

2 2

P G t P G t

m m g

Dinamika čestice


Zadatak 6.

Na česticu mase m=1 kg , koja miruje na hrapavoj horizontalnoj podlozi ( = 0.2), počne djelovati

horizontalna sila P(t) prema prikazanom dijagramu. Treba odrediti put koji će čestica prijeći do

zaustavljanja, i trajanje gibanja.

Rješenje:

Zadatak možemo riješiti slično kao i prethodni, sada uz podjelu gibanja unutar četiri intervala

vremena, Prikazan je drugi, mnogo kraći postupak. Bitno je uočiti da će gibanje početi tek kada

aktivna sila P postane veća od sile trenja, a ne istovremeno s početkom djelovanja sile P!

G=9,81 N

2961 ,GT N

Uvjet gibanja:

P > T

2 t1=2

t1=1s

Gibanje će početi jednu

sekundu nakon početka

djelovanja sile. Uvodimo

oznaku za vrijeme gibanja:

tg = t – 1.

Ukupno vrijeme trajanja

gibanja odredimo primjenom

zakona impulsa, i kinematike

(integralne veze između

funkcije brzine i ubrzanja).

2

1

2

2 1

1

1 2

( )( )

( )

0 0 ( )

t

t

R ta t

m

mv mv R t dt

R t dt P P

Čestica će se zaustaviti kada

se površine P1 i P2 izjednače .

Gibanje traje 49,5 s.

Od početka djelovanja sile do zaustavljanja prošlo je

50,5 s.

G a P

T

N

t1

P [N]

t [s]

10

10 5

R [N]

10

v [m/s]

9 4

t2

15

t[s] 10 5 15

8

-2 tg[s]

9 4

14

R [N]=a(t)

13

tg[s]

16

56 72 71

t2

14 13

t*

P1 P2

*

2

1

*

*

2

2 1

8 4 8 48 5 16 40 16

2 2

72 1 2 0

35,5 49,5

P t

P

t

t s t s

Dinamika čestice


Prijeđeni put do trenutka zaustavljanja 49,5

2

0

2

2

( )

4 16 16 56 2 2 71 35,55 56 4 16 4 1 1 21,33 120 216 42,67 0,67 12,6025

3 3 3 3 2

166,1

g

g

t

g g

t

s v t dt

s

s m

Zadatak 7.

Posuda u obliku stošca rotira oko svoje vertikalne osi konstantnom kutnom brzinom =2r/s.

Treba odrediti na kojoj će visini h=?, kuglica mirovati unutar posude, i koliki je pritisak kuglice na

posudu. Kut α=300.

U sustav smo dodali silu inercije i možemo primijeniti jednadžbe ravnoteže (D'Alambert)!

2

2 2

2 2

2 2

0

1sin cos 0

cos

0

7,3575

XF

m r m g r h tg

m h tg m g

h tg g

gh

tg

h m

Pritisak na posudu:

2

2

0

cos sin

(1 )sin 2 2

yF

N m r m g r h tg

hN mg N mg G

g

h

A

B

os

ω

mg

os

ω

Fi,n a

n

β

r

x y

h

β

β

N

Fi,n=mω2r

Dinamika čestice


Zadatak 8.

Čestica mase m=2 kg , počne se gibati pod djelovanjem sile F po kružnici polumjera R= 0.5 m.

Za zadani zakon gibanja čestice po kružnici 21( )

2s t t , treba

odrediti:

a) rad sile F za vrijeme dok čestica jednom obiđe

kružnicu

b) veličinu impulsa sile F u istom intervalu vremena

c) Silu F

Za jedan obilazak kružnice potrebno je vrijeme t1.

2

1 1 1

12 4

2s R t t R

Zakonom gibanja određen je i zakon promjene brzine i ubrzanja. Brzina u trenutku t1 je:

1

2

( ) 4 /

( ) 1 /t

dsv t t v R m s

dt

dva t m s

dt

a)

Izvršeni rad na putu s1 može se odrediti iz zakona promjene kinetičke energije. (v0=0)

,2 ,1 1,2

22

010,1 02 ( 0)

2 2

k kE E W

m vm vW m R J v

b)

Impuls sile odredi se iz zakona impulsa. 2

2 1

1

1 0,1 1

0,1

( )

0 4

4

m v m v F t dt S

m v m S v R

S m R

c)

Sila se odredi primjenom 2. Newtonovog aksioma:

2 2

2 42 2

2

1,

( ) ( ) ( ) 1

t n t n

t n t n

F m a

v ta a a a a

R R

t tF t m F t m F t F F m

R R

Sila ima dvije komponente: konstantnu u smjeru tangente na kružnicu i promjenjivu usmjerenu

prema središtu kružnice.

Sada rad možemo odrediti i iz integrala elementarnog rada, pri čemu je samo tangencijalna

komponenta sile u smjeru puta. 1

0,1 0.1

0

2W F dr W m R

s(t)

R

Dinamika čestice


Zadatak 9.

Čestica mase m pričvršćena je za kraj štapa bez mase, duljine L. U svojoj sredini štap je oslonjen na

elastičnu oprugu krutosti k. Sustav miruje tako da je opruga uslijed djelovanja težine čestice

deformirana za xst. Na česticu u jednom trenutku djeluje impuls S. Kolika je maksimalna

deformacije opruge nastala od djelovanja impulsa?

Prije djelovanja impulsa sustav miruje u ravnotežnom položaju. Veličinu statičke deformacije

najjednostavnije odredimo iz momentne jednadžbe oko nepomične točke.

0

20 0

2 2

O

st st

M

L L mgFo mg l kx m g L x

k

Djelovanje impulsa mijenja količinu gibanja. Primjenjujemo zakon impulsa, pri čemu impuls

djeluje trenutno, što znači da čestica počinje gibanje brzinom v1 iz početnog (ravnotežnog) položaja.

2 1 1 0 1

Smv mv S mv mv S v

m

U trenutku maksimalnog otklona od ravnotežnog položaja, u položaju 2, čestica mijenja smjer

gibanja, što znači da je u tom trenutku brzina čestice jednaka nuli! Primijenimo zakon očuvanja

mehaničke energije ili zakon promjene kinetičke energije od položaja 1 do položaja 2. Promjena

sile u opruzi i oznake pripadnih deformacija prikazane su na crtežu.

2 1 1,2

2 22

1

2 22 2

1

2 2

2

( )0 2

2 2 2

2 22 2 2 2 2

1

2 2

k k

st st

st stst

E E W

k x x kxmvmg x

kx kxmv k x kx x mg x

m S k xx S

m km

Maksimalna deformacija opruge od djelovanja impulsa je δx.

Najveća ukupna deformacija opruge za vrijeme nastalog gibanja događa se u položaju 2, i jednaka

je x2= xst+ δx.

L/2 L/2

S

L/2 L/2

S

xst

δx

0 1

Fo=kxst 2

O

g

2δx

xst x2

Fo

x

δx

Dinamika čestice


Zadatak 10.

Prsten težine G=5N navučen je na glatki štap prikazanog oblika u vertikalnoj ravnini, i pridržan

tako da je oprugu krutosti k=30N/cm stisnuta za x1=3,5 cm. Nakon uklanjanja pridržaja prsten će se

početi gibati po štapu. Prsten nije vezan za oprugu.

Treba odrediti:

a) brzinu prstena u trenutku prolaza kroz točku C

b) pritisak štapa na prsten u prikazanom položaju

a) Brzinu u položaju 3 odredi se primjenom zakona promjene kinetičke energije.

2 1 1,2

2 2

3 1

22 13

22

3 3 3

0 22 2

4

30 3,5 9,819,81 4 10 181,28 / 1,81 /

5

k kE E W

mv kxmg R

kxv g R

m

v v cm s v m s

b) Pritisak na podlogu ovisi o komponenti normalnog ubrzanja, dakle o brzini čestice u tom

položaju. Brzina u položaju 2 odredimo na isti način kao u položaju 3, a zatim primijenimo

jednadžbe dinamičke ravnoteže (D'Alambert).

2 1 1,2

2 2 222 1 120 2

2 2

k kE E W

mv kx kxmg R v gR

m

2

2

2

1

2

0

2

30 3,52 5 26,75

10

X

n

B i

B

B B

F

vN F m

R

kxN mg

R

N N N

R

x1 G

1

C

k

R

2

3

g

mg

NB

Finn

an

Dinamika čestice


Zadaci za samostalno rješavanje

1. Na česticu mase m=2 kg , koja miruje na hrapavoj horizontalnoj podlozi (=0,4) , počinje

djelovati sila P, koja se u vremenu mijenja prema prikazanom dijagramu. Treba odrediti :

a) veličinu impulsa sile koje su na česticu djelovale u vremenskom intervalu od t=0 do t1=6 (s)

b) brzinu čestice u istom trenutku

Rješenje: S=22,912 Ns, v6=11,456 m/s

2. Na glatku zakrivljenu cijev navučen je prsten mase

m=0,250kg. Treba odrediti za koje vrijednosti kuta prsten

neće klizati po cijevi, ako štap rotira oko vertikalne osi

konstantnom kutnom brzinom =7,5rad/s.

R=50 cm

=2,5 r/s

Rješenje: 1=0, 2=, =69,5860

3. Čestica težine G=10 KN počne se

gibati iz položaja ''1'' sa početnom

brzinom v1=10 m/s po glatkom putu

prikazanom na slici.

Odrediti pritisak čestice na podlogu u

položaju ''2'' ako je =600 i R= 1 m.

Primijeniti zakon očuvanja mehaničke

energije

Rješenje:

Pritisak na podlogu je 97 N.

4. Na kuglicu težine G=50 KN koja miruje na hrapavoj

horizontalnoj podlozi ( = 0,1) počne djelovati sila P čiji se

intenzitet tijekom 8 s. mijenja prema prikazanom grafu.

Odredi koliki put će kuglica prevaliti do zaustavljanja i

vrijeme kada će se zaustaviti.

Rješenje: s1=7,6845m,

t1=9s

P [kN]

t [s]

10

6 4

G P(t)

= 0,1

20

R

m

A

B

φ

os

ω

C

c v1

G

1

2

R g

c

P [kN]

t [s]

10

8 4

G P(t)

= 0,1

Dinamika čestice


5. Čestica težine 10 N spusti se bez početne brzine niz glatku zakrivljenu podlogu radijusa R = 10m,

i hrapavu horizontalnu podlogu duljine L = 12 m. Koeficijent trenja = 0,1. Na kraju udari u

elastičnu oprugu krutosti k = 20 N/m ispod koje je podloga opet glatka. Koliko je maksimalno

skraćenje opruge?

Rješenje: 37,3826 cm

6. Na materijalnu točku mase m=1 kg koja miruje u položaju ''1'' djelovao je impuls S=4 Ns.

Odredi koliko je maksimalno skraćenje opruge krutosti k=5,0 N/cm izazvano naletom kuglice.

Podloga je glatka.

7. Dizalo se spušta konstantnom brzinom. Za strop dizala pričvršćeno je elastična opruga krutosti k,

za koju je pričvršćena materijalna točka mase m, koja miruje u odnosu na dizalo. Odjednom se

dizalo počinje usporavati sa konstantnim usporenjem a. Koliko je maksimalno produljenje opruge?

Rješenje

max 2uspma mg

k k

Δ

600

R R 600

=0

S

k

G

=30 R

1

Δ

=0

L=12

Δ mg

a = 0 ausp ≠ 0

mg

mausp

k k

1

2

Documents

Dinamika čestice - grad.unizg.hr · Dinamika čestice Pripremila doc.dr.sc.Verica Raduka Zadatak 2. Za štap duljine L, zanemarive mase, vezana je u točki B čestica mase m. Štap