la torsion

ENSA Tanger

TD

1TD de Résistance des Matériaux

Le but de cet exercice est de comparer les puissances P1 et P2 transmissibles pardeux arbres de torsion de même masse, constitués d’un même matériau, sous lesconditions :

– ω1 = ω2 (même vitesse de rotation)– τmax1 = τmax2 (même contrainte tangentielle maxi)

On suppose que les deux arbres sont soumis uniquement à de la torsion. Pour laréalisation de ces deux arbres, la première solution envisagée est la réalisation d’unarbre plein de diamètre extérieur D1. La deuxième solution est un arbre tubulairede diamètre extérieur D2 et de diamètre intérieur d2 = kD2. La longueur des deuxarbres est identique.

1̊ ) Calculer le rapport des moments de torsion Mt1 et Mt2 transmissibles parles deux arbres.

2̊ ) Déterminer alors le rapport des puissances transmissibles P1 et P2.

3̊ ) Compte-tenu que les arbres ont la même masse, déterminer ce rapport enfonction de k.

4̊ ) Calculer le rapport de puissance pour un tube normalisé de diamètre exté-rieur D2 = 80 mm et d’épaisseur e = 2 mm.

Optimisation d’arbres en torsion:Exercice 1

On cherche à dimensionner l’axe de turbine d’un turboréacteur. Lors du fonction-

optimal.

nement d’un turboréacteur, l’air est aspiré par l’avant et est comprimé au traversdes différents étages de compression avant de traverser la chambre de combustion

des différentséléments intervenant dans le turboréacteur. Dans le domaine aéronautique , le poidsétant une contrainte majeure, on souhaite que l’arbre supportant les ailettes soità iso-contrainte tangentielle maxi pour que le dimensionnement soit

et d’être éjecté au travers de la turbine. La figure 1 précise la position

Arbre de turboréacteur:Exercice 2

Compte tenu de l’empilage de disques porte-ailettes sur l’arbre, on considèreraque dans la turbine le moment de torsion dans l’arbre n’est pas constant et s’écritsous la forme :

Mt =a

x3

On notera :– pour l’abcisse xA (extrémité A de l’arbre) la valeur du moment de torsion estMtA

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Fig. 1: Éléments de base d’un turboréacteur

mettre un couple de 400 Nm on envisage d’utiliser un arbre cylindrique plein ou

sont constitués du même acier pour lequel MPa240e =τ et MPa108G 4= .On

deux cas le même coefficient de sécurité s=3

a un diamètre D1. L’arbre creux a pour diamètres D2 et d2 tels que 22 D6.0d = .

(k=0.6)

le diamètre D1 de l’arbre plein à utiliser et la déformation angulaire entre deux s

de 300 mm.

les diamètres D2 et d2 de l’arbre creux à utiliser et la déformation angulaire entre

2TD de Résistance des Matériaux

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1̊ ) Déterminer la constante a en fonction des paramètres et calculer sa valeur.

2̊ ) Calculer le diamètre d(x) pour vérifier le critère d’égale contrainte de ci-saillement maxi. Tracer sur le même graphique l’évolution de Mt et d(x) enfonction de x.

3̊ ) Calculer l’angle de torsion φAB entre les sections A et B.

Les application numériques seront faites avec :xA = 2 m et xB = 4 m, MtA = 800 Nm , Rpg

s= 100 N/mm2 et G = 85 000 N/mm2.

Pour trans creux.

deux arbres

dans

les

sections distantes de 300 mm. Comparer avec le a).

Déterminer le rapport λ de le ur masse. Conclu sion ?

L’arbre plein

a) Déterminer

distantes

b) Déterminer c)

On considère un arbre en acier (G = 80 000 N.mm−2) de longueur L = 1, 2 métagé en trois morceaux de diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm. Cet arbre estsollicité en torsion pure par un couple Mt. On négligera ici les concentrations decontraintes relatives aux changements de diamètre.

ections

deux

Exercice 4 :

.

Torsion d’un

arbre étagé

On considère un arbre en acier (

24

mmN10.8G −= ) de longueur

m20,L = étagé en trois mor

ceaux

diamètres respectifs 40, 30 et 20 mm.

Cet arbre est sollicité en torsion pure par un couple Mt.

400 400 400

ABCD

Mt

∅ 40∅ 30

∅ 20

a)

Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S de cet arbre d) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sections d’extrémités SA et SD

nent de 360π radians l’une par rapport à l’autre ?

e) Donner le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre ( )x(f=α ).

f) Quelle est la contrainte maximale ? (On néglige les concentrations de contraintes)

Fig. 2: Arbre étagé en torsion

1̊ ) Décrire et donner l’expression des contraintes dans une section droite S decet arbre

2̊ ) Quelle doit être l’intensité du couple de torsion Mt pour que les sectionsextrêmes SA et SD tournent de π/360 radians l’une par rapport à l’autre ?

3̊ ) Tracer le diagramme des angles de torsion le long de l’arbre.

4̊ ) Calculer la contrainte maximale subie par l’arbre.

Torsion d’un arbre étagé:Exercice 3

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