Termodinamičke relacije -

sistematizacija

podataka

o sistemima

TERMODINAMIČKAINFORMATIKA

Za

rešavanje

konkretnog

primera

potreban

je

niz

TD-podataka

o sistemima. Oni

se

mogu

naći u brojnim

knjigama

i priručnicima, klasifikovani

u dve

grupe:

SISTEMATIZACIJATERMODINAMIČKIH PODATAKA

1.Opšti odnosi između

termodinamičkih veličina•Termodinamički zakoni•Fundamentalne jednačine•Maksvelove relacije•TdS jednačine•Energijske jednačine, itd.

2.Odnos između

termodinamičkih veličina za svaki pojedinačni sistem

(supstancu)•Jednačina gasnog stanja•Osobine vodena pare•Vlažan vazduh, itd.

Osnovne

termodinamičke veličine: U, T, S i m (ekspanzioni

sistemi: p, V, T)

ekstenzivne veličine stanjanumerička vrednost zavisi od mase ili količine: zapremina (V), unutaršnja energija (U), entalpija (H) i entropija (S), kao i sama masa (m) i količina, tj. broj molekula (N)

intenzivne veličine stanjanumerička vrednost ne zavis od mase ili kolicine: pritisak (p) i temperatura (T), a u slučaju tečnih i gameša i maseni ili molski sastav smeše.

Ekstenzivne veličine se mogu izraziti (svesti) na jedinicu mase ili količine supstance, te tako dobivaju karakter intenzivnih veličina.

Specifične veličine:su one koje su svedene na jedinicu mase 1 kg. specifična zapremina v = V/m (m3/kg).Moske veličine svedene su na jedinicu količine 1 kmol. molarni toplotni kapacitet C (J/kmol K), molarna zapremina v = V/m (m3/kmol)

Termodinamičko stanje i veličine

Po pravilu, sistemi

značajni

za

tehničku

termodinamiku

imaju

dva

stepena

slobode

jer

sa

okolinom

razmenjuju

rad

i toplotu.

STEPEN SLOBODE TERMODINAMIČKOG SISTEMABroj

stepeni

slobode

je

broj

načina

na

koje

se menja

energijski

sadržaj

sistema. Iz

toga proizilazi

da

je

broj

stepeni

slobode

jednak

broju

nezavisnih

termodinamičkih

veličina

stanja.

QdU

2

112 QUU =Q

SISTEMI

SA JEDNIM STEPENOM SLOBODE: Sistem koji ne razmenjuje bilo rad bilo toplotu sa svojom okolinom ima samo jedan stepen slobode

V=const

sistem

sa

disipativnim

radom

sistem

koji

se greje

sistem

sa

jednom

vrstom

rada

dVPWdU VUUVPP U –

funkcija stanja

0,, ZYXF

YXZZ ,

0 RTPv

R

PvT

P

RTv

v

RTP ;;

predstavlja

matematički

model ponašanja

sistema, povezuje veličine stanja

JEDNAČINA STANJA I NJENI OBLICI

Najjednostavniji

termodinamički

sistem

je

onaj

koji

karakteriše

prenos

energije

u formi

toplote

i u vidu

samo jedne vrste

rada. Radno

telo

takvog

sistema

naziva

se jednostavna

supstanca.

Prirodne

promenljive

su

one koje

figurišu

u fundamentalnoj

jednačini

i daju

sve

informacije

o sistemu.

Pod

jednačinom stanja u termodinamici podrazumeva se svaka sređena zavisnost,

između

termodinamičkih, parametara, pomoću

koje

se može

odrediti

vrednost

jednog

od

njih, nazvanog: zavisno

promenljiva, ukoliko

su

poznati

ostali

činioci

(nezavisno

promeljive).

Analitički

oblik

implicitnom

obliku

eksplicitnom

obliku

Osim

u obliku

matematičkog

izraza, jednačina

stanja

može biti

prikazana

i na

druge

načine.

TABELARNO GRAFIČKI PROSTORNO

FUNDAMENTALNE JEDNAČINE STANJA

Četiri

najznačajnije

jednačine

opšteg

karaktera

iz

kojih

se izvodi

niz

ostalih

važnih

izraza

Polazne

jednačine

za

izvođenje

fundamentalnih

su

definicioni

izrazi

za

H, F i G kao

što sledi:

ENTALPIJA H = U + pV h = u + pv

HELMHOLTZOVA ENERGIJA F = U -

TS f = u -

Ts

GIBBSOVA ENERGIJA G = H -

TS g = h -

Ts

PdVdUWdUQ PdVTdSdU

PdvTdsdu

prva

fundamentalna

jednačina

dobija

se

sintezom

prvog

i drugog

zakona:

I

II TdSQ

1.

Druga

fundamentalna

jednačina

izvodi

se iz

definicionog

izraza

za

entalpiju:

Pvuh dPvdvPdudh PdvTdsdu

vdPTdsdh 2.

Treća fundamentalna

jednačina

izvodi

se iz

definicionog

izraza

za

Helmholtzovu

energiju:

dTsdsTdudf

PdvsdTdf

f=u-Ts

PdvTdsdu

3.

Četvrta

fundamentalna

jednačina

izvodi

se iz

definicionog

izraza

za

Gibbsovu

energiju:

dTsdsTdPvdvPdudg

vdPsdTdg 4.

g=h-Ts )( Pvuh

PdvTdsdu

PARCIJALNI IZVODI

TERMODINAMIČKIH

POTENCIJALA

Izvode

se iz

fundamentalnih

jednačina

primenom pravila totalnog diferenciranja:

dYY

ZdX

X

ZdZ

xy

Kada

se na

svaku

od

četiri

fundamentalne

jednačine

primeni

navedeno

pravilo

totalnog

diferenciranja, iz

svake

od

njih

dobijaju

se po dva parcijalna izvoda TD-veličina.

PdvTdsdu dvv

uds

s

udu

sv

sv v

uP

s

uT

1.

sP P

hv

s

hT

dPp

hds

s

hdh

sp

dvv

fdT

T

fdf

Tv

vdPTdsdh 2.

PdvsdTdf 3.

Tv v

fP

T

fs

dPP

gdT

T

gdg

Tp

TP P

gv

T

gs

vdPsdTdg 4.

Izvedene

jednačine

definišu

poznate

termodinamičke

veličine

P, T, v, s kao

parcijalne

izvode

termodinamičkih potencijala. One omogućavaju određivanje drugih zavisnosti

između parametara, izraženih

pomoću

parcijalnih

izvoda.

S

V

V

UPB

S

UTA

MAXWELLOVE

RELACIJEIzvođenje

Maxwellovih

jednačina

zasniva

se na

primeni

sledećeg

pravila

diferencijalnog

računa

na

fundamentalne

jednačine:

BdYAdXYXdZ ,

X

Y

Y

ZB

X

ZA

YX

Z

X

B

Y

A

YX

2

PdvTdsdu dvv

uds

s

udu

sv

VS S

P

V

T

PdvTdsdu

VS S

P

V

T

vdPTdsdh

PS S

V

P

T

u(s,v)

2.

4.

3.

1.

h(s,p)

PdvsdTdf

vdPsdTdg

VT T

P

V

S

PT T

V

P

S

f(T,v)

g(T,v)

Maxwellove

relacije

su

vrlo

važne

za

proučavanje

termodinamičkih

osobina

supstanci. Najvažnija

primena

se sastoji

u tome da

se neki

parametri, koje

je

teško

eksperimentalno

odrediti, mogu

izračunati

pomoću

drugih

parametara, koje

je

moguće

jednostavno

i tačno

izmeriti. Npr., od

jednačina

stanja

najlakše

je

odrediti

termalnu

jednačinu

(F (P, V, T) = 0), te

je

uvek

prednost

uvesti

izvode

u kojima

učestvuju

parametri

P, V i T umesto

izvoda

u kojima

učestvuje

entropija. Merenje

P-, V- i T- vrednosti, za

praktične

opsege, postiže

se sa

greškom

manjom

od 0,1 %.

MA

XWELLO

VE

RELACIJE

Pored ovih

termodinamičkih

relacija

važne

su

još

dve

opšte

relacije

iz

diferencijalne

matematike, za

manipulaciju

termodinamičkim

veličinama, odnosno, parcijalnim

izvodima

koji

predstavljaju

termodinamičke

parametre.

ZZX

Y

Y

X

1

VS P

S

T

V

u(s,v)

VT P

T

S

V

f(T,v)

PS V

S

T

P

h(s,p)

PT V

T

S

P

g(T,p)

TOPLOTNI KAPACITET

Važna

termička karakteristika

svakog

sistema.

TOPLOTNI KAPACITET je

toplota

potrebna

da

se ceo

sistem

zagreje

za

jedan

stepen

Toplotni

kapacitet

određuje

ponašanje

sistema

pri

grejanju

i hlađenju

dT

QC

dT

q

dT

Q

mm

Cc

1

SPECIFIČNI TOPLOTNI

KAPACITET

je

toplota

potrebna

da

se jedinica

mase

sistema

zagreje

za

jedan

stepen.

VEZA SA ENTROPIJOM

Toplotni

kapacitet

se dovodi

u vezu

sa

entropijom

preko

toplote

vv T

sTc

pp T

sTc

dT

dsTc

dT

dSTC

=Q =Q

Specifičan

toplotni

kapacitet

pri

v=const

Polazi

se od

prvog

zakona

TD koji

se diferencira

po T :

PdvduTdsq

vvvv T

vP

T

u

dT

qc

vv T

uc

za

v=const=0

Polazi

se od

druge

fundamentalne

jednačine

koja

se diferencira

po T :

Specifičan

toplotni

kapacitet

pri

p=const

vdPdhTdsq

pppp T

Pv

T

h

dT

qc

pp T

hc

za

p=const=0

KOMPRESIBILNOST

Predstavljaju

radnu

karakteristiku

sistema, tj. relativnu

promenu

zapremine

sa

promenom

jedne

od

nezavisno

promenljivih

veličina

kada

je

druga

konstantna.

Opšti

oblik

kompresibilnosti

glasi:

dPdVP

dPWA

pT

V

V

1

TP

V

Vk

1

SP

V

V

1

Izobarska

kompresibilnost

Izotermska

kompresibilnost

Izoentropska

kompresibilnost

VEZE TOPLOTNIH KAPACITETA

I

KOMPRESIBILNOSTI

kcc

CC

v

p

v

p

kTVRCC vp

2

kTP

v

TdS jednačine

i energijske

jednačineopšte

termodinamičke

relacije

dvv

sdT

T

sdsvTds

Tv

,

dPP

sdT

T

sdsPTds

TP

,

dvv

sdP

P

sdsvPds

Pv

,

Tri

važne

jednačine

koje

entropiju

izražavaju

kao

funkciju

osnovnih

nezavisno

promenljivih

veličina

(p, v, T).

TdS jednačine

dvv

sdT

T

sdsvTds

Tv

,

dvkTdTcTds v

/xT

PRVA

TdS

JEDNAČINA

dvv

sTdT

T

sTTds

Tv

dvT

PTdTcTds

vv

dPP

sdT

T

sdsPTds

TP

,

dPvTdTcTds p

dPP

sTdT

T

sTTds

TP

dPT

vTdTcTds

Pp

DRUGA

TdS

JEDNAČINA

/xT

TREĆA TdS

JEDNAČINA

dvv

sdP

P

sdsvPds

Pv

, /xT

dvv

T

T

sTdP

P

T

T

sTTds

PPvv

dvv

cdPk

cTds pv 1

Energijske

jednačine

Dve

važne

jednačine

koje

unutrašnju

energiju

izražavaju

kao

funkciju

V i p (pri

t=const)

PdvTdsdu

Pdv

dsT

dv

du P

v

sT

v

u

TT

PT

PT

v

u

vT

za

t=const

dP

dvP

dP

dsT

dP

du

TTT P

vP

P

sT

P

u

TPT P

vP

T

vT

P

u

PdvTdsdu

za

t=const

Mnemonika

predstavlja

sistem

pravila

koja

olakšavaju

pamćenje

određenih

pojmova, relacija, brojeva

i sl.

Dijagram

i pravila

za

njegovu

primenu

u termodinamici.

Pomoću dijagrama

se mogu

izraziti:

1.

prirodne

promenljive

za

neku

funkciju

2.

odnosi

između termodinamičkih

potencijala

3.

parcijalni

izvodi

termodinamičkih

potencijala

4.

totalni

diferencijali

(fundamentalne

jednačine)

5.

Maxwellove

jednačine

MNEMONIČKA SISTEMATIZACIJA TERMODINAMIČKIH

RELACIJA

Dijagram

ima

oblik

kvadrata. Na sredinama

stranica

nalaze

se termodinamički

potencijali

(funkcije),

a u temenima

nezavisne

promenljive.

negativanpritisak

PRIKAZ DIJAGRAMA

S,PH

P,TGT,VFV,SU

Primenjujući pravilo

prikazano

na

izdvojenom

delu

dijagrama

očitava

se:

TSUF

Diferenciranjem

po

pritisku

i temperaturi

dobija

se

negativan

izvod.

dVTdSdU

PdVTdSdU