Torsion:

Illustration: pont courbe

Domaines d’application:– ponts courbes et ponts biais– ponts avec charges excentrées– mâts– sheds, tôles pliées, constructions plissées – wagons, fuselage et ailes d’avion

Décomposition des efforts:

31. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019

Torsion: Modes de résistance

La résistance à la torsion correspond à deux phénomènes de nature différente:

Bibliographie:

– Kollbrunner C. F., Basler K.: Torsion. Application à l’étude des structures. Editions SPES Lausanne, 1970

– Kollbrunner C. F., Basler K.: Torsion. Springer-Verlag, 1966

– Vlassov W. S.: Dünnwandige elastische Stäbe. VEB Verlag für Bauwesen, Berlin, 1964

– Frey F.: Analyse des structures et milieux continus. Mécanique des structures. Traité de Génie Civil de l’EPFL, Volume 2

Torsion de Saint-Venant(ou torsion uniforme)

Torsion non uniforme

prépondérantpour: sections pleines ou fermées sections ouvertes

gauchissementdes sections: libre empêché

contraintes: flux de cisaillement fermé tangentielles + normales

rigiditérelative: élevée modérée

32.

Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019

Torsion uniforme: Rappel (c. f. TGC 2)

Déformation d’une console:

yx

z

ϕT

Rigidité: sections massives pleines sections fermées à parois minces

J ≈4

40 Ip

A J =2A4

dst(s)∫

Ip: inertie polaireA: aire

t: épaisseur

s: abscisse de la ligne moyenne

formule de St-Venant: formule de Bredt:

A

A noter les analogies suivantes:– analogie de la membrane– analogie hydrodynamique

dϕdx

TG J=ϕ′ =Loi de Hooke: ϕ: angle de torsion

T: moment de torsionG: module de glissementJ: inertie torsionnelle

33.

Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019

Torsion uniforme: Considérations statiquesExemple: poutre simple

MR: moment de torsion extérieurTV: moment de torsion interne

Le problème est une fois hyperstatique.

Les efforts internes se répartissent au prorata des rigidités.

La rotation de torsion est nulle aux extrémités mais les sections sont libres de gauchir.

⇒ MRbL=TVA MR

aL=TVB

Ki∑ Ki

=TVi MR

dϕdx

ϕ′ =efforts internes: TV = G J K

angle de torsion ϕmax entre les appuis et le point d’application de MR:

=TVK=ϕmax dx∫ dϕ

0

a⇒

a bL=∫

0

a=

1K dx∫

0

aMR

bL ϕmax

MRK

Analogie: torsion uniforme flexion

TV

ϕϕϕϕ

a b

V

M

a b

a bL

MRK

MRbL

MRaL

P bL

P aL

a bL

P

dMdx V=

dϕdx=

TVK

34. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019

Torsion non uniforme: Cas particulier de la poutre en I

Déformation d’une console (vue de dessus):

Moments de flexion dans les ailes:

y

zηi(x)x

xx

y

ηs(x)

Efforts internes et sollicitations résultant de la flexion des ailes:

y

z

x

x

η′′=Ms – Mi= – E Iailed ηdx

2

2= – E Iaile

Efforts tranchants dans les ailes:

η′′′=Vs – Vi= – E Iailed ηdx

3

3= – E IailedMsdx =

Déplacement de l’aile dans son plan en fonction de la rotation ϕ:

η =h2

ϕ

35. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019

Torsion non uniforme: Cas particulier de la poutre en I

Effort interne de torsion:

Pour le cas particulier de la section en I:

η′′′=Tω V·h= – E Iailed ϕdx

3

3= – E Iailehh2

2

Iaile ≈Iy2 Tω =

d ϕdx

3

3– E Iyh4

2⇒

En posant: Iω = Iyh4

2

(inertie sectorielle)

On obtient l’équation différentielle de la torsion non uniforme:

Tω =d ϕdx

3

3– E Iω

Nouvelle grandeur: Bi-moment (extension du couple aux moments)

η′′=Mω Maile·h= – E Iailed ϕdx

2

2= – E Iailehh2

2 d ϕdx

2

2= – E Iω Mω=

Analogie: torsion non uniforme flexion

Charge – répartie mR– concentréeMR

– répartie p– concentréeP

Déformation

Moment

ϕ y

Mω =d ϕdx

2

2– E Iω Mx = d ydx

2

2– E Ix

Dérivée du moment Tω =d ϕdx

3

3– E IωdMωdx =

Relation générale mR =d ϕdx

4

4– E IωdTωdx = p = d y

dx

4

4– E IxdVdx =

V = d ydx

3

3– E IxdMxdx =

36. Mécanique des Structures P. Lestuzzi EPFL-ENAC semestre de printemps 2019