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7/23/2019 tarea de mecanica clasica2.docx

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1. Principio de los trabajos virtuales (D Alem-bert)

La introduccin de ligaduras en el sistema mecnico lleva al concepto de

uer!a de v"nculo# $ue es justamente la $ue se ejerce sobre la part"culapara or!ar el cumplimiento de la ligadura. %sta uer!a de v"nculo se

dierencia de la denominada uer!a aplicada $ue es a$uella determinada

independiente-mente de cual$uier otra uer!a# dando slo las posiciones

(& a veces tambi'n las velocidades) de las part"culas. As"# si dos part"culas

estn ligadas por un resorte la uer!a $ue ejerce el resorte sobre una de

ellas es una uer!a aplicada# $ue depende de la posicin de ambas

part"culas tambi'n son uer!as aplicadas al campo magn'tico ($ue

depende de la velocidad)# etc. Por otro lado# la uer!a $ue peso# la uer!a

el'ctrica sobre una part"cula cargada# la uer!a ejerce un riel $ue gu"a el

movimiento de una part"cula es una uer!a de v"nculo# $ue no puede serdeterminada sin conocer las otras uer!as $ue actan.

*na restriccin adicional $ue imponemos a las uer!as de v"nculo es $ue

puedan ser tan grandes en magnitud como uera necesario para imponer

la ligadura# lo $ue es una ideali!acin de los v"nculos reales (los +ilos se

estiran# las varillas se doblan o se $uiebran# pero trabajamos dentro de los

l"mites en lo $ue esto no pasa o su eecto puede despreciarse).

*n problema con la condicin anterior lo dan las uer!as de ro!amiento. ,i

las condiciones del problema son tales $ue el ro!amiento es suiciente

para impedir $ue +a&a desli!amiento (ro!amiento esttico)# la uer!a de

ro!amiento se considera entonces de v"nculo. ,i pudiera +aber

desli!amiento (ro!amiento dinmico) deber"amos considerar al ro!amiento

como una uer!a aplicada anmala (&a $ue no cumple con ser

independiente de otras uer!as dado $ue su magnitud depende de la

uer!a de v"nculo normal)# pero &a no puede ser considerada uer!a de

v"nculo.

tro concepto undamental es el de despla!amiento virtual# $ue es un

despla!amiento ininitesimal de la posicin de una dada part"cula# reali!ado

instantneamente (de a$u" la condicin de virtual# &a $ue no es posible

reali!arlo eectivamente) es decir# a velocidad ininita# sin $ue transcurra eltiempo durante el despla!amiento. Aparte de ser instantneo# el despla!a-

miento es arbitrario# no relacionado con el movimiento real de la part"cula en el

instante considerado. ,in embargo# los despla!amientos virtuales ms tiles

son los $ue respetan los v"nculos esto es# no violan las condiciones de

ligadura del sistema (no sacan la part"cula del riel $ue la gu"a# no deorman los

cuerpos r"gidos# no estiran los +ilos# etc. sin embargo# aun as" no

corresponden necesariamente al movimiento real). %stos despla!amientos se

denominan compatibles con los v"nculos.

%s importante notar $ue si los v"nculos ueran dependientes del tiempo# al serinstantneo el despla!amiento virtual# los v"nculos permanecen en el estado en


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$ue se encuentran en el instante del despla!amiento# por lo $ue los

despla!amientos virtuales compatibles con los v"nculos deben respetar la

condicin impuesta por 'stos en ese dado instante.

%l trabajo virtual de una uer!a es entonces el trabajo $ue ella reali!a en eldespla!amiento virtual.

inalmente# el principio de los trabajos virtuales de D Alembert postula $ue lasuma de los trabajos virtuales de todas las uer!as de v"nculo de un sistema es

nula# para cual$uier conjunto de despla!amientos virtuales# compatibles con los

v"nculos# de las part"culas del sistema.

%s esencial incluir todas las uer!as de v"nculo en la suma# &a $ue el trabajo

virtual de una dada uer!a de v"nculo es en general no nulo la cancelacin se

da entre todos los sumandos. /tese $ue las uer!as aplicadas (no de v"nculo)

producen un trabajo total no nulo en general el principio se aplica slo a las

uer!as de v"nculo.

Algunos autores deducen este principio de la tercera le& de /e0ton# aun$ue

esta le& ms bien puede +acerlo plausible# vericando el principio en casosconcretos# & no realmente probarlo de manera general.

/otamos 2ia la uer!a de v"nculo (total o neta) $ue acta sobre la part"cula i# &ia la uer!a aplicada (tambi'n total o neta) $ue acta sobre esta part"cula. ,i3ies el despla!amiento virtual de la part"cula i# el principio de D Alembertasegura $ue (el punto simboli!a el producto escalar de vectores)

1.1

Para toda la 3i compatible con los v"nculos./ota +istrica4 %l principio de los trabajos virtuales como es presentado a$u" es

el resultado de muc+as contribuciones a lo largo del tiempo. 5nicialmente se

aplic en orma elemental & medio velada a problemas de esttica comen!ando

por Aristteles (678-699 A:) & pasando por ,tevinus (1;) & ?alileo

(1;=8-1=89). %n su orma ms e3pl"cita & general (siempre en el caso esttico)

ue dado por @uan ernoulli (1==B-1B87) alrededor de 1B1B. ue D Alembert(1B1B-1B7;) $uien ormul su principio# $ue dice en realidad $ue un problema

dinmico puede reducirse a uno esttico en el $ue se +an agregado a las

uer!as reales (de v"nculo & aplicadas) las uer!as de inercia# de e3presin m i i #

permitiendo as" el uso del principio en casos dinmicos. Denominar principio de

D Alembert al presentado a$u" es entonces no del todo correcto# aun$ue usual.


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9. %cuaciones de Lagrange

,i escribimos la ecuacin de movimiento de la part"cula i denotando ambostipos de uer!as actuantes.

Cultiplicamos escalarmente esta ecuacin por el despla!amiento virtual 3 idela part"cula & sumamos para todas las part"culas# el principio de D Alembertnos dice $ue podemos escribir (pasando todo al lado i!$uierdo)

:omo e3isten v"nculos los despla!amientos de las distintas part"culas no sonindependientes entre s" (recu'rdese $ue a$u" los despla!amientos virtualesdeben respetar los v"nculos). ,upongamos tener m v"nculos +olnomos entrelas part"culas# $ue pueden escribirse como m relaciones entre las posicionesde las part"culas

donde se +a puesto de maniiesto $ue las relaciones de v"nculo puedendepender e3pl"citamente del tiempo# como se discuti ms arriba. La condicin

de $ue los despla!amientos respeten los v"nculos se escribe entonces

Donde el tringulo invertido de rirepresenta el gradiente respecto de lascoordenadas de part"cula i. ,i los v"nculos no son +olnomos# de cual$uiermanera pueden e3presarse en general de orma dierencial como en (9.8)# slo


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$ue en lugar de la gradiente ?raparecer una cantidad vectorial Air(31 39.#3/ t) $ue no puede ser e3presada como el gradiente de una uncin respectode las coordenadas 3i. %scribimos entonces en general para v"nculos+olnomos o no las m condiciones sobre los despla!amientos como (1 r m)

La idea es multiplicar cada una de las relaciones (9.;) por una uncin escalar

desconocida r(31 39.. 3/ t) (multiplicador de Lagrange) & sumar todas ellas

para escribir (cambiando el orden de las sumatorias)

Eue a su ve! podemos sumar a (9.9) para escribir (agrupando todo)

:omo e3isten las m relaciones (9.;) entre las 6/ componentes de losdespla!amientos 3i# podemos elegir 6/ m de 'stas en orma arbitraria# & las mrestantes estarn dadas como uncin de las anteriores ($ue sonindependientes). La idea entonces es elegir los rpara $ue se satisagan lasecuaciones

Para los m componentes no independientes de los despla!amientos 3 i. De estamanera# en (9.=) slo sobreviven las 6/ -m componentes independientes $ue#son por ser arbitrarias# indican $ue debe ser nulo cada uno de los actores $uelas multiplican. As"# para todas las part"culas se debe satisacer la ecuacin(9.B) $ue reescribimos


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Denominadas ecuaciones de Lagrange de primera especie.

%n particular# si comparamos (9.7) con la ecuacin (9.1) vemos $ue lasuer!as de v"nculo estn dadas por

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