TAČKASTE OCENE MERENJA

JEDNAKE PRECIZNOSTI

Teorija grešaka geodetskih merenja

Profesor dr Branko Božić, dipl.geod.inž.

Građevinski fakultet u Beogradu – Odsek za geodeziju i geoinformatiku

Verzija 01.02.2019.

SADRŽAJ

• Populacija i uzorak

• Numeričke metode opisa

podataka

• Kriterijumi izbora ocenjivača i

metode ocena

Populacija i uzorak

• Populacija jeste skup neograničenog broja merenja

neke fizičke veličine

• Uzorak je na određen način odabran podskup

elemenata neke populacije

Karakteristike uzorka:

- medjusobna nezavisnost

- slučajnost izbora

Populacija i uzorak

Skup merenja x1,x2,…,xn vektora slučajne promenljive X smatraćemo

uzorkom ukoliko su merenja medjusobno nezavisna i odabrana po

principu slučajnosti.

Iz uzorka (serija) merenja moguće je odrediti:

• Raspodelu frekvencija;

• Statistike uzorka za ocenu mera položaja (srednja vrednost,

medijana, moda i sl.);

• Statistike uzorka za ocenu mera disperzije (varijansa,

kovarijansa, ...); i

• Momente (prvi, drugi, treći,...).

Numeričke metode opisa podataka

- Statistike uzorka za ocenu

mera položaja

-Srednja vrednost

- Zasečena srednja vrednost

- Medijana

- Moda

- Sredina raspona

- Raspon uzorka

- Srednje odstupanje

- Varijansa

- Standardna greška i standardno odstupanje

- Kovarijansa

- Statistike uzorka za ocenu

mera disperzije

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za

ocenu mera položaja - Srednja vrednost

Za skup od n merenja ( x1, x2, …, xn) slučajne promenljive X, srednja vrednost (aritmetička

sredina ili prosta aritmetička sredina) definiše se kao

n

x

x

n

1i

i

Ako sa X označimo slučajnu promenljivu, njeno matematičko očekivanje u oznaci Е

označimo sa E(x)=, tada je

nn

1

)x(E...)x(E)x(En

1)x...xx(E

n

1x

n

1E)X(E n21n21i

12.4

12.5

12.6

512.x

PRIMER:

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za

ocenu mera položaja – Zasečena srednja vrednost

• Zasečena sredina ili srednja vrednost (trimmed means) se određuje

eliminacijom n% najmanjih i najvećih vrednosti promenljive u varijacionom

nizu vrednosti

• Npr. Zasečena sredina od 10% znači da se 10% sleva i 10% z desna

odbacuje i od preostalih vrednosti formira zasečena srednja vrednost

• Zasečena sredina je osetljivija na prisustvo grubih grešaka

• Primer: 12.1

12.6

13.1

14.1

14.6

14.9

15.1

xZ(10) = (12.6+13.1+14.1+14.6+14.9)/5 = 13.86

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za

ocenu mera položaja – Medijana, moda i sredina raspona

MEDIJANA: Neka je X kontinuirana slučajna promenljiva. Medijana od X jeste broj M takav da važi

2

1 )MX(P

Takođe važi i sledeća tvrdnja: 2

1 )XM(P

Ukoliko je definisana funkcija gustina

od X u intervalu (a,b), tada medijanu

M dobijamo rešenjem izraza M

a

dx)x(f)MXa(P2

1

PRIMER 1: 5 11 21 24 27 28 30 42 50 52

PRIMER 2: 4 7 8 11 12527

2

2827.M

8M

MODA: Vrednost koja se najviše puta pojavljuje u datom skupu.

PRIMER 1: 4, 7, 7, 7, 8, 8, 9

PRIMER 2: 2, 3, 4, 5 nema MODE

7M

SREDINA RASPONA:

PRIMER 1: 2, 3, 5, 7, 8 Sredina raspona

iznosi: 3

2

28

SR

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za

ocenu mera disperzije - Varijansa

Definiše preciznost rezultata merenja

n

n

1i

2

i2

Varijansa populacije

1n

v

s

n

1i

2

i2

Varijansa uzorka

1n

)xx(

s

n

1i

2

i2

2

n

2

2

2

1

2xx...xxxx

1n

1s

2

n

i

2

2

i

2

1

i2x

n

x...x

n

xx

n

x

1n

1s

2

n

i

n

2

i

2

2

i

2

2

i2

1

i

1

2

i

2

xn

xx2

n

x

...xn

xx2

n

xx

n

xx2

n

x

1n

1s

...

1n

xnxs

22

i2

0102

020

13

100010

1

612

712

612

512

222

1

2

2

3

2

1

..).(.).(

n

)xx(

s

.x

.x

.x

.x

n

i

i

PRIMER: Uzorak tri rezultata merenja

Drugi izraz za računanje varijanse uzorka

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za ocenu mera

disperzije - Standardna greška i standardno odstupanje

Standardna greška u oznaci = pozitivni i negativni koren varijanse

n

n

1i

2

i

Za standardnu grešku važi pravilo da 68.3% merenja leži u intervalu

od - do +

Veća standardna greška = Nepreciznija merenja

Standardno odstupanje (eksperimentalno standardno odstupanje) u oznaci s = pozitivni

kvadratni koren varijanse

1

1

2

n

v

s

n

i

i

U uzorku merenja 68.3% leži u intervalu od dosx sx

n

ssx Standardno odstupanje srednje vrednosti

Standardno odstupanje pojedinog merenja

0603

10.

.

n

ss

x

102

020

1

1

2

..

n

)xx(

s

n

i

i

Numeričke metode opisa podataka – Statistike uzorka za

ocenu mera disperzije - Kovarijansa

Neka je dat uzorak n parova vrednosti (x1,y1),…, (xn,yn) vektora medjusobno zavisnih

slučajnih promenljivih (X,Y)

Kovarijansa uzorka definiše se kao

yyxx1n

1s i

n

1i

ixy

x

ySrednje vrednosti

X Y

1 1.23 2.40

2 2.31 4.53

3 4.12 8.11

4 5.21 10.34

5 6.42 13.01

Kovarijansa sx,y= 9.03

Korelisanost =0.999748

Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena

Ocenjivanje – Izvodjenje zaključaka o

parametrima rasporeda verovatnoća

na osnovu statistika uzorka

Ocenjivač – Statistika uzorka pomoću

koje se ocenjuje parametar populacije

Kriterijumi izbora ocenjivača:

1. Konzistentnost

2. Nepomerenost

3. Minimalna varijansa

4. Efikasnost i Dovoljnost

0101

1

2

2 .n

)xx(

s

n

i

i

Ocena – Rezultat

ocenjivanja

Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena

1)pp̂(Plimn

Uslov konzistentnosti

p)p̂(E Uslov nepomerenosti

Nepomereni

ocenjivači

Pomeren

ocenjivačUslov minimalne verijansemin)p̂(V Najmanja

varijansa

Odnos tačnosti i

preciznosti

p)p̂(Ebias

Minimalna varijansa = efikasan

ocenjivač

Dovoljan ocenjivač (sufficient)

= sve informacije o parametru

koji ocenjuje

Kriterijumi izbora ocenjivača i metode ocena

Ocenjivač koji zadovoljava sva četiri uslova = NAJBOLJI OCENJIVAČ (best estimators).

Metode:

Metoda momenata

Metoda maksimalne verodostojnosti

Metod najmanjih kvadrata

Primer 7 – Deskriptivna

statistika u Excelu• Instalacija Analysis ToolPak-VBA

• Uneti podatke u varijacionom nizu

• Selektovati podatke

• Selektovati Data Analysis

• Choose descriptive Statistics

• U Input range uneti selektovani niz

podataka

• Odabrati Summary Statistics daje

listu nunerickih pokazatelja

• Kvartialne tačke se posebno

računaju po naredbi

Quartile(A2:A10,1) i

Quartile(A1:A10,3)

• Crtanje histograma – prethodno se

kreiraju rasponi i frekvencije

12.5

13.1

14.3

14.4

14.6

15.1

15.2

15.5

15.7

16.1

16.2

17.1

0

2

4

6

13 14 15 16 17 18 More

Frequency

Bin

Histogram

Frequency

Mean 14.98

Standard Error 0.38

Median 15.15

Mode #N/A

Standard Deviation 1.30

Sample Variance 1.70

Kurtosis 0.06

Skewness -0.46

Range 4.60

Minimum 12.50

Maximum 17.10

Sum 179.80

Count 12.00

Largest(1) 17.10

Smallest(1) 12.50

Confidence Level(95.0%) 0.83

Bin Frequency

13 1

14 1

15 3

16 4

17 2

18 1

More 0