Glava 8

Talasi

Prve predstave o talasnom kretanju se obicno vezuju za formiranje talasaizazvano bacanjem kamena u vodu. Tom prilikom se lako uocava da seporemecaj, koji je izazvao kamen, siri cirkularno od mesta na koje je pao.Moglo bi da se zakljuci da se pri ovakvom kretanju pomeraju delovi vodeod mesta pada kamena, medjutim pazljivom analizom pojave se uocava dase to ne desava. Tako ako na primer po vodi pliva lisce drveca, pazljivimposmatranjem moze da se uoci da listovi ostaju na mestu na kome su i bili,i da se samo podizu gore-dole, pri cemu se taj tip kretanja siri simetricno odcentra u kome je nastao. Ovo nas navodi na zakljucak da se, iako se talaskoji je nastao na mestu pada kamena krece od njega radijalno, to ne izazivapomeranje vodenih masa u smeru njegovog prostiranja.

Slika 8.1: Formiranje vise talasa na vodi.

U prirodi mozemo da uocimo jako puno procesa koji se mogu svrstati utalase, ali sve ih mozemo podeliti u dve vrste mehanicke i elektromagnetne.U mehanicke spadaju: akusticki, odnosno zvucni talasi, talasi na vodi, ...

231

232 GLAVA 8. TALASI

U ova dva slucaja se prilikom formiranja talasa desavaju pomeranja delicamaterijalne sredine (medijuma) oko njihovih ravnoteznih polozaja. Kada jerec pak o elektromagnetnim talasima, njima za nastanak i prostiranje nijepotrebna materijalna sredina, odnosno medijum. Primeri elektromagnetnihtalasa su: vidljiva svetlost, radio talasi, x-zraci, ... Bez detaljnog udubljivanjau teoriju elektromagnetnih talasa, recimo samo da se u njihovom slucaju radio oscilovanju elektricnog i magnetnog polja koje se prenosi kroz prostor (pritom su promene ova dva polja u fazi, odnosno ona istovromeno imaju jednakeelongacije), dakle nije mu neophodan medijum-materijalna sredina.

Kada je rec o mehanickim talasima, kao sto je vec napomenuto, rec je oprostiranju necim izazvanog poremecaja, odnosno oscilovanja, kroz materi-jalnu sredinu.1 Drugim recima, da bi postojao mehanicki talas, potrebno jeda postoje

• izvor poremecaja,

• sredina u kojoj moze da se izvede poremecaj,

• odredjena fizicka veza izmedju cestica sredine kojom su povezani njenisusedni delovi i putem koje uticu jedni na druge.

Kao sto ce se pokazati talasi u principu prenose energiju kroz sredinu.2

8.1 Osnovne velicine potrebne za opisivanje

talasnog kretanja

Zamislimo da se nalazimo na splavu koji pluta po velikom jezeru. Mogli bi dauocimo da se stalno podizemo i spustamo, u ritmu kretanja talasa jezerom.Takodje je lako uociti kretanje talasa po povrsini jezera, odnosno njihovopriblizavanuje splavu na kome se nalazimo. Tacka u kojoj je pomeranje vodeu odnosu na njen normalan nivo maksimalno se naziva breg talasa. Jasno je

1Na primer, ”vodeni” talas ne postoji bez vode, talas na zici ne postoji ako nema ziceu kojoj bi se izazvao poremecaj, zvucni talas ne bi mogao da se prostire kroz vakuum,odnosno kroz prostor u kome nema molekula vazduha, ... .

2Kolicina energije koja se prenosi kroz medijum i mehanizam putem koga se prenosienergija se razlikuju od tipa do tipa talasa a zavise i od uslova pri kojima nastaje i prostirese talas. Na primer, snaga (a samim tim i energija) talasa koji nastaju u vreme oluje naokeanu je mnogo veca od snage zvucnog talasa generisanog glasom jednog coveka.

8.1. OSNOVNE VELICINE POTREBNE ZA OPISIVANJE TALASNOG KRETANJA233

da ce, u zavisnosti od uslova nastanka, talasi na vodi imati razlicitu udaljenostsusednih bregova. U skladu sa time je potrebno uvesti fizicku velicinu kojabi opisala ovu cinjenicu. Ona se naziva talasna duzina i, prema izlozenojideji, predstavlja udaljenost dva susedna brega talasa. Obicno se oznacavagrckim slovom λ. Tacnije, kada je rec o mehanickim talasima,3 talasna duzinaje rastojanje izmedju bilo koje dva dela sredine koji su u identicnom stanjuoscilovanja.

Slika 8.2: Talasna duzina.

Ako bi izmerili vreme izmedju nailaska dva susedna brega talasa, dobilibi velicinu koja se naziva period talasa i oznacava sa T . Period (mehanickog)talasa bi, u stvari, bilo vreme koje treba talasu da dva susedna delica sredinedovede u isto stanje oscilovanja.

Ista informacija o talasu se cesto zadaje velicinom, koja je inverzna pe-riodu talasa, koja se naziva frekvencijom i obicno oznacava grckim slovomν. Frekvencija talasa je, prema tome, broj bregova talasa koji prodju krozjednu tacku u prostoru, u jedinici vremena.

Maksimalno pomeranje delica sredine, od njihovog ravnoteznog polozajase naziva amplituda talasa. Za talas na vodi to je ocigledno maksimalnavisina na koju se podizu delici vode, merena od normalnog nivoa vode kadanema talasa.

Talasi se prostiru odredjenom brzinom, koja zavisi od osobina sredine ukojoj je nastao i kroz koju se prostire poremecaj koji nazivamo talasom. Naprimer, zvucni talas koji se prostire kroz vazduh na sobnoj temperaturi, sekrece brzinom oko 343 m/s, dok se kroz cvrsta tela krece vecom brzinom.Ukoliko je za dati talas poznata njegova talasna duzina λ, obzirom da talas

3Ogranicenje u ovoj definiciji je uvedeno zbog elektromagnetnih talasa kojima za pro-stiranje, kao sto je navedeno, nije potrebna materijalna sredina. U slucaju ovih talasa,talasna duzina je minimalno rastojanje izmedju dve identicne tacke na talasu.

234 GLAVA 8. TALASI

predje rastojanje jednako njoj za vreme od jednog perioda T , brzina talasaje

u =λ

T(8.1)

P r i m e r X. Galeb je sleteo na ustalasalo more da se odmori. Talasi gapodizu gore-dole tako da mu treba 5,00 s vrati u prethodni polozaj. Ukolikoje rastojanje susednih bregova jednako 10,0 m, odrediti brzinu talasa.

R es e nj e. Na osnovu relacije (8.1) brzina je

u =λ

T=

10, 0 m

5, 00 s= 2, 00 m/s.

8.2 Transverzalni i longitudinalni talasi

Jedan od nacina za demonstriranje talasnog kretanja je formiranje talasa nakanapu ciji je jedan kraj pricvrscen a drugi drzimo u ruci i pomerimo ganaglo iz ravnoteznog polozaja i vratimo u njega. Na taj nacin je na kanapunastao talasni puls koji se odredjenom brzinom krece duz njega. Takav tipporemeca je progresivni talas (slika 8.3).

Slika 8.3: Nastanak talasnog pulsa na zategnutom kanapu.

Kanap je sredina kroz koju se prostire talasni puls. Za razliku od nizapulseva (na koje obicno mislimo kada zamisljamo talas), nema frekvenciju,period i talasnu duzinu. Medjutim, on ima odredjenu amplitudu i brzinuprostiranja. Velicine koje odredjuju brzinu pulsa (i talasa) kod zategnutogkanapa (i zice) su sila zatezanja i linijska gustina (masa po jedinici duzine).Moze da se takodje primeti da se oblik pulsa prakticno ne menja pri kretanjuduz kanapa.

8.2. TRANSVERZALNI I LONGITUDINALNI TALASI 235

U toku prostiranja pulsa kroz kanap, svaki delic kanapa biva pobudjenna kretanje, ciji je pravac normalan u odnosu na pravac prostiranja pulsa.Slika 8.4 ilustruje ovo tvrdjenje na primeru jedne izabrane tacke na kanapu,oznacene slovom P . Takodje se moze zakljuciti da se ni jedan delic kanapane krece u pravcu prostiranja talasa.

Slika 8.4: Kretanje delica kanapa pri prostiranju pulsa duz njega.

Progresivni talas, kod koga se cestice sredine krecu u pravcu normalnomna pravac prostiranja talasa, naziva se transverzalnim talasom.4

Osim ovakvog tipa talasa postoji i drugi koji nastaje duz zategnute (spi-ralne) opruge (slika 8.5), u slucaju kada se opruga lagano rasteze i opusta duznjene ose simetrije. Ovakvo kretanje formira oblasti u kojima je opruga visesabijena i mesta na kojima je vise istegnuta, pri cemu se ove oblasti, pratecijedna drugu, kredu duz opruge, od mesta na kojem su nastali ka njenomdrugom kraju. Vazno je primetiti da su, u ovom slucaju, pravac pomeranjadelova opruge (u odnosu na njihov ravnotezni polozaj) i pravac pomeranjaoblasti u kojima je opruga sabijena, paralelni.

Progresivni talas, u kojem se cestice sredine krecu5 paralelno kretanju

4Drugi primer bi bio puls koji se formira na stadionu prilikom naizmenicnog usta-janja navijaca. Rezultat je obilazak ovog pulsa oko celog stadiona. Primer nemehanickogtransverzalnog talasa je elektromagnetni talas u kome su vektori elektricnog i magnetnogpolja ortogonalni na pravac prostiranja svetlosti (oni su takodje ortogonalni jedan u odnosuna drugog).

5Misli se naravno na kretanje cestica izazvano poremecajem usled koga je i nastaotalas. Cestice sredine mogu naravno ucestvovati i u drugim tipovima kretanja koji nisuod interesa za ovo razmatranje.

236 GLAVA 8. TALASI

Slika 8.5: Talas nastao kada se vrsi deformacija zategnute opruge duz pravcanjene ose simetrije.

talasa, naziva se longitudinalni6 talas.7

8.3 Superpozicija i interferencija

Talas koji je izazvan prostim harmonijskim oscilovanjem iz jednog izvoraima sinusiodalni oblik. Vecina talasa ipak ne izgleda tako jednostavno jersu nastali tako sto je sredinu zahvatilo vise sinusiodalnih talasa istovremeno.Kada dva ili vise talasa zahvate isti deo sredine onda je njihovo ukupno de-lovanje jednako zbiru delovanja koje bi svaki talas imao kada bi samo on

6Zvucni talas je drugi primer longitudinalnog talasa. Poremecaj u vazduhu izaziva nizoblasti u kojima je naizmenicno, pritisak nizi, odnosno visi u odnosu na ravnoteznu vred-nost pritiska kada nema izvora zvuka. Drugi primer bi bio puls koji nastaje u (idealnom)redu ljudi koji cekaju da kupe kartu kada prvi u tom redu kartu kupi i izadje iz njega asvi ostale se pomere napred za jedno mesto.

7Neki talasi u prirodu su kombinacija transverzalnih i longitudinalnih pomeranja cesticasredine. Povrsinski talas na vodi je dobar primer takvog tipa kretanja. U tom slucaju,kada se po povrsini duboke vode prostire talas, molekuli vode koji se nalaze na povrsinise krecu po pribilizno kruznim putanjama. Kao sto je dobro poznato, takvo kretanje semoze razloziti na transverzalnu i longitudinalnu komponentu. Drugi primer ovako slozenogtalasa je talas koji nastaje pri zemljotresu. Longitudinalna komponenta ovakvog talasaje brza (krece se brzinom od 7-8 km/s) blizu povrsine Zemlje. Ovaj talase se naziva”P” talasom (od reci primarni) jer je brzi od transverzalnog i prvi se moze registrovatiseizmografom. Sporiji, transverzalni talas, se naziva ”S” (sekundarnim) talasom i on sekrece brzinom od 4 do 5 km/s u blizini Zemljine povrsine. Registrovanjem vremenskogintervala izmedju dolaska P i S talasa u seizmograf, moze da se izracuna rastojanje odnjega do mesta nastanka ovih talasa. Na osnovu jednog takvog merenja moze da senacrta zamisljena sfera, sa centrom u seizmografu, ciji je poluprecnik odredjen vremenskimintervalom kasnjenja sekundarnih talasa u odnosu na primarne. Mesto nastanka talasa seu tom slucaju nalazi negde na toj sferi (naravno u delu gde se sfera nalazi pod povrsinomZemlje. Ukoliko se na pogodan nacin postave jos dva seizmografa, i na osnovu njihovogmerenja nacrtaju odgovarajuce sfere, u njihovom preseku se dobija mesto na kome se desiozemljotres.

8.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA 237

dosao u datu tacku. To sabiranje delovanja talasa se naziva superpozi-cija. Naime, svaka deformacija sredine odgovara delovanju neke sile koja gaizaziva, kada postoji vise talasa koji izazivaju deformacije, imamo posla sazapravo vise sila cije delovanje prosto treba sabrati i dobiti ukupnu deforma-ciju koja je rezultat delovanja rezultujuce sile. Ukoliko se deformacije vrseduz jedne linije, rezultujuci talas se dobija prostim sabiranjem poremecajakoji poticu od pojednacnih talasa. Na slici 8.6 su prikazana dva specijalnaslucaja superpozicije koja imaju veoma proste rezultate. Na delu (a) slikeje prikazana situacija kada dva identicna talasa dolaze u istu tacku u fazi-kada je na tom mestu breg jednog talasa isto vazi i za drugi, kada je doljaprvog onda je i dolja drugog. U tom slucaju se desava takozvana konstruk-tivna interferencija. Posto se deformacije u ovom slucaju sabiraju, dobijase rezultujuci talas sa dvostruko vecom amplitudom od individualnih talasa,ali sa jednakom talasnom duzinom. Na delu (b) iste slike dva identicna ta-lasa dolaze na navedeno mesto u kontra fazi-tamo gde je breg jednog tamoje dolja drugog talasa. U ovom slucaju se dogadja destruktivna interfer-encija. Kako su poremecaji u sredini suprotno usmereni a jednaki, ukupnaamplituda je jednaka nuli, odnosno talasi se potpuno ponistavaju.

Slika 8.6: Konstruktivna i destruktivna interferencija dva identicna progre-sivna talasa.

Jasno je da je, da bi doslo do potpune konstruktivne ili destruktivne inter-

238 GLAVA 8. TALASI

Slika 8.7: Superpozicija dva talasa koja nisu identicna. Rezultujuca amplli-tuda je jednaka zbiru amplituda pojedinih talasa.

ferencije, neophodno preklapanje identicnih talasa. Kako to u realnosti nijecest slucaj, superpozicija talasa uglavnom dovodi do niza mesta na kojimasu se desile konstruktivne odnosno destruktivne interferencije pri cemu se tamesta variraju sa vremenom. Na primer zvuk sa stereo zvucnika moze dabude pojacan u jednoj a oslabljen u drugoj tacki. To znaci da su zvucni talasidelimicno interferirali konstruktivno a delimicno destruktivno na razlicitimmestima. Kod stereo zvucnika imamo bar dva izvora zvucnih talasa koji sezatim odbijaju od zidova pa se nakon toga svi sabiraju.

Rezultat superpozicije dva talasa koja nisu slicna po svojim karakteris-tikama je prikazana na slici 8.7. I u ovom slucaju se rezultujuci talas dobijasabiranjem elongacija koje izazivaju pojedinacni talasi. Rezultat sabiranjamoze biti i mnogo komplikovanji kada je rec o vise upadnih talasa.

8.3.1 Stojeci talasi

Ponekad se desava da se talasi ne prostiru vec da se vibracije odvijaju stalnona istom mestu. Takvi talasi se na primer mogu videti na povrsini mleka ucasi kada je stavimo u frizider. Vibracije frizidera koje stvara njegov motorse prenose na casu i na mleko u njoj tako da njegova povrsina osciluje ali se

8.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA 239

te oscilacije ne prenose. Ovo je samo jedan od primera formiranja takozvanihstojecih talasa. Oni se javljaju takodje na zici gitare (8.8) ili pak u cevimaorgulja. Stojeci talas se u principu formira u situacijama kada se desavasuperpozicija dva identicna progresivna talasa koja se krecu u suprotnimsmerovima.

Slika 8.8: Multifles fotografija stojeceg talasa na zici.

Slika 8.9: Oblik stojeceg talasa u raznim momentima vremena.

Izgled stojeceg talasa koji se dobija od dva individualna progresivna talasasuprotnih smerova, u raznim momentima vremena je prikazan na slici 8.9. Ut = 0 (deo (a) na slici), progresivni talasi su u fazi i izazivaju maksimalnopomeranje cestica sredine u stojecem talasu. Nako cetvrtine perioda talasa(deo (b) na slici), svaki od progresivnih talasa se pomera za po cetvrtinutalasne duzine pa su ova dva talasa u suprotnim fazama. Ovo znaci dadelici sredine, u tom momentu vremena, prolaze kroz ravnotezne polozajeu oscilatornom kretanju koje vrse. U trenutku t = T/2 (deo (c) na slici),progresivni talasi su opet u fazi i produkuju elongacije delica sredine koje

240 GLAVA 8. TALASI

su inverzne u odnosu na one u t = 0. Na slici 8.9 su prikazana samo trikarakteristicna slucaja dok se, ostali koji nisu prikazani, nalaze izmedju njih.

Razmotrimo formiranje stojecih talasa na zici zategnutoj na oba kraja.Stojeci talas na zici ce nastati kao neprekidna superpozicija talasa koji nailazena krajeve zice i onih koji se odbijaju od njih. Krajevi zice, obzirom dasu ucvrsceni, imaju nultu elongaciju, i prema tome, po definiciji predstavl-jaju cvorove stojeceg talasa. Na zici moze da se formira niz stojecih talasa,odnosno oscilacija koje se nazivaju normalni modovi a razlikuju se pofrekvencijama koje se mogu relativno lako odrediti.

Slika 8.10: Normalni modovi na zategnutoj zici duzine L.

Oscilovanje zategnute zice je u stvari superpozicija odredjenih normal-nih modova, a koji ce od njih biti zastupljeni, zavisi od nacina na koji jeoscilovanje zapocelo.

Do oblika normalnih modova se dolazi polazeci od cinjenica da na kraje-vima zica moraju da se formiraju cvorovi a da medjusobna udaljenost sused-nih cvorova i trbuha mora da bude jedna cetvrtini talasne duzine. Prvi nor-malni mod prikazan na slici 8.10(b), ima cvorove na krajevima zice a trbuhna sredini. To je mod koji odgovara najvecoj talasnoj duzini λ1, koja je utom slucaju duplo veca od duzine zice, λ1 = 2L. Sledeci mod, talasne duzineλ2 se javlja kada je talasna duzina jednaka duzini zice, λ2 = L (slika 8.10(c)).Treci mod, odgovara slucaju u kome je λ3 = 2L/3. Mozemo da zakljucimoda se, na zategnutoj zici duzine L pricvrscenoj na oba kraja, mogu formirati

8.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA 241

normalni modovi cije su talasne duzine odredjene izrazom

λn =2L

n, n = 1, 2, 3, ..., (8.2)

gde se indeks n odnosi na n-ti mod oscilovanja. Vazno je istaci da su izrazom(8.2) odredjeni moguci modovi oscilovanja zice. Modovi koji ce se realizovatizavise od nacina na koji se zica, okidanjem, pobudjuje na oscilovanje.

Prirodne frekvencije pridruzene odgovarajucim modovima se mogu dobitiiz relacije ν = u/λ, gde je u brzina talasa (ista je za sve frekvencije jer, kaosto je napomenuto, zavisi od sredine kroz koju se talas prostire). Na osnovujednacine (8.2), za njih se dobija

νn =u

λn

= nu

2L, n = 1, 2, 3, .... (8.3)

Najniza frekvencija ν1 se naziva osnovna (ili fundamentalna) frekvencijai data je izrazom

ν1 =u

2L, (8.4)

a frekvencije ostalih normalnih modova su njeni celobrojni umnosci. Ovakvefrekvencije, koje su celobrojni umnosci, formiraju harmonijske serije, anormalni modovi se zovu harmonici. Osnovna frekvencija ν1 se, u tomsmislu, zove frekvencija prvog harmonika, frekvencija ν2 = 2ν1 je frekvencijadrugog harmonika, a frekvencija νn = nν1 je frekvencija n-tog harmonika.8

Kako u realnosti da na zategnutoj zici pobudimo odgovarajuce harmoni-ike? Tako sto zicu pri okidanju deformisemo tako da njen oblik podseca naoblik zeljenog harmonika. Nakon otpustanja, zica osciluje njegovom frekven-cijom. Ukoliko je zica zategnuta tako da njen oblik ne podseca na nekiodredjeni harmonik, rezultujuce oscilovanje ukljucuje vise njih. To se desavakada zatezemo zicu muzickog instrumenta (gitara), prevlacimo gudalom ponjoj (celo) ili je udaramo (klavir).

Frekvencija zicanih instrumenata varira u zavisnosti od iznosa sile za-tezanja i duzine zice (i naravno od njene debljine, odnosno od mase po jediniciduzine). Na primer, zategnutost zica na gitari ili violini menjamo okretan-jem civija za stimovanje. Kada se zategnutost zice poveca rastu i frekvencije

8Oscilovanje zategnute zice, prilikom formiranja stojeceg talasa na njoj, je relativnoprost slucaj u kojem su frekvencije modova celobrojni umnosci osnovne frekvencije,odnosno frekvencije prvog harmonika. Kod drugih sistema takodje postoje modovi os-cilovanja ali ono obicno nisu celobrojni umnosci osnovne frekvencije te tada ne mozemoizdvojiti harmonike.

242 GLAVA 8. TALASI

normalnih modova usled porasta brzine talasa na takvoj zici. Kada se instru-ment (podesavanjem sile zatezanja zice) nastimuje, svirac proizvodi zvukeraznih frekvencija pomerajuci prste duz njegovog vrata (pritiskajuci zicu uzpragove instrumenta) cime skracuje duzinu dela zice koji osciluje. Kada sesmanji duzina zice, prema istoj relaciji, raste frekvencija normalnog moda.

P r i m e r X. Slobodni deo tanje zice E na gitari ima duzinu 64,0 cm,pri cemu je osnovna frekvencija 330 Hz. Ako je skratimo na prvom pragu,okidanjem proizvodi notu F frekvencije 350 Hz. Odrediti za koliko je skracenazica.

R e s e nj e. Jednacina (8.3) povezuje osnovnu frekvenciju sa duzinomzice. Za n = 1 se za brzinu talasa na zici dobija

u =2L

nνn =

2(0, 640 m)

1(330 Hz) = 422 m/s.

Kako se osim duzine zice nece menjati nista, brzina talasa ostaje ista. Naosnovu relacije (8.3), moze da se dobije i nova duzina zice za koju je osnovnafrekvencija 350 Hz,odnosno

L = nu

2νn

= (1)422 m/s)

2(350 Hz)= 0, 603 m.

Razlika duzine neskracene zice i zice skracene na prvom pragu je prema tome3,70 cm.

8.3.2 Izbijanja

Zvuk koji se dobija kada se pritisnu dve susedne dirke na klaviru, odgovarasuperpoziciji dva talasa bliskih ali ne potpuno jednakih frekvenci, ima peri-odicne promene u jacini. Slicno se desava sa zvukom koji proizvode mlaznjacia razlog je u tome sto se frekvencije zvucnih talasa koje stvaraju njihovi mo-tori obicno malo razlikuju po frekvenciji. U oba slucaja je, flukutiranje uintenzitetu zvuka, posledica konstruktivne i destruktivne interferencije sto jeprikazano na slici 8.11.

Talas koji se dobija kada se superponiraju dva talasa slicnih frekvencijaima frekvenciju koja je jednaka njihovoj srednjoj vrednosti. Takava rezul-tujuci talas ima fluktuirajucu amplitudu, takozvana izbijanja ili udare, safrekvencijom koja se naziva frekvencija izbijanja, odnosno udara. Ovo semoze pokazati i matematicki ako se podje od jednacine talasa u jednoj tacki

8.3. SUPERPOZICIJA I INTERFERENCIJA 243

Slika 8.11: Izbijanja.

prostora (duz pravca kojim se prostire)

x = A cos(

2π

Tt)

= A cos(2πνt),

gde je ν = 1/T frekvencija talasa. Rezultat superpozicije dva talasa ce bitiprosto zbir njihovih elongacija

x = x1 + x2,

odnosnox = A cos(2πν1t) + A cos(2πν2t).

Koristeci odgovarajuci trigonometrijski identitet iz matematickog dodatka,rezultat sabiranja se moze prikazati u obliku

x = 2A cos(πνut) cos(2πνsrt), (8.5)

gde je νu = |ν1−ν2|, frekvencija udara, odnosno izbijanja, a νsr srednja vred-nost frekvencija ν1 i ν2. Drugim recima rezultujuci talas oscilacije frekven-cijom koja je jednaka srednjoj vrednosti frekvencija talasa. Kada je rec onjegovoj amplitudi ona raste od nulte vrednosti do maksimalne koja je duploveca od amplitude pojedinacnih talsa a ta njena promena se desava frekven-cijom koja se naziva frekvencija udara-izbijanja νu. Prvi kosinusni faktor u

244 GLAVA 8. TALASI

jednacini (8.5) upravo opisuje cinjenicu da amplituda menja svoje vrednostiperiodicno. Drugi kosinusni faktor u ovoj jednacini ima frekvenciju νsr, ipredstavlja frekvenciju rezultujuceg talasa.

Klavir stimeri koriste efekat pojave izbijanja za stimovanje. Ako prilikomtoga upotrebe na primer zvucnu viljusku frekvencije 256 Hz, i ona u kombi-naciji sa odgovarajucom zicom klavira daje 2 izbijanja po sekundi, tada jefrekvencija zice na klaviru ili 254 ili 258 Hz.

8.4 Energija talasa. Intenzitet

Talasanje koje se javlja u nekoj sredini zapravo znaci da se kroz nju prenosienergija. Energija nekih talasa moze da se direktno registruje. Na primer,zemljotresi mogu da uniste citave gradove. Zvucni talasi velikog intenzitetamogu da uniste nervne celije u unutrasnjem uhu i da izazovu stalan gubitaksluha. Ultrazvucni talasi se koriste za dubinsko zagrevanje istegnutih misica.Laserski snop dovoljnog intenziteta moze da spali celije, vodeni talasi menjajuoblik obale a takodje se sve vise koriste za dobijanje elektricne energije.

Kolicina energije u talasu je u direktnoj vezi sa njegovom amplitudom.Talasi zemljotresa velike amplitude izazivaju velika pomeranja na povrsiniZemlje. Jaki zvucni talasi odgovaraju velikiim varijacijama u pritisku, velikimorski talasi imaju veci efekat na morsku obalu od talasa manje amplitude,itd.

Kako talasi predstavljaju prenos oscilovanja-deformacija kroz sredinu,a potencijalna energija oscilacija prilikom deformisanja sredine za x iznosi1/2kx2, energija koju nosi talas je proporcionalna kvadratu amplitude, obziromda ona predstavlja maksimalnu elongaciju x.

Energetski efekti talasa, osim od njegove amplitude, takodje zavise i odvremena. Na primer, sto duze primenjujemo ultrazvucni uredjaj za dubinskozagrevanje misica, on ce mu preneti vecu kolicinu energije. Duze fokusiranjesunceve svetlosti na jednu tacku na komadu drveta, moze da izazove njegovopaljenje. Zemljotresi sireci se, izazivaju sve manje i manje stete sto smodalje od njihovog epicentra. Primetimo da prostiranje talasa kroz sredinu,odnosno promena (velicine) oblasti kroz koju se krecu ima veoma veliki uticajna njih. Svi pobrojani faktori su zapravo ukljuceni u definniciju intenzitetatalas kao odnos snage talasa i povrsine kroz koju se prostiru

I =P

S, (8.6)

8.5. AKUSTIKA 245

gde je P snaga koju talas ima prillikom prolaska kroz povrsinu S. SI je-dinica za intenzitet je, u skladu sa ovom relacijom, W/m2. Tako na primer,infracrvena i vidljiva svetlost, na gornju povrsinu atmosfere Zemlje, nailazesa intenzitetom od 1300 W/m2.

P r i m e r X. Srednji intenzitet Suncevog zracenja koje dolazi do povrsineZemlje iznosi oko 700 W/m2. (a) Izracunati kolicinu energije koja padne nakolektor sunceve energije cija je povrsina 0,500 m2 za 4,00 h. (b) Koliki jeintenzitet istog zracenja ukoliko se ono sabirnim socivom fokusira na 200puta manju povrsinu?

R e s e nj e. (a) Prema relaciji (8.6), posto je snaga energija po jedinicivremena P = E/t, vazi

I =P

S=

E/t

S=

E

St,

pa je

E = ISt = (700 W/m2)(0, 500 m2)[(4, 00)(3600 s)] = 5, 04× 106 J.

(b) Odnos intenziteta (koristicemo oznaku prim za nove velicine) je

I ′

I=

P ′/S ′

P/S=

S

S ′,

jer je u oba slucaja snaga talasa ista. Kako je S = 200S ′ za trazeni intenzitetse dobija

I ′ = 200I = 200(700 W/m2) = 1, 40× 105 W/m2.

8.5 Akustika

Jedno staro filozofsko pitanje glasi: Ako drvo padne u sumi a nema nikogada cuje buku koja prati njegov pad da li je zvuk zaista postojao? Odgovor naovo pitanje zavisi od toga kako definisemo zvuk. Ako ga defnisemo samo kaoljudsku percepciju onda ga nije ni bilo, ali ako zvuk definisemo kao poremecaju materijalnoj sredini koji ce izazvati promenu medjusobnog polozaja atomau njoj, a to se siri iz mesta gde je poremecaj nastao, tada je zvuk pos-tojao. Mehanicki talas opisanog oblika se naziva zvuk. Ljudska percep-cija mehanickih talasa nije identicna upravo uvedenom pojmu cemu ce bitiposvecen deo narednog teksta.

246 GLAVA 8. TALASI

8.5.1 Zvuk

Zvuk je vec bio pominjan vise puta kao primer mehanickog talasa. Kako jeculo sluha jedno od nasih najvaznijih cula, interesantno je videti kako onoustvari funkcionise. Zvuk ...

8.5.2 Brzina zvuka, frekvencija i talasna duzina

8.5.3 Intenzitet zvuka i nivo (jacine ?) zvuka

8.5.4 Doplrov efekat i zvucni zid

8.5.5 Intereferncija i rezonanca. Stojeci talasi u vazdusnimstubovima

8.5.6 Cu(j)enje zvuka

8.6 Infrazvuk i ultrazvuk