30
Mehanički talasi Tipovi mehaničkih talasa • Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase. • Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine • putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili kombinujući oba ova načina Transverzalni talasi: Talasi u užetu. longitudinalni talasi: Zvučni talasi. Talasi u vodi etc.

Mehanički talasi

  • Upload
    sun

  • View
    360

  • Download
    5

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Mehanički talasi. Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase. Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine. Tipovi mehaničkih talasa. putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili - PowerPoint PPT Presentation

Citation preview

Page 1: Mehanički talasi

Mehanički talasiTipovi mehaničkih talasa

• Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase.

• Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine

• putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili kombinujući oba ova načina

Transverzalni talasi:Talasi u užetu.

longitudinalni talasi:Zvučni talasi.

Talasi u vodi etc.

Page 2: Mehanički talasi

Tipovi mehaničkih talasa

Longitudinalni i transverzalni talasi

Zvučni talas = longitudinalni talas

C = zgušnjavanjeR = razrjeđivanje

Zrak stisnutZrak razrijeđen

Page 3: Mehanički talasi

Tipovi mehaničkih talasa

Longitudinalno-transverzalni talasi

Page 4: Mehanički talasi

Tipovi mehaničkih talasa

Periodični (harmonijski) talasi• Kada se čestice sredine u talasu periodično kreću tokom širenja talasa, takav talas se zove periodični (harmonijski).

x=0 x

t=0

A

t=T/4

t=T

period

amplitudaTalasna dužina

Page 5: Mehanički talasi

Matematički opis talasa

Funkcija talasa

• Talasna funkcija opisuje pomijeranje čestica u talasu u zavisnosti od vremena i njihovog položaja:y(x,t), y je pomijeranje na mjestu x u trenutku t

• Kosinusni talas je opisan funkcijom:

)//(2cos

)/(2cos

)]/(cos[

)]/(cos[),(

TtxA

tvxfA

tvxA

vxtAtxy

Kosinusni talas koji se kreće

u +x pravcuUgaona frekvencija

f 2Brzina talasa, NE česticesredine

Talasna dužinaperiod

vf Tf /1

)]/(cos[),( xvtAtxy Kosinusni talas koji se Kreće u -x pravcu v->-v

Fazna brzina

Page 6: Mehanički talasi

Matematički opis talasa

Talasna funkcija

x=0 x

t=0

t=T/4

t=T period

Talasna dužina

)//(2cos),( TtxAtxy ),(

),(

Ttxy

txy

Page 7: Mehanički talasi

Matematički opis talasa

talasni broj i fazna brzina

)cos(),( tkxAtxy

vkdtdx //

Talasni broj: /2k

Brzina talasa je brzina kojom se kreće tačka s datom fazomTako je za fiksiranu fazu,

faza

.consttkx

Brzina faze – fazna brzina

)](cos[)cos(),( vtxkAtkxAtxy

Page 8: Mehanički talasi

Matematički opis talasa

Brzina čestice i ubrzanje u harmonijskom talasu

)cos(),( tkxAtxy

),(

)cos(/),(),(

)sin(/),(),(

2

222

txy

tkxAttxytxa

tkxAttxytxv

y

y

brzina

ubrzanje

Takođe je ),()cos(/),( 2222 txyktkxAkxtxy

222

222222

/),(

/),()/(/),(

tvtxy

ttxykxtxy

Jednačina talasa

Page 9: Mehanički talasi

Matematički opis talasa

Opšte rješenje talasne jednačine

rješenja: )(),( vtxftxy Kao što je )cos( tkx

Najopštiji oblik rješenja:

)()(),( vtxgvtxftxy

Talasna jednačina22

2

2

2

2

2

2

2 ),(),(),(

tv

txy

t

txyk

x

txy

Page 10: Mehanički talasi

Brzina transverzalnog talasa brzina talasa na užetu

x

2FyF2

FF x 2yF1

FF x 1

1F

•Posmatrajmo mali segment užeta čija je dužina u ravnotežnom položaju .x•Masa tog segmenta je .xm

• x komponenta sile zatezanja na oba kraja ima istu veličinu i suprotnog je smjera pošto je Ovo transverzalni talas.

x• xxyxy xyFFxyFF )/(/,)/(/ 21

• Ukupna komponenta sile:

)/(

])/()/[(22

21

tyx

xyxyFFFF xxxyyy

2. Njutnov zakon

masaubrzanje

xx

Page 11: Mehanički talasi

Brzina transverzalnog talasa brzina talasa na užetu

x

2FyF2

F

yF1

F

1F

x

• Ukupna komponenta sile je:

)/(

])/()/[(22

21

tyx

xyxyFFFF xxxyyy

)/)(/(

/])/()/[(22 tyF

xxyxy xxx

0x

)/)(/(/ 2222 tyFxy Talasna j.

)/()(

/

inertiaforcerestoring

Fv

Page 12: Mehanički talasi

Energija talasa Ukupna energija malog segmenta užeta mase

x

2FyF2

F

yF1

F

1F

x

dxdm • U tački a, sila

a

yF1 vrši rad na segmentužeta desno od tačke a.

• snaga je brzina vršenja rada :

)/),()(/),((

)/),()(,(),(

1

10

ttxyxtxyF

ttxytxFtxP yt

)sin()/(

)sin()/(

)cos(),(

tkxAty

tkxkAxy

tkxAtxy

)(sin

)(sin

)(sin/),(

2221

222

221

tkxAF

tkxAv

tkxAkFdtdEtxP

/, 1

2 Fvvk

Page 13: Mehanički talasi

Energija talasa Kinetička energija malog segmenta užeta mase

)cos(),( tkxAtxy dxdm

Talasna funkcija:

Kinetička energija:2)/()2/1( tydmdK

)sin( tkxA dx)sin()2/1( tkxAdxdK

)(sin)2/1(

)(sin)/()2/1(/222

222

tkxAv

tkxAdtdxdtdK

Kinetička energija malog segmenta užeta mase dm

dtdUdtdKdtdE /// )(sin)2/1(/ 222 tkxAvdtdU

dxdm

Page 14: Mehanički talasi

Energija talasa

Srednja snaga harmonijskog talasa na užetu

2

1sin

2

1 2

0

2

d

• srednja vrijednost od )(sin2 tkx U toku perioda je:

• Pa je srednja vrijednost snage : 221)2/1( AFPave

Maksimalna snaga harmonijskog talasa na užetu:

221max AFP

Page 15: Mehanički talasi

Intenzitet talasa

Intenzitet talasa za trodimenzionalni talas koji nastaje iz tačkastog izvora je:

22

W/mofunitin4 r

PI

1r

2r

22

212

1 44 IrIr

21

22

2

1

r

r

I

I

Page 16: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Principi superpozicije

• Kad se dva talasa preklope, stvarno pomijeranje bilo koje tačke u bilo kojem vremenu se dobije dodavanjem pomijeranja koje bi tačka imala pod utjecajem samo prvog talasa i pomjeranja koje bi ona imala pod utjecajem samo drugog talasa:

),(),(),( 21 txytxytxy

Page 17: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Interferencija

• Konstruktivna interferencija (positivno-positivno ili negativno-negativno)

• Destructivna interferencija (positivno-negativno)

Page 18: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Refleksija

• slobodni kraj )cos()cos(),( txkBtxkAtxy

Bx

Za x<xB

At x=xB ABxtxyBxx 0)/),((

Upadni talas Reflektovani talas

Vertikalna komponenta sileNa rubu je nula

Page 19: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Refleksija

• Fiksirani kraj )cos()cos(),( txkBtxkAtxy For x<xB

ABtxyBxx 0),(At x=xB

Pomijeranje na granici je nula

Page 20: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Refleksija

• Na visikoj/niskoj frekvenciji

Page 21: Mehanički talasi

Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija

Refleksija

• Na niskoj/visokoj frekvenciji

Page 22: Mehanički talasi

Stojeći talasi na užetu

Superpozicija dva talasa koja se kreću u istom smjeru

Superpozicija dva talasa koja se kreću u suprotnom smjeru

Page 23: Mehanički talasi

Stojeći talasi na užetu

Superpozicija dva talasa koji se kreću u suprotnom smjeru stvara stojeći talas ako dva talasa imaju istu brzinu i talasnu dužinu.

N=čvor, AN=antičvor

))(sin(sin2

)cos()cos(

),(),(),( 21

txkA

tkxAtkxA

txytxytxy

incident reflected

,..)2,1,0(

2//or

when0sin

n

nknx

nkxkx

Page 24: Mehanički talasi

Normalni modovi na žici

Ima beskonačno mnogo modova na žici

Fiksirani kraj Fiksirani krajL

,...)3,2,1(2

nnL

F

Lf

L

vnf

nL

n

n

2

1

2

/2

1

2/1

2

2/3 3

42

firstovertone

secondovertone

thirdovertone

Page 25: Mehanički talasi

PRIMJERI

Zadatak 1: Transverzalni talas na užetu je opisan sa:

])250()400.0[(cos)750.0(),( 11 tsxcmcmtxy (a) Naći amplitudu, period, frekvenciju, talasnu dužinu, i brzinu prostiranja. (b) Skiciraj oblik užeta za slijedeće vrijednosti od t: 0.0005 s, i 0.0010 s. (c) Da li talas putuje u +x or –x smjeru ? (d) Podužna masa (masa jedinice dužine) užeta je 0.0500 kg/m. Naći silu zatezanja. (e) Naći srednju snagu ovog talasa.

Rješenje: Upoređivanjem sa općom jednačinom funkcije talasa ),

A=0.75 cm, =2/0.400 = 5.00 cm, f=125 Hz, T=1/f=0.00800 s i v=f=6.25 m/s.(b) Za domaću zadaću(c) Talas se prostire u –x pravcu.(d) Iz izraza sila zatezanja je:(e)

)//(2cos),( TtxAtxy

)/( Fv .6.19)/25.6)(/050.0( 22 NsmmkgvF

.2.54)2/1( 22 WAFPav

Page 26: Mehanički talasi

Rješenje:

Zadatak 2: Kada se transverzalni sinusiodalni talas prostire kroz žicu čestice žice prave proste harmonijske oscilacije - SHM. Ovo je ista vrsta kretanja kao što je ono koje vrši masa m prikačena na idealnu oprugu konstante k čija je frekvencija oscilovanja . Posmatrajmo uže zategnuto silom F koje ima podužnu masu , duž kojeg se prostire sinusoidalni talas amplitude A i talasne dužine (a) Naći konstantu elastičnosti k’ restitucione sile na malom segmentu žice x (wherex(b) Kako konstanta k’ (a) zavisi od F, iObjasni fizikalni razlog za ovakvu zavisnost.

mk /'

(a) ytyatkxAtxy y222 /),cos(),(

.' 22 xmk

Page 27: Mehanički talasi

rješenje

(b) )./()4()/2()2( 22222 Fvf Pa je .)/4(' 22 xFk

Efektivna konstanta k’ ne zavisi od amplitude, pošto se radi o prostom harmonijskom oscilatoru , i proporcionalna je naponu koji stvara restituciona sila. Faktor 1/ znači da zakrivljenost žice stvara restitucionu silu na segmentu žice:Jedan faktor u iznosu od 1/ nastaje zbog zakrivljenosti, a faktor 1/( predstavlja masu u jednoj talasnoj dužini koja određuje frekvenciju ukupnog oscilovanja žice. Masa m=x takođe sadrži faktor , pa je zato efektivna konstanta opruge po jedinici dužine nezavisna od

Page 28: Mehanički talasi

Zadatak 3:

Rješenje:

(a)Objasni zašto se talas opisan funkcijom oblika y(x,t)=f(t-x/v) kreće u +x smjeru brzinom v.(b) Pokaži da y(x,t)=f(t-x/v) zadovoljava talasnu jednačinu, bez obzira kakav je oblik funkcije f. Da bi to uradili napišite y(x,t)=f(u), gdje je u=t-x/v. Zatim, da bi napravili parcijalni izvod od y(x,t), koristi pravilo:

,)()(),(

du

udf

t

u

du

udf

t

txy

).

1(

)()(),(

vdu

udf

x

u

du

udf

x

txy

(c) Impulsni talas je opisan funkcijom gdje su B, C, i D su pozitivne konstante. Naći brzinu ovog talasa?

22 ))/(()( xCBtCDeuf

Page 29: Mehanički talasi

Rješenje

(a)Tokom vremena, neko ko se kreće sa talasom bi trebao da se kreće tako da izgleda kao da talasi imaju isti oblik. Ako se ovo kretanje može opisati sa x=vt+c, gdje je c konstanta, tada je y(x,t)=f(c/v), and the waveform is the same to such an observer. (b) Izvod se kompletira sa

tako da je y(x,t)=f(t-x/v) rješenje talasne jednačine sa brzinom talasa v.

(c) Ona je oblika y(x,t)=f(u) with u=t-x/v i rezultat pod b) se može iskoristiti da se odredi brzina v=C/B.

),/)(/1(/ 22222 dufdvxy )./(/ 2222 dufdty

22 ))/(()( xCBtCDeuf

Page 30: Mehanički talasi

Zadatak 4

Rješenje

Metalna žica, gustine i Youngovog modula Y, je zategnuta između čvrstih držača. Na temperaturi T, brzina transverzalnog talasa je v1. When the temperature is increased to T+T, brzina opadne na v2 < v1. Odrediti koeficijent linearnog širenja žice.Uzeti u obzir da se žica izdužuje porastom temperature po zakonu:

./)(/,/ 12221

21 TYAFFvFv

].)//[()(])/(/[)( 22

21

22

21 TyvvTAYvv

.0 TLL

TAYL

LAYFT

L

L

LL

AFY

000

,/

/

strain

stress