Upload
sun
View
360
Download
5
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Mehanički talasi. Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase. Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine. Tipovi mehaničkih talasa. putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili - PowerPoint PPT Presentation
Citation preview
Mehanički talasiTipovi mehaničkih talasa
• Mehanički talasi su poremećaji koji putuju kroz materijale ili supstance koje zovemo sredina ili medijum za talase.
• Oni putuju kroz sredinu pomijerajući čestice te sredine
• putuju okomito na ili u pravcu kretanja čestica ili kombinujući oba ova načina
Transverzalni talasi:Talasi u užetu.
longitudinalni talasi:Zvučni talasi.
Talasi u vodi etc.
Tipovi mehaničkih talasa
Longitudinalni i transverzalni talasi
Zvučni talas = longitudinalni talas
C = zgušnjavanjeR = razrjeđivanje
Zrak stisnutZrak razrijeđen
Tipovi mehaničkih talasa
Longitudinalno-transverzalni talasi
Tipovi mehaničkih talasa
Periodični (harmonijski) talasi• Kada se čestice sredine u talasu periodično kreću tokom širenja talasa, takav talas se zove periodični (harmonijski).
x=0 x
t=0
A
t=T/4
t=T
period
amplitudaTalasna dužina
Matematički opis talasa
Funkcija talasa
• Talasna funkcija opisuje pomijeranje čestica u talasu u zavisnosti od vremena i njihovog položaja:y(x,t), y je pomijeranje na mjestu x u trenutku t
• Kosinusni talas je opisan funkcijom:
)//(2cos
)/(2cos
)]/(cos[
)]/(cos[),(
TtxA
tvxfA
tvxA
vxtAtxy
Kosinusni talas koji se kreće
u +x pravcuUgaona frekvencija
f 2Brzina talasa, NE česticesredine
Talasna dužinaperiod
vf Tf /1
)]/(cos[),( xvtAtxy Kosinusni talas koji se Kreće u -x pravcu v->-v
Fazna brzina
Matematički opis talasa
Talasna funkcija
x=0 x
t=0
t=T/4
t=T period
Talasna dužina
)//(2cos),( TtxAtxy ),(
),(
Ttxy
txy
Matematički opis talasa
talasni broj i fazna brzina
)cos(),( tkxAtxy
vkdtdx //
Talasni broj: /2k
Brzina talasa je brzina kojom se kreće tačka s datom fazomTako je za fiksiranu fazu,
faza
.consttkx
Brzina faze – fazna brzina
)](cos[)cos(),( vtxkAtkxAtxy
Matematički opis talasa
Brzina čestice i ubrzanje u harmonijskom talasu
)cos(),( tkxAtxy
),(
)cos(/),(),(
)sin(/),(),(
2
222
txy
tkxAttxytxa
tkxAttxytxv
y
y
brzina
ubrzanje
Takođe je ),()cos(/),( 2222 txyktkxAkxtxy
222
222222
/),(
/),()/(/),(
tvtxy
ttxykxtxy
Jednačina talasa
Matematički opis talasa
Opšte rješenje talasne jednačine
rješenja: )(),( vtxftxy Kao što je )cos( tkx
Najopštiji oblik rješenja:
)()(),( vtxgvtxftxy
Talasna jednačina22
2
2
2
2
2
2
2 ),(),(),(
tv
txy
t
txyk
x
txy
Brzina transverzalnog talasa brzina talasa na užetu
x
2FyF2
FF x 2yF1
FF x 1
1F
•Posmatrajmo mali segment užeta čija je dužina u ravnotežnom položaju .x•Masa tog segmenta je .xm
• x komponenta sile zatezanja na oba kraja ima istu veličinu i suprotnog je smjera pošto je Ovo transverzalni talas.
x• xxyxy xyFFxyFF )/(/,)/(/ 21
• Ukupna komponenta sile:
)/(
])/()/[(22
21
tyx
xyxyFFFF xxxyyy
2. Njutnov zakon
masaubrzanje
xx
Brzina transverzalnog talasa brzina talasa na užetu
x
2FyF2
F
yF1
F
1F
x
• Ukupna komponenta sile je:
)/(
])/()/[(22
21
tyx
xyxyFFFF xxxyyy
)/)(/(
/])/()/[(22 tyF
xxyxy xxx
0x
)/)(/(/ 2222 tyFxy Talasna j.
)/()(
/
inertiaforcerestoring
Fv
Energija talasa Ukupna energija malog segmenta užeta mase
x
2FyF2
F
yF1
F
1F
x
dxdm • U tački a, sila
a
yF1 vrši rad na segmentužeta desno od tačke a.
• snaga je brzina vršenja rada :
)/),()(/),((
)/),()(,(),(
1
10
ttxyxtxyF
ttxytxFtxP yt
)sin()/(
)sin()/(
)cos(),(
tkxAty
tkxkAxy
tkxAtxy
)(sin
)(sin
)(sin/),(
2221
222
221
tkxAF
tkxAv
tkxAkFdtdEtxP
/, 1
2 Fvvk
Energija talasa Kinetička energija malog segmenta užeta mase
)cos(),( tkxAtxy dxdm
Talasna funkcija:
Kinetička energija:2)/()2/1( tydmdK
)sin( tkxA dx)sin()2/1( tkxAdxdK
)(sin)2/1(
)(sin)/()2/1(/222
222
tkxAv
tkxAdtdxdtdK
Kinetička energija malog segmenta užeta mase dm
dtdUdtdKdtdE /// )(sin)2/1(/ 222 tkxAvdtdU
dxdm
Energija talasa
Srednja snaga harmonijskog talasa na užetu
2
1sin
2
1 2
0
2
d
• srednja vrijednost od )(sin2 tkx U toku perioda je:
• Pa je srednja vrijednost snage : 221)2/1( AFPave
Maksimalna snaga harmonijskog talasa na užetu:
221max AFP
Intenzitet talasa
Intenzitet talasa za trodimenzionalni talas koji nastaje iz tačkastog izvora je:
22
W/mofunitin4 r
PI
1r
2r
22
212
1 44 IrIr
21
22
2
1
r
r
I
I
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Principi superpozicije
• Kad se dva talasa preklope, stvarno pomijeranje bilo koje tačke u bilo kojem vremenu se dobije dodavanjem pomijeranja koje bi tačka imala pod utjecajem samo prvog talasa i pomjeranja koje bi ona imala pod utjecajem samo drugog talasa:
),(),(),( 21 txytxytxy
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Interferencija
• Konstruktivna interferencija (positivno-positivno ili negativno-negativno)
• Destructivna interferencija (positivno-negativno)
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Refleksija
• slobodni kraj )cos()cos(),( txkBtxkAtxy
Bx
Za x<xB
At x=xB ABxtxyBxx 0)/),((
Upadni talas Reflektovani talas
Vertikalna komponenta sileNa rubu je nula
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Refleksija
• Fiksirani kraj )cos()cos(),( txkBtxkAtxy For x<xB
ABtxyBxx 0),(At x=xB
Pomijeranje na granici je nula
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Refleksija
• Na visikoj/niskoj frekvenciji
Interferencija talasa, rubni uslovi i superpozicija
Refleksija
• Na niskoj/visokoj frekvenciji
Stojeći talasi na užetu
Superpozicija dva talasa koja se kreću u istom smjeru
Superpozicija dva talasa koja se kreću u suprotnom smjeru
Stojeći talasi na užetu
Superpozicija dva talasa koji se kreću u suprotnom smjeru stvara stojeći talas ako dva talasa imaju istu brzinu i talasnu dužinu.
N=čvor, AN=antičvor
))(sin(sin2
)cos()cos(
),(),(),( 21
txkA
tkxAtkxA
txytxytxy
incident reflected
,..)2,1,0(
2//or
when0sin
n
nknx
nkxkx
Normalni modovi na žici
Ima beskonačno mnogo modova na žici
Fiksirani kraj Fiksirani krajL
,...)3,2,1(2
nnL
F
Lf
L
vnf
nL
n
n
2
1
2
/2
1
2/1
2
2/3 3
42
firstovertone
secondovertone
thirdovertone
PRIMJERI
Zadatak 1: Transverzalni talas na užetu je opisan sa:
])250()400.0[(cos)750.0(),( 11 tsxcmcmtxy (a) Naći amplitudu, period, frekvenciju, talasnu dužinu, i brzinu prostiranja. (b) Skiciraj oblik užeta za slijedeće vrijednosti od t: 0.0005 s, i 0.0010 s. (c) Da li talas putuje u +x or –x smjeru ? (d) Podužna masa (masa jedinice dužine) užeta je 0.0500 kg/m. Naći silu zatezanja. (e) Naći srednju snagu ovog talasa.
Rješenje: Upoređivanjem sa općom jednačinom funkcije talasa ),
A=0.75 cm, =2/0.400 = 5.00 cm, f=125 Hz, T=1/f=0.00800 s i v=f=6.25 m/s.(b) Za domaću zadaću(c) Talas se prostire u –x pravcu.(d) Iz izraza sila zatezanja je:(e)
)//(2cos),( TtxAtxy
)/( Fv .6.19)/25.6)(/050.0( 22 NsmmkgvF
.2.54)2/1( 22 WAFPav
Rješenje:
Zadatak 2: Kada se transverzalni sinusiodalni talas prostire kroz žicu čestice žice prave proste harmonijske oscilacije - SHM. Ovo je ista vrsta kretanja kao što je ono koje vrši masa m prikačena na idealnu oprugu konstante k čija je frekvencija oscilovanja . Posmatrajmo uže zategnuto silom F koje ima podužnu masu , duž kojeg se prostire sinusoidalni talas amplitude A i talasne dužine (a) Naći konstantu elastičnosti k’ restitucione sile na malom segmentu žice x (wherex(b) Kako konstanta k’ (a) zavisi od F, iObjasni fizikalni razlog za ovakvu zavisnost.
mk /'
(a) ytyatkxAtxy y222 /),cos(),(
.' 22 xmk
rješenje
(b) )./()4()/2()2( 22222 Fvf Pa je .)/4(' 22 xFk
Efektivna konstanta k’ ne zavisi od amplitude, pošto se radi o prostom harmonijskom oscilatoru , i proporcionalna je naponu koji stvara restituciona sila. Faktor 1/ znači da zakrivljenost žice stvara restitucionu silu na segmentu žice:Jedan faktor u iznosu od 1/ nastaje zbog zakrivljenosti, a faktor 1/( predstavlja masu u jednoj talasnoj dužini koja određuje frekvenciju ukupnog oscilovanja žice. Masa m=x takođe sadrži faktor , pa je zato efektivna konstanta opruge po jedinici dužine nezavisna od
Zadatak 3:
Rješenje:
(a)Objasni zašto se talas opisan funkcijom oblika y(x,t)=f(t-x/v) kreće u +x smjeru brzinom v.(b) Pokaži da y(x,t)=f(t-x/v) zadovoljava talasnu jednačinu, bez obzira kakav je oblik funkcije f. Da bi to uradili napišite y(x,t)=f(u), gdje je u=t-x/v. Zatim, da bi napravili parcijalni izvod od y(x,t), koristi pravilo:
,)()(),(
du
udf
t
u
du
udf
t
txy
).
1(
)()(),(
vdu
udf
x
u
du
udf
x
txy
(c) Impulsni talas je opisan funkcijom gdje su B, C, i D su pozitivne konstante. Naći brzinu ovog talasa?
22 ))/(()( xCBtCDeuf
Rješenje
(a)Tokom vremena, neko ko se kreće sa talasom bi trebao da se kreće tako da izgleda kao da talasi imaju isti oblik. Ako se ovo kretanje može opisati sa x=vt+c, gdje je c konstanta, tada je y(x,t)=f(c/v), and the waveform is the same to such an observer. (b) Izvod se kompletira sa
tako da je y(x,t)=f(t-x/v) rješenje talasne jednačine sa brzinom talasa v.
(c) Ona je oblika y(x,t)=f(u) with u=t-x/v i rezultat pod b) se može iskoristiti da se odredi brzina v=C/B.
),/)(/1(/ 22222 dufdvxy )./(/ 2222 dufdty
22 ))/(()( xCBtCDeuf
Zadatak 4
Rješenje
Metalna žica, gustine i Youngovog modula Y, je zategnuta između čvrstih držača. Na temperaturi T, brzina transverzalnog talasa je v1. When the temperature is increased to T+T, brzina opadne na v2 < v1. Odrediti koeficijent linearnog širenja žice.Uzeti u obzir da se žica izdužuje porastom temperature po zakonu:
./)(/,/ 12221
21 TYAFFvFv
].)//[()(])/(/[)( 22
21
22
21 TyvvTAYvv
.0 TLL
TAYL
LAYFT
L
L
LL
AFY
000
,/
/
strain
stress