Tailieu.vncty.com day hoc-gioi_han_o_lop_11_thpt_theo_huong_phat_huy_tinh_tich_cuc_hoat_dong_hoc_tap_cua_hoc_sinh

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM --------------- ---------------

VŨ THỊ HẠNH

DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH

CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA

HỌC SINH (THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN)

LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ KKHHOOAA HHỌỌCC GGIIÁÁOO DDỤỤCC

Thái Nguyên - 2008


2

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM --------------- ---------------

VŨ THỊ HẠNH

DẠY HỌC GIỚI HẠN Ở LỚP 11 THPT THEO HƯỚNG PHÁT HUY TÍNH TÍCH

CỰC HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP CỦA HỌC SINH

(THEO NỘI DUNG SGK ĐẠI SỐ LỚP 11 BAN CƠ BẢN)

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢNG DẠY TOÁN

MÃ SỐ: 60.14.10

LLUUẬẬNN VVĂĂNN TTHHẠẠCC SSĨĨ KKHHOOAA HHỌỌCC GGIIÁÁOO DDỤỤCC

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN NGỌC UY

THÁI NGUYÊN - 2008


3

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo- TS. Nguyễn Ngọc Uy,

người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt quá trình thực hiện luận văn.

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổ Phương pháp

giảng dạy Toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, các thầy giáo, cô giáo

trong khoa Toán- Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo

điều kiện thuận lợi và giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Em xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng đào tạo và nghiên cứu

khoa học trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều

kiện thuận lợi để em hoàn thành luận văn .

Xin cảm ơn Ban giám hiệu và các bạn đồng nghiệp trường THPT Trại

Cau đã động viên, giúp đỡ tôi hoàn thành nhiệm vụ nghiên cứu của mình.

Thái nguyên, tháng 9 năm 2008

Vũ Thị Hạnh


4

MỤC LỤC

Mở đầu ..................................................................................................... 1

I. Lý do chọn đề tài .................................................................................... 1

II. Mục đích nghiên cứu ............................................................................. 2

III. Nhiệm vụ nghiên cứu ............................................................................ 3

IV. Giả thiết khoa học ................................................................................ 3

V. Phương pháp nghiên cứu ........................................................................ 3

VI. Cấu trúc luận văn ................................................................................. 3

Chƣơng 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn ...................................................... 4

1.1. Tính tích cực của học sinh khi học môn toán .................................... 4

1.1.1. Quan niệm về tính tích cực ............................................................... 4

1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực .......................................... 6

1.1.3. Những biểu hiện của tính tích cực ...................................................... 7

1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng đến tính tích cực ......................................... 8

1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh ............. 10

1.2. Thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT ....................................... 11

1.2.1 Thuận lợi ........................................................................................ 11

1.2.2 Khó khăn ........................................................................................ 11

1.2.3 Những sai lầm thường mắc phải của học sinh ................................... 12

Chƣơng 2. Dạy học giới hạn lớp 11 theo hƣớng tích cực hoá hoạt động

học tập của học sinh ................................................................................ 17

2.1 Mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT ........................................... 17

2.2. Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn ......................... 17

2.2.1. Dạy học khái niệm.......................................................................... 17

2.2.2. Dạy học định lý .............................................................................. 21

2.2.3. Dạy học quy tắc.............................................................................. 26


5

2.2.4. Dạy học bài tập .............................................................................. 29

2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh 47

2.3.1 Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập ..................... 48

2.3.2. Truyền thụ tri thức phương pháp qua ............................................. 51

2.3.3.Kết hợp nhiều phương pháp trong giờ dạy ......................................... 53

2.3.4. Khai thác và sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu quả ........................ 63

2.3.5. Kiểm tra đánh giá ............................................................................ 68

Chƣơng 3: Thực nghiệm sƣ phạm ........................................................ 71

3.1. Mục đích thực nghiệm ........................................................................ 71

3.2. Nội dung thực nghiệm ........................................................................ 71

Một số giáo án dạy thực nghiệm giới hạn ............................................ 71

3.3. Tổ chức thực nghiệm .........................................................................106

3.4. Đánh giá kết quả thực nghiệm............................................................107

3.5. Kết luận chung về thực nghiệm ..........................................................108

Kết luận .................................................................................................110


6

NHỮNG CỤM TỪ VIẾT TẮT TRONG LUẬN VĂN

STT Viết tắt Viết đầy đủ

1 BT Bài tập

2 BTVN Bài tập về nhà

3 DH Dạy học

4 GV Giáo viên

5 HS Học sinh

6 KL Kết luận

7 NXB Nhà xuất bản

8 PPDH Phương pháp dạy học

9 TH Trường hợp

10 THPT Trung học phổ thông

11 SGK Sách giáo khoa

12 SGV Sách giáo viên

13 VD Ví dụ


1

MỞ ĐẦU

I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Trong giai đoạn đổi mới hiện nay trước yêu cầu của sự nghiệp CNH-

HĐH đất nước, để tránh nguy cơ bị tụt hậu về kinh tế và khoa học công nghệ

thì việc cấp bách là phải nâng cao chất lượng giáo dục và đào tạo. Cùng với

thay đổi về nội dung cần có thay đổi căn bản về phương pháp dạy học.

Hội nghị TW khoá IV đặc biệt nhấn mạnh “Một trong những nhiệm vụ

cần tập trung giải quyết từ nay đến năm 2010 là nâng cao chất lượng và hiệu

quả của giáo dục. Muốn vậy phải thực hiện đổi mới giáo dục toàn diện, đổi

mới mạnh mẽ về nội dung, chương trình và phương pháp giáo dục theo hướng

chuẩn hoá, hiện đại hoá”.

Luật giáo dục năm 2005 chương II mục 2 điều 25 có ghi: “Phương

pháp giáo dục phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động tư duy

sáng tạo của HS; phù hợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng

phương pháp tự học; khả năng làm việc theo nhóm, rèn luyện kỹ năng vận

dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm đem lai niềm vui hứng

thú học tập cho học sinh”. Và trong chương I điều 5 có ghi “Phương pháp

giáo dục phải phát huy tính tích cực tự giác, chủ động tư duy sáng tạo của

người học, bồi dưỡng năng lực tự học khả năng thực hành, lòng say mê học

tập và ý trí vươn lên”.

Đứng trước nhu cầu đó đã làm nẩy sinh và thúc đẩy một cuộc vận động

đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp trong ngành giáo dục đào tạo,

dần dần khắc phục những tồn tại phổ biến của phương pháp dạy học cũ như:

Thuyết trình tràn lan, GV cung cấp kiến thức dưới dạng có sẵn, thiếu yếu tố

tìm tòi phát hiện. Thầy áp đặt, trò thụ động, thiên về dạy, yếu về học, không

kiểm soát được việc học. Thay vào đó là sự đổi mới về phương pháp dạy học,


2

với những tư tưởng chủ đạo được phát triển dưới nhiều hình thức khác nhau

như “Lấy học sinh làm trung tâm”, “Phương pháp dạy học theo hướng tích

cực”,“Tích cực hoá hoạt động dạy và học”.

Đây là một hướng đổi mới PPDH được đông đảo các nhà nghiên cứu,

các nhà lí luận và các Thầy cô giáo quan tâm. Việc vận dụng phương pháp

này vào dạy học môn toán còn gặp rất nhiều hạn chế, còn có những vấn đề

cần phải nghiên cứu áp dụng một cách cụ thể. Trong các vấn đề đó có vấn đề

dạy học giới hạn ở trường THPT. Trong giải tích toán học thì khái niệm giới

hạn giữ vai trò trung tâm. Giới hạn là một trong những khái niệm quan trọng

nó chứa đựng nhiều kiến thức, nhiều tư duy, nhất là tư duy trừu tượng, tư duy

logic… Trong đó thể hiện nhiều thao tác tư duy: phân tích, tổng hợp, trừu

tượng hoá, khái quát hoá, đặc biệt hoá…nó đòi hỏi phẩm chất tư duy như :

Linh hoạt sáng tạo, sự tính toán chính xác, các phẩm chất đạo đức kiên trì

chịu khó.

Mặt khác giới hạn là một khái niệm mới và trừu tượng đối với HS

THPT, hơn nữa phân phối chương trình giới hạn chiếm một thời gian rất ít

nên việc nắm vững lí thuyết và vận dụng vào làm bài tập đối với HS là rất

khó khăn, HS gặp không ít lúng túng sai sót khi làm bài tập.

Vì những lí do trên tôi chọn đề tài nghiên cứu luận văn của mình là:

“Dạy học giới hạn ở lớp 11 THPT theo hướng phát huy tính tích cực

hoạt động học tập của học sinh”.

II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

Xây dựng một số biện pháp sư phạm nhằm phát huy tính tích cực học

tập của học sinh ở trường THPT trong điều kiện và hoàn cảnh hiện nay. Vận

dụng các biện pháp đó vào phần dạy học giới hạn ở lớp 11 sách giáo khoa Đại

số và Giải tích ban cơ bản,nhằm nâng cao hiệu quả dạy và học môn toán ở

trường THPT.


3

III. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

+ Tìm hiểu cơ sở lí luận về dạy học theo hướng phát huy tính tích cực

của học sinh

+ Nghiên cứu thực trạng của học sinh khi dạy học giới hạn

+ Đề xuất những biện pháp nhằm phát huy tính tích cực của học sinh

khi dạy học giới hạn.

+ Thực nghiệm sư phạm, thăm dò ý kiến, kiểm tra tính khả thi của đề tài.

IV. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC

Nếu xây dựng được một số biện pháp sư phạm theo hướng phát huy

tính tích cực hoạt động học tập của học sinh khi dạy học nội dung giới hạn thì

sẽ làm cho học sinh hứng thú, chủ động, tích cực học tập, nắm vững kiến thức

và phương pháp giải toán giới hạn. Góp phần nâng cao chất lượng giảng dạy

và học tập của giáo viên và học sinh.

V. PHƢƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU

+ Nghiên cứu lý luận dạy học môn toán.

+ Nghiên cứu đề tài và luận văn của đồng nghiệp.

+ Nghiên cứu SGK Đại số - Giải tích lớp 11 ban cơ bản và sách tham khảo.

+ Điều tra tìm hiểu thực tiễn dạy học giới hạn ở trường THPT.

+ Thực nghiệm sư phạm.

VI. CẤU TRÚC LUẬN VĂN

+ Mở đầu

+ Chương 1 : Cơ sở lý luận và thực tiễn

+ Chương 2 : Dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng phát huy tích

cực hoạt động học tập của học sinh

+ Chương 3 : Thực nghiệm sư phạm

+ Kết luận.


4

Chƣơng 1

CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1. Tính tích cực học tập của học sinh

1.1.1. Quan niệm về tính tích cực

Theo V.O.Kôn “Khi nói đến tính tích cực, chúng ta quan niệm là mong

muốn hành động được nảy sinh một cách không chủ định và gây nên những

biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong của sự hoạt động”.

Theo I.kodak : “Tính tích cực nhận thức được thể hiện bằng nhiều biểu

hiện như sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng mạnh mẽ, sự phân tích tổng

hợp sâu sắc”.

Theo I.F.Kharlamôp: “Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể

nghĩa là người hành động. Vậy tính tích cực của nhận thức là trạng thái hoạt

động đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong

quá trình nắm vững kiến thức” và “Sự học tập là trường hợp riêng của nhận

thức, một sự nhận thức đã được làm cho dễ dàng hơn và thực hiện được dưới

sự chỉ đạo của giáo viên”.

Vì vậy khi nói đến tính tích cực của nhận thức là nói đến tính tích cực

học tập. Cũng có những ý kiến cho rằng: “Tính tích cực học tập và tính tích

cực nhận thức có liên quan chặt chẽ với nhau nhưng không đồng nhất, tính

tích cực học tập là hình thức bên ngoài của tính tích cực nhận thức”.

Như vậy hiểu một cách đầy đủ, tính tích cực nhận thức là thái độ cải tạo

của chủ thể đối với khách thể thông qua sự huy động ở mức độ cao chức năng

tâm lí, nhằm giải quyết vấn đề học tập nhận thức. Nó là mục đích hoạt động,

là phương tiện, là điều kiện để đạt được mục đích,đồng thời là kết quả của

hoạt động học tập. Nó là phẩm chất nhân cách một thuộc tính của quá trình

nhận thức,làm cho quá trình nhận thức luôn đạt kết quả cao giúp cho con

người có khả năng học tập không ngừng.


5

Tính tích cực học tập, vận dụng đối với HS đòi hỏi phải có nhân tố, tính

lựa chọn thái độ với đối tượng nhận thức, đề ra cho mình mục đích nhiệm vụ

cần giải quyết sau khi đã lựa chọn đối tượng, cải tạo đối tượng trong hoạt

động sau này nhằm giải quyết vấn đề. Hoạt động mà thiếu những nhân tố trên

thì chỉ có thể nói: Đó là sự thề hiện trạng thái, hành động nhất định của con

người mà không thể nói là tính tích cực của nhận thức.

Ví dụ: Khi ngồi trong lớp học, GV có thể theo yêu cầu của HS là:Trật

tự,đọc sách, nhìn lên bảng, nghe giảng, ghi chép đầy đủ.Tuy nhiên nếu chỉ

dừng ở đó, HS tiếp thu kiến thức một cách thụ động. Bởi vì HS không thể

hiện thái độ cải tạo đối với những điều đã nghe thấy, họ không hề động não,

không có ý định suy ngẫm mối liên hệ giữa điều thấy được, nghe được với

điều họ đã biết và tìm ra dấu hiệu mới sau này. Ngược lại nếu HS chăm chú

nghe giảng đào sâu suy nghĩ, chủ động tiếp cận kiến thức mới, thể hiện ở chỗ

hăng hái phát biểu, biết nhận xét đúng sai khi nghe các ý kiến của các HS

khác thì có thể nói rằng HS đó đã tích cực hoạt động học tập.

Như vậy tính tích cực là kết quả của quá trình tư duy là mục đích cần

đạt được của quá trình dạy học. Có 3 mức độ tư duy khác nhau.

+ Tư duy tích cực: HS chăm chú nghe giảng để hiểu bài.Nghiêm túc

thực hiện các yêu cầu của GV.

+ Tư duy độc lập: HS tự mình tìm tòi suy nghĩ xây dựng khái niệm,

phân tích định lý…Trong quá trình học tập khi vấn đề được đặt ra HS chịu

khó tự suy nghĩ tìm tòi cách giải quyết.

+ Tư duy sáng tạo: Học sinh không chịu dừng lại ở cái chỗ đã biết mà

tìm tòi giải pháp mới hoặc tự khám phá vấn đề.

Ba mức độ tư duy được biểu diễn bằng ba đường tròn đồng tâm,do đó

khi soạn bài GV cần quan tâm đến cả 3 mức độ tư duy, nâng cao hay hạ thấp

một cách linh hoạt tuỳ thuộc vào đối tượng HS cụ thể.


6

Trong hoạt động học tập tính tích cực của nhận thức là điều kiện cần

thiết để nắm vững tài liệu học tập, giúp HS hướng sự chú ý của mình vào hoạt

động học tập, bồi dưỡng trí tò mò khoa học và lòng ham hiểu biết, hình thành

nhu cầu nhận thức. Vì thế HS có thể sẵn sàng dồn hết sức lực trí tuệ để hoàn

thành tốt nhiệm vụ học tập.

1.1.2. Những cấp độ khác nhau của tính tích cực

Hoạt động của HS,tuỳ theo việc huy động chủ yếu những chức năng

tâm lý nào và mức huy động những chức năng tâm lý đó, mà tính tích cực học

tập của HS được phân hoá theo các cấp độ khác nhau. Theo G.I.Sukina trong

học tập tính tích cực được phân ra thành ba cấp độ khác nhau.

+ Tính tích cực tái hiện và bắt trước: Là tính tích cực chủ yếu dựa

vào trí nhớ và tư duy tái hiện xuất hiện do các tác động bên ngoài (Các yếu tố

bắt buộc của giáo viên).

Trong trường hợp này người học thao tác trên đối tượng, bắt trước theo

mẫu hoặc mô hình của GV, nhằm chuyển đối tượng từ bên ngoài vào bên

trong theo cơ chế nhập tâm chưa có nỗ lực của tư duy. Loại này thường phát

triển mạnh ở HS có năng lực nhận thức ở mức độ trung bình và dưới trung

bình. Nhưng nó lại là tiền đề cơ bản giúp HS nắm được nội dung bài giảng có

điều kiện nâng tính tích cực cao lên.

Ví dụ 1: Để giúp học sinh biết cách giải một dạng bài tập, GV có thể

giải một bài tập mẫu lên bảng, HS dựa vào bài tập mẫu để giải quyết các bài

tập tương tự cùng dạng đó.

+ Tính tích cực tìm tòi: Là tính tích cực đi liền với quá trình lĩnh hội

khái niệm, giải quyết tình huống, tìm tòi các phương thức hành động,…Nó

được được trưng bằng sự bình phẩm, phê phán, tìm tòi tích cực về mặt nhận

thức, về sáng kiến, lòng khát khao hiểu biết, hứng thú học tập và được thể

hiện ở sự tự giác tìm kiếm các phương thức lĩnh hội có hiệu quả. Tính tích

cực tìm tòi không bị hạn chế trong khuôn khổ những yêu cầu của GV. Trong


7

giờ học.loại này thường phát triển mạnh mẽ ở những HS có lực học trung

bình và trên mức trung bình.( khá, giỏi).

Ví dụ 2: Đứng trước một bài toán, người học không chỉ dừng lại ở việc

giải được bài toán mà còn có nhu cầu tìm ra lời giải ngắn gọn nhất, hay nhất,

đó là sự thể hiện tính tích cực tìm tòi.

+ Tính tích cực sáng tạo: Là tính tích cực có mức độ cao nhất nó được

đặc trưng bằng sự khẳng định con đường riêng của mình không giống con

đường mà con người đã thừa nhận, đã trở thành chuẩn hoá,để đạt được mục

đích. Nó thể hiện khi chủ thể nhận thức tìm tòi kiến thức mới. Tự tìm ra

những phương thức hành động riêng trong đó có các cách thức giải quyết mới

mẻ, không dập khuôn máy móc.

Ví dụ 3: Khi giải một bài toán người học thể hiện tính tích cực sáng tạo

ở việc cố gắng tìm cách giải bài toán bằng nhiều con đường khác nhau, nhiều

phương pháp khác nhau, đó chính là thói quen nhìn nhận một sự kiện dưới

nhiều góc độ khác nhau.

Đối với học sinh THPT các em đang ở lứa tuổi hội tụ đầy đủ các yếu tố

tâm lý, thể lực, khả năng làm việc độc lập có lòng khao khát thể hiện bản thân

có ý thức tích luỹ kiến thức để phục vụ cuộc sống sau này.Điều cần thiết là

phải vươn lên tới mức độ tìm tòi và sáng tạo đặc biệt là học sinh khá giỏi.

Dựa vào các cấp độ khác nhau của tính tích cực học tập của HS, GV có thể

đánh giá tính tích cực ở mỗi HS khi học tập, tuy nhiên sự đánh giá đó còn

tương đối khái quát. Do vậy để nhận biết học tập của HS có tích cực hay

không người GV thông qua một số dấu hiệu nhận biết sau:

1.1.3. Dấu hiệu nhận biết tính tích cực trong hoạt động học tập

+ Dấu hiệu về hoạt động nhận thức: Thể hiện ở các thao tác tư

duy,ngôn ngữ, sự quan sát, ghi nhớ tư duy hình thành khái niệm, phương thức

hành động, hình thành kỹ năng kỹ xảo các câu hỏi nhận thức của HS.


8

+ Dấu hiệu chú ý nghe giảng: Thể hiện ở chỗ chú ý nghe giảng, thực

hiện đầy đủ các yêu cầu của GV, hoà nhập với không khí của cả lớp,giải đáp

đầy đủ các yêu cầu của GV đưa ra nhanh chóng,chính xác và nhận biết đúng

sai sau khi bạn đưa ra ý kiến.

+ Dấu hiệu về tinh thần,tình cảm học tập: Thể hiện qua sự say mê sốt

sắng của HS khi thực hiện yêu cầu mà GV đặt ra: HS thích được trả lời câu

hỏi, HS làm bài tập một cách hồ hởi tự nguyện.

+ Dấu hiệu về ý chí,quyết tâm học tập: Thể hiện ở sự nỗ lực ý trí giải

quyết nhiệm vụ học tập, kiên trì tìm tòi đến cùng và cao hơn nữa là vạch ra

được mục tiêu kế hoạch học tập.

+ Dấu hiệu về kết quả nhận thức: Thể hiện ở kết quả lĩnh hội kiến

thức nhanh chóng chính xác và tái hiện được khi vận dụng trong các tình

huống cụ thể.

Ngoài các dấu hiệu dễ nhận biết như trên còn có các dấu hiệu khác khó

nhận biết hơn như dấu hiệu nhận thức cảm tính dấu hiệu nhận thức lý tính,

dấu hiệu sự biến đổi sinh lý tinh thần, dấu hiệu về trạng thái hoạt động …Vì

vậy để có thể điều chỉnh phương pháp của mình sao cho phù hợp với đối

tượng HS, người GV cần phải thu nhận các thông tin ngược từ học sinh.

Tính tích cực học tập của học sinh tuy nảy sinh trong quá trình học tập

nhưng nó lại là kết quả của nhiều nguyên nhân, có nguyên nhân được phát

sinh trong lúc học tập, có nguyên nhân được hình thành trong quá khứ, thậm

chí từ lịch sử lâu dài của nhân cách, nhưng nhìn chung tính tích cực trong

hoạt động học tập của HS phụ thuộc vào các yếu tố sau:

1.1.4. Những yếu tố ảnh hưởng tới tính tích cực học tập của học sinh

+ Hứng thú: Có vai trò rất lớn trong quá trình học tập của HS, khi HS

có hứng thú với đối tượng nào đó, họ thường hướng toàn bộ quá trình nhận

thức của mình vào đối tượng, làm cho sự quan sát tinh nhậy hơn, ghi nhớ


9

nhanh chóng và lâu bền, tưởng tượng phong phú, tư duy tích cực góp phần

nâng cao tính tích cực học tập của HS.

Hứng thú phát triển đến mức độ nào đó sẽ biến thành nhu cầu, HS thấy

cần phải hành động để thoả mãn hứng thú đó và hành động hết sức tự giác ,

đầy sáng tạo mang lại hiệu quả cao.

Với vai trò đó, khi được củng cố và phát triển một cách có hệ thống

hứng thú đó sẽ trở thành cơ sở của thái độ tích cực đối với học tập, là một

trong những động cơ quan trọng nhất của HS.

+ Nhu cầu: Nhu cầu và hành động có quan hệ chặt chẽ với nhau, nhu

cầu thúc đẩy hành động là nguồn gốc của tính tích cực học tập.

Có những lúc, nhu cầu là nguyên nhân nẩy sinh những hứng thú trực

tiếp trong học tập (Ví dụ như nhu cầu được điểm tốt). Nhưng quan trọng hơn

là nhu cầu tìm hiểu và vận dụng kiến thức vào thực tiễn, điều đó sẽ kích thích

được HS thường xuyên hoàn thiện bổ xung tri thức trong quá trình học tập

cũng như trong công việc lao động.

+ Động cơ hoạt động: Được thúc đẩy bởi động cơ xác định và diễn ra

trong tình huống cụ thể. Động cơ học tập sẽ làm cho HS có lòng khao khát

được mở rộng tri thức, say mê với quá trình giải quyết các nhiệm vụ học tập,

nỗ lực vượt qua mọi khó khăn. Động cơ học tập là nguyên nhân bên trong đã

được học sinh ý thức trở thành động lực tâm lý nội tại, có tác dụng phát huy

mọi sức mạnh về tinh thần và vật chất ở người HS, thúc đẩy họ học tập một

cách tích cực. Đồng thời động cơ học tập với tư cách là mục đích sẽ quy định

chiều hướng tâm lý của hoạt động học tập.

+ Năng lực: Là điều kiện về mặt trí tuệ giúp cho HS có khả năng lĩnh

hội với tốc độ nhanh, tức là có sự khái quát nhanh, trình độ phân tích tổng

hợp cao với tính mềm dẻo của tư duy.

+ Ý chí: Một trong những phẩm chất quan trọng của nhân cách con

người là ý chí, ý chí giúp con người vượt qua mọi khó khăn, đi sâu vào nhận


10

thức các quy luật khách quan, tức là một biểu hiện của tính tích cực. Ngược

lại có tình cảm học tập và một số mặt tự phát của tính tích cực như: Tò mò

yêu thích hoạt động sẽ kích thích được HS có ý thức tìm tòi để chiếm lĩnh

kiến thức góp phần hình thành ý chí bản lĩnh cho HS.Vì vậy ý chí có sự liên

hệ chặt chẽ với tính tích cực của học tập.

+ Sức khoẻ: Là nền tảng cho tính tích cực học tập của HS, người có

sức khoẻ, thể lực phát triển thì tác phong cử chỉ nhanh nhẹn trạng thái vui

tươi, cường độ hoạt động học tập cao, tập chung chú ý được lâu bền.

+ Môi trường: Là một trong những nhân tố tác động mạnh mẽ tới tính

tích cực của nhận thức của HS, góp phần tạo cho HS những hứng thú học tập.

1.1.5. Sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh

Trong luật giáo dục 1998 chương 1 điều 2 quy định “Mục tiêu của giáo

dục là đào tạo con người Việt Nam phát triển toàn diện có đạo đức, tri thức sức

khoẻ, thẩm mỹ và nghề nghiệp, trung thành với lý tưởng độc lập dân tộc và chủ

nghĩa xã hội; hình thành và bồi dưỡng nhân cách, phẩm chất năng lực của công

dân, đáp ứng yêu cầu xây dựng và bảo vệ tổ quốc”. Và chương 2 mục 2 điều 23

nêu rõ: “Giáo dục THPT nhằm giúp HS củng cố và phát triển những kết quả

của giáo dục THCS hoàn thiện học vẫn phổ thông và những hiểu biết thông

thường về kỹ thuật hướng nghiệp để tiếp tục học lên đại học và cao đẳng, trung

học chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống lao động”.

Bên cạnh đó nhiệm vụ cơ bản của trường THPT là đảm bảo cho HS

lĩnh hội cơ sở khoa học một cách tích cực, tự giác và có hệ thống

Để thể hiện tốt mục tiêu và nhiệm vụ trên trong toàn ngành giáo dục

cần có một cuộc vận động đổi mới phương pháp dạy học một chiều sang dạy

học theo hướng phát huy tính tích cực của học sinh, làm cho “học” là quá

trình kiến tạo HS tìm tòi khám phá,phát hiện nguyên nhân, khai thác và xử lí

thông tin…tự hình thành hiểu biết năng lực và phẩm chất.Tổ chức hoạt động


11

cho học sinh là dạy cho HS cách tìm ra chân lý chú trọng hình thành các năng

lực. Dạy tri thức phương pháp và kỹ thuật khoa học, dạy cách học, học để đáp

ứng nhu cầu cuộc sống hiện tại và tương lai. Những điều đã học cần thiết bổ

ích cho bản thân HS và cho sự phát triển của xã hội

1.2 Phân tích thực tế dạy học giới hạn ở trƣờng THPT

1.2.1 Thuận lợi

- Các khái niệm cơ bản trong SGK được trình bày theo hướng phát huy

tính tích cực của học sinh, tức là xuất phát từ kiến thức cũ đặt vấn đề nghiên

cứu kiến thức mới.

- Phân biệt rõ cho HS hiểu được khái niệm và chứ không trình

bầy chung chung là như SGK cũ.

- Các khái niệm giới hạn 0 giới hạn vô cực của dãy được đưa vào theo

con đường quy nạp. Cụ thể qua các hoạt động khái niệm được mô tả nhờ vào

các ghi nhận trực giác số và trực giác hình học, sau đó định nghĩa tổng quát

dưới dạng mô tả làm cho HS dễ hiểu vấn đề hơn.

- Các bài tập trong SGK tuy ít nhưng đa dạng, phong phú phù hợp với

trình độ học sinh.

1.2.2. Khó khăn

Kiến thức: - Đây là một trong những chương khó của giải tích ở THPT.

Các khái niệm về giới hạn, hàm số liên tục là hoàn toàn mới mẻ, trừu tượng

đối với HS THPT.

- Cách tiếp cận khái niệm cũng khác trước đây, trong thời gian ngắn của

phân phối chương trình HS khó có thể hiểu một cách thấu đáo mọi vấn đề.

- Trong chương trình SGK không đưa quy tắc tìm giới hạn dạng vô

định dẫn tới khó khăn cho GV khi dạy phần này.

- Việc vận dụng quy tắc ở SGK rất khó, HS dễ nhầm khi gặp giới hạn

dạng này.


12

Về tư duy: Trong các quá trình giải các bài toán về giới hạn đòi hỏi HS

phải vận dụng linh hoạt các quy tắc các phép biến đổi đại số, điều này không

phải HS nào cũng làm được.

Phương pháp: Khi học phần này HS đôi khi phải sử dụng đến phương

pháp đặc biệt hoá, khái quát hoá… để làm công cụ học tập. Khả năng phân

tích tổng hợp, so sánh trừu tượng của HS còn gặp nhiều hạn chế dẫn tới việc

học giới hạn còn gặp không ít khó khăn.

Kỹ năng: Đối với HS đã chọn học ban cơ bản thì kỹ năng biến đổi đại

số còn rất hạn chế dẫn tới tính giới hạn không đúng.

1.2.3. Sai lầm thường mắc phải của học sinh

+ Sai lầm khi áp dụng sai định lý

Ví dụ 1: Khi tính

2 2 2

1 1 1lim( ... )

1 2nL

n n n n

Học sinh làm như sau:

2 2 2

2 2 2

1 1 1lim( ... )

1 2

1 1 1lim lim ... lim

1 2

0 0 ... 0 0

n

n n n

Ln n n n

n n n n

Vậy HS sai lầm ở đâu? Cách giải đúng là gì?

Sai lầm ở chỗ học sinh hiểu sai định lí các phép toán về giới hạn.định

lý này chỉ đúng cho hữu hạn số hạng, còn trong bài này tổng là vô hạn nên

không thể áp dụng định lí đó được

Lời giải đúng là 2 2 2

1 1 1

n n n k n với k = 1,2, ..., n

2 2

1

1 11

n

kn n n k


13

Mà 2

1 1lim lim 1

11

n nL

n n

n

Vậy 2

1

1lim 1

n

nk

Ln k

+ Sai lầm do biến đổi đại số

Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2

2

4lim

2x

x

x

Học sinh giải như sau:

2

2 2 2

4 ( 2)( 2)lim lim lim( 2) 4

2 2x x x

x x xx

x x

Lời giải trên là chưa chính xác do học sinh coi 2 2x x với mọi x

Lời giải đúng là: 2 2

2( 2) 2

x khi xx

x khi x

Tức là khi 2x thì 2 ( 2)x x

Khi 2x thì 2 ( 2)x x

Để xem giới hạn khi 2x có tồn tại không ta tính các giới hạn:

2

2

4lim

2x

x

x và

2

2

4lim

2x

x

x ta có

2

2 2

4 ( 2)( 2)lim lim 4

2 2x x

x x x

x x

2

2 2

4 ( 2)( 2)lim lim 4

2 ( 2)x x

x x x

x x

Ta thấy 2 2

2 2

4 4lim lim

2 2x x

x x

x x vậy không tồn tại giới hạn.

2

2

4lim

2x

x

x


14

+ Sai lầm khi học sinh tìm giới hạn bằng phƣơng pháp đặt ẩn phụ.

Ví dụ 3: Tính 0

2 1 1limx

x

x Học sinh giải như sau:

Đặt 2

2 12 1 2 1

2

tt x t x x

Vậy 2

0 0 0

2 1 1 1 2lim lim lim 2

1 1

2

x t t

x t

tx t

Vậy HS sai lầm ở chỗ sau khi biến x chuyển sang biến t học sinh chưa

tìm giới hạn cho biến t

Lời giải đúng là :

đặt

2

2 12 1 2 1

2

tt x t x x khi 0x thì 1t

Vậy 2

0 1 1

2 1 1 1 2lim lim lim 1

1 1

2

x t t

x t

tx t

+ Sai lầm của học sinh khi gặp giới hạn vô cực

Ví dụ 4: Tìm 2 1

lim2x

x

x

Học sinh tính như sau:

lim(2 1)2 1

lim 12 lim( 2)

x

x

x

xx

x x

Lời giải ở trên sai lầm ở chỗ

+Áp dụng định lý về các phép toán về giới hạn là sai vì tử số và mẫu số

không có giới hạn hữu hạn

+Học sinh chưa hiểu rõ khái niệm vô cực, vô cực không phải là một số

cụ thể mà chỉ là ký hiệu.

Lời giải đúng là :


15

1 1 1(2 ) 2 lim(2 )

2 1lim lim lim 2

2 1 12(1 ) 1 lim(1 )

x

x x x

x

xx x x x

xx

x x x

Ví dụ 5: Tính 2lim( 1 )x

x x


2 2lim( 1 ) lim 1 lim 0x x x

x x x x

Lời giải trên sai ở chỗ HS coi là một số cụ thể nên áp dụng định lý

các phép toán về giới hạn hữu hạn và thực hiện phép toán =0 một

cách bình thường.

Lời giải đúng là

2 2

2

2

2 2

2

1 1lim( 1 ) lim

1

1lim 0

1

x x

x

x x x xx x

x x

x x

x x

+ Sai lầm khi không hiểu rõ khái niệm giới hạn một phía

Ví dụ: Cho hàm số 1

íi x > 1 ( ) 1

2 íi x < 1

xv

f x x

v

Tìm 1

lim ( )x

f x

Học sinh làm như sau:

1 1 1 1

1 1. 1lim ( ) lim lim lim 1 0

1 1x x x x

x x xf x x

x x

Lời giải trên sai ở chỗ khi viết 1x tức là 1x và 1x

Vậy lời giải đúng là

1 1 1 1

1 1. 1lim ( ) lim lim lim 1 0

1 1x x x x

x x xf x x

x x


16

1 1lim ( ) lim2 2x x

f x

Vì 1 1

lim ( ) lim ( )x x

f x f x

Nên không tồn tại 1

lim ( )x

f x

Như vậy những sai lầm phổ biến của HS khi làm các bài tập về giới hạn

thường xuất phát từ chỗ các em chưa nắm vững lý thuyết. Kỹ năng biến đổi

đại số chưa thành thạo, khả năng vận dụng tri thức chưa cao.

KẾT LUẬN CHƢƠNG 1

Tính tích cực của con người được biểu hiện trong hoạt động, trong đó

học tập là hoạt động chủ đạo của lứa tuổi học sinh. Tính tích cực nhận thức là

điều kiện cần thiết để nắm vững tài liệu học tập, là trạng thái hoạt động của

HS, đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá

trình nắm vững kiến thức.

Tính tích cực học tập được nhận biết qua những dấu hiệu về nhận thức,

xúc cảm, ý trí …và chia thành ba cấp độ : tính tích cực tái hiện và bắt

chước,tính tích cực tìm tòi,tính tích cực sáng tạo.

Muốn HS hoạt động học tập một cách tích cực,người GV cần thiết phải

thúc đẩy được các yếu tố như :hứng thú,nhu cầu,động cơ,năng lực,… cho HS.

Trong thực tế dạy học ở THPT hiện nay, kỹ năng giải toán của HS nói

chung cũng như kỹ năng giải bài tập về giới hạn nói riêng còn gặp rất nhiều

hạn chế. Để khắc phục tình trạng này,trong chương II của luận văn đề cập tới

vấn đề dạy học giới hạn lớp 11 theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động

học tập của HS


17

Chƣơng 2

DẠY HỌC GIỚI HẠN LỚP 11 THPT

THEO HƢỚNG TÍCH CỰC HOÁ HOẠT ĐỘNG HỌC TẬP

CỦA HỌC SINH

2.1. Mục tiêu của dạy học giới hạn lớp 11 THPT

Khi dạy học chủ đề này GV phải làm cho HS nắm vững được các nội

dung sau:

+ Các khái niệm về giới hạn của dãy số, của hàm số

+ Các định lí, tính chất về giới hạn của dãy số, hàm số

+ Các quy tắc phương pháp tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực, giới

hạn một bên của dãy số, hàm số.

+ Học sinh biết cách vận dụng các định nghĩa, tính chất,định lí, quy tắc

để làm các bài tập về giới hạn và giải các bài toán thực tế trong đời sống.

+ Qua chủ đề này, rèn cho học sinh kỹ năng biến đổi đại số, lượng giác.

Rèn luyện tính tự giác, tích cực, độc lập phát hiện cũng như lĩnh hội được

kiến thức. Trong hoạt động học tập, rèn luyện tính cẩn thận, chính xác trong

lập luận và tính toán.

2.2 Những tình huống điển hình trong dạy học giới hạn

2.2.1.Dạy học khái niệm.

Trong việc dạy học toán cũng như việc dạy học ở bất kỳ bộ môn nào ở

trường THPT, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững trắc cho

HS một hệ thống khái niệm. Đó là cơ sở toàn bộ kiến thức toán học của học

sinh, là tiền đề để xây dựng cho HS khả năng vận dụng kiến thức đã học. Quá

trình hình thành khái niệm có tác dụng rất lớn đến việc phát triển trí tuệ, đồng

thời góp phần phát triển thế giới quan cho HS.

Việc dạy học khái niệm toán nói chung và dạy khái niệm giới hạn nói

riêng cần phải làm cho HS dần dần đạt được các yêu cầu sau:


18

+ Nắm vững được các đặc điểm, đặc trưng cho một khái niệm

+ Biết nhận dạng khái niệm.

+ Biết phát hiện một cách chính xác, rõ ràng định nghĩa của một số

khái niệm.

+ Biết vận dụng khái niệm trong các tình huống cụ thể, trong hoạt động

giải toán và ứng dụng thực tế.

+ Biết phân loại khái niệm và nắm vững được nội dung quan hệ của

một khái niệm với những khái niệm khác trong cùng một hệ thống khái niệm.

Những yêu cầu trên đây, có quan hệ chắt chẽ với nhau nhưng tùy từng

khái niệm mà đặt ra các yêu cầu khác nhau. Chẳng hạn đối với khái niệm giới

hạn hữu hạn của một dãy số, đòi hỏi HS phải phát biểu được định nghĩa một

cách chính xác và vận dụng được định nghĩa trong khi làm bài tập. Còn đối

với khái niệm giới hạn vô cực của dãy số, thì không đòi hỏi phải nêu được

khái niệm một cách tường minh mà chỉ cần HS hình dung ra được khái niệm,

một cách trực quan thông qua ví dụ cụ thể.

Từ trước tới nay, giới hạn vẫn là một khái niệm trừu tượng, khó hiểu đối với

học sinh THPT. Do vậy GV, cần phải làm cho HS tiếp cận được khái niệm. Đó là

khâu đầu tiên, trong quá trình hình thành khái niệm giới hạn. Thông thường,trong

dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm bao gồm: Con đường

suy diễn, con đường quy nạp, con đường kiến thiết. Tùy theo từng khái niệm cụ thể,

mà GV nên chọn con đường hình thành khái niệm khác nhau.

Ví dụ 1: Khi dạy về khái niệm giới hạn của dãy số GV có thể dạy như sau:

+ Cho HS biểu diễn các dãy số sau trên trục số.

(1) Dãy (un) với 1

unn


n

unn


19


( 1)un

n n

(4) Dãy (un) với 2 1n

unn

(5) Dãy (un) với 6 1n

unn

(6) Dãy (un) với 3 1

5 2

nun

n

+ Học sinh quan sát các hình biểu diễn và nhận xét xem các dãy số trên có

tính chất gì? Nêu lên sự giống nhau và khác nhau, từ đó rút ra tính chất đặc trưng ?

+ GV hướng dẫn HS nhận xét : Từ chỉ số nào đó khá lớn của n các dãy

(1), (2), (3) gần bằng 0, các số hạng của dãy (4) gần bằng 2, các số hạng của

dãy (5) gần bằng 6, các số hạng của dãy (6) gần bằng 3

2.

Sau khi đã cùng học sinh quan sát và nhận xét, GV hoặc HS có thể đưa

ra định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số.

Qua ví dụ trên,GV đã cho HS tiếp cận theo con đường quy nạp. Quá

trình này chưa kết thúc khi phát biểu được định nghĩa của khái niệm đó. Một

khâu rất quan trọng trong dạy học khái niệm là củng cố khái niệm.

Trong hoạt động củng số khái niệm thường được tiến hành bằng các

hoạt động sau:

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện khái niệm : Đây là hai dạng hoạt

động theo hai chiều hướng trái ngược nhau, có tác dụng củng cố khái niệm,

tạo tiền đề cho vận dụng khái niệm.

Sau khi học xong khái niệm giới hạn hữu hạn của dãy số, HS làm bài

tập sau:

Bài tập 1 : CMR 2

lim 1 15

n

(Nhận dạng )


20

Bài tập 2 : Cho 1

2nun tìm lim(un) ( Thể hiện )

+ Hoạt động ngôn ngữ : Tức là GV cho HS phát biểu định nghĩa bằng lời

lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những

dạng ngôn ngữ khác nhau, phân tích nêu bật những ý quan trọng chứa trong

định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng. Hoạt động này góp phần phát

triển ngôn ngữ cho HS.

Ví dụ 2: Học sinh có thể phát biểu định nghĩa giới hạn hữu hạn của dãy

số theo các cách như sau:

Cách 1 : Dãy (un) được gọi là có giới hạn a nếu khoảng cách từ un đến

a càng dần tới 0 khi n càng lớn.

Cách 2 : Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn

nếu có thể làm cho un sai khác với a một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là

chọn n đủ lớn.

Cách 3: Dãy số là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu điều kiện sau

đây được thoả mãn: Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý ta đều có thể làm cho

nu a miễn là chọn n đủ lớn.

Cách 4: Dãy số (un) được gọi là có giới hạn a khi n tăng lên vô hạn nếu

điều kiện sau đây được thỏa mãn : Với mọi số dương nhỏ tuỳ ý đều tồn tại

N sao cho với mọi n >N ta đều có nu a

Cách 5: lim ( 0); ,( )n nu a N n N u a

+ Khái quát hóa đặc biệt hóa và hệ thống hóa

Ví dụ 3: Từ khái niệm về giới hạn hữu hạn của hàm số ta có thể mở

rộng ra khái niệm hàm số dần tới vô cực, giới hạn vô cực của hàm số và khái

niệm giới hạn một phía.


21

Ví dụ 4 : Từ khái niệm giới hạn của dãy số bao gồm

Giới hạn 0 Giới hạn hữu hạn a Giới hạn vô cực của dãy

Giới hạn của hàm số.

+ Phân chia khái niệm

Khi dạy học khái niệm giới hạn GV có thể cho HS phân chia như sau:

Khi dạy học khái niệm giới hạn, GV cần làm cho HS thấy rõ không

phải dãy số nào, hàm số cũng có giới hạn

Ví dụ 5: Dãy số (un) với un = (-1)n. dãy này không có giới hạn vì khi

biểu diễn các số hạng của dãy trên trục số ta thấy nếu n chẵn thì un = 1 và nếu

n lẻ thì un = -1.

Ví dụ 6: Cho hàm số

x +1

f(x) = x

x

hàm số này cũng không có giới hạn khi x 1

2.2.2. Dạy học định lí về giới hạn.

“ Dạy học những mệnh đề thực chất là các định lý toán học dù cho nó

có được nêu thành định lý trong sách giáo khoa hay không”, Với quan điểm

trên thì các công thức, các hệ thức toán học cũng là các định lý.

Giới hạn

Giới hạn dãy số Giới hạn hàm số

Giới hạn vô cực

Giới hạn tại vô cực

Giới hạn hữu hạn

Giới hạn hữu hạn

Giới hạn vô cực

Nếu x >1

Nếu x <1


22

Các định lý, cùng với các nội dung toán học tạo thành các nội dung cơ

bản của môn toán,làm nền tảng cho việc rèn luyện kỹ năng suy luận, chứng

minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, việc dạy học định lý toán học nói

chung và định lý về giới hạn nói riêng cần đạt được các yêu cầu sau:

+ Học sinh phải nắm được, hệ thống các định lý và mối liên hệ giữa

chúng, từ đó có khả năng vận dụng chúng vào những hoạt động giải toán cũng

như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn.

+ Học sinh thấy được, sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được

chứng minh định lý là một yếu tố quan trọng, trong phương pháp làm việc

trên lĩnh vực toán học

+ Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ

chỗ hiểu chứng minh, trình bầy chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách

suy nghĩ,để tìm ra cách chứng minh

Việc dạy định lý toán học có hai con đường khác nhau: Con đường có khâu

suy đoán và con đường suy diễn. Hai con đường này được minh họa như sau:

Vận dụng định lý để giải quyết vấn đề đặt

ra

Con đường có khâu suy đoán

Dự đoán và phát biểu định lý Suy diễn dẫn tới định lý

Con đường suy diễn

Gợi động cơ phát biểu vấn đề

Chứng minh định lý Phát biểu định lý

Củng cố định lý


23

Việc đi theo con đường nào không phải là tùy tiện, mà tùy theo mỗi nội

dung của định lý và tùy theo điều kiện cụ thể của HS, mà lựa chọn con đường

nào cho thích hợp.

Chẳng hạn, khi dạy cho HS định lý kẹp về giới hạn của dãy số, theo

con đường suy diễn, GV có thể gợi động cơ và phát biểu vấn đề bằng cách

cho HS làm bài tập sau:

Bài tập 1: Cho 3 dãy số (un), (vn) và (wn) với lim un = lim wn = L và

n n nu v w

Hãy tìm limvn ?

HS có thể giải như sau:

Xuất phát từ giả thiết n n nu v w suy ra 0 n n n nv u w u

*n N

Theo định lý về giới hạn ta có Lim (wn- un) = Limwn – Lim un = L- L = 0

Nên Lim (vn – un) = 0

Do đó Lim vn = Lim [(vn- un )+ un] = Lim(vn – un ) + Lim un = 0 + L = L

Vậy Lim vn = L.

Từ bài toán trên HS có thể suy diễn dẫn tới phát biểu thành định lý sau:

Định lý: Cho ba dãy số (un), (vn) và (wn) nếu *n N ta có

n n nu v w và Limwn = Lim un = L thì Lim vn = L.

n n nu v w

Sau khi phát biểu xong định lý GV cho HS vận dụng định lý để giải bài

toán sau

L


24

Bài toán 2

Tìm 3sin 4cos

lim1

n n

n

Giải :

Học sinh nhận xét 2 2 2 2 2(3sin 4cos ) (3 4 )(sin ) 25n n n cos n

3sin 4cos 5 5 3sin 4cos 5n n n n vì n+ 1 > 0 *n N

nên

5 3sin 4cos 5

1 1 1

n n

n n n

Mà 5 5

lim lim 01 1n n

nên 3sin 4cos

lim 01

n n

n

Trong việc dạy học định lý cũng như dạy học khái niệm việc phát triển

ngôn ngữ cho HS là không thể thiếu được. GV cần cho học sinh phát biểu

định lý dưới nhiều dạng ngôn ngữ khác nhau như : Dạng công thức, dạng

mệnh đề có liên từ. “ Nếu – thì”.

Ví dụ 1: Từ định lý ở sách giáo khoa là :

“Giả sử 0

lim ( )x x

f x L và 0

lim ( )x x

g x M khi đó

0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M ” ( L,M R )

Ta có thể cho HS phát biểu như sau:

“Nếu 0

lim ( )x x

f x L và 0

lim ( )x x

g x M thì

0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M ” ( L,M R )

Từ định lý này có thể khái quát thành định lý sau:

“Nếu 0

1 1lim ( )x x

f x M ,0

2 2lim ( )x x

f x M …,0

lim ( )n nx x

f x M (M1, M2…Mn R)

thì 0

1 2 1 2lim ( ) ( ) ... ( ) ...n nx x

f x f x f x M M M


25

hoặc cũng từ định lý

“Nếu 0

lim ( )x x

f x L và 0

lim ( )x x

g x M thì 0

lim ( ). ( ) .x x

f x g x L M ”

Ta có thể đặc biệt hóa như sau:

Nếu f(x) = a và g(x) = xk thì

0 00lim ( ). ( ) lim( . ) .k k

x x x xf x g x a x a x

Khi dạy định lý cho HS cần lưu ý tới các điều kiện để áp dụng định lý,

tránh những sai lầm đáng tiếc

Ví dụ 2: Tìm giới hạn 2

1

2lim

1x

x x

x

Khi gặp bài toán này, không thể áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn của

một hàm số được vì 1

lim( 1) 0x

x vi phạm điều kiện ( ) 0g x trong định lý.

Hoặc sau khi học xong định lý, GV có thể củng cố định lý bằng cách

thành lập các mệnh đề đảo, phản, phản đảo rồi cho HS nhận xét xem các

mệnh đề đó có đúng không.

Ví dụ 3: Xét xem mệnh đề sau có đúng không :

Nếu hai dãy số( Un ) và ( Vn )đều không có giới hạn thì tổng của

chúng cũng không có giới hạn .

Ta thấy mệnh đề trên rõ ràng là sai vì :

Xét 2 dãy số Un = (-1)n và Vn = (-1)

n+1 ta thấy rằng(U n )và (Vn )đều

không có giới hạn nhưng

Lim(Un+Vn) = lim[(-1)n + (-1)

n+1 ] = lim 0 = 0

Như vậy hai dãy số không có giới hạn nhưng tổng của chúng vẫn có thể

có giới hạn.


26

2.2.3 Dạy học quy tắc

Thực ra quy tắc không hoàn toàn đối lập với định nghĩa định lý có khi

nó chỉ là một hình thức phát biểu khác của một định nghĩa hay một định lý.

Tuy nhiên việc dạy loại hình này có những nét riêng. Trong luận văn này đề

cập dạy học quy tắc để tìm giới hạn dựa trên khái niệm thuật giải.

Hằng ngày, con người tiếp xúc với rất nhiều bài toán,từ đơn giản đến

phức tạp. Đối với một số bài toán, tồn tại những quy tắc xác định mô tả quá

trình giải. Từ đó người ta đi đến khái niệm trực giác về thuật giải và khái

niệm này được dùng từ lâu kéo dài suốt mấy nghìn năm lịch sử toán học.

Thuật giải, theo nghĩa trực giác được hiểu như một dãy hữu hạn những

chỉ dẫn thực hiện một cách đơn trị và kết thúc sau hữu hạn bước.

Ví dụ 1: Khi dạy cho HS quy tắc tìm giới hạn vô cực của hàm số, GV

có thể hướng dẫn HS làm như sau: Gọi h(x) = f(x).g(x)

Để tính 0

lim ( ). ( )x x

f x g x ta tính

Bước 1: Tính 0

lim ( )x x

f x , 0

lim ( )x x

g x

Bước 2: Nếu 0

lim ( )x x

f x và 0

lim ( ) 0x x

g x L

thì 0

lim ( ). ( )x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x và 0

lim ( ) 0x x

g x L thì 0

lim ( ). ( )x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x và 0

lim ( ) 0x x

g x L thì 0

lim ( ). ( )x x

f x g x

Nếu 0

lim ( )x x

f x và 0

lim ( ) 0x x

g x L thì 0

lim ( ). ( )x x

f x g x


27

Trong quá trình dạy học, ta cũng gặp một số quy tắc, tuy chưa mang đủ

các đặc điểm đặc trưng cho thuật giải, nhưng có một số trong các đặc điểm đó

và đã tỏ ra có hiệu lực, khi chỉ dẫn hành động và giải toán, đó là những quy

tắc tựa thuật giải.

Ví dụ 2: Khi gặp giới hạn dạng 0

0 ( biểu thức có chứa căn)

Ta khử dạng 0

0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp sau đó tính giới

hạn bình thường

Trong dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải có một số điều cần

lưu ý sau:

+ Nên cho HS biết nhiều hình thức thể hiện một quy tắc, tạo điều kiện

thuận lợi cho HS nắm vững được nội dung từng bước và trình tự thực hiện

từng bước quy tắc đó.

+ Cần trình bầy rõ ràng các bước trong những ví dụ cụ thể theo một sơ

đồ nhất quán trong một thời gian thích hợp.

Ví dụ 3:

Khi tính giới hạn 2

1

1lim

1x

x

x

Bước 1: Nhận dạng giới hạn Ta thấy 2

1lim( 1) 0x

x và 1

lim( 1) 0x

x

Giới hạn có dạng 0

0

Bước 2: Khử dạng 0

0

+ Phân tích x2-1 = (x-1)(x+1)


28

+ Giản ước 2 1 ( 1)( 1)

11 1

x x xx

x x

Bước 3: áp dụng định lý về giới hạn hữu hạn để tính

2

1 1

1lim lim( 1) 2

1x x

xx

x

+ Cần luyện tập cho HS thực hiện tốt các chỉ dẫn đã nêu trong thuật

giải, hoặc quy tắc tựa thuật giải, nếu chủ thể không biết thực hiện các chỉ dẫn

như vậy thì dù có thuộc quy tắc tổng quát cũng không áp dụng nó vào trong

trường hợp cụ thể.

Ví dụ 4: Khi tính

3lim ( 2 )x

x x

Nếu HS không biết phân tích (x3 -2x) thành 3

2

2(1 )x

x thì mặc dù có

thuộc công thức cũng không tính được giới hạn.

Hoặc khi tính 1

2 3lim

1x

x

x. Nếu học sinh không biết là

1lim( 1) 0x

x và

x - 1 < 0 khi x < 1 Thì cũng không áp dụng được quy tắc tìm giới hạn.

+ Cần cho HS thấy được và biết cách sử dụng các cấu trúc điều khiển

cơ bản để quyết định trình tự các bước.

+ Thông qua dạy học thuật giải và quy tắc tựa thuật giải cần có ý thức

góp phần phát triển tư duy thuật giải cho HS.

Ví dụ 5:

Ta biết khi tính giới hạn dạng 0

0của hàm phân thức chứa căn đồng bậc

thì ta khử dạng 0

0 bằng cách nhân chia với lượng liên hợp. Dựa vào điều đã


29

biết đó học sinh có thể phát triển tư duy thuật giải cho trường hợp giới hạn

dạng 0

0 của hàm phân thức có chứa căn không đồng bậc chẳng hạn như :

Tìm 0

( ) ( )lim

( )

m n

x x

f x g x

h x

Cùng với thuật giải và tựa thuật giải ta không được lãng quên một số

quy tắc và phương pháp có tính chất tìm đoán như : Quy lạ về quen, khái quát

hóa trừu tượng hóa…

Hiện nay, quy tắc phương pháp như vậy thường không phải là đối tượng

dạy học tường minh trong nhà trường, trong điều kiện đó những quy tắc

phương pháp này thường được thực hiện theo hai con đường.

+ Thông báo tri thức phương pháp trong quá trình hoạt động.

+ Tập luyện cho HS hoạt động ăn khớp với quy tắc, phương pháp mà ta

mong muốn họ biết thực hiện

Những quy tắc phương pháp tìm đoán chỉ là gợi ý, giải quyết vấn đề chứ

không phải là những thuật toán, đảm bảo chắc chắn rằng sẽ dẫn tới thành

công. Vì vậy, khi cho HS sử dụng chúng, cần rèn luyện cho HS mềm dẻo,

linh hoạt biết điều chỉnh phương hướng, thay đổi phương pháp khi cần thiết.

Sẽ không có gì đáng ngại, nếu HS không thành công khi áp dụng quy tắc,

phương pháp nào đó. Điều quan trọng là tới một lúc nào đó, họ phát hiện ra

sự nhầm đường, biết thay đổi phương hướng và cuối cùng đi tới thành công.

Đó chính là học phát hiện và giải quyết vấn đề. Đó chính là cách học, một yêu

cầu căn bản đối với mục tiêu và phương hướng dạy học hiện nay.

2.2.4. Dạy học giải bài tập giới hạn, các dạng bài tập về giới hạn.

2.2.4.1. Vai trò của bài tập giới hạn

Bài tập giới hạn có vai trò rất quan trọng trong bộ môn giải tích ở

THPT. Thông qua giải bài tập, HS phải thực hiện các hoạt động nhất định


30

như: Nhận dạng thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc phương pháp, những

hoạt động toán phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến, những hoạt động

ngôn ngữ…

Khi dạy bài tập giáo viên cần phải hướng tới mục tiêu dạy học là:

+ Hình thành củng cố tri thức, kỹ năng kỹ xảo, những khâu khác của

quá trình dạy học, kể cả những kỹ năng ứng dụng giới hạn vào thực tiễn.

+ Phát triển năng lực trí tuệ, rèn luyện những hoạt động tư duy, hình

thành những phẩm chất trí tuệ.

+ Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành phẩm chất

của con người lao động mới.

Những bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động liên hệ với nội dung

nhất định một phương tiện cài đặt nội dung để hoàn chỉnh hay bổ xung cho

những tri thức nào đó đã trình bày trong lý thuyết.

Phương pháp dạy học bài tập giới hạn là cái giá mang hoạt động để

người học kiến tạo tri thức nhất định, trên cơ sở đó thực hiện mục tiêu dạy

học khác, khai thác tốt các bài tập như vậy sẽ góp phần tổ chức cho HS học

tập trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác tích cực chủ động sáng tạo

được thực hiện độc lập hoặc trong giao lưu.

2.2.4.2.Các yêu cầu đối với lời giải.

Khi giải các bài tập về giới hạn yêu cầu phải có lời giải tốt tức là:

+ Lời giải phải có kết quả đúng, kể cả bước trung gian.

+ Lập luận chắt chẽ

+ Lời giải đầy đủ

+ Ngôn ngữ chính xác

+ Trình bày rõ ràng, đảm bảo mỹ thuật.

Ngoài ra còn có yêu cầu dành cho học sinh khá giỏi là:

+ Tìm ra nhiều lời giải, chon lời giải ngắn gọn hợp lý nhất.

+ Nghiên cứu sâu lời giải.


31

Trên đây là các yêu cầu đối với các câu hỏi tự luận, bốn yêu cầu đầu

tiên là cơ bản, hai yêu cầu cuối dành cho học sinh khá giỏi, yêu cầu thứ 5 là

yêu cầu về trình bầy.

Ví dụ 1: Khi giải bài tập tính giới hạn.

lim2 2 2 2 ... 2nG

HS giải như sau : Ta biết:

2

22 2. 2 2

2 4 2cos cos

nên 2

2 2 3 32 2 2 2 2(1 ) 4 2

2 2 2 2cos cos cos cos

Tương tự suy ra 2 2 2 ... 2 = 2.2n

cos

( n-1 dấu căn)

Do đó 2 2 2 ... 2 =

( n dấu căn)

=2

1 12 2 2(1 ) 4sin 2.sin

2 2 2 2n n n ncos cos

Vậy 1

1

1 1

1

sin2lim2 .2sin lim(2 .sin ) lim

2 2

2

nn n

n n

n

G

Lời giải trên đã đảm bảo được 5 yêu cầu đó là lời giải tốt.

Ví dụ 2:Tìm giới hạn

2 30

2lim

4x

xH

x x


Ta có 2 30 0 0

2 2 2lim lim lim 1

4 44x x x

x xH

x x xx x


32

Ta thấy lời giải trên chưa tốt vì nó vi phạm yêu cầu 1 và 3 của lời giải,

sai lầm ở bước trung gian về biến đổi đại số dẫn tới kết quả sai.

Lời giải đúng là

2 30 0

2 2lim lim

44x x

x xH

x xx x

Xét x > 0 thì

10 0 0

2 2 2lim lim lim 1

4 4 4x x x

x xH

x x x x x

Xét x < 0 thì

20 0 0

2 2 2lim lim lim 1

4 ( ) 4 4x x x

x xH

x x x x x

Ta thấy 2 3 2 30 0

2 2lim lim

4 4x x

x x

x x x x

Vậy không tồn tại giới hạn 2 30

2lim

4x

xH

x x

Trong thực tế dạy toán, tuỳ từng đối tượng mà dạy cho các em giải

nhiều bài toán cùng một phương pháp hoặc hướng dẫn cho HS giải một bài

toán bằng nhiều phương pháp khác nhau giúp cho học sinh tăng cường tính

sáng tạo, độc lập suy nghĩ để tìm ra các lời giải mới.

Ví dụ 3: Tính giới hạn sau: 6

2 2lim

6x

x

x

Cách 1 : Nhân và chia cả tử và mẫu với 2 2x ta có

6 6

6

2 2 ( 2 2)( 2 2)lim lim

6 ( 6)( 2 2)

2 4 1lim

4( 6)( 2 2)

x x

x

x x x

x x x

x

x x


33

Cách 2: Phân tích đa thức thành nhân tử

Ta có

6 6 6

2 2 ( 2 2) 2 2 1lim lim lim

6 ( 2) 4 4( 2 2)( 2 2)x x x

x x x

x x x x

Cách 3 :đặt ẩn phụ ( Đổi biến số)

đặt 2t x 2 20, 2 2t t x x t

khi 6x thì 2t

Vậy 26 2 2

2 2 2 2 1lim lim lim

6 4 ( 2)( 2) 4x t t

x t t

x t t t

Cách 4 : Dựa vào định nghĩa đạo hàm

đặt ( ) 2 2f x x 1 1

'( ) '(6)42 2

f x fx

và ( ) 6g x x '( ) 1 '(6) 1g x g

Ta có 6 6 6

2 2 ( ) '( ) 1lim lim lim

6 ( ) '( ) 4x x x

x f x f x

x g x g x

2.2.4.3. Dạy học phương pháp chung để giải các bài toán về giới hạn và các

dạng bài tập giới hạn

Hiện nay một bộ phận của GV khi dạy học giải bài tập toán học chỉ đơn

thuần là cung cấp cho HS lời giải của bài toán. Với cách dạy đó không phát

huy được các chức năng của bài tập toán học.Vấn đề đặt ra là dạy học như thế

nào để HS có khả năng giải được các bài toán đó.Trong chương trình toán phổ

thông có rất nhiều bài toán chưa hoặc không có thuật giải.Đối với những bài

toán đó,có thể hướng dẫn HS suy nghĩ cách tìm tòi lời giải :nên bắt đầu từ

đâu, nên suy nghĩ theo trình tự nào,nếu gặp khó khăn thì nên làm gì.v

v...Chúng ta biết rằng không có phương pháp tổng quát nào,không có thuật

toán nào để giải mọi bài toán. Chỉ có thể thông qua dạy HS giải một số bài


34

toán cụ thể, dần dần truyền cho các em kinh nghiệm, nghệ thuật trong phương

pháp suy nghĩ,giúp họ tự tìm thấy lời giải của các bài toán khác.Với ý nghĩa

đó, để tổ chức các hoạt động học tập của HS trong quá trình dạy học giải bài

tập toán GV hình thành cho HS về cách thức giải bài toán theo bốn bước của

G.Polya là :

Bước 1: Tìm hiểu nội dung đề bài.

Bước 2: Tìm cách giải.

Bước3: Trình bày lời giải.

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu sâu lời giải.

Khi dạy bài tập về giới hạn GV có thể phân dạng bài tập từ đó tìm ra

phương pháp chung để giải mỗi dạng đó,cụ thể khi dạy phần bài tập về giới

hạn GV có thể phân chia một cách tương đối thành các dạng sau:

Dạng 1: Sự tồn tại của giới hạn

Bài tập 1: CMR dẫy số Un = (-1)n không có giới hạn

Bài tập 2 :CMR Hàm số f(x) có giới hạn khi x dần tới 1

2

2

2

( ) 1

1

x x

f x x

x x

Bài tập 3: Cho hàm số 1

( ) sinf xx

và xét giới hạn của hàm số khi x

dần tới 0 qua 2 dãy số xn sau dây:

a. 1

nxn

Xét limf(xn)

b. 1

22

nx

n Xét limf(xn)

c. Có kết luận gì về 0

1limsinx x

Với x>1

Với x<1


35

Để làm được bài toán trên HS phải nắm vững định nghĩa giới hạn, các

định lý về sự tồn tại giới hạn.

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa, định lý và các tính chất của giới hạn

Dạng 2: Dạng xác định của giới hạn

Đây là dạng bài tập chứng minh giới hạn bằng định nghĩa, tìm giới hạn

bằng cách áp dụng trực tiếp định lý, các quy tắc..

Bài tập 1: Áp dụng định nghĩa chứng minh rằng:

1

lim 12

n

n

Bài tập 2: Tính các giới hạn sau:

a. 2

1lim(4 2)x

x x b. 1

3 1lim

2x

x

x

Bài tập 3: Tính giới hạn :

3sin 4cos

lim1

n n

n

Bài tập 4: Tính giới hạn:

2

sin3limx

x

x

Phương pháp: Dựa vào định nghĩa định lý về giới hạn hữu hạn của dãy

số và hàm số, sử dụng nguyên lý kẹp, sự biến thiên của hàm số

Dạng 3: Các dạng vô định thƣờng gặp

Giới hạn có dạng “vô định” ( dạng chưa xác định) là những giới hạn mà

ta không thể tìm chúng bằng cách áp dụng trực tiếp các định lý về giới hạn và

các giới hạn cơ bản vì nó vi phạm các điều kiện của định lý

Vấn đề đặt ra là muốn sử dụng được các định lý về giới hạn thì ta phải

“khử” dạng vô định và biến chúng thành dạng xác định


36

Trong chương trình lớp 11 THPT các dạng vô định thường gặp là các

giới hạn có dạng: 0

, , ,0. ...0

Để giải bài tập giới hạn dạng vô định thì việc đầu tiên HS cần phải làm

là nhận dạng giới hạn.

Giả sử cho 0

limx xx

f xI

g x

Nếu 0

lim ( ) 0x xx

f x và 0

lim ( ) 0x xx

g x thì I có dạng giới hạn 0

0

Nếu0

lim ( )x xx

f x và 0

lim ( )x xx

g x thì I có dạng giới hạn

Nếu 0

lim ( )x xx

f x và 0

lim ( )x xx

g x

thì 0

lim ( ) ( )x xx

f x g x có dạng giới hạn

Nếu 0

lim ( ) 0x xx

f x và 0

lim ( )x xx

g x

thì 0

lim ( ). ( )x xx

f x g x có dạng giới hạn 0.

Ta khử các dạng này như sau:

+ Đối với giới hạn có dạng 0

0

Trường hợp 1

Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì ta phân tích chúng thành các nhân tử

tức là

0 0 0

0 1 1 01

0 1 1 1 0

( ) ( ) ( )( )lim lim lim

( ) ( ) ( ) ( )x x x x x xx x x

f x x x f x f xf xI

g x x x g x g x g x

(Nếu limg1(x) 0 )


37

Nếu 1 0 1 0( ) ( ) 0f x g x thì ta lại tiếp tục phân tích

1 0 2( ) ( ). ( )f x x x f x

1 0 2( ) ( ). ( )g x x x g x

Quá trình khử dạng 0

0 là quá trình khử các nhân tử chung 0( )kx x ,

quá trình này sẽ dừng lại khi nhận được giới hạn gk(x) 0

Khi đó 0 0

0

0

( ) ( )lim lim

( ) ( )

k k

x x x xk kx x

f x f x f xI

g x g x g x

Bài tập1:

Tìm giới hạn

2

2

4lim

2x

xM

x

Giải :

+ Nhận dạng giới hạn;

2

2 2lim( 4) lim( 2) 0x x

x x vậy giới hạn có dạng 0

0

+ Khử dạng 0

0

2

2 2 2

4 ( 2)( 2)lim lim lim( 2) 4

2 2x x x

x x xM x

x x

Bài tập2 : Tìm giới hạn

4 3 2

4 21

2 5 3 1lim

3 8 6 1x

x x x xL

x x x

Bài tập 3: Tìm giới hạn

0

1 sin 2 2lim

1 sin 2 2x

x cos xL

x cos x


38

Khi gặp giới hạn này yêu cầu HS phải có tri thức về phân tích đa thức

thành nhân tử, chia đa thức cho đa thức, kỹ năng biến đổi lượng giác.

Trường hợp 2

Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức đại số có chứa căn thức bậc 2 hoặc căn

thức bậc 3 ở tử hoặc mẫu thì ta khử dạng 0

0 bằng cách nhân cả tử và mẫu với

lượng liên hợp nhằm loại các nhân tử (x-x0) ra khỏi căn thức

Tìm lượng liên hợp bằng cách áp dụng các hằng đẳng thức

a2 – b

2 = ( a-b)( a+b)

3 3 2 2( )( )a b a b a ab b

Bài tập 4: Tìm giới hạn

2

20

1 1limx

x

x

+ Nhận dạng giới hạn : dạng 0

0

+ Khử dạng 0

0

2 2 2 2

2 2 2 2 20 0 0

1 1 ( 1 1)( 1 1) 1 1 1lim lim lim

2( 1 1) ( 1 1)x x x

x x x x

x x x x x

Bài tập 5: Tìm giới hạn sau:

a.

3 3

1

2 1lim

1x

x x

x b.

3

4

2 1 3lim

2x

x

x

Bài tập 6: Tìm giới hạn sau

23

1

1lim

1x

x x x

x


39

Cách 1

+ Nhận dạng : giới hạn có dạng 0

0

+ Khử dạng 0

0

2 23 3

1 1 1

1 1lim lim lim

1 1 1x x x

x x x x x x

x x x

(Học sinh là tương tự như bài tập 4 và bài 1)

Cách 2 : Đặt 33t x t x khi 1 1x t

Vậy

2 6 3 3 53

3 21 1 1

1 1 ( 1)( 1) 1lim lim lim

1 1 ( 1)( 1) 3x t t

x x x t t t t t t

x t t t t

Nhận xét

+ Ở BT4 hàm số chỉ chứa 1 căn thức nên ta chỉ cần nhân cả tử và mẫu

với 1 biểu thức liên hợp

+ Ở bài 5 hàm số chứa hai căn thức ở tử và mẫu do vậy ta phải nhân cả

tử và mẫu với 2 biểu thức liên hợp của cả tử và mẫu

+ Ở bài tập 6 đây là dạng khác các dạng trên ta phải dùng phép biến đổi

đại số để đưa bài toán về dạng quen thuộc ( quy lạ về quen)

Trường hợp 3

Nếu f(x) hoặc g(x) là biểu thức có chứa căn không đồng bậc

Giả sử

( ) ( ) ( )m nf x u x v x với 0 0( ) ( )m nu x v x C , g(x0) = 0

Ta có thể sử dụng phương pháp chèn hằng số để quy lạ về quen

0 0 0

( ) ( ) ( ( ) ) ( ( ) )( )lim lim lim

( ) ( ) ( )

m n m n

x x x x x x

u x v x u x c v x cf x

g x g x g x


40

0 0

( ) ( ( ) )lim lim

( ) ( )

m n

x x x x

u x c v x c

g x g x

Các giới hạn trên là dạng quen thuộc TH1 đã biết cách giải

Bài tập 7:

Tìm giới hạn

3

21

7 3lim

3 2x

x x

x x. Sử dụng phương pháp trên

Nhận xét

Đối với các bài toán không ở dạng quen thuộc thì cần phải linh hoạt

trong biến đổi để đưa nó về dạng đã biết cách giải, biến bài toán phức tạp

thành bài toán đơn giản.

Trường hợp 4

Khử dạng 0

0 bằng đạo hàm (Sau khi học xong chương đạo hàm ở lớp 11)

Trong trường hợp giới hạn có dạng0

0 mà biểu thức của giới hạn cồng

kềnh phức tạp, việc áp dụng các cách giải trên là khó khăn thì ta sử dụng đạo

hàm để khử dạng 0

0.

Giáo viên cùng HS xây dựng phương pháp này

Xét giới hạn 0

( )lim

( )x x

f x

g x với f(x0) = g(x0) = 0, f(x) và g(x) có đạo hàm

tại x0 và g’(x0) khác 0

ta có

0

0

0

0

0 0

0 0

0

( ) ( )lim

'( )( )lim

( ) ( )( ) '( )lim

x x

x x

x x

f x f x

x x f xf x

g x g xg x g x

x x


41

Bài tập 8:

Tìm giới hạn sau

2 3

2 31

...lim

...

n

mx

x x x x nL

x x x x m

Giải

Đặt 2 3( ) .. nf x x x x x n (1) 0f n n

2 3( ) .. mg x x x x x m (1) 0g m m

Vậy giới hạn có dạng 0

0

Ta có

2 1 ( 1)

'( ) 1 2 3 .. '(1) 1 2 3 ...2

n n nf x x x nx f n

2 1 ( 1)'( ) 1 2 3 .. '(1) 1 2 3 ...

2

m m mg x x x mx g m

Theo phương pháp làm trên ta có

2 3

2 31

... '(1) ( 1)lim

... '(1) ( 1)

n

mx

x x x x n f n nL

x x x x m g m m

Bài tập 9 : Tính giới hạn

3

1 3 5lim

2 3 6x

x x

x x

+ Giới hạn dạng 0

0

Đặt 1 3

( ) 1 3 5 '( )2 1 2 3 5

f x x x f xx x


42

2 1( ) 2 3 6 '( )

2 2 3 2 6g x x x g x

x x

1 3 1'(3)

4 4 2f

1 1 1'(3)

3 6 6g

Vây 3 3

1 3 5 ( ) '(3)lim lim 3

( ) '(3)2 3 6x x

x x f x f

g x gx x

Nhận xét : Trên đây là hai bài tập áp dụng đạo hàm để tìm giới hạn. Khi

sử dụng phương pháp này phải chú ý điều kiện là f(x) và g(x) phải có đạo

hàm, g’(x) khác 0,và phải nắm vững công thức tính đạo hàm.

Giới hạn dạng

Đây là một dạng giới hạn thường gặp ở THPT để khử dạng này về

phương pháp chung là khử tới mức tối đa các thành phần có giới hạn vô cực.

Tức là: ( )

lim( )x

f x

g xvới f(x) và g(x)là các đa thức đại số và

với ( )

( )

f xkhi x

g x

Ta khử như sau:

Cách 1

Chia cả tử và mẫu với bậc lũy thừa cao nhất của x có mặt trong phân

thức đó

Bài tập1

Tính giới hạn sau:

3 5

2 5

2 3 1lim

1 5 3x

x xK

x x

+ Nhận dạng: Giới hạn có dạng


43

+Khử dạng , Chia cả tử và mẫu cho x5 ta có

3 5 2 5

2 5

5 3

2 13

2 3 1lim lim 1

1 51 5 33

x x

x x x xKx x

x x

Bài tập2: Tính giới hạn 1 1

( 2) 3lim

( 2) 3

n n

n nB

Chia cả tử và mẫu cho 3n+1

ta có

11 1

2 1 1.

( 2) 3 13 3 3lim lim

( 2) 3 321

3

n

n n

nn nB

Nhận xét Trong trường hợp giới hạn có dạng

1

1 2 1

1

1 2 1

...lim

...

m m

m

n nxn

a x a x aI

b x b x b ta có thể đoán được kết quả của giới hạn

+ Nếu m < n thì I = 0

+ Nếu m = n thì I = a1 : b1

+ Nếu m > n thì I

Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức chứa căn ta quy ước coi m

k (Trong đó m

là số mũ cao nhất của biểu thức trong căn, k là bậc của căn thức chứa số hạng

đó) là bậc của số hạng nào đó, Bậc của tử (mẫu) là bậc của số hạng có số mũ

cao nhất của tử( mẫu)sau đó ta làm tương tự như trường hợp trên.

Cách 2: Sử dụng nguyên lý kẹp

Phương pháp

Chọn k(x) và h(x) sao cho ( )

( ) ( )( )

f xk x h x

g x


44

Chứng minh lim ( ) lim ( )x x

k x h x L

Kết luận ( )

lim( )x

f xK L

g x

Bài tập 3 Tính giới hạn limx

sinx

x

Giải Ta biết x R thì sin 1 1 1x sinx nên

1 1 sin 1sinx x

x x x x x

*x R

Ta có 1 1

lim lim 0x xx x

Vậy lim 0x

sinx

x

Giới hạn dạng ,0.

Phương pháp : để khử dạng này ta nhân, chia với lượng liên hợp để đưa

về dạng ,0

0 đã biết cách giải

Bài tập 4: Tính giới hạn 2lim ( 1 )

xx x x

Giải

+ Ta thấy giới hạn có dang

+ Khử dạng Nhân và chia với 2( 1 )x x x

2 22

2

2

11

1 1lim ( 1 ) lim

21 111 1

x x x

x x x xx x x limx x x

x x


45

Bài tập 5 : Tính giới hạn : 22

lim( 2)4x

xx

x

Giải

Giới hạn có dạng 0.

Với x > 2 ta có

2

. 2( 2) ( 2).

4 2. 2 2

x x x xx x

x x x x

do đó 22 2

. 2lim( 2) lim 0

4 2x x

x x xx

x x

Nhận xét

+ Khi giải các dạng bài tập này cần áp dụng các hằng đẳng thức

+ Nắm vững cách tính giới hạn ; 0

0

+ Cần có sự linh hoạt khi sử dụng các phương pháp

Dạng 4: ứng dụng giới hạn để giải các bài toán thực tế

Trong quá trình nghiên cứu chủ đề giới hạn lớp 11 THPT có rất nhiều

bài toán về giới hạn có ứng dụng và liên quan đến thực tế toán học cũng như

cuộc sống.

Bài toán 1: (Nghịch lý của Zenon) có nội dung là: A sin (kiện tướng

chạy nhanh thời Hy lạp cổ) dù chạy nhanh nhưng vẫn không đuổi kịp con rùa.

Bài toán được đặt ra như sau: A sin đến được chỗ con rùa,thì con

rùa đã tiến lên được một đoạn. A sin đi được một đoạn mà rùa vừa đi,thì rùa

đã tiến thêm được một đoạn mới.Cứ như thế rùa bao giờ cũng đứng trước A

sin, tức là A sin không đuổi kịp rùa.

Cụ thể là,giả sử ban đầu rùa cách A sin 100m. Vận tốc A sin là 100m/s

và vận tốc của rùa là 1m/s (có thể là không thực tế)


46

A sin đi 100m mất 10 giây. Trong khi đó rùa đi được 10m. để đuổi kịp

rùa, A sin đi 10m đó trong 1s,thì rùa đi được 1m. A sin đi đoạn đường 1m

1

10s, thì rùa đã đi được

1

10m,…..và cứ như thế A sin đuổi rùa.Vậy thời gian A

sin đuổi kịp rùa là tổng vô hạn :

10 +1 + 1

10 +

1

100 + …..

Người xưa cho rằng tổng này là một số vô hạn vì thế A sin không đuổi

kịp rùa

Ngày nay sau khi học xong phần giới hạn của dãy số ta thấy ngay tổng

này là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn ( q= 1

10)

Vậy ta có : lim (10 +1 + 1

10 +

1

100 + …..)= S =

10

11

10

=111

9(h)

Tổng trên là một số hữu hạn nên A sin đuổi kịp rùa là hiển nhiên.

Nghịch lý được bác bỏ bằng kiến thức giới hạn.

Bài toán 2

Để trang hoàng cho căn phòng của mình chú chuột mickey quyết định tô

mầu cho tấm bìa hình vuông cạnh bằng 1. Nó tô màu xám cho các hình

vuông nhỏ được đánh số lần lượt là 1,2,3,4,5,…n trong đó các cạnh của hình

vuông kế tiếp bằng một nửa cạnh của hình vuông kế tiếp (H2)

Tính diện tích của các hình vuông được tô màu

Bài toán 3: Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta

được một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo

Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành.

Để xây dựng công thức tính diện tích hình tròn người ta làm như sau:

Lấy1 đa giác đều nội tiếp trong đường tròn rồi gấp đôi mãi mãi số cạnh của đa

giác đó thì diện tích đa giác đều cứ tăng lên mãi mãi và ngày càng gần tới một


47

giá trị xác định ( không phụ thuộc vào việc chọn đa giác đều đầu tiên giá trị

đó gọi là diện tích hình tròn

Tức là

- Nếu gọi diện tích đa giác đều n cạnh là Pn

- Gọi diện tích hình tròn là S

Thì lim nn

S P

Để hoàn thành định nghĩa lũy thừa với số mũ thực sau khi học xong

định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỷ, người ta định nghĩa lũy thừa với số mũ

vô tỉ như sau:

Cho a > 0 và là số vô tỉ, xét một dãy số bất kì những số hữu tỉ dương

r1,r2…rn… sao cho limrn =

Xét dãy số những lũy thừa của a tương ứng 1 2, ... ...nrr ra a a

Người ta chứng minh được rằng tất cả các dãy số ( )nra đều có cùng một

giới hạn khi n Giới hạn đó gọi là lũy thừa với số mũ vô tỉ của a > 0

Ký hiệu: a

lim nr

na a

Như vậy nhờ có kiến thức về giới hạn người ta đã giải quyết được một số

vấn đề của thực tiễn cuộc sống và thực tiễn toán học.

Ngược lại, qua thực tiễn cuộc sống các kiến thức về giới hạn cũng trở

nên sinh động hơn, sáng tỏ hơn.

2.3 Một số biện pháp nhằm tích cực hóa các hoạt động học tập của học

sinh khi học chủ đề giới hạn

Trong quá trình dạy và học hai nhân vật trực tiếp quyết định chất lượng

dạy và học là GV và HS. Người Thầy giáo không chỉ dạy nguyên dạng trí

thức khoa học hay tri thức chương trình mà phải chuyển hoá từ tri thức


48

chương trình thành tri thức dạy học.Để đạt được kết quả tốt thì trong giờ dạy

của Thầy HS không tiếp thu kiến thức một cách thụ động mà thầy phải phát

huy được tính tích cực học tập của mỗi HS, việc dạy học sẽ có kết quả tốt nếu

có sự thống nhất giữa hoạt động dạy của thầy và hoạt động học của trò.

+ Hoạt động của Thầy: thiết kế, điều khiển

+ Hoạt động của trò: học tập tự giác tích cực

Nếu vai trò của Thày chỉ là “thiết kế ” mà không có “điều khiển” thì

việc học chỉ như việc độc thoại, truyền thụ kiến thức một chiều một cách

miễn cưỡng từ thày đến trò. Kết quả là học sinh bị nhồi nhét một cách thụ

động vốn kiến thức,các em không tự chế biến, phân tích tổng hợp thành vốn

tri thức của mình. Ngược lại nếu như người thầy chỉ nặng về “ điều khiển” mà

không “ thiết kế ” tốt thì giờ học chỉ sôi nổi về mặt hình thức,mà không đạt

kết quả, chính vì vậy khâu soạn bài của GV là vô cùng quan trọng bởi thực

chất thiết kế bài dạy là lập kế hoạch chuẩn bị cho quá trình học cả về mục

đích lẫn nội dung phương pháp, phương tiện, hình thức tổ chức. Trong điều

kiện hiện nay việc soạn bài dạy toán ở trường PTTH theo hướng đổi mới

phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực, học tập của HS có thể tiến

hành theo những biện pháp sau:

2.3.1. Tổ chức cho học sinh đa dạng hoạt động trong học tập phù hợp với

nội dung bài dạy

Mỗi nội dung dạy học đều liên hệ với những hoạt động học tập nhất

định. Đó trước hết là những hoạt động đã được tiến hành trong quá trình lịch

sử hình thành và ứng dụng tri thức được bao hàm trong nội dung này cũng

chính là những hoạt động để người học có thể kiến tạo và ứng dụng những tri

thức trong nội dung đó.

Giữa các hoạt động học tập của HS với mục đích nội dung phương pháp

học tập có mối quan hệ chặt chẽ với nhau, qua những hoạt động học tập của


49

học sinh sẽ thể hiện người học đó có đạt được mục đích đề ra hay không, đạt

được đến mức độ nào.Tổ chức các hoạt động của học sinh là tạo ra con đường

đúng đắn và hiệu quả để HS chiếm lĩnh trí thức, rèn luyện kỹ năng hình thành

thái độ ,ngược lại việc chiếm lĩnh tri thức rèn luyện kỹ năng hình thành thái

độ trong phần lớn các trường hợp để trực tiếp hay gián tiếp thực hiện một

hoạt động trong học tập cũng như trong cuộc sống.

Dạy học là quá trình phức tạp trong quá trình hình thành và vận dụng

mỗi nội dung dạy học luôn có một số hoạt động nhất định.Chẳng hạn hoạt

động có tác dụng củng cố tri thức,rèn luyện kỹ năng và hình thành kiến

thức mới.

Hoạt động của HS trong học tập rất đa dạng và có những cấp độ tổng

quát khác nhau.Tuy nhiên nhìn chung một cách trìu tượng thì đằng sau toàn

bộ nội dung dạy học có những hoạt động cần chú ý sau :

+ Hoạt động nhận dạng và thể hiện :Đây là hai dạng hoạt động theo

chiều hướng trái ngược nhau liên hệ với một định nghĩa, định lý, hay một

phương pháp nào đó, có tác dụng củng cố khái niệm, tạo tiền đề cho việc vân

dụng khái niệm.

Ví dụ 1: Tìm các giới hạn sau

a, 3

2

2lim (1 )x

xx

b, 1

2 3lim )

1x

x

x

c, 3

2

2lim (1 )x

xx

d, 1

2 3lim )

1x

x

x

+ Hoạt động toán phức hợp: Chứng minh định nghĩa, giải toán bằng cách

lập phương trình, dựng hình…sẽ giúp HS nắm vững nội dung toán học, phát

triển kỹ năng cũng như năng lực toán học tương ứng.

+ Hoạt động trí tuệ phổ biến: Đó là lật ngược vấn đề xét tính giải được,

phân chia các trường hợp, tư duy hàm, tư duy thuật giải…


50

+ Hoạt động trí tuệ chung: Phân tích, tổng hợp, so sánh, xét tương tự,

trừu tượng hoá, khái quát hoá… cũng được tiến hành thường xuyên khi học

môn toán.

+ Hoạt động ngôn ngữ : Như phát triển,giải thích …..

Ví dụ 2: Khi dạy cho HS phần giới hạn dạng vô định

GV cho HS nhận dạng các giới hạn sau thuộc loại nào?

a, 21

1lim

3 2x

x

x x b,

5 1lim

2x

x

x

c, 2lim ( 5 1)

xx x d,

3

1

4 3lim . 1

1x

xx

x

GV yêu cầu HS thể hiện bằng cách tìm giới hạn ( a )

Từ đó nêu lên cách giải của bài toán ( a) và tổng quát hóa thành phương

pháp giải bài toán tổng quát

Tìm 0

( )lim

( )x x

f x

g x. Trong đó f(x) và g (x) là các đa thức và f(x0) = g(x0) = 0

HS vận dụng phương pháp vừa tìm được để tìm giới hạn (Hoạt động

thử nghiệm).

2

31

2lim

1x

x xI

x

Việc tổ chức các hoạt động trên đã giúp HS hình thành phương pháp tìm

giới hạn vô cực và giới hạn dạng 0

0

Ngoài ra để dạy học một nội dung nào đó người ta thường có nhiều

phương pháp khác nhau, do đó tùy theo nội dung bài dạy, tùy theo điều kiện

cụ thể mà GV có thể lựa chọn cách này hay cách khác, nhưng điều quan trọng

nhất quyết định đến kết quả học tập chính là hoạt động học tập của HS mà

điều này GV không thể làm thay được.


51

Vì vậy cần phải tổ chức các hoạt động của HS phù hợp với nội dung

bài dạy.

2.3.2.Truyền thụ tri thức phương pháp cho học sinh qua mỗi bài dạy

Đối với HS phổ thông, có thể xem việc giải bài tập là hình thức chủ yếu

của hoạt động toán học. Bởi vì các bài toán ở trường THPT là phương tiện rất

hiệu quả và không thể thay đổi được trong việc giúp HS nắm vững tri thức,

phát triển tư duy hình thành kỹ năng kỹ xảo, ứng dụng toán học vào thực tiễn.

Dạy học giải bài tập toán không có nghĩa là GV chỉ đơn thuần cung cấp

cho HS lời giải cụ thể của một bài toán, biết lời giải không quan trọng bằng

làm thế nào để giải được bài toán.

Vì vậy cần phải truyền thụ tri thức phương pháp cho HS trong quá trình

truyền thụ kiến thức cơ bản,

Tri thức phương pháp giúp cho HS tìm được đường lối, lời giải của bài

toán, từ đó phát huy được tính tích cực học tập của HS trong quá trình

học tập.

Ngoài ra các tri thức phương pháp tiến hành trong hoạt động trí tuệ

chung, các hoạt động toán phức hợp,.. cần cung cấp cho HS một số phương

pháp chứng minh, phương pháp tìm tòi các lời giải của một bài toán.

2.3.2.1. Những tri thức phương pháp khi dạy bài tập giới hạn

Nguyên tắc chung

+ Đối với các bài tập giới hạn đơn giản, nên tìm trực tiếp bằng cách

nhóm các số hạng, nhân liên hợp.

+ Khi thực hiện các phương pháp có tính chất thủ thuật như: thêm bớt

đạo hàm … thì phải dựa vào đặc điểm của từng bài mà lựa chọn cách làm cho

hợp lý. Không nên quá lợi dụng một phương pháp cứng nhắc nào cả.

+ Khi sử dụng dạng vô định thì phải khử cho đến khi nào hết dạng vô

định mới thôi.


52

+ Khi dùng phương pháp đổi biến thì phải đổi cận của giới hạn.

+ Nên vận dụng linh hoạt các bài toán đã biết vào bài tập tìm giới hạn.

+ Riêng dạng vô định 0

0 nếu sử dụng các phương pháp khác gặp khó

khăn thì nên sử dụng phương pháp tìm giới hạn bằng đạo hàm.

+ Trong các bài toán tìm giới hạn có những kỹ năng như nhận dạng thể

hiện, biến đổi chuyển hóa luôn gắn bó chặt chẽ với nhau, cũng có thể ở một

vài dạng giới hạn kỹ năng này đóng vai trò chính thì ở dạng giới hạn khác lại

là kỹ năng khác, chẳng hạn :

Sau khi thực hiện thuật thêm bớt kỹ năng biến đổi hay phép biến đổi

(kỹ năng chuyển hóa) ta mới tiến hành nhân liên hợp hay vận dụng các giới

hạn cơ bản

Nếu ở dạng vô định kỹ năng nhận dạng đóng vai trò quan trọng thì ở

dạng vai trò đó lại thuộc về kỹ năng vận dụng và biến đổi

2.3.2.2. Tri thức phương pháp cho từng dạng bài tập cụ thể

Giới hạn dạng vô định 0

0

Loại 1 : Nếu f(x) và g(x) là các đa thức thì phân tích f(x), g(x) thành các

nhân tử rồi đơn giản làm mất dạng 0

0

Loại 2 :

+ Nếu f(x) hoặc g(x) chứa 1 hoặc 2 căn thức đồng bậc thị nhân liên hợp

+ Nếu f(x) hoặc g(x) có chứa căn thức không đồng bậc thì sử dụng thuật

thêm bớt ( chèn hằng số vắng)

+ Nếu các phương pháp trên gặp khó khăn thì dùng đạo hàm.

Loại 3


53

Nếu f(x) và g(x) là các biểu thức lượng giác thì dùng phép biến đổi

lượng giác hoặc các giới hạn đã biết

Giới hạn dạng

+ Khử bằng cách chia cả tử và mẫu cho x có số mũ cao nhất.

+ Đối với một số giới hạn có thể nhìn thấy trước kết quả

Các giới hạn , 0.

Cần dùng các phép biến đổi đại số để đưa về dạng quen thuộc 0

0,

2.3.3. Kết hợp nhiều phương pháp dạy học

Trong việc tổ chức 1 giờ học cho HS, GV không nên tuyệt đối hóa một

phương pháp dạy học nào cả, bởi vì mỗi phương pháp dạy học đều có những

ưu điểm, nhược điểm riêng. Phối hợp một cách khéo léo các phương pháp dạy

học với nhau sẽ hạn chế được nhược điểm của mỗi phương pháp.

Tuy nhiên với mục tiêu “Tất cả các học sinh đều được hoạt động”. Giáo

viên có thể kiểm soát được, những phương pháp nào không đạt được yêu cầu

này thì không nên sử dụng quá nhiều

2.3.3.1. Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề

Việc đổi mới phương pháp dạy học hiện nay là một vấn đề cấp bách

của toàn ngành giáo dục, một mặt cải tiến mạnh mẽ phương pháp dạy học cổ

truyền, sàng lọc loại bỏ các phương pháp dạy học lỗi thời phát huy các

phương pháp tích cực và vận dụng sáng tạo các phương pháp đó vào điều kiện

dạy học mới ở các trường THPT. Mặt khác phải nghiên cứu một phương pháp

dạy học mới tiên tiến có tác dụng phát huy tính tích cực sáng tạo của HS theo

hướng: HS tự “ phát hiện” vấn đề và tìm cách “giải quyết vấn đề” với sự giúp

đỡ của giáo viên. Tiến đến GV trao đổi hướng dẫn những vấn đề chung, HS

lựa chọn những vấn đề cần thiết cho mình tự tìm cách giải quyết vấn đề.


54

Phương pháp dạy học phát hiện vấn đề và giải quyết vấn đề góp phần đắc lực

cho công cuộc đổi mới đó và phù hợp với thực tiễn ở Việt Nam, phương pháp

này có tác dụng kích thích tính tích cực tự nhận thức của HS. Nó thuộc hệ

thống các phương pháp dạy học tích cực. Phương pháp dạy học này được đề

cấp đến trong rất nhiều tại liệu. Vì vậy trong khuôn khổ của luận án này chỉ

nêu tóm tắt phần lý thuyết tập trung chủ yếu vào các vị dụ trình bày minh hoạ,

một số cách tạo tình huống có vấn đề.

Các khái niệm cơ bản

+ Vấn đề: Trong dạy học một vấn đề biểu thị bởi một hệ thống các

mệnh đề câu hỏi, yêu cầu chưa được giải đáp, chưa có một phương pháp có

tính chất thuật giải để giải đáp câu hỏi hoặc thực hiện yêu cầu đặt ra.

+ Tình huống tạo vấn đề: Là tình huống trong đó tồn tại một vấn đề gợi

nhu cầu nhận thức, khơi dạy niềm tin ở khả năng bản thân.

Bản chất của phương pháp dạy học” phát hiện và giải quyết vấn đề”; là

thầy giáo tạo ra tình huống gợi vấn đề điều khiển HS phát hiện và giải quyết

vấn đề, qua đó mà HS lĩnh hội được tri thức, rèn luyện được kỹ năng, đạt

được mục đích dạy học. Tư duy chỉ hoạt động tích cực khi được đặt vào tình

huống có vấn đề. Vì vậy trong giờ học GV có thể tạo ra tình huống có vấn đề

theo một số cách như sau:

Một số cách thông dụng để tạo tình huống gợi vấn đề

Cách 1: Xuất phát từ kiến thức cũ, đặt vấn đề nghiên cứu kiến thức mới

(giúp học sinh chấp nhận kiến thức mới một cách tự nhiên)

+ Dự đoán nhờ nhận xét trực quan và thực nghiệm

Ví dụ 1: Khi dạy cho HS phần quan hệ giữa các góc trong một tam giác

GV cho HS cắt một hình tam giác bất kỳ sau đó gấp đôi tam giác theo một

đường thẳng song song với một cạnh đáy sao cho đỉnh nằm trên cạnh đáy sau

đó gấp hai đỉnh còn lại theo mép của cạnh đáy sao cho ba đỉnh của tam giác

trùng nhau) Hỏi học sinh có nhận xét gì về tổng 3 góc trong của tam giác đó.


55

Ví dụ 2 : Từ những kết quả đã biết sau đây sin230

0 + cos

230

0 =1

sin245

0 + cos

245

0 =1

sin260

0 + cos

260

0 =1

sin290

0 + cos

290

0 =1

sin2135

0 + cos

2135

0 =1

Giáo viên gợi vấn đề phải chăng sin2x + cos

2x =1 với mọi x thoả mãn

0 00 180x

+ Lật ngược vấn đề: Một vấn đề quen thuộc khi lật ngược lại chưa biết

đúng hay sai. Từ đó nảy sinh ra vấn đề mới lạ gây ngạc nhiên và hứng thú

cho HS, từ đó gợi nhu cầu nhận thức. Khi vấn đề được lật ngược HS cảm thấy

gần gũi, đôi khi cảm thấy hiển nhiên gây cho HS niềm tin vào khả năng giải

quyết vấn đề.

Ví dụ 3:

Ta có định lý “Nếu 0

lim ( )x x

f x L và 0

lim ( )x x

g x M

thì 0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M ” ( L,M R )

Vậy ngược lại: Nếu 0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M

thì có thể suy ra 0

lim ( )x x

f x L

Và 0

lim ( )x x

g x M được không ?

+ Phép tƣơng tự: Là đúc rút kinh nghiệm từ một chân lí đã biết trước

hoặc vừa khám phá.

Ví dụ 4: Ta có“Nếu0

lim ( )x x

f x L và0

lim ( )x x

g x M

thì 0

lim ( ) ( )x x

f x g x L M ” ( L,M R )


56

Vậy “Nếu0

lim ( )x x

f x L ,0

lim ( )x x

g x M và0

lim ( )x x

v x k

Thì 0

lim ( ) ( ) ( ) ?x x

f x g x v x ( L,M,k R )

+ Khái quát hoá: từ một hay một lớp chân lí đã biết khái quát hoá

thuộc lớp suy luận có lý, kết quả thường mang tính giả thiết, dự đoán.

Ví Dụ 5: từ các hằng đẳng thức

a2 – b

2 = (a- b)).(a+b) = (a-b) (a

1b

0+a

0b

1)

a3 – b

3 = (a- b)).(a

2 + ab +b

2) = (a-b) (a

2b

0+a

1b

1 +a

0b

2 )

Ta có thể dự đoán an – b

n = ? với , 2n N n

Cách 2: Nêu lên tiện ích của kiến thức mới xắp học

Ví dụ 6: Trước khi học phần tổng các số hạng của một cấp số nhân lùi

vô hạn.GV cho HS làm bài toán sau:

Trong hình vuông cạnh a. Nếu nối mỗi trung điểm 4 cạnh ta được

một hình vuông mới và tiếp tục làm như thế với các hình vuông tiếp theo

Tính diện tích tất cả các hình vuông mới tạo thành

Khi giải HS có thể lập được tổng diện tích là

S = a2 +

1

2 a

2 +

1

4 a

2 + ……

Vậy làm thế nào tính được tổng này ?

Ví dụ 7: Khi học bài công thức nhị thức Niutơn, trước khi vào bài mới

GV yêu cầu học sinh tìm hệ số trong khai triển nhị thức (a+b)4

HS có thể làm như sau:

(a+b)4 = (a+b)

2.(a+b)

2 = (a

2+2ab+b

2)(a

2+ab+b

2)

= a4+4a

3b + 6a

2b

2 +4ab

3 + b

4

GV thông báo rằng có thể nhẩm được hệ số của các số hạng trong khai

triển (a+b)4 (a+b)

5 , (a+b)

6… một cách dễ dàng mà không làm theo cách như

trên mà dựa vào tam giác số, tam giác Pascal


57

GV hỏi Có muốn biết tam giác đó không?

HS sẽ hứng thú với vấn đề mới và chờ đợi sự giải quyết trong bài học

Cách 3: Tìm sai lấm trong lời giải

Ví dụ 8: GV yêu cầu HS tìm

2

1

1lim

1x

x

x

Một học sinh làm như sau:

2

1 1 1

1 ( 1)( 1)lim lim lim( 1) 2

1 1x x x

x x xx

x x

Đây là lời giải sai vậy sai từ bước nào? Sai ở đâu?

Yêu cầu HS tìm chỗ sai trong lời giải này.

Cách 4: Phát hiện nguyên nhân và sửa chữa sai lầm

Trong ví dụ trên nếu yêu cầu HS tìm nguyên nhân và sửa chữa sai lầm

tức là GV đã đặt HS trước công việc cần phải suy nghĩ

Học sinh sẽ phát hiện ra sai do khâu biến đổi đại số.

Vậy thì 2

( 1)( 1)

1 1

( 1)( 1)1

( 1)

x x

x x

x xx

x

Vậy 2 11

( 1)1

xx

xx

Vậy để tính

2

1

1lim

1x

x

x ta cần phải tính

2

1

1lim

1x

x

x và

2

1

1lim

1x

x

x

2

1 1

1 ( 1)( 1)lim lim 2

1 1x x

x x x

x x

2

1 1

1 ( 1)( 1)lim lim 2

1 1x x

x x x

x x

1 11

( 1) 1

x khixx

x khix

Với x >1

Với x < 1


58

2 2

1 1

1 1lim lim

1 1x x

x x

x x vậy không tồn tại

2

1

1lim

1x

x

x

Cách 5 :Tìm lời giải ngắn gọn hơn

Ví dụ 8: Tìm 0

1 1limx

x

x

Cách 1: Nhân và chia với lượng liên hợp của tử ta có :

0

1 1limx

x

x=

0

( 1 1)( 1 1)lim

( 1 1)x

x x

x x

= 0

1 1lim

( 1 1)x

x

x x 0

1 1lim

21 1x x

Cách 2: Đặt ẩn số phụ:

Đặt t = 1x x + 1 = t 2

x = t 2 -1 Khi x 0 thì t 1

Vậy: 0

1 1limx

x

x= 21

1lim

1t

t

t 1

1 1lim

1 2t t

Như vậy rõ ràng nếu HS sử dụng cách 2 sẽ ngắn gọn hơn cách 1

Cách 5: Giải một bài toán mà HS chưa biết thuật giải:

Ví dụ 9: Sau khi học xong phần định lý về giới hạn hữu hạn của hàm số

GV cho HS tính giới hạn sau :

Tìm 0

1 1limx

x

x

Rõ ràng để giải được bài toán này buộc HS phải suy nghĩ làm thế nào để

đưa giới hạn này về dạng áp dụng được định lý vừa học.

Dạy học phát hiện và giải quyết vấn đề cho phép tăng cường tính tích

cực độc lập sáng tạo trong học tập của HS đảm bảo học sinh lĩnh hội 1 cách

sáng tạo tri thức và phương pháp hoạt động biểu lộ tiềm lực sáng tạo trong tất

cả các lĩnh vực sau này.


59

Như vậy ở bất kỳ đâu bất kỳ lúc nào năng lực sáng tạo đều được nảy

sinh và phát triển trong quá trình phát hiện và giải quyết vấn đề. Tuy nhiên

để gây hứng thú học tập cho HS, người GV phải biết kết hợp phương pháp

dạy học này với phương pháp dạy học khác nhằm phát huy tính tích cực

của HS.

2.3.3.2. Dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ

Cấu tạo của hoạt động theo nhóm

+ Làm việc chung cả lớp

- Nêu vấn đề xác định nhiệm vụ nhận thức

- Tổ chức các nhóm giao nhiệm vụ cho các nhóm

- Hướng dẫn cách làm việc theo nhóm

+ Làm việc theo nhóm

- Xác định công việc cần tiến hành sau đó phân công nhiệm vụ cho

từng thành viên, từng cá nhân làm việc độc lập

- Trao đổi ý kiến thảo luận trong nhóm

- Cử đại diện trình bày kết quả làm việc của nhóm

+Thảo luận, tổng kết trước toàn lớp

- Các nhóm lần lượt báo cáo kết quả.

- Thảo luận chung

- GV tổng kết, gợi mở vấn đề mới

Tác dụng của phƣơng pháp dạy học hợp tác theo nhóm nhỏ

- Tạo được sự giao lưu gần gũi, các thành viên trong nhóm chia sẻ được

các suy nghĩ, băn khoăn, kinh nghiệm của bản thân với bạn bè

- GV dễ dàng thu nhận được thông tin phản hồi từ HS, từ đó GV có thể

điều chỉnh nội dung và hình thức tổ chức dạy học để đạt hiệu quả cao hơn

- Bài học trở thành quá trình học hỏi lẫn nhau chứ không phải chỉ tiếp

nhận thụ động từ GV


60

- Kiến thức sẽ được khắc sâu,vì vấn đề nêu ra HS được tham gia trao

đổi,trình bày

- Việc gợi vấn đề của GV sẽ được phân hoá phù hợp với các đối tượng

HS trong lớp.

VÝ dô 1: Trong giê d¹y bµi tËp muèn h×nh thµnh cho HS tri thøc

ph¬ng ph¸p t×m giíi h¹n v« ®Þnh 0

0 GV cho HS thùc hiÖn çc ho¹t ®éng

sau:

Ho¹t ®éng 1: Chia líp ra thµnh çc nhãm cø hai bµn t¹o thµnh mét

nhãm,mçi nhãm thùc hiÖn nhiÖm vô trong phiÕu häc tËp:

Nhãm 1: a, T×m giíi h¹n 0

1 1limx

x

x

b, Nªu c ch tÝnh giíi h¹n trªn.


2lim

7 3x

x

x

b, Nªu c ch tÝnh giíi h¹n trªn.


1 1lim

7 3x

x

x

b, Nªu çch tÝnh giíi h¹n trªn.


2lim

7 11x

x

x x

b, Nªu çch tÝnh giíi h¹n trªn

Ho¹t ®éng 2: Çc nhãm kiÓm tra chÐo kÕt qu¶ cña nhãm b¹n díi

sù chØ ®¹o cña GV:

Nhãm 1: KiÓm tra phiÕu cña nhãm 2





61


62

Ho¹t ®éng 3:

+ Çc nhãm b¸o c o kÕt qu¶

+Th¶o luËn gi÷a c c nhãm vÒ kÕt qu¶ vµ c ch tÝnh çc giíi h¹n trªn

+ Nªu kÕt luËn chung vÒ çch t×m giíi h¹n d¹ng nµy

GV: NhËn xÐt, ®¸nh gi¸ kÕt qu¶ cña tõng nhãm vµ kÕt luËn vÒ

phong ph¸p t×m giíi h¹n d¹ng v« ®Þnh 0

0 ®èi víi hµm sè h÷u tû cã chøa

c¨n bËc hai.

Ngoµi hai ph¬ng ph¸p trªn GV cã thÓ kÕt hîp nhiÒu ph¬ng ph¸p d¹y

häc kh¸c trong mçi t×nh huèng hay trong mét bµi d¹y

Ví dụ 2

Sau khi học xong định lí về giới hạn hữu hạn của hàm số GV yêu cầu

HS tính giới hạn sau

2

21

4 3lim

1x

x xI

x

Tìm 2

1lim( 4 3)x

x x và 2

1lim( 1)x

x (đối với học sinh yếu)

HS phát hiện ra giới hạn (I) có tử số bằng 0 và mẫu số bằng 0 khi x

dần tới 1 ( Phát hiện ra vấn đề )

Vậy có thể áp dụng trực tiếp định lý vừa học được không ? Tại

sao? (Đối với học sinh trung bình)

Vậy thì giới hạn (I) được tính như thế nào?

Giáo viên gợi ý: Nhận xét đa thức tử và đa thức mẫu có đặc điểm gì

chung không?

Lợi dụng đặc điểm chung đó để giản ước

Sau đó áp dụng định lí về giới hạn hữu hạn

Qua ví dụ trên nêu cách giải bài toán theo từng bước (Đối với học

sinh khá)

?

?

?

?


63

Qua mỗi lần HS giải quyết được câu hỏi trên HS dần dần hình thành

phương pháp tìm giới hạn dạng 0

0 đối với hàm phân thức mà tử và mẫu là

các đa thức.

HS khái quát hóa thành phương pháp chung.

Giáo viên kết luận

Ví dụ trên đã kết hợp phương pháp dạy học phát hiện và giải quyết vấn

đề và dạy học phân hóa kết hợp với khám phá có hướng dẫn, đàm thoại để HS

phát hiện ra cách giải bài toán về giới hạn dạng 0

0. Đồng thời GV thông báo

cho HS tri thức phương pháp để giải bài toán trên.

Ví dụ 2: Để củng cố phương pháp trên GV phát phiếu học tập cho HS

yêu cầu trả lời vào phiếu.

Phiếu 1: Hãy tính

3

21

2

8 1lim

6 5 1x

xI

x x

Bạn hãy chọn một trong các đáp án sau:

Nếu bạn chọn I thì xem phiếu 2

Nếu bạn chọn I = 2 thì xem phiếu 3

Nếu bạn chọn I= 6 thì xem phiếu 4

Nếu bạn chọn kết quả khác thì xem phiếu 5

Phiếu 2: Bạn đã chọn sai vì bạn coi 0

0 Hãy quay lại phiếu 1

Phiếu 3 : Bạn đã chọn sai

Vì khi phân tích 8x3 – 1 thành tích bạn đã phân tích nhầm

8x3 – 1= (2x-1)(4x

2 – 2x+1) Hãy quay lại phiếu 1

Phiếu 4 bạn đã chọn đúng

?


64

Vì

3 2 2

2

8 1 (2 1)(4 2 1) 4 2 1

6 5 1 (2 1)(3 1) 3 1

x x x x x x

x x x x x

vậy

3

21

2

8 1lim 6

6 5 1x

xI

x x

Phiếu 5: Bạn đã chọn sai. Quay lại phiếu 1

Trên đây là ví dụ về dạy học chương trình hóa nhằm tạo ra sự hứng thú

của HS khi học tập, kích thích tính tò mò của HS khi được GV đưa ra câu hỏi

dưới nhiều hình thức khác nhau làm cho HS tích cực hoạt động học tập hơn.

2.3.4. Khai thác và sử dụng hiệu quả các phương tiện trợ giúp dạy học

Phương tiện dạy học ở đây có thể hiểu là các công cụ được GV và HS

sử dụng trực tiếp trong quá trình dạy và học

Phương tiện dạy học tạo điều kiện thuận lợi cho việc tổ chức hoạt động

học tập, chúng có thể tiếp nối, mở rộng giác quan của con người hình thành

môi trường có dụng ý sư phạm, mô phỏng những hiện tượng vượt quá sự hạn

chế về thời gian, không gian và chi phí.

Trong quá trình dạy học, các phương tiện dạy học giúp cho HS có kiến

thức bền vững, chính xác, đồng thời còn gây hứng thú và sự chú ý đối với các

hiện tượng nghiên cứu. Kiểm tra sự đúng đắn của lí thuyết. Đối với việc rèn

luyện kỹ năng thực hành, các phương tiện dạy học không thể thiếu được để

thực hiện học đi đôi với hành. Bởi vì chúng không những làm cho kiến thức lý

thuyết từ trừu tượng trở nên dễ hiểu dễ nhớ mà còn gợi nhu cầu vận dụng kiến

thức vào thực tế của HS, phương tiện dạy học giúp GV và học sinh tăng năng

xuất lao động làm thay đổi cách tư duy, hành động theo hướng hiện đại hoá.

Phương tiện dạy học thông dụng có thể liệt kê theo các nhóm sau:

Nhóm 1 : Phương tiện nghe nhìn gồm:

Các đồ vật : quả bóng, cái nón, chi tiết máy…


65

Mô hình: một số khối đa diện, hình tứ diện, mô hình một số quỹ tích, mô

hình biến đổi đồ thị.

Hình ảnh đồ vật, đồ thị.

Máy ghi âm, máy chiếu phim, đèn chiếu…

Nhóm 2: Tài liệu in ấn, sách giáo khoa, sách bài tập, sổ tay toán học,

phiếu học tập,…

Nhóm 3: Công nghệ thông tin và truyền thông: máy vi tính, đĩa mềm,

đĩa CD- ROM,..

Trong thực tế và điều kiện nước ta chưa phải toàn bộ các trường THPT

đều có đầy đủ trang thiết bị dạy học, vì vậy người GV cần tìm tòi suy nghĩ

khai thác những phương tiện dạy học đơn giản sẵn có như để khắc phục cho

dạy học như:

+ Sách giáo khoa, sách tham khảo… những tài liệu này giúp cho HS

nhận thức thế giới hiện thực thông qua ngôn ngữ, kí hiệu, tức là qua hệ thống

tín hiệu thứ 2, quan trọng hơn dạy cho HS biết sử dụng SGK một cách khoa

học, là đã bồi dưỡng cho họ phương pháp tự học để HS có thể tự lực khám

phá ra chân trời mới tri thức mới mà không nhà trường nào, GV nào có thể

dạy hết được. Do vậy cần khai thác triệt để thế mạnh của tài liệu này bằng

cách tổ chức cho HS tự làm việc với SGK vào những khoảng thời gian thích

hợp phù hợp với yêu cầu của lý luận dạy học là:

+ Cần lựa chọn đúng đắn nội dung tài liệu để HS tự nghiên cứu

+ Cần tổ chức một cuộc đàm thoại mở đầu cặn kẽ để HS có khái niệm về

những nội dung cần nghiên cứu.

Trong khi HS nghiên cứu tài liệu nên quan sát công việc của HS và

giúp đỡ khi cần.

Không được để cho HS tự nghiên cứu SGK trong toàn bộ tiết học mà

phải phối hợp các hình thức và phương pháp khác, phải kiểm tra chất lượng

lĩnh hội tài liệu, luyện tập thực hành đào xâu kiến thức.


66

Cố gắng để học sinh tự nêu các vấn đề cơ bản sau khi đọc tài liệu

+Bảng phụ: là những bảng với nội dung toán học nào đó được in sẵn

hoặc vẽ trước để GV hướng dẫn tập thể lớp, đó cũng có thể là hình ảnh một

ứng dụng toán học trong thực tế hay chân dung của một nhà toán học, Bảng

phụ có thể dùng trong các hoàn cảnh sau:

+ Hướng dẫn rèn luyện một kỹ năng

+ Tổng kết hệ thống kiến thức

+ Thể hiện nhiều trạng thái

Bảng phụ chỉ có tác dụng thực sự khi nội dung trên nó là một sơ đồ,

một bảng tổng kết có giá trị, một đề bài tập có hình thức mới lạ, một lời giải

sẵn để định hướng giúp HS tìm phương pháp giải hoặc tìm sai lầm… Nó hiệu

quả hơn nếu được sử dụng ở nhiều tiết học.

+ Phiếu học tập: là những tờ gấy rời in sẵn những công tác độc lập hoặc

làm theo nhóm, được phát cho HS để hoàn thành trong một thời gian ngắn của

tiết học, đồng thời nó chính là hệ thống công việc mà HS phải tiến hành để có

thể tự mình chiếm lĩnh kiến thức mới, tự mình hình thành kỹ năng mới.

Dạy học bằng phiếu giao việc có những ưu điểm sau:

+Tạo điều kiện để cho mọi HS phải làm việc, nhờ đó GV có thể kiểm

soát chặt chẽ được mọi hoạt động của từng HS.

+ Qua sản phẩm của quá trình làm việc của HS, GV có được nguồn thông

tin phản hồi trung thực hơn, từ đó điều chỉnh được cách dạy học của mình

+ Chống lại thói quen ỷ lại dựa dẫm của HS trung bình và kém.

+ Trong lúc HS tiến hành các hoạt động học tập, các biến đổi sinh hoá

được diễn ra mạnh sâu sắc hơn trong não, giúp các em hiểu sâu hơn và nhớ

bài lâu hơn.

+ Trong phiếu giao việc có những bài tập mang dáng dấp trắc nghiệm do

đó giúp HS nhanh chóng tiếp cận với lối kiểm tra đánh giá mới theo định

hướng của bộ giáo dục và đào tạo.


67

+ Phù hợp với quan điểm dạy học mới: lấy HS làm trung tâm nhưng

mạnh hơn cả là ưu điểm: tiết kiệm thời gian nhờ đó có thể gia tăng tốc độ làm

việc của học sinh.

+ Bên cạnh ưu điểm trên thì phiếu giao việc cũng còn một số nhược

điểm như:

-Tạo thói quen làm việc không đầy đủ

- Hạn chế năng lực diễn đạt và trình bầy bằng lời

+ Các mô hình toán học trực quan: có thể giúp HS rèn luyện kỹ năng

quan sát phân tích, so sánh.

Mỗi phương tiện dạy học có thể giúp HS thực hiện một số chức năng như:

- Chức năng rèn luyện kỹ năng

- Chức năng kích thích hứng thú học tập

- Chức năng điều khiển quá trình học tập

- Chức năng hợp lí hoá công việc của Thầy và trò

Những phương tiện dạy học nói chung có khả năng đáp ứng những nhu

cầu đa dạng. Mỗi phương pháp dạy học cần đến không chỉ một phương tiện

dạy học xác định. Mặt khác cùng một phương tiện dạy học có thể phục vụ cho

nhiều phương pháp dạy học khác nhau, do vậy cần khai thác khả năng thích

ứng linh hoạt này để nâng cao hiệu quả của phương tiện dạy học.

Đặc biệt cần tăng cường sử dụng những phương tiện dạy học tạo môi

trường tương tác cho HS trong hoạt động và bằng hoạt động tự giác, chủ động

và sáng tạo

Trong cùng một tình huống những phương tiện dạy học thường được

sử dụng phối hợp với nhau, mỗi phương tiện dạy học đều có chỗ mạnh, chỗ

yếu cần phải biết lấy chỗ mạnh của phương tiện này để hạn chế chỗ yếu của

phương tiện kia nhằm phát huy tối đa sức mạnh tổng hợp của hệ thống

phương tiện dạy học.


68

Sử dụng phương tiện dạy học là một trong những yếu tố góp phần nâng

cao hiệu quả giờ dạy. Bởi phương tiện dạy học không những giúp HS thực

hiện học đi đôi với hành mà còn tạo hứng thú học tập cho HS từ đó phát huy

được tính tích cực học tập của HS trong giờ học. Nhưng sử dụng phương tiện

như thế nào để đạt được hiệu quả tốt nhất, đây cũng là vấn đề mà nhiều giáo

viên quan tâm trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học. Theo kinh

nghiệm của bản thân và các đồng nghiệp để thực hiện một giờ dạy có sử dụng

phương tiện dạy học tốt cần phải tuân theo các yêu cầu sau:

+ Lựa chọn phương tiện dạy học phù hợp với đối tượng học sinh, phù

hợp với nội dung từng phần của bài dạy.

+ Lựa chọn thời điểm để sử dụng phương tiện dạy học.

+ Lựa chọn cách thức sử dụng phương tiện.

+ Lựa chọn mức độ để sử dụng phương tiện.

Có đạt được các yêu cầu trên thì người GV mới làm chủ được

phương tiện, không bị phụ thuộc vào phương tiện, GV phải luôn chú ý

rằng phương tiện dạy học không thể thay thế được giáo viên trong toàn bộ

quá trình dạy học.

Ví dụ 1: Giáo viên có thể thiết kế một giờ dạy bằng giáo án điện tử, bài

giảng được thiết kế thành một hệ thống liên kết chặt chẽ phối hợp đan xen các

hoạt động của thày và trò để đạt được mục đích của giờ dạy.

Ví dụ 2: GV có thể sử dụng máy chiếu Project, máy chiếu Overhead để

kiểm tra nhanh kết quả học tập của HS sau mỗi phần học giờ học.

Ví dụ 3: Để cho HS đoán nhận giới hạn của dãy số hoặc hàm số bằng

hình học GV có thể sử dụng phần mềm toán học để vẽ hình, đồ thị..

Ví dụ 4: Với các quy tắc, phương pháp tìm giới hạn trong giờ dạy một

cách hợp lí có hiệu quả sẽ làm cho giờ học sinh động hơn, học sinh hứng thú

say mê, tích cực hoạt động học tập hơn, tuy nhiên nếu lạm dụng phương tiện

dạy học một cách thái quá thì kết quả giờ học sẽ ngược lại so với mong đợi .


69

3.3.5. Kiểm tra đánh giá

Học sinh là đối tượng của giáo dục, là chủ thể của quá trình giáo dục

đồng thời thể hiện sản phẩm của giáo dục, đánh giá HS là nhiệm cụ trực tiếp

của mỗi GV trong quá trình dạy học.

Trong dạy học việc đánh giá HS đều nhằm các mục đích sau:

+ Đối với học sinh, việc đánh giá kích thích các hoạt động học tập cung

cấp cho HS thông tin phản hồi về quá trình học tập của bản thân HS để từ đó

có sự điều chỉnh quá trình học tập, việc đánh giá nếu khai thác tốt sẽ kích

thích học tập không những về mặt lĩnh hội tri thức, rèn luyện kỹ năng mà còn

cả về mặt phát triển năng lực trí tuệ, tư duy sáng tạo và trí thông minh, việc

kiểm tra đánh giá nếu được tổ chức tốt sẽ giúp cho HS nâng cao được tinh

thần trách nhiệm trong học tập, có ý trí vươn lên để đạt được kết quả cao hơn,

củng cố niềm tin vào khả năng của minh, nâng cao ý thức tự giác khắc phục

tính chủ quan tự mãn và đặc biệt là phát triển năng lực tự đánh giá.

+ Đối với giáo viên: Việc kiểm tra đánh giá HS cung cấp những thông

tin cần thiết giúp cho GV xác định đúng điểm xuất phát hoặc điểm kế tiếp của

quá trình dạy học biết được kết quả học tập của từng HS, những sai sót của

từng HS, nguồn gốc của những sai sót đó, và cung thông qua việc kiểm tra

đánh giá GV biết được hiệu quả của những phương pháp, phương tiện và hình

thức tổ chức dạy học mà mình đang thực hiện

Để đạt được các mục tiêu trên yêu cầu của GV trong quá trình kiểm tra

đánh giá là:

+ Phải khách quan

+ Phải toàn diện

+ Phải có hệ thống

+Phải công khai


70

Những cách thông thƣờng khi kiểm tra đánh giá

a. Quan sát theo dõi học sinh thƣờng xuyên

Đây là phương pháp kiểm tra đánh giá có hiệu quả, nó được thực hiện

nhờ quan sát có hệ thống hoạt động của lớp học và cá nhân từng HS trong tất

cả các khâu của quá trình dạy học chẳng hạn: Trong một giờ học, HS sôi nổi

hào hứng, nét mặt tươi vui phấn khởi sẵn sàng trả lời các câu hỏi mà GV đặt

ra điều đó chứng tỏ HS hiểu bài, tiếp thu được bài.

Theo dõi quá trình làm bài tập của HS vì ở quá trình này thể hiện sự tư

duy sáng tạo của HS hay những sai lầm mà HS thường mắc phải.

b. Kiểm tra miệng

Hình thức kiếm tra này giúp GV có được thông tin phản hồi một cách

nhanh nhất để hình thức kiểm tra này đạt kết quả cao giáo viên cần chú ý 1 số

yêu cầu sau:

+ Phải căn cứ vào chương trình, tình hình lớp học để xác định rõ mục

tiêu và nội dung kiểm tra

+ Câu hỏi kiểm tra phải phù hợp với đối tượng HS cần kiểm tra, chú ý

tránh dạng câu hỏi vụn vặt, hạn chế những câu hỏi chỉ yêu cầu tái hiện kiến

thức một cách thuần túy.

+ Nêu câu hỏi chung cho cả lớp cùng suy nghĩ rồi mới chỉ định HS trả lời.

+ GV lắng nghe câu trả lời của HS, tránh cắt ngang nếu cần thì gợi ý,

khuyến khích HS hoàn thành phần trả lời

+ Sau mỗi câu trả lời của HS yêu cầu cả lớp nhận xét bổ xung khi cần thiết.

Cần có cả câu hỏi đòi hỏi cần vận dụng cả kiến thức tổng hợp, khuyến

khích suy nghĩ tích cực, qua đó sẽ thu hút được mọi đối tượng học sinh

c. Kiểm tra viết: Để làm tốt việc kiểm tra viết Giáo viên cần lưu ý một

số điểm sau:

+ Đề bài phải phù hợp với nội dung chương trình có tác dụng phân loại

học sinh.

+ Đáp án rõ ràng, thang điểm hợp lý.


71

+ Nên sử dụng phối hợp đề kiểm tra tư luận với chắc nghiệm khách

quan để phát huy được thế mạnh của từng loại đề kiểm tra

d, Kiểm tra bài tập về nhà của học sinh

Công việc này có tác dụng giáo dục ý thức của HS, qua làm bài tập ở nhà

HS củng cố, đào sâu kiến thức.

KẾT LUẬN CHƢƠNG 2

Để thực hiện mục tiêu dạy học giới hạn lớp 11 THPT theo hướng tích

cực hoá hoạt động học tập của HS. Luận văn đã đề cập đến những vấn đề cụ

thể trong dạy học giới hạn đó là: Dạy học khái niệm, dạy học định lý, dạy học

quy tắc và dạy học bài tập. Với các biện pháp: Tổ chức các hoạt động của HS

phù hợp với nội dung bài dạy, truyền thụ tri thức phương pháp qua mỗi bài

dạy, kết hợp nhiều phương pháp dạy học, sử dụng phương tiện hợp lý có hiệu

quả và kiểm tra đánh giá. Được thể hiện trong các bài soạn ở chương 3.


72

Chƣơng 3

THỰC NGHIỆM SƢ PHẠM

3.1 Mục đích thực nghiệm

- Nhằm kiểm tra tính khả thi và tính hiệu quả của phương án dạy học theo

hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của HS khi dạy phần giới hạn.

3.2 Nội dung thực nghiệm

Xây dựng một số giáo án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 THPT theo

hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh (Theo chương trình sách

giáo khoa ban cơ bản).

Các tiết dạy thực nghiệm bao gồm các tiết dạy lý thuyết và dạy bài

tập.Thể hiện các tình huống điển hình với các biện pháp đã nêu ở chương II.

MỘT SỐ GIÁO ÁN DẠY THỰC NGHIỆM

Tiết 49: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. Mục tiêu

1. Mục đích sư phạm

Vận dụng các biện pháp tích cực vào tình huống dạy học khái niệm.

Nhằm phát huy tính tích cực của học sinh làm cho học sinh học trong hoạt

động và bằng hoạt động.

2. Kiến thức

+ Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn 0, giới hạn a của dãy số

+ Nắm được các giới hạn đặc biệt

3. Kỹ năng

+ Vận dụng định nghĩa, các giới hạn đặc biệt, giới hạn hữu hạn để tìm

giới hạn của dãy số.

+ Vận dụng định nghĩa để chứng minh một dãy số có giới hạn là a


73

4. Thái độ

+ Tự giác tích cực trong học tập

+ Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và có hệ thống.

B. Chuẩn bị của giáo viên và học sinh

1 Học sinh :

+ Ôn lại các kiến thức về dãy số

+ Đọc trước phần 1 của bài giới hạn của dãy số

2. Giáo viên

+ Các câu hỏi gợi mở

+ Phiếu học tập

+ Bảng phụ, máy chiếu và các đồ dùng khác.

C. Hoạt động dạy học

Hoạt động 1: Đảm bảo trình độ xuất phát

+ Chia lớp thành 4 nhóm

+ Mỗi nhóm hoàn thành phiếu học tập của mình

Nhóm 1

Nhóm 2

Phiếu 2: Cho dãy số (vn) với 2 1

vn

n n

a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (vn)

b. Biểu diễn các số hạng của (vn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp

các số hạng của (vn) trên trục số.

Phiếu 1: Cho dãy số (un) với 1

un n

a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (un)

b. Biểu diễn các số hạng của (un) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp

các số hạng của (un) trên trục số.


74

Nhóm 3

Nhóm 4

Học sinh

+ Các nhóm hoàn thành phiếu học tập của mình trong 5 phút

+ Cử đại diện trình bày kết quả (dùng máy chiếu)

+ Các nhóm khác nhận xét bổ xung vào kết quả của nhóm bạn khi cần

GV Nhận xét bổ xung vào bài làm của học sinh và thông báo đáp án đúng

(dùng máy chiếu)

Nhìn vào hình biểu diễn của (Un), (Vn),(Kn), ta thấy khi n càng tăng thì

các số hạng của (Un) càng càng dần sát tới 0, các số hạng của (Vn) tiến sát tới

2, các số hạng của (Kn) luôn tiến từ 2 phía dần về 0.Khi đó ta nói rằng các dãy

số (Un), (Vn),(Kn) có giới hạn hữu hạn khi n càng lớn. Vậy thế nào là giới hạn

hữu hạn của dãy số.

Phiếu 3: Cho dãy số (Hn) với ( 1)nHn

a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (Hn)

b. Biểu diễn các số hạng của (Hn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp

các số hạng của (Hn) trên trục số.

Phiếu 4: Cho dãy số (Kn) với 2

( 1)n

Knn

a.Xét tính tăng giảm, bị chặn của (Kn)

b. Biểu diễn các số hạng của (Kn) trên trục số, có nhận xét gì về sự sắp xếp

các số hạng của (Kn) trên trục số.


75

I.Giới hạn hữu hạn của dãy số

1.Định nghĩa:

Hoạt động 2: Xây dựng định nghĩa giới hạn 0 và giới hạn a của dãy số

Xét dãy số (Un) với 1

un n ( ở trên)

Nhận xét khoảng cách từ (Un) tới 0 thay đổi như thế nào khi n trở

nên rất lớn?

+ Khoảng cách từ (Un) đến 0 trở nên rất nhỏ, nhỏ hơn 1 số dương bé

tùy ý khi n rất lớn.

Với n bằng bao nhiêu thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,01;

0,0001; 0,0000001

+ Với n = 100 thì khoảng cách từ (Un) tới 0 bằng 0,01



Bắt đầu từ số hạng nào của (Un) thì khoảng cách từ (Un) tới 0 nhỏ

hơn 0,0000001.

Bắt đầu từ số hạng 10.000.001 của (Un) thì khoảng cách từ (Un) tới 0

nhỏ hơn 0,0000001.

GV cho học sinh quan sát lại một lần nữa hình ảnh của dãy (Un) khi biểu

diễn trên trục số, và quan sát bảng:

Rồi kết luận : khi n càng lớn thì Un càng nhỏ, người ta cũng chứng minh

được rằng 1

un n có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào

đó trở đi, nghĩa là un có thể nhỏ bao nhiêu cũng được miễn là chọn n đủ lớn.

n 1 2 … 10000 100001 … 10.000.000 10.000.001 …

Un 1 10-1

… 10-4

10-5

… 10-7

10-8

…

?

!

?

!

?

!


76

10-4

Khi đó ta cũng nói rằng dãy số (Un) với 1

un n có giới hạn là 0 khi

n dần tới dương vô cực

Một dãy số như thế nào được gọi là có giới hạn là 0 ?

GV: Nhận xét câu trả lời của HS, sửa chữa lại và yêu cầu HS khác đọc

định nghĩa trong SGK

Định nghĩa 1: Ta nói rằng dãy số (Un) có giới hạn là 0 khi n dần tới

dương vô cực, nếu un có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý,kể từ số hạng

nào đó trở đi.

Ký hiệu 0nnLimU hay 0nU khi n

Dựa vào định nghĩa lấy vài ví dụ dãy số có giới hạn là 0

Dãy 2

1n

nUn

, Dãy 1

1nU

n

Phát biểu định nghĩa trên ở dạng khác dựa vào ví dụ trên.

Dãy (Un) có giới hạn là 0 khi n tiến tới dương vô cực Nếu (Un) có

thể gần 0 bao nhiêu cũng được miễn là n đủ lớn.

GV Ta quay lại dãy (Vn) với 2 1

vn

n n ở phiếu 2, với hình biểu diễn

của Vn trên trục số( dùng máy chiếu)

Ta nhận thấy Các số hạng của Vn tiến tới điểm 2 khi n tăng dần

Dựa vào định nghĩa 1 xét dãy V’n với (V

’n) = Vn – 2 Tìm

,

nnLimV

, 2 1 1

lim ( 2) lim 0nn nn

nLimV

n n

GV Khi đó ta nói rằng dãy Vn có giới hạn là 2 khi n

Vậy trong trường hợp tổng quát với dãy (Vn ) bất kỳ khi nào thì (Vn)

được gọi là có giới hạn là a khi n

?

?

!

?

!

?


77

Nêu định nghĩa giới hạn a

GV Nhận xét

Hoàn chỉnh định nghĩa giới hạn a của dãy số (Vn)

Định nghĩa 2

Ta nói rằng dãy số (Vn) có giới hạn là a ( Hay Vn dần tới a) khi

n nếu lim ( ) 0nn

V a

Ký hiệu lim nn

V a hay nV a khi n

Hoạt động 2

Củng cố định nghĩa

Hãy phát biểu định nghĩa 2 theo các cách khác nhau (Hoạt động ngôn ngữ)

Cách 1: Dãy (Un) được gọi là có giới hạn là a nếu khoảng cách từ

Un tới a càng dần tới 0 khi n càng lớn.

Cách 2: Ta nói dãy (Vn) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực

nếu *, n nn N V a U trong đó LimUn

Cách 3: Dãy (Un) gọi là có giới hạn là a, khi n tăng lên vô hạn nếu có

thể làm cho Un sai khác a với một lượng nhỏ bao nhiêu tùy ý miến là chọn n

đủ lớn

Cách 4: Dãy (Un) gọi là có giới hạn là a, khi n tăng lên vô hạn nếu Un

chụm lại xung quang điểm a.

Ví dụ :Bằng định nghĩa hãy chứng minh rằng ( Hoạt động nhận dạng

và thể hiện)

a. 3 1

lim 3n

n

n b.

5 1 5lim

2 2n

n

n c.

1 4lim 4

n

n

n

a. Ta có 3 1 3 1 3 1

3n n n

n n n mà

1lim 0

n n

?

!


78

Vậy 3 1

lim 3n

n

n

Các ý còn lại làm tương tự

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Từ định nghĩa tìm

a1

limn n

b, lim n

nq với 1q

c, 1

limkn n

d, Nếu Un = C thì Lim C = ?

Ta thấy : a, 1

lim 0n n

, 1

lim 0kn n

, lim 0n

nq , Lim C = C

(C là hằng số)

GV: Các giới hạn trên được gọi là các giới hạn đặc biệt.Ta có thể áp

dụng các giới hạn đặc biệt này để tìm giới hạn của dãy số khác.

Hoạt động 4: Vận dụng các giới hạn đặc biệt.

Tìm các giới hạn sau:

a. 2

lim1n n

, b, 1

lim2008

n

n, c, lim 2008

n

d, 2 2008

1lim

( 2 1)n

n

n n e, lim

1

n

n

n

n dành cho học sinh khá giỏi

Giải a, 2

lim 01n n

dựa vào định nghĩa 1

lim 0n n

b, 1

lim 02008

n

n vì

11

2008

c, lim 2008 2008n


79

2 2008

2.2008 4007

1, lim

( 2 1)

1 1lim lim 0

( 1)1

n

n n

nd

n n

n

nn

Chú ý : Ta có thể viết lim nn

U a là lim Un = a

Hoạt động 5: Củng cố toàn bài

Trong bài học hôm nay chúng ta nghiên cứu những vấn đề gì?

Giới hạn 0, giới hạn a, các giới hạn đặc biệt.

Có phải bất kỳ dãy số (Un) cũng có giới hạn hữu hạn không?

Không. Ví dụ dãy (Hn) với Hn = (-1)n là dãy không có giới hạn hữu hạn.

Làm các bài tập trắc nghiệm sau:

Bài 1 Mệnh đề nào sau đây đúng

A. Một dãy số có giới hạn hữu hạn thì luôn luôn tăng hoặc luôn luôn giảm

B. Dãy số không đổi (Un) với Un = m có giới hạn là 0

C. Dãy số q, q2, q

3, q

4, ….q

n,…. Có giới hạn là 0

D. Dãy số Un có giới hạn là 0 khi và chỉ khi dãy số nU có giới hạn là 0

Bài 2: Dãy số (Un) với 22 1

n

nU

n bằng

E. A. 2 B. 1

2 C. 1 D. 2

Bài 3: Các mệnh đề sau mệnh đề nào đúng

A. Một dãy số đơn điệu tăng và bị chặn trên không có giới hạn hữu hạn

B. Một dãy số đơn điệu giảm và bị chặn dưới không có giới hạn hữu hạn

C. Một dãy số có giới hạn thì đơn điệu và bị chặn

D. Một dãy số đơn điệu tăng (giảm) thì không có giới hạn hữu hạn.

Bài tập về nhà: bài 1,2 (SGK)

?

!

?

!


80

Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trên đã thể hiện tình huống dạy học khái

niệm giới hạn hữu hạn của dãy số.GV đã hướng dẫn HS tiếp cận khái niệm

theo con đường quy nạp. Đồng thời thể hiện được các hoạt động củng cố khái

niệm như hoạt động nhận dạng và thể hiện, hoạt động ngôn ngữ …

Trong hoạt động 1 GV sử dụng phương pháp hoạt động hợp tác theo nhóm

nhỏ kết hợp với phương pháp phát hiện và giải quyết vấn đề. Nhằm giúp HS ôn

lại kiến thức về dãy số và nhận xét sự biểu diễn của các số hạng của dãy trên

trục. Từ đó gợi cho HS vấn đề là vậy thì các dãy (Un),(Vn),(Kn),có tính chất gì

chung? Có thể tổng quát hoá tính chất đó được không ?

Tiết 52: GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A. Mục tiêu

1. Mục đích sư phạm

Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy khái niệm và định lý nhằm

phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh.

2. Kiến thức + Học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vô cực

+ Các giới hạn đặc biệt

+ Định lý về giới hạn vô cực của dãy số

3. Kỹ năng: Vận dụng định lý và các giới hạn đặc biệt để tìm giới hạn của dãy số

4. Thái độ: + Tự giác tích cực hoạt động học tập

+ Tư duy các vấn đề toán học một cách logic và có hệ thống


1. Học sinh

- Học và chuẩn bị nài tập về nha

- Đọc trước phần IV SGK117 gạch chân phần chưa hiểu câu hỏi


81

2. Giáo viên

- Chuẩn bị câu hỏi và ví dụ sinh động

- Phiếu học tập, hình vẽ

- Bảng phụ, máy chiếu



Chia lớp thành 4 nhóm: Mỗi nhóm hoàn thành một phiếu học tập

Nhóm 1

Nhóm 2

Nhóm 3

Nhóm 4

Phiếu 1

Cho dãy số (un) với 3 1

n

nu

n

a, Hãy biểu diễn hình học của dãy un

b, Tìm giới hạn của un

Phiếu 2 Cho dãy số (vn) với vn = n+1

a, Hãy biểu diễn hình học của dãy vn b, Tìm giới hạn của vn

Phiếu 4

Cho dãy số (hn) với hn = (-1 )n (n+ 1 )

a, Hãy biểu diễn hình học của dãy hn b, Tìm giới hạn của hn

Phiếu 3 Cho dãy số (wn) với wn = 3 - 2n

a, Hãy biểu diễn hình học của dãy wn b, Tìm giới hạn của wn


82

GV: + các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút

+ Các nhóm cử đại diện lên trình bầy bài giải của nhóm

Dãy un có giới hạn là 3

Dãy vn tăng lên vô hạn khi n tăng lên vô hạn, vậy vn không có giới hạn

hữu hạn

Dãy wn càng giảm dần theo chiều âm của trục số khi n tăng lên vô hạn,

vậy dãy wn không có giới hạn hữu hạn

(Un)

(Vn)

(Wn)

(Hn)

GV Khi đó ta nói rằng dãy số (Vn) và (Wn) có giới hạn là vô cực

Vậy thế nào là giới hạn vô cực của dãy số?

1. Định nghĩa

Hoạt động 2 : Tiếp cận khái niệm

GV hướng dẫn học sinh thực hiện hoạt động 2 trong SGK 117

a. Quan sát bảng sau và nhận xét về giá trị của Un khi n tăng lên vô hạn

U1 … U1000 … U1000000 … Un …

0,1 … 100 … 100000 … n/10 …

!

?

v4 v3 v1 v2

3 1 5 7 n+1

…

w1 w2 w3 wn w4

-5 3-2n -3 -1 1

…

h2 h1 h6 h3 h5 h4

-4 - 6 -2 3 5 7 0

… …

u5 u4 u3 u1 u2

4 3

…


83

b.Với n như thế nào thì đạt được những chồng giấy có bề dày lớn hơn

khoảng từ trái đất đến mặt trăng (Cho biết khoảng cách này ở một thời điểm

xác định là 384000km hay 384.109mm

a.Khi n tăng lên vô hạn thì Un tăng lên vô hạn

b.Với n = 284.108 thì chồng giấy có bề dày lớn hơn khoảng cách từ trài

đất tới mặt trăng.

GV: Người ta đã chứng minh được rằng với Un = n/10 có thể lớn hơn

một số dương bất kỳ kể từ số hạng nào đó trở đi, khi đó ta nói rằng dãy số Un

nói trên được gọi là dần tới dương vô cực.

Vậy trong trường hợp tổng quát với dãy (Un) bất kỳ khi nào thì (Un)

được gọi là dần tới dương vô cực.

HS phát biểu định nghĩa theo ý hiểu của mình

GV Nhận xét chính xác hóa định nghĩa

HS : Nêu định nghĩa trong SGK

Định nghĩa: Ta nói rằng dãy Un có giới hạn là khi n

nếu Un có thể lớn hơn một số dương bất kỳ, kể từ số hạng nào đó trở đi

Ký hiệu lim nU hay nU khi n

Dãy số Un được gọi là có giới hạn khi n nếu lim( )nU

Ký hiệu lim nU hay nU khi n

Ví dụ : lim(2 3)n thì lim(3 2 )n

GV Nhận xét

+ lim( ) lim( )n nU U

+ , không phải là các số thực cho nên không được hiểu

, là các số rất lớn hay rất bé

+ Nếu dãy Un có giới hạn là vô cực thì hình biểu diễn của Un khi n tăng

ra xa mãi theo chiều dương hoặc chiều âm của trục số.

!

?


84

Hoạt động 3: Củng cố khái niệm

Ví dụ: Cho (Un) nới Un = n2

Khi biểu diễn (Un) trên trục số ta thấy khi n tăng lên vô hạn thì Un trở

nên rất lớn chẳng hạn như khi n >100 thì Un >10.000 vậy Un >10.000 kể từ số

hạng thứ 101 trở đi

Tương tự Un >1020

hay n2 > 10

20 khi n> 10

10

Un > 1020

kể từ số hạng thứ 1010

+1 trở đi

Theo định nghĩa trên thì lim( )nU

Với 3 dãy (Vn), (Wn), (Hn) và Vn= n+1; Wn=3-2n; Hn = (-1)n(n+1)

đã xét ở trên

a. CMR lim( )nV và lim( )nW

b. Dãy (Hn) có giới hạn là vô cực hay không?

Lấy một vài ví dụ về dãy số dần tới vô cực


HS suy ra từ định nghĩa các giới hạn sau

a. lim kn b. limnq với q >1

Dựa vào các giới hạn đặc biệt để tìm các giới hạn sau

a. 2008lim(3 1)n b.

3 1lim(2008) n

ta có a. 2008lim(3 1)n theo lim

kn

b. 3 1lim(2008) n

vì lim nq , q =2008 >1

3. Định lý

Hoạt động 4: Phát hiện và dự đoán định lý

Tìm các giới hạn sau

a. 7

lim2 1n

b. 4

lim1

2

n c. lim12.(n+2)2008

?

!

?

?


85

Dựa vào định nghĩa và các giới hạn đặc biệt ta thấy

a. 7

lim 02 1n

b. 4

lim1

2

n c. 2008lim12.( 2)n

GV Nhận xét bài làm của HS, gợi ý cho HS phân tích phát hiện và dự

đoán định lý

a. Ta thấy lim(2 1)n , lim 7 = 7 đặt Un =7 và Vn =2n+1 ta thấy

lim 0n

n

U

V vậy phải chăng nếu limUn = a và lim nV thì lim 0n

n

U

V

b. Ta thấy đặt Un = 4 và 1

2

n

nV thì limUn = 4 và limVn = 0

4lim

1

2

n nên lim n

n

U

V

vậy phải chăng nếu limUn = a > 0 và limVn = 0 thì limn

n

U

V

c. Ta thấy đặt Un = 12 và V n = (n+2)2008

thì limUn = 12 và

lim nV

vì 2008lim12.( 2)n nên lim( . )n nU V

vậy phải chăng nếu limUn = a > 0 và lim nV

thì lim( . )n nU V

Học sinh nêu dự đoán của mình

Gv nhận xét và khẳng định người ta đã chứng minh được rằng

Định lý 2: + Nếu LimUn = a và lim nV thì lim 0n

n

U

V

+ Nếu LimUn = a >0 và limVn = 0 , Vn > 0 với mọi n

!


86

thì limn

n

U

V

+ Nếu lim nU và limVn = a > 0 thì lim( . )n nU V

HS Đọc lại một lần nữa định nghĩa

Hoạt động 5: Củng cố định lý

Phát biểu lại định lý theo cách khác

a .Trong giới hạn của một thương nếu tử số có giới hạn là một hằng

số và mẫu số có giới hạn là vô cực thì giới hạn thương đó bằng 0

b.Nếu tử số có giới hạn là 1 hằng số, mẫu số có giới hạn là 0 thì thương có

giới hạn vô cực

c.Trong 1 tích nếu thừa số thứ nhất có giới hạn là 1 hằng số và số thứ 2 có

giới hạn vo cực thì tích có giới hạn vô cực.

Ví dụ 1: Tìm 2 5

lim.3n

n

n

GV: Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? vì sao

Ta chưa áp dụng được định lý 2 vì nó không thỏa mãn được điều kiện

của định lý là cả tử và mẫu đều có giới hạn vô cực,

Làm thế nào để áp dụng được định lý

Chia cả tử và mẫu cho n ta được

52

2 5lim lim 0

.3 3n n

n n

n ( Vì

5lim(2 ) 2

n và lim(3)n

)

Nêu các bước tính giới hạn trên

Bước 1 Chia cả tử và mẫu cho n ( Vì tử có chứa n1 và là lũy thừa bậc

cao nhất)

Bước 2 : áp dụng định lý 2

?

?

!


87

Ví dụ 2 Tìm giới hạn Lim(n2 – 2n - 1 )

Đã áp dụng được định lý 2 chưa ? Vì sao?

Chưa áp dụng được định lý 2 vì đây là giới hạn của một tổng mà

2limn và lim2n

Làm thế nào để áp dụng được định lý 2

Trong định lý 2 chỉ phát biểu cho giới hạn của một tích và 1

thương vậy ta đưa giới hạn trên về giới hạn của 1 tích

Ta có: 2 2

2

2 1lim( 2 1) lim .(1 )n n n

n n

Vì 2limn và 2

2 1lim(1 ) 1

n n

Nêu các bước tính giới hạn trên ?

Bước 1 : Đặt thừa số chung, đưa giới hạn về dạng giới hạn của 1 tích

Bước 2 : áp dụng định lý 2

Hoạt động 6: Củng cố toàn bài

Hãy nêu sự khác biệt giữa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của

dãy số

- Đối với giới hạn hữu hạn : Khi n tăng các điểm biểu diễn của Un

chụm lại quanh điểm 0

- Đối với giới hạn vô cực : Khi n tăng thì các điểm biểu diễn của Un

trên trục số đi ra xa mai theo chiều dương hoặc chiều âm.

GV Chú ý :

+ Giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của dãy số có ý nghĩa hoàn toàn

khác nhau

+ Không được áp dụng định lý 1 về giới hạn hữu hạn cho các dãy số có

giới hạn vô cực

?

!

?

!

!

?

?


88

+ Một dãy số bất kỳ có thể có giới hạn hữu hạn hoặc giới hạn vô cực

hoặc không có giới hạn

Ví dụ dãy số (Un) vơi Un = (-1)n(n+1) là dãy không có giới hạn

Dụng ý sƣ phạm : Bằng sự kết hợp nhiều phương pháp dạy học. Bài

soạn thể hiện tình huống dạy học khái niệm và dạy học định lý.Với hoạt động

tiếp cận khái nệm theo con đường quy nạp HS tự hình thành được khái niệm

một cách tự nhiên không gò ép.GV giúp HS khắc sâu định nghĩa bằng cách

thực hiện các ví dụ củng cố. Thông qua các câu hỏi ở hoạt động 4 giúp HS

phát hiện và dự đoán định lý.Trong hoạt động 5 củng cố định lý GV không

những giúp HS khắc sâu định lý mà còn trang bị cho các em tri thức phương

pháp khi làm bài tập giới hạn

Tiết 54 BÀI TẬP

A . Mục đích

Mục đích sư phạm

Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập nhằm phát huy tính

tích cực học tập của học sinh.

Nhằm củng cố kiến thức và kỹ năng về các vấn đề sau;

+ Tìm giới hạn của các dãy số (un) bất kỳ

+ Tính tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn

B. Chuẩn bị của Giáo viên và học sinh

1. Học sinh : Làm trước bài tập giáo viên cho về nhà

2. Giáo viên :

Chuẩn bị câu hỏi và bài tập, máy chiếu bảng phụ, máy tính điện tử


89


Kiểm tra bài cũ : hãy điền Đ (đúng), S ( sai) vào ô trống

Thứ tự Câu hỏi Đáp án

1 Ta nói rằng dãy (Un) có giới hạn là 0 nếu mọi số hạng

của dãy số đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số dương

nhỏ tùy ý cho trước kể từ một số hạng nào đó trở đi

2 Ta nói rằng dãy số Un có giới hạn là số thực a nếu tồn tại

giới hạn lim (Un – a )

3 Dãy số (Un) có giới hạn là 0 khi và chỉ khi nU có giới

hạn là 0

4 Dãy q; q2; q

3;.. có giới hạn là 0

5 Giả sử limUn = a và limVn = b ta có lim n

n

U a

V b

6 Giả sử lim nU và lim nV ta có lim(Un –Vn) = 0

7 Giả sử limUn =a và lim nV thì lim n

n

U

V

Kiểm tra: Tình hình làm bài làm bài tập về nhà

Bài mới

Hoạt động 1: Luyện tập các bài toán chứng minh một dãy số có giới

hạn hữu hạn

Bài 1 (121SGK) Có 1kg chất phóng xạ độc hại. Biết rằng cứ sau một

khoảng thời gian T = 24000 năm thì nửa số chất phóng xạ này bị phân rã

thành chất khác không độc hại đối với sức khỏe con người (T được gọi là chu

kỳ bán rã)

Gọi Un là khối lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n

a.Tìm số hạng tổng quát Un của dãy (Un)

b.CMR (Un) có giới hạn là 0


90

c.Từ kết quả của câu b chứng tỏ sau một số năm nào đó khối lượng chất

phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại

Bước 1

Tìm hiểu nội dung đề bài

Đây là bài toán thể hiện ứng dụng thực tế của khái niệm giới hạn đối

với môn học khác

Em hiểu thế nào là giả thiết của bài toán?

+ Có 1 kg chất phóng xạ độc hại

+ T = 24.000năm là một chu kỳ

+ Sau 1 chu kỳ thì một nửa chất phóng xạ bị phân rã thành chất

khác không còn độc hại đối với sức khỏe con người.

Bước 2 Tìm cách giải

+ Phải lập được một dãy số ứng với giả thiết của đề bài : Un là khối

lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ n

+ Tìm số hạng tổng quát Un của (Un) theo quy nạp

+ Dựa vào ĐN giới hạn để chứng minh sau 1 năm nào đó khối lượng

của chất phóng xạ đã cho ban đầu không còn độc hại đối với con người.

Bước 3: Trình bày lời giải

+ Ta gọi U1 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ nhất

+ Ta gọi U2là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ hai 2

1

4U

+ Ta gọi U3 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ ba 3

1

8U

+ Ta gọi U4 là số lượng chất phóng xạ còn lại sau chu kỳ thứ tư 4

1

16U

…………………………………………………..

Như vậy dãy số cần lập là 1 1 1 1

; ; ; ;...;...2 4 8 16

!

?


91

Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được số hạng tổng quát của

dãy số là 1

2n n

U

Vậy số hạng tổng quát của dãy (Un) là 1

2n n

U

+ Ta có : 1

lim lim 02

n nU vì theo tính chất lim 0nq do 1q

+ Ta biết rằng chất phóng xạ không còn độc hại nữa nếu khối lượng chất

phóng xạ còn lại bé hơn 6

9

110

10g kg

Theo b ta thấy limUn = 0 nên 0nU khi n tức là 1

2n n

U có

thể bé hơn 1 số dương bé tùy ý kể từ 1 số hạng nào đó trở đi.

Nghĩa là sau 1 năm ứng với chu kỳ này khối lượng chất phóng xạ không

còn độc hại đối với sức khỏe con người nữa.

Tức là muốn cho 9

1 1

2 10n ta cần chọn 0 92 10

n chẳng hạn n0 = 36 thì

236

= 169 > 10

9

vậy sau chu kỳ thứ 36 ( sau 36 x 24.000 = 864.000 năm) chúng ta không

còn lo lắng về sự độc hại của chất phóng xạ còn lại.

Bài 2

Cho dãy số ( Un) với 3 5

n

nU

n Chứng minh rằng limun = 3

Giải

Theo định nghĩa 3 5 5

3 3n

nU

n n vậy

5lim( 3) lim 0nU

n

vậy limun = 3

Nêu phương pháp tổng quát để giải dạng bài tập 2

Muốn chứng minh Limun = a ta thực hiện các bước sau:

Bước 1 :Tính un- a

?

!


92

Bước 2 :Tìm lim(un – a) nếu lim(un = a) = 0 thì limun = a

Hoạt động 2: Tìm giới hạn của một dãy số

Bài 3 (121 SGK) Tìm các giới hạn sau:

a. 6 1

lim3 2

n

n b.

2

2

3 5lim

2 1

n n

n

c. 3 5.4

lim4 2

n n

n n d.

29 1lim

4 2

n n

n

Giải

b.Chia cả tử và mẫu cho n2 ta được

2 2

2

2

1 53

3 5 3lim lim

12 1 22

n n n n

n

n

c.

35

3 5.4 4lim lim 5

4 2 21

4

n

n n

nn n

Ý a và d làm tương tự

Hãy nêu phương pháp giải bài tập trên

Đối với giới hạn có dạng ( )

( )

P n

Q n

+ Chia cả tử và mẫu cho n với số mũ cao nhất có mặt ở tử và mẫu

+ áp dụng định lý 1 để tìm giới hạn

Theo phương pháp trên có thể đoán được giới hạn của dãy số

không?

đối với giới hạn có dạng ( )

( )

P n

Q n

với P(n) có bậc m, P(n) = a1nm + a2n

m-1 + …+am

với P(n) có bậc q, Q(n) = b1nq + b2n

q-1 + …+bq

?

!

?

!


93

Nếu m > q thì ( )

lim( )

P n

Q n

Nếu m = q thì 1

1

( )lim

( )

aP n

Q n b

Nếu m < q thì ( )

lim 0( )

P n

Q n

Điều này rất cần thiết khi giải các bài toán trắc nghiệm

Bài 4: Tính các giới hạn sau

a. lim(n3 + 2n

2-n +1) c.

3

2

3 2 1lim

2

n n

n n

b. lim(-n2 + 5n -2 ) d.

32lim

3 2

n n

n

Giải

a. 3 2 3

2 3

2 1 1lim( 2 1) lim (1 )n n n n

n n n

vì 3limn và 2 3

2 1 1lim(1 ) 1

n n nnên lim (n

3 + 2n

2-n +1) =

b. 2 2

2

5 2lim( 5 2) lim( )(1 )n n n

n nvì

2lim( )n ,

2

5 2lim(1 ) 1

n n Nên lim(-n

2 + 5n -2 ) =

c.

3 2 3

2

2

2 13

3 2 1lim lim

2 12

n n n n

n n

n n

vì 2 3

2 1lim(3 ) 3

n n

và 2

2 1lim( ) 0

n n nên

3

2

3 2 1lim

2

n n

n n


94

d.

3 2

2 3

12

2lim lim

3 23 2

n n n

n

n n

vì 2

1lim( 2 ) 2 0

n

và 2 3

3 2lim( ) 0

n n và 2 3

3 20

n n nên

32lim

3 2

n n

n

Từ bài toán trên và từ định lý 2. hãy tìm quy tắc để tính giới hạn

của 1 tích, thương hai dãy số

Nếu lim nu và limvn = L khác 0 thì limun.vn được tính như sau

limun Dấu của L limun.vn

+

-

+

-

Nếu limun = L khác 0 và limvn = 0 thì lim n

n

u

v được cho trong bảng sau

Dấu của L Dấu của vn lim n

n

u

v

+ +

+ -

- +

- -

?

!


95

Hoạt động 3: Dựa vào giới hạn để tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn sau

Bài 5: Tính tổng sau:

a. 1 2 1

1 1 ( 1)1 ... ...

10 10 10

n

nS

b. 2

2 1 1 1...

22 1 2 2S

Nhận xét các số hạng của tổng. Tìm q

a.Ta thấy 2 1

1 1 ( 1)1; ; ;...; ;...

10 10 10

n

n lập thành cấp số

nhân lùi vô hạn có công bội 1

10q

b.Ta thấy 2 1 1 1

; ; ;...22 1 2 2

lập thành cấp số nhân lùi vô

hạn với 2 2

2q

Tính tổng của cấp số nhân đó

+ 1

( 1) 10

1 111

10

S

+2

( 2 1)4 3 2

2 22 1(1 )

2

S

Bài tập về nhà: tr 60 - 61

Dụng ý sƣ phạm: Bài soạn trên thể hiện tình huống điển hình trong

dạy bài tập. Mỗi dạng bài bập GV ngầm truyền thụ cho HS tri thức phương

pháp giải dạng đó.Với hoạt động 1 GV hướng dẫn HS phân tích và giải bài

toán theo gợi ý của Pôlya. Đồng thời qua bài tập làm cho HS thấy được ứng

dụng của giới hạn để giải các bài toán thực tế đời sống.

?

!

?


96

Tiết 55: GIỚI HẠN CỦA HÀM SỐ

A.Mục tiêu

1. Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy quy tắc theo

hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh.

2. Kiến thức

+ Giúp học sinh nắm được định nghĩa giới hạn tại vô cực

+ Các giới hạn đặc biệt

+ Các quy tắc về giới hạn vô cực

3. Kỹ năng

+ Biết áp dụng quy tắc để tìm giới hạn vô cực

4. Thái độ: Tự giác tích cực trong hoạt động học tập

B. Chuẩn bị của Giáo viên và Học sinh

1. Học sinh

Học và làm bài tập về nhà

Đọc trước phần III giới hạn vô cực của hàm số

2. giáo viên

Chuẩn bị hình vẽ, các câu hỏi, phiếu học tập, máy chiếu và các đồ

dùng khác



Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a. 2

17lim

1x x b,

1

3 2lim

7 1x

x

x c.

24 1lim

1x

x

x

Giải

a. 2

17lim 0

1x x

?


97

b, 1

3 2 5lim

7 1 6x

x

x

c. 24 1

lim1x

x

x ta thấy hàm số

24 1( )

1

xf x

x không có giới

hạn hữu hạn khi x

GV hàm số 24 1

( )1

xf x

x khi x được gọi là có giới hạn vô

cực. Vậy thế nào là hàm số có giới hạn vô cực khi x

1. Định nghĩa

Hoạt động 2 :Tiếp cận khái niệm

GV Cho học sinh quan sát đồ thị của hàm số y = x3 – 3x +1

Khi x thì y dần tới bao nhiêu?

Khi x thì y dần tới bao nhiêu?

Khi x thì y dần tới

Khi x thì y dần tới

GV: Khi đó ta nói rằng hàm số y = x3 – 3x +1

có giới hạn là khi x

và có giới hạn là khi x

Vậy thế nào là giới hạn vô cực của hàm số

Giáo viên Nhận xét và bổ xung câu trả lời của học sinh, chính xác hóa

định nghĩa

HS: nêu định nghĩa

Định nghĩa 4: Cho hàm số y = f(x) có giới hạn là khi

x Nếu dãy số (xn) bất lỳ, xn > a, nx ta có ( )nf x

Ký hiệu lim ( )x

f x hay ( )f x khi x

GV Nhận xét lim ( ) lim ( ( ))x x

f x f x

?

!

?

3

-1

1 2 0

-2

x

y


98

Hoạt động 3: Củng cố khái niệm

Hãy phát biểu định nghĩa tương tự cho các trường hợp giới hạn vô

cực khác

Chứng minh rằng 3lim ( 1)

xx

Thật vậy

+ TXĐ D = R

+ Cho dãy (xn) bất kỳ; nx khi n

Ta có 3 3

3

1( ) ( ) 1 (1 )n n n

n

f x x xx

3

3

1lim ( )1 lim( (1 ))n n

n

f x xx

Vậy 3lim ( 1)

xx


Từ định nghĩa có thể xẩy ra

a, lim k

xx

b, lim k

xx nếu k lẻ

c, lim k

xx nếu k chẵn

3. Một vài quy tắc về giới hạn vô cực

Hoạt động 4: Hình thành quy tắc giới hạn vô cực của một tích

GV chia lớp thành 4 nhóm Mỗi nhóm hoàn thành 1 phiếu học tập

Nhóm 1

Nhóm 2

?

!

Phiếu 1 Cho hàm số f(x)= (x3 – 2x)

a.Tìm giới hạn của f(x) khi x

b. Có nhận xét gì về cách làm trên?


99

Nhóm 2

Nhóm 3

Nhóm 4

GV Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút

Cử đại diện trình bày lời giải

HS: Nhóm 1

a. 3 3

2

2lim ( ) lim ( 2 ) lim (1 )x x x

f x x x xx

Vì 3lim

xx và 2

2lim (1 ) 1 0x x

Vậy đặt f(x) = x3 và

2

2( ) 1g x

x ta có lim ( ). ( )

xf x g x

Nếu lim ( )x

f x và lim ( ) 0x

g x a thì lim ( ). ( )x

f x g x

Các ý còn lại HS nhận xét tương tự

GV Qua VD trên ta rút ra được quy tắc tìm giới hạn vô cực của tích

f(x).g(x)

Phiếu 3 Cho hàm số f(x) = 5x- x5

a.Tìm giới hạn của lim ( )x

f x


Phiếu 4 Cho hàm số f(x) = 5x- x5

a.Tìm giới hạn của lim ( )x

f x


Phiếu 2 Cho hàm số f(x)= (x3 – 2x)

a.Tìm giới hạn của f(x) khi x



100

Nếu 0

lim ( ) 0x x

f x L 0

lim ( )x x

g x ( hoặc ) thì 0

lim ( ). ( )x x

f x g x

được tính như bảng sau:

HS điền vào bảng

0

lim ( )x x

f x 0

lim ( )x x

g x 0

lim ( ). ( )x x

f x g x

L > 0

L < 0

Hoạt động 5: Hình thành quy tắc giới hạn vô cựu của thương ( )

( )

f x

g x

GV Phát phiếu học tập

Nhóm 1

Nhóm 2

Nhóm 3

Cho hàm số 5 1

( )2

xf x

x

a.Tìm 2

lim ( )x

f x

b. Có nhận xét gì về cách tìm giới hạn trên?

Cho hàm số 5 1

( )2

xf x

x

a.Tìm 2

lim ( )x

f x


Cho hàm số 5

( )1

xf x

x

a.Tìm 1

lim ( )x

f x



101

Nhóm 4

Các nhóm hoàn thành phiếu học tập trong 5 phút

Cử đại diện trình bầy lời giải

GV Nhận xét bổ xung nếu cần

Từ các ví dụ cụ thể ta có thể rút ra quy tắc tìm giới hạn vô cực cho

thương ( )

( )

f x

g x

Quy tắc: Nếu 0

lim ( ) 0x x

f x L và 0

lim ( )x x

g x (hoặc ) hoặc

0

lim ( ) 0x x

g x . Thì 0

( )lim

( )x x

f x

g x được tính như trong bảng sau

0

lim ( )x x

f x 0

lim ( )x x

g x Dấu của g(x) 0

( )lim

( )x x

f x

g x

L > 0 0 +

0 -

L < 0 0 +

0 -

L Tùy ý 0

Hoạt động : Củng cố

VD a. tìm 1

2 3lim

1x

x

x b.

1

2 3lim

1x

x

x

Giải

a. 1

2 3lim

1x

x

x do

1lim( 1) 0, 1 0, 1x

x x x

Cho hàm số 5

( )1

xf x

x

a.Tìm 1

lim ( )x

f x



102

và 1

lim(2 3) 1 0x

x

b1

2 3lim

1x

x

x vì do

1lim( 1) 0, 1 0, 1x

x x x

và 1

lim(2 3) 1 0x

x

Bài tập về nhà: Bài 7,8.9 (SGK)

Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy học quy tắc.Với

cách tổ chức hoạt động của HS đa dạng phù hợp với nội dung bài dạy và kết

hợp các phương pháp dạy học khác nhau làm cho HS tự giác tích cực trong

hoạt động học tập. Hoạt động 1nhằm tạo cho HS tình huống gợi vấn đề. Hoạt

động 2, giúp HS tiếp cận khái niệm giới hạn vô cực một cách trực quan dựa

vào hình vẽ, dẫn tới định nghĩa khái niệm giới hạn vô cực của hàm số. Hoạt

động 4,5 GV sử dụng phương pháp hợp tác theo nhóm nhỏ chia lớp thành 4

nhóm cùng thảo luận để hoàn thành phiếu học tập của nhóm. Thông qua các

bài tập cụ thể đó HS tổng kết thành các quy tắc tìm giới hạn vô cực.

Tiết 57 : BÀI TẬP

A. Mục tiêu

Mục đích sư phạm: Vận dụng các biện pháp tích cực vào dạy bài tập

giới hạn hàm số theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh.

+ Rèn luyện cho học sinh kỹ năng vận dụng các định lý, quy tắc để tìm

giới hạn của hàm số với thái độ tự giác, tích cực học tập


HS làm bài tập về nhà

GV Chuẩn bị bài tập câu hỏi gợi mở, bảng biểu, máy chiếu


103

C.Hoạt động dạy học

Hoạt động 1 :


a.

2

3

1lim

1x

x

x b.

2

1lim(3 2 1)x

x x

Học sinh đứng tại chỗ nêu cách làm

a.

2

3

1 8lim 4

1 2x

x

x b.

2

1lim(3 2 1) 6x

x x

Nêu các bước làm bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn

của dạng bài tập trên

Cho hàm số f(x) xác định trên K, x0 thuộc K khi đó

00lim ( ) ( )

x xf x f x

Hoạt động 2:


a.

2

2

4lim

2x

x

x b.

6

3 3lim

6x

x

x

HS đứng tại chỗ giải :

Nêu các bước giải bài trên từ đó rút ra phương pháp tính giới hạn

của 2 dạng bài tập trên

Với ý a ta thấy khi tử số dần tới 0, mẫu dần tới 0

Vậy giới hạn có dạng 0

0

+ Phân tích đa thức thành tích, đơn giản với mẫu

+ Tính giới hạn như bài tập 1

Vậy với bài toán tổng quát có dạng 0

( )lim

( )x x

P x

Q x

?

!

?

!

?


104

mà 0 0

lim ( ) 0 lim ( )x x x x

P x Q x

Ta làm như sau:

Bước 1 Phân tích đa thức tử và mẫu 0 1

0 1

( ). ( )( )

( ) ( ). ( )

x x P xP x

Q x x x Q x

Bước 2 0

1

1

( )lim

( )x x

P x

Q x

GV Nhận xét Tổng kết thành phương pháp tìm giới hạn dạng 0

0 đối

với hàm ( )

( )

P x

Q x

ý b ta thấy khi x dần tới 6 thì tử số dần tới 0 và mẫu số dần tới 0

6 6

6

3 3 ( 3 3)( 3 3)lim lim

6 ( 6)( 3 3)

1 1lim

63 3

x x

x

x x x

x x x

x

Nêu các bước giải dạng bài trên, từ đó rút ra phương pháp giải cho

từng loại bài tập này

Bài tập trên có dạng 0

0 đối với hàm chứa căn bậc hai

Bước1: Nhân chia với biểu thức liên hợp

Bước 2: Đưa về dạng bài tập 1

Bài 3: (Bài tập đề nghị)

Tìm

3

1

7 3lim

1x

x x

x (Giành cho học sinh khá giỏi)

Gọi học sinh đứng tại chỗ giải

?

!

!


105

Ta có

3 3

1 1

3

1 1

7 3 ( 7 2) ( 3 2)lim lim

1 1

7 2 3 2lim lim

1 1

x x

x x

x x x x

x x

x x

x x

Cách giải 2 bài này tương tự như bài 2 ý b

Nêu cách giải bài 3 tù đó suy ra phương pháp giải chung cho dạng

bài tập này

Phương pháp :

Đối với dạng bài toán tìm 0 0

( ) ( )( )lim lim

( ) ( )

m n

x x x x

U x V xf x

g x G x

với 0

( ) ( )

( ) 0

m nU x V x c

g x

Ta làm như sau

0 0

0 0

( ( ) ) ( ( ) )( )lim lim

( ) ( )

( ) ( )lim lim

( ) ( )

m n

x x x x

m n

x x x x

U x c V x cf xI

g x G x

U x c V x c

G x G x

Tính giới hạn trên như bài tập 2

Hoạt động 3:

Bài 4 : Tìm giới hạn

a.

2

2

5 6 1lim

2 1x

x x

x b. lim ( 1 )

xx x

Giải: a.

2

2

5 6 1 5lim

2 1 2x

x x

x làm tương tự như đối với dãy số

?


106

( 1 )( 1 )lim ( 1 ) lim

1

1lim 0

1

x x

x

x x x xx x

x x

x x

c. 2

2

1lim ( 1 ) lim

211 1

x x

xx x

xx

Nêu cách giải ý b và c bài tập trên, từ đó suy ra phương pháp cho

các dạng bài tập này

Cách giải ý b và c

Phương pháp

+ Đối với giới hạn có dạng b ta làm như sau : biến đổi đưa về

dạng

nhân và chia với lượng liên hợp..

+ Đối với giới hạn dạng 0. ta làm như sau:

Biến đổi đưa về dạng Nhân và chia với lượng liên hợp

Hoạt động 4: Củng cố:

Dùng bảng phụ hướng dẫn HS cách tìm giới hạn dạng vô định một

cách tổng quát.

Bài tập về nhà: Bài 3,4,5 (sgk),

Dụng ý sƣ phạm :Bài soạn thể hiện tình huống dạy bài tập.Với mỗi

hoạt động GV hướng dẫn HS giải bài tập cụ thể đồng thời qua bài tập cụ thể

đó HS phát hiện ra tri thức phương pháp để giải các bài toán cùng dạng.Với

mục đích chính của giờ dạy là trang bị chính thức phương pháp để giải bài tập

giới hạn dạng vô định.

3.3. Tổ chức thực nghiệm

?

!


107

+ Đối tượng thực nghiệm; Là học sinh gồm 2 lớp 11D và 11E của

trường THPT Trại cau - Đồng Hỷ - Thái Nguyên. lớp 11E làm lớp thực

nghiệm còn lớp 11D làm lớp đối chứng, theo khảo sát trình độ nhận thức của

2 lớp là tương đương

+ Tiến hành thực nghiệm : Quá trình thực nghiệm được tiến hành theo

đúng phân phối chương trình và theo sự xắp xếp của nhà trường để đánh giá

kết quả thực nghiệm, ngoài việc quan sát lớp học, trao đổi ý kiến với các giáo

viên dự giờ, cả 2 lớp cùng làm bài kiêm tra 1 tiết Nội dung như sau:

Đề kiểm tra 45 phút

A.Trắc nghiệm ( 4 điểm)

Câu 1: Tính

3

3 2

2 5 3lim

3

n n

n n ta được kết quả sau

A. 3 B. C, 3

2 D.

2

3

Câu 2: Tính

2

1

2 3lim

1x

x x

x ta được kết quả là

A. 2 B. -2 C, 1 D. kết quả khác

Câu 3 : Tính 1

4 1lim

2x

x

x được kết quả là

A. 4 B. 1

2 C, 3 D. -3

Câu 4: Tính 1

3 1lim

1x

x

x kết quả là

A. 3 B. -1 C, D.


108

B: Tự luận (6 điểm)

Câu 5 : Tính tổng 1 1

9 3 1 ...3 9

S

Câu 6: Tính các giới hạn sau

a. 3 2lim ( 2 1)

xx x x b.

2

2

4 2 16lim

2x

x x

x

Câu 7: Tính

a. lim ( ( 1 )x

x x x b.

23

2

1 3lim

1 1x

x x

x

3.4 Đánh giá kết quả thực nghiệm

3.4.1 Đánh giá định lượng

Kết quả học tập của HS trong quá trình thử nghiệm được thể hiện trong

bảng sau:

Điểm Lớp thực nghiệm Lớp đối chứng

1 Tần số (n=40) Tần xuất (%) Tần số (n= 43) Tần xuất (%)

0 2 4,7

2 1 2,5 3 6,9

3 1 2,5 5 11,6

4 4 10 6 14,0

5 8 20 13 30,2

6 7 17,5 5 11,6

7 7 17,5 2 4,7

8 5 12,5 4 9,43

9 3 7,5 2 4,7

10 4 10 1 2,3

Khá giỏi 19 47,5 9 20,9

Tb trở lên 34 85 27 62,8

Yếu kém 6 15 16 37,2

6,4 5,0


109

Từ kết quả trên cho thấy

+ Tỷ lệ học sinh ở lớp thực nghiệm đạt TB trở lên cao hơn nhiều so với

lớp đối chứng chênh lệch là 22,2%

+ Tỷ lệ học sinh khá giỏi lớp thực nghiệm cũng cao hơn lớp đối chứng,

chênh lệch là 26,6%

+ Điểm trung bình của lớp đối chứng là 5,0 chênh lệch 1,4 điểm so với

lớp thực nghiệm. Như vậy nếu dạy học theo hướng phát huy tính tích cực học

tập của học sinh làm cho học sinh quen với tác phong làm việc độc lập, tự

giác, tích cực, nắm trắc kiến thức từ đó dẫn tới kết quả học tập sẽ cao hơn.

3.4.2. Đánh giá định tính

- Qua các giờ dạy, phần giới hạn theo hướng phát huy tính tích cực học

tập của học sinh cho thấy

+ Học sinh chủ động xây dựng kiến thức, phát hiện và chiếm lĩnh các

đơn vị kiến thức trong bài, điều đáng kể là các em không những hiểu bài mà

còn phát biểu được các khái niệm về giới hạn, các định lý về giới hạn, các quy

tắc để làm bài tập về giới hạn.

+ Thông qua các hoạt động học sinh bị cuốn hút vào các công việc học

tập, tạo cho học sinh lòng ham học, kích thích tính tích cực chủ động sáng

tạo, khơi dạy khả năng tiềm ẩn của mỗi học sinh

+ Việc sử dụng phương pháp và phương tiện dạy học hợp lí đã tăng tính

tích cực, chủ động sáng tạo, tạo niềm tin vào khả năng của mỗi học sinh.

+ Sau thời gian thực nghiệm học sinh cảm thấy yêu thích môn toán hơn,

đặc biệt là kiến thức về giới hạn

3.5 Kết luận chung về thực nghiệm

Qua việc đánh giá các kết quả thực nghiệm sư phạm cho thấy : Việc xây

dựng phương án giảng dạy phần giới hạn ở lớp 11 trường THPT Trại Cau

theo hướng phát huy tính tích cực học tập của học sinh đã thu được những kết

quả nhất định như:


110

Học sinh phải làm việc nhiều hơn, suy nghĩ nhiều hơn, qua đó phát huy

được tính tích cực chủ động sáng tạo của học sinh.

Giờ dạy tạo sự lạc quan, niềm vui hứng thú say mê học tập hơn nữa

phẩm chất tư duy cũng được hình thành và phát triển tốt hơn,

Như vậy qua thực nghiệm sư phạm cho thấy phương án dạy học theo

hướng phát huy tính tích cực hoạt động của học sinh bước đầu có hiệu quả và

có tính khả thi cao, qua đó góp phần nâng cao chất lượng dạy học phần giới

hạn ở lớp 11 THPT.


111

KẾT LUẬN

Quá trình nghiên cứu đề tài “Dạy học giới hạn ở trường THP T theo

hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh”,có thể rút ra

một vài kết luận sau:

1. Trong khoa học giáo dục nhà trường,dù ở thời điểm nào cũng cần có

những biện pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực,tự giác,chủ động,sáng

tạo của HS. Nhờ đó mới có thể khuyến khích,khơi dậy nội lực của HS – là

nguồn tài nguyên quý giá tiềm ẩn trong mỗi con người,mỗi dân tộc.

2. Luận văn đã hệ thống hóa được một số vấn đề cơ sở lý luận của việc

dạy học theo hướng phát huy tính tích cực hoạt động học tập của học sinh.

Làm sáng tỏ khái niệm tính tích cực hoạt động học tập của học sinh, các yếu

tố ảnh hưởng tới tính tích cực, những biểu hiện của tính tích cực, qua đó thấy

được sự cần thiết phải phát huy tính tích cực học tập của học sinh.

3. Luận văn đã nêu lên các tình huống điển hình trong dạy học và vận

dụng tình huống đó vào dạy học giới hạn lớp 11 THPT. Đồng thời nêu lên

năm biện pháp nhằm tích cực hoá hoạt động học tập của học sinh

4. Luận văn đã trình bầy sự vận dụng các biện pháp trên vào xây

dựng một số bài soạn giới hạn theo phân phối chương trình lớp 11(ban cơ

bản) và đã tiến hành thực nghiệm sư phạm. Kết quả thực nghiệm cho thấy

rằng luận văn có tính khả thi và có tác dụng phát huy tính tích cực hoạt động

học tập của học sinh. Có thể kết luận rằng giả thiết khoa học của luận án là

chấp nhận được. Nhiệm vụ nghiên cứu đã hoàn thành.


112

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Vũ Hữu Bình: Kinh nghiệm dạy toán và học toán -NXB Giáo dục năm 1998.

2. Nguyễn Cam (Chủ biên)-ThS Nguyễn Văn Phước: Tuyển chọn 400 Bài

tập Đại số và Giải tích 11 – NXB Đại học quốc gia Hà Nội

3. Lương Mậu Dũng-Nguyễn Khắc Báu –Nguyễn Hữu Ngọc –Trần Hữu

Nho-Lê Đức Phúc –Lê Mậu Thống: Rèn luyện kỹ năng giải bì tập trắc

nghiệm Đại số và giải tích 11 -.NXB Giáo dục năm 2007

4. Nguyễn Hữu Điển: Sáng tạo trong giải toán phổ thông - NXB Giáo dục,

năm 2002

5. Nguyễn Hữu Điển: Những phương pháp điển hình trong giải toán phổ

thông - NXB Giáo dục, năm 2002

6. Lê Hồng Đức (Chủ biên) - Đào Thiện Khải –Lê Bích Ngọc –Lê Hữu Trí:

Phương pháp giải toán giải tích- NXB Giáo dục

7. Nguyễn Thị Lan Hương: Dạy học phương trình lượng giác ở trường trung

học chuyên nghiệp theo hướng phát huy tính tích cực,chủ động của

người học Luận văn thạc sỹ khoa học giáo dục, Thái nguyên, năm 2005.

8. Trần Văn Hạo –Vũ Tuấn -Đào Ngọc Nam – Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên:

Đại số và giải tích 11,sách giáo khoa thí điểm ban khoa học tự nhiên .

NXB giáo dục năm 2004

9. Nguyễn Bá Kim: Phương pháp dạy học môn toán –NXB Đại học sư

phạm, năm 2007.

10. Nguyễn Bá Kim: Học tập trong hoạt động và bằng hoạt động

(Sách bồi dưỡng thừng xuyên chu kỳ 1997 - 2000)-NXB Giáo dục, năm 1999

11. Nguyễn Bá Kim – Vũ Dương Thụy – Phạm Văn Kiều: Phát triển lý luận

trong dạy học môn toán –NXB Giáo dục, năm 1997


113

12. Nguyễn Bá Kim - Đinh Nho Chương –Nguyễn Hạnh Cảng –Vũ Dương

Thụy – Nguyễn Văn Thường: Phương pháp dạy học môn toán (phần

II)- NXB Giáo Dục năm 1994

13. Nguyễn Bá Kim –Vương Dương Minh –Tôn Thân: Khuyến khích một số

hoạt động trí tuệ của học sinh môn toán ở trường THCS - NXB Giáo

dục năm 1998.

14. Phan Huy Khải –Nguyễn Đạo Phương: Các phương pháp giải toán đại số

và giải tích 11- NXB Hà Nội

15. Trần Luận: Một hướng nghiên cứu triển khai dạy học nêu vấn đề vào thực

tiễn - Tạp chí nghiên cứu giáo dục Số 4,1999.

16. Vương Dương Minh: Soạn bài dạy toán ở trương THPT theo hướng đổi

mới phương pháp dạy học. Hội nghị tập huấn phương pháp dạy học

toán PTTH Bộ giáo dục và đào tạo.

17. Trần Phương: Tuyển tập các chuyên đề luyện thi đại học môn toán hàm

số- .NXB Hà Nội

18. Đoàn Quỳnh (Chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên) - Nguyễn Xuân

Liêm –Nguyễn Khắc Minh -Đặng Hùng Thắng: Đại số và giải tích 11

cơ bản, nâng cao-NXB Giáo dục, năm 2006

19. Lê Mậu Thống –Trần Đức Huyên –Lê Mậu Thảo: Phân loại và phương

pháp giải toán đại số –giải tích .NXB Hà nội

20. Trần Vinh: Thiết kế bài giảng đại số và giải tích 11- NXB Hà Nội năm

2007.

21. Ô Kôn .V. Những cơ sở của dạy học nêu vấn đề – NXB Giáo dục, năm 1976

22. Khar la môp.I..F: Phát huy tính tích cực học tập của học sinh như thế

nào- NXB Giáo dục, năm 1979.

Documents

Tailieu.vncty.com day hoc-gioi_han_o_lop_11_thpt_theo_huong_phat_huy_tinh_tich_cuc_hoat_dong_hoc_tap_cua_hoc_sinh