Szállítási feladatokOptimalitás vizsgálat

Alkalmazott operációkutatás6. és 7. előadás

2008. március 17.Kundi Viktória

Oldjuk meg az alábbi szállítási feladatot!

10010302040

253967

3511542

4028144

3

2

1

4321

F

F

F

RRRR

• Az egyik ismeretlen értéke szabadon választhatólegyen pl. u1=0többi: Cij – Ui vagy Cij – Vj szerint számolható, tehát Ui+Vj<=CijCij – (Ui+Vj)>=0ui és vj potenciálok

• az ehhez tartozó költség Σcijxij• lábindexek kiszámítása• ha az érték <=0, akkor nem optimum – javítani kell

• Javítás: kör vagy huroktranszformációval

• Lényege: kötött elemek közül egyet szabaddá teszünk és egy szabad elemet lekötünk úgy, hogy közbena szállított mennyiségek összege sor és oszlopirányban ne változzon.

• Def.: olyan törött vonal, amely egy szabad helyről indul ki és úgy jut oda vissza, hogy a töréspontokon csak kötött elemek vannak.

• Vannak + és – sarkai, attól függően, hogy hozzáadok, vagy elveszek. Szabad elem után – aztán + stb.

• Az újonnan kiszámolt lábindexeket ismételten ellenőrzöm, hogy a megoldás optimális-e – ha nem javítom!

Egészértékű programozás

Alkalmazott operációkutatás7. előadás

2008. március 17.

Kundi Viktória

Az egészértékű programozási feladat fogalma

feladat binárisű vagy egészérték 1-0 lehet 1 vagy 0csak értékeVáltozók

feladatű egészérték vegyesű egészérték részeegy Változók

feladatű egészérték tisztaű egészérték tozóMinden vál

xxx amelyre szám, valóslegnagyobb a az

max

xA

n) ..., 2, 1,(j ;

0

feladatű egészérték Tiszta

xc

b

xx

x

T

jj

max

...m) 1,2,(i ;

számok egész ikomponense

0,

feladatű egészérték Vegyes

21

21

ycxcz

yy

y

byAxA

yx

TT

i

Egészértékű feladatok megoldása

Nincs folytonos optimum

Egészértékűfeladatnak sincs

megoldása

Van folytonos optimum

Az optimális megoldás változói mindegészértékűek

Nem minden változó értéke egész szám

Diszkrét optimum = folytonos optimum

Gomory-féle vágási módszer (tiszta egészértékű feladat)

Korlátozás és szétválasztás módszere ( vegyes egészértékű feladat)

Megkeressük a modell folytonos optimumát

Korlátozás és szétválasztás módszere

Hozzárendelési feladat

A lineáris programozási feladatoknak azon speciális típusát nevezzük hozzárendelési feladatnak, amikor minden egyes erőforrást (pl. munkaerő, gép, tárolóhely, stb.) egyetlen egy adott tevékenységhez rendelünk hozzá.

Hozzárendelési feladat alapmodellje:

Egy üzemben n munkás dolgozik és a műhelyben n darab munkafeladat van. Elvileg mindegyik munkás képes bármelyik munka elvégzésére, de a különböző munkafeladatokat eltérő költségekkel tudják elvégezni.

Kérdés: Melyik munkás melyik munkafeladatot kapja, hogy a munkák elvégzésének összköltsége a lehető legkisebb legyen?

Hozzárendelési feladat matematikai modellje

mellett. feltételek

1 vagy x0

n), ..., 2, 1,(i 1

n), ..., 2, 1,(j 1x

keressükminimumát függvény

elvégziatot munkafeladedik -j a munkásedik -i az amellyel költség, a az c

zimunkát végedik -j a nem munkásedik -i az ha ,0x

zimunkát végedik -j a munkásedik -i az ha ,1

ij

1

n

1iij

n

1i 1

ij

ij

ij

n

jij

n

jijij

ij

x

x

xc

x

Speciális lineáris egészértékű programozási feladat = speciális szállítási feladat

Megoldás: korlátozás és szétválasztás módszerével!

Hozzárendelési feladat megoldása

Öt munkás között kell felosztani öt munkát úgy hogy mindegyik munkás egy és csakis egy munkát kapjon.

181110815

13771011

8591316

1511787

1387108

munkás.5

munkás.4

munkás.3

munkás.2

munkás.1

C

rixKöltségmát

Speciális problémák – hozzárendelési feladat

• Munkások száma nem egyezik meg a munkafeladatok számával => költségmátrixot kiegészítjük => kvadratikus mátrix (névleges sorok/oszlopok, elemei 0)

• Hozzárendelési feladat a célfüggvény maximalizálásávalA mátrix elemei hasznot jelentenek, összhaszon maximalizálása a cél.Célfüggvény -1 szeresének minimuma = eredeti célfüggvény maximuma

Speciális problémák – hozzárendelési feladat

• Tiltótarifa a hozzárendelési feladatban

– Hat munkafeladatot négy munkással kell elvégeztetni. Előírás, hogy a negyedik és a hatodik munkafeladatot mindenképpen el kell végezni, azonban az első munkás a harmadik és hatodik munkafeladatot nem tudja elvégezni, a második munkás pedig az első és negyedik munkát nem végezheti. Határozzuk meg az elosztási tervet úgy, hogy az elvégzett összmunka költsége a lehető legkisebb legyen!

M0M000

M0M000

11785138

13997119

811M85M

M710M86

K

Körutazási vagy utazóügynök probléma

Adott n város (n>3). Egy ügynök valamelyik városból kiindulva hogyan tudja felkeresni valamennyi várost úgy, hogy minden várost csak egyszer érintve a legrövidebb út megtétele után a kiindulási városba érjen vissza?

be-imehetünk nem bőő-imert 0,y

be-Vmegyünk bőőV 1y Ha

be-Vmegyünk nem bőő V 0y Ha

baedik város-j aelmegyünk bóledik város-i azy

átlója)átrix (távolságm Mc

távolságaedik város-j a ésedik -i az c

trixtávolságmáC

ii

jiij

jiij

ij

ii

ij

Megoldása: indexlánc!

Utazó ügynök probléma - feladat

Határozzuk meg a legrövidebb körutat az alábbi távolságmátrix alapján!

M2849

7M1510

35M64

154M15

69510M

C

1334455221 VVVVVVVVVV

18412110k :útMegtett

Hátizsák probléma

magával viszinem pedig esetéb 0x

at,edik tárgy-j a viszimagával túrázóaesetén 1

maxcz

n) , 2, 1,(j 1 vagy 0

a

érfogata)hátizsák t (a a"teherbírás" túrázóa b

értéke használati edik tárgy-j a c

)(térfogata súlya edik tárgy-j a a

j

2211

2211

j

j

j

nn

j

nn

x

xcxcx

x

bxaxax

Hajórakodási probléma

Tegyük fel, hogy adott rakodási súlyú és rakodási térfogatú hajót kell megrakni bizonyos nem osztható árucikkel. Meghatározandó az a legnagyobb értékű rakomány, amelyet a hajó elszállíthat.

xj – a j-edik árucikkből szállítandó mennyiség (darab)n – a különböző árucikkek számaaj – a j-edik árucikk súlyabj – a j-edik árucikk térfogata

rj – a j-edik elszállítandó árucikk darabszámacj – a j-edik árucikk értékeV – a hajó rakodási térfogataG – a hajó rakodási súlya

maxc

b

a

n , 1,2,j ,x ,0

2211

2211

2211

j

nn

jj

nn

nn

jj

xcxcxxf

rx

Vxbxbx

Gxaxax

xx

Beruházási probléma

Kapacitások bővítésére rendelkezésre álló pénzösszeg: p

k db különböző beruházási változat (alternatíva)

Beruházási változatok megvalósításának költsége: r (k komponensű vektor)

y beruházások megvalósulása (komponensei 1-0)

maxxcz

pyr

ygbxA

0y ,1y ,yy

vektor)komponensű 1 vagy (0 y ,0x

T

T

iiii

x az üzem tevékenységi vektora

cT a tevékenység árbevétele

g (y) erőforrás kapacitásának növekménye

Köszönöm a figyelmet!