SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITUikuzman/aut_ebook.pdf · Vođenje (regulacija) je smisleno djelovanje na stanje energije i tvari u nekom procesnom prostoru na način

SVEUČILIŠTE U SPLITUPOMORSKI FAKULTET U SPLITU

Ivica Kuzmanić, Igor Vujović

AUTOMATIZACIJA BRODA IRAČUNALNE VJEŽBE

Split, 2004.

I. Kuzmanić, I. Vujović: AUTOMATIZACIJA BRODA I - RAČUNALNE VJEŽBE

ii

SVEUČILIŠTE U SPLITUPOMORSKI FAKULTET U SPLITU

Ivica Kuzmanić, Igor Vujović

AUTOMATIZACIJA BRODA IRAČUNALNE VJEŽBE

elektroničko izdanje, http://www.pfst.hr/~ikuzman/aut_ebook.pdfSplit, 2004.


iii

Autori:Mr. sc. Ivica Kuzmanić, dipl. inž.profesor visoke školeMr. sc. Igor Vujović, dipl. inž.predavač

Izrada crteža:Igor Vujović

Dozvoljeno kopiranje knjige studentima Pomorskog fakulteta u Splitu za osobnu namjenu.Zabranjeno je neovlašteno citiranje i distribuiranje ovog izdanja.


1

PREDGOVOR

Ovaj radni materijal namijenjen je za kolegije Automatizacija broda I i Automatizacijai upravljanje I.

U materijalu su neke od nastavnih tema pripremljene za prikaz i uvježbavanje naelektroničkim računalima.

Autori


2

SADRŽAJ

1. UVOD 3

2. SIMULACIJSKI PROGRAMI: MATLAB I EWB 52.1. MATLAB I SIMULINK 52.2. EWB (Electronics Workbench) 10

3. UVOD U SIMULACIJU S MATLAB-om 123.1. Vremenski odziv 163.2. Korištenje MatLaba u analizi automatskih sustava s pomoću prijenosne funkcije 183.3. Stabiliziranje sustava 22

4. VJEŽBE 304.1 Vremenski odziv člana nultog reda 304.2. Vremenski odziv člana prvog reda 324.3. Vremenski odziv člana drugog reda 334.4. Vremenski odziv složenih sustava 364.5. Proporcionalni regulator 384.6. Upravljanje brzinom istosmjernog motora 424.7. Zadaci za vježbu 46

5. LITERATURA 48

PRILOG 49


3

1. UVOD

Danas su u svakodnevnom životu neizbježni sustavi automatskog upravljanja,odnosno sustavi automatske regulacije. Da bi se utvrdilo da li zadovoljavaju zahtjeve upogledu stabilnosti, brzine odziva pri promjeni ulazne veličine, stupanj osjetljivosti naporemećaje i dr., potrebno je poznavati dinamiku tih sustava. Dinamika sustava opisuje sediferencijalnim jednadžbama. Problem nastaje kada su te diferencijalne jednadžbe previšesložene za analitičko rješavanje. Tada je korisno sustav nadomjestiti analognim modelom. Namodelu se vrše mjerenja koja se prevode u uvjete ispitivanog sustava. Obično se na modeluvrlo lako realiziraju promjene parametara sustava i brzo ocjenjuje utjecaj tih parametara napromjene fizikalnih varijabli. Prednost modela je i u tome što se fizikalna zbivanja prikazujuu vremenskom području koje odgovara fizikalnoj stvarnosti pa se na taj način zorno povezujestvarnost i matematička simbolika. Elementi modela na određeni način simuliraju elementeispitivanog realnog sustava pa se uređaji na kojima se ostvaruju modeli nazivajusimulatorima, a sam postupak gradnje modela simulacijom.

U samom početku simulatori su bili analogni, mehanički ili električni uređaji, sunaprijed definiranim osnovnim elementima. Vremenski odziv dobiva se na pisaču iliosciloskopu. No, razvoj elektroničkih računala omogućio je da se simulatori "simuliraju" naelektroničkim računalima u posebnim programima kao što su TutSim, VisSim, itd. Danas seza simulaciju električnih i elektroničkih sklopova najviše koristi Electronic Workbench(EWB), a općenito za razne složene sustave MatLab-ov dio - Simulink.

U početnoj fazi izrade bilo kojeg novog proizvoda uključena je i simulacija naračunalu. Ako rezultati ne zadovoljavaju, moraju se mijenjati parametri prema podacimaračunalne simulacije, a tek kad je na računalu sve u redu ide se na izradu modela i na krajuprototipa.

Za upravljanje sustavima potrebno je poznavati i mjeriti kontrolne veličine. Kontrolneveličine mogu biti npr. jedan ili više izlaza iz sustava. Te se kontrolne veličine analiziraju kaosignali. Postoji više vrsta signala i više podjela signala u srodne grupe.

No, prije samog rada, potrebno je razmotriti ispravno značenje određenih pojmova.Sustav je prirodna, društvena, tehnička ili mješovita tvorevina koja u nekoj okolini djelujesamostalno s određenom svrhom [9]. Tvorevina je skup elemenata koji stoje u takvomuzajamnom odnosu da ne postoje razdvojeni podsustavi [9]. Djelovanje označava obavljanjeradnji pretvorbe energije, obrade tvari ili obrade informacija [9]. Svrha označava konačanrezultat djelovanja/djelatnosti izražene u nekom cilju, a za zadovoljavanje neke potrebe [9]. UTablici 1.1. data su dva primjera koja pojašnjavaju pojmove djelatnosti, cilja i svrhe.

Tablica 1.1: Usporedba djelatnosti, cilja i svrhe

DJELATNOST CILJ SVRHAfarmacija lijek zdravljeribolov riba ishrana

Automobil ne može djelovati samostalno, pa stoga nije sustav, iako je složena,tehnička i svrhovita tvorevina. To je sprava (uređaj). Vozila, pisači, dizalice, letjelice i sl.uglavnom nisu sustavi. Međutim, automobil s vozačem je mješoviti sustav. Mišolovka jesvrhovita tvorevina koja ne može djelovati bez vanjskog poticaja, pa nije sustav. Ovakvesvrhovite tehničke tvorevine (zamke, zvonca, alarmi, termometri) koje vanjskim poticajemobave određenu radnju nazivaju se napravama. Električni stroj za rublje je sustav, jer djeluje


4

samostalno i svrhovito. Samostalno djelovanje neke tvorevine, bilo prirodne, bilo tehničke,moguće je ako takva tvorevina posjeduje vođenje [9]. Vođenje (regulacija) je smislenodjelovanje na stanje energije i tvari u nekom procesnom prostoru na način da se postigne iliočuva neki cilj, odnosno svrha procesa. Vođenje se temelji na mjerenju i motrenju procesa paje vođenje zapravo postupanje s informacijama sa ciljem održavanja danog procesa. Motrenjeje kad se određuje da li je nešto npr. vruće ili hladno, a mjerenje kad se određuje kolika jetemperatura, npr. 22ºC.

Automatika [9] je znanstveno-tehnička disciplina čija su područja teorija vođenja,istraživanje i analiza uvjeta djelovanja i zakonitosti vođenja različitih sustava te sinteza igradnja sustava za automatsko vođenje. Automatizacija je tehnička disciplina koja obuhvaćasve mjere s kojima se smanjuje udio ljudskog rada u proizvodnji i s kojima se postiže višistupanj ekonomične i rentabilne proizvodnje u pogledu utroška sirovine, energije i vremena.Automacija ima širi smisao i označava razdoblje u razvoju proizvodnih snaga u kojemstrojevi zamjenjuju čovjeka u fizičkom radu i misaonim djelatnostima: opažanju, pamćenju iodlučivanju. Automacija je tehničko-ekonomska disciplina koju čine sve tehničkeorganizacije i ekonomske discipline međusobno povezane za ostvarenje najbolje mogućeproizvodnje [9].

Početak 1. poglavlja


5

2. SIMULACIJSKI PROGRAMI: MATLAB I EWB

2.1. MATLAB I SIMULINK

Slika 2.1: Pokretanje programskog paketa Matlab i programa Simulink


6

MatLab je jedan on najpoznatijih programskih paketa za matrične proračune, analizupodataka i simulaciju.

MatLab se pokreće ikonicom na radnoj površini računalnog monitora (slika 2.1).Nakon uključivanja javlja se komandni (glavni) prozor, u kojem se može potražiti pomoć,upisivati izravne instrukcije računalu ili pozvati gotove programe ili funkcije. Također semože otvoriti uređivački prozor u kojem se mogu pisati vlastiti programi ili definirati osobnefunkcije. Ako se upiše help, pojavit će se ispis svih MatLabovih direktorija (glavni direktorijMatLaba, direktoriji alatki, te direktoriji koje je definirao korisnik). Uz svaki direktorij stoji ikratak opis sadržaja.

Simulink je MatLabov program za simulaciju. U njemu se mogu simulirati sustavikoje korisnik treba. Sastoji se od radnog prozora, gdje se gradi model, i biblioteke blokova(Simulink Library Browser - slika 2.2). Osim gotovih blokova, moguće je definirati ikorisničke. Pritiskom na znak "+" otvara se željena podgrupa srodnih blokova. Nekada suodmah dostupni blokovi, a nekada postoje dodatne podgrupe koje se na isti način otvaraju.Osim standardnih blokova Simulinka, postoje i dodatni blokovi, koji ovise o alatkamadostupnim u kupljenoj verziji MatLaba. Ako se posjeduje komunikacijska alatka (eng.Communication Toolbox), tada postoje i dodatni blokovi iz područja komunikacija.

Slika 2.2: Biblioteka blokova Simulink-a

Standardni blokovi Simulinka dijele se u podgrupe blokova:- kontinuirani blokovi,- diskretni blokovi,- funkcije i tablice,- matematički blokovi,- nelinearni blokovi,


7

- signali i sustavi,- izlazi i- izvori.

Odabrani element se ili “vuče” ili kopira u ovaj prozor

Ovdje se može pozvati Simulink Library Browser

Slika 2.3: Biranje komponenti modela

Slika 2.4: Neki važniji blokovi


8

Otvaranjem određenog izbornika, pojavljuju se blokovi. Otvaranjem kontinuiranih(eng. continuous), može se izabrati:- derivator,- integrator,- memorija,- prostor stanja,- prijenosna funkcija,- nula-pol,- varijabilno i linearno kašnjenje.

Željeni blok se mišem povlači u radni prozor (slika 2.3) ili se koriste naredbe copy-paste (kopiraj-zalijepi).

Otvaranjem nekog drugog izbornika dostupni postaju drugi blokovi. Ovdje sunajznačajniji blokovi prikazani na slici 2.4. To su:- derivator, integrator i prijenosna funkcija iz prvog stupca;- pojačanje i sumator iz drugog stupca;- step i sinusni generatori iz šestog stupca;- grafički izlaz (scope) i brojčani izlaz (display) iz petog stupca.

Na slici 2.4 prikazani su i neki značajniji blokovi za automatiku, kao nelinearnielementi (releji, prekidači, zasićenje ili kvantizator) u trećem stupcu.

Upravljanje simulacijom nije samo uključivanje simulacije i njeno zaustavljanje, negoi podešavanje raznih naprednijih parametara. Pritiskom miša na izbornik "Simulation",dobivaju se opcije za pokretanje ("Start"), zaustavljanje ("Stop") te vrlo važne opcije zapodešavanje parametara simulacije ("Parameters").

Slika 2.5: Izbornik za upravljanje simulacijom

Pritiskom na lijevo dugme na mišu otvara se prozor za podešavanje parametarasimulacije. Standardne opcije su već podešene. Ako je korisnik prije nešto mijenjao, onda suzapamćene trenutne opcije. Iz ovog prozora (slika 2.6) najznačajnije je podešavanje vremenasimulacije. "Start time" označava početni trenutak, a najčešće se uzima 0 [s]. "Stop time"označava završetak simulacije. Treba napomenuti da je ovdje označeno vrijeme simulacijskovrijeme, tj. 10 [s] ne traje stvarnih 10 [s], nego kompjutor računa što će se događati sasimuliranim sustavom u stvarnom vremenskom intervalu između "start time" i "stop time".Trajanje simulacije ovisi o pojedinom računalu, njegovim komponentama i svojstvima i možebiti puno brže od stvarnog vremena. To je i bit simulacije. Za mnoge stvarne sustave potrebnoje znati kako će se ponašati za 10, 20 ili više godina. Da simulacija traje toliko, ne bi imala


9

smisla.Ostale opcije za primjenu u ovim vježbama nisu toliko važne, ali su značajne za

istraživačke primjene. "Solver options" je način rješavanja zadanog problema, tj. izbor načinana koji će računalo riješiti problem.

Slika 2.6: Podešavanje parametara simulacije

Pokretanje simulacijeZaustavljanje simulacije

Automatsko skaliranje prikaza

Podešavanje osi prikaza

Podešavanje maksimalne i minimalne vrijednosti y osi

Odabir područja za povećanje

Povećanje duž x-osi

Povećanje duž y-osi

Slika 2.7: Podešavanje parametara slikovnog vremenskog prikaza


10

Na slici 2.7 prikazano je kako se podešavaju opcije vremenskog prikaza signala("scope"), za što bolji prikaz signala. Tako npr. ako se na skali do 100 promatra signal manjegiznosa od 1, on se ne uočava dobro. Ako se isti signal gleda na skali do 1 mogu se vidjeti irazni detalji.

Desnim klikom miša dobivaju se opcije koje su trenutno moguće, kao npr. automatskopodešavanje skale ("Autoscale") s čim se postiže najbolji prikaz dobivene krivulje s obziromna maksimalnu i minimalnu vrijednost na koordinatnim osima. To nije skaliranje signala.Skaliranje signala je u biti normalizacija na odgovarajuću mjeru, dok je ovo povećavanje ilismanjivanje mjernog opsega, kao na instrumentima u laboratoriju, poput digitalnih ilianalognih voltmetara.

Pored znaka za pisač, nalazi se znak "Properties", koji služi za pozivanje izbornikaopcija. Podešavanje minimuma (Y min) i maksimuma (Y max) na y-osi obavlja se lijevimklikom miša na "Axes Properites".

2.2. EWB (Electronics Workbench)

Program EWB služi za simuliranje analognih i digitalnih električnih i elektroničkihsklopova. Program se pokreće s dva brza pritiskanja lijevog dugmeta miša na ikonicu (simbol)sa slike 2.8a. Nakon pokretanja programa pojavljuje se radni prozor kao na slici 2.8b.

a)

b)

Slika 2.8: a) Simbol EWB-a, b) radni prozor EWB-a

Odmah ispod imena programa (u vrhu radnog prozora) nalaze se izbornici: File, Edit,Circuit, Analysis, Window i Help. U izborniku Help mogu se naći objašnjenja i pomoć u radus ovim programom. Izbornik File pruža standardne mogućnosti spremanja krugova (save ilisave as), otvaranja postojećih modela (open), otvaranje novog prozora (new), tiskanje (print) idr. Izbornik Edit pruža standardne opcije za uređivanje prozora, tj. elemenata kruga. Ispod


11

izbornika nalaze se trake s alatima. Alati sadrže elemente električnih shema krugova koji sesimuliraju, a označeni su uobičajenim simbolima.

Željeni krug se formira tako da se željeni element s pomoću miša (držeći pritisnutolijevo dugme miša) "odvuče" na mjesto gdje ga se želi postaviti. Elementi se spajaju žicom,kraj prvog s početkom drugog, tako što se pomiče miš s pritisnutim lijevim dugmetom.

Slika 2.9: Ilustracija rada u EWB-u

Slika 2.9 ilustrira simulaciju jednostavnog modela u EWB-u:1. Naponski električni izvor se odabire pritiskom ikonice označene na slici s brojem 1. Tadase pojavljuje traka s elementima koji su na raspolaganju (Sources).2. S trake s izvorima "odvuče" se baterija, kako je pokazano strelicom, na željeno mjesto(označeno s brojem 4 na slici).3. Pritiskom lijevog dugmeta miša i njegovim puštanjem na ikonici označenoj s 2 (zaokruženacrnim krugom) pojavljuje se traka s alatima Basic.4. S trake Basic odabire se otpornik i odvlači na željeno mjesto u radnom prostoru (5).5. Odabire se neki instrument (3).6. Svi elementi spajaju se u zatvoreni strujni krug.7. Simulacija se vrši pritiskom na prekidač (označen brojem 7) tako da se iz stanja isključeno(0) prebaci u uključeno (1) pritiskom lijevog dugmeta miša.Biranje svojstava elementa (npr. napona izvora, otpora otpornika i dr.) ostvaruje se pritiskomna desno dugme miša i odabirom opcije Properties.



12

3. UVOD U SIMULACIJU S MATLAB-om

Vremenski invarijantni linearni sustavi (eng. LTI - linear time-invariant) mogu semodelirati kao:- prijenosne funkcije (eng. transfer function - TF),- nula/pol/pojačanje (eng. zero/pole/gain - ZPG)- prostor stanja (eng. state-space - SS), ili- podatak frekvencijskog odziva.U MatLabu se ti modeli mogu generirati naredbom sys:- model prijenosne funkcijesys = tf(num,den)- nula/pol/pojačanje modelsys = zpk(z,p,k)- model prostora stanjasys = ss(a,b,c,d)- model podataka frekvencijskog odzivasys = frd(response,frequencies)U MatLabu znak % označava komentar, pa računalo ignorira sve napisano poslije tog znaka uistoj programskoj liniji.

Primjer 1: Zadan je električni RC krug. Simulacijom na elektroničkom računalu potrebno jeodrediti promjenu napona na kondenzatoru, uc(t), od trenutka zatvaranja sklopke S.

E

S R

C

Slika 3.1: Istosmjerne RC krug

Postupak pri izradi modela je standardan za sve sustave i sastoji se iz slijedećih koraka:1. izvođenje diferencijalne jednadžbe,2. diferencijalna jednadžba piše se na način da je s lijeve strane samo najviša derivacija,3. crtanje blok dijagrama simulacije,4. formiranje modela,5. unošenje modela u računalo i6. simulacija na računalu.

1. korak:

Prema drugom Kirchoffovom zakonu vrijedi:

uR(t) + uC(t) = E (3.1)

i(t)⋅R + uC(t) = E


13

Uvođenjem suspstitucije )()()( tCudttitq C== ∫ slijedi:

( ) ( ) ( )dt

duCidt

dq C ttt ==

pa se dobiva linearna diferencijalna jednadžba prvog reda s konstantnim koeficijentima:

( ) ( ) Eudt

duRC CC =+ t

t (3.2)

2. korak:

Diferencijalna jednadžba piše se na način da je s lijeve strane samo najviša derivacija.

)(11)(

)()(

tuRC

ERCdt

tdu

tuEdt

tduRC

CC

CC

⋅−⋅=

−=

3. - 5. korak:

Treći korak je crtanje blok dijagrama simulacije, četvrti je formiranje modela, a peti unošenjemodela u računalo. Vježbom se može postići da se sva tri koraka ostvaruju zajedno. Ponekad,kod složenijih problema, može se prvo crtati blok dijagram pa odmah formirati model naračunalu, čime je ostvaren i peti korak.

.

.

.

e1

en∫ ++= dttetete nizl )(...)()( 1

a)

.

.

.

e1

en

eizl (t) = +... + e (t) e (t)1 n

b)

.

.

.x

e1

en e (t)uleizl(t)

c) d)

Slika 3.2: Simboli važnijih elemenata: a) integrator, b) sumator, c) množitelj, d) pojačanje


14

1/RC

1/RC

uc(t)

Slika 3.3: Model zadanog električnog kruga

Kako je signal (derivacija napona kondenzatora u vremenu) poznat, može se samnapon na kondenzatoru dobiti integriranjem.

Iz zbroja na desnoj strani diferencijalne jednadžbe formira se izraz dt

tduC )( povratnom

vezom. Konstantni faktori uz članove diferencijalne jednadžbe predstavljaju se blokovimapojačanja. Konačan izgled dijagrama dat je na slici:

u (t)ce(t) i(t)

Slika 3.4: Model zadanog električnog kruga unesen u Simulinku(umjesto 1/RC unosi se brojčana vrijednost)

Na kraju se unose konačni parametri za R i C, tj. njihov umnožak.

6. korak:

Šesti korak je pokretanje simulacije. S njenim završetkom, iako je simulacija električnogkruga, a s time i ovaj zadatak, gotova, u praksi posao vezan uz projektiranje automatskihsustava tek počinje. Sada predstoji težak proces analize podataka te traženja optimalnihparametara da bi se udovoljilo zahtjevima naručitelja.


15

a)

b)


16

c)

Slika 3.5: Vremenski odziv sustava za različita pojačanja: a) 1, b) 2, c) 0.5

3.1. Vremenski odziv

Iz vremenskog odziva sustava vidi se njegovo daljnje ponašanje. Za primjer 1vremenski odziv prikazan je na slici 3.5. za različite iznose pojačanja. Može se izračunati ianalitički:

)(11)( tuRC

ERCdt

tduC

C −=

Prelaskom u kompleksno područje s pomoću Laplace-ove transformacije, slijedi:

)(1)(1)( sURC

sERC

ssU CC −=

)(11)( sERCRC

ssUC =

+⋅

Prijenosna funkcija sustava W(s) dobiva se na način:

RCRCs

sERCsUC +

=1

)(1

)(


17

)()(

)(

11

)()(

1)()(

sEsUsW

RCssEsU

RCssEsU

C

C

C

=

+=

+=

Za pojačanje prema slici 3.5.a, τ = RC = 1, pa slijedi:

11

11)(

+=

+=

sssW

τ (3.3)

Za jediničnu odskočnu (eng. step) funkciju ulaznog napona, slijedi:

sssE

ssEsWsUC

11

1)(1

1)()()( ⋅+

=⋅+

=⋅=

Slika 3.6: Vremenski odziv u EWB-u prikazan na osciloskopu

Iz teorije je poznato:

ateTss

L −−=

+

1)1(

1 ,


18

a = 1/T, slijedi:

tC etu −−= 1)( (3.4)

3.2. Korištenje MatLab-a u analizi automatskih sustava s pomoću prijenosne funkcije

Osim kroz Simulink, MatLab se može koristiti tako da se upisuju izravne naredbe uglavni prozor ("Comand Window"). To je prozor koji se otvara pri pokretanju MatLab-a. Uglavnom prozoru na početku retka stoji "»", što označava da je MatLab spreman za rad. Akonema tog znaka, znači da se izvršava neka naredba. Naredba se počinje izvršavati pritiskomtipke "↵" (ENTER) na tipkovnici.

Naredbom whos uvijek se može provjeriti koje su varijable u memoriji, npr:

» whos Name Size Bytes Class

brojnik 1x2 16 double array nazivnik 1x3 24 double array p1 1x2 16 double array p2 1x2 16 double array

Grand total is 9 elements using 72 bytes

»

MatLab je program za računanje te se može koristiti kao kalkulator, npr:

» 3+3ans = 6» 5*5ans = 25» 5^2+1ans = 26»MatLab ima široko područje brojeva s kojima može računati pa se zato označavaju s pomoćupotencija. Tako je npr. 1.00e+000 isto što i 1⋅ 100 = 1. Slovo "e" označava eksponent broja 10.

Primjer 2: Zadana je prijenosna funkcija 5,05,1

13,0)( 2 +++=ss

ssW .

Potrebno je odrediti: a) raspored nula i polova, b) geometrijsko mjesto korijena, c) vremenskiodziv na jediničnu odskočnu funkciju, d) Bodeov dijagram, e) Nyquistov dijagram.(Napomena: U MatLabu se decimalni brojevi označavaju s decimalnom točkom, a zarez značidrugi broj ili element u matrici).

Primjetite da je:)5,0)(1()1(5,0)1(5,05,05,05,1 22 ++=+++=+++=++ ssssssssss


19

Prvo treba unijeti podatke u računalo:

brojnik = [.3 1];p1 = [1 1];p2 = [1 .5];nazivnik = conv(p1, p2); % umnožak dva izraza obavlja se konvolucijskom instrukcijomH = tf (brojnik,nazivnik);

Poslije svakog retka pritišće se tipka "↵" (ENTER) na tipkovnici. MatLab-ov programskijezik napravljen je tako da pisanjem ";" ne ispisuje rezulat instrukcije ispred, a ako se točka-zarez izostavi, ispisuje, npr. nakon:>> brojnik = [.3 1]ispisat će brojeve .3 i 1, jer nije stavljena točka-zarez na kraju retka.

a) Iz prijenosne funkcije je vidljivo da su polovi za s = -0,5 i s = -1, jer je tada nazivnik jednaknuli, a nula za s = -3,333, jer je tada brojnik jednak nuli.Raspored nula i polova dobiva se s naredbom

pzmap(H);

Stiskanjem tipke "↵" (ENTER) otvara se grafički prozor prikazan na slici 3.7.

Slika 3.7: Raspored nula i polova zadane prijenosne funkcije


20

Prirodne frekvencije i koeficijenti prigušenja se dobivaju naredbom:

damp(H)

Računalo ispisuje rezultat naredbe:

Svojstvena vrijednost Prigušenje Frekvencija(rad/s)

Eigenvalue Damping Freq. (rad/s)

-5.00e-001 1.00e+000 5.00e-001 -2.00e-001 + 9.80e-001i 2.00e-001 1.00e+000 -2.00e-001 - 9.80e-001i 2.00e-001 1.00e+000

Svojstvene vrijednosti su značajne, jer predstavljaju rješenje karakteristične jednadžbe.

b) Geometrijsko mjesto korijena (GMK) [1] dobiva se naredbom:

>> rlocus(H);

Stiskanjem tipke "↵" otvara se grafički prozor prikazan na slici 3.8.

Slika 3.8: GMK primjera

c) Vremenski odziv na jediničnu odskočnu funkciju dobiva se naredbom:

step(H)



21

Slika 3.9: Odziv sustava opisanog prijenosnom funkcijom iz primjera 2

d) MatLab računa stvarni, a ne asimptotski Bodeov dijagram. Dobiva se naredbom:

bode(H)

Slika 3.10: Bodeovi amplitudni i frekvencijski dijagram


22

e) Nyquistov dijagram dobiva se naredbom:

nyquist(H)


Slika 3.11: Nyquistov dijagram

3.3. Stabiliziranje sustava

Stabiliziranje nekog nestabilnog sustava može se izvesti dodavanjem:proporcionalnog, proporcionalno-integracijskog, proporcionalno-derivacijskog iproporcionalno-integralno-derivacijskog regulatora.

Sljedeći primjer pokazuje kako pojačanje utječe na stabilnost sustava.

Primjer 3:

Slika 3.12: Sustav s negativnom povratnom vezom


23

Slika 3.13: Odziv sustava sa slike 3.12 u vremenskom području

Za Bodeov prikaz potrebno je unijeti podatke u glavni prozor:br = 0.15; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);

Slika 3.14: Uvećani prikaz dijela odziva sustava sa slike 3.12 u vremenskom području (vidise da sustav oscilira s neznatnim prigušenjem)


24

Slika 3.15: Bodeovi, amplitudni i frekvencijski, dijagrami sustava sa slike 3.12

Isti sustav može postati nestabilan ako mu se promijeni pojačanje.

Slika 3.16: Primjer nestabilnog sustava


25

Slika 3.17: Vremenski odziv sustava sa slike 3.16

Bodeov prikaz se dobiva naredbama:

br =0.5; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);

Slika 3.18: Bodeov prikaz nestabilnog sustava


26

Za naredbe: br = 1; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);U sljedećem primjeru sustav je stabilan (K = 0,1):br = 0.1; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);

Slika 3.21: Vremenski odziv zadanog sustava za K = 0,1

Slika 3.22: Bodeov dijagram zadanog sustava za K = 0,1


27

Slika 3.23: Združeni prikaz stvarnih Bodeovih dijagrama zadanog sustava

Slika 3.23 dobiva se sljedećim naredbama:br = 0.15; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); figure(1);hold on; bode(h); grid;clear all; br = 0.5; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);clear all; br = 1; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h);clear all; br = 0.1; naz = [1 0.3 1 0]; h = tf(br, naz); bode(h)

Pojačanje K, za koje je sustav na granici stabilnosti, može se odrediti Hurwitzovimkriterijem stabilnosti. Karakteristična jednadžba sustava dobija se na sljedeći način:

03,03,0

3,03,0

3,01

3,0

)(1)()(

3,01)(

23

23

23

23

23

23

23

=++++++++

++=

+++

++=

=+

=

++=

Kssssss

Kssssss

K

sssK

sssK

sKGsKGsW

ssssG

Kako je a3 = 1, a2 = 0,3, a1 = 1 i a0 = K, slijedi da za stabilan sustav mora biti zadovoljeno:1) a3 > 0; to je zadovoljeno2) ∆1 > a2; to je zadovoljeno


28

3) 3,003,00031213

022 <⇒>−⇒>−==∆ KKaaaa

aaaa

4) 0)3,0(0203 >−⇒>∆=∆ KKaTo je zadovoljeno u 2 slučaja:- kad je K> 0 i K < 0,3, a to je u intervalu K ∈ 3,0,0 ,- kad je K < 0 i K > 0,3.To znači da se odabirom pojačanja od 0,3 nalazi na granici stabilnosti.

Slika 3.24: Zadani sustav na granici stabilnosti



29

4. VJEŽBE

4.1. Vremenski odziv člana nultog reda

Regulacijski sustavi se raščlanjuju u niz jednostavnijih sustava kako bi se olakšalonjihovo proučavanje. Jedna od podjela osnovnih članova je na [2]:- proporcionalni element nultog reda (P0),- proporcionalni element prvog reda (P1),- proporcionalni element drugog reda (P2),- integralni element (I),- derivacijski element (D),- element s mrtvim vremenom (Tm).Ti osnovni elementi mogu se kombinirati te se s pomoću njih mogu opisati svi složeni sustavi.

Član nultog reda je pojačanje. U električnim krugovima predstavnih P0 člana jepotenciometar. Potenciometar je električni otpornik kojemu se može mijenjati električniotpor.

Proporcionalni član nultog reda (P0) je sustav čija se dinamika može općenito prikazatijednadžbom:

)()( 00 txbtya =

gdje su: y(t) izlazna varijabla, x(t) ulazna varijabla, a0 i b0 konstantni parametri sustava.Dakle, opisuje se obično algebrom, a ne diferencijalnim jednadžbom. Vremenski odziv naodskočnu (step) pobudu xu(t) = u(t) je:

Kab

tysa

bsYtu

ab

ty ==⇒=⇒=0

0

0

0

0

0 )(1)()()(

a)


30

b)

c)

Slika 4.1: Vremenski odziv P0 člana: a) podešavanje parametara step generatora,b) odziv za K =1, c) odziv za K = 2


31

Zadatak

1. Simulirati sustav s P0 članom za: a) K = 100, b) K = 0,1.2. Podesiti generator na "start time" 1 (s). Simulirati sustav za K = 1; 2; 100; 0,01 i

usporediti razultate s prije dobivenim za "start time" = 0 (s).3. Simulirati električni krug istosmjerne struje napona 10 (V) i potenciometra od 1 (kΩ).

4.2. Vremenski odziv P1 člana

P1 član predstavlja inercijalno kašnjenje. U električnim krugovima tipični predstavnikP1 člana je RC krug, tj. jednostavni filter.

Proporcionalni član prvog reda (P1) je sustav čija se dinamika može općenito prikazatijednadžbom:

)()()(001 txbtya

dttdya =+

gdje su: y(t) izlazna varijabla, x(t) ulazna varijabla, a1, a0 i b0 konstantni parametri sustava.Vremenski odziv na odskočnu (step) pobudu x(t) = u(t) = 1 je:

( )

1)(,,

1)()(

1)(

1)()()(

0

0

0

1

/

01

0

0001

===

−=

+=

==+

−

txab

Kaa

etKxty

asab

ssY

sbsXbsYassYa

t

τ

τ

Iz odziva sustava vidljiva je glavna karakteristika P1 člana: vremensko kašnjenje zakojim izlazna veličina prati ulaznu. To kašnjenje je opisano vremenskom konstantom τ. Uelektričnim krugovima je to vrijeme prijelazne pojave (npr. punjenja ili pražnjenjakondenzatora kako bi došao u "puno" ili "prazno" stacionarno naponsko stanje). Kako sebrzina promjene s vremenom smanjuje, izlazna funkcija će u vremenu t = τ doseći tek 63,2%ulazne funkcije. Iako teorijski izlazna veličina nikad ne dostiže ulaznu, u praksi se smatra daje prijelazna pojava završena nakon vremena t = 5τ.

P1 član susreće se često u regulacijskim krugovima. Takav član je, npr. termometarkoji mjeri temperaturu prostorije. Da bi se termometar zagrijao na temperaturu prostorijepotrebno je pričekati određeno vrijeme. Brzina prijenosa topline razmjerna je razlicitemperatura prostorije i termometra. U početku zagrijavanja ta će brzina biti veća i postupnoće se smanjivati kako se termometar zagrijava. I ovo je funkcija koja se asimptotski približavastacionarnoj vrijednosti po eksponencijalnom zakonu izvedenom za općeniti slučaj na početkuvježbe.


32

Slika 4.2: Vremenski odziv P1 člana(iz slike se može odrediti vremenska konstanta τ = 1 s - tu je odziv dostigao 63% konačne

vrijednosti)

Zadatak

Prije dolaska na vježbu:1. Za serijski spoj otpornika i kondenzatora (RC krug) s R = 5 [MΩ], C = 2 [µF], U = 10 [V]

u kojem je izlazna varijabla pad napona na kondenzatoru (UC), napišite diferencijalnujednadžbu koja opisuje krug. Napomena: uzeti da je U = 0 [V] za t < 0, U = 10 [V] za t ≥0.

2. Na temelju te diferencijalne jednadžbe nacrtajte blok dijagram simulacije.Pri izvođenju vježbe:3. Simulirajte model na računalu, u EWB-u i Simulink-u. Usporedite rezultate.4. Iz odziva na računalnom monitoru odredite vremensku konstantu.5. Precrtajte na milimetarski papir odziv za sustav s R = 500 [kΩ].

4.3. Vremenski odziv P2 člana

Mehanički i električni P2 član prikazani su na slici 4.3. Električni član je, npr., serijskiRLC krug. Moguće su i drukčije izvedbe. Mehanički P2 član sastoji se iz tijela mase m,opruge krutosti k i prigušivača s prigušenjem B.

0,0

m

k

B

y

x

F0

R L C

u(t)

a) b)

Slika 4.3: Neke od izvedbi P2 člana: a) mehanički, b) električni

U trenutku t = 0 na sustav, preko tijela mase m, počinje djelovati sila stalnog iznosaF0. Zbog toga se mijenja položaj mase i opruga se sabija. Sila kojom opruga djeluje na tijelo


33

suprotnog je smjera od sile F0 i veća je što je tijelo dalje od ishodišta koordinatnog sustava. Uodređenom trenutku te dvije sile će biti jednake, ali će se tijelo, zbog inercije, i dalje kretatitako da sabija oprugu. Sila opruge postat će veća od vanjske sile te će se tijelo postupnozaustaviti i započet će gibanje u suprotnom smjeru, tj. prema ishodištu i u točki u kojoj su silejednake tijelo će zbog inercije nastaviti kretanje u započetom smjeru, rastezat će oprugu te ćesila F0 prevladati silu opruge i čitav će se proces ponoviti. Tijelo će, dakle, oscilirati okoravnotežnog položaja. Energija se u ovom sustavu pretvara iz kinetičke energije mase upotencijalnu energiju opruge i obrnuto. Kako se dio energije u prigušivaču pretvara u toplinu igubi iz sustava, nakon određenog vremena tijelo će se smiriti u ravnotežnom položaju ukojem su sila opruge i vanjska sila jednake. Opisani slučaj je slučaj prigušenih oscilacija te seP2 član naziva i oscilacijskim članom. Matematički opis tih dinamičkih pojava dobiva seprimjenom D'Alambertova načela po kojem je zbroj svih vanjskih sila na tijelo jednak siletromosti tog tijela.

02

2

02

2

02

21

1

)()()(

)()()(

)(

0

Ftkxdt

tdxBdt

txdm

tkxdt

tdxBFdt

txdm

ffFdt

txdm

xmf

xmf

kB

n

ii

n

ii

=++

−−=

++=

=−

=

∑

∑

=

=

gdje su: F0 - vanjska sila, fk(t) - sila opruge, fB(t) - sila viskoznog trenja, m - masa tijela, B -koeficijent viskoznog trenja, k - krutost opruge, x - pomak tijela.

Gornja jednadžba je linearna diferencijalna jednadžba drugog reda. Analogni rezultatse može dobiti za bilo koji sustav drugog reda, bilo da je riječ o mehaničnom, električnom ilipneumatskom P2 članu.

Kod električnog kruga koji ima oba reaktivna elementa (kondenzator i zavojnicu),električna energija akumulirana u kondenzatoru prelazi u magnetsku energiju zavojnice. Pozakonu o očuvanju energije, ukupna energija sustava ne može se promijeniti. To znači dasmanjivanje električne energije vodi odgovarajućem porastu magnetske energije. Kada ne bibilo električnog otpora, izmjena energije iz električne u magnetsku i obrnuto bi se odvijalabeskonačno dugo. To bi bile neprigušene oscilacije sa stalnom amplitudom i periodom. Kakou primjeru sa slike postoji i otpornik, dio će se energije u svakom periodu disipirati na njemupa će biti sve manje energije u krugu. Na kraju dolazi do potpunog prigušenja, jer se svaenergija disipirala u toplinu na otporniku.

Serijski RLC krug može se opisati drugim Kirchhoffovim zakonom:

2

2 )()(1)()(

)()()()(

dttqdLtq

CdttdqRtu

tutututu

u

CLRu

++=

++=

gdje su: L - induktivitet zavojnice, C - kapacitet kondenzatora, R - električni otpor, uu1 -narinut napon. Općenito se za bilo koji P2 član može pisati:


34

)()()()(0012

2

2 txbtyadt

tdyadt

tyda =++

gdje su y - izlazna veličina, x - ulazna veličina, a2, a1, a0, b0 - konstantni parametri sustava.Kakav će biti oblik odziva ovisi o parametrima sustava i njihovim međusobnim

odnosima. Kako bi se olakšala analiza uvode se nove veličine: ωn - neprigušena vlastitafrekvencija sustava, ζ - koeficijent prigušenja, kp - pojačanje ili prijenosni omjer, a koje sedobivaju dijeljenjem gornje jednadžbe s a0:

20

2 1

naa

ω=

naa

ωζ2

0

1 = pkab

=0

0

Opća jednadžba P2 člana glasi:

)()()(2)(12

2

2 txktydt

tdydt

tydp

nn

=++ωζ

ω

Neprigušena vlastita frekvencija sustava, ωn, je frekvencija kojom bi sustav titrao okoravnotežnog položaja kada u sustavu ne bi bilo gubitaka energije, odnosno prigušenja.Gubitke energije opisuje koeficijent prigušenja ζ. Što je koeficijent prigušenja veći, sustav ćese prije smiriti u stacionarnom stanju i titrat će manjom frekvencijom. Frekvencija prigušenogtitranja sustava, ωp, dana je relacijom:

21 ζωω −= np

Slika 4.4: Vremenski odziv za različite koeficijente prigušenja ζ


35

Kod P2 člana razlikuje se 5 slučajeva odziva u ovisnosti o koeficijentu prigušenja, ζ:ζ > 1 aperiodski,ζ = 1 granično aperiodski,0 < ζ < 1 prigušeno oscilacijski,ζ = 0 neprigušeno oscilacijski iζ < 0 raspireno oscilacijski.

Zadatak:

Prije dolaska na vježbu:1. Za mehanički sustav sa slike 4.3a poznate su vrijednosti: m = 20 [kg], B = 30 [kg/s], k =

40 [kg/s2]. U početku promatranja sustav se nalazi u stanju mirovanja. U trenutku t = 0 [s]na sustav počinje djelovati sila: F0 = 20 [N]. Odredite koeficijent prigušenja sustava ineprigušenu vlastitu frekvenciju. Podatke uvrstite u opću jednadžbu P2 člana. Riješitejednadžbu primjenom Laplaceove transformacije. Dobivenu vremensku funkciju x(t), kojaopisuje položaj mase, nacrtajte na milimetarskom papiru.

2. Prema dobivenoj diferencijalnoj jednadžbi nacrtajte blok dijagram simulacije.Na vježbi:3. Simulirajte model na računalu. Usporedite izračunati odziv iz 1. zadatka i odziv na

monitoru.4. Simulirajte ponašanje sustava za vrijednost koeficijenta viskoznog trenja (B) prema

tablici. Za svaki slučaj izračunajte ζ, a ωp odredite približno iz odziva na ekranu

(p

p Tπω 2= , a TP je period oscilacija očitan s ekrana računala). Komentirajte ponašanje

sustava.

B[kg/s] 0 10 16 23 38 56,57 75ζωp

4.4. Vremenski odziv složenih sustava

Složeni regulacijski krugovi prikazuju se blok dijagramom u kojem su pojedinielementi opisani prijenosnim funkcijama. Da bi se nacrtao blok-dijagram simulacije u nekimstarijim programima bilo je potrebno eksplicitno napisati diferencijalnu jednadžbu kojaopisuje sustav. U Simulinku se može upisati prijenosna funkcija u gotov blok za prijenosnufunkciju. Ako se želi simulirati sustav iz diferencijalne jednadžbe, a zadana je prijenosnafunkcija, do diferencijalne jednadžbe može se doći na dva načina:a) izravno

Za npr. )1(

)(+

=Tss

KsG , odziv sustava određen je izrazom: Y(s) = G(s)X(s) te se izravno

dobiva diferencijalna jednadžba sustava:


36

)()()()()1()(

)()1(

)(

2 sKXssYsYTssKXTsssY

sXTss

KsY

=+

=++

=

)(1)()(2 ssYT

sXTKsYs −=

Pošto je s2Y(s) Laplaceova transformacija druge derivacije y(t), a sY(s) Laplaceovatransformacija prve derivacije y(t), gornja jednadžba u vremenskom području glasi:

dttdy

Ttx

TK

dttyd )(1)()(

2

2

−=

Dijagram simulacije lako je nacrtati.

K/T

1 T/

yy1

Slika 4.5: Blok dijagram prijenosne funkcije dobiven izravnim postupkom

b) rastavljanjem na osnovne blokove

Prijenosna funkcija )1(

)(+

=Tss

KsG može se predstaviti umnoškom dviju prijenosnih

funkcija G1(s) i G2(s), gdje su Ts

KsG+

=1

)(1 i s

sG 1)(2 = , te je:

sTsKsGsGsG 1

1)()()( 21 ⋅

+==

Umnožak tih funkcija odgovara serijskom spoju blokova.

G (s)1 G (s)2X(s) Y(s)Y (s)1

K/T

1 T/G (s)1 G (s)2

Y (s)1 Y(s)

a) b)

Slika 4.6: a) Serijski spoj blokova, b) model zadanog sustava dobiven rastavljanjem naosnovne blokove


37

Da blok G1(s) odgovara dijagramnu sa slike, može se pokazati na način:

)()(1)( 11 tydttyTT

Ktx =

−∫ /⋅

)()(1)(1

1 sYssY

TssX

TK =−

ssX

TK

TssY )(11)(1 =

+

11)()(1

+=

+=

TsK

TsTs

TsK

sXsY

Složeni regulacijski krugovi predstavljaju se blok dijagramom u kojem je svaki blokopisan prijenosnom funkcijom.

Primjer blok dijagrama nekog regulacijskog kruga prikazan je na slici 4.6. Zadano je

G1(s) = K, ( )1)(2 +=

sTsK

sGm

m (prijenosna funkcija elektromotora). Da bi se napravio model

ovog regulacijskog kruga, potrebno je nacrtati blok dijagram simulacije za svaki blokposebno, a zatim ih povezati prema blok dijagramu regulacijskog kruga.

1. blok: Y1(s) = K X(s)

2. blok: )(1)()(2 ssYT

sXTK

sYsmm

m −=

G (s)1 G (s)2X(s) Y(s)+-

Y (s)1

Slika 4.7: Blok dijagram zadanog regulacijskog sustava s negativnom povratnom vezom

K /Tm m

1 T/ m

K

-1

G1 G2

Slika 4.8: Blok dijagram simulacije


38

Zadatak:

Prije dolaska na vježbu:1. Zadan je regulacijski krug prema blok dijagramu sa slike 4.8. Zadane su vrijednosti: Km =

10, Tm = 4, K = 2. Nacrtajte blok dijagram simulacije za ovaj regulacijski krug. Napišitemodel prema tom blok dijagramu.

Na vježbi:2. Simulirajte odziv sustava bez povratne veze na jediničnu odskočnu funkciju (step).

Skicirajte i opišite odziv sustava. Da li je sustav stabilan?3. Simulirajte odziv sustava s jediničnom negativnom povratnom vezom uz istu ulaznu

funkciju. Skicirajte i opišite odziv sustava u ovom slučaju. Da li je sustav stabilan?Komentirajte utjecaj negativne povratne veze na odziv sustava.

4. Simulirajte sustav povećavajući vrijednost pojačanja K. Kako pojačanje utječe na odzivsustava?

4.5. Proporcionalni regulator

Zadan je regulacijski krug prema slici 4.9. Sastavni dijelovi kruga su regulacijskiobjekt i regulacijski član, kojega su glavni dijelovi mjerni i izvršni član te regulator.a) Regulacijski objekt u ovom krugu je peć za sušenje materijala. Regulirana veličina uregulacijskom objektu je temperatura. Kako je zahtjev tehnološkog procesa da se materijal upeći suši na istoj temperaturi tokom dužeg vremenskog razdoblja osnovni zadatakregulacijskog kruga je održavanje stalne temperature unutar peći. Peć se zagrijava izgaranjemtekućeg goriva. Temperatura unutar peći ovisi o količini izgorenog goriva u jedinici vremena.Ulazna veličina u regulacijski objekt je, prema tome, dotok goriva u jedinici vremena (q(t)), aizlazna veličina temperatura u peći (υp). Oblik prijelazne funkcije određen je eksperimentom.

Davač nazivne vrijednosti REGULATOR

M

MP2

yGorivo

U0

Ux

Ui

Rx U

E

UM

MP1

MO

q

α

υυ

υp

Slika 4.9: Regulacijski krug

Prijenosna funkcija koja odgovara sustavu sa slike je:


39

( )31)(

sK

sGτα

+=

gdje je Kα = 529 hC ⋅ (prijenosni omjer) i τ = 42,86 s (vremenska konstanta).

Na regulacijski objekt djeluju, kao poremećajne veličine, promjena vanjske temperature ipromjena tlaka u cjevovodu kojim se dovodi gorivo u peć, zbog čega se pri istom podizanjuventila smanjuje dotok ogrijevne materije. Kako se izolacijskim materijalom u znatnoj mjeripriječi izmjena energije između peći i okoline u ovom će se primjeru utjecaji promjenevanjske temperature zanemariti.

Slika 4.10: Oblik prijelazne funkcije peći

b) Regulacijski uređaji

Mjerni članMjerni član se sastoji od mjernog osjetila (MO) i dva mjerna pretvornika (MP1 i MP2).Mjerno osjetilo je lukovica živinog termometra. Mjerni pretvornik MP1 je otporna nituronjena u kapilaru sa živom. Promjena visine živinog stupca izaziva promjenu otporaotporne niti. Mjerni pretvornik MP2 pretvara vrijednost otpora u standardni naponski signal(0 - 500 mV). Osim toga, ovaj mjerni pretvornik vrši kompenzaciju pogreške u mjerenjunastale zagrijavanjem same otporne niti. M0 je P1 član, dok su MP1 i MP2 P0 članovi.Prijenosna funkcija mjernog člana je:

sK

Gmč

mčmč τ+

=1

gdje su: Kmč = 2,5 mV/°C (prijenosni omjer) i τmč = 0,5 s (vremenska konstanta).


40

Davač nazivne vrijednostiOvaj uređaj služi operateru za zadavanje željene vrijednosti temperature u peći koju ćeregulacijski uređaji u krugu održavati konstantnom. Davač nazivne vrijednosti na izlazupostavlja naponski signal U0 koji odgovara željenoj temperaturi.

Usporednik (komparator)Usporednik uspoređuje naponske vrijednosti U0 i Ux te na izlazu daje regulacijsko odstupanjeE (V) kao razliku ta dva signala.

RegulatorZadatak regulatora je da na temelju vrijednosti E (V) oblikuje signal Ui (V) kojim se vodipostavni član i na taj način postigne optimalno regulacijsko djelovanje. Prema vremenskomčlanu kojeg sadrži, regulatori mogu biti proporcionalani (P), integracijski (I), derivacijski (D),proporcionalno-derivacijski (PD), proporcionalno-integracijski (PI) i proporcionalno-integralno-derivacijski (PID). U procesnoj regulaciji najčešće se koriste P i PI regulatori. Uovom primjeru koristi se P regulator. Regulacija procesa s izjednačenjem, kakav je i ovajproces, korištenjem P regulatora karakteristična je po trajnom regulacijskom odstupanju e(∞).

Izvršni članIzvršni član se sastoji od električnog pojačala (P), električnog motora (PM) i postavnog člana(PČ). Električno pojačalo pojačava naponski signal Ui u signal dovoljne snage za pokretanjeelektričnog motora. Električni motor pretvara električnu energiju u mehaničku kojom pokrećepostavni član. Postavni član je ventil kojim se propušta ogrijevna materija u peć. U odnosu navremenska kašnjenja u ostalim dijelovima regulacijskog kruga kašnjenja u blokovimaizvršnog člana su zanemarivo mala pa se ovaj član može predstaviti P0 članom:

Gič (s) = Kič

gdje je Kič = 8 ⋅ 10-4 mVh ⋅

P

REGULATORUSPOREDNIK

PROCES

PM

P

MO

MP1

MP2

DAVAČ NAZIVNE VRIJEDNOSTI

qz(l/h)

E(V)

Promjena napajanja

q(l/h)

U(V)i U (V)0

U (V)x

υp

υp

+

+

+-

a)


41

υpqz

qi

G(s)

G (s)ičG (s)mč

G (s)R

+ -

b)

Slika 4.11: Strukturni (a) i blok dijagram (b) regulacijskog kruga

Stabilnost sustava u odnosu na poremećaj napajanja ispituje se u dinamičkim uvjetimarada. Pri tome se promatraju promjene veličina u krugu, a ne njihove apsolutne vrijednosti.

Zadatak:

Prije dolaska na vježbu:1. Na temelju blok dijagrama regulacijskog kruga i prijenosnih funkcija pojedinih blokova

napišite ukupnu prijenosnu funkciju regulacijskog kruga. Koristeći Routh-ov kriterijstabilnosti odredite pojačanje regulatora Kr za koje će sustav biti stabilan.

2. Nacrtajte blok dijagram simulacije za zadani regulacijski krug. Napišite model ovog krugakoristeći blok dijagram simulacije.

Na vježbi:3. Simulacijom na računalu ispitajte ponašanje sustava pri poremećaju napajanja od qz =

0,01 /h. Za Kr odaberite srednju vrijednost u dozvoljenom području. Skicirajte i opišiteodziv sustava. Koliko je regulacijsko odstupanje?

4. Za Kr postavite vrijednosti 0 (sustav je bez povratne veze). Simulirajte odziv sustava priporemećaju napajanja qz = 0,01 /h. Skicirajte i opišite sustav. Koliko je trajnoregulacijsko odstupanje u ovom slučaju?

5. Odaberite nekoliko vrijednosti pojačanja Kr ravnomjerno raspoređenih unutar dozvoljenogpodručja. Simulirajte sustav za svaki Kr i izmjerite trajno regulacijsko odstupanje.Komentirajte utjecaj pojačanja regulatora Kr na trajno regulacijsko odstupanje i nadinamičko vladanje kruga.

6. Povećajte pojačanje Kr iznad dozvoljene veličine. Opišite što se događa s temperaturomunutar peći.

4.6. Upravljanje brzinom istosmjernog motora

Upotreba servomotora je iznimno raširena. Skoro sve što zahtjeva precizne pokretepokreće se servomotorima

Istosmjerni motor upravljan strujom armature je u otvorenoj petlji sustav prvog reda.Ulaz je napon (um) koji je narinut na pojačalo snage. Izlaz je brzina motora ω u rad/s.Pretpostavlja se da je armaturna samoindukcija zanemariva. Brzina motora i izlazni napontahometra (ut) su povezani s jednadžbom

ut (t) = Ktω (t).


42

Blok dijagram je prikazan na slici 4.12.

mR1

BJs +1

mK tK

bK

U (s)t

U (s)m

ω-

+

a)

b)

Slika 4.12: a) Blok dijagram istosmjernog motora, b) simulacijski model u Simulink-u

Tablica 4.1: Tvornički parametri tipičnog servomotora

osjetljivost tahometra, Kt 0.00955 V/rad/smomentna konstanta, Km 0,027 Nm/Aelektromotorna konstanta

povratne veze, Kb0,027 V/rad/s

otpor armature motora, Rm 5,3 Ωtrenje motora, B 6 ⋅ 10-6 Nms

inercija armature motora, J 1,57 ⋅ 10-6 kgm2

Ako se u izraz za prijenosnu funkciju motora (prema slici 4.12.a) uvrste podaci iztablice 4.1, slijedi da je:

( )( )

( )( )

( )m

mbm

m

m

mb

m

mm

m

mbm

m

mbm

m

m

mbm

m

m

mmb

mm

RKKBJsR

K

RKKBJs

KRK

KKKBJsR

K

KKBJsRK

BJsRKKBJsR

BJsRK

BJsRK

K

BJsRK

sH

++⋅=

++⋅

=⋅++

=

=++

=

++++

=

++

+=

11

/1

/

)(

m

mbx R

KKBK +=


43

+

⋅=

+

⋅=1

1

1

1)(s

KJKR

K

sKJK

RK

sH

x

xm

m

xx

m

m

Prijenosna funkcija motora H(s) je, dakle, prvog reda:

1)(

+=

sKsH

τ

gdje je K istosmjerno pojačanje, a τ vremenska konstanta.

==VsKR

KK

xm

m 1515,35

[ ]

1010933,0515,35)(

933,10/

+=

=+

=

ssH

msRKKB

J

mmb

τ

Ovaj sustav se može voditi pomoću: a) proporcionalnog regulatora i b) proporcionalno-integracijskog regulatora.

a) Proporcionalni regulatorProporcionalni regulator (eng. controller) stvara aktuatorski signal razmjeran signalupogreške. Za ovaj istosmjerni motor, zakon vođenja stoga glasi:

um(t) = Kp(ωd(t) - ω(t))

gdje su ωd željena brzina motora i Kp proporcionalno pojačanje. Kako je

ut(t) = Ktω(t)

slijedi da se željeni izlazni napon tahometra može izraziti kao

ud(t) = Ktωd(t)

i dobiva se zakon upravljanja:

( ))()()( tutuKK

tu tdt

pm −=

Uzimajući da je tpp KKK /' = slijedi da je prijenosna funkcija zatvorene petlje (prema slici4.13):

)(1)(

)( '

'

sHKsHK

sWp

p

+=


44

1515,351011,0

515,351515,35

1515,35011,0515,35

1011,0515,35011.01

1011,0515,35

1011,0515,351

1011,0515,35

)(

'

'

'

'

'

'

'

'

'

++

+=

+⋅+=

=

+⋅+++

⋅=

+⋅+

+⋅

=

sK

KK

KsK

sKs

sK

sK

sK

sW

p

p

p

p

p

p

p

p

p

gdje je vremenska konstanta 1515,35

011,0' +

=pK

τ .

U (s)d K’P H(s) U (s)t

- W(s)

a)

b)

Slika 4.13: a) Blok dijagram regulacije brzine motora proporcionalnim regulatorom, b)primjer prikaza istog dijagrama u Simulinku

b) Proporcionalno-integracijski regulatorU PI regulatoru postoji dodatni član u signalu aktuatora, koji je razmjeran integralu signalapogreške. PI zakon vođenja za istosmjerni motor je:

( ))()()( sss

KKsU dI

pm ωω −

+=

Zbog dodatnog člana prijenosna funkcija je sada drugog reda i to ne jednostavna, jer ima i nultočku. Na isti način kao i kod proporcionalnog regulatora dobiva se prijenosna funkcijazatvorene petlje:


45

( )

( )

( ) Ip

Ip

Ip

Ip

Ip

Ip

KsKsKsK

ssKsKss

ssKsK

ssKsK

ssKsK

sHsKsHsKsW

515,35515,351011,0515,35515,35

1011,0(515,351011,0(

)1011,0(515,35

1011,0515,351

1011,0515,35

)()(1)()()(

2 ++++

=

=

+++++

+

=

=

+⋅

++

+⋅

+

=

=+

=

U (s)d U (s)t

-W(s)

sKK I

P

'' + )(sH

a)

b)

Slika 4.14: a) Blok dijagram regulacije brzine motora proporcionalno-integracijskimregulatorom, b) primjer prikaza istog dijagrama u Simulinku

Zadatak:

Prije dolaska na vježbu:1. Proračunajte proporcionalni regulator tako da vremenska konstanta prijenosne funkcije

zatvorene petlje bude τ = 0,005 (s).Na vježbi:2. Simulirajte vođenje istosmjernog motora proračunatim proporcionalnim regulatorom.

Precrtajte odziv na jediničnu odskočnu funkciju.3. Mijenjajte vrijednosti '

pK . Da li istosmjerno pojačanje ovisi o 'pK ?

4. Koristeći se Simulink-om, mijenjati parametre PI regulatora tako da prebačaj bude štobliže 20% u trenutku 0,005 (s). Za PI regulator iz zadatka vrijedi:


46

csbassK +=)(

Unesite u tablicu parametre a, b i c te rezultate Mp i Tp. Skicirajte odziv za svaki slučaj.

abc

Mp

Tp

Pomoć: Koliki je prebačaj određuje se najlakše podešavajući b. Zatim se podešava vrijemeprebačaja preko promjene parametra c pa fino podešava prebačaj parametrom a. Ne mora seraditi na ovaj način. Ugađanje parametara regulatora da se dobiju ciljane vrijednosti jezadatak u automatici. Postoje složene metode proračuna. Zahvaljujući napretku računala,najjednostavnije je koristiti se postupkom "pokušaja i promašaja", jer MatLab vrlo brzoproračunava odziv. Postupak se sastoji u iskustvenom nagađanju parametara ieksperimentalnom provjeravanju ispravnosti pogođenih parametara.

4.7. Zadaci za vježbu

1. Simulirati sustav s pozitivnom povratnom vezom sa slike 4.15. ako su:

a) G1(s) =2, G2(s) =2

2+s

;

b) G1(s) = s1 , G2(s) =

22+s

;

c) G1(s) = s, G2(s) =2

2+s

.

Skicirajte odzive.

G (s)1X(s) Y(s)+

+G (s)2

Slika 4.15: Blok dijagram zadanog sustava iz 1. zadatka

2. Simulirati sustav s negativnom povratnom vezom sa slike 4.16. ako su:

a) G1(s) =10, G2(s) = 12

05,02 ++ ss

;

b) G1(s) = s5 , G2(s) =

1205,0

2 ++ ss;


47

c) G1(s) = 5s , G2(s) =

1205,0

2 ++ ss.

Skicirajte odzive.

G (s)1X(s) Y(s)+

-G (s)2


3. Simulirati sustav sa slike 4.17. ako su:

a) G1(s) = 1

23 +s

, G2(s) = s

s 1+ , H(s) = 0.5;

b) G1(s) =2+s

s , G2(s) =1

13 +s

, H(s) = 1/s;

c) G1(s) = 432 ++ ss

s , G2(s) = ( )( )111

−+ ss, H(s) = s.

Skicirajte odzive.

G (s)1 G2(s)X(s) Y(s)+-

H(s)


4. Za sustave iz prethodna tri zadatka izračunati prijenosnu funkciju zatvorene petlje.Koristeći se naredbama u glavnom prozoru MatLaba:

a) skicirajte mapu polova i nula,b) odredite odziv na jediničnu odskočnu funkciju,c) odredite da li je sustav stabilan Bodeovim kriterijem,d) precrtajte sa zaslona Nyquistov dijagram dobiven naredbom u MatLab-u.

5. U EWB-u simulirati električne krugove sa slike 4.18. Napisati diferencijalne jednadžbe isimulirati ih u Simulink-u. Skicirati i usporediti vremenske odzive dobivene na ta dvanačina. Zadano je: R1 = 1050 Ω, R2 = 950 Ω, L = 1 mH, C = 1 nF.

Uul Uizl

R1

C Uul Uizl

C

R1

a) b)


48

Uul UizlL

R2

Uul UizlR2

L

c) d)

Slika 4.18: Zadani električni krugovi.



49

5. LITERATURA

[1] Lj. Kuljača, Z. Vukić, Automatsko upravljanje sistemima - analiza linearnih sistema,Školska knjiga, Zagreb, 1985.

[2] I. Kuzmanić, Automatizacija broda, Visoka pomorska škola u Splitu, Split, 2001.[3] *, ECE 311s LAB, Speed control of a DC motor, http://www.control.utoronto.ca/people/

profs/ted/311_data/lab.ps , 1999.[4] I. Batina, I. Kuzmanić, Automatizacija - upute za laboratorijske vježbe, Pomorski fakultet

- Dubrovnik, Studij u Splitu, Split, 1994.[5] V. Zanchi, Mo. Cecić, Ma. Cecić, Programska podrška linearnoj teoriji automatske

regulacije, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i brodogradnje, Split, 1990.[6] *, Getting start with MatLab, http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/

matlab/getstart.pdf[7] *, Using MatLab, http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/matlab/

using_ml.pdf[8] *, Using Simulink, http://www.mathworks.com/access/helpdesk/help/pdf_doc/simulink/

sl_using.pdf[9] I. Mandić, Predavanja iz industrijske robotike, Fakultet elektrotehnike, strojarstva i

brodogradnje, Split, 1998.[10] *, Kratke upute za korištenje MatLaba-a, ZESOI, Fakultet elektrotehnike i računarstva,

Zagreb, http://www.zesoi.fer.hr


50

PRILOG: MatLab

Programski paket MatLab služi za rješavanje i simuliranje različitih matematičkihproblema iz niza područja vezanih uz:- obradu signala,- upravljanje,- on-line upravljanje,- komunikacije,- statistiku,- neuralne mreže,- neizrazitu logiku,- regulaciju,- identifikaciju sustava, itd.

Prva verzija MATLAB-a nastala je krajem 1970. godine na sveučilištima University ofNew Mexico i Stanford University s namjerom primjene u matričnoj teoriji, linearnoj algebri inumeričkoj analizi. Cilj je bio olakšati izračun različitih matričnih operacija. Danas njegovasvojstva daleko prelaze originalne zamisli te je gotovo nezaobilazan u istraživačkimprojektima. Nekada se koristio samo glavni prozor u kojem su se pisale naredbe. Razvojemgrafičkog korisničkog sučelja, došlo se na ideju primjene prozora i u MatLab-u. Stoga sedanas radi o interaktivnom sustavu i programskom jeziku za izračunavanja [7, 10]. Uzosnovni paket postoje i brojni dodatni programski paketi - alatke (toolbox).

Simulink je dodatak MatLab-u koji omogućuje simulaciju kontinuiranih i diskretnihsustava s pomoću funkcijskih blok dijagrama i dijagrama stanja. Posjetom na web stranicu(http://www.mathworks.com) može se otkriti koliko je njegova primjena široka i koliko seljudi se koristi njime i želi pridonijeti njegovom razvoju. To je moguće, jer je ovaj programskipaket otvoren sustav u kojem korisnik može graditi svoje vlastite alate i biblioteke temodificirati postojeće, koji su dostupni u obliku izvornog koda u jeziku koji je pristupačan irazumljiv većini korisnika.

Svi podaci se promatraju kao matrice čije dimenzije nije potrebno čuvati kao posebnevarijable. To je prednost u odnosu na ostale ne-objektne programske jezike, gdje se varijable,uglavnom, treba definirati, tj. treba odrediti dimenziju i tip svake varijable. Čak i skalarneveličine predstavljaju se kao matrice s dimenzijom 1x1. Svi su podaci interno zapisani uobliku pomičnog zareza dvostruke preciznosti. U MatLab-u se može raditi i s kompleksnimbrojevima.

Po svojoj formi MATLAB je interaktivni jezik – interpreter. Po svojoj formi blizak jenačinu na koji se i inače zapisuju matematičke formule pa jedan redak u MatLab-u možezamijeniti stotine redaka napisanih u nekom programskom jeziku opće namjene [7, 10].

MatLab ima razvijenu pomoć, koja se može pozvati za svaku naredbu, funkciju ilioperator. Pomoć često obuhvaća i primjere. Ona se poziva utipkavanjem naredbe "help" ionoga što je potrebno, npr.

» help dir

DIR List directory. DIR directory_name lists the files in a directory. Pathnames and wildcards may be used. For example, DIR *.m lists all the M-files in the current directory.


51

Pomoć se može pozvati i u glavnom izborniku, gdje postoji grafičko sučelje u kojemse može pregledati cijela pomoć ili tražiti točno određena informacija.

Osnovna MATLAB ljuska nije pogodna za grafički prikaz rezultata. Da bi se rezultatimogli grafički prikazati treba otvoriti novi prozor za njihov prikaz. To se postiže naredbomfigure. Može se imati više različitih grafičkih prozora. MatLab-ove naredbe za crtanje (npr.plot, plot3, mesh, image) crtaju u trenutno aktivni prozor te je prije crtanja potrebno odabratineki prozor. Svaki grafički prozor ima svoj broj koji se koristi kod odabira aktivnog prozora spomoću naredbe figure, npr. figure(2). Naredbu figure nije potrebno koristiti kod otvaranjaprvog prozora [10].

» help plot

PLOT Linear plot. PLOT(X,Y) plots vector Y versus vector X. If X or Y is a matrix, then the vector is plotted versus the rows or columns of the matrix, whichever line up. If X is a scalar and Y is a vector, length(Y) disconnected points are plotted. PLOT(Y) plots the columns of Y versus their index. If Y is complex, PLOT(Y) is equivalent to PLOT(real(Y),imag(Y)). In all other uses of PLOT, the imaginary part is ignored. Various line types, plot symbols and colors may be obtained with PLOT(X,Y,S) where S is a character string made from one element from any or all the following 3 colums: y yellow . point - solid m magenta o circle : dotted c cyan x x-mark -. dashdot r red + plus -- dashed g green * star b blue s square w white d diamond k black v triangle (down) ^ triangle (up)

< triangle (left) > triangle (right) p pentagram h hexagram

Svaka naredba plot i općenito svako crtanje u grafički prozor briše prethodni sadržajprozora. Ukoliko se želi crtati preko već nacrtanog mora se prije naredbe plot zadati naredbuhold on.

HOLD Hold current graph. HOLD ON holds the current plot and all axis properties so that subsequent graphing commands add to the existing graph. HOLD OFF returns to the default mode whereby PLOT commands erase the previous plots and reset all axis properties before drawing new plots.

MatLab omogućava spremanje varijabli u datoteke. Najjednostavnije je koristitinaredbu save.


52

SAVE Save workspace variables to disk. SAVE fname saves all workspace variables to the binary "MAT-file" named fname.mat. The data may be retrieved with LOAD. Omitting the filename causes SAVE to use the default filename "matlab.mat".

SAVE fname X saves only X. SAVE fname X Y Z saves X, Y, and Z. The wildcard '*' can be used to save only those variables that match a pattern.

MATLAB je potpun programski jezik u kojem je moguće napisati vlastite programe.Pojedine naredbe moguće je izvršiti uvjetno ili ponoviti više puta. Svi programi se spremaju uobične tekstualne datoteke, a najjednostavnije ih je pisati korištenjem ugrađenog editora kojise poziva naredbom edit.

Primjer:Upišite u programu za uređivanje koda sljedeći niz naredbi:

function pozdravdisp('Dobar dan!');

Nakon toga spremite u radni direktorij funkciju pod imenom "pozdrav.m". Upišitenovodefiniranu funkciju u glavni prozor MatLaba:

» pozdravDobar dan!»

Nakon upisivanja imena funkcije, računalo u glavnom prozoru ispisuje tekst "Dobar dan!", tejavlja da očekuje nove naredbe (znak "»"). Upisivanje naredbe edit pozdrav otvorit će se uprogramu za editiranje tražena datoteka pozdrav.m.

NAREDBA ZNAČENJEbreak Terminate execution of WHILE or FOR loop.case SWITCH statement casecatch Begin CATCH block.cd Change current working directory.clear Clear variables and functions from memory.copyfile Copy a file.delete Delete file.demo Run demonstrations.dir List directory.disp Display an array.else IF statement condition.elseif IF statement condition.end Terminate scope of FOR, WHILE, SWITCH,

TRY and IF statements.for Repeat statements a specific number of times.function Add new function


53

help On-line help, display text at command line.helpdesk Comprehensive hypertext documentation and

troubleshooting.helpwin On-line help, separate window for navigation.if Conditionally execute statements.input Prompt for user input.mkdir Make directory.otherwise Default SWITCH statement case.pause Wait for user response.return Return to invoking function.switch Switch among several cases based on

expression.try Begin TRY block.ver MATLAB, SIMULINK, and toolbox version

information.while Repeat statements an indefinite number of

times.whos List current variables, long form.

Povratak na početak priloga

Povratak na sadržaj

Documents

SVEUČILIŠTE U SPLITU POMORSKI FAKULTET U SPLITUikuzman/aut_ebook.pdf · Vođenje (regulacija) je smisleno djelovanje na stanje energije i tvari u nekom procesnom prostoru na način