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MATEMÁTICAS I
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1er Grado Volumen II
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Imatemáticas1er Grado Volumen II
Matemáticas I. Volumen II, fue elaborado en la Coordinación de Informática Educativa del Instituto Latinoamericano de la Comunicación Educativa (ILCE), de acuerdo con el convenio de colaboración entre la Subsecretaría de Educación Básica y el ILCE.
SECRETARÍA DE EDUCACIÓN PÚBLICAJosefina Vázquez Mota
SUBSECRETARÍA DE EDUCACIÓN BÁSICAJosé Fernando González Sánchez
Dirección General de Materiales EducativosMaría Edith Bernáldez Reyes
Dirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos
Subdirección de Desarrollo e Innovaciónde Materiales Educativos para la Educación Secundaria
Dirección Editorial
INSTITUTO LATINOAMERICANO DE LA COMUNICACIÓN EDUCATIVA
Dirección GeneralManuel Quintero Quintero
Coordinación de Informática EducativaFelipe Bracho Carpizo
Dirección Académica GeneralEnna Carvajal Cantillo
Coordinación AcadémicaArmando Solares Rojas
Asesoría AcadémicaMaría Teresa Rojano Ceballos (DME-Cinvestav)Judith Kalman Landman (DIE-Cinvestav)(Convenio ILCE-Cinvestav, 2005)
AutoresMartha Gabriela Araujo Pardo, Silvia García Peña, José Cruz García Zagal, Olga Leticia López Escudero, Verónica Rosainz Bonilla
ColaboraciónErnesto Manuel Espinosa Asuar
Apoyo técnico y pedagógicoCatalina Ortega NuñezMaría Padilla Longoria
Coordinación editorialSandra Hussein Domínguez
Primera edición, 2006 Primera edición revisada y corregida, 2007 (ciclo escolar 2007-2008)D.R. © Secretaría de Educación Pública, 2006 Argentina 28, Centro, 06020, México, D.F.
ISBN 978-968-01-1191-6 (obra completa)ISBN 978-968-01-1210-4 (volumen II)
Impreso en MéxicoDistribución gratuita-ProhibiDa su venta
Servicios editorialesDirección de arte:Rocío Mireles Gavito
Diseño:Zona gráfica
Iconografía:Cynthia Valdespino
Diagramación:Bruno Contreras
Ilustración:Imanimastudio, Curro Gómez, Gabriela Podestá, Cecilia Varela
Fotografía:Ariel Carlomagno, Pablo González de Alba, Pável Ramírez
Índice
Mapa-índice
Clave de logos
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secuencia 17 División de números decimales
secuencia 18 Ecuaciones de primer grado
secuencia 19 Existencia y unicidad
secuencia 20 Áreas y perímetros
secuencia 21 Porcentajes
secuencia 22 Tablas de frecuencia
secuencia 23 Gráficas de barras y circulares
secuencia 24 Nociones de probabilidad
BLOqUE 4
secuencia 25 Números con signo
secuencia 26 Raíz cuadrada y potencias
secuencia 27 Relación funcional
secuencia 28 Construcción de círculos y circunferencias
secuencia 29 El número Pi
secuencia 30 El área de los círculos
secuencia 31 Relaciones de proporcionalidad
secuencia 32 Gráficas asociadas a situaciones de proporcionalidad
BLOqUE 5
secuencia 33 Cuentas de números con signo
secuencia 34 Áreas de figuras planas
secuencia 35 Juegos equitativos
secuencia 36 Gráficas, tablas y expresiones algebraicas
secuencia 37 Proporcionalidad inversa
secuencia 38 Medidas de tendencia central
Bibliografía
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Trabajo individual
En parEjas
En Equipos
Todo El grupo
ConExión Con oTras asignaTuras
glosario
ConsulTa oTros maTErialEs
Cd dE rECursos
siTios dE inTErnET
biblioTECa
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programa inTEgrador EdusaT
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BLOQUE 3
secuencia 17
12
EL mEtrOBúsPara empezarEnlaCiudaddeMéxicohayuntransportellamadometrobús.Esunautobúsmáslargoquelonormal,quetransitaporunaavenidallamadaInsurgentes.
Parasubirsealmetrobús seusantarjetas,lascualessepasanporunaparatoquepermiteelacceso.
Enelaparatosemarcaeldinerodisponibleenlatarjeta,esdecir,elsaldo.Elcostoporviajeenelmetrobúsesde$3.50.
sEsión 1
División de números decimalesEn esta secuencia resolverás problemas que impliquen la división de números decimales en distintos contextos.
13
MATEMÁTICAS I
Platiquenconsugrupolosresultadosylamaneraenquellegaronaellos.Siutilizaronoperacionesdigancuálesycómolasusaron.
Manos a la obrai. Hallarelnúmerodeviajesquesepuedehacerconciertacantidaddedinero,equiva
leadividiresacantidadentreelcostodeunviaje.
Utilicenlosresultadosqueencontraronenelproblemaanteriorycompletenlatabla.
División Cociente (número de viajes) Residuo (lo que sobra)
24.00 ÷ 3.50
37.50 ÷ 3.50
75.00 ÷ 3.50
115.50 ÷ 3.50
Observenquealcalcularelnúmerodeviajes,estáncalculandocuántasvecescabeelcostodecadaviajeenelsaldo.
Consideremos lo siguienteEncadacasoanotenparacuántosviajesalcanzaelsaldodelatarjetaycuántosobra.Recuerdenqueelcostodeunviajees$3.50.
Saldo $24.00
Númerodeviajes:
Sobra:
Saldo $37.50 Saldo $75.00 Saldo $115.50
Númerodeviajes:
Sobra:
Númerodeviajes:
Sobra:
Númerodeviajes:
Sobra:
secuencia 17
1�
ii. Imaginenahoraunlugardondeelpreciodecadaviajevaríayhaycostosmuybajos.Completenlatabla.
Saldo ($) (dividendo)
Costo del viaje ($) (divisor) División Número de viajes
(cociente)
9 4.50 90 ÷ 4.50
15 2.50
4.50 1.50
4.80 1.20
9 1.80
4 0.50
8.50 0.50
4 0.25
5.25 0.25
4 0.20
4.30 0.10
iii.Analicenlatablaanteriorparacontestarlassiguientespreguntas:
a) ¿Encuálescasoselcocienteesmenorqueeldividendo?
b) ¿Encuálescasoselcocienteesmayorqueeldividendo?
c) Encuentrenquétienenencomúnaquellasdivisionesenlasqueelcocienteesmayorqueeldividendoyanotensusobservaciones:
iV. Anotenelresultadoalquellegaronaldividir
4 ÷ 0.50=
Observenqueesteresultadoequivaleamultiplicar4porunnúmero,¿porcuálnúmero?
1�
MATEMÁTICAS IAlgunasdivisionesentreunnúmeroconpuntodecimalpuedencalcularsemásfácilmenteconunamultiplicación.Completenlasiguientetabla.
Dividir entre: Es lo mismo que multiplicar por:
Ejemplo resuelto con división
Ejemplo resuelto con multiplicación
0.50 2 3 ÷ 0.5 = 6 3 × 2 = 6
0.25
0.20
0.10
0.125
0.01
V. Resuelvanmentalmentelassiguientesdivisiones:
2 ÷ 0.5= 1 ÷ 0.125=
3 ÷ 0.01= 4 ÷ 0.25=
1.5 ÷ 0.5= 3 ÷ 0.1=
12. 5 ÷ 2.5= 9 ÷ 0.2=
Vi.Platiquenasuscompañeroscómoresolvieronmentalmentealgunadelasoperacionesdelaactividadanterior.Elijanunaoperaciónyanotenenelpizarrónvariosprocedimientospararesolverlamentalmente.Comentencuálprocedimientoesmejoryporqué.
Dividir una cantidad entre un número equivale a calcular cuántas veces cabe ese número en dicha cantidad.
Algunas divisiones entre números con punto decimal pueden resolverse más rápida-mente con una multiplicación, por ejemplo, 10 ÷ 0.25 puede escribirse como 10 ÷ rQ , que como estudiaron en la división de fracciones, equivale a multiplicar 10 × 4 = 40.
Al dividir una cantidad entre un número menor que la unidad, el resultado será mayor que la cantidad, por ejemplo, 5 ÷ 0.2 = 25, 25 es mayor que 5.
A lo que llegamos
secuencia 17
1�
El metrobús
Veanelvideoyrealicenloqueahísepide.Cuandoterminen,reúnanseenparejasyjuntoshaganunresumenquesetitule“Ladivisiónconnúmerosdecimales”.Despuésleanelresumenantesugrupo.
CamBiO dE dinErOPara empezarSevanarepartir$29.60entre4amigos,¿cuántoletocaacadauno?Enlaprimariaaprendistequeesteproblemaseresuelveconlasiguientedivisión:
7.40 4 29.60 16 00
Elresultadoes$7.40.Estasdivisionesseresuelvenigualqueconnúmerosenteros,peroalmomentodebajarel6"sesubeelpunto".¿Sabenporquésehaceasí?
a)Cuandosedivide29entre4seestándividiendo29enteros,poresoelresultadoesentero.
b)Albajarel6juntoal1yaseestándividiendo16décimosentre4,poresohayqueponerunpunto,paraindicarqueelresultadocorrespondeadécimos.
Ahoraaprenderáscómoseresuelveunadivisióncuandoelpuntodecimalestáeneldivisor.
Consideremos lo siguienteAracelitiene$19.40ylevaadaracadaunodesusamigos$2.50.¿Paracuántosamigoslealcanzaycuántolesobra?
Estasituacióntambiénseresuelveconunadivisión.Encuentrenunamaneradehallarelresultadodelasiguientedivisiónqueresuelveelproblema.
2.5 19.4
Expliquenasuscompañeroscómoresolvieronladivisiónanterioryporquélohicieronasí.
sEsión 2
1�
MATEMÁTICAS I
a) ¿Cómosonlosresultadosentresí?
b) Observenqueeldividendo(8)yeldivisor(4)delaprimeradivisiónsemultiplicaronpor10paraobtenerlasegundadivisión(80y40).
c) ¿Porcuálnúmerosemultiplicarondividendoydivisordelaprimeradivisión
paraobtenerlaterceradivisión?
d) ¿Porcuálnúmerosemultiplicarondividendoydivisordelaprimeradivisión
paraobtenerlacuartadivisión?
ii. Considerenquesetieneestadivisión
2.5 20
Multipliquendividendoydivisorpor10,¿quédivisiónobtienen?Anótenlayresuélvanla.
Estadivisiónesmássencillaque20 ÷ 2.5y,porlapropiedadquerecordaronenlaactividadI,sabenqueelresultadodeestadivisióneselmismoparaambas.
Manos a la obrai. Resuelvanlassiguientesdivisiones:
Al multiplicar un
número con punto
decimal por 10, se
recorre el punto un
lugar a la derecha.
Recuerden que:
Si en una división se
multiplica el dividendo
y el divisor por el
mismo número, el
resultado de la
división no cambia.
4 8 40 80
400 800 4 000 8 000
secuencia 17
1�
iii.Transformencadadivisiónenunacuyodivisornotengapuntodecimalyresuélvanla;elijanbienelnúmeroporelquetienenquemultiplicarcadauna.
1.2 48
0.125 3.5
0.32 4.5
iV. Resuelvanladivisióndelproblemainicial(19.4 2.5)transformándolaenunadivisiónsinpuntoeneldivisor.Comparenesteresultadoconelqueobtuvieronalprincipiodelasesión.
Comentenlosresultadosquehanobtenidohastaestemomento.Pasenalpizarrónaresolverlas3divisionesdelaactividadIIIyexpliquenporcuálnúmeromultiplicaroneldividendoyeldivisordecadaunayporqué.
A lo que llegamosPara resolver una división con punto decimal en el divisor:
1. Primero se transforma la división en otra que no tenga punto decimal en el divisor, esto se logra multiplicando el dividendo y el divisor por 10, 1 00, 1 000, ... según el divisor tenga 1, 2, 3, ... cifras decimales.
2. Después se resuelve.
Por ejemplo, para resolver:
0.12 2.4 se multiplican por 100 el dividendo y el
divisor para transformar la división en
12 240
Y se resuelve: 20 12 240 000El resultado de dividir 240 ÷ 12 es el mismo que el resultado de dividir 2.4 ÷ 0.12. Compruébenlo con una calculadora.
1�
MATEMÁTICAS ILo que aprendimos1. Aracelitiene$50.00enmonedasde$0.50yquierehacermontonesde$2.50;Luis
tiene$500.00enmonedasde$5.00yquierehacermontonesde$25.00.
¿Cuáldelassiguientesafirmacionesescorrecta?
a) Araceliharámásmontones.
b) Luisharámásmontones.
c) Ambosharánelmismonúmerodemontones.
d) Nopuedecalcularsequiénharámásmontones.
Justificalarespuestaqueelijas.
2. DonFernandovaarepartir7 delecheenenvasesde0.5 .¿Cuántosenvasesocu
pará?
CompletalatabladetalmaneraqueelnúmerodeenvasessiempreseaelmismoquelosqueocuparádonFernando.
Litros a repartir Capacidad de cada envase ( ) Número de envases
14
1.5
28
5
10
3. Resuelveladivisión9.2entre2=
Inventa5divisionesque,partiendodelosmismosnúmerosquelaanterior,tenganigualcociente.
secuencia 17
20
sEsión 3
La estrellamásbrillanteque vemos en el cielo es
Sirio,quesevedurantelasnochesdeinvierno.¡La
luzdeSiriotarda8.8añosenllegaralaTierra!
Si la luz viaja a 300 000 km/s, ¿qué operaciones
tendríamosquehacerparaconocerladistanciaala
queestáSirio?
Elanimalmásgrandedelmundoeslaballenaazul,
llegaamedirhasta33 mdelargo.Elanfibiomás
grande es la salamandra gigante de Japón, con
1.5mdelargo.LaarañamásgrandeeslaGoliath,
puedemedir0.28mde longitud. ¿Cuántas veces
esmáslargaunaballenaazulqueunasalamandra
gigante?
,
¿Y que una araña
Goliath?
Elcrecimientodelasbacteriasamenosde10 oC
esmuylento,porellolosalimentosenelrefrige
rador se conservanmás tiempo. La temperatura
delcongeladorseconservaalrededordelos18 oC
bajoceroyenelrefrigeradorpuedeestaralrede
dor de 4.5 oC. ¿Cuál
esladiferenciaentre
la temperatura del
congelador y la del
refrigerador?
Ladurezadeunmineralpuedemedirsedeacuerdo
conlafacilidadpararayarlo.Elmineralmásduro
eseldiamantey sudurezaesde10. Lamínima
durezade laplata es2.5 y ladel azufre es1.5.
¿Cuántas veces es más duro el diamante que la
plata?
¿Yqueelazufre?
númErOs dECimaLEs En La CiEnCiaLo que aprendimosEnestasesiónaplicaránvariosde losconocimientosquehanadquiridoa lo largodetodaslassecuenciassobrenúmerosconpuntodecimal.Encadacaso,respondanlapreguntaplanteada.
21
MATEMÁTICAS IAl caminar rápidamente se queman
0.097caloríasporcadakilogramode
pesoporminuto.Siunapersonacami
nando rápidamente quemó 6.305
caloríasenunminuto,¿cuántopesa?
¿Cuántotiempo,aproximadamente,
tendríaquecaminarrápidoesaper
sona para quemar 500 calorías?
Comentenconotrosequiposlosresultadosdeestosproblemas.Comparenlosprocedimientosquemuestrenlosdiferentesequiposyelijanaquellosquelesparezcanmásfáciles.
Para saber más
SieltiempoquetardanlosplanetasendarlavueltaalSol
semideenaños,setieneque:Neptunotarda165.4añosy
Urano83.7años.¿Cuálesladuraciónenaños,mesesydías
del tiempo que tarda Neptuno en dar la vuelta al Sol?
¿Y Urano?
LaTierra,alviajaralrededordelSol,re
corre30.5kilómetrosenunsegundo.
¿Encuántotiemporecorre1830kiló
metros?
El cuerpo humano está formado
porvarioselementos:63%dehi
drógeno,23.5%deoxígeno,9.5%
de carbono, 1.4% de nitrógeno
y el resto de otros elementos.
¿Cuáleselporcentajequecorres
ponde en total a esos otros ele
mentos?
Sobre la división de números decimales consulta en: http://www.sectormatematica.cl/basica/decvida.htm[Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Ruta: Dar clic en "Relacionando multiplicación y división".
secuencia 18
22
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen el planteamien-to y la resolución de ecuaciones de primer grado de la forma x + a = b; ax = b; ax + b = c, utilizando las propiedades de la igualdad, cuando a, b y c son números naturales o decimales.
A RepARtiR nARAnjAsPara empezarEn la primaria resolviste problemas en los que tenías que encontrar la solución haciendo operaciones aritméticas: sumas, restas, multiplicaciones y divisiones. En esta secuencia aprenderás una nueva manera de resolver problemas: usarás expresiones algebraicas para representar y encontrar valores desconocidos.
Consideremos lo siguienteUn comerciante de naranjas quiere saber cuántos kilogramos de naranjas tenía al princi-pio del día si vendió 24 kg y al final se quedó con 8 kg.
a) ¿Cuál es el valor desconocido en este problema? Subráyenlo:
• Los kilogramos de naranjas que vendió.
• Los kilogramos de naranjas que tenía al principio.
• Los kilogramos de naranjas que le quedaron al final.
b) En el problema hay dos valores que sí se conocen, ¿cuáles son?
En la siguiente igualdad, el valor desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro azul:
− 24 = 8
c) ¿Cuál es el número que debe estar en el recuadro azul?
Comparen sus respuestas y comenten:
a) ¿Qué operación hicieron para encontrar el número que va en el recuadro azul?
b) ¿Cuántos kilogramos tenía el comerciante al principio del día?
sesión 1
Ecuaciones de primer grado
23
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Escriban el número que encontraron y hagan las operaciones para comprobar la igualdad:
− 24 = 8
ii. Hay que encontrar un número que, al sumarle 57, dé como resultado 124.
a) En este problema hay dos números que sí se conocen, ¿cuáles son?
En la siguiente igualdad, el número desconocido del problema es un número que debe estar en el recuadro morado. Completen la igualdad usando los números conocidos:
+ =
b) ¿Cuál es el número que va en el recuadro?
c) Comprueben la solución que encontraron:
En lugar del recuadro morado escriban el número que encontraron y hagan las operaciones:
+ =
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuál es el número que al sumarle 57 da como resultado 124?
iii. Representen con una igualdad el siguiente problema: ¿Cuál es el número que al su-marle 110 da como resultado 221? Usen el recuadro rojo para representar el número desconocido.
+ =
a) ¿Cuál es el número que debe ir en el recuadro rojo?
b) ¿Qué operación hicieron para encontrarlo?
iV. Generalmente, en las matemáticas se utilizan letras para representar los valores des-conocidos. Si en el problema anterior:
¿Cuál es el número que al sumarle 110 da como resultado 221?
se usa la letra x para representar el valor desconocido, el problema puede representarse mediante la siguiente igualdad:
x + 110 = 221
Esta igualdad es la misma que: + 110 = 221
sólo que ahora se usa la letra x en lugar del recuadro rojo
secuencia 18
24
a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de x?
Complétenla:
221 −
¿Cuánto vale x? x =
b) Comprueben su resultado sustituyendo el valor que obtuvieron para x en la igualdad:
+ 110 = 221
Comparen sus respuestas.
A lo que llegamosLas igualdades como x + 110 = 221 son expresiones algebraicas en las que hay un valor desconocido o incógnita que generalmente se representa con una letra. Estas igualdades se llaman ecuaciones.
V. En la ecuación m − 1 = 7, ¿cuál es el valor desconocido o incógnita? Subráyenlo:
• 1• m
• 7a) ¿Qué operación hay que hacer para encontrar el valor de m?
b) ¿Cuánto vale m? m =
c) Comprueben su resultado sustituyendo m por el valor que encontraron:
− 1 = 7
A lo que llegamosPara resolver la ecuación x + 110 = 221, en la que se está sumando, se puede hacer una resta: x = 221 – 110. La solución de esta ecuación es x = 111.
Para resolver la ecuación m – 1 = 7, en la que se está restando, se puede hacer una suma: m = 1 + 7. La solución de esta ecuación es m = 8.
Se dice entonces que la suma y la resta son operaciones inversas.
25
MATEMÁTICAS IVi. El comerciante quiere saber ahora cuántos kilogramos de naranja tenía al principio,
si en esta ocasión vendió primero 13 kg de naranja, después vendió 11 kg y finalmen-te se quedó con 5 kg.
a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones representan el problema?
• x – 13 – 11 + 5
• x – 13 + 11 = 5
• x – 24 = 5
• x – 13 – 11 = 5b) Resuelvan la ecuación, ¿cuánto vale x? x =
Comparen las ecuaciones que escogieron y las soluciones que encontraron. Comenten:a) ¿Cuántos kilogramos de naranja tenía el comerciante al principio?
b) Hay dos ecuaciones que representan el problema, ¿por qué creen que la solución de estas dos ecuaciones es la misma?
Comprueben su solución sustituyéndola en las dos ecuaciones:
– 13 – 11 = 5 – 24 = 5
Lo que aprendimos1. Un camión que distribuye leche en un pueblo sale del establo con varios litros. Reco-
ge 21 más en otro pueblo, deja 56 en una tienda, después deja 34 en otra tien-da. Al acabar su recorrido se quedó con 15 de leche.
a) En este problema hay 4 valores conocidos, ¿cuáles son?
b) La ecuación x + 21 – 56 – 34 = 15 permite resolver el problema. Resuélvanla en sus cuadernos.
c) ¿Cuántos litros tenía el camión al salir del establo?
d) Comprueben si la solución que encontraron es correcta.
2. Para los siguientes problemas plantea una ecuación y resuélvela. Hazlo en tu cuaderno.
a) ¿Cuál es el número que al sumarle 27 da como resultado 138?
b) ¿Cuál es el número que al restarle 2.73 da como resultado 5.04?
Comprueba tus soluciones.
secuencia 18
26
eL pAseO esCOLARConsideremos lo siguientePara un paseo al que asistirán 280 niños se van a rentar 8 autobuses. Todos los autobu-ses van a llevar el mismo número de niños. Se quiere saber cuántos niños debe llevar cada autobús.
a) ¿Cuál es el valor desconocido en el problema? Subráyenlo.
• El número de niños que asisten al paseo.
• El número de autobuses que se rentan.
• El número de niños que van en cada autobús.
b) Usando la letra y escriban una ecuación que describa este problema:
c) Encuentren el valor de y
Comparen sus ecuaciones y sus resultados.
Manos a la obraEn esta actividad se usará algo que aprendieron en la secuencia 4. Recuerden que 8y es lo mismo que 8 por y; el símbolo de la multiplicación aquí no se pone para no confun-dirlo con la letra x.
i. Una de las siguientes ecuaciones corresponde al problema anterior. Subráyenla:
• 280 y = 8• 280 + y = 8• y + 8 = 280• 8 y = 280
a) ¿Cuál de las siguientes operaciones permite encontrar el valor de y?
• 8 ÷ 280• 8 × 280• 280 – 8• 280 ÷ 8
b) Usando la operación que señalaron encuentren el valor de y.
y =
c) Comprueben su solución sustituyendo el valor de y en la ecuación que escogieron. Háganlo en sus cuadernos.
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuántos niños debe llevar cada autobús?
sesión 2
27
MATEMÁTICAS Iii. Se quiere conocer la edad de Julián y se sabe que la tercera parte de su edad es igual
a la edad de Diego, que tiene 4 años.
a) ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones corresponden a este problema? Se usa la letra J para representar a la edad de Julián.
• J × 3 = 4• J ÷ 3 = 4• J ÷ 4 = 3• e = 4
b) ¿Cuántos años tiene Julián?
c) En sus cuadernos, comprueben su solución sustituyendo el valor de J en la ecua-ción que escogieron.
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
a) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que corresponden a este problema?
b) ¿Qué operación hicieron para encontrar la edad de Julián?
c) ¿La edad de Julián que encontraron es la cuarta parte de la edad de Diego?
iii. En la siguiente tabla se presentan algunos problemas, sus ecuaciones correspondien-tes y las operaciones con las que se pueden resolver. Complétenla.
Problema EcuaciónOperación que se hace
para encontrar la incógnita
Valor de la incógnita
¿Cuál es el número que al multiplicarlo por 3 da 57?
¿Cuál es el número que al dividirlo entre 6 da 48?
x ÷ 6 = 48
¿Cuál es el número que al multiplicarlo por____ da ____? m× 25 = 165 165 ÷ 25
¿Cuál es el número que al dividirlo entre 7 da 12.5? 12.5 × ______ 87.5
Comparen sus tablas.
J
A lo que llegamosEn la ecuación 2y = 16, el número 2 está multiplicando a la incógnita y. Para encontrar el valor de y se puede hacer una división: 16 ÷ 2. La solución de la ecuación es y = 8.En la ecuación s ÷ 5 = 6, el número 5 está dividiendo a la incógnita s. Para encontrar el valor de s se puede hacer una multiplicación: 6 × 5. La solución de la ecuación es s = 30.
Se dice entonces que la multiplicación y la división son operaciones inversas.
secuencia 18
28
sesión 3
Lo que aprendimos El terreno y el río
El terreno rectangular que se muestra en la figura de la iz-quierda está atravesado por un río y no es posible medir su ancho. ¿Cómo se puede calcular el ancho si se sabe que el terreno mide de largo 17 m y el área que ocupa es 238 m2?
a) Escriban una ecuación para resolver el problema anterior:
b) Encuentren el valor de la incógnita.
c) Comprueben el valor que encontraron para la incógnita.
ResOLUCión De eCUACiOnes MiXtAsConsideremos lo siguienteJuan pensó un número. Lo multiplicó por 3 y a lo que le salió le restó 5. Al final obtuvo 10.
a) Escriban una ecuación para encontrar el número que pensó Juan.
Usen la letra x para representarlo.
b) ¿Cuál es el número que pensó?
Comparen sus ecuaciones y soluciones. Comenten:
¿Qué operaciones hicieron para resolver la ecuación?
Manos a la obrai. ¿Cuál es la incógnita en el problema?
• El resultado de multiplicar por 3.
• El resultado que obtuvo Juan al final.
• El número que pensó Juan.
Juan hizo dos operaciones con el número que pensó.
a) ¿Cuál fue la primera operación que hizo?
b) ¿Cuál fue la segunda operación que hizo?
17 m
Comparen sus respuestas y comenten:
¿Cuánto mide el ancho del terreno?
29
MATEMÁTICAS Ic) Una de las siguientes ecuaciones sirve para encontrar el número que pensó Juan,
¿cuál es?
• 3x – 5x = 10• 3x + 10 = 5• 3x – 5 = 10
Comparen sus ecuaciones y soluciones.
Comenten: la ecuación 5 x – 3 = 10 no corresponde a este problema, ¿por qué?
ii. En la ecuación 3x – 5 = 10 se hacen dos operaciones: primero se multiplica 3 por x, y después, al resultado se le resta 5.
a) ¿Qué número creen que obtuvo Juan al hacer la operación: 3x?
Comparen sus respuestas y comenten cómo las encontraron.
b) En la ecuación 3x – 5 = 10, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encon-
trar el valor de 3x?
Completen:
3x = 10 + =
c) En la ecuación 3x = 15, ¿cuál es la operación que hay que hacer para encontrar
el valor de x?
Completen:
x = 15 ÷ = d) En sus cuadernos, comprueben el valor que encontraron para el número que pen-
só Juan, sustituyéndolo en la ecuación.
iii. Ana pensó un número. Lo dividió entre 4 y después, a lo que le salió, le sumó 6. Al final obtuvo 11.
a) ¿Cuál es la primera operación que hizo Ana?
b) ¿Cuál es la segunda operación que hizo Ana?
c) Escriban una ecuación para encontrar el número que Ana pensó. Usen la letra y
para representarlo.
y ÷ 4 + =
d) ¿Cuál es el valor de y? y =
e) Comprueben la solución en sus cuadernos.
Comparen sus ecuaciones y soluciones.
Comenten: La ecuación y – (2 ÷ 8) no corresponde al problema, ¿por qué?
Recuerden que:
3x es lo mismo que
3 por x. El símbolo
de la multiplicación
no se pone para no
confundirlo con la
letra x.
secuencia 18
30
A lo que llegamos
iV. En el rectángulo de la figura 1 la medida de la base es igual al doble de la medida de la altura más 1 cm.
Figura 1
De las siguientes ecuaciones señalen las que sirven para encontrar la altura.
• a × 2 + 7.2 = 1• 2 a + 1 = 7.2• (a ÷ 2) + 1 = 7.2• a × 2 + 1 = 7.2
Comparen las ecuaciones que escogieron y comenten:
a) ¿Cuáles son las operaciones que se hacen en este problema?
b) ¿Cuáles son las dos ecuaciones que permiten resolver el problema?
7.2 cm
a
Para resolver ecuaciones en las que se hacen dos operaciones con la incógnita, como 5x + 1 = 21, hay que respetar el orden de las operaciones. Una manera de resolver estas ecuaciones es la siguiente:
Primero. Encontrar el valor de 5x:
5x = 21 – 1 5x = 20
Segundo. Encontrar el valor de x:
x = 20 ÷ 5 x = 4En la ecuación (y ÷ 6) – 8 = 4 se pone un paréntesis para indicar que primero se divide entre 6 y después se resta 8. Nuevamente se resuelve la ecuación respetando el orden de las operaciones: Primero. Se encuentra el valor de y ÷ 6:
y ÷ 6 = 4 + 8 y ÷ 6 = 12 Segundo. Se encuentra el valor de y:
y = 12 × 6 y = 72
31
MATEMÁTICAS IEncuentren el valor de la altura y comprueben su respuesta sustituyéndolo en la ecuación.
Lo que aprendimos1. La mitad del número de alumnos que hay en primer año más 29 es igual a 44.
a) Escribe una ecuación para este problema:
b) ¿Cuántos alumnos hay en primer año?
2. En tu cuaderno resuelve los siguientes problemas. Puedes usar ecuaciones.
a) Si pienso un número, lo multiplico por 2, a lo que me sale le resto 3 y al final obtengo 15.8. ¿Cuál es el número que pensé?
b) Si a la cuarta parte de un número le sumo 23.5 obtengo 117.7. ¿Cuál es el número?
3. Encuentra el valor de x en las siguientes ecuaciones. Escribe los procedimientos en tu cuaderno.
a) 3x + 0.1 = 10b) (x ÷ 2) + 44 = 100c) x + 23 − 15 = 29.2d) (x ÷ 3) + 25 = 46
4. un reto. Resuelve el siguiente problema. Intenta hacerlo solo, pero si tienes dudas, puedes consultar a tu maestro o a otros compañeros.
Eugenio abrió una cuenta en el banco con cierta cantidad inicial de dinero, pero no recuerda cuánto. Después de un tiempo esta cantidad inicial se triplicó. Eugenio re-tiró todo el dinero que tenía y gastó 150 pesos. El resto lo repartió entre tres amigos, de modo que a cada uno le tocaron 100 pesos. Ayúdale a Eugenio a recordar cuánto dinero depositó en el banco.
a) Escribe una ecuación que corresponda a este problema.
b) Resuelve la ecuación en tu cuaderno.
c) ¿Cuánto dinero depositó Eugenio en el banco?
Para saber másConsulta en las Bibliotecas Escolares y de Aula:
Bosch, Carlos y Claudia Gómez. Una ventana a las incógnitas. México: SEP/Santillana, Libros del Rincón, 2003.
Tahan, Malba. El hombre que calculaba. Trad, Basilio Lozada. México: SEP/Editorial Limusa, Libros del Rincón, 2005.
secuencia 19
32
En esta secuencia construirás triángulos y cuadriláteros, y analizarás las condiciones de existencia y unicidad.
¿ExistE o no ExistE?Para empezarCuando se pide construir una figura geométrica con ciertas condiciones, a veces es po-sible hacerlo y a veces no. Por ejemplo, ¿crees que sea posible trazar un triángulo cuyos lados midan 10 cm, 1 cm y 1 cm?; ¿por qué?
Éste es el tipo de reflexiones que realizarás a lo largo de la secuencia. Es importante que hagas tus suposiciones o hipótesis y luego trates de comprobarlas.
Consideremos lo siguienteRecorten popotes de las siguientes medidas.
Traten de formar triángulos, usando como lados tres de los pedazos de popotes que cor-taron. Completen la siguiente tabla, anoten cuando sea posible formar el triángulo.
Medida de los popotes para formar el triángulo ¿Es posible formar el triángulo?
8 cm, 3 cm, 2 cm
8 cm, 6 cm, 4 cm
8 cm, 4 cm, 2 cm
6 cm, 4 cm, 3 cm
6 cm, 3 cm, 2 cm
sEsión 1
Existencia y unicidad
8 cm6 cm
2 cm 3 cm 4 cm 5 cm
33
MATEMÁTICAS Ia) ¿Siempre fue posible construir triángulos con las tres longitudes?
b) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean
que sí es posible construir un triángulo . , ,
c) Escriban tres longitudes de los popotes que no estén en la tabla con las que crean
que no es posible construir un triángulo. , ,
Comenten sus hallazgos y resultados con sus compañeros de grupo. Expliquen cuándo creen que dadas tres longitudes es posible construir un triángulo y cuándo no es posible.
Manos a la obrai. Recuerden cómo se construye con regla y compás un triángulo si se conocen las me-
didas de sus lados.
Construir un triángulo cuyos lados midan 6 cm, 4 cm y 3 cm.
Paso 1. Se traza un segmento de cualquiera de las medidas dadas, por ejemplo, 6 cm.
Paso 2. Se abre el compás a cualquiera de las otras dos medidas y con centro en un extremo del segmento, se traza un arco.
Paso 3. Se abre el compás a la tercera medida y con centro en el otro extremo del segmento, se traza un arco que cruce al anterior.
Paso 4. Se unen los extremos del segmento con el punto donde se cortan los arcos y se obtiene el trián-gulo pedido.
secuencia 19
34
ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno triángulos cuyos lados midan
a) 8 cm, 9 cm, 7 cm.
b) 9 cm, 5 cm, 6 cm.
c) 6 cm, 3 cm, 2 cm.
iii. Respondan las preguntas:
a) ¿Pudieron trazar los tres triángulos?
b) ¿Cuál fue imposible trazar?
c) Si dos lados de un triángulo miden 6 cm y 3 cm, indiquen una posible longitud
para el tercer lado, de manera que se pueda trazar el triángulo.
d) Tracen en su cuaderno triángulos en los que dos de sus lados midan 6 cm y 3 cm
y el tercer lado tenga la longitud que ustedes indiquen.
e) Si se pone la condición de que la medida del tercer lado sea un número entero,
¿cuántos triángulos diferentes pueden trazarse con dos lados que midan 6 cm y
3 cm?
iV. Propongan tres medidas de lados diferentes a las anteriores para que puedan trazar un triángulo.
a) ¿Cuáles son esas medidas?
b) Tracen el triángulo en su cuaderno y verifiquen su hipótesis; si no se puede trazar, intenten con otras medidas.
V. Sin hacer trazos, anoten a los triángulos que sí pueden trazarse.
Medida de los lados ¿Existe el triángulo?
10 cm, 5 cm, 5 cm
8 cm, 9 cm, 2 cm
1 cm, 0.5 cm, 2 cm
2.5 cm, 3 cm, 1.5 cm
4 wQ cm, 3 wQ cm, 9 cm
Comenten sus respuestas con sus compañeros de grupo, traten de concluir qué condi-ción deben cumplir las tres medidas de los lados de un triángulo.
35
MATEMÁTICAS I
¿Es Uno o son MUCHos?Para empezarEn la lección anterior te diste cuenta de que a veces es posible trazar triángulos con cier-tas medidas, y a veces no. En esta lección explorarás los cuadriláteros, ¿los recuerdas? Son figuras de cuatro lados.
Se analizará si, dadas ciertas condiciones, es posible trazar uno o muchos cuadriláteros.
Para que el triángulo exista, cada uno de los lados debe ser menor que la suma de los otros dos.
Por ejemplo, sí existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 5 cm, porque:
7 es menor que 4 + 5.4 es menor que 7 + 5.5 es menor que 7 + 4.
sEsión 2
cuadrado rectángulo
trapecio
romboromboide
A lo que llegamosNo siempre es posible construir un trián-gulo cuando se dan tres medidas de los lados, por ejemplo, no existe un triángulo cuyos lados midan 7 cm, 4 cm y 2 cm.
secuencia 19
36
Consideremos lo siguienteRecorten 4 popotes de 6 cm y armen con ellos un rombo; unan los popotes cosiéndolos con hilo o poniéndoles una tachuela.
Observen que el rombo va cambiando al jalar dos de sus vértices opuestos.
a) Cambien el rombo hasta formar un cuadrado.
b) Cambien el rombo hasta que formen otro cuyos ángulos midan 120°
y 60°.
c) Cada vez que jalan los vértices ¿se forma un rombo diferente al an-
terior?
d) ¿Qué es lo que varía en estos rombos?
e) Si se te pide que traces un rombo cuyos lados midan 6 cm, ¿hay una
solución o varias? . ¿Por qué?
Comenten y comparen sus respuestas con las de otros compañeros. En particular, men-cionen:
• ¿Cuántos rombos diferentes que midan 6 cm de lado pueden trazar?
• ¿Qué otro dato es necesario dar para que los rombos que se tracen sean todos iguales en forma y tamaño?
6 cm
37
MATEMÁTICAS IManos a la obrai. Tracen lo que se pide:
1. Un rectángulo cuya base sea el siguiente segmento:
¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?
2. Un rectángulo cuya altura sea el siguiente segmento:
¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar?
3. Un rectángulo cuya base y altura sean los siguientes segmentos:
a) ¿Cuántos rectángulos diferentes se pueden trazar en la actividad 3?
b) ¿Cuántas medidas del rectángulo deben darse para que sólo pueda trazarse un
rectángulo?
secuencia 19
38
ii. Utilicen sus instrumentos geométricos para trazar en su cuaderno un romboide cuya base mida 8 cm y su altura 5 cm.
Comparen sus romboides.
a) ¿Cumplen con las condiciones pedidas: base 8 cm y altura 5 cm?
b) ¿Son iguales todos los romboides que trazaron?
c) ¿En qué varían?
d) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar que midan 8 cm de base y 5 cm
de altura?
e) ¿Qué otro dato es necesario dar para que sólo exista UN romboide con esas carac-
terísticas?
f) Tracen un romboide cuya base mida 7 cm, altura 5 cm y con un ángulo de 45°.
g) ¿Cuántos romboides diferentes se pueden trazar con estas características?
iii. Analicen los datos y anoten si es posible trazar uno varios cuadriláteros con las ca-racterísticas que se piden en cada caso.
Características ¿Existe uno o varios o no existe?
Un rombo cuyo lado mida 9 cm
Un cuadrado cuyo lado mida 6 cm
Un cuadrilátero cuyos lados midan 10 cm, 5 cm, 2 cm y 1 cm
Un romboide cuya base mida 6 cm y uno de sus ángulos 130°
Un rombo que tenga dos ángulos opuestos que midan 40° y los otros dos 140°
Un trapecio isósceles cuya base mayor mida 6 cm y la base menor 4 cm
Un cuadrado cuya diagonal mida 10 cm
Comparen con otros compañeros de grupo los resultados que obtuvieron; argumenten sus respuestas.
39
MATEMÁTICAS IA lo que llegamosSi se pide que se trace un trapecio isósceles cuya base mayor mida 3 cm y su base menor mida 2 cm, puedes observar que existen varias soluciones. Cada trapecio tiene diferente altura, pero cumple con las medidas de las bases.
En cambio, si se pide un trapecio isósceles cuya base mayor mida 5 cm, la base menor 4 cm y la altura 2 cm, todos los trapecios isósce-les que se tracen con estas características serán iguales en forma y tamaño.
¿Es uno o son muchos?
Ahora ya sabes que cuando se dan ciertas condiciones para hacer trazos geométricos, es probable que la figura con esas condiciones no pueda trazarse o, en caso de que sí pueda trazarse, es probable que tenga varias respuestas correctas o sólo una.
Para saber más
Sobre las propiedades de los triángulos y cuadriláteros consulten:http://matematicas.net/paraiso/cabri.php?id=trianprop [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007].
secuencia 20
40
En esta secuencia resolverás problemas que impliquen calcular el perímetro y el área de triángulos, romboides y trapecios, y establece-rás relaciones entre los elementos que se utilizan para calcular el área de cada una de estas figuras. También realizarás conversiones de medidas de superficie.
Problemas de aPlicaciónPara empezarTanto en la primaria como en las secuencias 4 y 14 has estudiado, conocido y justificado algunas fórmulas para calcular perímetros y áreas. Ahora se trata de que apliques estos conocimientos a la resolución de problemas. ¿Listo?
Lo que aprendimos1. Para cada polígono regular midan lo que sea necesario y calculen su área. Uno de
ustedes utilice el método de sumar las áreas de los triángulos, y el otro la fórmula del área.
sesión 1
Áreas y perímetros
41
MATEMÁTICAS I2. De los siguientes triángulos, elijan el lado que quieran como base y tracen la altura
correspondiente. Tomen las medidas necesarias y calculen el área y el perímetro.
Área Área
Perímetro Perímetro
En sus cuadernos tracen un triángulo que tenga la misma área que el primer triángulo de este ejercicio.
3. ¿Cuál es el área del siguiente terreno de forma irregular? Tomen las medidas necesa-rias y consideren que la escala es 1:200.
Recuerden que:
En el siguiente
triángulo se ha
trazado una de sus
alturas.
La altura es perpen-
dicular al lado que
se elige como base y
pasa por el vértice
opuesto a ese lado.
secuencia 20
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4. Alejandro va a hacer un papalote en forma de rombo, quiere que las diagonales mi-
dan 50 cm y 70 cm. ¿Qué superficie estará en contacto con el viento?
5. Se va a construir la barda de un terreno con las siguientes medidas:
3 m(hueco para el
zaguán)
10 m
8 m
Los cimientos y los
castillos le dan
fuerza a la barda
para que pueda
sostener el techo y
otros pisos.
Los albañiles cobran lo siguiente:
Metro de cimientos $200
Metro de castillos $80
Metro cuadrado de tabique $50
• La barda será de una altura de 3 m.
• Cada punto negro indica el lugar donde se pondrá un castillo.
• El tabique se cobra parejo, sin descontar el espacio que ocupan los castillos.
• Los cimientos van alrededor de todo el terreno, incluso en la parte del zaguán.
a) ¿Cuánto se pagará de mano de obra a los albañiles?
Castillo
Cimientos
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MATEMÁTICAS IComparen todos los procedimientos y resultados con los de otras parejas y, además, co-menten:
a) La dificultad de tomar medidas exactas en algunos de los ejercicios anteriores y la manera en que esto se refleja en resultados diferentes, aunque muy cercanos.
b) La manera en que se trazan y miden las alturas de los triángulos.
relaciones imPortantesPara empezarEn sesiones anteriores aprendiste a resolver ecuaciones, recuerda que el dato descono-cido se llama incógnita y que puede representarse con una letra. En varias secuencias has estudiado la proporcionalidad y has elaborado tablas de proporcionalidad. Ahora te invitamos a que apliques tus conocimientos de ecuaciones y proporcionalidad para re-solver problemas relacionados con el perímetro y el área de figuras.
Lo que aprendimos1. Para cada problema deben plantear la ecuación correspondiente y resolverla.
a) Doña Lupita usó 1.60 m de listón que colocó alrededor de una servilleta cuadrada para las tortillas. ¿Cuánto mide de lado la servilleta?
Resultado:
b) ¿Cuánto mide de largo un corte de tela rectangular de ancho 1.5 m y de 40 m2 de superficie?
Resultado:
sesión 2
secuencia 20
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c) Un rectángulo de 28 cm de perímetro mide de ancho 6 cm menos que su largo. ¿Cuál es su área?
Resultado:
d) Escriban y resuelvan la ecuación que permite calcular el valor de x, sabiendo que el área total de la figura es 45 cm2.
2. En cada caso completen la tabla y determinen si se trata de una relación de propor-cionalidad directa y justifiquen por qué.
a) Perímetro de un cuadrado.
Lado del cuadrado (cm) Perímetro
1
2
3
4
¿Es una tabla de variación proporcional?
¿Por qué?
6 cm x
6 cm
Ecuación:
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MATEMÁTICAS IEn caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
b) Un rectángulo mantiene una base fija de 4 cm y su altura varía.
Medida de la altura (cm) Área
2
3
4
5
¿Es una situación proporcional?
¿Por qué?
En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
c) Un rombo mantiene la diagonal menor fija de 3 cm y la mayor varía.
Diagonal mayor (cm) Área
4
5
7
9
¿Es una situación proporcional?
¿Por qué?
En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
secuencia 20
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d) Área de un cuadrado.
Lado (cm) Área
2
3
4
5
¿Es una situación proporcional?
¿Por qué?
En caso de que sí sea de proporcionalidad, ¿cuál es la constante de proporcionalidad?
Comenten sus conclusiones; recuerden que en los casos anteriores deben justificar si son o no proporcionales.
medidas de suPerficiePara empezar¿Sabías que el estado más grande de la República Mexicana es Chihuahua? ¿Cuál crees que es su área?
a) 245 962 m2.b) 245 962 cm2.c) 245 962 km2.
sesión 3
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MATEMÁTICAS IConsideremos lo siguienteEl siguiente es un mapa de Aguascalientes. Calculen aproximadamente su área conside-rando que cada centímetro equivale a 7.5 kilómetros.
Describan a sus compañeros de grupo la estrategia que siguieron para resolver el proble-ma. En particular, comenten la unidad de área más conveniente para expresar el resulta-do y las posibles razones de las diferencias entre resultados.
Manos a la obrai. Realicen lo que se pide.
a) El siguiente es un centímetro cuadrado (1 cm2); imaginen que lo dividen en cua-drados de un milímetro (1 mm) de lado, es decir, en milímetros cuadrados (mm2).
• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un centímetro cuadrado?
ESCALA: 1 cm: 7.5 km
7.5 0 7.5 15km
secuencia 20
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b) El siguiente es un decímetro cuadrado (dm2). Divídanlo en centímetros cuadrados.
• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?
• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un decímetro cuadrado?
c) Peguen varias hojas de papel o consigan un pliego de papel grande y tracen y re-corten un metro cuadrado (m2). Luego divídanlo en decímetros cuadrados.
• ¿A cuántos decímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?
• ¿A cuántos centímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?
• ¿A cuántos milímetros cuadrados equivale un metro cuadrado?
Comenten y comparen sus resultados con sus compañeros.
ii. Un hectómetro cuadrado (1 hm2) es el área de un cuadrado que mide 100 metros de cada lado, también se llama hectárea (ha).
a) ¿Cuál es el área en metros cuadrados de una hectárea?
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MATEMÁTICAS Ib) ¿Creen que en el patio de su escuela se pueda trazar una figura plana cuya super-
ficie mida una hectárea?
c) Organícense en el grupo para que tracen en el patio una superficie de una hectá-rea. Si no se puede en el patio, calculen cuánto falta para la hectárea.
iii. Un kilómetro cuadrado es el área de un cuadrado que mide 1 km o 1 000 m por lado.
¿A cuántas hectáreas equivale un kilómetro cuadrado?
iV. Completen la tabla.
El área de: Unidad con la que crees que se debe medir
Un estado km2
Una tela
dm2
ha
Para terminar
Medidas de superficie
Las unidades de superficie y sus conversiones son muy útiles para la resolución de algu-nos problemas prácticos relacionados con el cálculo de áreas de terrenos, extensiones territoriales, etc., de ahí la importancia que tiene conocerlas y comprender su uso.
Para saber másSobre la superficie de los estados consulten: http://cuentame.inegi.gob.mx [Fecha de consulta: 23 de agosto de 2007]. Instituto Nacional de Estadística Geografía e Informática.
El área se mide en unidades cuadradas, por ejemplo:
Kilómetros cuadrados (km2)
Hectáreas (ha)
Metros cuadrados (m2)
Centímetros cuadrados (cm2)
Milímetros cuadrados (mm2)
Algunas equivalencias entre las unidades de área son:
1 km2 = 100 ha
1 ha = 10 000 m2
1 m2 = 10 000 cm2
