Sur l'Organisation Du Champ Des Mathématiques Chinoises

MME Catherine Jami

Sur l'organisation du champ des mathématiques chinoisesIn: Extrême-Orient, Extrême-Occident. 1988, N°10, pp. 45-59.

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Jami Catherine. Sur l'organisation du champ des mathématiques chinoises. In: Extrême-Orient, Extrême-Occident. 1988, N°10,pp. 45-59.

doi : 10.3406/oroc.1988.871

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/oroc_0754-5010_1988_num_10_10_871

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/author/auteur_oroc_62

http://dx.doi.org/10.3406/oroc.1988.871

http://www.persee.fr/web/revues/home/prescript/article/oroc_0754-5010_1988_num_10_10_871

Extrême-Orient - Extrême-Occident 10 - 1988

Sur l'organisation du champ des mathématiques chinoises

Catherine Jami

QueUes sont, dans la civiUsation chinoise, la place et la structure des mathématiques? Cette question très vaste se pose à la fois lorsqu'on s'interroge sur l'organisation du savoir en Chine, et lorsqu'on recherche une compréhension de ce que sont les mathématiques qui ne se limiterait pas au modèle occidental, mais au contraire prendrait pleinement en compte tout ce qu'on peut caractériser comme une activité de type mathématique dans les diverses cultures. Sans prétendre répondre à cette question, c'est dans ce cadre que je voudrais situer ma réflexion, en abordant plusieurs aspects.

Tout d'abord, on peut s'interroger sur la place des mathématiques, à la fois dans le savoir et dans la société, et sur la manière dont eUes s'insèrent dans les institutions. Une approche interne permet en revanche, en partant de cas particuUers, de voir quels sont les problèmes qui se posent quand on tente de définir des catégories du savoir mathématique chinois, et comment on peut aborder celles-ci. La structure des textes, la forme du discours doivent être pris en compte si l'on veut tenter de discerner comment ce savoir se divise en diverses branches: l'organisation de l'information mathématique définit en elle- même des objets et des catégories. Enfin on peut se demander comment le discours sur le fondement et les origines des mathématiques s'articule avec leur structure.

Je m'appuierai sur des éléments empruntés à diverses périodes de l'histoire des mathématiques chinoises. A titre de point de repère, on peut donner la périodisation suivante: de la tradition des Han aux Tang, U nous reste les Dix Classiques Mathématiques (1), qui semblent en être assez représentatifs. L'époque des Song et des Yuan voit un développement important de l'algèbre; on en connaît aujourd'hui les uvres de quatre mathématiciens du XIIIe siècle (2). Enfin, après une période de régression, les mathématiques chinoises connaissent un nouvel essor à partir du XVIIe siècle, avec l'introduction par les jésuites de certaines connaissances européennes (3). »

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Organisation du champ des mathématiques

Le statut social de ceux qui pratiquent les mathématiques en Chine semble étroitement lié à la place accordée à cette discipline dans le savoir. Ces deux points seront abordés ici conjointement, ce qui permet à la fois de rendre compte de leur interaction, et de suggérer comment ils permettent de situer le Ueu des mathématiques dans le "paysage culturel" chinois.

Traditionnellement, les mathématiques ne semblent pas jouir en Chine du prestige qui est le leur chez les Grecs et dans les cultures héritières de ceux-ci. Ainsi, pour Platon, outre leur utilité pratique, les mathématiques représentent une étape indispensable de la formation intellectuelle. A l'opposé, aucun des philosophes qui ont marqué la tradition chinoise ne semble leur accorder de place privUégiée, ni même d'attention particuUère comme élément structurant la pensée. S'il est peu ou pas du tout question de mathématiques dans la philosophie, on peut tout de même tenter de les situer par le contexte dans lequel on les trouve et l'utilisation qui en était faite.

Dans la tradition confucéenne, les mathématiques sont le dernier des Six Arts (4) dans lesquels doit être versé l'homme accompli; elles sont donc un exercice honorable. En revanche, en tant qu'occupation professionnelle, elles ne confèrent pas un statut social très élevé (5): ceux des fonctionnaires qui ont pour tâche de faire des calculs occupent en général des postes subalternes.

Il semble qu'on puisse distinguer en Chine deux types de mathématiques, ou plutôt deux Ueux où eUes étaient pratiquées, qui correspondent à deux domaines d'applications, et à deux instances de l'administration. Le Bureau Impérial d'Astronomie (6) était chargé de calculer le calendrier; U devait aussi prévoir les écUpses, et plus généralement, observer les phénomènes célestes. Cela nécessitait évidemment des techniques de mesure et de calcul assez élaborées. Le Bureau des Mathématiques (7), en revanche, formait des calculateurs capables de répondre aux besoins de l'administration; les titres des ouvrages mathématiques qu'on y étudiait, de leurs chapitres, et les termes mêmes utilisés dans les problèmes renvoient souvent à des préoccupations de l'administration impériale: levée de l'impôt, taux d'échange des céréales, mesure des champs (8)...

Plus que comme un moyen de connaissance du monde, les mathématiques pratiquées dans ces deux institutions apparaissent comme un instrument d'orgamsation de celui-ci, tâche qui relève symboliquement du pouvoir impérial. Dans cette perspective, les deux instances de l'administration mentionnées plus haut peuvent être interprétées en correspondance avec deux domaines complémentaires dont elles assureraient en quelque sorte la gestion: le Ciel et la Terre. Ainsi, le Bureau d'Astronomie (qui dépendait du Tribunal des Rites) avait pour fonction rituelle d'accorder le rythme de la vie humaine à l'ordre universel du monde, et d'assurer la prise en compte au niveau terrestre

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et humain des phénomènes célestes exceptionnels; le fait d'être capable d'interpréter ceux-ci et de se conformer à leur message faisait partie de ce qui constituait la légitimité impériale. Les mathématiques sont ici un simple instrument de l'astronomie. Le Bureau des Mathématiques, lui, intervient dans la formation de fonctionnaires qui auront pour rôle de permettre la mise en uvre des applications "terrestres" des mathématiques, dans l'administration de la vie humaine en société.

L'influence scientifique européenne à travers les jésuites n'a pas bouleversé cette position des mathématiques. N'ont été introduites en Chine que des connaissances fragmentaires, et non un système scientifique reflétant l'état des sciences en Europe aux XVIIe et XVIIIe siècles, où les mathématiques avaient une place en quelque sorte privilégiée, Uée à la mathématisation de la science. Ces connaissances fragmentaires sont entrées dans le cadre chinois. Ainsi, à quelques exceptions près, les mathématiques présentées par les jésuites apparaissent essentiellement subordonnées à l'astronomie: c'est dans une encyclopédie astronomique qu'elles ont été regroupées (9). Après un siècle d'influence des jésuites sur l'activité scientifique chinoise, ce sont toujours des arguments conformes à la tradition qui sont donnés pour justifier l'intérêt des mathématiques, comme en témoigne ce texte (qui date de 1690): »

Bien que les mathématiques soient placées à la fin des [Six] Arts, elles possèdent de très nombreuses applications.-. Sans les mathématiques, impossible de comprendre la mesure du ciel et l'arpentage de la terre; impossible de régler les impôts et de gérer les finances; impossible d'installer les camps militaires et de disposer les troupes; impossible de mettre en uvre et d'administrer les travaux publics. (10)

L'apologie des mathématiques faite ici s'appuie encore sur l'utilité sociale de leurs applications.

Cependant, toutes les mathématiques, et tous les mathématiciens chinois ne se laissent pas classer en fonction de cette unique distinction selon le domaine d'application, qui apparaît lorsqu'on considère leur insertion dans les institutions. Ainsi, une caractéristique de l'époque des Song et des Yuan est qu'aucun des grands mathématiciens qui l'ont marquée ne pratiquaient les mathématiques dans le cadre d'une activité de fonctionnaire (1 1). Même dans le cadre institutionnel, cette distinction n'a pas non plus une valeur immuable; et ce qu'elle recouvre sur le plan du contenu du savoir a varié au cours de l'histoire. Ainsi, le plus ancien des Dix Classiques Mathématiques, le Zhou Bi Suan Jing (12), est essentieUement un traité de cosmologie et d'astronomie; de même, alors que sous les Tang c'est dans le Bureau des

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Mathématiques qu'on étudie les Dix Classiques Mathématiques, à l'époque des Qing, les mathématiques qui recueiUent l'héritage de ceux-ci sont étroitement Uées à l'astronomie (13).

D'autre part, cette distinction reste très extérieure au contenu des mathématiques chinoises. S'en tenir là ne fait percevoir celles-ci que comme un ensemble de "recettes de calcul" à but pratique. En revanche, l'analyse de la pratique mathématique chinoise telle qu'elle apparaît à travers les textes permet de réfléchir à leur organisation interne et à leur structure, et d'appréhender le système qu'elles constituent

On caractérise souvent la tradition mathématique chinoise comme essentiellement algorithmique et algébrique, par contraste avec la tradition grecque, deductive et où la géométrie prédomine. Et en effet, dès qu'on aborde des textes mathématiques chinois, une première constatation s'impose: l'organisation du discours est radicalement différente de celle de l'édifice axiomatique et déductif basé sur le modèle euclidien. Il est intéressant de donner ici une brève description de cette organisation.

Les ouvrages mathématiques chinois ont longtemps été écrits sur le modèle des Neuf Chapitres sur l'Art Mathématique (14), le classique mathématique "type"; celui-ci est divisé en chapitres regroupant chacun des séries de problèmes du même type. Chaque problème est constitué d'un énoncé (introduit par jin you pour le premier problème de chaque série, you you pour les suivants), suivi de la réponse numérique correspondante (introduit par da yue); à la fin de chaque série de problèmes du même type est donné l'algorithme général de résolution (introduit par shu yue). La forme énoncé-réponse-méthode reste dominante dans l'écriture

mathématique chinoise jusqu'au seizième siècle, même si les formules qui introduisent chacune d'entre elles varient selon les auteurs et les époques. Cependant, certains auteurs (Li Ye et Zhu Shijie (15)) donnent au début de leurs ouvrages les "clés" (formulaire chez l'un, ensemble des problèmes et solutions types chez l'autre) qui permettent d'appréhender l'ensemble des problèmes traités dans ceux-ci.

Au début du XVIIe siècle est pubUée la traduction des six premiers Uvres des Eléments de Géométrie (16); c'est à notre connaissance le premier texte mathématique en chinois structuré sur une base deductive (17); les propositions (ti) y sont subdivisées en "construction" (fa), ou "exposé" (jie) et démonstration (lun) (18). Dans la suite, les ouvrages, même s'ils traitent de géométrie euclidienne, n'adoptent pas en général cette forme de discours. Ainsi, la partie géométrique du Yu Zhi Shu Li Jing Yun (19) est simplement subdivisée en paragraphes, ceux-ci pouvant donner une construction ou une proposition, l'énoncé n'étant pas dissocié de sa justification.

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Cependant, à partir de cette époque, l'écriture mathématique chinoise prend davantage en compte l'exigence de justification des énoncés formulés; et dans certains cas, cela se reflète dans une évolution de l'organisation de l'information mathématique à l'intérieur des ouvrages. Ainsi le Ge Yuan Mi LU Jie Fa (1774) et le Ge Yuan Lian Bili Tujie (1819) (20), qui ont tous deux pour objet la démonstration des mêmes neuf formules de développement en série entière de fonctions trigonométriques, donnent-Us dans des chapitres séparés les formules et leur démonstration.

Dans les ouvrages mathématiques, comme dans tous les textes chinois, le parallélisme joue un rôle très important dans l'écriture, et comme élément structurant le discours. Dans le Ge Yuan Mi LU Jie Fa, le parallélisme dans l'expression entre plusieurs passages d'une même démonstration met en évidence le caractère itératif de ceUe-ci, malgré l'absence d'un formalisme mathématique qui permette d'exprimer l'itération en termes généraux. D'autre part, le parallélisme d'écriture entre deux démonstrations montre qu'une même idée y est appUquée à des grandeurs mathématiques différentes.

A partir de cet exemple particulier, qui se situe pourtant dans le cadre d'une mathématique démonstrative, ainsi que des textes de la tradition, l'écriture mathématique chinoise peut être vue en partie comme un instrument de description de structure: description d'un algorithme, d'une procédure ou d'une démarche démonstrative à un premier niveau. Mais aussi, le parallélisme utilisé comme grille de lecture (de même qu'il est outil d'écriture) met en évidence des structures plus générales, des classes dont chaque énoncé peut être vu comme un élément (21).

Plutôt que de chercher à donner une classification générale, je voudrais dire quelques mots sur la manière dont on peut appréhender les branches de la mathématique chinoise teUes qu'eUes apparaissent à partir des textes eux- mêmes. Les catégories qui sont familières dans la tradition mathématique occidentale ne prennent pas nécessairement la même forme et n'ont pas toujours entre eUes les mêmes rapports en Chine. Il est donc risqué de vouloir classer simplement sous des rubriques "arithmétique", "algèbre", "géométrie"... les divers types de problèmes ou de méthodes qu'on rencontre. Ainsi, le traitement et la résolution des équations, qu'on pourrait regrouper sous l'étiquette "algèbre", apparaissent en Chine en deux branches bien distinctes. Les systèmes linéaires de plusieurs équations à plusieurs inconnues apparaissent dès les Neuf Chapitres, et on les trouve tout au long de l'histoire, sous le nom de Fang Cheng (22). En revanche, les équations puis les systèmes non linéaires semblent avoir été élaborés progressivement au cours des siècles, sans doute à partir de la disposition de l'opération de l'extraction de racine, pour aboutir au tian yuan shu (art de l'inconnue céleste),

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et au si yuan shu (art des quatre inconnues) tels qu'ils sont développés dans les ouvrages du XIIIe siècle (23). Leur formaUsme positionnel est incompatible avec celui des équations Unéaires (24). Ce n'est qu'au XLXe siècle, dans le cadre du symboUsme algébrique importé d'Occident qui se répand alors, que les deux branches seront unifiées. La définition des catégories du savoir mathématique est inscrite dans

l'organisation de celui-ci à l'intérieur des ouvrages, à travers la division en chapitres et le regroupement de problèmes à l'intérieur de ceux-ci. Pour cela, les Neuf Chapitres (25) ont servi de référence dans toute la tradition mathématique; cette référence est plus explicite, mais aussi plus formeUe dans certains cas que pour la forme de récriture décrite plus haut Ainsi, au XVIe siècle, Cheng Dawei reprend dans son ouvrage les titres des chapitres du classique pour neuf de ses chapitres, auxquels il rajoute deux chapitres de définitions et quelques chapitres de problèmes non résolus (26). Et, si Qin Jiushao intitule son ouvrage L'Art Mathématique en Neuf Chapitres (27) par allusion aux Neuf Chapitres, la répartition des sujets à l'intérieur de celui-ci ne correspond pas à ceUe du classique.

Je ne donnerai pas ici d'analyse générale de la structure des Neuf Chapitres, mais choisis d'étudier, sur un exemple particuUer, comment un objet peut être classé, à travers sa place et le contexte dans lequel U apparaît. Prenons l'exemple d'une opération arithmétique, l'extraction de la racine carrée; on sera amené à considérer conjointement le statut de la division.

Dans les Neuf Chapitres, l'extraction de la racine carrée est traitée au chapitre IV, Shao Guang (Uttéralement "réduction des largeurs"). Les problèmes du chapitre traitent tous de l'obtention d'une grandeur de dimension un d'une figure ou d'un solide dont on connaît au moins l'aire ou le volume. Les premiers problèmes concernent un champ rectangulaire dont on donne l'aire et la largeur et dont on cherche la longueur, les suivants des carrés puis des cercles dont on donne l'aire et dont on cherche respectivement le côté puis la circonférence; enfin les derniers traitent du sujet équivalent en dimension 3: détermination de l'arête d'un cube puis du diamètre d'une sphère dont le volume est donné. L'unité du chapitre ne tient pas seulement à la simiUtude des interprétations géométriques des divers problèmes; en effet, le vocabulaire employé pour les opérations d'extraction de racine est repris et étendu à partir de celui de la division. Les algorithmes eux-mêmes apparaissent comme très semblables à celui de la division, dont ils reprennent notamment la disposition et le pas d'élimination (28) (le terme chu, qui désigne l'opération de division en chinois, se réfère en fait au pas d'élimination de l'algorithme).

Ces similarités entre les opérations mettent en évidence une unité du chapitre fondée non seulement sur une interprétation géométrique des opérations,

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mais aussi et surtout sur le fait qu'U regroupe une classe d'algorithmes. Cette interprétation rend compte du fait que la division apparaît pour la deuxième fois dans ce chapitre, sa première apparition étant au premier chapitre, où sont donnés les algorithmes par lesquels on effectue les quatre opérations élémentaires de l'arithmétique sur les fractions. Il semble que deux caractéri- sations différentes de l'opération de division sont prises en compte: eUe apparaît au premier chapitre en tant qu'opération effectuée sur les fractions, l'unité se situant alors au niveau des objets sur lesquels on opère; alors qu'au quatrième chapitre, elle apparaît comme le premier d'une série d'algorithmes comportant des similarités de structure.

L'évolution des algorithmes d'extraction de racines vers des algorithmes plus généraux de résolution d'équations qui apparaissent dans les textes du XlIIe siècle a déjà été mentionnée. C'est à une époque beaucoup plus proche, celle du renouveau mathématique marqué par l'importation de connaissances occidentales (où l'algèbre de l'époque Song- Yuan était tombée dans l'oubli), que je voudrais maintenant me situer, toujours en considérant la place de l'extraction de la racine carrée, teUe qu'elle apparaît dans l'encyclopédie mathématique Yu Zhi Shu Li Jing Yun.

L'extraction de la racine carrée apparaît à deux reprises dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun, aux chapitres U et 32. Le chapitre U traite de l'extraction des racines carrées et de la résolution des équations du second degré; cette dernière est présentée comme une extension de la première correspondant à la "généralisation" du carré en rectangle (ici les données du problème associé au rectangle sont son aire et la différence entre sa longueur et sa largeur, ce qui amène à résoudre une équation du type x(x+d) = A, et non à effectuer une division comme au début du quatrième des Neuf Chapitres). Au début du chapitre, l'extraction de la racine carrée eUe-même est décrite en mettant en relief le parallèle avec la division. Ces deux éléments parmi d'autres (notamment la terminologie) montrent qu'est recueilli ici l'héritage de la tradition chinoise. Le chapitre 11 est le premier de la partie qui traite des objets de dimension deux: extraction de la racine carrée et résolution d'équations du second degré, triangles rectangles (catégorie attestée dans la tradition chinoise), triangles considérés dans leur généraUté (catégorie empruntée à l'Occident), mesure du cercle, Ugnes trigonométriques, polygones.... Cette classification dans laqueUe la dimension des objets est prise comme critère premier et explicite est étrangère à la tradition chinoise (nous y reviendrons plus loin). Au chapitre 11, elle correspond pour les équations à une interprétation géométrique: une illustration géométrique est donnée pour certains des problèmes, et la plupart d'entre eux sont énoncés en termes de carrés ou de rectangles dont on donne l'aire. .

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En revanche, au chapitre 32, l'extraction de la racine carrée est le premier des neuf algorithmes d'extraction de racine (de la racine carrée à la racine dixième), dans le second des six chapitres traitant des équations à une inconnue, qui ont pour titre générique Jie Gen Fang Bili (Uttéralement "Proportion de la racine et des puissances empruntées"); la simple présence du terme bili (proportion) dans le titre indique que sont ici prises en compte des connaissances mathématiques occidentales introduites par les jésuites. A l'intérieur de cette partie, un objet polynôme est d'abord explicité, sur lequel on effectue les opérations définies par analogie avec les opérations arithmétiques élémentaires; des égalités entre les polynômes apparaissent; la notation positionnelle n'est utilisée que pour la résolution des équations ainsi formées. Pour ces polynômes, il y a une classification selon le degré; et l'extraction de racine est un cas particulier de résolution d'équations.

A la comparaison, il apparaît que l'algorithme utilisé est le même dans les deux chapitres. La disposition du calcul (il s'effectue par écrit, avec une notation positionnelle) reste identique, et les deux textes se correspondent presque mot à mot Dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun, une même opération apparaît deux fois. EUe est ainsi classée dans deux catégories: méthodes de résolution de problèmes de dimension 2 (au chapitre 11), dans ce cas la classification se fait en fonction du type d'objets qu'on traite; et traitement des équations à une inconnue (au chapitre 32), dans ce cas la classification définit une classe d'algorithmes de même type.

On a vu ici comment et dans quels contextes apparaît l'extraction de la racine carrée, dans deux ouvrages chinois qui peuvent être considérés, à des époques différentes (qui représentent si l'on peut dire, les deux extrémités de l'histoire), comme la référence de l'activité mathématique. La division dans les Neuf Chapitres comme l'extraction de la racine carrée dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun sont caractérisées une première fois par le type d'objets qu'eUes permettent de traiter, une deuxième fois par la classe d'algorithmes à laqueUe eUes se rattachent A partir de cet exemple particuUer, U ressort que l'organisation du savoir mathématique peut répondre à des critères de classement à plusieurs niveaux.

L'absence d'une géométrie ayant une structure comparable à celle dTiuclide ne signifie évidemment pas l'absence de tout objet géométrique dans les mathématiques chinoises. On a déjà mentionné un certain nombre de figures planes et de solides en lien avec les extractions de racine. Je me propose ici de décrire brièvement la manière dont les objets géométriques apparaissent répartis en catégories, dans les Neuf Chapitres et de considérer le cas du triangle rectangle, qui semble avoir parmi eux un statut particuUer.

Quatre des Neuf Chapitres mettent en jeu des figures géométriques. Le chapitre 1 (Fang Tian (29)) donne les formules de calcul de l'aire d'un certain

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nombre de figures planes (champs). On a vu que le chapitre 4 considère des objets de dimension 2 ou 3: rectangle, carré et cercle; cube et sphère. Le chapitre 5 (Shang Gong (30)) donne des formules de calcul de certains volumes. Enfin le chapitre 9 est entièrement consacré à des problèmes comportant une résolution de triangle rectangle (le "théorème de Pythagore" apparaît déjà dans le Zhou Bi Suan Jing). Cette simple enumeration met déjà en évidence un "tri" entre plusieurs types d'objets. Entre les chapitres 1 et 5 passe la distinction liée à la dimension; ce critère de classement, qui dans le Yu Zhi Shu U Jing Yun joue un rôle primordial dans l'organisation de l'information (31), est ici impUcite, mais clairement mis en uvre. Les objets géométriques assemblés au chapitre 4 ont en commun le type d'opération arithmétique qui permet de déterminer leurs caractéristiques de dimension un en fonction de leur aire ou volume; le critère de regroupement n'est pas ici une caractéristique géométrique (le type d'objets) mais arithmétique (le type d'algorithmes); cependant, honnis le rectangle (qui correspond à la division, dont on a vu le rôle dans le chapitre 4 du point du vue des algorithmes), ces figures ont la caractéristique géométrique commune de présenter des symétries importantes.

Le cas du triangle rectangle est différent: il n'est pas considéré comme un cas particulier de triangle; U constitue au contraire une catégorie fondamentale des mathématiques chinoises, tout au long de l'histoire (on a vu plus haut que dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun il apparaît avant le triangle). En témoigne le fait qu'au XVIIe siècle, le mathématicien et astronome Mei Wending a tenté de "réinterpréter la géométrie dTîuclide à l'aide de la théorie chinoise traditionneUe du triangle rectangle" (32). Le terme chinois qui désigne celui- ci, gougu (c'est aussi le titre du chapitre 9) est composé de deux caractères désignant respectivement le petit et le grand côté de l'angle droit Ici la terminologie reflète plusieurs aspects des catégories. On peut opposer le terme gougu au terme construit par les jésuites comme une traduction Uttérale: zhijiao sanjiaoxing (littéralement "figure à trois angles à angle droit, le terme sanjiaoxing désignant le triangle) qui, lui, contient l'appartenance du triangle rectangle à la catégorie des triangles. En revanche, la terminologie chinoise distingue les deux côtés de l'angle droit ce qui n'est pas le cas de la géométrie euclidienne. Cela peut induire des distinctions entre des catégories d'objets qui sont ignorées dans cette dernière; c'est notamment le cas dans le Ce Yuan Hai Jing de Li Ye, où toute formule mettant en jeu gou induit par symétrie une formule mettant en jeu gu (33). Après l'introduction de la géométrie eucUdienne, la terminologie traditionnelle du triangle rectangle a souvent été ajoutée par les mathématiciens chinois à celle construite par les jésuites; on a ainsi une certaine "optimisation" qui permet de nommer un

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maximum d'objets géométriques. Cependant, les deux terminologies ont parfois été utilisées séparément; le choix de l'une ou de l'autre correspond alors au fait qu'on se place dans le cadre mathématique de la tradition chinoise ou dans celui de la géométrie euclidienne; ceci définit implicitement deux types de géométrie (34).

On a considéré jusqu'ici comme objets géométriques l'ensemble des figures et solides qui apparaissent dans les Neuf Chapitres, et donné les critères corrélés avec leur regroupement en catégories (on peut considérer que le triangle rectangle constitue lui-même une catégorie). Peut-on à partir de là dire que l'ensemble des problèmes dans lesquels ces objets interviennent forme une branche "géométrie"? Il faudrait pour définir ceUe-ci mettre en évidence une unité dans le traitement des objets dans l'ensemble des problèmes. On s'en tiendra ici à la constatation que le point commun des problèmes qui ont été considérés ici est d'avoir pour données et pour résultats des nombres qui mesurent les objets qui y interviennent les objets géométriques sont essentiellement traités dans les Neuf Chapitres à travers les nombres qui leur sont associés. La structure de l'ouvrage ne définit pas, en tout cas, de catégorie qui conespondrait à notre géométrie, ou une catégorie qui regrouperait les mêmes objets soumis à un même type de traitement .

J'ai tenté de montrer ici, à travers les exemples de la racine carrée et de la "géométrie", le type de question que peut soulever la définition ou la caractérisation de diverses branches dans les mathématiques chinoises. Celles- ci ne peuvent se faire qu'à partir de l'analyse du contenu mathématique des textes, en l'absence quasi générale de tout commentaire sur les critères d'organisation de l'information mathématique. Cependant, on peut aussi s'interroger sur la structure de la mathématique chinoise telle qu'elle apparaît à travers le discours sur ses fondements et ses origines.

Ceux-ci sont exposés dans le premier chapitre du Yu Zhi Shu Li Jing Yun, en conformité avec la tradition. U s'agit essentieUement d'une présentation historique des origines mythiques des mathématiques. Après une brève introduction, qui présente l'institution successive de divers domaines qui leur sont liés (35), dans le cadre des mythes fondateurs, ou à travers les classiques, le Hetu et le Luoshu (36) sont présentés; puis le début du Zhou Bi Suan Jing est cité, accompagné d'un long commentaire, n s'agit d'un dialogue entre Zhou Gong et Shang Gao (37): ,

Autrefois, Zhou Gong demanda à Shang Gao: 'Tai entendu dire que vous êtes versé dans l'art des nombres. Puis-je vous demander comment Fuxi a autrefois mesuré le ciel et établi le calendrier? On ne peut pas gravir les Cieux par un escalier, ni mesurer la Terre en pieds et en pouces. Permettez- moi de vous demander quelle est l'origine de ces nombres."

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Shang Gao répondit: "L'art des nombres procède du cercle et du carré. Le cercle procède du carré. Le carré procède de l'équerre/angle droit L'équerre/angle droit procède de neuf-fois-neuf-quatre-vingt-un." (38)

Le commentaire du Yu Zhi Shu Li Jing Yun interprète cela en termes de

méthodes mathématiques données dans l'ouvrage: ainsi "le cercle procède du carré" est interprété comme une allusion à la mesure du cercle approchée par

les polygones inscrits et circonscrits, en partant des carrés. La dernière phrase, où "neuf-fois-neuf-quatre-vingt-un" désigne la table de multiplication, est interprétée comme l'idée que la mesure d'une aire rectangulaire se fait par le produit des mesures de sa longueur et de sa largeur. Cela situe les fondements des mathématiques dans une dualité entre nombres et figures; celle-ci, qui est à l'origine symbolique (39), est interprétée dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun sur un plan mathématique, comme une dualité nombre/géométrie.

Mais si l'on s'en tient au texte du Zhou Bi Suan Jing, au commencement étaient les nombres et les figures géométriques, en relation les uns avec les autres. Les nombres mesurent le Ciel et la Terre, dont les figures géométriques donnent la forme. Le mythe des origines des mathématiques nous ramène donc à ce qui fait leur fonction rituelle et sociale. Celle-ci est ainsi prise en compte dans l'écriture d'un ouvrage comme le Yu Zhi Shu Li Jing Yun (40). Cependant le contenu de ce premier chapitre ne semble avoir aucun impact sur l'écriture du reste de l'ouvrage. Il a pour fonction de rattacher celui-ci à la tradition mathématique et à l'histoire de la discipline telle qu'eUe est conçue à l'époque, cette histoire renvoyant effectivement à l'insertion des mathématiques dans le savoir.

En guise de conclusion, on suggérera que l'organisation du savoir mathématique peut avoir une double articulation, définissant des classes d'objets et des classes de procédures. La confrontation de ces deux types de classes doit amener à définir des catégories qui ne recoupent pas ceUes de la tradition occidentale. Notamment ce qu'est la géométrie chinoise reste à définir, en prenant en compte l'intervention permanente des nombres dans le discours sur les objets géométriques.

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NOTES

1. Suan Jing Shi Shu : il s'agit d'une coUection d'ouvrages mathématiques compUée au VHIe siècle (Qian Baocong (1); pour une brève description de leur contenu, voir Martzloff (3) pp. 109-133).

2. Li Ye, Qin Jiushao, Zhu Shijie et Yang Hui (Martzloff (3) pp. 137-155). 3. Entre la fin du XVIe siècle et celle du XVIIIe siècle, les missionnaires jésui

tes ont introduit en Chine un certain nombre de connaissances scientifiques et techniques européennes, dans le cadre de leur activité missionnaire.

4. Les Six Arts, énumérés dans le Zhou Li, sont, dans l'ordre: rites, musique, tir à l'arc, conduite du char, calligraphie, mathématiques.

5. . Voir Libbrecht (1) pp. 4-5. 6. Le nom de cette institution a varié suivant les époques; U semble qu'à

l'origine, la charge de calendériste se confondait avec celle d'historiographe; sur le caractère "officiel" de l'astronomie chinoise, voir Needham (1) pp. 186-194.

7. Dès les Sui et les Tang, il existe un Bureau des Mathématiques (Suan Guan), où étaient formés des calculateurs professionnels. Les Dix Classiques Mathématiques constituaient le programme des études de ce bureau.

8. Ainsi le Wu Cao Suan Jing "Classique mathématique des cinq sections" (VIe

siècle ap. J.C.?) est divisé en cinq chapitres: champs, armées, collecte [des impôts], greniers, monnaie; c'est l'exemple le plus typique d'un ouvrage mathématique organisé selon les problèmes administratifs dont la résolution nécessitait une pratique mathématique. .

9. U s'agit du Chongzhen Li Shu ("Livre du Calendrier de l'ère Chongzhen"), compilé par les jésuites et présenté à l'empereur en 1635 par Adam Schall von Bell.

10. Cité par Martzloff (2) p. 20. 11. Libbrecht (1) p. 5. 12. Le "Classique Mathématique du Gnomon des Zhou" daterait du le siècle av.

J.C.. U contient l'exposé de la théorie cosmologique Gai Tian (Needham (1) pp. 210-216).

13. La plupart des mathématiciens de l'époque sont aussi astronomes. 14. Jiu Zhang Suan Shu (le siècle ap J.C.): le plus important des Dix

Classiques Mathématiques, c'est aussi le plus ancien des ouvrages proprement mathématiques qui nous soient parvenus (Qian Baocong (1)).

15. Li Ye dans le Ce Yuan Hai Jing (1248; Chemla (1)) et Zhu Shijie dans le Si Yuan Yu Jian (1303; Hoe (1)).

16. Les six premiers Uvres des Eléments de Géométrie d'Euclide furent traduits en chinois par Matteo Ricci et Xu Guangqi sous le titre Jihe Yuanben, et pubUés en 1607 (D'EUa (1)).

17. Selon certains historiens, U y aurait eu une traduction des Éléments

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18. Martzloff (1). La question de la réaction chinoise face au texte d'Euclide est sans doute révélatrice de la conception chinoise des mathématiques et mériterait d'être étudiée de plus près. ,

19. Le Yu Zhi Shu Li Jing Yun ("Recueil des Principes Mathématiques Profonds et Subtils Compilé sur Ordre Impérial"), écrit sur l'ordre de Kangxi et publié en 1723 est la première encyclopédie mathématique qui prenne en compte à la fois l'apport européen et la tradition mathématique chinoise.

20. Sur ces ouvrages (les "Méthodes Rapides pour la Trigonométrie et le Rapport Précis du Cercle" de Ming Antu et T'Explication de la Trigonométrie par les Proportions Continues" de Dong Youcheng) voir Jami (1).

21. Je reprends ici une idée développée dans Chemla (3). Voir aussi plus loin sur les algorithmes d'extraction de racines.

22. Fang Cheng est le titre du 8e des Neuf Chapitres. La méthode de résolution des systèmes d'équations linéaires écrits sous forme positionnelle, qui y est exposée, se retrouve encore, sous le même titre, dans le Yu Zhi Shu Li Jing Yun.

23. Sur l'algèbre positionnelle à une et à plusieurs inconnues, voir Hoe (1). 24. En effet dans l'algèbre linéaire, les systèmes apparaissent sous forme

matricielle, chaque colonne représentant une équation et chaque ligne une inconnue. En revanche, dans l'algèbre du XIIIe siècle, les puissances croissantes de chaque inconnue s'écrivent dans chacune des quatre directions du plan, à partir d'une position centrale qui représente les constantes (on voit d'ailleurs là la limitation de ce formalisme, non extensible à plus de quatre inconnues). -

25. Pour une brève description de la structure et du contenu des Neuf Chapitres, voir Martzloff (3) pp. 120-126.

26. Qian (2) pp. 139-141. 27. Shu Shu Jiu Zhang; voir Libbrecht (1). 28. Chemla (2) analyse l'extraction de la racine en considérant le modèle de la

division. 29. Martzloff (3) traduit par "champs carrés" (p. 121). 30. Martzloff (3) traduit par "estimations de travaux", ou "génie civil"

(p. 123). 31. Jami (2). 32. Martzloff (2) p. 246. 33. C'est une des symétries et transformations à l'intérieur du formulaire

(Chemla (1) p. 2.27). D'autre part, la distinction gou/gu induit une terminologie particulière pour les sommes et différences des côtés du triangle rectangle (Hoe (1) pp. 88-90).

34 Cest notamment le cas dans le Ge Yuan Mi Lu Jie Fa, où Ming Antu donne pour établir la même formule deux méthodes '"euclidiennes"et une méthode utilisant le langage et les opérations de la tradition chinoise (Jami (1)).

35. Outre l'apparition du Hetu et du Luoshu (voir note suivante), sont mentionnés entre autres: les hexagrammes, l'instauration du calcul par

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mentionnés entre autres: les hexagrammes, l'instauration du calcul par l'Empereur Jaune, du calendrier par Yao... le texte du Zhou Bi Suan Jing est considéré comme un témoignage historique fiable.

36. Le Luoshu est le carré magique, d'origine mythique, et qui joue un grand rôle dans la symboUque chinoise. D en est de même pour le Hetu, qui est également une configuration de nombres. Sur les carrés et figures magiques dans les mathématiques chinoises, voir Martzloff (3) pp. 330-333 et Needham (1) pp. 55-62; ce dernier mentionne également les mythes associés au Luoshu et au Hetu.

37. Les personnages mis en scène ici sont Zhou Gong (le duc de Zhou), membre de la famille fondatrice de la dynastie des Zhou (au Xie siècle av. J.C.) et Shang Gao, un représentant de la dynastie déchue des Shang; ainsi ce dialogue symboUse la passation des connaissances qui sont l'apanage du pouvoir impérial.

38. La table de multiplication chinoise, qui commence avec 9x9 = 81, donne uniquement les produits dans lesquels le premier chiffre est inférieur au deuxième, dans l'ordre décroissant jusqu'à 2x2 » 4. Par exemple, on y trouve le produit 4x6 mais pas le produit 6x4. EUe est ainsi non redondante. ,

39. Ainsi, le nombre 3 est associé au Ciel, représenté par un cercle, et le nombre 4 à la Terre, représentée par un carré. Dans le Zhou Bi Suan Jing, la valeur de la circonférence du cercle inscrit dans le carré de périmètre 4 est 3. Ceci est l'équivalent d'une approximation de II par 3 qui est reprise dans certains textes astronomiques et mathématiques de l'histoire chinoise.

40. Le Suan Fa Tong Zong de Cheng Dawei (1592) mentionne également le Hetu et le Luoshu.

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Documents

Sur l'Organisation Du Champ Des Mathématiques Chinoises