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Asignatura: Calculo III
Profesor:
Superficies cuádricas
Una superficie cuádrica es la gráfica en el espacio de una
ecuación de segundo grado en x, y y z. Nos enfocaremos en la
ecuación general de la forma:
donde A, B, C, D y E son constantes. Las superficies cuádricas
básicas son los elipsoides, los paraboloides, los conos elípticos
y los hiperboloides. Las esferas son casos especiales de los
elipsoides. Daremos unos cuantos ejemplos para ilustrar cómo
dibujar una superficie cuádrica y luego presentamos una tabla de
gráficas en la que se resumen los tipos básicos.
EDzCzByAx 222
Superficies cuádricas
El elipsoide
La ecuación del elipsoide con centro en el origen tiene la forma:
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
La superficie es simétrica con respecto a cada uno de los planos
coordenados, ya que la ecuación que la define, cada variable está elevada
al cuadrado. Las trazas son elipses en planos paralelos a los tres planos
coordenados.
Si a=b=c el elipsoide es una esfera. Si cualquiera de los semiejes a, b y c
son iguales entre si, la superficie es un elipsoide de revolución.
donde a, b, c son números reales positivos y se llaman semiejes del
elipsoide, pues coinciden con los ejes; corta a los ejes de coordenadas en
los puntos (-a,0,0), (a,0,0), (0,-b,0), (0,b,0), (0,0,-c) y (0,0,-c).
La ecuación de un paraboloide elíptico con eje vertical esta dada por:
El paraboloide elíptico
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z
Es este caso es simétrico respecto de los planos x=0 e y=0. La única
intersección con los ejes es el origen. Excepto por este punto, la
superficie está completamente por arriba del plano horizontal, si c>0
o por debajo si c>0.
Las trazas horizontales son elipses y las trazas verticales son
parábolas. La variable elevada a la primera potencia indica el eje del
paraboloide.
El paraboloide Hiperbólico (silla de montar)
La ecuación de un paraboloide hiperbólico con eje vertical esta dada por:
2
2
2
2
a
x
b
y
c
z
Tiene forma de silla de montar. Su traza en el plano horizontal para z no
nula es una hipérbola, o dos rectas que se interceptan si z=0.
Su traza en un plano vertical paralelo al plano XZ es una parábola que
se abre hacia abajo, mientras que su traza en un plano paralelo al plano
YZ es una parábola que se abre hacia arriba. En particular, la traza de un
paraboloide hiperbólico del plano XZ es una parábola que se abre hacia
abajo desde el origen, mientras que su traza en el plano YZ es una
parábola que se abre hacia arriba desde el origen. Por tanto, el origen
se ve como un máximo local desde una dirección pero como mínimo
local desde la otra. A tal punto se le llama silla de montar.
Las trazas horizontales son elipses y las trazas verticales son hipérbolas.
El eje de simetría corresponde a la variable cuyo coeficiente es negativo.
La superficie es conexa, lo que significa que es posible viajar de un
punto de ella a otro, sin dejar la superficie. Por esta razón, se dice que
tiene una hoja, en contraste con el hiperboloide de dos hojas. Si en la
ecuación a=b, el hiperboloide de una hoja es una superficie de
revolución.
La ecuación de un Hiperboloide de una hoja con eje vertical esta dada por:
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
El Hiperboloide de una hoja
Su grafica presenta simetría con respecto a los tres planos coordenados y
su superficie queda separada en dos partes esto justifica su nombre. Si el
eje vertical coincide con el eje OZ, sus trazas horizontales para z=k, no
nula, son elipses, siempre que k en valor absoluto sea mayor que c, y sus
trazas verticales son hipérbolas. El eje de simetría corresponde a la
variable cuyo coeficiente es positivo. Los dos signos menos en la
ecuación indican dos hojas. A continuación se dan las ecuaciones del
hiperboloide de dos hojas considerando su eje de simetría horizontal:
El Hiperboloide de dos hojas:
La ecuación de un Hiperboloide de dos hojas con eje vertical esta dada por:
12
2
2
2
2
2
b
y
a
x
c
z
12
2
2
2
2
2
c
z
a
x
b
y1
2
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
La ecuación de un cono elíptico con eje vertical esta dada por la ecuación:
El cono elíptico:
02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
Al tener eje vertical que coincide con el eje OZ, las trazas horizontales son
elipses y las verticales en los planos de ecuaciones x=k e y=k son
hipérbolas siempre que k sea no nulo, pero son dos rectas que pasan por
el origen si k=0.
Cono elíptico con eje OX, su ecuación es: 02
2
2
2
2
2
a
x
c
z
b
y
Cono elíptico con eje OY, su ecuación es: 02
2
2
2
2
2
b
y
c
z
a
x