Suites num©riques exercices corrig©s

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  • 1. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011 Enoncs1Suites numriquesCalculs de limites Exercice 8 [ 02254 ] [correction]Convergence dune suite numriqueDterminer la limite, si celle-ci existe, des suites (un ) suivantes :nn a) un = 3n (2)n b) un = n2 + n + 1 n2 n + 1 3 +(2)Exercice 1 [ 02247 ] [correction] nn2 +1 1 nSoit (un ) et (vn ) deux suites relles convergeant vers etavec < .c) un = n+ n2 1d) un = n2 k k=1Montrer qu partir dun certain rang : un < vn . Exercice 9 [ 02255 ] [correction]Exercice 2 [ 02248 ] [correction]Dterminer les limites des suites dont les termes gnraux sont les suivants :1 nnMontrer que (un ) ZN converge si, et seulement si, (un ) est stationnaire. a) un = 1 + n b) un = n21/nn 1 n1 c) un = sin nd) un =n+1Exercice 3[ 02249 ] [correction] n N, una et vn bExercice 10 [ 02256 ] [correction]Soit (a, b) R2 , (un ) et (vn ) deux suites telles que : Dterminer par comparaison, la limite des suites (un ) suivantes : un + vn a + b sin n n!Montrer que un a et vn b.a) un = n+(1)n+1 b) un = nn n(1)n en c) un = n+(1)n d) un = nn e) un = n 2 + (1)nExercice 4 [ 02250 ] [correction]Soit (un ) et (vn ) deux suites relles telles que (un + vn ) et (un vn ) convergent.Montrer que (un ) et (vn ) convergent. Exercice 11 [ 02257 ] [correction] Dterminer les limites des sommes suivantes : n n1 a) Sn =kb) Sn = . k k=1k=1Exercice 5 [ 02251 ] [correction] n1 2n 1Soit (un ) et (vn ) deux suites convergentes. Etudier lim max(un , vn ). c) Sn = n2 +k2 d) Sn = k2 n+k=1 k=n+1nn n 1 e) Sn = n2 +k f) Sn = n2 +k k=1k=1nExercice 6 [ 02252 ] [correction]g) Sn = (1)nk k! k=0Soit (un ) et (vn ) deux suites relles telles que u2 + un vn + vn 0.n 2Dmontrer que (un ) et (vn ) convergent vers 0. Exercice 12 [ 02258 ] [correction] ComparerExercice 7 [ 02253 ] [correction]mmnSoit (un ) et (vn ) deux suites telles que 0un1, 0vn1 et un vn 1.111lim lim1, lim lim 1 et lim1Que dire de ces suites ?m+ n+n n+ m+nn+n

2. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011 Enoncs2Exercice 13 [ 02259 ] [correction] Exercice 17 [ 02263 ] [correction] Soit (un ) une suite de rels strictement positifs. On suppose n un .Dterminer la limite den 1a) Montrer que si < 1 alors un 0. nb) Montrer que si > 1 alors un +. un = k=0kc) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure. Exercice 18 [ 02264 ] [correction]Exercice 14 [ 02260 ] [correction] Soit p N {0, 1}. Pour n N on poseSoit (un ) une suite de rels strictement positifs. On suppose1nun+1 n+p un =et Sn =uk un n k=1a) Montrer que si < 1 alors un 0.a) Montrer queb) Montrer que si > 1 alors un +. n N, (n + p + 2)un+2 = (n + 2)un+1c) Montrer que dans le cas = 1 on ne peut rien conclure. b) Montrer par rcurrence 1 Sn = (1 (n + p + 1)un+1 )Exercice 15 [ 02261 ] [correction]p1Pour tout n N, on pose c) On pose n N vn = (n + p)un . Montrer que (vn ) converge vers 0.nn d) En dduire lim Sn en fonction de p. 1(1)k1 Sn = et Sn =n+kkk=1 k=1 Exercice 19 X MP [ 03039 ] [correction]a) Etablir que pour tout p > 1,Soit z C avec |z| < 1. Existence et calcul de p+1 p n dx1dxk lim 1 + z2 p x pp1 x n+k=0En dduire la limite de (Sn ).b) Etablir que S2n = Sn . En dduire la limite de (Sn ). Exercice 20 [ 03196 ] [correction] Etudier la convergence de deux suites relles (un ) et (vn ) vriantExercice 16 [ 02262 ] [correction] lim (un + vn ) = 0 etlim (eun + evn ) = 2n+ n+Soit a R et pour n N,na Pn = cos2k Suites monotones et bornesk=1Montrer queExercice 21 [ 02265 ] [correction]a 1Soit (un ) une suite croissante de limite . On pose sin n Pn = n sin a 2 2u1 + + unet dterminer lim Pn .vn =n n 3. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011Enoncs3a) Montrer que (vn ) est croissante.Exercice 26[ 02270 ] [correction]un +vnb) Etablir que v2n 2 .On posec) En dduire que vn . 1 3 5 (2n 1)un = 2 4 6 (2n)a) Exprimer un laide de factoriels.Exercice 22 [ 02266 ] [correction]b) Montrer que la suite (un ) converge.Soit (un ) une suite relle convergente. Etudier la limite de la suite vn = sup up .c) On posep nvn = (n + 1)u2 nMontrer que la suite (vn ) converge. En dduire la limite de la suite (un )Exercice 23 [ 02267 ] [correction]d) Simplier2nSoit (un ) une suite relle borne. On pose 11kk=2 vn = sup up et wn = inf upp np n et comparer ce produit u2 . ne) En dduire que la limite C de la suite (vn ) est strictement positive.Montrer que les suites (vn ) et (wn ) possdent chacune une limite dans R etcomparer celles-ci.Suites adjacentesExercice 24 [ 02268 ] [correction]Exercice 27 [ 02271 ] [correction][Somme harmonique]Soit ]0, /2[, un = 2n sin 2 , vn = 2n tan 2 .nnPour tout n N, on poseMontrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes. Quelle est leur limiten1 commune ? Hn =kk=1Montrer que Exercice 28[ 00325 ] [correction]1n N , H2n Hn On pose2 n1 n1En dduire que lim Hn = +. un = 2 n et vn = 2 n+1nk=1 k k=1 kMontrer que les suites (un ) et (vn ) sont adjacentes.En dduire un quivalent deExercice 25 [ 02269 ] [correction] n 1Soit (Hn ) la suite dnie pour n N par k=1kn1 Hn =kk=1 Exercice 29[ 02272 ] [correction]n1 1a) Montrer que Hn +. Pour tout n N , on pose Sn =k2 et Sn = Sn + n .b) Soit (un ) une suite telle que n(un+1 un ) 1. Montrer que un +. k=1Montrer que les suites (Sn ) et (Sn ) sont adjacentes.On peut montrer que leur limite commune est 2 /6, mais cest une autre histoire... 4. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011Enoncs4Exercice 30 [ 02273 ] [correction]Exercice 34 [ 02277 ] [correction][Critre spcial des sries alternes ou critre de Leibniz]Soit (un ) une suite complexe telle que (u2n ), (u2n+1 ) et (u3n ) convergent. MontrerSoit (un ) une suite de rels dcroissante et de limite nulle.que (un ) converge. nPour tout n N, on pose Sn =(1)k uk . k=0Montrer que les suites extraites (S2n ) et (S2n+1 ) sont adjacentes et en dduire que Exercice 35 [ 02278 ] [correction](Sn ) converge. Justier que la suite de terme gnral cos n diverge.Exercice 31 [ 02274 ] [correction][Irrationalit du nombre de Nper]Exercice 36 [ 00327 ] [correction]SoientMontrer que la suite de terme gnral sin n diverge.nn1 1 1 1 an =et bn =+ = an + k! k! n.n!n.n!k=0 k=0Exercice 37 [ 02279 ] [correction]a) Montrer que (an ) et (bn ) sont strictement monotones et adjacentes.n+pSoit (un ) une suite relle telle que n, p N , 0 un+pnp . Montrer queOn admet que leur limite commune est e . On dsire montrer que e Q et pour/ un 0.cela on raisonne par labsurde en supposant e = p avec p Z, q N .qb) Montrer que aq < e < bq puis obtenir une absurdit.Exercice 38 X MP [ 03234 ] [correction]Soit (un ) une suite relle vriantExercice 32 [ 02275 ] [correction][Moyenne arithmtico-gomtrique] un+1 un 0 et un +a) Pour (a, b) R+2 , tablir : 2 ab a+b Montrer quil existe une application : N N strictement croissante vriantb) On considre les suites de rels positifs (un ) et (vn ) dnies paru(n) n 0un + vn u0 = a, v0 = b et n N, un+1 = un vn , vn+1 =2Comparaison de suites numriquesMontrer que, pour tout n 1, un vn , un un+1 et vn+1 vn .c) Etablir que (un ) et (vn ) convergent vers une mme limite.Cette limite commune est appele moyenne arithmtico-gomtrique de a et b et Exercice 39 [ 02280 ] [correction]est note M (a, b). Classer les suites, dont les termes gnraux, sont les suivants par ordre ded) Calculer M (a, a) et M (a, 0) pour a R+ .ngligeabilit : n2e) Exprimer M (a, b) en fonction de M (a, b) pour R+ .a) n , n2 , ln n , ln 2 , n ln n b) n, n2 , n ln n, n ln n, ln n . 1 1 nnn1Suites extraitesExercice 40 [ 02281 ] [correction]Trouver un quivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite : 2Exercice 33 [ 02276 ] [correction]a) un = (n + 3 ln n)e(n+1) b) un = ln(n +1) c) un = n 2+n+12 n+1 3 n n+1On suppose que (un ) est une suite relle croissante telle que (u2n ) converge.Montrer que (un ) converge. 5. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011 Enoncs5Exercice 41 [ 00236 ] [correction] a) Justier queTrouver un quivalent simple aux suites (un ) suivantes et donner leur limite : 1 1 3 2 n+1n n2 3ln n+1 n!+enna) un = nln n2n+1 b) un = 2n n2 +12 c) un = 2n +3n n+1 b) Dterminer la limite (Sn ). de c) On pose un = Sn 2 n. Montrer que (un ) converge.Exercice 42 [ 02282 ] [correction] d) Donner un quivalent simple de (Sn ).Trouver un quivalent simple aux suites (un ) suivantes : 11a) un = n1 n+1 b) un = n + 1 n 1 c) un = ln(n + 1) ln(n) Exercice 48 [ 00301 ] [correction] On tudie ici la suite (Sn ) de terme gnralExercice 43 [ 00235 ] [correction] nTrouver un quivalent simple aux suites (un ) suivantes :1 11a) un = sin n+1 b) un = ln sin n c) un = 1 cos n .1Sn = k k=1 a) Etablir que pour tout t > 1, ln(1 + t)t et en dduireExercice 44 [ 02283 ] [correction]Dterminer la limite des suites (un ) suivantes : t ln(1 + t)nt+1 1 1n n+1a) un = n ln 1 + n2 +1 b) un = 1 + sin n c) un = . (n+1) n b) Observer queln(n + 1)Sn ln n + 1Exercice 45 [ 02287 ] [correction] et en dduire un quivalent simple de Sn .Soit (un ) une suite dcroissante de rels telle que un + un+1 1 c) Montrer que la suite un = Sn ln n est convergente. Sa limite est appele n.a) Montrer que (un ) converge vers 0+ .constante dEuler et est usuellement note .b) Donner un quivalent simple de (un ). Exercice 49 [ 02286 ] [correction]Exercice 46 [ 02284 ] [correction] Soit (un ), (vn ), (wn ), (tn ) des suites de rels strictement positifs tels que un vnPour n N, on poseet wn tn . Montrer que un + wn vn + tn .nun = 0! + 1! + 2! + + n! = k! k=0 Limite de suite des solutions dune quationMontrer que un n!. Exercice 50 [ 02289 ] [correction] Soit n un entier naturel et En lquation x + ln x = n dinconnue x R+ .Exercice 47[ 02285 ] [correction]a) Montrer que lquation En possde une solution unique note xn .On poseb) Montrer que la suite (xn ) diverge vers +.n1c) Donner un quivalent simple de la suite (xn ).Sn = k=1 k 6. [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD dit le 31 aot 2011 Enoncs 6Exercice 51 [ 02290 ] [correction] Exercice 57 [ 02295 ]