Exercices corrig©s CONVOLUTION

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  • TD n1 Convolution et Corrlation Elments de CORRIGE

    Exercice 1 :

    Soit le signal chelon f(t)= E0 U(t), damplitude E0. Reprsenter graphiquement et calculer le produit de convolution de f(t) par lui-mme (auto-convolution). SOLUTION : Pas de problme particulier. Si t < 0, il n'y a pas de recouvrement. Si t > 0, il y a recouvrement entre 0 et t. On obtient :

    +

    -

    =-=0pour 00pour

    )()(*20

    00 ttE

    dtUEtUEff tt

    Exercice 2 : On dfinit la fonction Rect par :

    [ ] +-

    ==sinon. 0

    2/,2/ si 1)/()(

    ttt

    ttRecttf

    Ainsi, pour un rectangle centr sur t=centre, de hauteur 1 et dune largeur donne par largeur, on utilisera la notation :

    )(eurargl

    centretRect

    -

    Soit les fonctions f et g dfinies par : f(t) = 3 Rect(t-1/2)+Rect((t-2)/2)

    g(t) = Rect(t/2) Trouver la convolution f* g. SOLUTION :

    UNIVERSITE DE LA ROCHELLE - IUP GI IUP2 Module Acquisition et Traitement du Signal -

    t

    f*f

  • la convolution f(t)*g(t) = g(t)*f(t) ; on a le choix de dplacer nimporte quelle fonction par rapport lautre. Il est plus vident de dplacer g(t) par rapport f(t). Le produit g(t-t).f(t) est nul pour t
  • )()(

    ailleurs 010pour

    )(

    tUtg

    tttf

    =

  • Il y a trois rgions de dfinition pour la convolution. Pour t
  • Exercice 5 : Estimation de la direction dune source

    Soit une source que lon peut considrer comme tant linfini. Il est possible, laide de deux capteurs C1 et C2 (cf. fig. 1) destimer la direction q de cette source.

    d

    C1 C2

    qL

    figure 1

    Soient x1(t) et x2(t), les 2 signaux reus par les capteurs C1 et C2. On peut considrer que le signal reu par le capteur C2 est identique celui reu par le capteur C1 mais retard du temps t0 mis par londe pour parcourir la diffrence de trajet.

    1) Trouver la relation qui permet dexprimer t0 en fonction de d, V et q. Avec : d : distance entre les 2 capteurs V : vitesse de londe q : direction de la source SOLUTION : L = V.t0 cos q = L / d

    C2 C1 Figure 1

  • do

    Vd

    tJcos.

    0 =

    d et V sont connus. Pour dterminer q, il suffit de calculer t0 2) On suppose que la source est un signal x(t) ayant la forme : x(t) = a sin (wt + j) On pose : x1(t) = x(t)

    et x2(t) = x(t-t0)

    Calculer la fonction dintercorrlation R12(t) entre les signaux x1(t) et x2(t). Solution :

    -

    +=a

    a

    t dttxtxR ).(.)( 2112 = -

    +-a

    a

    t dtttxtx ).(.)( 0

    -

    ++-+=a

    a

    jtwjw dtttataR ).)(sin(.)sin(. 012 = -

    +-++a

    a

    jtwwjw dtttta ).)(sin(.)sin( 02

    -++--=

    --

    a

    a

    a

    a

    twjwtw dtttdtta

    R )).(22cos()).(cos(2 00

    2

    12

    car sin(a).sin(b) = 0.5 .[ cos(a-b) cos(a+b)]

    Comme 0)).(22cos( 0 =-++-

    a

    a

    twjw dttt

    [ ] ))(cos(..)).(cos(.2 0

    20

    2

    12 tatta

    R -=-= - twatwa

    a

    On obtient donc [ ])(cos. 012 tR -= twb

    Comment la fonction dintercorrlation nous permet-elle de dterminer la valeur t0 ? Solution : La fonction dintercorrlation des 2 signaux est tout simplement la fonction dautocorrlation du signal x(t) dcale de t0.

    R12(t) = Rx(t-t0) On peut donc estimer t0 en calculant le maximum de la fonction R12(t) Dans notre exemple :

  • cos [ w(t - t0)] prend comme valeur maximale 1 lorsque t = t0 .

    Lorsque t0 est connu, on peut en dduire q en utilisant la formule V

    dt

    Jcos.0 =