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domenico-roberto
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Strumentazione per bioimmagini
Metodi di ricostruzione da proiezioni
Ricostruzione 3D
• Una funzione 3D f(x,y,z) viene ricostruita a partire da un numero P di proiezioni 2D p(x’,y’|,)
• Complessita’ teorica: ricostruire C=MxNxZ voxels occorrono P=C equazioni (es. risoluzione 200x200x200 voxel = 8 milioni di equazioni!!). Per ogni piano di scansione:
y
y
y
yNfNp
yNfNp
yNfNp
),()(
),1()1(
),()(
0
0
0
Coordinate cilindriche
• fascio parallelo e assenza di riflessioni (X-ray) riduzione della complessità
• stima di Z densita’ bidimensionali: riduzione a Z sistemi indipendenti di MxN equazioni
d(x,y,z)
p(x’,y’)
y’
x’
piani paralleli non interferiscono
p(x’,y’) e’ determinato solo dai voxel attraversati dal raggio incidente
il sistema e’ separabile
coordinate cilindriche r,,z
fascio parallelo di illuminazione
θ
x
y
z
r
piano di proiezione
– TA realizza “in hardware” il sistema di coordinate cilindriche
– proiezioni radiali bidimensionali: si puo’ usare la Radon Transform
linea di proiezione
fascio piano parallelo di illuminazione
f(x,y|z)p θ,z(x’)
Tomografia assiale (TA)
Risoluzione del problema inverso
• Risolvere numericamente le equazioni algebriche direttamente:
• Computazionalmente oneroso• Computazionalmente instabile al crescere delle equazioni
• Metodi alternativi:– Ricostruzione iterativa– Trasformata di Fourier– Retroproiezione– Retroproiezione filtrata
)'(,,
)'()'()'(
1*1
*
*1,
1
xeyxfyxf
N
xpxpxe
kkk
kk
Ricostruzione iterativa
• Data una stima f*(x,y) di f(x,y)
• Si calcolano le proiezioni p*(x’)
• Si calcola l’errore p(x’)-p*(x’)
• Si aggiorna f*(x,y)Data: proiezione a
Stima della proiezione a da
f*(x,y)
Aggiornamento della stima f*(x,y)
Ricostruzione iterativa: schema a blocchi
inizializzazione:f *(x,y)=0 dati: p θ(x’)
sottrai l’errore a tutti i pixel sulla linea di scansione
f*(x,y)xcos(q)+ysin(q)=x’
nuova direzione di proiezione θ=θk
Calcola p*θ(x’) dalla stima f*(x,y)
e(x’)
Ricostruzione iterativa:esempio
f1=5 f2=7
f3=6 f4=2
f(x,y)
Retroproiezione
Da ogni proiezione sappiamo solo che dei punti che sommano alla misura della proiezione sono da
qualche parte lungo la linea
Le misure di ogni proiezione sono riproiettate indietro sulla linea da
cui sono state ottenute, assegnando il valore misurato
x’
y’
Retroproiezione
0
* ),(),(
')')sin()cos(()'(),(
dyxbyxf
dxxyxxpyxb
Retroproiezione a
Ricostruzione a partire dalle retroproiezioni
Retroproiezione: risposta impulsiva
Dato un impulso unitario nell’origine
rdr
dxxrxdrh
xxp
b
1))cos((
')')cos(()'()(
)'()'(
Risposta impulsiva
Retropriezione filtrata
Calcolo del filtro
Ricostruzione
Radon Transform: Retro-proiezione filtrata• Proiezione di densita’ bidimensionali trasformata di Radon
• dalla trasformata Radon ricostruiamo la FFT polare della densita’ d(x,y)
• il reticolo polare non e’ uniforme trasformiamo in reticolo ortogonale (Jacobiano |w|) retroproiezione filtrata
RT FT(1D)
abs(P(w)|θ)
θ
x’
dxpdwPwFyxd filtered )()(, 1
w
|w|
w
FT-1
p(x’)|θ
x’
)(xp filtered
Ricostruzione da proiezioni in sintesi
• Il problema generale della ricostruzione da proiezioni e’ il problema inverso della proiezione di una distribuzione 3D su piani 2D. In generale, il problema e’ molto oneroso dal punto di vista computazionale
• Se il sistema di proiezione (problema diretto) segue una geometria cilindrica, il problema inverso 2D->3D diventa un piu’ semplice problema (1D->2D) x numero di piani sull’asse z.
• Il problema 1D->2D puo’ essere risolto attraverso metodi diretti (es. ART). i metodi diretti hanno problemi di convergenza.
• Il problema 1D->2D e’ piu’ agevolmente risolto utilizzando la trasformata inversa di Radon (non disponibile nel problema 2D->3D), risolvibile con una IFFT (teorema della sezione centrale).
• Per ottenere un campionamento cartesiano uniforme dello spettro attraverso la RT occorre utilizzare un filtro di retro-proiezione.
• La geometria a ventaglio permette un notevole risparmio nella costruzione della TAC in quanto puo’ essere usata una sorgente compatta di radiazione piuttosto che un array lineare. La geometria a ventaglio richiede un filtro di retro-proiezione piu’ complesso.