Storia della Matematica 2019 Lezione 1matstor.wdfiles.com/local--files/diario/Lezione1.pdf · 2019. 2. 27. · StoriadellaMatematica2019–Lezione1 EnricoRogora [email protected]

Lezione 1

EnricoRogora

MatematicaPreellenica

Dimostrazioni

MatematicaEllenica

Matematicaellenistica

Gli elementidi Euclide

I tre problemiclassici dellamatematicaantica

Storia della Matematica 2019 – Lezione 1

Enrico [email protected]

Università di Roma

27 Febbraio 2019

Enrico Rogora (UniRoma) Lezione 1 27.02.2019 1 / 55

Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Link utili

1 Docente del Corso2 Generalità sul Corso3 Sito e-learning4 Sito Materiali (Provvisorio)5 Mac Tutor – History of Mathematics


https://www.mat.uniroma1.it/persone/rogora

https://corsidilaurea.uniroma1.it/it/view-course-details/2018/30050/20190218132416/5f6cf34d-83c2-458d-9b52-0d46ab6ff324/7e2d609c-6fe4-4fa0-8b48-ba4527253f6d/3ef8784a-64bd-4b96-a6f5-d74a1ea13bc0/a4ecc9de-b68f-45ff-baec-6780e5d56e65?guid=7e2d609c-6fe4-4fa0-8b48-ba4527253f6d

https://elearning.uniroma1.it

http://matstor.wikidot.com

http://www-history.mcs.st-and.ac.uk

Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Matematica pre ellenica

Le regole di calcolo sono l’ingrediente principale dellamatematica delle grandi civiltà agricole, dei grandi imperidell’antichità: Egitto e Mesopotamia.

Lenti accumuli di conoscenze pratiche. Il sapere del contadino edell’artigiano.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Problema babilonese

Trovare le dimensioni di un rettangolo di area 96 e di cui la somma di basee altezza è 20.

Cosa succede se base e altezza sono uguali, ovvero uguali a 10? Ilrettangolo ha area 100.

Se aumento di uno la base (11) e diminuisco di uno l’altezza (9) cosasuccede? Il rettangolo ha area 99.

Se aumento di due la base (12) e diminuisco di uno l’altezza (8) cosasuccede? Il rettangolo ha area 96. Ho trovato la soluzione.

Dati empirici:base altezza area 100- area10 10 100 011 9 99 112 8 96 4


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Problema babilonese

Trovare le dimensioni di un rettangolo di area 187 e di cui la somma dibase e altezza è 28.


Dati empirici:base altezza area 196- area14 14 196 013 15 195 112 16 192 411 17 187 9


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Problema babilonese



Dati empirici:base altezza area 900- area30 30 900 029 31 . . . . . .. . .

Cerco di velocizzare i calcoli. Osservo che nei casi precedenti, prendo laradice quadrata del difetto tra l’area iniziale e quella finale. In questo caso,il difetto è 900− 851 = 49 e quindi la radice è 7. Poi sommo e sottraggola radice dal valore iniziale per ottenere le soluzioni, in questo caso23 = 30− 7 e 37 = 30+ 7.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Problema babilonese



Dati empirici:base altezza area 900- area30 30 900 029 31 . . . . . .. . .

Cerco di velocizzare i calcoli. Osservo che nei casi precedenti, prendo laradice quadrata del difetto tra l’area iniziale e quella finale. In questo caso,il difetto è 900− 851 = 49 e quindi la radice è 7. Poi sommo e sottraggola radice dal valore iniziale per ottenere le soluzioni, in questo caso23 = 30− 7 e 37 = 30+ 7.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Algoritmo dello scriba babilonese (Neugebauer)

Trovare le dimensioni di un rettangolo di area A = 96 e di cui la somma dibase e l’altezza è p = 20.

Procedura Esempio Formalizzazionedividere per due la somma dei numeri: 20 : 2 = 10 p

2elevare al quadrato: 102 = 100 A =

(p2

)2togliere l’area data 96 a 100 100− 96 = 4

(p2

)2 − A

estrarre la radice quadrata√4 = 2

√(p2

)2 − A

la base è 10+ 2 = 12 p2 +

√(p2

)2 − A

L’altezza è 10− 2 = 8 p2 −

√(p2

)2 − A


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Osservazioni

L’organizzazione in tabelle dei calcoli iniziali suggeriscel’algoritmo, senza la necessità di una formalizzazionealgebrica nè di un approccio dimostrativo.L’algoritmo dello scriba aumenta la velocità del calcolorispetto all’algoritmo iniziale.L’algoritmo si applica anche quando il risultato non èintero, pur di saper approssimare il calcolo della radicequadrata e di accettare soluzioni approssimate.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Algoritmo babilonese per il calcolo della radicequadrata

Problema: determinare un numero x tale che x2 = 2.Partiamo da due numeri a, b tali che ab = 2, per esempioa = 1, b = 2. Se sostituiamo il primo con la media aritmetica3/2 = 1, 5, come dobbiamo sostituire il secondo perché ilsecondo risulti ancora uguale a 2?Ovviamente basta prendere 2/1, 5 = 4/3 = 1, 3.Osserviamo che i due numeri ottenuti sono molto più vicini traloro di quanto non lo fossero i numeri iniziali, quindi entrambi sisono avvicinati alla radice quadrata di due.Iteriamo il procedimento otteniamo, a partire da a = 4/3 eb = 3/2, i due nuovi valori

(a+b)/2 = 17/12 = 1, 416 2·12/17 = 24/17 = 1, 4117 . . . .


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Matematica in Egitto e Mesopotamia

Procedure per risolvere problemi aritmetici o geometrici, senzanecessità giustificazioni.La matematica egiziana è unamatematica omogenea al corpus di conoscenze empirichenecessarie per le realizzazioni tecnologiche, anche moltosofisticate, dell’antico Egitto: piramidi, opere di canalizzazione,ecc. (..) La matematica egiziana ha elaborato dei concettiquale quello di area e di volume, ma sempre in manierastrettamente collegata a concreti problemi, come il calcolo delnumero di mattoni necessario per una costruzione, ecc. ([?].Trai metodi elaborati dalla matematica egiziana, simili a quelliaccennati nelle slide precedenti, ci sono il metodo di semplice edoppia falsa posizione.Caratteri analoghi a quelli della matematica mesopotamica, chepur raggiunse un superiore livello di elaborazione.


http://www.treccani.it/enciclopedia/falsa-posizione-metodo-di_%28Enciclopedia-della-Matematica%29/


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica









Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica









Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica









Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Dimostrazioni


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Dimostrazioni

Le dimostrazioni nascono con la civiltà greca, con l’affermarsidella civilità della πoλισ.Sono figlie della necessità di argomentare per convincere, cioèdel confronto politico e democratico.La dimostrazione matematica è una evoluzione della retorica,della dialettica e della logica.Si aferma, prima come figura retorica e poi come metodo didimostrazione caratteristico il metodo dimostrativo Per assurdo


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Filosofia e scienza prima di Platone

TALETEANASSIMANDROPITAGORADEMOCRITO


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Matematica ellenica


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Confronto Matematica Pre - ellenica - Ellenica

PRE - ELLENICA ELLENICAPrescrittiva ArgomentativaRegole DimostrazioniFonti numerose Fonti inesistenti


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




La nascita della matematica ellenica

La tradizione greca fa risalire la nascita della matematicaellenica a

Talete (624 – 547): inizio dell’analisi razionale dei risultatidella matematica egiziana;Pitagora (569 a.c. – 475 a.c.): fondatore di una famosaassociazione filosofica - scientifica - politica e religiosa.

Per la matematica ellenica abbiamo una assenza totale di fontiprimarie. La ricostruzione della matematica ellenica avviene soloattraverso la consultazione di fonti indirette. Consideriamo, peresempio, la figura di Talete.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Proclo (411 – 485) su Talete

Proclo, dal commento al primo libro di Euclide: Si dice che Talete fu ilprimo a dimostrare che il cerchio è bisecato dal diametro, la causa dellabisezione essendo il passaggio del segmento retto attraverso il centro. (...)Si dice che Talete sia stato il primo ad aver conosciuto e ad aver enunciato[il teorema] che gli angoli alla base di un triangolo isoscele sono uguali,sebbene, secondo l’uso arcaico, egli descrivesse angoli uguali come simili.(...)Questo teorema, che quando due linee rette si tagliano l’un l’altra, gliangoli verticali e opposti sono uguali fu scoperto per primo, come affermaEudemo, da Talete, sebbene la dimostrazione scientifica fosse miglioratadall’autore degli Elementi. (...)Sull’uguaglianza dei triangoli. Eudemo nella sua, storia della geometriaattribuisce questo teorema [[che triangoli aventi uguali un lato e i dueangoli adiacenti sono uguali]] a Talete. Poichè egli dice che il metodoattraverso cui Talete mostrò come calcolare la distanza di navi in mare,presuppone necessariamente questo metodo.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Diogene Laerzio su Talete

Diogene Laerzio, dalle Vite dei Filosofi: Panfilo dice che, avendo

imparato la geometria presso gli egiziani, egli fu il primo ainscrivere in un cerchio un triangolo rettangolo, e che sacrificòun bue in onore di questa scoperta.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Plutarco su Talete

Plutarco: Dal Simposio dei sette saggiIl re ti ammira molto e in particolare egli si compiacqueimmensamente del tuo metodo per misurare le piramidi, perchésenza alcun clamore e senza chiedere strumento alcuno,semplicemente drizzasti il tuo bastone al bordo dell’ombra dellapiramide e con i due triangoli formati con i raggi del soleintercettati [dalla piramide e dal bastone], tu dimostrasti chel’altezza della piramide aveva il medesimo rapporto con ilbastone della lunghezza dell’ombra della piramide con quelladell’ombra del bastone.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Talete e il calcolo dell’altezza della piramide


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Teorema di Talete

Si attribuisce impropriamente a Talete anche il seguenteteorema:un fascio di rette parallele intersecanti due trasversali determinasu di esse classi di segmenti direttamente proporzionali


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Osservazioni sui risultati attribuiti a Talete

1. L’attribuzione a Talete del teorema sulla congruenza dei triangoli èbasata su un fraintendimento di Eudemo. Egli afferma che l’applicazionedella tesi del teorema implica che il teorema deve essere statoprecedentemente dimostrato. Questo fraintendimento mostra la difficoltàdi concepire l’idea di dimostrazione come era concepita da Euclide, cioècome logica conseguenza di un piccolo insieme di postulati.Quale idea di dimostrazione avevano i greci nell’età ellenica? Ladimostrazione contenuta nel Menone dell’uguaglianza del quadratocostruito sull’ipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con il doppio delquadrato costruito su un cateto [11], p. 41, getta luce sulla questione.2. Secondo Proclo, che riporta l’opinione di Eudemo, autore di una storiadella geometria andata perduta, Talete avrebbe dimostrato che undiametro divide un cerchio in due parti uguali e che angoli opposti alvertice sono eguali. Non è possibile però che affermazioni cosìapparentemente ovvie siano state i primi oggetti di dimostrazione. L’utilitàdel metodo dimostrativo deve essere stata notata per dimostrareaffermazioni non evidenti. (cfr. Neugebauer p. 179))


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Esempi di proprietà non ovvie, che richiedono unadimostrazione

1 Per un punto P interno ad un triangolo equilatero ABC lasomma delle perpendicolari a, b, c da P ai lati è ugualeall’altezza h. (teorema di Viviani)

2 Le coppie adiacenti dei trisettori di un triangolo si incontranosempre nei vertici di un triangolo equilatero. (Teorema diMorley).

3 In un poligono semplice i cui vertici hanno coordinate intere,siano: i il numero di punti a coordinate intere interni alpoligono; p il numero di punti a coordinate intere sul perimetrodel poligono (vertici compresi). L’area A del poligono può esserecalcolata tramite la formula: A = i +

p

2− 1. (Teorema di Pick).

4 Sei punti A1,A2, . . . ,A6 stanno su una conica se e solo se i trepunti B1 =< A1,A2 > ∩ < A3,A4 >,B2 =< A2,A3 > ∩ < A5,A6 > e B3 =< A3,A4 > ∩ < A6,A1 >stanno su una retta. (Teorema di Pascal)


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








p




Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








p




Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aristotele sui pitagorici

I Pitagorici per primi si applicarono alle matematiche e le feceroprogredire e, nutriti dalle medesime, credettero che i principi diqueste fossero principi di tutti gli esseri. E, poiché nellematematiche i numeri sono per loro natura i principi primi, eappunto nei numeri essi ritenevano di vedere, più che nel fuocoe nella terra e nell’acqua, molte somiglianze con le cose chesono e che si generano [...] pensarono che gli elementi deinumeri fossero elementi di tutte le cose.

Aritotele, Metafisica, A5, 985-b24-986a2 [Giaq. p. 12]

Geometricamente sembra che i pitagorici pensassero una unitànumerica come un punto esteso o una sfera estremamentepiccola.Teoria figurativa dei numeri, [Nicomco, brano 8 in [1]].


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie

Nello sviluppo della matematica ellenica, un ruolo importante èstato giocato alcune aporie, cioè conseguenze contraddittorieottenute da certe premesse.

1 Incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadrato2 Paradossi di Zenone (cfr. Internet Encyclopedia of

Philosophy Stanford Encyclopedia of Philosophy)Queste aporie si presentano come argomenti filosofici chemettono in discussione una concezione filosofica del mondo.Le aporie mostrano quanto siano delicati i concetti di spazio,tempo e infinito e l’inadeguatezza del linguaggio ordinario pertrattare tali questioni.Esse scompaiono quando vengono considerate all’interno di unadeguato modello matematico di spazio e di movimento di cuiperò rimane parzale e problematica la corrispondenza con ilreale.


http://www.iep.utm.edu/zeno-par/


https://plato.stanford.edu/archives/win2010/entries/paradox-zeno/

Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aporie








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




L’incommensurabilità tra segmenti

Secondo la concezione filosofica dei pitagorici doveva esistereun’unità geometrica fondamentale, analoga all’unità dei numerinaturali. Questo implica che ogni coppia di segmenti debbaammettere un sottomultiplo comune.L’incommensurabilità tra diagonale e lato di un quadratomostra l’incoerenza della filosofia naturale pitagorica. Per iPitagorici non si tratta semplicemente di aver scoperto cheesistono rapporti non razionali, ma di aver scoperto che il loromondo è contraddittorioLa reazione dei pitagorici è di comprensibile sgomento.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




La scoperta dell’irrazionalità

Di Ippaso si racconta che fosse dei Pitagorici, ma che, per averdivulgato per primo la costruzione della sfera di dodici pentagoni,perisse in mare come empio:. . . (246)Colui che per primo rivelò lanatura delle grandezze commensurabili e incommensurabili agliindegni di partecipare a tali cognizioni, si dice che incorresse in tantoodio che non solo fu escluso da ogni compagnia e convivenza, maanche gli fu costruita una tomba, come se colui, ch’era una volta uncompagno, avesse davvero cessato di vivere. (247)Altri dicono cheanche la divinità si adirasse con i divulgatori delle dottrine diPitagora. Perì infatti come empio in mare colui che rivelò comes’iscrive nella sfera l’icosagono, cioè il dodecaedro, una delle cinquefigure dette solide. Alcuni però narrano che questo accadesse a coluiche aveva propagato la dottrina degli irrazionali άλογος e degliincommensurabili

Giamblico (245-325 d.c.)


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità

Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento perassurdo, negli Analitici Primi (41a 24- 50a 37), rimanda alladimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale delquadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposticommensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ainumeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità dellegrandezze considerate.Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenutacome scholio (commento ) al decimo libro di Euclide.Linee essenziali della dimostrazione:Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato,supponiamo che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti aiminimi termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangolirettangoli isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2/n2 = 2,quindi m2 = 2n2 è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4,quindi n2 è divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aristotele sulla dimostrazione dell’irrazionalità

Aristotele, nella sua esposizione del metodo di ragionamento perassurdo, negli Analitici Primi (41a 24- 50a 37), rimanda alladimostrazione dell’irrazionalità del rapporto tra lato e diagonale delquadrato in questo modo: se il lato e la diagonale sono supposticommensurabili, si può dedurre che i numeri dispari sono uguali ainumeri pari; questo assurdo ci dà l’incommensurabilità dellegrandezze considerate.Una dimostrazione completa secondo queste linee ci è pervenutacome scholio (commento ) al decimo libro di Euclide.Linee essenziali della dimostrazione:Detto α il rapporto tra il lato e la diagonale del quadrato,supponiamo che α = m/n sia razionale e che m ed n siano ridotti aiminimi termini. Per il teorema di Pitagora relativo ai triangolirettangoli isosceli (cfr. Platone,Menone (82b-85b), m2/n2 = 2,quindi m2 = 2n2 è pari, allora m è pari, quindi m2 è divisibile per 4,quindi n2 è divisibile per 2, quindi n è pari e questo mostra l’assurdo.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Il pentagono e l’irrazionalità

È possibile che non fu la diagonale e il lato del quadrato la prima coppia disegmenti incommensurabili scoperta dai pitagorici, ma la coppia costituitadalla diagonale e dal lato del pentagono regolare. Infatti la ricerca dellamisura comune tra la diagonale e il lato del pentagono con l’algoritmo diEuclide richiede di costruire la coppia con il lato e la differenza delladiagonale con il lato.Ma questa coincide con la coppia diagonale lato di unpentagono regolare più piccolo, che quindi presenta lo stesso rapporto.L’algoritmo di Euclide non può quindi aver termine e pertanto la coppia èincommensurabile


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Il pentagono e l’irrazionalità

È possibile che non fu la diagonale e il lato del quadrato la prima coppia disegmenti incommensurabili scoperta dai pitagorici, ma la coppia costituitadalla diagonale e dal lato del pentagono regolare. Infatti la ricerca dellamisura comune tra la diagonale e il lato del pentagono con l’algoritmo diEuclide richiede di costruire la coppia con il lato e la differenza delladiagonale con il lato.Ma questa coincide con la coppia diagonale lato di unpentagono regolare più piccolo, che quindi presenta lo stesso rapporto.L’algoritmo di Euclide non può quindi aver termine e pertanto la coppia èincommensurabile


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Eudosso

Se per i pitagorici la scoperta dei rapporti irrazionali èinconciliabile con la loro filosofia del mondo, per i matematici sitratta invece di elaborare una teoria capace di trattare anche irapporti non razionali.La scoperta dell’irrazionalità ha probabilmente portato ariconsiderare l’intero edificio della geometria elementare inmodo da includere nella teoria delle proporzioni i rapporti nonrazionali.La soluzione di Eudosso è quella di rinunciare a trattare irapporti irrazionali in maniera aritmetica, ma di considerarligeometricamente, secondo la teoria esposta nel quinto librodegli elementi di Euclide.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Eudosso



Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Eudosso



Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Paradossi di Zenone (490 a.c. – 425 a.c.)

... Zenone elaborò quaranta diversi paradossi cheseguono dall’assumere la pluralità o l’esistenza delmovimento, tutti basati sulle difficoltà che seguonodall’analisi del continuo.

Proclo (412 – 485 )

I quattro paradossi di Zenone contro il movimento checonosciamo non ci sono pervenuti nella formulazione originalema attraverso la presentazione che di essi ne fa Aristotele nellaPhysica, VI, 9.

1 La dicotomia2 la freccia3 Achille e la tartaruga4 Lo stadio


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Osservazioni sui paradossi di Zenone

I paradossi di Zenone testimoniano un dibattito filosoficoappassionato sul tema dell’infinito nel periodo ellenico.Zenone,allievo di Parmenide, credeva nel fatto che movimento emolteplicità fossero illusorie e che in realtà ci fosse solo unaunità immutabile.Credeva inoltre che la ragione fosse in gradodi rivelare l’illusione della molteplicità e del movimento. I suoiparadossi sono concepiti per dimostrare logicamente comedall’ipotesi del movimento segue un assurdo.Molti commentatori ritengono che la dicotomia e Achille e latartaruga siano paradossi contro la concezione dello spazio e deltempo come enti continui mentre la freccia e lo stadio sianoparadossi contro la visione pitagorica dello spazio e del tempocome unione discreta di unità elementari.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Il paradosso della dicotomia

Quattro sono i discorsi di Zenone riguardo al movimento;essi pongono dei problemi a chi li vuole risolvere.

Il primo riguardo il moto dice che ciò che è trasportato deve,prima di giungere alla fine, arrivare alla metà (del percorso).

Aristotele

Il problema che pone Zenone è come possano esistere infiniti intervalli inun intervallo senza che ciò implichi l’infinità dell’intervallo di partenza. Piùprecisamente Zenone indica intervalli di ampiezza pari a 1/2, 1/4, 1/8, ecc,La soluzione standard del paradosso è quella di introdurre la teoria delleserie e dimostrare che

∞∑i=1

12n

= 1.

La matematica rigorosa necessaria per pervenire alla soluzione standard fucompletata solo nel diciannovesimo secolo. Ma è questa la soluzione delparadosso di Zenone?


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Aristotele


∞∑i=1

12n

= 1.



Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Aristotele


∞∑i=1

12n

= 1.



Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Aristotele


∞∑i=1

12n

= 1.



Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Filosofia e matematica


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Spazio, tempo e infinito

I paradossi di Zenone erano argomenti filosofici proposti percriticare le concezione filosofica del mondo avverse alla visionedi Parmenide e Zenone.Essi mostrano, ancor oggi, quanto siano delicati i concetti dispazio, tempo e infinito e l’inadeguatezza del linguaggioordinario per trattare tali questioni.La soluzione dei paradossi di Zenone attraverso l’uso del calcolodifferenziale riguarda solo parzialmente la soluzione delproblema filosofico posto dai paradossi e non ci devono fardimenticare che il modello matematico di spazio e movimentobasato sui numeri reali resta comunque parziale e problematiconella sua corrispondenza con la realtà.Basti pensare all’inadeguatezza del modello classico per ladescrizione subatomica del movimento.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Spazio, tempo e infinito (II)

L’infinito è un concetto che nasce nella riflessione filosofica sullarealtà e la matematica è in grado, fino a un certo punto, dimanipolare l’infinito ma non di dominarlo completamente.Nell’ambito della filosofia greca, il dibattito sui paradossi diZenone mette in luce chiaramente la difficoltà di trattare l’ideadi infinito e le insidie nascoste nel ragionare attorno ad esso.Aristotele, per risolvere filosoficamente i paradossi di Zenonepropone una divisione dell’infinito in potenziale e attualeLamatematica, fino a Cantor, seguirà il suggerimento di Aristoteledi bandire l’infinito attuale dai ragionamenti matematici e dicercare di limitare e controllare in maniera indiretta l’usodell’infinito potenziale, per esempio con il procedimento diesaustione di Eudosso per il calcolo delle aree e dei volumi difigure non decomponibili in un numero finito di pezzi elementari,cioè triangoli o parallelepipedi. Lettura [4], pp. 23–28.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Dimostrazione pre-euclidea del teorema di Pitagora

Dimostrazione di Pitagora alle scuole medie

Cosa diamo per scontato?È possibile costruire un quadrato su ogni segmento.La somma degli angoli di un triangolo è uguale a π.(. . . )


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Dimostrazione pre-euclidea del teorema di Pitagora

Dimostrazione di Pitagora alle scuole medie

Cosa diamo per scontato?È possibile costruire un quadrato su ogni segmento.La somma degli angoli di un triangolo è uguale a π.(. . . )


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Platone, Aristotele e la matematica

Platone: Perché una proposizione matematica è vera? Bisognaprocedere all’indietro e cercare le cause vere, da cui dedurrecorrettamente altre proposizioni vere.Il modo di procedere di Aristotele invece è in avanti. Da assiomialle proposizioni. Aristotele rinuncia alla verità ma controlla lacorrettezza delle deduzioni a partire da pochi assioniconvenzionali.Il metodo assiomatico per Platone riduce la matematica a unapura convenzione e quindi a una non scienza perché non portaalla scoperta della verità.Platone non è contro la matematica, che nei dialoghi precedentiè prospettata come la pietra di paragone di ogni conoscenza,ma contro la matematica assiomatica, probabilmente scopertoda uno dei suoi allievi (Eudosso).


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Aristotele; logica e convenzionalismo

Analisi logica dei mezzi di persuasione: Retorica e Dialettica.La retorica ricorre all’entimema, il sillogismo retorico basato supremesse probabili (È italiano quindi ha buon gusto). Leconclusioni a cui giunge l’entimema sono solo probabili, e quindipassibili di confutazione.La dialettica argomenta per mezzo dei sillogismi (Da premessevere, conclusioni certe: Tutti gli uomini sono mortali, Tutti igreci sono uomini, dunque tutti i greci sono mortali).Con Aristotele comincia a farsi strada il convenzionalismolinguistico:

le parole non hanno un legame necessario con gli oggettidenotati, come aveva creduto Platone, ma possono essereinventate liberamente e questa nuova possibilità favorì la nascitadi concetti nuovi, indicati con termini convenzionali. [Cfr. [13]].


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica








Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Matematica ellenistica: matematica assiomatica


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Il contributo di Euclide

Con Euclide nasce la matematica moderna, fondata, per laprima volta, sul metodo assiomatico.Dimostrazioni pre - euclidee: Fatti non evidenti da fatti evidenti.Dimostrazioni euclidee: Tutte le proposizione vanno dimostrateda pochi fatti evidenti, fissati una volta per tutte.Perché è necessario e utile fissare gli assiomi?Le teorie scientifiche assiomatiche sono la premessa necessariaalla progettazione scientifica: mezzi di trasporto, processori, ecc.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica







Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Teorie assiomatiche e progettazione scientifica:grandi navi e microprocessori


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Teorie assiomatiche e progettazione scientifica:grandi navi e microprocessori


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Archimede: I corpi galleggianti


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Gli Elementi di Euclide


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati

Si chiede:1 di poter condurre una linea retta da qualsiasi punto a

qualsiasi altro punto.2 di poter prolungare con continuità ogni segmento in una

retta.3 di poter descrivere un cerchio con qualsiasi centro e raggio.4 che tutti gli angoli retti siano uguali tra loro.5 che se due rette tagliate da una trasversale formano con

essa, da una stessa parte, angoli la cui somma è minore didue retti, allora le due rette si incontrano da quella parte.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati






Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati






Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati






Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati






Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I postulati






Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




La dimostrazione di Euclide del teorema di Pitagora


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Analisi della dimostrazione di Euclide


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




I tre problemi classici

Duplicazione del cuboQuadratura del cerchioTrisezione dell’angolo

I problemi riguardano la la costruibilità con riga e compasso diopportune figura e partire da figure assegnate.

Dato un segmento a costruire con riga e compasso il segmento b taleche il cubo costruito su b si doppio (nel senso del volume) di quellocostruito su a. Generalizza la duplicazione del quadrato.

Dato un cerchio, costruire con riga e compasso un quadratoequivalente ad esso. Generalizza la quadratura di un poligono e dellelunule di Ipparco.

Assegnato un angolo dividerlo in tre parti equivalenti con riga ecompasso. Generalizza la suddivisione di un segmento in n particongruenti, il dimezzamento di un angolo e la costruzione di alcunipoligoni regolari.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica











Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica











Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica











Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica











Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Nella sua opera intitolata Platonicus Eratostenedice che, quando il dio annunciò con un oracolo aicittadini di Delo che per liberarsi da una pestilenzadovevano costruire un altare doppio di quello chec’era, i loro architetti caddero in gran perplessità neltentativo di trovare come un solido potesse venir fattodoppio di un altro e andarono a interrogare su questoPlatone. Questi disse loro che il dio aveva dato questosuo oracolo non perché desiderasse un altare doppioma perché, proponendo loro questo compito, volevarimproverare i greci per la loro noncuranza dellamatematica e il loro spregio della geometria.

Teone di Smirne


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Esercizi

1 Dimostra che la differenza tra il lato di un pentagono e lasua diagonale è il lato di un pentagono la cui diagonale è illato del pentagono precedente. Cfr. slide 29.

2 Dimostrazione maieutica di un risultato non ovvio, peresempio, cfr. slide n. ??


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Costruzioni

1 Costruzione dei pentagono successivi nella dimostrazionedell’incommensurabilità del lato e della diagonale di unpentagono.

2 La costruzione del pentagono regolare


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Brani

1 Paradossi di Zenone, [4], pp. 23 – 28.2 Algoritmo di Euclide


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Bibliografia I

Bottazzini U., Freguglia P., Toti Rigatelli L. Fonti per laStoria della Matematica, Sansoni, Firenze, 1992.

Bramlett D. C., Drake C. T., “A History of MathematicalProof: Ancient Greece to Computer Age”.

Dahan – Dalmedico A., Peiffer J., Une histoire desmathématiques, Éditions du Seuil, Paris, 1986.

Fano V., I paradossi di Zenine, Carocci, Roma, 2012.

Lakatos I., Proof and refutations, the logic of mathematicaldiscovery, Cambridge, Cambridge University Press, 1976.

Karasmanis V., “On the first Greek Mathematical Proof”,Hermatana, 169, (2000), 7 – 21.


Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Bibliografia II

Krantz S. G., “The History and Concept of MathematicalProof”, (2007).

Platone, Eutrifone.

Platone, Menone.

Platone, Teeteto.

Rogora E. Antologia di brani sulla matematica ellenica edellenistica.

Russo, L. La rivoluzione dimenticata, Milano, Feltrinelli,2003.

Russo, L. Euclide, Milano, Grandangolo, 2016.


http://matstor.wdfiles.com/local--files/diario/cap2.pdf

http://matstor.wdfiles.com/local--files/diario/cap2.pdf

Lezione 1

EnricoRogora


Dimostrazioni

MatematicaEllenica




Bibliografia III

Szabó A., The beginnings of greek mathematics, Reidel,Boston, 1978.


Documents

Storia della Matematica 2019 Lezione 1matstor.wdfiles.com/local--files/diario/Lezione1.pdf · 2019. 2. 27. · StoriadellaMatematica2019–Lezione1 EnricoRogora [email protected]