STOCHASTICKÉ MODELOVANIE

Prednáška

MODELY ZÁSOB S KLADNOU DOBOU DODANIA

Predpoklady: L 0

Znovuobjednávací bod:1. L = t* S = 0

2. L t* S = q* - ( t* - L).r kL

3. L t* a t* L/2 S = ( L – t* ).r kL 4. L t* a t* L/2 S = L/t*.r

kL

L/t* - zvyšok podielu L/t* napr. [11/4]=3

[16/3]=1

PRÍKLAD 3.7

Predpokladajme, že intenzita dopytu po komodite je r = 100 jednotiek za deň. Náklady na objednávku sú c3 = 16 p.j. Jednotkové náklady na skladovanie sú c1 = 0,02 p.j. na jednotku a deň.

Úlohou je určiť hladinu zásob S, na ktorej je potrebné zvoliť znovuobjednávací bod (zadať objednávku).

KLASICKÉ STOCHASTICKÉ MODELY ZÁSOBPOISTNÁ ZÁSOBA

1. URČENIE VEĽKOSTI POISTNEJ ZÁSOBY AK DOPYT JE SPOJITOU NÁHODNOU VELIČINOU S NORMÁLNYM ROZDELENÍM

P ( x B + Lr ) ,Lr - dopyt počas L

B+q

B-Lr Lr B

L t

- dopyt je náhodná veličina s N( a 2)- dopyt xL je náhodná veličina s N(L , L

2)

Úlohou je stanoviť B: P ( xL B + L ) , po úpravách dostaneme: P ( xL B + L ) 1 -  

F ( B + L ) 1 -  

1 -

=

)B

(L

L 2

Lk

PRÍKLAD

Za predpokladu, že dopyt má normálne rozdelenie s parametrami = 100j., 2 = 100j. vypočítajme pre predchádzajúci príklad - pre jednotlivé doby dodania L hodnoty poistných zásob. Zvoľme = 0,05. 

2. URČENIE VEĽKOSTI POISTNEJ ZÁSOBY AK JE DOPYT VYJADRENÝ EMPIRICKÝM ROZDELENÍM

Dopyt počas L Pravdepodobnosť dopytu

165016001550

0,050,080,14

0,27 nedostatok

1500145014001350

0,540,090,060,04

0,73 dostatok

Poist. zás.

NedostatokN

Pravdep. nedostat-ku

Stredná hodnota nedostatku

Náklady spojené s nedostatk.

Skladovacie náklady na B

Celkové náklady na B

B ni pi

E(N)= N(N)=E(N).n*.c2

N(S)=B.c1 N(N)+N(S)

i

iipn

MODELY STATICKÉ STOCHASTICKÉ

1. MODEL URČENIA JEDNORÁZOVEJ ZÁSOBY

Predpoklady: x, q, cp, cn, S = q

A . Nech dopyt x je diskrétna náhodná veličina

q

0xpp

)x(p.)xq(.c)N(E

1qx)x(p.)qx(.c)N(E

nn

1qx

n

q

0xp

)x(p.)qx(c)x(p.)xq(c))q(N(E

Pre optimálnu veľkosť objednávky q* musí platiť: 

E(N(q*-1)) E(N(q*)) E(N(q*+1))

F(q*-1) = P(x q*-1) P(x q*) = F(q*)

pn

n

cc

c

PRÍKLAD 3.10

V podniku má byť inštalovaný špeciálny prístroj z dovozu a je potrebné určiť, koľko má byť pri nákupe objednaných náhradných súčiastok. Známe sú empiricky zistené pravdepodobnosti p(x) počtu výmen x určitej súčiastky za čas životnosti prístroja. Cena 1 ks náhradnej súčiastky je 5000 p.j. Ak pri poruche prístroja náhradná súčiastka nie je k dispozícii, vznikne podniku strata 100000 p.j. na kus. Nadbytočné náhradné súčiastky sú bezcenné. Rozdelenie dopytu x:

x 0 1 2 3 4 5 6 p(x) 0,9 0,05 0,02 0,01 0,01 0,01 0 F(x) 0,9 0,95 0,97 0,98 0,99 1,0 1,0

B. Nech dopyt x je spojitá náhodná veličina s normálnym rozdelením s parametrami a 2. Distribučná funkcia normálneho rozdelenia:

1 – F(q*) –riziko neuspokojeného dopytu

pn

n*

*

cc

c)

xq()q(F

PRÍKLAD 3.11

Dopyt x je spojitá náhodná veličina s normálnym rozdelením s parametrami a 2 = 25. Jednotkové náklady spojené s nedostatkom cn = 100 p.j. a jednotkové náklady súvisiace s nadbytočnou zásobou sú 5 p.j. Úlohou je určiť optimálnu veľkosť objednávky.

2. STATICKÝ MODEL S MAXIMALIZÁCIOU ZISKOVEJ FUNKCIEA. Dopyt je diskrétna náhodná veličina X  Pravdepodobnosť predaja x jednotiek je p(x).  Náklady pri nákupe q jednotiek: cn . q

  Stredná hodnota príjmov (tržieb) pri predaji: A) 

B) 

Zisková funkcia:

q

0xp

)x(p.x.c

1qx

n

q

0xpp

q.c)x(pq.c)x(p.xc)q(Z

1qxp

)x(pq.c

Zisková funkcia zovšeobecneného modelu:

stredná hodnota dopytu:

Z(q) = (cp – cz) - (cn – cz)q – (cp + cd – cz)

 Z (q) > Z(q-1) Z(q) – Z(q -1) = Δ Z(q) > 0Z (q) ≥ Z (q + 1) Z(q) - Z(q + 1) = Δ1 Z(q) ≥

0. 

Δ Z(q) = (cp + cd – cz) P(q) + cz – cn > 0

P(q) = 

1qx

d1qx

1q

0xnz

q

0xpp

)x(p).qx(cqc)x(p).xq(c)x(pq.c)x(p.xc)q(Z

0x

)x(pxx

q

)x(p

)cc(c)cc(

cc

ccc

cc)q(P

zndnp

zn

zdp

zn

Ekonomický význam: cn - cz

cp – cn

cp – cn + cd    cn straty, ak q bolo vyššie ako dopyt

cp straty, ak q bolo nižšie ako dopyt.  B. Dopyt je spojitá náhodná veličina  

Optimálne riešenie: 

 

p

n

c

c)q(P

qzdpznzp

qd

q

q

0nz

q

0pp

dx)x(f)qx()ccc(q.)cc(x.)cc(

dx)x(f)qx(cqcdx)x(f)xq(cdx)x(fqcdx)x(fxc)q(Z

zdp

zn

ccc

cc)q(F0

q

Z

PRÍKLAD 3.12Do predajne Zelenina-ovocie treba určiť dennú dodávku určitého druhu zeleniny, ktorej kus stojí 10 Sk (cp) prvý deň. Na druhý deň ju už možno predať len za 5 Sk (cz). Nákupná cena je 8 Sk (cn). Predpokladajme, že pri vyčerpaní zásoby zeleniny z dôsledku prechodu kupujúcich do inej predajne vznikla strata 3 Sk za chýbajúci kus (10-8=2 strata na zisku + 1 Sk za budúcu nedôveru).1.Dopyt má nasledovné empirické rozdelenie pravdepodobností:

2. Dopyt má normálne rozdelenie so strednou hodnotu = 100 ks a = 20 ks.

Vypočítajte pre obidva prípady optimálne hodnoty q*.

x 10 20 30 40 50 60 70 p(x) 0,05 0,05 0,1 0,1 0,4 0,2 0,1

MODELY DYNAMICKÉ STOCHASTICKÉ

x

x

S

t1 t2

t

xx - S

Priemerná veľkosť zásob v priebehu cyklu t:

1. x < S

2. x > S

Priemerná veľkosť nedostatku zásob v priebehu t:3. 0 x < S

2. x > S

2

xS

x2

S2

x2

)Sx( 2

min)x(px2

)Sx(c)x(p

x2

Sc)x(p)

2

xS(ct/))S(N(E

1Sx

2

21Sx

2

1

S

0x1

t/))1S(N(Et/))S(N(Et/))1S(N(E

1Sx

**

21

2

Sx

**

** x

)x(p.)

2

1S()S(F

cc

c

x

)x(p.

2

1)1S()1S(F

1Sx x

)x(p.)

2

1S()S(FL(S) =

L(S*-1) L(S*)

12

2

cc

c

Postup:1. vypočítame hodnoty L(S) pre všetky

hodnoty S

2. Vypočítame podiel

3. Preveríme platnosť vzťahu

L(S*-1) L(S*)

a určíme S*

12

2

cc

c

12

2

cc

c

PRÍKLAD 3.13

Dopyt po určitej položke v zásobách je určený nasledovným empirickým rozdelením:

Jednotkové skladovacie náklady c1 = 100 p.j., v prípade deficitu vznikajú náklady c2 = 2000 p.j. Úlohou je určiť optimálnu hodnotu S*.

x 0 1 2 3 4 5

p(x) 0,1 0,1 0,2 0,3 0,1 0,1