Technická univerzita v Košiciach

Letecká fakulta

CFDmodelovanie transsonického prúdeniav dúchadle leteckéhomotora

Peter Gašparovič

Dizertačná práca

Košice 2008

Technická univerzita v Košiciach

Letecká fakulta

Katedra leteckého inžinierstva

CFDmodelovanie transsonického prúdeniav dúchadle leteckéhomotora

Dizertačná práca

Peter Gašparovič

Školiteľ: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.

Školiteľ špecialista:

Košice 2008

Analytický list

Autor: Peter Gašparovič

Názov práce: CFD modelovanie transsonického prúdenia v dúchadle letec-

kéhomotora

Podnázov práce:

Jazyk práce: slovenský

Typ práce: Dizertačná práca

Počet strán: 110

Akademický titul: philosophiae doctor (PhD)

Univerzita: Technická univerzita v Košiciach

Fakulta: Letecká fakulta (LF)

Katedra: Katedra leteckého inžinierstva (KLI)

Vedný odbor: 91-07-9 Výzbroj a technika letectva

Špecializácia: —

Mesto: Košice

Školiteľ: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.

Školiteľ špecialista:

Dátum odovzdania: 8. 4. 2008

Dátum obhajoby:

Kľúčové slová: CFD, transsonický ventilátor, dúchadlo, letecký prúdovýmotor

Kategória: Technika, technológie, inžinierstvo a pod.

Citovanie práce: Peter Gašparovič: CFD modelovanie transsonického prúdenia

v dúchadle leteckého motora. Dizertačná práca. Košice: Tech-

nická univerzita v Košiciach, Letecká fakulta. 2008. 110 s.

Názov práce v AJ/NJ: CFDmodeling of transonic flow in fan of aircraft engine

Podnázov práce v AJ/NJ:

Kľúčové slová v AJ/NJ: CFD, transonic fan, aircraft jet engine

Abstrakt

Pri použití CFDmetódpri počítačovommodelovaní transsonickéhoprúdenia v dúchadle

leteckého turbínovéhomotora je nutné poznať validitu výsledkov.Overenie validity je reali-

zované porovnaním výsledkov počítačového modelu s údajmi nameranými na fyzikálnom

modeli v plnej mierke. Citlivosť modelu je testovaná prítomnosťou obvodovej štrbiny. Po-

rovnanie je vykonané na čiare režimov danej konštantnými otáčkami rotora (9 981 otáčok

za minútu) a premenlivým škrtením výstupu. Porovnávanými parametrami je podiel cel-

kového tlaku na výstupe vonkajšieho prúdu a spoločnom vstupe a izentropická účinnosť

vo vonkajšom prúde. Pre modelovanie sú použité CFD systémy Fluent 5 a Ansys CFX 11,

založenénaNavier-Stokesových rovniciach ametóde konečnýchobjemov. Pri systémeFlu-

ent je použitý model turbulencie Spalart-Allmaras a neštruktúrovaná numerická sieť. Pri

systéme Ansys CFX je použitý model k-omega SST so štruktúrovanou sieťou zahustenou

v hrúbkemedznej vrstvy. Výsledky potvrdzujú schopnosť súčasných CFD systémov presne

predpovedať parametre dúchadla pri neuvažovaní detailov konštrukcie, ako aj schopnosť

presne predpovedať vplyv strát na výkonové parametre pri použití numerickej siete, ktorá

zachycuje detaily v hrúbke medznej vrstvy. Práca je veľmi užitočná pre praktické výpočty

v priemysle, pretože stanovuje podmienky pre spoľahlivú aplikáciu CFDmetód pri výpočte

transsonických a supersonických dúchadiel.

Abstract

Use of CFD methods in computer modelling of transsonic flow in the fan of aircraft

gas turbine necessitates answer to validity of results. Evaluation of validity is realised

by comparing result of computer model to data measured on physical full-scale model.

Sensitivity of the model is tested by existence of tip clearance. Comparison is done at

the flow regimes determined by constant rotational speed (9 981 revolutions per minute)

and variable throttling of the fan outlet. Evaluated are two characteristic parameters –

ratio of stagnation pressure in the outer stream of the outlet and in the inlet and isentropic

effectivity in the outer stream.UsedCFDsystems are Fluent 5 andAnsysCFX11, based on

Navier-Stokes equations and finite volumemethod. SystemFluent is appliedwith Spalart-

Allmaras turbulence model with unstructured grid. System Ansys CFX is applied with

turulence model of k-omega SST with structured numerical grid with detailed resolution

in the volume of boundary layer. Computational results confirm capability of current CFD

systems to accurately predict parameters of fan, without accounting for design details

and as well to accurately predict the effect of losses on power parameters, provided the

numerical grid which is used properly resolves details of the boundary layer. This work is

very useful for practical comutations in industry, because specifies conditions for reliable

application of CFDmethods in computation of transsonic and supersonic fans.

Zadanie práce

Vedný odbor: 91-07-9 Výzbroj a technika letectva

Špecializácia: —

Názov práce: CFDmodelovanie transsonického prúdenia v dúchadle leteckého

motora

Obsah práce:• analýzamožností CFDmodelovania dúchadla s transsonic-

kým prúdením

• voľbaoptimalizovanejmetódyCFDvýpočtupredanýprípad

• porovnanie presnosti CFD výpočtu s výsledkami experi-

mentu

Rozsah práce: 100–160 textových strán (1800 znakov/str.) a obrázkov

Dátum dizert. skúšky: 12. 2. 2003

Dátum odovzdania: 8. 4. 2008

Vedúci katedry: prof. Ing. Jozef Považan, CSc.

Dekan: doc. RNDr. František Olejník, CSc.

Čestné vyhlásenie

Vyhlasujem, že som dizertačnú prácu vypracoval(a) samostatne s použitím uvedenej

odbornej literatúry.

Košice 8. 4. 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Vlastnoručný podpis

Predhovor

Vobdobí po roku 1999, kedy som začínal pracovať na tejto téme, boli naKatedre leteckého

inžinierstva, kde som vtedy pracoval, numerické výpočtové metódy prúdenia (známej-

šie pod anglickou skratkou CFD – Computational Fluid Dynamics) v podstate neznáme.

Našťastie som mal na katedre k dispozícii výkonnú pracovnú SGI Octane a vedúci ka-

tedry, prof. Ing. Jozef Považan, CSc., zabezpečil rozšírenie hardvéru aby na ňommohli byť

riešené pamäťovo veľmi náročné problémy z aerodynamiky a získanie pokročilého CFD

nástroja Fluent.

Projekt vývoja leteckého motora DV-2 v Považských strojárňach v Považskej Bystrici mi

ponúkol vhodnýmateriál pre výskum s pomocou CFD nástrojov s praktickým významom.

V strojárňach v tej dobe riešili problém vývoja nového 19-lopatkového dúchadla kovaného

z titanu, ktorý by nahradilo sériové 15-lopatkové dúchadlo s hrubšími lopatkami, vyrábané

frézovaním z duralového bloku. Moja práca bola zavŕšená výskumnou správou s komplet-

nými charakteristikami. Pri práci na tomtoprojekte somstrávil viac než rok apol, čiastočne

pri zvládaní metodiky CFD a vytváraní výpočtovej siete, ale hlavne pri čakaní na výsledky,

pretože daná úloha bola na hranici hardvérových možností toho najvýkonnejšieho počí-

tača, ktorý sommal k dispozícii, a to z hľadiska uskutočniteľnosti vôbec (veľkosť pamäte),

ako aj časovej náročnosti (rýchlosť procesora). Na oplátkumi to umožnilo získať ojedinelé

vnútropodnikové údaje o zmeraných charakteristikách starého dúchadla, na základe kto-

rých som sa mohol konečne pustiť do novej práce, ktorá by mala prvky vedeckej metódy a

mohla vyústiť do napísania tejto dizertačnej práce. Za tú dobu prebehol prudký vývoj ako

v oblasti hardvéru, tak aj v oblasti softvérových modelov. Pri práci na spoločnom projekte

s prof. Ing. Máriou Čarnogurskou, CSc., vedúcou katedry energetickej techniky TU Ko-

šice, som mal možnosť prísť do styku s novým CFD systémom—Ansys CFX. Skúsenosti

s týmto softvérom veľmi rozšírili mojemožnosti pri riešení dizertačnej práce.

Obsah

Zoznam obrázkov xi

Zoznam tabuliek xii

Použité symboly xiii

Slovník termínov xvi

Úvod 1

1 Prehľad súčasného stavu v problematike 3

1.1 Objekt výskumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.1.1 Časti TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.2 Propulzívna účinnosť TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.3 Odlišnosti konštrukcie dúchadiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.1.4 Charakteristikamotora DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.1.5 Dúchadlomotora DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

1.2 Druhy strát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.3 Termodynamická účinnosť dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.4 Prúdenie v dúchadle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

1.4.1 Výkonové charakteristiky dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.4.2 Kinematika prúdenia v lopatkovej mreži . . . . . . . . . . . . . . 15

1.4.3 Druh prúdiacehomédia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5 Modelovanie a experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.1 Situácia vo vede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

1.5.2 Situácia v technike . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

1.5.3 Analytickémodely (teória) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.4 Fyzikálny experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

1.5.5 Numerickémodely a simulácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

LF KLI

1.6 Fyzikálnemodelovanie a podobnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.6.1 Základné aerodynamické kritériá podobnosti . . . . . . . . . . . 25

1.6.2 Rozmerová analýza dúchadla . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

1.7 Experimentálnemetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

1.7.1 Meranie škrtiacich charakteristík dúchadla . . . . . . . . . . . . . 32

1.8 Predstava tekutiny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

1.9 CFDmetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9.1 Rozdelenie CFDmetód . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

1.9.2 Typy sietí . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

1.9.3 Počítačové prostriedky CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

1.10 Praktické otázky aplikácie metód CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

2 Ciele amotivácia práce 43

2.1 Predchádzajúce zistenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.2 Hypotéza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

2.3 Cieľ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

2.4 Konkrétne úlohy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 Metodológia riešenia 47

3.1 Experiment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2 Výbermetódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3 Základné rovnice prúdenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3.1 Rovnica kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.2 Navier-Stokesova rovnica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.3.3 Rovnica energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.4 RANS rovnice a Reynoldsove napätia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

3.5 Modely turbulencie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.1 Model Spalart-Allmaras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

3.5.2 Model SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

3.5.3 Prechodmedznej vrstvy vmodeli SST . . . . . . . . . . . . . . . 55

ix

LF KLI

3.5.4 Požiadavky na výpočtovú sieť v medznej vrstve . . . . . . . . . . . 56

3.6 Metóda konečných objemov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.7 Popis výpočtovej siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

3.8 Popis modelu prúdenia a okrajových podmienok . . . . . . . . . . . . . . 65

4 Výsledky 69

5 Záverečné poznámky 75

5.1 Diskusia výsledkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

5.2 Prínosy dizertačnej práce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.1 Prínos pre vedný odbor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.2.2 Prínos pre inžiniersku prax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

5.3 Ďalšie smerovanie výskumu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Zoznam použitej literatúry 85

Príloha: Zápis vektorov a tenzorov 86

Register 91

x

Zoznam obrázkov

1.1 Tepelná účinnosť reálneho Braytonovho cyklu – podľa [Boyce, 2001]. . . . 5

1.2 Schémamotora DV-2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.3 Pohľad na 15-lopatkové dúchadlomotora DV-2. . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Škrtiaca charakteristika stlačenia dúchadla. . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.5 Kinematika prúdenia okolo izolovaného profilu a v lopatkovej mreži. . . . 16

1.6 Numerická difúzia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.1 Orientácia viskóznych napätí. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

3.2 Súčiniteľ treniaCf vmedznej vrstve (m. v.). . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

3.3 Zónymedznej vrstvy podľa priebehu rýchlosti. . . . . . . . . . . . . . . . 57

3.4 Vzťahmedzi elementom siete a konečným objemom. . . . . . . . . . . . . 58

3.5 Multigridmetóda. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.6 Tvar výpočtovej oblasti pre FLUENT aANSYS CFX. . . . . . . . . . . . . 60

3.7 Povrchová sieť modelu pre FLUENT. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

3.8 Topológie používané pre sieťovanie geometrie lopatiek. . . . . . . . . . . 62

3.9 Štruktúrovaná J-sieť vytvorená vTURBOGRID-e. . . . . . . . . . . . . . 63

3.10 Výsledné zobrazenie y+ po plochách dúchadla. . . . . . . . . . . . . . . . 64

3.11 Využitie periodicity pre zmenšenie geometrickej oblasti modelu. . . . . . . 65

3.12 Definícia pracovného bodu charakteristiky statickým tlakom na výstupe. . 66

3.13 PriebehMachovho čísla po lopatke a v rezoch. . . . . . . . . . . . . . . . 67

3.14 Trecie napätie na povrchu lopatky. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

4.1 Škrtiace charakteristiky celk. stlačenia pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min. . 73

4.2 Škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti pri reduk. otáčkach 9 981

ot./min. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

4.3 Úplné škrtiace charakteristiky celk. stlačenia . . . . . . . . . . . . . . . . 74

Zoznam tabuliek

4.1 Fluent SA t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 70

4.2 CFX SST t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 71

4.3 CFX SST t063 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty . . . . . . . 71

4.4 Experiment pri otáčkach 9 981 ot./min – hodnoty pre EDV2.01.03.017 . . 71

4.5 Experimentálne stlačenie – úplné hodnoty pre EDV2.01.03.017 . . . . . . 72

Použité symboly

Voľba symbolov vychádza z medzinárodných odporúčaní [ISO 31, 1992], [IUPAP-25:

Symbols, ..., 1987], a zvyklostí v aerodynamickej a turbinárskej literatúre. Kvôli prieniku

viacerých vedeckých a technických disciplín v tejto práci nemajú niektoré symboly jedno-

značný význam, ale kontext jednotlivých významovmožno v texte ľahko rozlíšiť.

Matematická interpunkcia: Jednotky v grafoch a tabuľkách sú označené hranatými zát-

vorkami, ktoré sú v tomto prípade prehľadnejšie ako algebra veličín. V súlade s pravidlami

z roku 2003 pre ekvivalentné použitie bodky a čiarky ako desatinných oddeľovačov [SI bro-

chure, 2006, s. 133] a kvôli jednotnosti s počítačovými výstupmi, je v tomto texte jednotne

použitá desatinná bodka.

Grécke symboly

Γ cirkulácia rýchlostného poľa

γ adiabatický koeficient γ = cpcv, nárazovitosť, hustota cirkulácie

η účinnosť

λ tepelná vodivosť, súčiniteľ objemovej viskozity

µ dynamická viskozita

ν kinematická viskozita

ω frekvencia dominantných vírov turbulencie

π stlačenie (pomer tlaku za ventilátorom k tlaku pred ním)

% hustota tekutiny

σ plošné napätie v tekutine

τ viskózne napätie v tekutine

LF KLI

Latinkové symboly

c špecifická tepelná kapacita (pri konštantnom objeme cv), (pri konštantnom tlaku

cp), rýchlosť zvuku

D priemer dúchadla, symbol pre totálny (materiálový) diferenciál

e jednotkové vektory karteziánskeho súradnicového systému

f špecifická objemová sila

g gravitačné zrýchlenie

H, h entalpia, špecifická entalpia

k turbulentná kinetická energia

m hmotnosť, obtokový pomer

M Machovo číslo

n rýchlosť otáčania (otáčky zaminútu)

p hydrostatický tlak

Q hmotnostný prietok, privedené teplo

R univerzálna (Molová) plynová konštanta

Re Reynoldsovo číslo

S rýchlosť deformácie

t teplota v ◦C

T termodynamická teplota (v K)

U vnútorná termomechamická energia

u rýchlosť tekutiny

V , v objem, špecifický objem

xiv

LF KLI

W privedená práca

x poloha v karteziánskom súradnicovom systéme (tiež x, y, z)

y vzdialenosť od steny

Iné symboly

[ ] (hranaté zátvorky) – podľa kontextu: vo výsledkoch sú v zátvorkách jednotky veli-

činy; v bezrozmerovej analýze zátvorky okolo fyz. veličiny produkujú jej jednotky;

inde označujematice.

. (bodka) znak desatinného oddeľovača (namiesto čiarky obvyklej v československej

sadzbe) – kvôli jednotnosti s počítačovými výstupmi

Indexy

i, j, k premenné indexy zložiek vektorov a tenzorov

x, y, z zložky v karteziánskom súradnicovom systéme

1, 2, 3 zložky v karteziánskom súradnicovom systéme

1 pred ventilátorom

2 za ventilátorom

I vo vnútornom prúde

II vo vonkajšom prúde

c celkový (stagnačný), napr. celkový tlak pc, celková teplota Tc

ef efektívny

iz izentropický

r redukovaný (t. j. korigovaný, prepočítaný na štandardné podmienky)

t turbulentný, vírový

xv

LF KLI

Slovník termínov

CFD (Computational Fluid Dynamics, slov. Výpočtová dynamika tekutín) – obor (vý-

skumu, alebo aplikácie), ktorý je prienikom fyziky tekutín, numerických metód a

počítačovej technológie. Venuje sa numerickým metódam pre výpočet prúdenia te-

kutín.

DPM (DvojPrúdový Motor, tiež aj Turbodúchadlový motor) – druh TKPM v ktorom je

okrem turbokompresorového jadra ventilátor, poháňaný turbínou, ktorý vyvoláva

pohyb vzduchu vo vonkajšom prúde. (anglický ekvivalent: turbofan – viď [Gunston,

2004, s. 665])

NS – skratka pre Navier-Stokes, označuje Navier-Stokesove rovnice a metódy založené

na týchto rovniciach, alebo numerické siete, ktoré sú svojou detailnosťou v medznej

vrstve predurčené na riešenie pomocouNS rovníc.

pád (pád profilu) – termín prevzatý z aerodynamiky profilov, kde označuje režim pri pre-

kročení medzného uhla nábehu, kde dochádza k masívnemu odtrhnutiu prúdenia

s následným vzrastom odporu, so stagnáciou vztlaku a s presunom pôsobiska vý-

slednej sily. Názov je odvodený z letovej mechaniky, kde tento jav spôsobuje pád

lietadla, to znamená, pokles sklonu pozdĺžnej osi lietadla s následnou stratou výšky.

Rovnaký režim sa vyskytuje aj pri profilových mrežiach. Ekvivalentný anglický ter-

mín „stall“ znamená v preklade približne „visenie“.

pumpáž – nestabilný režim práce kompresora, ktorý sa prejavuje silnými tlakovými

pulzmi na výstupe a veľkýmmechanickým namáhaním lopatiek, pričommôže dôjsť

k ich poškodeniu. Vzniká následkom pádového režimu na individuálnych lopatkách

a vzájomnou interakciou jednotlivých stupňov kompresoramedzi sebou.

režim prúdenia reálnej tekutiny (podľa dokonalosti obtekania povrchu) – primknuté

(angl. attached), odtrhnuté (angl. separated).

režim prúdenia reálnej tekutiny (podľa vplyvu stlačiteľnosti tekutiny) –podľa [Kundu

xvi

LF KLI

aCohen, 2002, s. 663]: nestlačiteľnépreM<0.3, podzvukové, subsonicképreM<1.0,

okolozvukové, transsonicképre0.8<M<1.2, nadzvukové, supersonicképreM>1.0,

vysokonadzvukové, hypersonické preM>3-5.

stlačenie (alebo aj stupeň stlačenia) – podiel tlakov za a pred kompresorom alebo turbí-

nou. Prakticky sa používa iba celkové stlačenie, teda podiel celkových tlakov.

TKPM (Turbokompresorový Prúdový Motor) – druh turbínového motora, v ktorom

sa energia horúcich plynov využíva pre zväčšenie kinetickej energie prúdu plynov

v dýze. Často sa používa s prívlastkom „letecký“ (skratka LTKPM). V súčasnosti

existujú dva hlavné poddruhy TKPM: jednoprúdový (JPM, angl. turbojet) a dvoj-

prúdový (DPM, angl. turbofan).

turbínovýmotor – (podľa vzoru „piestový motor“) motor, ktorého princíp činnosti je

priamo závislý na funkcii turbíny. Na rozdiel od stacionárnej turbíny (pre výrobu el.

energie) je jeho integrovanou súčasťou aj kompresor, preto sa mu hovorí aj „turbo-

kompresorovýmotor“. Turbokompresorová časť je základom (tzv. jadrom) všetkých

druhov turbínových motorov. Podľa využitia prebytočnej energie plynu za jadrom

sa turbínové motory delia na ďalšie druhy. Pri premene energie plynov na kinetickú

energiu prúdu plynov v dýze ide o turbokompresorový prúdový motor (existujú aj

prúdové motory bez turbíny), pri premene na krútiaci moment na hriadeli pridanej

(voľnej) turbíny ide o turbovrtuľový alebo turbohriadeľový motor (jemné rozdiely

v konštrukcii a regulácii). Anglický ekvivalent (nerozlišuje sa turbína a turbínový

motor): gas turbine – viď [Gunston, 2004, s. 263].

ventilátor, dúchadlo –prakticky zameniteľné pojmy.Zariadenie principiálne zhodné s vr-

tuľou a kompresorom. jednotlivé pojmy slúžia k zdôrazneniu hlavnej funkcie zaria-

denia. Zatiaľ čo vrtuľa (a rotor vrtuľníka) slúži pre vyvodenie hnacej sily a kompre-

sor pre stlačenie plynu, funkciou ventilátora, resp. dúchadla je vyvolanie prietoku

plynu. (Český ekvivalent: dmychadlo, anglický ekvivalent: fan – viď [Gunston, 2004,

s. 226])

xvii

LF KLI

Úvod

Turbokompresorové prúdové motory (TKPM), predstavujú jedno z najrozšírenejších vy-

užití plynovej turbíny. Základný kameň rozvoja turbín položil práve slovenský rodák, pro-

fesor Aurel Stodola, ktorý na začiatku 20. storočia publikoval významné práce o teórii

turbín, ktoré sa stali dôležitou referenciou pre konštruktérov prvých turbínových motorov

v Európe aj USA. Hoci myšlienka použitia turbínového motora na prúdový pohon nebola

úplne neznáma, všeobecnú skepsu prekonali až prvé letové skúšky okolo roku 1940. Ich

priekopníkmi boli Hans vonOhain vNemecku a FrankWhittle vo Veľkej Británii. Vtedajší

vojnový konflikt už iba urýchlil nástup tejto technológie v letectve. Odvtedy sa neobja-

vila technológia s väčšou energetickou účinnosťou a hustotou energie pre pohon lietadiel

(berúc do úvahy rôzne formy piestovýchmotorov, raketovémotory alebo iónovémotory).

V oblasti subsonických rýchlostí dnes vládnu dvojprúdové motory (DPM), ktoré patria

medzi TKPM. Dokonca aj vojenské supersonické lietadlá sa väčšinu času pohybujú tesne

pod rýchlosťou zvuku, preto je väčšina moderných vojenských lietadiel vybavená práve

DPM. Propulzívna účinnosť a tým aj špecifická spotreba paliva DPM je optimálna pri

užšom rozsahu rýchlostí, ako je tomu pri, kedysi výlučne používaných, jednoprúdových

motoroch. Je to do značnej miery dané geometriou dúchadla (ventilátora). Jeho návrh sa

líši od návrhu axiálneho kompresorového stupňa, hoci principiálne sa jedná o totožnú

lopatkovú konštrukciu. Výrazne trojrozmerné prúdenie, väčšie pomery vonkajšieho a vnú-

torného priemeru, spolu s väčším stlačenímpri transsonických relatívnych rýchlostiach sú

niektoré z príčin rozdielov pri návrhu dúchadlového a kompresorového stupňa.

Návrh prvých dúchadiel sa uskutočňoval pomocou výpočtových nástrojov pre subso-

nické prúdenie v kompresoroch, čo bolo spojené s rozsiahlymi skúškamimodelov v niekoľ-

kých variantoch [PS-TSb, 1988]. V tej dobe neboli verejne publikované merania kompre-

sorových stupňov pri rýchlostiach zvuku, čo je práve oblasť v ktorých pracujú dúchadlá.

Medzičasom si vedúce firmy v odbore pravdepodobne vyvinuli pokročilé reverzné ná-

vrhové programy uvažujúce supersonické prúdenie, ale podrobnosti o tomto softvéri, ako

1

LF KLI

aj výsledkymeraní zostávajú stále obchodným tajomstvom.

Napriek pokroku v návrhových metódach, bol vývoj stále závislý na overení finálneho

návrhu reálnym experimentom. To sa však zmenilo s prudkým pokrokom v oblasti metód

CFD (počítačová dynamika prúdenia). Tietometódy predstavujú tretiu cestumedzi čistou

teóriu (zjednodušujúcou ale lacnou) a experimentom (zachycujúcim komplexnosť reality

ale príliš drahým). Metódy CFD umožňujú robiť výskum a vývoj v tejto oblasti s veľmi

malými nákladmi a teda bez podpory priemyslu, v ktorom vládne ostrá konkurencia a tým

aj nepriaznivé prostredie pre zverejňovanie výsledkov výskumu.

Metódy CFDv čoraz väčšommnožstve prípadov nahradzujú experiment, pričom jednou

z prekážok je otázka validity takto získaných výsledkov. Preto sa robí množstvo porovná-

vacích štúdií, kde sa porovnávajú výsledky CFD s výsledkami experimentu. Závery týchto

štúdií bývajú obmedzené na konkrétnu aplikáciu – typ geometrie. V prípade transsonic-

kých dúchadiel je skoro nemožné verejne sa dopátrať úplných charakteristík pre nejakú

konkrétnu konštrukciu a preto je v tejto oblasti problém aj dostať sa k nejakej štúdii.

Ďalšou prekážkou je veľká rôznorodosť súčasných CFDmetód, takže porovnávacie štú-

die sa sústreďujú len na niektoré z nich. Teória týchtometód je skĺbenímmnožstva znalostí

z fyziky prúdenia, matematiky a počítačových vied a ich vývoj je veľmi drahý. Preto sa

možno v tejto oblasti často stretnúť s určitou konzervatívnosťou užívateľov ale aj vývojá-

rov, ktorí po investovaní do príslušného hardvéru, softvéru a školení nadobudnú pomerne

veľké skúsenosti a kým neexistuje výrazne väčšia výhoda v prechode na inú koncepciu

(väčšia presnosť a produktivita), zostávajú pri starom riešení, preverenom časom.

Táto práca pojednáva o použití tých metód CFD, ktoré sa označujú skratkou RANS a

ktoré sú v súčasnosti asi najrozšírenejším CFD nástrojom v priemysle.

2

LF KLI

1 Prehľad súčasného stavu v problematike

1.1 Objekt výskumu

Táto práca sa zaoberá dúchadlom, ktoré je charakteristickou časťou leteckého dvojprúdo-

vého motora (DPM). Dvojprúdový motor je druh turbokompresorového motora (TKM)

a zároveň aj druh prúdového motora. Pojem prúdový vyjadruje princíp vytvorenia ťahu

(propulzie) a pojem turbokompresorový vyjadruje vnútorné usporiadanie motora. Turbo-

kompresorové prúdovémotory (TKPM) sú nepostrádateľné pre pohon lietadiel lietajúcich

vysokou rýchlosťou a vo vysokých výškach.

Turbokompresorový motor je len jednou z podôb turbínového motora, t. j. motora, kto-

rého činnosť je založená na funkcii plynovej turbíny, pričom turbínový motor patrí spolu

s piestovými motormi do spoločnej skupiny spaľovacích motorov. V letectve, po 2. sveto-

vej vojne, TKM nahradili dovtedy používané piestové motory. TKM majú mnohé výhody

v oblasti výkonov, spoľahlivosti, ekonomiky a jednoduchosti údržby. Dnes sa síce piestové

motory ešte používajú, ale oblasť veľkokapacitnej komerčnej dopravy a vojenského letectva

je výlučnou doménou TKM.

Ak ponecháme stranou vrtuľníky, tak pre vytvorenie dopredného ťahu sa využívajú na-

sledovné dva princípy propulzie:

• urýchlením prúdu plynov prechádzajúcichmotorom,

• urýchlením okolitého ovzdušia pomocou vrtule.

Z toho vyplývajú aj zvláštnosti konštrukcie dvoch druhov TKM: turbokompresorových

prúdovýchmotorov a turbovrtuľovýchmotorov.

3

LF KLI

1.1.1 Časti TKPM

Všetky turbokompresorové prúdové motory (TKPM) sa vyznačujú samostatným turbo-

kompresorovým jadrom (generátorom plynu podľa [Považan, 1999b]), ktoré slúži ako

zdroj horúcich plynov. Vo výstupnej dýze motora dochádza sa vnútorná energia plynov

využíva na zvýšenie kinetickej energie prúdu. Urýchlenie prúdu plynov na čo najvyššiu

kinetickú energiu je základným princípom propulzie všetkých prúdovýchmotorov.

Turbokompresorové jadro sa funkčne skladá z troch častí: kompresora, spaľovacej ko-

mory a turbíny. Turbína a kompresor sú vzájomne spriahnuté – najčastejšie priamo –

pomocou hriadeľa. Turbína slúži ako zdroj krútiaceho momentu pre kompresor, ktorý

naopak stláčaním vzduchu umožňuje aby sa energia paliva v spaľovacej komore mohla

uvoľniť na teplo s najväčšímmožným potenciálom, ktoré je následne v turbíne premenené

na prácu na hriadeli. Užitočný výkon turbokompresorového jadra tvorí len veľmimalú časť

v bilancii medzi výkonom turbíny a príkonom kompresora, preto aj malé zhoršenie účin-

nosti týchto častí sa môže nepriaznivo odraziť na celkovom výkone jadra a tým aj celého

motora.

Horeuvedený popis charakterizuje najjednoduchší druh TKPM – jednoprúdový motor.

Neskôr sa objavil dvojprúdový motor, ktorý má väčšiu účinnosť vo väčšine prípadov. To

sa prejavuje v súčasnej situácii v letectve, kedy dvojprúdové motory tvoria väčšinu všet-

kých TKPM. Pre objasnenie tejto príčiny a úlohy dúchadla (ventilátora) v dvojprúdových

motoroch je nutná analýza propulzívnej účinnosti.

1.1.2 Propulzívna účinnosť TKPM

Pre dosiahnutie dobrých výkonových a ekonomických ukazovateľov je potrebné, aby sa

chemická energia obsiahnutá v palive premenila na prácu ťahu s čo najlepšou účinnosťou.

Pretože sme obmedzení propulzívnym princípom, túto účinnosť si možno predstaviť ako

produkt dvoch oddelených účinností:

4

LF KLI

1. účinnosti premeny chemickej energie paliva na kinetickú energiu prúdu plynov;

2. účinnosti urýchlenia prúdu plynov na vytvorenie ťahu.

V prvom prípade sa jedná o termodynamickú a hydrodynamickú účinnosť, ktorú možno

zlepšiť celkovo zdokonaľovaním parametrov termodynamického cyklu (napr. voľbou ma-

teriálov s lepšou žiarupevnosťou). Túto účinnosť možno zlepšiť aj dokonalým zvládnutím

procesu horenia a dokonalým tvarovaním všetkých obtekaných častí motora. Termody-

namickým modelom všetkých turbínových motorov je Braytonov cyklus (alebo obeh).

V tomto cykle sa vyskytujú štyri dôležité body, ktoré zodpovedajú miestu pred kompreso-

rom (bod 1), miestu za kompresorom (bod 2), miestu pred turbínou (bod 3) a miestu za

turbínou (bod 4). Termodynamická účinnosť Braytonovho cyklu je závislá hlavne na stla-

čení vzduchu v kompresore a pre reálny cyklus aj na teplote horenia (presnejšie povedané

– na podieli teplôt v bode 3 a 1) – viď obr. 1.1.

0

10

20

30

40

50

60

70

50 10 15 20 25 30 35 40

stlačenie [1]

tepelnáúčinno

sť[%

]

ideálny cyklus

polytropická kompresia a expanziat0 = 15 ◦Cúčinnosť kompresora = 87%účinnosť turbíny = 92%

t3 = 1200 ◦C

t3 = 1000 ◦C

t3 = 800 ◦C

Obr. 1.1 Tepelná účinnosť reálneho Braytonovho cyklu – podľa [Boyce, 2001].

Letecké turbínové motory musia kvôli vysokému požadovanému výkonu používať veľmi

vysoké teploty a z obrázku vyplýva, že s ohľadomna tepelnú účinnosť tomu zodpovedajú aj

vysoké stlačenia v kompresore – najčastejšie v rozsahu 20–30, aj keď najnovšiemotory pre

dopravné lietadlá dosahujú hodnoty viac ako 40 (Rolls Royce Trent 900 pre Airbus A380).

5

LF KLI

Vdruhomprípade sa jedná o propulzívnu účinnosť samotného princípu vytvárania ťahu.

Vytváranie ťahu na základe urýchľovania plynov obsahuje v sebe principiálny rozpor. Ak

chceme totiž vytvoriť čo najväčší ťah, musíme plynu udeliť čo najväčšiu hybnosť. Ak však

chceme vysokú účinnosť premeny energie na ťah (propulzivnu účinnosť), musí byť zvýše-

nie kinetickej energie plynov čo najmenšie. V limitnomprípade je zmena hybnosti nulová a

preto je nulová aj vynaložená energia, takžepropulzívnaúčinnosť sablíži k 100%, ale ťah sa

blíži k nule. Kompromisné riešenie spočíva v tom, že sa snažíme zadanú zmenu hybnosti

(tým aj ťah) dosiahnuť s čo najmenším zvýšením kinetickej energie. Pretože prietočné

množstvo prispieva ku kinetickej energii lineárne, ale urýchlenie prispieva ku kinetickej

energii kvadraticky, riešením je zväčšenie prietočného prierezu na úkor urýchlenia plynov.

To je dôvod, prečo je pohon vrtuľou propulzívne účinnejší ako ekvivalentný prúdový po-

hon. Bohužiaľ vrtuľa je obmedzená iba na subsonické rýchlosti letu približne do hodnoty

M=0.6. Riešením je dvojprúdový motor (DPM). Na rozdiel od jednoprúdového motora

(JPM), sa značná časť energie plynov odoberá v prídavnom stupni turbíny a tá potom

slúži pre pohon dúchadlového kolesa, ktoré je umiestnené pred samotným kompresorom.

Dúchadlomámenší priemer ako vrtuľa, čomu zabezpečuje účinnosť aj pri transsonických

dopredných rýchlostiach, ale zároveň spracováva väčšie objemy vzduchu ako turbokom-

presorová časť. Výstup z dúchadla je vedený hlavne okolo samotného turbokompresoro-

vého jadra, ale pred dýzou sa môžu oba výstupy opäť spojiť v tzv. zmiešavacej komore, čo

je konštrukčne vhodné premotory smalým obtokovým pomerom.

Pomer prietoku vo vonkajšom prúde voči prietoku vo vnútornom prúde (t. j. obtokový

pomer) je závislý na priemere dúchadlového kolesa. Motory pre veľkokapacitné dopravné

lietadlá sú určené pre menšie rýchlosti, takže môžu mať veľký priemer dúchadla a tým

aj veľký obtokový pomer (v súčasnosti okolo hodnoty 10). Motory pre vojenské lietadlá

sú určené pre transsonické a supersonické rýchlosti, preto ich dúchadlá majú iba mierne

väčší priemer ako kompresor a tomu je úmerný aj malý obtokový pomer (väčšinou okolo

hodnoty 0.4).

6

LF KLI

V 80-tych rokoch bola snaha o vývoj nových vrtulí, ktoré by mali účinnosť 0.8 až do

rýchlosti M= 0.8.Tieto sa od klasických vrtulí značne odlišovali výrazne šípovitými su-

personickými listami s 8-10 listami, preto sa pre ne začalo používať označenie propfan

(vrtuľo-ventilátor v preklade z angličtiny). Vývoj v USA ustal, pretože, podľa [Cohen et al.,

1996, s. 119], tento pohon vyžaduje náročný vývoj nových reduktorov pre prenos výkonov

vyše 8000 kW a tiež kvôli príliš vysokej hlučnosti propfanov. Napriek tomu, v Európskej

únii a na Ukrajine je vývoj týchto nových pohonných jednotiek úspešný (EPI TP400-D6

pre Airbus A-400M a Progress D-27 pre Antonov An-70). Kým sa nepreukáže úspešnosť

tejto koncepcie v reálnom nasadení, ostáva trh pohonných jednotiek pre rýchlosti M> 0.6

rezervovaný pre turbokompresorovémotory s dúchadlami.

1.1.3 Odlišnosti konštrukcie dúchadiel

Princíp práce dúchadla (ventilátora) sa neodlišuje od vrtule, alebo lopatkového kompre-

sora. Iný názov je iba vyjadrením mierne odlišnej funkcie. Pri vrtuli je dôraz na propulziu

– bezprostredné vyvodenie ťahovej sily. Pri kompresore je zdôraznená funkcia stlačenia

a prietok je len sekundárny prejav. Pri dúchadle sa jedná o vyvolanie objemového alebo

hmotnostného prietoku (konečné urýchlenie pre získanie čo najväčšieho ťahu sa uskutoč-

ňuje často až v dýze). Dúchadlo má s vrtuľou spoločný komplexný charakter rýchlostného

poľa v závislosti na polomere, podobne ako lopatkový kompresor má široké lopatky pre

dosiahnutie potrebného stlačenia pre svoju funkciu, ale na rozdiel od obidvochmá výrazne

trojrozmerný charakter prúdenia. Teda, návrh dúchadlového stupňa sa odlišuje tak od

návrhu vrtule, ako aj od návrhu kompresorového stupňa.

Pretože kompresory leteckých motorov musia dosahovať stlačenia 20–30, ale maxi-

málne dosiahnuteľné celkové stlačenie v jednom axiálnom stupni je kvôli účinnosti obme-

dzené na hodnoty 1.1–1.4, axiálny kompresor sa vždy skladá z viacerých stupňov. Oproti

tomu, veľké dúchadlá bývajú iba jednostupňové, vďaka hĺbke lopatkymávajú väčšie stlače-

nie ako kompresorové stupne (v prípademotora DV-2 je to hodnota 2.38).

7

LF KLI

1.1.4 Charakteristikamotora DV-2

(Na základe údajov v [Hocko, 2007].)

Motor DV-2 bol vyvinutý v bývalom Sovietskom zväze združením PROGRESS v Zá-

poroží. Návrh motora je dielom konštrukčnej kancelárie Lotarev. Výrobcom je podnik

Považské strojárne Letecké motory, a. s. v Považskej Bystrici. Vývoj motora začal v roku

1980. Projektovaný bol pre výšku letu 6000m a rýchlosť letu 700 km/h, s plánovaným

nasadením pre cvičné prúdové lietadlo L-39MS. Neskôr bol použitý aj v lietadlách L-59 a

Jak-130 (AermacchiM-346).

Obr. 1.2 Schémamotora DV-2.

Zvláštnosťoumotora DV-2 je pomerne veľký obtokový pomer (m = 1.5) oproti motorom

podobnej kategórie. Napríkladmotor Honeywell TFE1042 (vojenské označenie F124)má

obtokový pomerm = 0.472. Spolu s vysokým stlačením v kompresore (18 u DV-2 oproti

19.4 u F124) sa to odráža na nízkej špecifickej spotrebe paliva pri motore DV-2 (0.06

kg/(Nh) na maximálnom režime), v porovnaní s konkurenciou (okolo 0.08 kg/(Nh)).

Vysoký obtokový pomer však znamenámenší prietok horúcim traktomprvéhoprúdu (20.6

kg/s u DV-2 oproti 28.9 u F124), čo je zrejme hlavný dôvod nižšieho ťahu (21.6 kN oproti

29.0 kN). K tomu čiastočne prispieva aj teplota pred turbínou 1 196 ◦C, ktorá je menšia

ako u konkurencie (okolo 1400 ◦C).

8

LF KLI

Najdôležitejšie údaje omotore DV-2 (max. režim,MŠA h = 0m):

suchá hmotnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474 kg

ťah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.6 kN

hmotnostný prietok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.5 kg/s

otáčky nízkotlakého rotora . . . . . . . . . . 13 365.5 ot./min

vstupný priemer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 645mm

obtokový pomer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5

celkové stlačenie v dúchadle . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.38

celkové stlačeniemotora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

teplota pred turbínou . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 196 ◦C

špecifická spotreba paliva . . . . . . . . . . . . 0.06 kg/(Nh)

projektovaná účinnosť ηizII . . . . . . . . . . . . . . . . . 0.845

1.1.5 Dúchadlomotora DV-2

Vzhľadom k veľkým rozmerom dúchadla je pri maximálnych otáčkach obvodová rýchlosť

koncov lopatiek 450 m/s. Pri vektorovom sčítaní s axiálnou rýchlosťou 128 m/s vychá-

dza na koncoch lopatiek celková rýchlosť 468 m/s relatívne voči lopatke. To znamená že

prúdenie na koncoch lopatiek je supersonické (M≈1.4). S prihliadnutím na existenciu

subsonického prúdenia v ostatných častiach, je vhodnejšie celkové prúdenie v dúchadle

označiť ako transsonické.

Veľkosť dúchadla spôsobuje aj ďalšiu komplikáciu – variabilná veľkosť obvodovej štrbiny

medzi koncom lopatiek a vonkajším plášťom motora. Kvôli veľkému zaťaženiu odstredi-

vými silami dochádza pri maximálnom režime k takému natiahnutiu materiálu lopatky,

že sa jej koniec dotkne obvodovej upchávky a eliminuje tak obvodovú medzeru takmer

na nulu. V kľudovom stave je veľkosť medzery okolo 1.5 mm. Táto veľkosť medzery pri

danej štíhlosti lopatiek spôsobuje nezanedbateľné straty, ktoré sa menia s otáčkami, čo

sťažuje proces výpočtu charakteristík. Veľkosť obvodovej medzery je závislá na veľkosti

9

LF KLI

odstredivej sily komplikovaným spôsobom, pretože okrem ťahového namáhania, dochá-

dza aj k ohybu komplikovaného priestorového tvaru lopatky. Pre odhad veľkosti obvodovej

medzery v tejto práci je použitá jednoduchá kvadratická závislosť na otáčkach.

Obr. 1.3 Pohľad na 15-lopatkové dúchadlomotora DV-2.

1.2 Druhy strát

Straty v dúchadlemožno rozdeliť nasledovným spôsobom [Wright, 1999, s. 259]:

– profilové straty lopatiek (trenie a odtrhnutie prúdu)

– straty vplyvommedznej vrstvy na koncových stenách (kútové víry) a vplyvom obvo-

dovej medzery na konci lopatky

– straty v rázových vlnách

– straty obtekaním prvkov tlmiacich a vystužujúcich lopatky

Prvédvadruhy strát súnajvýznamnejšie amaloby sa snimiuvažovať užpri návrhu, pretože

obmedzujú nielen výkonové parametre v návrhovej oblasti, ale aj celkový rozsah oblasti

10

LF KLI

stabilnej práce (danýmasívnymodtrhnutímprúdenia a pumpážou). Podobný rozbor strát,

aj s výpočtom, je rozvedený v [Cohen et al., 1996, s. 208], [Boyce, 2001, s. 313] a [Wright,

1999, s. 260–266].

Za zmienku stojí údaj o znížení účinnosti o 1–2% pri zväčšení obvodovej medzery o 1%

[Walsh a Fletcher, 2004, s. 177], ale ten istý prameň zároveň dodáva, že presná hodnota sa

líši v závislosti od návrhu kompresora, a treba ju určiť výpočtami a skúškami.

1.3 Termodynamická účinnosť dúchadla

Účinnosť je vyjadrením úžitku (obvykle využiteľnej energie) v pomere k vloženej energii.

Termodynamickú účinnosť v prípade tepelného cyklu možno definovať priamočiaro, ako

pomer získanej práce k dodanému teplu. Pre výpočet práce otvoreného cyklu nie je možné

použiť klasickú rovnicu zachovania energie:

dU = dQ+ dW

kde U je vnútorná energia, Q je privedené teplo, W je privedená práca. Dôvodom je

to, že tepelné stroje s otvoreným cyklom sú prepojené s atmosférou, takže privedením

práce pracovnémumédiu dochádza aj k ovplyvňovaniu okolia. Preto sa s výhodou používa

upravená rovnica, kde na ľavej strane pribudol potenciál tlakových síl okoliaU + p V = H

a výsledná veličinaH sa nazýva entalpia [Cohen et al., 1996, s. 46]. Modifikovaná rovnica

zachovania energie vyzerá nasledovne:

dH = dQ+ V dp

Integrál V dp na pravej strane predstavuje tzv. technickú prácu, ktorá vyjadruje skutočnú

prácu v otvorených dejoch (t. j. dejoch kde je vnútorný priestor stroja prepojený s atmosfé-

rou). Táto rovnica je však stále použiteľná iba pre klasickú termodynamiku rovnovážnych

dejov. V reálnych dejoch dochádza v dôsledku prúdenia plynu k výmenám medzi kinetic-

kou energiou plynu a entalpiou. Tomá významný dopad na definíciu vratných dejov.

11

LF KLI

Vklasickej termodynamike saneuvažuje spohybommédia, pretodostatočnoudefiníciou

vratnosti deja je tepelná izolácia odokolia (dQ = 0). Takýdej sapotomnazývaadiabatický

(z gréčtiny – bez prívodu tepla).

Pre dej s konečnou rýchlosťou prúdenia média, je pre vratnosť deja nutné navyše zabez-

pečiť, že nedôjde k nevratnej premene kinetickej energie prúdiacehomédia na teplo (k tzv.

disipácii). Taký dej sa potom nazýva izentropický (vo význame „bez zmeny entropie“).

Izentropický dej je preto univerzálnejšia definícia vratného deja, pretože uvažuje nielen

termodynamické efekty (prívod tepla tepelným prenosom), ale aj aerodynamické efekty

(generovanie tepla trením vmedznej vrstve, alebo turbulentným vírením).

Na základe definície izentropického deja, možno ku každej termodynamickej stavovej

veličine definovať jej dvojníka s prívlastkom celkový (alebo stagnačný), ktorý zodpovedá

stavu tejto veličiny pri izentropickom zbrzdení na nulovú rýchlosť. Napr. celková entalpia

Hc je rovná pôvodnej entalpiiH zvýšenej o pôvodnú kinetickú energiu plynu zbrzdeného

z rýchlosti u:

Hc = H +12mu2

Po vydelení hmotnosťou dostaneme vzťah pre špecifickú celkovú entalpiu hc:

hc = h+u2

2

Ostatné stavové veličiny je možné vypočítať na základe entalpie. Vzťah pre celkovú teplotu

Tc je:

Tc = T +u2

2cp

kde cp je špecifická tepelná kapacita pri konštantnom tlaku. (Platí za predpokladu kon-

štantnej hodnoty cp). Vzťah pre celkový tlak pc je:

pc = p

(TcT

) γγ−1

kde γ je adiabatický koeficient (γ = cpcv).

Uvedený vzťah pre celkový tlak sa odlišuje od bežne používaného približného tvaru

12

LF KLI

pc = p + (1/2) % u2, ale pre nestlačiteľné prúdenie (M < 0.3), dávajú obidva zhodné

výsledky.

Význam celkových veličín spočíva v tom, že je možné používať termodynamické dia-

gramy aj pre reálne deje v pohybe, len namiesto statických veličín sa zakresľujú celkové.

Na základe horeuvedených definícií je možné definovať účinnosť stláčania v dúchadle.

Z hľadiska účinnosti cyklu je ideálnym procesom stláčania adiabatická zmena, presnej-

šie izentropická zmena. V reálnom procese dochádza, v dôsledku molekulárneho trenia,

k vytváraniu disipatívneho tepla, čo zvyšuje potrebnú technickú prácu na dané stlačenie.

Vhodným vyjadrením účinnosti je preto pomermedzi prácou potrebnou na stlačenie v ide-

álnom deji a prácou potrebnou na to isté stlačenie v skutočnom deji. Pretože ideálnym

cyklom je izentropický dej, definovaná je izentropická účinnosť ηiz [Cohen et al., 1996, s.

48], [PS-TSb, 1988, s. 8]:

η iz =wc izwc

=∆hc iz∆hc

=T2c iz − T1cT2c − T1c

=π

γ−1γc − 1T2cT1c− 1

(1.1)

kdew je špecifická práca,h je špecifická entalpia,π je stlačenie v dúchadle, γ je adiabatický

koeficient (pre dvojatómové plyny γ = 1.4, pre jednoatómové plyny γ = 1.66).

1.4 Prúdenie v dúchadle

Akouž bolo spomenuté pri charakteristike dúchadla, prúdenie na obvode lopatiek primax.

otáčkach je úplne supersonické. Prúdenie v koreni lopatiek je subsonické. Z toho jemožné

predpokladať existenciu zložitého systému rázových vĺn. Prítomnosť kolmých rázových

vĺn v medzilopatkovom priestore spôsobuje tzv. aerodynamické upchatie – stav pri istej

hodnote prietoku, kedy už ani úplným odstránením škrtenia výstupu nie je ďalej možné

zvýšiť hmotnostný prietok.

13

LF KLI

1.4.1 Výkonové charakteristiky dúchadla

Výkony dúchadla sa zakresľujú v podobe tzv. škrtiacich charakteristík (angl. characte-

ristics, alebo maps), kde vodorovná os predstavuje hmotnostný prietok. Najdôležitejšou

škrtiacou charakteristikou je charakteristika stlačenia (presnejšie celkového stlačenia) kde

zvislá os predstavuje stlačenie, t. j. pomer tlakov za a pred dúchadlom (obr. 1.4). Čiary cha-

rakteristík sa zakresľujú pri konštantných otáčkach.

Zmena prietoku pri meraní charakteristík sa dosahuje privieraním výstupu (škrtením).

Základný tvar charakteristiky stlačenia je danýdo značnejmiery kinematicky–geometriou

lopatiek. Priesečník krivky stlačenia s horizontálnou osou zodpovedá úplne otvorenému

výstupu, kde sa dosahuje maximálny prietok. Vyšší prietok môže byť dosiahnutý iba nú-

teným prietokom. So zväčšovaním škrtenia dochádza k poklesu prietoku a zvyšovaniu

výstupného tlaku. S postupným znižovaním prietoku dochádza aj k zväčšovaniu relatív-

neho uhla pritekania vzduchu na lopatky dúchadla, čo má za následok separáciu prúdenia

na podtlakovej strane lopatky a, kvôli tomu spôsobeným stratám, postupný odklon krivky

k nižším hodnotám tlaku. Za maximálnou hodnotou stlačenia, v oblasti opačného sklonu

krivky, dochádza k strate stability. Je síce možné zmerať úplne zaškrtený bod (bod s nu-

lovým prietokom), ale prechod z normálneho režimu je sprevádzaný náhlym rozpadom

celkového obrazu prúdenia. V prípade zaradenia dúchadla do série s ďalšími stupňami,

nestabilita spolu so zložitejšou dynamikou prúdenia spôsobuje periodické zvrátenie smeru

prúdenia, často s deštruktívnymi následkami na konštrukciu lopatiek. Posledne popísa-

nému javu sa hovorí pumpáž (angl. surge).

Tvar škrtiacej krivky celkového stlačenia sa líši v závislosti na otáčkach. Pri malých

otáčkach, kde je prúdenie v celom objem subsonické, charakteristika v stabilnej oblasti má

jednoduchý tvar s postupným zväčšovaním strmosti so zvyšujúcim sa prietokom.

V praxi však dúchadlá väčšinou pracujú pri otáčkach, kedy sa objavujú oblasti s super-

sonickým prúdením. Pri zväčšovaní prietoku dochádza k aerodynamickému upchávaniu

(angl. choke)medzilopatkových kanálov kolmou rázovou vlnou, ktorej rozsah sa postupne

14

LF KLI

hmotnostný prietok

n = konšt.

stlačenie

aerodynamické upchatie

hmotnostný prietok

n = konšt.

stlačenie

v podzvukovej oblasti s rázovými vlnami

1 1

dotyčnica dotyčnica

pumpáž

straty separáciou straty separáciou

pumpáž

0 0

ideálny (kinematický) priebeh ideálny (kinematický) priebeh

Obr. 1.4 Škrtiaca charakteristika stlačenia dúchadla.

zväčšuje od obvodu smerom k náboju. Prejavuje sa to strmým ukončením priebehu v ob-

lasti max. prietoku. Tento jav je výraznejší pri väčších otáčkach. Hodnota prietoku pri

aerodynamickom upchatí sa zvyšuje so zvyšujúcimi sa otáčkami.

1.4.2 Kinematika prúdenia v lopatkovej mreži

Lopatková mreža predstavuje pravidelné, opakujúce sa, usporiadanie aerodynamických

profilov alebo lopatiek. Je základným modelom lopatkových častí v rotačne symetrických

strojoch a takou je aj skúmané dúchadlo.

Základná vlastnosť, ktorá má vplyv na voľbu výpočtových nástrojov a okrajových pod-

mienok vyplýva z kinematiky prúdenia v lopatkovej mreži. Rozdiel medzi prúdením v lo-

patkovejmreži a okolo izolovanéhoprofilumožnodemonštrovať na obraze potenciálového

prúdenia, kde vplyv lopatiek profilov je nahradený izolovanými vírmi s cirkuláciou úmer-

nou uhlu nábehu profilu (obr. 1.5).

Prúdenie okolo izolovaného profilu s cirkuláciou Γ je v potenciálovom prúdení dané

tangenciálnou rýchlosťou víru vt podľa vzorca:

vt =Γr

kde r je polomer vzdialenosti od víru. Zložka rýchlosti vy, kolmá na smer nerozrušeného

15

LF KLI

izolovaný profil lopatkovámreža

cirkulácia

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Γ

Obr. 1.5 Kinematika prúdenia okolo izolovaného profilu a v lopatkovej mreži.

prúdu je daná iba veľkosťou cirkulácie, podľa vzorca:

vy =x

x2 + y2· Γ

kde x a y sú zodpovedajúce horizontálne a vertikálne zložky relatívneho vektora polohy,

voči víru. Podľa tohto vzťahu, má rozrušenie prúdu vírom, vyjadrené zložkou rýchlosti vy,

asymptotický priebeh so zánikom v nekonečne.

Prúdenie okolo lopatkovej mreže je možné nahradiť idealizovanou mrežou s kontinuál-

nym rozmiestnením vírov v rovine mreže, s cirkuláciou Γ charakterizovanou diferenciál-

nou hustotou cirkulácie γ definovanou vzťahom γ = dΓ/ds, kde ds predstavuje lineárny

úsek mreže. Príspevok elementárnej cirkulácie na úseku mreže dΓ = γ · ds ku kolmej

zložke rýchlosti dvy je definovaný analogicky prípadu s izolovaným profilom:

dvy =x

x2 + y2· dΓ =

x

x2 + y2· γ ds

Po integrovaní pre nekonečne dlhú lopatkovúmrežu:

vy =∫ +∞

−∞

x

x2 + y2· γ ds = ±γ ·

[arctan

( sx

)]s=+∞s=−∞

= ±γ · π

Je vidieť, že rozrušenie prúdu mrežou má úplne iný charakter – pred aj za mrežou existuje

rovinné prúdenie s navzájom opačnou kolmou zložkou rýchlosti vy.

16

LF KLI

Zatiaľ čo vplyv izolovaného profilu na prúdenie siaha do pomerne veľkej vzdialenosti a

má asymptotický priebeh, vplyv jednotlivých lopatiek mreže sa vzájomne ruší už v malej

vzdialenosti a vo väčšej vzdialenosti je prúdenie rovinné. Tento zásadný rozdiel neumož-

ňuje na analýzu prúdenia okolo lopatiek mreže použiť bežné nástroje určené na analýzu

profilov v rovinnom prúdení. Na druhú stranu, to uľahčuje definíciu okrajových podmie-

nok, pretože okraj vstupnej oblasti výpočtového modelu môže byť ukončený pomerne

blízko lopatky amôže byť na ňom definované homogénne rýchlostné pole.

1.4.3 Druh prúdiacehomédia

Potenciálovéprúdenieneumožňuje analýzuprúdenia skutočného transsonickéhodúchadla.

Základnú úroveň výpočtov tvoria až Eulerove rovnice. Eulerove rovnice uvažujú idealizo-

vanémédiumbez viskozity. Tento druh idealizácie umožňuje analýzu efektov stlačiteľnosti,

ktoré sú v transsonickej oblasti dominantné. Vyžaduje to však spolu s rovnicou hybnosti

riešiť aj rovnicu energie.Na to je potrebný termodynamickýmodelmédia vpodobe stavovej

rovnice ideálneho plynu.

Najzložitejším druhom výpočtovýchmodelov sú tie, ktoré uvažujúmédium s viskozitou.

Takémodely umožňujú riešiť aj takédetaily prúdenia, ktoré súvisia s javmi vmedznej vrstve

a vzájomným ovplyvňovaním viskozitných javov a javov stlačiteľnosti. Takéto modely sú

založené na riešení nezjednodušenýchNavier-Stokesových rovníc, alebo Boltzmannových

rovníc.

1.5 Modelovanie a experiment

1.5.1 Situácia vo vede

Empirická veda, tak ako ju dnes chápeme, predstavuje spoznávanie objektívnej skutoč-

nosti (pravdy) pomocou postupov rešpektujúcich logiku. Tieto znalosti sú reprezentované

teóriami, pričom objektívne testovanie týchto teórií pomocou experimentov a pozorovaní

17

LF KLI

je súčasťou celého snaženia. Proces vytvárania teórií (niekedy nepresne nazývaný ako čistá

veda, alebo teória) a proces empirického testovania (experimenty a pozorovania) tvoria

dve rôzne strany vedy.

Veľmi dôležitým nástrojom vedy jemodelovanie - napodobňovanie skutočnosti, vytvára-

nie modelov. Modelovanie sa využíva jednak pri vytváraní teórií (hypotéz), ale aj v procese

experimentov. V prípade teórií je výsledkomnejaký zjednodušený analytickýmodel a v prí-

pade experimentov sa využívajú princípy fyzikálneho modelovania. Tie nemajú za cieľ

zjednodušenie fyzikálneho javu, ale stanovenie pravidiel, na základe ktorých môžu byť

výsledky aplikovanémedzi dvoma podobnými javmi.

Po stáročia bol rozvoj empirickej vedy závislý na analytických modeloch a na ich ove-

rovaní experimentom a pozorovaním. Celý postup spočíval v tom, že pomocou teórie

založenej na analytických modeloch sa stanovovali predpovede, a následne sa tieto pred-

povede overovali empiricky, v kontrolovaných experimentoch, alebo dlhodobým pozoro-

vanímmnožstva podobných javov.

Situácia sa však radikálne zmenila s rozvojom kapacity počítačov v niekoľkých posled-

ných desaťročiach. To umožnilo pomocou numerickej matematiky skúmať tak zložité mo-

dely, že to nemalo obdobu s klasickými analytickými postupmi a zároveň to umožňovalo

mať pod kontrolou úplne všetky podmienky skúmaného javu, nie ako pri pozorovaní a

experimente. Numerické modelovanie sa vydelilo ako samostatný nástroj poznania, ktorý

dopĺňa teoretické a empirické postupy.

Pred príchodompočítačov a rozvinutých numerickýchmetód sa za hodnoverné potvrde-

nie teórie považovalo ibapozorovanie a experiment.Dnes tútoúlohuvmnohýchprípadoch

preberá sledovanie správania numerických modelov – simulácia. Využíva sa ten fakt, že

ani experiment, ani numerická simulácia nie sú schopné poskytnúť spoľahlivé výsledky vo

všetkých prípadoch, ale vhodne sa dopĺňajú a zostáva tak menšia oblasť javov, ktorú nie

je možné hodnoverne overiť pri vynaložení prijateľných nákladov. Vyjadrením tejto duality

je aj to, že numerická simulácia sa často označuje aj ako numerický, alebo počítačový

experiment.

18

LF KLI

1.5.2 Situácia v technike

Technika tvorí inú oblasť ľudskej činnosti ako veda. V technike je dôraz na aplikované

využitie znalostí. Ak všakmá byť návrh nového technického diela úspešný, musí sa opierať

o fyzikálnu pravdu, preto sa technika s vedou prelínajú – technika využíva objektívne

vedecké závery a veda čerpá z techniky inšpiráciu pre nový výskum. Na rozdiel od vedy

sa však v technike používajú aj postupy, spoločné s ostatnými oblasťami ľudskej činnosti,

ktoré nemožno nazvať vedecké (nie je možné overiť ich správnosť), ale sú založené na

nekodifikovanej skúsenosti. Takéto postupy obyčajne nazývame slovom umenie.

Okolnosti nútia súčasnú techniku používať čoraz viac vedecké metódy – dôvodom je

napr. snaha investorov o znižovanie rizika aj za cenu vyšších počiatočných nákladov, so-

fistikovanosť dnešných technológií a zvyšovnie kvality spolu s optimalizáciou nákladov.

(Odráža sa to aj na súčasnej transformácií pôvodne polytechnického vzdelávania na vyso-

kých školách na jednotnú formu založenú podľa vzoru tradičných vedných odborov (fyziky

apod.).

Nikdy však nebudemožné v technike potlačiť prvok umenia, preto sa aj klasické vedecké

postupy používajú v technike odlišne. Napríklad, dnes majú v technike veľké slovo nume-

rické nástroje modelovania. Používajú sa však omnoho voľnejšie ako vo vede a aplikujú

sa často aj prípadoch, kedy by to bolo vo vede sporné. Ich použitie je založené na dôvere,

ktorá vyplýva z vedeckých záverov a preto sa používajú aj v prípadoch, kedy sú ich vý-

sledky nie celkom spoľahlivé. Dôvodom je často fakt, že jednoducho neexistujú inémetódy

a často stačí iba hrubý odhad alebo porovnanie viacerých variantov riešenia bez dôrazu na

presnosť výsledkov. Pri takomto nasadení veľmi často rozhoduje skúsenosť obsluhy týchto

pokročilých nástrojov, takže tu hrá značnú úlohu umenie.

19

LF KLI

1.5.3 Analytickémodely (teória)

Podstata analytického postupu pri modelovaní spočíva, ako už bolo spomenuté, na mate-

matických a logickýchpostupoch. Podstatou tohtopostupu je konštrukcia teórie, ktorou sa

snažíme uchopiť realitu. To znamená, že teória musí byť využiteľná nielen pre vysvetlenie

existujúcich javov, ale aj pre ich predpovedanie.

Pretože objektívna skutočnosť je aj po najnutnejších zjednodušeniach (ako je napr. prin-

cíp kontinuity média) rádovo komplexnejšia ako kapacita nášho mozgu, je nutné zo všet-

kých fyzikálnych princípov majúcich vplyv na sledovaný jav zachovať iba tie, ktoré sú

v danom prípade dôležité. Tým sa dopúšťame chyby, ktorej hodnovernú kvantifikáciu

môže poskytnúť iba fyzikálna empíria alebo numerický experiment.

Tento teoretický postup má v praxi veľkú výhodu, lebo celý jav možno redukovať na nie-

koľko parametrov, čo sa využíva pri optimalizácii. Použitie analytickej matematiky má za

následok spojité riešenie, ku ktorému sa dá často nájsť inverzný postup (opak analýzy),

ktorý sa s výhodou používa na riešenie reverzných problémov – návrhu. Typickým príkla-

dom je využitie konformného zobrazenia pri návrhu tvaru aerodynamických profilov, na

základe tlakového rozloženia.

Teoretický postupmá nasledovné charakteristiky:

• výsledná teória je aplikovateľná iba pre uvažovaný typ geometrie,

• odvodenie teórie je najzdĺhavejšou časťou procesu,

• získanie výsledkov na súčasných počítačoch trvá rádovo sekundy.

1.5.4 Fyzikálny experiment

Slovom experiment sa tu rozumie jednak fyzikálny experiment, ale aj fyzikálne pozoro-

vanie (meranie pri nekontrolovaných podmienkach). Do nástupu počítačov sa za jediné

hodnoverné potvrdenie teórie považoval experiment, pretože, akákoľvek zložitá teória je

20

LF KLI

vždy iba zjednodušením reality, a realitu v jej celej komplexnosti nebudeme vedieť nikdy

spočítať.

Konkrétne v aerodynamike však pri experimente nie vždy dokážeme ovládať všetky

vplyvy, takže presnosť môže byť paradoxne niekedy horšia ako pri výpočte. To je možné

demonštrovať na príklade aerodynamického odporu laminárnych profilov.

Ďalší problém je v otázkemiery prijateľných nákladov na experiment. Napr. problémom

experimentov s kompresormi sú obrovské potrebné príkony, napr. podľa [Cohen et al.,

1996, s. 227] príkon kompresoru motora Olympus 593 z Concordu je 75 MW (25 MW

pre nízkotlakú a 50 MW pre vysokotlakú časť). V prípade motora DV-2 ide orientačne o 7

MW príkonu len do dúchadla. Ak potrebujeme zmerať úplné charakteristiky kompresora

(dúchadla), tento príkonmusí byť privedený z elektromotora, lebo pri inom druhu pohonu

nevieme riadiť krútiaci moment v celom rozsahu otáčok a prietokov. Elektromotory s tak

vysokým výkonom nie sú bežne dostupné, preto sa pri meraniach niekedy používa spria-

hnutie kompresora s turbínou (meranie namotore). Pri spriahnutí kompresora s turbínou

sme obmedzení nielen otáčkami, kedy je táto dvojica schopná samostatne pracovať, ale

aj prietokmi, kedy ešte nedochádza k nestabilite prúdenia s potenciálne deštruktívnymi

následkami .

Experimenty v zmenšenejmierke nie jemožné realizovať, ak potrebujeme súčasne splniť

viacero rôznych kritérií podobnosti (napr. súčasne zachovať Reynoldsovo aj Machovo

číslo).

1.5.5 Numerickémodely a simulácia

Ako už bolo spomenuté,modelovanie je možné opísať ako napodobovanie, alebo vytvára-

niemodelov. Slovo simulácia sapoužíva vo význame štúdia chovaniamodelu. To implikuje

potrebumodelu, pri ktoromvieme získať výstupy v reálnomčase, automatizovane.Najčas-

tejšie sú také modely realizované na počítači, preto sa pojem simulácia podvedome spája

s počítačovýmimodelmi, či už analytickými, alebo numerickými.

21

LF KLI

Numerická matematika kedysi tvorila nástroj pre riešenie niektorých problémov v tech-

nike, ktoré boli zjednodušením reality – napr. riešenie silovej rovnováhy v priehradových

nosníkoch. Na potvrdenie úspešnosti návrhu sa však požadoval experiment so skutočnou

konštrukciou.

Použitie numerickej matematiky bolo v minulosti pracné. Rozvoj numerických metód a

rozšírenie ich aplikácie na rádovo komplexnejšie prípady bolo umožnené až s automatizá-

ciou výpočtov pomocou počítačov. Komplexnosť riešených problémov napredovala s tým,

ako sa rozvíjala kapacita počítačov. Typickým príkladom nasadenia numeriky v technike

je výpočet napätosti a deformáciemateriálu (metódy CAE, alebo CSD) a výpočet prúdenia

(metódy CFD). Približne od 70tych rokov sa pomocou numerických modelov riešia prob-

lémy pomocou Navier-Stokesových rovníc prúdenia, čo im umožnilo nahradiť tradičnú

nezastupiteľnú úlohu experimentu vmnohých oblastiach aerodynamiky.

Najväčšou bariérou rozšírenia aplikácie výsledkov numerických metód v aerodynamike

je v súčasnosti:

• hodnoverné modelovanie turbulencie (dôležité pre presný výpočet aerodynamic-

kého odporu a strát v turbínových strojoch),

• zníženie numerickej difúzie pri zachovaní stability (dôležité pre výpočet spaľovania

pri vysokých rýchlostiach –motory SCRAMJET) [Anderson, 1995].

Oblasťou, v ktorej sú kontrolované experimenty prakticky neuskutočniteľné, a nezastu-

piteľnú úlohu majú numerické modely, je napríklad aerodynamika kozmických návrato-

vých prostriedkov.

Numerická simuláciamá, v porovnaní s klasickými analytickýmimetódami, nasledovné

charakteristiky:

• numerické nástroje sú bez modifikácie použiteľné na viacero tried problémov (ja-

vov), často sú použiteľné interdisciplinárne (v aerodynamike, meteorológii, oceáno-

lógii, astrofyzike, energetike),

22

LF KLI

• numerickémodelymajú potenciál nahradiť v mnohých prípadoch experimenty,

• zložitosťou sa veľmi blíži realite – zjednodušenia sú úmerné iba možnostiam počíta-

čov (veľký pokrok v kapacite sa čaká s nástupom kvantových počítačov).

Existuje rozdiel v použití numerickýchmetód (napr. CFD) vo vede a v technike.

Vo vede sa použitie CFD sústreďuje na vylepšovanie spoľahlivosti a rýchlosti konver-

gencie numerických metód, hľadanie nových metód s menšou numerickou difúziou a vy-

lepšovanie modelov turbulencie s cieľom ich lepšej korelácie so skutočnosťou. Nezriedka

sa výsledky nových numerických postupov neoverujú oproti experimentu, ale oproti iným

numerickým výsledkom, ktoré už boli overené oproti experimentu. Typické je to pri po-

rovnávaní s výsledkami modelovania turbulencie pomocou metód DNS (priame riešenie

Navier-Stokesových rovníc). Dôvodom je to, že experiment nemôže väčšinou poskytnúť

takú úroveň detailných informácií ako numerický výpočet (pri zadaných nákladoch na

výsledky).

V technike je použitiemetód CFD iba aplikované. Ak sa rieši zhoda s experimentom, tak

iba pre posúdenie rozsahu chyby – nie je cieľom vyvíjať lepšie metódy. Často sa numerické

výsledky neoverujú – buď nie je s čím overiť (experiment je uskutočniteľný až s hotovým

technickým dielom), alebo sa predpokladá že úroveň chyby je zhodná s referenčným (ty-

pickým) výpočtom, ktorý je vlastne výpočtom, ktorý bol vykonaný s podobnou geometriou

objektu, a bol dôkladne porovnaný s experimentálnymi výsledkami. Predpokladá sa po-

tom, že validita referenčného výpočtu platí pre celú triedu podobných problémov. Bez

takéhoto zjednodušenia by bola aplikácia metód nepraktická. Ďalším znakom aplikácie

CFD v technike je, že sa spolieha na viacero rôznych modelov turbulencie (pretože lep-

šie nie sú k dispozícii) a očakáva sa, že používateľ týchto nástrojov dokáže zhodnotiť

aplikovanosť jednotlivých modelov v konkrétnom prípade, na základe predchádzajúcich

skúseností. Kvôli tomu vznikajú rôzne návody a porovnávacie štúdie, na ktorých vypraco-

vaní spolupracuje často viacero subjektov z priemyslu – viď [3rd AIAA CFDDPW, 2006],

[ERCOFTACBPG], [QNET-CFD].

23

LF KLI

1.6 Fyzikálnemodelovanie a podobnosť

Nie vždy je možné uskutočniť experiment so zariadením v plnej mierke, alebo v skutoč-

ných podmienkach. V takých prípadoch sa používa model v mierke, médium s inými pa-

rametrami, alebo dokonca aj úplne iný fyzikálny princíp (nahradenie prúdenia kvapaliny

elektrostatickým poľom). Snažíme sa tým napodobniť pôvodný fyzikálny jav, pomocou

nejakého modelu. Týmito procesmi sa zaoberá fyzikálne modelovanie. Medzi analytic-

kými a numerickými modelmi na jednej strane a fyzikálnymi modelmi na druhej strane, je

diametrálny rozdiel. V prvom prípade sa dopúšťame zásadného zjednodušenia, zatiaľ čo

v druhom ponechávame komplexnosť reality, iba meníme jej konkrétnu podobu. Pravidlá

fyzikálneho modelovania slúžia pre stanovenie kritérií, ktoré treba splniť, aby bolo možné

vzájomne porovnávať a aplikovať závery medzi dvoma fyzikálnymi javmi v odlišnej roz-

merovej mierke, alebo pri odlišných podmienkach. Fyzikálne modelovanie má aj opačné

využitie – ako základ pre porovnanie dvoch javov v rôznych podmienkach.

Fyzikálne modelovanie využíva podobnosť medzi dvoma reálnymi systémami. Jeden

z nich predstavuje predlohu (dielo, prototyp), druhý zasa obraz (model). Predloha amodel

môžu byť založené na úplne iných fyzikálnych zákonoch.Napríkladmodelovanie prúdenia

tekutiny siločiarami elektrostatického poľa. Taký model nazývame aj ako analóg, lebo je

založený na analógii – matematickej izomorfii. Matematickou izomorfiou nazývame stav,

keď je možné dva rôzne fyzikálne javy popísať tým istýmmatematickýmmodelom.

Teória podobnosti vysvetľuje (umožňuje riešiť):

• zákony (kritériá) podobnosti – podobnostné čísla (vzťahy medzi vlastnosťami diela

amodelu)

• bezrozmerové čísla (hodnoty prenositeľnémedzi podobnými dielami amodelmi)

Tieto otázky vyjadrujú samotnú uskutočniteľnosť modelovania. Prakticky umožňujú riešiť

tieto úlohymodelovania:

• metodickú príprava experimentu,

24

LF KLI

• určenie požiadaviek namodel,

• určenie veličín dôležitých premeranie,

• spracovanie výsledkov,

• určenie rozsahu platnosti výsledkov.

Zákony podobnosti jemožné odvodiť rozboromdiferenciálnych rovníc, alebo rozmerovou

analýzou fyzikálnych jednotiek (BuckinghamovΠ-teorém).

1.6.1 Základné aerodynamické kritériá podobnosti

Pre splnenie úplnej (t. j. mechanickej) podobnosti prúdenia v dúchadle je nutné splniť

predovšetkým aerodynamické kritériá podobnosti, ktoré vyjadrujú podobnosť aerodyna-

mických síl. Pre obvyklé veľkosti dúchadiel sú dôležité dve kritériá:

Reynoldsovo číslo (Re) – vyjadruje pomer medzi viskóznymi a zotrvačnými silami. Pri

prúdení s vyšším Re dochádza k vzniku turbulencie v medznej vrstve, alebo k rastu

jej intenzity. To má vplyv hlavne na veľkosť oblasti stien s odtrhnutým prúdením a

tým aj veľkosť povrchových aerodynamických síl.

Re =% uL

µ

kde % je hustota média, u je rýchlosť prúdenia, L je charakteristický rozmer, µ je

viskozita.

Machovo číslo (M) – vyjadruje vplyv stlačiteľnosti prúdiaceho média. PriM>1 sa obja-

vujú rázové vlny, ktoré zásadným spôsobom ovplyvňujú podobu prúdenia.

M =u

c=

u√γ RT

kde u je relatívna rýchlosť prúdenia (voči obtekanému objektu), c je rýchlosť zvuku

v prúdiacommédiu, γ je adiabatický koeficient,R je plynová konštanta, T je termo-

dynamická teplota.

25

LF KLI

Pri zmene rozmerov modelu nie je možné súčasne zachovať obidve kritériá podobnosti,

ak máme možnosť meniť iba rýchlosť prúdenia. Potrebné by bolo zmeniť najmenej jeden

ďalší parameter, čo je v praxi ťažko realizovateľné. Preto sa využíva fakt, že v konkrétnej

situácii nemajú všetky kritériá podobnosti rovnako silný vplyv na zachovanie podobnosti.

Napr. vo všetkých režimoch kdeM<0.3, je možné vplyv Machovho čísla úplne zanedbať

(ide o tzv. nestlačiteľné prúdenie). Podobne, akRe>∼ 106, hovoríme o tzv. nadkritickom

prúdení, kedy je možné vplyv Reynoldsovho čísla zanedbať v prospech významnejších

kritérií podobnosti. V takých prípadoch hovoríme o samopodobnosti (podľaRe,M , ...).

Dobrým príkladom samopodobnosti je prúdenie v axiálnych dúchadlách a kompreso-

roch leteckýchmotorov, kde je prúdenie nadkritické podľaRe (na rozdiel od turbín), takže

sa neuvažuje vplyv viskozity. Vďaka tomu je legitímne v plnej miere využiť kritérium po-

dobnosti podľaMachovho čísla, ktoré sa, na rozdiel odReynoldsovho čísla, prejavuje veľmi

výrazne.

26

LF KLI

1.6.2 Rozmerová analýza dúchadla

Ak nie je známa rovnica popisujúca daný problém, stanovenie bezrozmerových kritérií po-

dobnosti je odkázané na rozmerovú analýzu. Pri tom sa využíva BuckinghamovΠ-teorém.

Cieľom je, na základe analýzy rozmerov zúčastnených veličín, zoskupiť veličiny do bez-

rozmerových skupín (označených písmenom Π), ktoré sú vlastne hľadanými kritériami

podobnosti. Tým dochádza k transformácii neznámej funkcie pôvodných nezávislých veli-

čín na inú, ale ekvivalentnú funkciu bezrozmerových kritérií podobnosti. Charakteristikou

tohto procesu je, že počet kritérií podobnosti jemenší, ako vstupný počet pôvodných nezá-

vislých veličín. Fakt, že kritériá sú bezrozmerové čísla, napovedá, že podobné javy nemusia

mať rovnaké rozmery, alebo inak, že javy sú si podobné, keď sú definované rovnakým

bezrozmerovým vektorovým poľom (podľa neznámej, ale tej istej funkcie).

Najproblematickejšou časťou bezrozmerovej analýzy je výber nezávislých parametrov,

o ktorýchpredpokladáme, žemajú vplyvna sledovaný jav.Zahrnutie nepodstatných veličín

nemá nepriaznivé následky (iba komplikuje bezrozmerové čísla), ale opomenutie dôleži-

tých veličín má za následok stratu platnosti takto odvodených kritérií. Duplicitné veličiny

sa eliminujú automaticky v priebehu odvodzovania. V prípade dúchadla samôžeme oprieť

o skúsenosti s aplikovaním kritérií podobnosti v iných oblastiach aerodynamiky. Nasle-

dovný postup je použitý v [Cohen et al., 1996, s. 147–149], a kritériá takto získané sú

zhodné s tými, používanými pri návrhumotora DV-2.

Budeme predpokladať, že prúdenie v dúchadle nezávisí od Reynoldsovho čísla, preto

nebudemeuvažovať viskozitu.Ostatnénezávislé veličiny sú argumentmineznámej funkcie

popisujúcej prúdenie v dúchadle:

f (D, n, Q, p1c, p2c, R T1c, R T2c) = 0

kde D je priemer dúchadla, n je rýchlosť otáčania, Q je hmotnostný prietok, p1c a p2c sú

celkové tlaky pred a za dúchadlom, R je plynová konštanta a T1c s T2c sú celkové teploty

pred a za dúchadlom. Hustotu % nie je potrebné zahrnúť (bola by duplicitná), lebo je už

zahrnutá vo veličinách tlaku, teploty a plynovej konštanty (podľa stavovej rovnice plynu).

27

LF KLI

Teploty sú združené s plynovou konštantouR, pretože ich rozmer je ekvivalentný štvorcu

rýchlosti.

Funkcia obsahuje 7 nezávislých členov a vo všetkých členoch sa vyskytujú iba 3 rozmery

(rozmerové jednotky) – rozmery hmotnosti [m], dĺžky [L] a času [t]. Podľa Π-teorému

tomu zodpovedá 7 − 3 = 4 bezrozmerových skupín členov. Problém výpočtu bezrozme-

rových skupín nie je definovateľný jednoznačne, preto sa postupuje tak, že prvé skupiny

sa definujú ľubovoľne podľa potreby a na základe nich sa počítajú ďalšie bezrozmerové

skupiny. Jedinou požiadavkou je bezrozmerovosť skupín. Obvyklé usporiadanie bezroz-

merových skupín je vidieť v nasledovnej funkcii popisujúcej prúdenie v dúchadle:

f

(p2cp1c

,T2cT1c

,Q√RT1c

D2p1c,

nD√RT1c

)= 0 (1.2)

Prvé bezrozmerové číslo je celkové stlačenie πc:

πc =p2cp1c

(1.3)

Namiesto druhého bezrozmerového čísla sa používa iné bezrozmerové číslo, ktoré je

vlastne kombináciou prvého a druhého čísla. Jedná sa o izentropickú účinnosť ηiz, defi-

novanú v rovnici 1.1 (na str. 13):

η iz =π

γ−1γc − 1T2cT1c− 1

(1.4)

Tretie bezrozmerové číslo je bezrozmerový hmotnostný prietok a štvrté číslo sú bezrozme-

rové otáčky. Často sa vyskytuje potreba porovnávať merania uskutočnené na tom istom

zariadení, ale pri rôznych atmosférických podmienkach. Vtedy predstavujú veličinyR aD

konštanty, takže ich môžeme vo výrazoch vynechať a tretie a štvrté bezrozmerové čísla sa

zmenia na rozmerové, ale stále ostávajú kritériami podobnosti:

Q√T1c

p1c,

n√T1c

28

LF KLI

Tieto výrazy sú využiteľné pri porovnávaní, ale ich samotná hodnota nie je veľmi zmys-

luplná. Preto sa používa upravená podoba, kde hodnota predstavuje skutočnú hodnotu

prepočítanú na referenčné podmienky (výška 0 m, stav vzduchu podľa medzinárodnej

štandardnej atmosféry), t. j. T1c = 288 K, p1c = 101 325 Pa. Hovoríme tu o redukova-

ných (korigovaných) parametroch:

Redukovaný hmotnostný prietokQr:

Qr√

288 K101 325 Pa

=Q√T1c

p1c

Qr = Q ·√

T1c288 K

· 101 325 Pap1c

(1.5)

Redukované otáčky (rýchlosť otáčania) nr:

nr√288 K

=n√T1c

nr = n ·√

288 KT1c

(1.6)

Kvôli možnosti vzájomného porovnávania sa škrtiace charakteristiky vynášajú pomocou

redukovaných hodnôt: prietok-stlačenie pomocouQr a πc, prietok-účinnosť pomocouQr

a ηiz. Krivky charakteristík sa vynášajú pre konštantné hodnoty nr.

29

LF KLI

1.7 Experimentálnemetódy

Experimentálne metódy používané pri vývoji častí lopatkového stroja sa značne líšia od

metód používaných v aerodynamike lietadiel. Je možné ich charakterizovať podľa rôznych

kritérií. Podľa úrovne detailov prúdenia, ktoré sa pri experimente zisťujú možno rozlíšiť

dve skupinymetód:

• metódy pre zisťovanie detailov prúdenia (napr. meranie rýchlostného poľa, vizuali-

zácia prúdenia v priestore, vizualizácia obtekania povrchu)

• metódy premeranie integrálnych parametrov (napr.meranie závislosti typu prietok-

stlačenie)

V prvej skupine sa nachádzajú jednak klasickémetódy zviditeľňovania prúdu:

zviditeľňovanie pomocou dymu: vypúšťaním do prúdiaceho vzduchu,

zviditeľňovanie prúdenia vmedznej vrstve: hlavne metódou pomalytečúcich olejových

farieb (angl. oil-flowmethod).

Ich použitie v rotačných častiachmotora je však veľmi problematické. Prakticky sa používa

iba metóda s olejovými farbami, aj to iba v prípadoch, kde nie sú veľké odstredivé sily a

režim prúdenia je možné pomerne rýchlo prerušiť – typicky pri meraní na lopatkových

mrežiach. Inak dochádza k skresleniu výsledkov.

Do prvej skupiny možno zaradiť klasické pitot-statické trubicové sondy pre zisťovanie

lokálnej rýchlosti, ako aj ich náhrady:

Anemometria rozžeraveným vláknom: metóda slúžiaca ako náhrada v prípadoch kde

sa požadujemalá zotrvačnosť (turbulentné pulzácie rýchlosti)

Laser Doppler velocimetry, Laser Doppler anemometry (LDV, LDA): optickámetóda,

ktorá je nevyhnutná v prípade, žemiestomerania je mechanicky nedostupné

Tieto metódy sú nenahraditeľné, keď je potrebné merať tlakové pole. Pretože meranie

týmito sondami má lokálnu podobu, pre meranie poľa sa musia používať hromadne, v po-

30

LF KLI

dobe hrebeňov (1D) alebo matríc (2D). Prvú skupinu uzatvárajú metódy pre kontinuálne

meranie v 2D alebo 3D oblasti:

metódymerania rýchlostného poľa: umožňujú meranie vektorov rýchlosti naraz v jed-

nej rovine. Patrí sem

• Particle image velocimetry (PIV) – optická metóda, umožňujúca 2D skenova-

nie rýchlostí častíc vložených do prúdiacehomédia

• Molecular Tagging Velocimetry (MTV) – metóda podobná PIV, len namiesto

vložených častíc sa používa „značkovanie“ prúdiacehomédia laserom

• 3D Particle tracking velocimetry (3D-PTV) – rozšírenie PIVmetódy na skeno-

vanie rýchlostí v celom objeme, pre rekonštrukciu rýchlostí častíc sa používajú

fotogrammetrickémetódy

metódymerania tlakového poľa: v súčasnosti existujú tlakovo citlivé nátery (Pressure

Sensitive Paint – PSP), ktoré fungujú na rôznych princípoch.

Druhá skupina metód – meranie integrálnych parametrov (napr. meranie závislosti typu

prietok-stlačenie, alebo prietok-účinnosť) vyžaduje kvalitatívne jednoduchšie vybavenie

snímačmi – väčšinou si vystačíme s trubicovými snímačmi rýchlosti a elektrickými sní-

mačmi celkovej teploty, umiestnenými na vstupe a v podobe hrebeňov medzi jednotlivými

sekciamimotora.

Obidve skupiny sú však vyžadujú vhodný experimentálny objekt merania. V zásade je

možné merať na stacionárnych modeloch, alebo na rotačných modeloch. Stacionárne

modely sa využívajú v nasledovných prípadoch:

Modely lopatkovýchmreží nameracích tratiach: vhodné pre posúdenie vlastností pro-

filov lopatiek axiálnych turbín a kompresorov. Výsledky sú využiteľné hlavne u níz-

kych lopatiek, kde dominuje dvojrozmerný charakter obtekania. Hodnotí sa hlavne

charakter prúdenia na chrbte lopatky, kritický uhol nábehu a poloha rázovej vlny.

Priehľadnémodely spaľovacích komôr: používané pre zviditeľňovanie prúdu (napr. zví-

renie v oblasti palivových dýz).31

LF KLI

Rotačné modely slúžia hlavne pre meranie výkonov (integrálnych parametrov) jednotli-

vých častí motora. Modely bývajú oproti prototypu zmenšené – hlavne kvôli obrovským

nárokom na príkon, ktorý sa pohybuje rádovo v Megawattoch. (V prípade motora DV-

2 je model zmenšený 2.3-násobne). Merania na rotačných modeloch sú nenahraditeľné

aj pri posudzovaní lopatkovania dúchadiel a predných stupňov axiálnych kompresorov

s výrazným trojrozmerným prúdením a pri posudzovaní odstredivých kompresorov.

1.7.1 Meranie škrtiacich charakteristík dúchadla

Meranie škrtiacich charakteristík (charakteristiky prietok-stlačenie a prietok-účinnosť) sa

vykonávana rotačnommodeli dúchadla.Rotor jemechanickypoháňaný elektromotoroma

na výstup je pripojená komora s objemomrovnýmspaľovacej komore (kvôli napodobneniu

dynamickej odozvy pri pumpáži). Na konci komory je vytvorené regulovateľné škrtiace

ústrojenstvo, pomocou ktorého sa dosahuje zmena prietočného množstva vzduchu pri

konštantných otáčkach.

Pre zistenie výkonov sa snímajú otáčky rotora, teplota a tlak atmosféry, hmotnostný prie-

tok na vstupe (pomocou údaja o priemernej rýchlosti, a parametrov atmosféry) a pomocou

hrebeňových sond na výstupe: priemerný celkový tlak a celková teplota na výstupe.

32

LF KLI

1.8 Predstava tekutiny

Spôsob vytvárania analytických a numerických modelov závisí na predstave tekutiny – na

matematickommodeli tekutiny. Používajú sa dve predstavy tekutiny: podľa prvej predsta-

vuje tekutina spojité médium – kontinuum, zatiaľ čo podľa druhej predstavy je tekutina

zložená z obrovskéhomnožstvamolekúl.

Aj keď druhý koncept je bližší fyzikálnej realite, predstava kontinua je vhodnejšia pre

riešenie klasickou matematickou analýzou a historicky bola aj bližšia k tradičnému feno-

menologickému spôsobu skúmania (fenomenologickej teórii), kde sa na tekutinu nazerá

cez makroskopické fenomény ako je tlak, rýchlosť prúdenia, teplota. Predstava kontinua

veľmi zjednodušuje riešenie praktických problémov pomocou analytických modelov, ale

zavádza principiálne zjednodušenie fyzikálnej reality, ktoré v dobe počítačových numeric-

kých nástrojov nie je nutné.

Rovnice odvodené na základe predstavy kontinua strácajú platnosť v oblasti veľmi ma-

lých rozmerov (napr. vplyv Brownovho pohybu na mikromechanické zariadenia) a v ob-

lasti zriedených plynov, kde nemôžeme tekutinu považovať za kontinuum (napríklad lety

kozmických telies na hranici atmosféry).

Najkomplexnejším prípadom rovníc odvodených na základe teórie kontinua sú Navier-

Stokesove rovnice.

Molekulovápredstava tekutiny, nazývaná ajkinetická teória alebo teórie neuniformnej

tekutiny, sa opiera o štatistickú mechaniku (či fyziku), v podobe Boltzmannových rovníc.

Podstatou numerických modelov založených na Boltzmannových rovniciach je riešenie

integrálnych rovníc vyjadrujúcich kolízie molekúl.

Aj keď sú tieto modely bližšie k fyzikálnej realite, tiež zavádzajú určité zjednoduše-

nia, konkrétne: zjednodušenie spôsobu medzimolekulovej interakcie. Toto zjednodušenie

môže zapríčiňovať väčšie chyby, ako zjednodušenia predstavou kontinua. V oblasti plat-

nosti oboch teórií (kontinua a molekulovej) vedú obidva prístupy k úplne ekvivalentným

rovniciam.

33

LF KLI

1.9 CFDmetódy

CFD metódy (z angl. Computational Fluid Dynamics) – v preklade metódy počítačovej

dynamiky tekutín, označujú numerické metódy pre riešenie detailných modelov prúdenia

na počítači, Najčastejšie sa tento výraz používa pre označenie sieťových NS metód (viď

ďalej).

1.9.1 Rozdelenie CFDmetód

Metódy CFD je možné rozdeliť do dvoch veľkých skupín – na metódy založené na teórii

kontinua a nametódy založené namolekulovej teórii.

1. Metódy založené na teórii kontinua: tvoria prevahu všetkých používaných metód,

množstvo rôznych druhov je spôsobené úrovňou zjednodušenia voči pôvodným NS rov-

niciam [Tannehill et al., 1997, s. 413]. V [Johnson et al., 2003] je popísané delenie metód

na príklade ich historického vývoja a použitia vo firme Boeing. V poradí od jednoduchších

k zložitejším, v smere v akom dochádzalo k zlepšovaniu kapacity počítačov a tým aj ich

schopností riešiť stále dokonalejšie a náročnejšie modely, sú to tietometódy:

• Linearizované potenciálové – bez vplyvu viskozity (Prandtl-Glauertova rovnica)

a najčastejšie aj bez vplyvu stlačiteľnosti (Lagrangeova rovnica). Riešenie rovníc

pomocoumetódy singularít (panelovémetódy), alebokonformnou transformáciou.

Vhodné na riešenie primknutého nestlačiteľného prúdenia.

• Plne potenciálové – bez vplyvu viskozity, so stlačiteľnosťou, ale iba pre nevírivé

prúdenie, bez zmeny entropie. Namiesto riešenia nelineárnych Eulerových rovníc

sa rieši iba jedna nelineárna rovnica. Vhodné pre riešenie primknutého prúdenia so

slabými rázovými vlnami.

• Metódy vírov – pomerné nové metódy, ktoré na rozdiel od ostatných metód, nie sú

založené na transporte hybnosti, ale na prenose vírov. Ide o bezsieťovémetódy, ktoré

majú schopnosť popísať s veľkou presnosťou splývanie vírov aj vo veľkej vzdialenosti.

34

LF KLI

• Navier-Stokesove (NS) – metódy použiteľné na všetky režimy prúdenia, schopné

popísať turbulentné aj stlačiteľné prúdenie. Podrobnejšie delenie na:

– Eulerove – riadia sa Eulerovými rovnicami, ktoré predstavujú špeciálny prí-

padNS rovníc pre neviskóznemédium. Neumožňujúmodelovať turbulenciu a

priamo ani trenie v laminárnej medznej vrstve.

– RANS (z ang. Reynolds Averaged Navier-Stokes) –metódy, ktoré nahradzujú

komplexné turbulentné prúdenie jeho časovýmpriemerom, a turbulentný cha-

otický pohyb je vyjadrený pomocou niekoľkých parametrov, ktoré sú zahrnuté

v modeli. Presnosť a zložitosť je závislá na použitom parametrickom modeli

turbulencie.

– LES (z ang. Large Eddy Simulation) – metódy, ktoré sú vylepšením metód

RANS v tom zmysle že najväčšie, prevažne anizotropné, turbulentné štruk-

túry (víry) v prúdovom poli sú riešené detailne a parametricky je riešená až

turbulencia od istej mierky nižšie.

– DES (z ang. Detached Eddy Simulation) – prechod medzi metódami RANS a

LES, umožňujúci získať niektoré detaily na úrovni metód LES za cenu nižšej

výpočtovej náročnosti metód RANS.

– DNS (z ang. Direct Numerical Simulation) – metódy založené na riešení NS

rovníc bez prostredníka v podobe parametrických modelov turbulencie. S vý-

nimkou laminárneho prúdenia, sú nepoužiteľné na reálne problémy v prie-

mysle, pretože ich náročnosť prekračuje súčasné možnosti počítačov, viď [Jos-

lin, 1997].

2. Metódy založené na molekulovej teórii: tvoria síce malú, ale rozvíjajúcu sa skupinu.

Inšpirované metódou Lattice gas, sú tieto metódy vyvíjané hlavne s vidinou eliminácie

zaokrúhľovacej chyby. Samotný molekulový model tekutiny je totiž diskrétny a je preto

vhodnejší pre výpočet na súčasných počítačoch, ktorémajú obmedzenú presnosť reálnych

čísel, ale sú veľmi efektívne pri výpočtoch s celými číslami. Okrem toho, tieto metódy

35

LF KLI

sú nenahraditeľné pri výpočtoch v oblastiach, kde strácajú platnosť predpoklady teórie

kontinua. Jedná sa o pomerne nový nástroj, preto je tu uvedená iba jedna skupinametód:

• LBM (z ang. Lattice Boltzmann Method) – v preklade: mriežkové Boltzmannove

metódy. Niekedy sa vyskytujú aj iné názvy, napr. Digital physics [Chen et al., 1997].

V súčasnosti je komerčnedostupnýproduktExa PowerFLOW, ale po zbežnompries-

kume sa zdá, že jeho použitie je obmedzené na problémy s nehybnou referenčnou

sústavou.

Vzhľadom k horeuvedenej charakteristike jednotlivých metód sa v danej situácii javí najv-

hodnejšie použitie metód RANS, preto sa budem ďalej venovať iba tejto skupine.

1.9.2 Typy sietí

RANSmetódy predstavujú sieťové numerické metódy. To znamená, že okremmatematic-

kej časti modelu, v podobe numerického riešiča fyzikálnych rovníc, vyžadujú tieto metódy

aj geometrický model vyšetrovanej oblasti v podobe diskretizovaného priestoru. Tento sa

nazýva numerická (alebo výpočtová) sieť. Kvalita vygenerovanej siete do značnej miery

predurčuje konvergenciu a presnosť výpočtu. Najdôležitejšími parametrami sú pomer

veľkostí susedných prvkov a skosenie prvkov (do akej miery sa tvar skutočného prvku

približuje ideálnemu tvaru). Existujú tri hlavné prístupy k vytváraniu sietí.

1. Štruktúrované siete. Charakterizuje ich to že sa skladajú iba z obdĺžnikových, alebo

šesťstenových (hexa) prvkov, pričom sa usporiadanie týchto prvkov dá topologicky mapo-

vať na dvoj- alebo trojrozmernúmaticu. Prvýmmotívom (dnes už nie natoľko významným)

je úspornosť pri ukladaní takéhoto typu štruktúry v pamäti počítača a určité zjednodušenia

numerického algoritmu. Nevýhodou sú však nesmierne komplikácie pri pokusoch zacho-

vať podobnú topológiu pri geometriách reálnychproblémov. Preto sa vždypoužíva blokovo

štruktúrovaná podoba, čo značne uľahčuje vytváranie takejto siete. Vhodnou topológiou

jednotlivých blokov je možné zabrániť výskytu singularít v podobe rohových uhlov blíz-

kych hodnote 0◦, alebo 180◦ a výskytu veľmi deformovaných prvkov. Druhýmotív je vyššia

36

LF KLI

presnosť výpočtu pri použití tohto druhu sietí. Príčinou je numerická difúzia, ktorá sa pre-

javí vždy, keď nie je smer prúdenia rovnobežný so stenami prvkov. Prvou podmienkou, aby

mohla byť táto požiadavka splnená, je použitie štruktúrovanej siete (viď. obr. 1.6). Meto-

dológia štruktúrovaných sietí zároveň umožňuje udržať dobrú kontrolu nad množstvom a

hustotou prvkov aj na veľmi rozsiahlych sieťach.

u u

uu

štruktúrovaná sieť

neštruktúrovaná sieť

sieť v smere prúdenia

(vyššia presnosť)

u

u

u

u

Obr. 1.6 Numerická difúzia.

2. Neštruktúrované siete. Tento typ sietí sa používa na zložito tvarované geometrie, kde

je veľmi zdĺhavé vytváranie štruktúrovaných sietí, a nie je ani v plnej miere možné využiť

ich najväčší potenciál – malú numerickú difúziu pri dobrej orientácii prvkov. Využívajú sa

tu trojuholníkové prvky (v 2D sieťach) a štvorsteny (v 3D sieťach) kombinované s prizma-

tickými päťstenmi a pyramídovitými prvkami. Tieto prvky majú veľkú výhodu v tom, že je

možné, podľa potreby, lokálne zhustiť sieť pri zachovaní konformnej siete, čo sa využíva pri

adaptívnom spresňovaní výpočtu. Ďalšou výhodou týchto sietí, oproti štruktúrovaným, je

dobrá kvalita výslednej siete, lebo pri týchto prvkoch je pomerne jednoduché zabezpečiť

nedeformovaný tvar prvkov aj v tých najzložitejšie tvarovaných oblastiach.

37

LF KLI

3. Karteziánske siete. Tieto siete predstavujú iné použitie pravidelnej maticovej štruk-

túry. Zatiaľ čo pri štruktúrovaných sieťach sa využíva možnosť zorientovania stien prvkov

do smeru predpokladaného prúdenia, pri karteziánskych sieťach sa využíva možnosť pria-

močiareho automatického sieťovania akokoľvek zložito tvarovanej geometrie. Pri takomto

spôsobe sieťovania sapostupuje cestou automatickej detekcie prienikuprvkov s obtekanou

geometriou a zahusťovaniemiest s veľkým zakrivením pomocou vložených uzlov.

1.9.3 Počítačové prostriedky CFD

Hardvér

Realita numerických výpočtov v súčasnosti je taká, že reálne problémy riešené v prie-

mysle majú rozsah niekoľko miliónov až desiatok miliónov prvkov výpočtovej siete. Na

tak veľké problémy nestačí použitie osobných počítačov (PC), ktoré sú obmedzované 32-

bitovou architektúrou a z toho vyplývajúcim obmedzením na 2-4 GB pamäte RAM. Už

pri použití na takto limitované problémy, je doba výpočtu pomocou jedného procesora

CPU neúmerne dlhá. Preto majú všetky reálne používané numerické nástroje schopnosť

pracovať paralelne na niekoľkýchCPUa to čo rozhoduje o rýchlosti výpočtu, je často dobrá

škálovateľnosť pri veľkom počte CPU, podmienená dobrou medziprocesovou komuniká-

ciou. Ukazuje sa že spojenie počítačov navzájom pomocou bežnej ethernetovej siete je ne-

dostatočné, preto sa na numerické výpočty používajú špeciálne viacprocesorové pracovné

stanice alebo servery s architektúrou optimalizovanou pre čo najvyššiu medziprocesorovú

priepustnosť. V súčasnosti je jednou z najvýkonnejších architektúra NUMAlink (použitá

na strojoch SGI Origin, Cray T3E), kde podľa testov vychádza rýchlosť aj latencia ko-

munikácie medzi CPU 20-30 × lepšia, než je tomu pri technológii etherenet. Vzhľadom

k obmedzeniam 32-bitovej platformy MS Windows a spôsobu správy operačnej pamäte

(spôsobu kešovania) pri tejto platforme všeobecne, sa v počítačoch určených na CFD nu-

merické výpočty používajúUNIX-ovské operačné systémy ako je napr. Irix firmy SGI, alebo

Solaris firmy Sun microsystems. Najnovšie sa presadzujú systémy Linux, a to dokonca aj

na superpočítačoch (počítačoch s niekoľkými stovkami až tisíckami CPU).

38

LF KLI

Softvér

CFD softvér je možné rozdeliť na tri funkčne samostatné kategórie. Tieto tri kategórie,

podľa toho ako nasledujú za sebou v celkovom procese CFDmodelovania, sú:

• Preprocesing, príprava modelov – najsamostatnejšia časť procesu. V oblasti CFD

metód RANS sa jedná o vytváranie výpočtových sietí, hovorí sa im preto aj generá-

tory sietí. Vlastnosti softvérových systémov z tejto kategórie sú veľmi univerzálne,

často sú okremmetód CFD použiteľné aj pre vytváranie sietí pre metódy CSD (ana-

lýza napätosti a deformácie tuhých látok, CAE), preto sa tu často vyskytujú sys-

témy, predávané samostatne, ktoré sú schopné spolupracovať s veľkýmmnožstvom

riešičov od iných výrobcov. Pretože používanie týchto systémov je veľmi interak-

tívne, hlavnou požiadavkou je veľmi dobrá rýchlosť odozvy. Vývoj je veľmi zdĺhavý,

preto tieto systémy skoro nikdy nie sú vyvíjané koncovými užívateľmi, ale špeciali-

zovanými firmami. Patria sem napr. produkty patria systémy ICEM CFD, FLUENT

Gambit,PATRAN apod.

• Riešiče – implementujú proces numerického riešeniamatematickéhomodelu. Fáza

definície okrajových podmienok leží niekde na rozhraní medzi preprocesormi a rie-

šičmi, preto je niekedy súčasťou softvéru pre riešenie (tak je tomu napr. pri systéme

FLUENT) a inokedy je zase vyčlenená v podobe osobitného procesora (napr. v sys-

témeANSYS CFX).

Základnou požiadavkou na riešiče je rýchlosť – posudzovaná priebehomkonvergen-

cie a stabilitou výpočtu a validita výsledkov – posudzovaná presnosťou. Rýchlosť

interakcie s používateľom nie je až taká dôležitá, pretože riešiče trávia väčšinu času

dávkovým spracovávaním numerických úloh.

Riešiče sa vyskytujú v troch podobách– ako kompletné (skoro výlučne iba komerčne

dostupné) systémy špecializované pre oblasť CFD (napr. ANSYS CFX, FLUENT),

ako univerzálne numerické vývojové prostredia (IDE - Integrated Development En-

vironment) (napr.MATLAB a ako jednoduché a programy vytvorené koncovým po-

39

LF KLI

užívateľompomocou všeobecne použiteľných programovacích jazykov (FORTRAN,

C,C++, JAVA).

Užívateľsky rozšíriť sa dajú všetky tri podoby riešičov. Aj komerčné, špecializované

CFD systémy umožňujú vložiť užívateľské modely programované v jazyku FOR-

TRAN, aleboC, aleboaspoňdávkové rutiny v skriptovacích jazykoch (Lisp,Scheme).

Základná úroveň podpory numerickej matematiky v IDE podobných systémuMAT-

LAB a fakt, že najnáročnejšia je práve aplikačná nadstavba numerických metód má

za následok, že tento typ nástrojov sa používa len ojedinele. Keď už nepostačujú

verejne dostupné (či už komerčné alebo voľné) CFD systémy, postupuje sa skoro

vždy cestou programovania v nízkoúrovňových jazykoch (FORTRAN, C, C++).

Pri tom sa využívajú hotové numerické knižnice (BLAS, LAPACK), ktoré sú do-

stupné zadarmo, prípadne ich komerčné, optimalizované verzie. Pri programovaní

grafického rozhrania sa skoro výlučne používa aplikačné rozhranie (API) OpenGL,

ktorého funkcie sú dnes dostupné na všetkých grafických zariadeniach. Dnes sa

na programovanie vstupno-výstupného rozhrania často používa aj jazyk JAVA, pre-

tože je bez potreby úprav prenositeľný na veľké množstvo platforiem. Jeho dátové

štruktúry sú však nevhodné pre uplatnenie pri pamäťovo náročných numerických

operáciách. Pre programovanie numerických algoritmov v premenlivom počte di-

menzií je najvhodnejší programovací jazykFORTRAN. Používa sa v dvoch verziách:

verzii F77, ktorá je rozšírenejšia, ale aj dosť zastaralá a novej verzii F90, ktorá pri-

náša niektoré vylepšenia inšpirované vlastnosťami jazyka C. Jazyky C a C++ neboli

navrhnuté kvôli numerickým výpočtom, preto za jazykom FORTRAN zaostávajú

v úrovne optimalizácie numerických častí kódu a v jednoduchosti odhaľovania chýb

v zdrojovom kóde pri preklade.

• Postprocesing – Vizualizácia a spracovanie výsledkov

Nástroje pre vizualizáciu prúdenia sú najčastejšie súčasťou komerčných riešičov

(napr. ANSYS CFX Post, FLUENT), ale sú dostupné aj riešenia od tretích firiem

(medzi najznámejšie patriaTecplot, FieldView, EnSight, IRIS Explorer).

40

LF KLI

1.10 Praktické otázky aplikácie metód CFD

Ekonomickéaspekty. CFDmodelovanie je finančnenáročná činnosť. Požadovanýhard-

vér je možné nahradiť pomocou bežných PC len v jednoduchých prípadoch. Pri úrovni

detailov používanej v leteckom a turbinárskom priemysle a pri požiadavke na rýchlosť

výpočtu rádovo v hodinách a nie v dňoch, je nevyhnutné vyhradiť pre výpočet špeciálne

výpočtové kapacity – v podobe superpočítačových centier. V prípade akademického pro-

stredia sa tátopožiadavka rieši vytváranímspoločnýchdistribuovanýchvýpočtovýchuzlov,

ktoré tak môžu byť lepšie využité a zároveň to dáva záujemcom k dispozícii omnoho väč-

šiu kapacitu. Na Slovensku bohužiaľ neexistuje nič podobné a tento stav zaostávania za

okolitými štátmi trvá už niekoľko rokov.

Potrebný softvér je rovnako, ak nie ešte viac, finančne náročný. Vývoj použiteľných

nástrojov je otázka niekoľkých rokov vývoja, preto organizácia bez dlhoročnej kontinuity

vlastného vývoja je odkázaná na nákup komerčných produktov.

Cena sa odvíja od počtu paralelne spustiteľných procesov, kapacitného obmedzenia

(max. počtu uzlovmodelu) a licenčného obmedzenia. Vo všetkých prípadoch je softvér ten

istý a počet spustených procesov kontroluje tzv. licenčný server. Licenčný server dovolí len

spustenie takých procesov, ktoré zodpovedajú údajom v textovom konfiguračnom súbore

s digitálnym podpisom výrobcu. Rozšírenie počtu procesov je veľmi flexibilné, pričom li-

cencie môžu byť takzvane plávajúce (procesy prepožičiavané medzi viacerými počítačmi),

alebo uzlovo zamknuté (kedy sú rezervované pre jeden konkrétny počítač, alebo procesor).

Iné delenie licencií je podľa druhu používateľa. Základný typ licencie – komerčná licencia

– nemá obmedzenia. Akademická licencia je určená hlavne pre výskum na školách, pri-

čom sa dá použiť aj na komerčné aktivity školy. Význam školskej nekomerčnej licencie je

zrejmý z jej názvu. Pre CFD riešiče, základnou ponukou bývajú 2 procesy. Ročný prená-

jom komerčnej licencie stojí okolo 30 000 EUR a akademické licencie bývajú ponúkané

za cenu 20–50 % komerčnej licencie. Akademická licencia s takými obmedzeniami, že je

použiteľná iba pre vyučovanie a riešenia izolovaných problémov, stojí ešte menej – zhruba

do 10% ceny komerčnej licencie.

41

LF KLI

Personálne aspekty. Používatelia a vývojári CFD softvéru sa navzájom líšia v dôraze

na jednotlivé smery znalostí. Od ľudí pracujúcich pri vývoji algoritmov a v poradenstve

sa očakáva špecializované vzdelanie vo fyzike, matematike a programovaní. Od použí-

vateľov sa očakáva schopnosť aplikovať CFD nástroja podľa potrieb v praxi a schopnosť

kvalifikovaného zhodnotenia použiteľnosti výsledkov [Mason a Devenport, 1998]. Dnes je

snaha prenášať použitie numerických nástrojov priamo do rúk konštruktérov a návrhárov.

Metódy CFD sa okrem letectva a motorárskeho priemyslu začínajú objavovať už aj v auto-

mobilovom a strojnom priemysle, alebo aj v architektúre. Bohužiaľ CFD nástroje sú oproti

iným numerickým nástrojom používaným pri konštruovaní založené na väčšommnožstve

predpokladoch a majú ešte stále množstvo obmedzení. Preto existuje pri CFD nástrojoch

značne strmá krivka učenia a pre kvalifikované použitie je nutná aspoň zbežná znalosť

aerodynamiky, termodynamiky amatematickej stránky numerickýchmetód. Existuje však

veľmimálo kníh, ktoré pokrývajú tieto potreby.

42

LF KLI

2 Ciele amotivácia práce

2.1 Predchádzajúce zistenia

Pred započatím tejto práce som pracoval na projekte CFD výpočtu 19-lopatkového dú-

chadla. Výsledky výpočtu zachycovali správny tvar škrtiacich charakteristík a použitý

program FLUENT umožňoval riešiť aj detaily prúdenia v oblasti straty stability (pád pro-

filu). Použitý generátor siete, Gambit, neumožňoval zahustiť sieť v oblasti medznej vrstvy

bez neúmerného zvýšenia počtu buniek siete. To obmedzovalo hodnovernosť dosiahnu-

tých výsledkov v oblasti režimov so separáciou medznej vrstvy a znemožnilo to modelovať

vplyv obvodovej medzery.

Oblasť návrhových režimov, ktorá je charakterizovaná dokonalým obtekaním povrchu

lopatiek, bola pravdepodobne modelovaná hodnoverne. To je možné vyvodiť na základe

uverejnených porovnaní medzi jednotlivými modelmi turbulencie (napríklad [3rd AIAA

CFDDPW, 2006]). Jednoznačné potvrdenie hodnovernosti však nebolomožné, pretože:

• pre projekt 19-lopatkového dúchadla neexistovali experimentálne hodnoty

• štúdie riešiace súhlas CFD výsledkov s experimentom pre prípad transsonického

alebo supersonickéhoprúdenia vdúchadlenie sú verejnedostupné apravdepodobne

ichmajú k dispozícii iba vedúce firmy v odbore.

2.2 Hypotéza

Na základe predchádzajúcich zistení, vyplynula potreba overiť hypotézu, že výsledky sú-

časných metód CFD sú hodnoverné (resp. validné) pri výpočte transsonického prúdenia

v dúchadle leteckého turbínovéhomotora.

S vysokou pravdepodobnosťou je táto hypotéza správna a potvrdenie hypotézy bude

spočívať v stanovení podmienok, pri ktorých sú výsledky CFD výpočtu validné.

43

LF KLI

2.3 Cieľ

Hypotézu je možné overiť jediným spôsobom – porovnaním výsledkov CFD modelovania

s výsledkami kontrolovaného experimentu, tak aby mohli byť stanovené rovnaké vonkaj-

šie (okrajové) podmienky. Hlavným cieľom tejto práce je preto porovnávacia štúdia na

transsonickomdúchadle leteckého turbínovéhomotora, kde budú porovnané tie výkonové

parametre, ktoré sa v praxi používajú pre hodnotenie kvality aerodynamického návrhu. Sú

to tieto parametre:

• celkové stlačenie πc

• izentropická celková účinnosť η iz

S ohľadom na získané experimentálne údaje pôjde v obidvoch prípadoch o parametre

vonkajšieho prúdu.

ZmetódCFDsaobmedzímnaveľkú triedumetódoznačených skratkouRANS(Reynolds-

averaged Navier-Stokes). Zvolená metóda musí umožniť vierohodný výpočet v danom

prípade.

2.4 Konkrétne úlohy

Prvým predpokladom pre uskutočnenie porovnávacej štúdie je získanie experimentálnych

údajov.

Ostávajúcu časť – CFD výpočet treba navrhnúť na základe princípov DOE (Design of

experiments) [Bordelon, 2006] – tak aby sa získalo čo najviac informácií pri čo najmenšej

spotrebe zdrojov (výpočtových prostriedkov).

Pretože počet podmienok ktoré majú vplyv na výsledok je veľký, vedie to aj k veľkému

počtu vzájomných kombinácii týchto podmienok ktoré je potrebné modelovať. Inak po-

vedané, vedie to k veľkému počtu výpočtových modelov. Výpočtové zdroje sú však veľmi

obmedzené (strojový čas v danom časovom období).

44

LF KLI

Rozpormedzi počtom prípadov a zdrojmi je principiálnemožné riešiť dvoma spôsobmi:

• objektívne –metódami DOE

• expertízou a intuitívnou voľbou na základe hlbších znalostí problematiky

V oboch prípadoch dochádza k zmenšeniu počtu modelov tým, že sa kontrolovaným spô-

sobom mení niekoľko podmienok súčasne. Metódy DOE umožňujú zmenšiť objem po-

trebných zdrojov rádovo v desiatkach percent, čo nestačí. V tomto prípade je efektívnejšia

metóda intuitívnej voľby na základe nasledovného expertného odhadu.

V zásade pôjde o obmedzenie počtu numerických modelov len na 2–4, aby bolo v danom

čase možné spočítať dostatočný počet prípadov pre každý z modelov. Spojením výsledkov

pre jednotlivé prípady dostanem tvar výkonových charakteristík.

Budú zvolené určité charakteristické javy v prúdení, o ktorých je známe, že majú vplyv na

výkonové parametre a zároveň predstavujú ťažšie riešiteľný problém pre súčasné metódy

CFD. Týmito charakteristickými javmi sú:

• prúdenie v medznej vrstve a ním vynútené sekundárne prúdenie – umožňuje riešiť

vplyv detailnej numerickej siete a vplyv turbulentnéhomodelu

• prúdenie v obvodovej medzere – určené pre skúmanie vplyvu tohto javu samotného

Zvolené numerické modely budú kombinovať úroveň riešenia týchto javov s modelmi

turbulencie, ktoré sú očakávateľné v danom prípade. Konkrétnou úlohou je výpočet bodov

(prípadov) pre tieto zvolené numerickémodely:

• geometria bez obvodovej medzery, jednoduchá neštruktúrovaná sieť, jednorovni-

covýmodel turbulencie Spalart-Allmaras

• geometria bez obvodovej medzery, štruktúrovaná sieť s detailmi v medznej vrstve,

dvojrovnicovýmodel turbulencie k-ω SST

• geometria s obvodovou medzery, štruktúrovaná sieť s detailmi v medznej vrstve,

dvojrovnicovýmodel turbulencie k-ω SST

45

LF KLI

Body charakteristík budú spočítané iba pre jednu rýchlosť otáčania a to 9 981 ot./min.,

ktorá zodpovedá najnižším otáčkam, ktoré boli pri experimente skúmané a pri ktorých sa

očakáva relatívna rýchlosť nabiehajúceho prúdu v rozsahu od tesne subsonickej pri koreni

lopatky, až pomierne supersonickú na obvode lopatky.

Pri definícii ostatných podmienok modelu budú rešpektované už známe odporúčania,

ktoré sú výsledkom iných projektov [Casey, 2004; Bardina et al., 1997; ERCOFTAC BPG;

3rd AIAACFDDPW, 2006].

46

LF KLI

3 Metodológia riešenia

3.1 Experiment

Pretože nároky experimentu sú mnohonásobne finančne náročnejšie než ostatné časti

tohto procesu, je nutné použiť akékoľvek, už uskutočnené, merania. Tie mi poskytol vý-

robca leteckého motora DV-2. Jedná sa o merania vykonané na prototype 15-lopatkového

dúchadla, ktoré poskytujú dostatok informácií pre porovnávanie. Namerané hodnoty sú

vo výsledkoch.

3.2 Výbermetódy

Pre riešenie prúdenia som si zvolil metódu typu RANS (Reynolds Averaged Navier-

Stokes).Detaily numerickej realizácie algoritmu súpodmienenépoužitýmsoftvéromFLU-

ENT aANSYS CFX. Ďalšou kritickou voľbou z hľadiska presnosti výsledkov bolo použitie

modelu turbulencie v rámci metódy RANS. Na základe [Bardina et al., 1997, s. 79] boli

zvolené dva modely – jednak osvedčený model Spalart-Allmaras, ktorý je ekonomický

(v pomere presnosť/výpočtová náročnosť) a pokročilý Menterov model SST (najpresnejší

spomedzi dvojrovnicovýchmodelov).

3.3 Základné rovnice prúdenia

Rovnice prúdenia sú odvodené zo základných princípov klasickej fyziky – z princípu

zachovania hmoty, hybnosti a energie. Navier-Stokesova rovnica (v jednotnom čísle) je

uplatnením zákona zachovania hybnosti na prúdenie tekutiny, alebo iného média s vnú-

torným trením (napr. medzihviezdneho prachu v astronómii). V širšom význame sa pod

označením Navier-Stokesove rovnice (názov v množnom čísle) chápu všetky tri rovnice

zachovania (hmoty, hybnosti, energie) popisujúce prúdenie tekutiny. Rovnica zachovania

hmoty sa častejšie nazýva rovnica kontinuity.

47

LF KLI

Budú uvedené iba rovnice v diferenciálnom tvare, ktorý je stručnejší. Pri metóde koneč-

ných objemov (FVM) sa používa integrálový tvar, ktorý sa získa jednoducho – integráciou

po objeme. Integrálový tvar má veľkú výhodu pri zachycovaní diskontinuít v prúde, akými

sú napr. rázové vlny. Pre modelovanie stlačiteľného prúdenia sa ukázalo ako nevyhnutné

používať tvar rovníc, ktorý eliminuje vplyv zaokrúhľovacej chyby. Takýmto tvarom je kon-

zervatívny (resp. divergentný). Tento tvar sa vyznačuje tým, že v derivácii nie je uzavretá

iba veličina rýchlosti (u), ale jej súčin s lokálnou hustotou (%u). Divergentný tvar platí pre

zmeny v nezávislej Eulerovskej sústave (na rozdiel od Lagrangeovskej sústavy spojenej

s tekutinou v pohybe). Konečné podoby odvodených rovníc sú tu uvedené práve v takom

tvare.

3.3.1 Rovnica kontinuity

∂%

∂t+ div (%~u) = 0

pomocou operátora nabla:∂%

∂t+∇ • (%~u) = 0

v tenzorovom tvare:∂%

∂t+∂ui∂xi

= 0

kde % je hustota, t je čas, u je rýchlosť a x je poloha.

3.3.2 Navier-Stokesova rovnica

Navier-Stokesova rovnica je odvodená z Cauchyho rovnice zachovania hybnosti pri dosa-

dení konštitučného (Stokesovho) vzťahu medzi viskóznymi napätiami a rýchlosťou defor-

mácie.

Cauchyho rovnica zachovania hybnosti v tekutine:

%D~uDt

= %~f +∇ • ~~σ

48

LF KLI

v tenzorovom tvare:

%DuiDt

= %fi +∂σji∂xj

kde symbol D označuje materiálovú deriváciu (v súradnicovej sústave spojenej s elemen-

tom tekutiny v pohybe), f je hmotová sila pripadajúca na jednotku hmotnosti (napr.

gravitačné zrýchlenie) a σ je tenzor povrchových napätí (viď ďalej).

Konštitučný vzťah môže mať mnoho podôb. Pred tým je však užitočné rozdeliť tenzor

napätí σ na izotropnú zložku – danú hydrostatickým tlakom p a na neizotropnú zložku –

danú viskóznymi napätiami τ (spôsobenými deformáciou tvaru):

~~σ = −p~~δ + ~~τ

kde δ je jednotkový izotropický tenzor 2. rádu (Kroneckerova delta) – v maticovom tvare

hopredstavuje jednotkovámatica.Orientácia jednotlivých zložiek tenzora napätí je zrejmá

z obrázku 3.1.

τzzτzx

τzy

τxz

τxx

τxyτyz

τyx

τyy

z

xy

Obr. 3.1 Orientácia viskóznych napätí.

Tenzor viskóznych napätí τij je striktne odvoditeľný ako:

τij = 2µSij + λ ( div ~u) δij

kde µ je molekulárna (dynamická) viskozita, λ je súčiniteľ objemovej viskozity a S je

rýchlosť deformácie.

Hodnoty λ nie sú bežne dostupné, pretože pre reálne prípady postačuje zjednodušenie v

podobe slabých rázových vĺn, a jednoatómového plynu, pre ktoré platí:

λ = −23µ

49

LF KLI

čo vedie k použitému vzťahu:

τij = µ

(2Sij −

23

( div ~u) δij

)

Pre tenzor deformačnej rýchlostiSij platí rozvoj:

Sij =12

(∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)

takže konštitučné vzťahy po rozvoji majú tvar:

τij = µ

((∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)− 2

3

(∂uk∂xk

)δij

)

σij = −pδij + µ

((∂uj∂xi

+∂ui∂xj

)− 2

3

(∂uk∂xk

)δij

)

Dosadením tohto vzťahu do Cauchyho rovnice vznikáNavier-Stokesova rovnica. Vo vek-

torovom tvare:

%D~uDt

= %~f −∇ • p~~δ +∇ • µ(

2~~S − 23

( div ~u)~~δ

)(3.1)

V tenzorovom tvare:

%DuiDt

= %fi −∂p

∂xi+∂

∂xjµ

((∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3

(∂uk∂xk

)δji

)

Pri prevode na divergentný tvar sa zmení iba ľavá strana rovnice:

%D~uDt

=∂ (%~u)∂t

+∇ • (%~u⊗ ~u)

resp. v tenzorovom tvare:

%DuiDt

=∂ (%ui)∂t

+∂ (%ujui)∂xj

Celá rovnica v divergentnom tvare:

∂ (%ui)∂t

+∂ (%ujui)∂xj

= %fi −∂p

∂xi+∂

∂xjµ

((∂ui∂xj

+∂uj∂xi

)− 2

3( div ~u) δji

)

50

LF KLI

3.3.3 Rovnica energie

Rovnica energie vychádza z rovnováhy medzi vnútornou energiou, privedeným teplom

a privedenou prácou. To je jediný rozdiel rovnice energie používanej v CFD oproti tvaru

obvykle používanému v termodynamike, kde má práca opačné znamienko. Divergentný

diferenciálny tvar vyjadrený pomocou entalpie vyzerá nasledovne:

∂ (%hc)∂t

+∇ • (%hc~u)− ∂p

∂t= ∇ • (λ · ∇T ) +∇ •

(µ · ∇~u+ [∇~u]T − 2

3∇ • (~uδ~u)

)

kde λ je tepelná vodivosť a špecifická celková entalpia hc je definovaná nasledovne:

hc = h+12u2

Používa sa aj rovnica energie vyjadrená pomocou vnútornej energie (namiesto entalpie).

3.4 RANS rovnice a Reynoldsove napätia

Súčasné schopnosti počítačov nie sú na takej úrovni, aby umožňovali numerické riešenie

Navier-Stokesových rovníc v praktických prípadoch. Príčinou je to, že pri režimoch prúde-

nia ktoré sa v praxi najčastejšie vyskytujú, sa v riešení prejavuje deterministický chaos, čo

je vlastnematematická podstata turbulencie.

Preto sa Navier-Stokesove, pre praktické prípady prúdenia, upravujú filtrovaním, alebo

priemerovaním – napríklad metódou RANS. Skratka RANS je z anglického názvu (Rey-

noldsAveragedNavier-Stokes)–vpreklade:ReynoldsovopriemerovanéNavier-Stokesove

rovnice.Reynoldsovo priemerovanie je typ kĺzavého časového priemerovania, ktorým sa

odstráni chaotická zložka riešenia. Reynoldsovo priemerovanie je založené naReynoldso-

vom dekompozičnom princípe:

u = u+ u′

podľa ktorého okamžitá hodnota nejakej veličiny, napr. rýchlosti u sa dá rozložiť na jej

priemernú časť u a odchýlku od priemeru u′. Priemerná časť je definovaná ako ansám-

blový priemer, t. j. nejde o konštantnú hodnotu, ale o časovú premennú, ktorej priebeh je

51

LF KLI

danýpriemerompriebehov veličiny z veľkéhomnožstva opakovanýchpokusov (ansámblu)

pri rovnakých počiatočných podmienkach. Priemerná hodnota odchýlky je podľa tej istej

definície nulová:

u′ = 0

Jediný rozdielmedzi pôvodnými aReynoldsovo priemerovanými rovnicami, pri náhrade

pôvodných veličín ich priemernými hodnotami, je pribudnutie nových členov v rovniciach

hybnosti a energie. V prípade rovnice hybnosti k viskóznemu napätiu pribudne tenzor

Reynoldsových napätí:

−%u′iu′j resp. − %~u′ ⊗ ~u′

pričom veľkosť Reynoldsových napätí, v prípade turbulentného prúdenia, rádovo prevy-

šuje veľkosť napätí spôsobenýchmolekulárnou viskozitou.

V rovnici energie pribudne k členu vyjadrujúcemu molekulárny prenos tepla (λ · ∇T )

Reynoldsov tok (vyjadrujúci prenos tepla turbulentnýmmiešaním):

−%u′ih resp. − %~u′ ⊗ h

Príspevok týchto dôsledkov Reynoldsovho priemerovania rovníc sa ďalej nahradzuje,

v prípade rovnice hybnosti, vírovou viskozitou a v prípade rovnice energie turbulentnou

difuzivitou.

V prípade stlačiteľného prúdenia sa namiesto Reynoldsovho priemerovania používa

Favreovo priemerovanie (nahradenie priemerovania u priemerovaním súčinu %u).

52

LF KLI

3.5 Modely turbulencie

Reynoldsove napätia narúšajú pôvodnú uzavretosť systému rovníc, pretože zavádzajú 9

nových neznámych premenných (zložky tenzora v 3D priestore). Preto je potrebné za-

viesť dodatočné konštitučné rovnice, ktoré sa však nedajú odvodiť jednoznačne. Rovnice,

ktoré sa používajú, sa líšia svojou zložitosťou – v závislosti na predpokladoch, z ktorých

vychádzajú. Tieto rovnice predstavujú rôznemodely turbulencie.

Obidva použité modely turbulencie (Spalart-Allmaras aj SST) vychádzajú z veľmi často

využívanej Boussinesqovej hypotézy, ktorá zakladá konštitučný vzťah medzi Reynoldso-

vými napätiami −%u′ih′ a takzvanou vírovou (alebo turbulentnou) viskozitou (angl. eddy

viscosity) µt:

−%u′iu′j = µt

(2Sij −

23

( div ~u)

)δij −

23%k δij

kde k je turbulentná kinetická energia:

k =12u′iu′i

Najväčším obmedzením Boussinesqovej hypotézy je že uvažuje iba izotropickú tur-

bulenciu (jej vyjadrenie iba pomocou jedného parametra µt). Na druhú stranu, podob-

nosť pravej strany rovnice vírovej viskozity so vzťahom pre viskózne napätia v Navier-

Stokesovej rovnici (rovn. 3.1 na str. 50) umožňuje Reynoldsove napätia zakomponovať do

pôvodnej nespriemerovanej Navier-Stokesovej rovnice – stačí len modifikovať hydrosta-

tický tlak členoms turbulentnoukinetickou energiou 23%k anahradiť pôvodnúmolekulárnu

viskozitu µ jej efektívnou hodnotou µef

µef = µ+ µt

3.5.1 Model Spalart-Allmaras

Model Spalart-Allmaras patrí medzi jednorovnicové modely turbulencie, pretože pre vý-

počet neznámej vírovej viskozity µt používa iba jednu rovnicu – konkrétne rovnicu turbu-

lentnej kinetickej energie k.

53

LF KLI

Tento model je určený pre prúdenie ohraničené stenou a v týchto prípadoch podáva

presnejšie výsledky ako mnoho zložitejších modelov (obzvlášť pri nepriaznivom tlakovom

gradiente). [Bardina et al., 1997]

Vírová viskozita µt je pri použití tohtomodelu definovaná nasledovne:

µt = %νfv1

Jediným nezávislým parametrom v tejto rovnici je tlmená turbulentná kinematická visko-

zita ν, ktorámusí byť počítaná zvláštnou transportnou rovnicou.

Tento model, umožňuje modelovať turbulenciu aj v laminárnej podvrstve, ale v prog-

rame FLUENT, bol naopak využitý so stenovou funkciou pre premostenie veľkej stenovej

vzdialenosti okrajových prvkov neštruktúrovanej siete.

3.5.2 Model SST

Menterov SST (Shear Stress Transport) model turbulencie patrí do kategórie dvojrovni-

cových modelov. Väčšinu 2-rovnicových modelov možno zaradiť do dvoch skupín – medzi

modely k-ε alebo k-ω. Tieto modely používajú pre výpočet vírovej viskozity µt dve rov-

nice – rovnicu turbulentnej kinetickej energie k a turbulentnej rýchlosti disipácie ε, alebo

frekvencie dominantných vírov ω. Veľkou výhodou modelov k-ω je presnosť modelovania

vplyvu turbulentnej škály v blízkosti steny, pri nepriaznivom tlakovomgradiente. Ich nevý-

hodou je prehnaná závislosť podmienok v medznej vrstve na parametroch turbulencie vo

vonkajšom prúde. Opačne je tomu pri modeloch k-ε. [Wieser et al., 2002]

Model SST je v základemodel kategórie k-ω, ktorý sa na okraji medznej vrstvy postupne

mení na model k-ε. Zmena je riadená zmiešavacou funkciou v závislosti na vzdialenosti

prvku od najbližšej steny. Vírová viskozita µt je pri použití tohtomodelu definovaná nasle-

dovne:

µt = %k

ω

54

LF KLI

3.5.3 Prechodmedznej vrstvy vmodeli SST

Model SST v riešičiANSYS CFX je ojedinelý v tom, že umožňuje výpočet prechodumedz-

nej vrstvy (m. v.) z laminárneho režimu do turbulentného, vďaka čomu jemožné presnejšie

predpovedanie strát v m. v. s nepriaznivým tlakovým gradientom, čo je aj prípad lopatky

dúchadla. Typický priebeh strát (trecieho odporu) v laminárnej a turbulentnej m. v. je na

obrázku 3.2.

x

Cf

laminárna (teoretická)m. v.

skutočnám. v.

turbulentná (teoretická)m. v.

prechodm.v.

Obr. 3.2 Súčiniteľ treniaCf vmedznej vrstve (m. v.).

Z troch dostupných modelov prechodu bol zvolený dvojrovnicový model γ-Reθ, nazý-

vaný niekedy aj Menter-Langtry, konkrétne jeho verzia CFX-v-1.1 podľa [Langtry a Men-

ter, 2005]. Tento model je založený na bezrozmerovej analýze prechodum. v. a korelovaní

s výsledkami veľkého množstva experimentov. Korelácia modelu je dosiahnutá vhodným

nastavením korelačných konštánt, ktoré boli publikované a dvoch korelačných funkcií,

ktoré v súčasnosti tvoria predmet obchodného tajomstva. V nezávislých testov bola potvr-

dená vynikajúca zhoda výsledkov tohto modelu s výsledkami experimentov na lopatkách

turbín a na vonkajších plochách lietadiel.

Model tvorí rovnica nárazovitosti γ a rovnica spúšťacieho kritéria prechodu – vyjadre-

55

LF KLI

ného Reynoldsovým číslom hybnostnej hrúbky medznej vrstvy (m. v.) Reθ. Nárazovitosť

(angl. intermittency) γ je podľa [Kundu a Cohen, 2002, s. 524] definovaná ako pomerná

doba, v ktorej sa dané miesto nachádza v turbulentnom režime prúdenia. Hodnota 0 zod-

povedá úplne laminárnemu prúdeniu a hodnota 1 úplne turbulentnému prúdeniu.

Dôležitým vstupom pre výpočet nárazovitosti γ je Reynoldsovo číslo deformačnej rých-

lostiReν :

Reν =y2

νS

kde y je vzdialenosť prvku od najbližšej steny, S absolútna veľkosť deformačnej rýchlosti a

ν je kinematickámolekulárna viskozita µ/%.

Toto číslo vyjadruje prechod v dôsledku Tolmien-Schlichtingovej lineárnej nestability

(príčina prirodzeného prechodu). Číslom, ktoré vyjadruje druhú hlavnú príčinu prechodu

– difúziu turbulencie z voľného prúdu (takzvaný bypass mechanizmus), je Reynoldsovo

čísloReT:

ReT =%k

µω

kde k je turbulentná kinetická energia aω je frekvencia dominantných vírov.

Informácia o režime m. v. v danom mieste je do SST modelu prenášaná práve pro-

stredníctvom nárazovitosti γ. Tento parameter v modeli SST ovplyvňuje jeho produkčné a

deštrukčné členy a tým sa dosahuje zmena výslednej hodnoty vírovej viskozity µt.

3.5.4 Požiadavky na výpočtovú sieť v medznej vrstve

Viskózne efekty v medznej vrstve majú často zásadný vplyv na obraz prúdenia v celom

priestore. Typickým príkladom je vznik sekundárnych kútových vírov, alebo separácia

medznej vrstvy na podtlakových oblastiach povrchov (napr. na chrbte lopatky). Pre verné

modelovanie týchto efektov je nutné, aby model turbulencie verne rekonštruoval priebeh

parametrov po hrúbke medznej vrstvy. Veľké gradienty v tesnej blízkosti steny a logarit-

mickýpriebeh týchtoparametrov kladú striktné obmedzenia nadetailnúdiskretizáciu siete

56

LF KLI

v blízkosti steny. Tieto obmedzenia vyplývajú z bezrozmerovej analýzy prúdenia vmedznej

vrstve. Na obrázku 3.3 je zobrazený priebeh bezrozmerovej rýchlosti v medznej vrstve u+

v závislosti na bezrozmerovej vzdialenosti od steny y+ – podľa [Tannehill et al., 1997],

[White, 2002].

1 2 5 10 20 50 100 200 500 1000 2000 5000 100000

5

10

15

20

25

30

(lineárna)podvrstva

vonkajšia oblasť

vnútorná oblasť(stenová závislosť)

nárazníkovázóna

zóna(logaritmická závislosť)

u+

y+

u+ = y+

u+ = 10.41 ln y+ + 5.15

rovná doskanepriaznivý tlakový gradient

prúdenie potrubímpriaznivý tlakový gradient

viskózna

(y+ ≈ 0–5) (y+ ≈ 30–300)

y = 0.2 hrúbkymedz. v.

(deficit rýchlosti)

y+ ≈ 300 (podľa Re)

Reθ = 5000

plne turbulentná

Obr. 3.3 Zónymedznej vrstvy podľa priebehu rýchlosti.

Podľa tohto obrázku by prvok, ktorý je najbližšie k stene, mal maťmaximálne takú veľkosť,

aby celý ležal vo viskóznej vrstve. To zodpovedá vzdialenosti y+ < 3–5, optimálne okolo

hodnoty 1. Nevhodné sú jednak väčšie prvky, ale aj menšie – aj keď v prípade riešiča AN-

SYS CFX je použitá automatická stenová funkcia, ktorá sa s menšími prvkami vysporiada

bez následkov na presnosť. Ďalším obmedzením je, že veľkosti prvkov majú rásť exponen-

ciálne so vzdialenosťou od steny. Používajú sa mocninové exponenty v rozsahu 1.1–1.2.

Pri väčších hodnotách začínajú byť zreteľné odchýlky od presného riešenia.

57

LF KLI

3.6 Metóda konečných objemov

Numerické algoritmy použitých programov (ANSYS CFX, FLUENT) sú založené na me-

tóde konečných objemov, ako ostatne prevažná väčšinaCFD riešičov.Označuje sa aj skrat-

kou FVM (z angl. Finite Volume Method). Metóda je diskrétnym ekvivalentom metódy

kontrolného objemu, používanej vo fyzike a technike. Používa integrálny tvar rovníc, preto

automaticky zaručuje splnenie zákonov zachovania a to bez ohľadu na druh siete a jej de-

tailnosť. Integrálny tvar je tiež veľmi výhodný pri zachytení diskontinuít v prúdení, akými

môže byť napríklad rázová vlna, alebo vstup chladiaceho vzduchu na stenách.

element

stredelementu

uzol

konečný objem

Obr. 3.4 Vzťahmedzi elementom siete a konečným objemom.

Diskretizačná schéma metódy FVM je založená, ako názov napovedá, na konečných

objemoch, ktoré sú tvorené časťami susedných prvkov výpočtovej siete so spoločným vr-

cholom (uzlom) – viď obr. 3.4. Počítané hodnoty prúdového poľa sú uchovávané v strede

kontrolného objemu, t. j. v uzloch výpočtovej siete. Tieto hodnoty sú získavané súčtom

priemerných hodnôt po obsahu jednotlivých segmentov, ktoré tvoria kontrolný objem.

Spôsob diskrétnej aproximácie integrálov určuje rád použitej aproximačnej schémy, ktorý

spolu s hustotou siete určuje presnosť riešenia a na druhú stranu aj rýchlosť konvergencie

výpočtu (prípadne až stabilitu). K dispozícii je aproximácia advekčnej schémy 1. rádu

58

LF KLI

(užitočná hlavne pre zvýšenie stability pri prvých iteráciách výpočtu) a ostatné schémy

max. 2. rádu, ktoré dosahujú väčšiu presnosť, ale v určitých situáciách vedú k pomalej kon-

vergencii. V prípade výpočtu vANSYS CFXbola použitá schéma „HighResolution“, ktorá

je schémou 2. rádu, ale v miestach diskontinuít (rázových vĺn) sa automaticky degraduje

na schému 1. rádu.

Výsledný systém algebraických rovníc bol riešený iteračnou metódou. Pri obidvoch

programoch a vo všetkých prípadoch bol použitý združený riešič, kde hodnoty hustoty

a rýchlostného poľa tvorili jednu maticu. V riešenej úlohe sa jedná o vysoko stlačiteľné

prúdenie, kde dosahuje združený riešič rýchlejšiu konvergenciu ako segregovaný riešič.

Model turbulencie bol riešený segregovaným spôsobom. V programe ANSYS CFX bola

segregovaným spôsobom riešená aj rovnica energie.

originálna sieť

hrubá sieť (prvá úroveň)

hrubá sieť (ďalšia úroveň)

Obr. 3.5 Multigridmetóda.

Vzhľadom k veľkej hustote siete bol pre urýchlenie konvergencie v konečnej fáze vý-

počtu použitý multigrid algoritmus. Podstatou multigrid algoritmu je vytvorenie hierar-

chie hrubších sietí – viď obr. 3.5. Problémom bodovo-implicitných iteračných metód typu

59

LF KLI

Gauss-Seidel je, že dokážu účinne redukovať iba lokálne chyby (reziduá v rovnováhe rov-

níc), ktorých vlnová dĺžka nie je oveľa väčšia ako priestorový krok siete (veľkosť prvkov).

Korekcia celkových chýb, s veľkou vlnovou dĺžkou, je spomaľovaná veľkýmmnožstvom su-

sedných prvkov. To je dôvod, prečo pri zväčšení hustoty siete, rýchlosť konvergencie klesá

rýchlejšie ako počet prvkov. Hrubšia sieť urýchľuje komunikáciu týchto korekcií prostred-

níctvom zmenšenia počtu susedných prvkov – dochádza k čiastočnej premene celkovej

chyby na pôvodnej, detailnej, sieti na lokálnu chybu na hrubej sieti, ktorá je iteračným

riešičom odstraňovaná rýchlejšie ako celková chyba. Korekcia je potom prenesená naspäť

na pôvodnú sieť, kde spôsobí vznik chyby, ale už iba lokálnej povahy, ktorá je následnou

iteráciou rýchlo odstránená.

3.7 Popis výpočtovej siete

Pre obidva programy bola vytvorená sieť v podobe periodického výseku. V obvodovom

smere mal tento výsek rozsah 1/15 kruhu (t. j. uhol 24◦). Tvar výseku pre riešič FLUENT

vidno v ľavej časti obrázku 3.6. Neskoršie vytváraná sieť pre riešič ANSYS CFX mala už

Obr. 3.6 Tvar výpočtovej oblasti pre FLUENT aANSYS CFX.

60

LF KLI

jednoduchší tvar vstupnej a výstupnej oblasti, lebo sa to ukázalo ako dostatočné (viď pravá

časť obrázku 3.6). Takýto tvar oblasti vyžaduje použitie periodickej okrajovej podmienky

na bočných stenách a presný geometrický obraz protiľahlých povrchových sietí na týchto

stenách.

Výpočtová sieť pre riešič FLUENT bola pripravená v generátore GAMBIT a vzhľadom

k vtedajším nedostatkom tohto generátora musela byť sieť vytvorená ako neštruktúro-

vaná, s použitím štvorstenových prvkov (Tetra). Povrchovú sieť (rotačne znásobenú) tohto

modelu vidno na obr. 3.7.

Obr. 3.7 Povrchová sieť modelu pre FLUENT.

Pre riešič ANSYS CFX bola vytvorená dokonalejšia sieť pomocou poloautomatizova-

ného generátora štruktúrovaných rotačných sietí TURBOGRID zo systému ICEM CFD.

Použitie štruktúrovanej siete na takú zložitú geometriu má za následok vznik veľmi de-

formovaných prvkov (viď obr. 3.8). Jedine pri J-topológii je možné tento problém obísť,

61

LF KLI

ale vytváranie takejto topológiemanuálne je veľmi pracné. Veľkou výhodou štruktúrovanej

siete je plná kontrola nad hustotou siete v celom objeme a veľmi jednoduché vytváranie

prizmatických prvkov v medznej vrstve a v obvodovej medzere. Detaily výslednej siete

s obvodovoumedzerou sú na obr. 3.9.

O-topológia C-topológia H-topológia

J-topológia

miesta so zlou kvalitou siete

Obr. 3.8 Topológie používané pre sieťovanie geometrie lopatiek.

62

LF KLI

Pri vytváraní detailnej siete vmedznej vrstve bola treba dodržať obmedzenie použitej verzie

ANSYS CFX (512 000 uzlov). Prednosť mala medzná vrstva na lopatke a v obvodovej

medzere.Na lopatkebol prvýkrok siete 0.006mm,vobvodovejmedzere0.002mm.Cieľom

bolo dosiahnuť v obidvoch miestach hodnotu y+ = 0.7–1.5. Na náboji bola očakávaná

hodnota okolo 40–50. Z obrázku 3.10, kde je pre kontrolu zobrazená hodnota y+ po

skončení výpočtu, je zrejmé že toto kritérium bolo dodržané.

Obr. 3.9 Štruktúrovaná J-sieť vytvorená vTURBOGRID-e.

Výsledná veľkosť siete bola 502 000 uzlov a 522 000 objemových prvkov.

63

LF KLI

Obr. 3.10 Výsledné zobrazenie y+ po plochách dúchadla.

64

LF KLI

3.8 Popis modelu prúdenia a okrajových podmienok

Prúdenie v dúchadle bolo definované ako stlačiteľné, preto bola okrem rovníc hybnosti

a kontinuity počítaná aj rovnica energie. Kvôli tomu bol pre vzduch použitý model ide-

álneho plynu (molárna hmotnosť 28.96 kg/kmol). Viskozita vzduchu bola konštantná –

1.831·10−5 kg m−1 s−1

Turbulencia bola riešená segregovaným spôsobom – použitý bol model SST a model

prechodu γ-Reθ (skrátene len gama-theta). Intenzita turbulencie na vstupe bola 1%.

okrajové podmienky

vstup

výstupstena(wall)

(inlet)

(outlet)

periodicita

1 2

geometria numerickéhomodelu

Obr. 3.11 Využitie periodicity pre zmenšenie geometrickej oblasti modelu.

Schematický nákres výpočtovej oblasti, aj s definovanými okrajovými podmienkami, je

na obrázku 3.11. Zadná a predná časť boli nehybné, stredná časť rotovala rýchlosťou

9 981 ot./min. Na rozhraní medzi nehybnou a rotujúcou oblasťou bola použitá jednodu-

chá schéma „Frozen rotor“. Priľahlé steny boli nastavené s okrajovou podmienkou „No

slip“, pričom všetky boli spojené s pohybom rodičovskej oblasti, okrem vonkajšieho plášťa

v strednej časti, ktorý bol nastavený tiež ako nehybný (nastavením rovnakej rýchlosti rotá-

cie, ale opačne relatívne voči otáčaniu rodičovskej oblasti).

65

LF KLI

πc

Q

p1c=konšt., p2=konšt.

n=konšt.

Obr. 3.12 Definícia pracovného bodu charakteristiky statickým tlakom na výstupe.

Čo sa týka kombinácie okrajových podmienok na vstupe a výstupe, cieľom bolo získa-

nie škrtiacich charakteristík tlaku, preto padla voľba na tlakové podmienky. Podmienky

museli umožňovať získanie charakteristiky s nemonotónnym priebehom (viď obr. 3.12),

preto bola zavrhnutá možnosť s celkovým tlakom na výstupe aj vstupe. Podľa príručky

[Ansys CFXUser’s Guide, 2007, Modelling, s. 50] existuje aj závažnejší dôvod – okrajová

podmienka celkového tlaku na výstupe je numericky nestabilná. Zvolená bola kombinácia

typu: celkový tlak na vstupe a statický tlak na výstupe. Hodnota na vstupe bola držaná

vo všetkých prípadoch na rovnakej úrovni, aby nebolo potrebné prepočítavať redukované

hodnoty, t. j. celkový tlak 101 325 Pa a teplota 288 K. Pretože výstup je rozdvojený (podľa

výkresov meracieho zariadenia), bolo potrebné zadávať dva výstupné tlaky. Podľa úvod-

nej časti meraní [PS-TSb, 1988] však celkové stlačenie vo vonkajšom prúde nezávisí na

obtokovom pomere, preto boli obidva tlaky nastavované na zhodné hodnoty.

Charakteristické pomery v prúdovom poli dúchadla po dosiahnutí konvergencie sú na

obrázkoch 3.13 a 3.14.

66

LF KLI

Obr. 3.13 PriebehMachovho čísla po lopatke a v rezoch.

67

LF KLI

Obr. 3.14 Trecie napätie na povrchu lopatky.

68

LF KLI

4 Výsledky

Výsledky počítačovej simulácie boli získané z troch modelov, pričom výpočet každého

modelu pozostával zo série prípadov, s účelom získania tvaru škrtiacej charakteristiky.

Jednotlivé výpočtovémodely sú označené nasledovnými skratkami:

Fluent SA t000 – riešič FLUENT 5, model turbulencie Spalart-Allmaras, neštruktúro-

vaná Eulerovská sieť, geometria bez obvodovej medzery.

CFX SST t000 – riešič ANSYS CFX 11,model turbulencie k-ω SST, štruktúrovaná NS

sieť, geometria bez obvodovej medzery.

CFX SST t063 – ako predchádzajúci model, ale s modifikovanou geometriou na obvode,

to znamená: riešič ANSYS CFX 11,model turbulencie k-ω SST, štruktúrovaná NS

sieť, geometria s obvodovoumedzerou 0.63mm.

Namerané hodnoty boli rekonštruované z grafov v technickej správe [PS-TSb, 1988] prog-

ramom g3data [Frantz, 2008], pričom z celého súboru boli potrebné iba hodnoty vzťahu-

júce sa k prototypuEDV2.01.03.017, ktorý je vzorom sériovo vyrábaného dúchadla.

Kvôli porovnaniuboli zvolenéotáčky9981ot./min.Výsledkypočítačovéhomodelovania

pri týchto otáčkach sú v tabuľkách 4.1, 4.2 a 4.3. Výsledky experimentu pri tých istých

otáčkach sú v tabuľke 4.4. Pre úplnosť sú uvedené aj výsledky celkového stlačenia pre

všetky otáčky, zistené pri experimente, v tabuľke 4.5.

Hodnoty izentropickej účinnosti pre počítačové modely aj pre experiment boli vypočí-

tané podľa vzorca 1.1 (str. 13) upraveného vzhľadom na parametre vo vonkajšom prúde,

s uvažovaním konštantnej hodnoty adiabatického koeficientu γ = 1.4:

η iz =πc II

0.286 − 1T2c IIT1c− 1

(4.1)

Hodnoty prietoku a otáčok sú redukované – prepočítané na štandardné podmienky (p1c

= 101 325 Pa, T1c = 288 K), takže umožňujú vzájomné porovnanie, podobne ako sa to

69

LF KLI

zvykne robiť pomocou bezrozmerových parametrov. Definícia redukovaných otáčok bola

odvodená vzorcom 1.5 na str. 29:

Qr = Q ·√

T1c288 K

· 101 325 Pap1c

Redukované otáčky sú definované vzorcom 1.6 na str. 29:

nr = n ·√

288 KT1c

Prenázornejšiukonfrontáciu výpočtov smeraniami súhodnotypreotáčky9981ot./min.

vynesené v dvoch grafoch. Na obr. 4.1. sú zobrazené škrtiace charakteristiky celkového

stlačenia a na obr. 4.2. sú zobrazené škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti. Hod-

noty počítačových modelov sú jednoducho spojené lomenou čiarou, experimentálne hod-

noty sú preložené aproximačnou krivkou.

Pre zdôraznenie vzájomného rozdielu medzi meraním a výpočtami v pomere k celko-

vému rozsahu nameraných charakteristík a pre znázornenie vhodnosti použitej aproxi-

mačnej krivky, sú na obr. 4.3 zobrazené všetky výsledky celkového stlačenia vo vonkajšom

prúde (okrem výpočtov pre 9 981 ot./min. aj experimentálne hodnoty pre všetky otáčky).

Tabuľka 4.1 Fluent SA t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty

prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]

A070 43.36 101325 288 144560 327.2 1.427 0.785

A080 43.36 101325 288 145765 327.5 1.439 0.798

A090 43.20 101325 288 150860 329.5 1.489 0.836

A095 42.82 101325 288 153657 330.9 1.516 0.848

A100 41.93 101325 288 155957 332.4 1.539 0.851

A105 40.76 101325 288 158335 334.4 1.563 0.844

A110 39.12 101325 288 160808 336.8 1.587 0.833

70

LF KLI

Tabuľka 4.2 CFXSST t000 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty

prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]

80 43.35 101325 288 147566 327.4 1.457 0.830

90 42.89 101325 288 152153 329.9 1.502 0.848

100 41.41 101325 288 156916 333.3 1.549 0.848

110 38.88 101325 288 162986 338.2 1.609 0.835

120 18.24 101325 288 147825 347.2 1.459 0.802

Tabuľka 4.3 CFXSST t063 pri otáčkach 9 981 ot./min – výsledné hodnoty

prípad Qr p1c T1c p2c II T2c II πc II η iz II[kg/s] [Pa] [K] [Pa] [K] [1] [1]

70 43.43 101325 288 144192 325.7 1.423 0.811

80 43.31 101325 288 146845 327.2 1.449 0.822

90 42.73 101325 288 151150 329.6 1.492 0.837

100 41.24 101325 288 156038 333.1 1.540 0.839

110 38.72 101325 288 162512 338.1 1.604 0.830

Tabuľka 4.4 Experiment pri otáčkach 9 981 ot./min – hodnoty pre EDV2.01.03.017

Qr πc II η iz II[kg/s] [1] [1]

42.70 1.450 0.740

41.21 1.560 0.799

39.31 1.612 0.789

37.23 1.641 0.750

36.81 1.643 0.729

35.09 1.612 0.679

71

LF KLI

Tabuľka 4.5 Experimentálne stlačenie – úplné hodnoty pre EDV2.01.03.017

nr = 9981 min−1 10875 min−1 11729 min−1 12552 min−1 13100 min−1

Qr πc II Qr πc II Qr πc II Qr πc II Qr πc II[kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1] [kg/s] [1]

42.70 1.450 45.88 1.592 49.31 1.731 51.67 1.848 52.66 1.927

41.21 1.560 45.49 1.699 48.83 1.830 51.63 2.048 52.65 2.028

39.31 1.612 43.98 1.748 46.78 1.923 51.46 2.117 52.61 2.260

37.23 1.641 42.55 1.770 46.28 1.959 50.90 2.132 51.56 2.293

36.81 1.643 42.11 1.777 46.06 1.961 49.31 2.157 50.68 2.297

35.09 1.612 38.57 1.766 42.14 1.941 47.78 2.158 50.38 2.297

47.41 2.159 49.33 2.282

72

LF KLI

redukovaný prietok Qr [kg/s]454443424140393837363534

celkovéstlačenievo

vonk

.prúde

πcII

[1]

experimentFluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063

1.7

1.6

1.5

1.4

Obr. 4.1 Škrtiace charakteristiky celk. stlačenia pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min.

redukovaný prietok Qr [kg/s]454443424140393837363534

izentrop

ická

účinno

sťvo

vonk

.prúde

ηizII

[1] experiment

Fluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063

0.9

0.85

0.8

0.75

0.7

Obr. 4.2 Škrtiace charakteristiky izentropickej účinnosti pri reduk. otáčkach 9 981 ot./min.

73

redukovaný prietok Qr = Q√

T1c288

101325p1c

[kg/s]5550454035302520

celkovéstlačenievo

vonk

.prúde

πcII=

p2cII

p1c

[1]

experimentFluent SA t000CFX SST t000CFX SST t063

13100 ot./min.

12552 ot./min.

11729 ot./min.

10875 ot./min.

nr = 9981 ot./min.

2.4

2.2

2

1.8

1.6

1.4

Obr. 4.3 Úplné škrtiace charakteristiky celk. stlačenia

LF KLI

5 Záverečné poznámky

5.1 Diskusia výsledkov

Namerané výsledky sú zaťažené veľkým rozptylom, preto boli v zdrojovom dokumente

aproximované, ale popis aproximačnej krivky nie je nikde zadokumentovaný a je vysoká

pravdepodobnosť, že aproximácia bola urobená od ruky. Spojnicový graf by bol veľmi rozk-

mitaný, takže som aspoň pri charakteristikách stlačenia vykonal aproximáciu exaktnejším

spôsobom. Použitá bola aproximačná funkcia:

πc = k1 +k2Qr− k3Qr

ktorá umožňuje dobrú aproximáciu v limitnom prípade maximálnych otáčok. Konštanty

k1, k2, k3 boli nájdené nelineárnou optimalizáciou v programe GNUPLOT. Bola pou-

žitá metóda najmenších štvorcovMarquardt-Levenberg. Krajné body na hranici pumpáže

boli ignorované, pretože by vyžadovali zložitejšiu aproximačnú funkciu. Aproximácia pri

menších rýchlostiach otáčania je zhoršená malým počtom bodov v oblasti najprudšieho

zakrivenia. Aj tak je však badateľná zmena charakteristiky z typického supersonického

upchatia pri maximálnych otáčkach (zvislá časť charakteristiky) po pozvoľný priebeh pri

minimálnych otáčkach.

Charakteristika izentropickej účinnosti bola ponechaná s pôvodnou aproximačnou kriv-

kou, pretože dostatočne verne sleduje namerané body a aj vzhľadomna veľký rozdielmedzi

nameranými a vypočítanými výsledkami.

Vypočítané charakteristiky boli ponechané bez aproximácie, pretože aj jednoduché spoj-

nice bodov sú v tomto prípade dostatočne prehľadné.

Je nutné spomenúť, že výpočtová hodnota izentropickej účinnosti bola veľmi závislá na

použitej metóde výpočtu. Použitá metóda spočívala v použití priemerných hodnôt tlakov

a teplôt, ktoré boli zisťované v dostatočnej vzdialenosti pred a za lopatkou. Pri použití

metód, ktoré integrovali uvedené parametre v miestach tesne pred a tesne za lopatkou,

75

LF KLI

vychádzala izentropická účinnosť približne o 10 % vyššia. Možnou príčinou je vplyv za-

okrúhľovacej chyby pri priemerovaní parametrov po oblasti, s veľkou variáciou hodnoty,

k čomu sa na výstupnej strane môže pripočítať ešte vplyv strát v úplave za lopatkou vo

väčšej vzdialenosti.

Pri porovnaní výpočtových výsledkov ako celku s meraniami je vidieť podobné trendy

charakteristík, ale je zreteľný mierny posun výpočtových charakteristík smerom k vyš-

šiemu prietoku o 1.5 % a podobne veľký posun smerom k nižšiemu stlačeniu. Tento posun

je rovnaký pri výpočtoch vykonaných pomocou dvoch rôznych softvérových nástrojov a pri

použití diametrálne odlišných sietí. Je vysokonepravdepodobné, že bybol tentoposun spô-

sobený nejakou nedokonalosťou v modelovaní turbulencie a medznej vrstvy. V prospech

toho hovorí jednoduché porovnanie mierky medznej vrstvy k mierke prietočného kanálu

a prihliadnutie na to, že v danom prípade nedošlo k separácii prúdenia významnejšieho

rozsahu. Ďalšia príčina – iné tlakové pomery v systéme rázových vĺn, je vylúčená faktom,

že izentropická účinnosť výpočtových bodov je vyššia než pri nameraných. Ostáva už iba

kinematický vplyv spôsobený mierne odlišným tvarovaním meraného prototypu (ozna-

čenie EDV2.01.03.017), a sériového výrobku, ktorého výrobná geometria bola použitá

pri výpočte. To vysvetľuje aj to, prečo je vrchol izentropickej účinnosti pri výpočtoch tiež

posunutý k vyšším hodnotám prietoku.

Pri porovnaní výpočtových výsledkov ideálneho prípadu (bez obvodovej medzery) je

výpočet pomocou hrubej siete (bez detailov v medznej vrstve) a pomocou jednoduchšieho

modelu turbulencie (SA), urobený v systéme FLUENT) mierne optimistický, čo je ale

hneď vykompenzované opačným rozdielom v oblasti väčšieho zaťaženia, kde sa zrejme

prejavuje predčasné predpovedanie separácie jednoduchším modelom. To je v zhode aj

s charakteristikou izentropickej účinnosti. Celkovo však ide o malé rozdiely vzhľadom

k výsledkom tretieho prípadu – s vplyvom obvodovej medzery.

Na výpočtovom prípade s vplyvom obvodovej medzery 0.63 mm je zreteľný pokles cel-

kového stlačenia a izentropickej účinnosti v celom rozsahu škrtenia prietoku, čo je v zhode

s predpokladmi. Pokles celkového stlačenia je rádovo 1 % a pokles izentropickej účinnosti

76

LF KLI

takisto 1%.

Tento výsledok je v podobnom rozsahu, ako udáva [Walsh a Fletcher, 2004, s. 177], kde

je uvedené zníženie účinnosti o 1–2% pri zväčšení obvodovej medzery o 1%.

Nameraná charakteristika izentropickej účinnostimánižšie hodnoty ako výpočtové cha-

rakteristiky. Rozdiel je približne 3.5 %. Možnou príčinou je iná veľkosť a nepravidelnosť

obvodovej medzery, alebo nedokonalý povrch meraného telesa. Veľkosť a tvar skutočnej

medzery nie je známy a je veľmi ťažko zistiteľný pri experimente. Najschodnejšou cestou

k týmto údajom by bola kombinovaná numerická analýza združujúca metódy CFD a me-

tódy konečných prvkov (FEM) používané pri analýze napätosti tuhých látok (CAE, resp.

CSD). Tieto združené metódy sú známe aj pod označením FSI (Fluid-Structure Interac-

tion).

Hypotéza, že výsledky súčasných metód CFD sú hodnoverné (resp. validné) pri výpočte

transsonického prúdenia v dúchadle leteckého turbínového motora, bola potvrdená. CFD

metódy jemožné využívať na kvantitatívnu analýzu apredpovedanie, vrátane vplyvov strát,

ktoré hoci ibamálo vplývajúna absolútnuhodnotuparametrovprúdenia, v celkovej súvahe

majú veľký vplyv na parametre aerodynamickej efektívnosti návrhu.

5.2 Prínosy dizertačnej práce

5.2.1 Prínos pre vedný odbor

V teoretickej oblasti táto práca referenčnú hodnotu, pretože prináša zriedkavo sa vyskytu-

júce výsledky merania reálneho transsonického dúchadla, ako aj CFD výsledky s použitím

najnovších verejne dostupnýchmetód.

Druhým prínosom pre vedu je aplikácia najnovších metód RANS s modelovaním pre-

chodumedznej vrstvy pri modelovaní transsonického dúchadla s obvodovoumedzerou.

77

LF KLI

5.2.2 Prínos pre inžiniersku prax

Hlavný prínos tejto práce spočíva v praktickej oblasti, kde prináša potvrdenie validity vý-

sledkov moderných CFDmetód pre účely výpočtu transsonického prúdenia v dúchadlách

leteckých dvojprúdových motorov. Táto oblasť aplikácie metód CFD je Slovensku úplne

nová. Vo svetovommeradle je táto aplikácia, s vysokou pravdepodobnosťou, bežná, ale cez

to všetko tu chýbal podobný typ práce. Najbližším typom projektu je [QNET-CFD], ktorý

má široký záber a poskytuje výsledky pre podobné, ale nie totožné, aplikácie. Hodnota

práce spočíva nielen v potvrdení hypotézy, ale aj v popise metódy, ktorá môže mať, hlavne

na Slovensku, význam v podobe určitého návodu, ako riešiť podobný problém.

Práca predstavuje príspevok k výskumu transsonických lopatkových mreží, ktorý v sú-

časnosti zažíva rozvoj a je prostriedkom k získaniu výhod v konkurenčnom boji výrobcov

leteckých prúdovýchmotorov pre civilnú dopravu aj vojenské použitie.

Konkrétnym prínosom sú aj dôsledky potvrdenia hypotézy, to znamená, že vývoj trans-

sonického dúchadla je možné úspešne viesť aj bez väčšiny finančne náročných experimen-

tov a pri odbornom zvládnutí CFD technológie je možné túto technológiu považovať za

náhradumerania na skutočnom objekte.

5.3 Ďalšie smerovanie výskumu

V priebehu práce sa ukázalo, že predsavzaté ciele sú uskutočniteľné. Úlohy, ktoré by bolo

potrebné alebo vhodné riešiť pri pokračovaní tohto výskumu, sú nasledovné:

1. Získanie kvalitnejších experimentálnych výsledkov – konkrétne odstránenie po-

chybností o geometrii fyzikálneho modelu a intenzite turbulencie na vstupe. To je

možné iba v spolupráci s výrobcom, ktorýmá príslušnú testovaciu základňu.

2. Analýza veľkosti a tvaru obvodovej medzery následkom odstredivých a aerodyna-

mických síl, pomocou metód FSI (Fluid-Structure Interaction). Viď [Gašparovič a

Semrád, 2000].

78

LF KLI

3. Analýza závislosti medzi šírkou obvodovej medzery a znížením celkového stlačenia

a termodynamickej účinnosti.

4. Analýza závislosti medzi relatívnym Machovým číslom a znížením celkového stla-

čenia a termodynamickej účinnosti následkom obvodovej medzery. Jednalo by sa

o výpočet v dvoch až troch charakteristických režimoch (výrazne subsonický, vý-

razne supersonický a prípadne aj transsonický).

5. Analýza citlivosti použitého modelu turbulencie na intenzitu turbulencie na vstupe

do dúchadla.

Pri týchto úlohách by mohla byť využitá existujúca štruktúrovaná sieť a použitý CFD

nástroj ANSYS CFX. Pri zväčšení výpočtovej kapacity by bolo možné v rozumnom čase

riešiť aj nasledovné problémy:

• Citlivostná analýza presnosti výpočtu charakteristík v závislosti na hustote siete.

• Analýza vplyvu Machovho a Reynoldsovho čísla na izentropickú účinnosť pri exis-

tencii obvodovej medzery.

79

LF KLI

Zoznam použitej literatúry

3rd AIAA CFD Drag Prediction Workshop [online]. 2006. [upd. 29.11.2006] [cit.

14.1.2008].

<http://aaac.larc.nasa.gov/tsab/cfdlarc/aiaa-dpw/>

ANDERSON, J.D., Jr., 1995. Computational FluidDynamics. 1. vyd.McGraw-Hill, 1995.

574 s. ISBN 0070016852.

Ansys CFXRelease 11, User’s Guide. Ansys Inc., USA, 2007.

Ansys ICEMCFD, User’s Guide. Ansys Inc., USA, 2007.

BARDINA, J. E. – HUANG, P. G. – COAKLEY, T. J., 1997. Turbulence Modeling Valida-

tion, Testing, and Development. Tech. Spr. NASA-TM-110446, 1997. [cit. 28.1.2008].

<http://hdl.handle.net/2060/19970017828>

BERTIN, J. J. – SMITH, M. L., 1989. Aerodynamics for Engineers. 2. vyd. Prentice-Hall,

1989. xvi + 576 s. ISBN 0130182435.

BLUNDELL,S. –BLUNDELL,K., 2006.Concepts inThermalPhysics. OxfordUniversity

Press, 2006. 483 s. ISBN 0198567707.

BORDELON, L., 2006. Design of Experiments Applied to Flight Testing. In: NATO RTO

Lecture Series SCI-176 onMission Systems Engineering. LiptovskýMikuláš, 2006.

BOYCE,M. P., 2001. Gas Turbine Theory. 2. vyd. Gulf Professional Publishing, 2001. 640

s. ISBN 0884157326.

CASEY,M., 2004. QNET-CFDNetwork Newsletter volume 2, no. 4: Best practice advice for

turbomachinery internal flows [online], 2004. [cit. 11.4.2005].

<http://www.qnet-cfd.net/newsletter/8th/n8_40-46.pdf>

CFD-Online –Wiki [online]. [cit. 28.1.2008].

<http://www.cfd-online.com/Wiki/Fluid_dynamics>

80

LF KLI

CHEN, H. – TEIXEIRA, C. – MOLVING, K., 1997. Digital Physics Approach to CFD:

Some Basic Theoretical Features. International Journal of Modern Physics C, 1997, 8,

č. 4, s. 675 – 684. ISSN 01291831. [cit. 28.1.2008].

<http://dx.doi.org/10.1142/S0129183197000576>

COHEN, H. – ROGERS, G. F. C. – SARAVANAMUTTOO, H. I. H., 1996. Gas Turbine

Theory. 4. vyd. Longman, 1996. 455 s. ISBN 0582236320.

ČARNOGURSKÁ,M., 2000. Základymatematického a fyzikálnehomodelovania vmecha-

nike tekutín a termodynamike. Košice: Vienala, 2000. 176 s. ISBN 8070993448.

ERCOFTACBest Practice Guidelines [online]. [cit. 11.4.2005].

<http://www.ercoftac.org/index.php?id=77>

Fluent 5, User’s Guide, Vol 1–4. Fluent Inc., USA, 1998.

FRANTZ, J., 2008. g3data 1.5.1 [program]. software, 2008. [cit 28.1.2008].

<http://www.frantz.fi/software/g3data.php>

GAŠPAROVIČ, P. – SEMRÁD, K., 2000. Spojenie metód CFD a FEM pri komplexnom

návrhu súčastí v letectve. In: zborník konferencieTRANSFER2000. Trenčín: Trenčianska

univerzita, 2000. s. 89–94.

GORLA, R. S. – KHAN, A. A., 2003. Turbomachinery: Design and Theory. 1. vyd. CRC,

2003. 424 s. ISBN 0824709802.

GUNSTON,B., 2004. TheCambridgeAerospaceDictionary. CambridgeUniversity Press,

2004. 750 s. ISBN 0521841402.

HALL, E. – TOPP, D. – HEIDEGGER, N. J. – MCNULTY, G. S. – WEBER, K. F. –

DELANEY, R. A., 1996. Task 7 — Endwall Treatment Inlet Flow Distortion Analysis

Final Report. Tech. Spr. NASA-CR-195468, 1996. [cit. 28.1.2008].

<http://hdl.handle.net/2060/19960027952>

81

LF KLI

HASSENPFLUG, W. C., 1993. Matrix Tensor Notation Part I. Rectilinear Orthogonal

Coordinates. ComputersMath. Applic., 1993, 26, č. 3, s. 55–93.

HEČL, P. – KOŘÁNEK, M. – MAŠEK, Z. – NEVEČEŘAL, J. – VESELKA, R., 2000.

Využití CFD programu Fluent pro vývoj lopatkových strojů. Letecký zpravodaj, 2000, ,

č. 1, s. 33–39. ISSN 1211877X.

HOCKO,M., 2007. DV-2 (popismotora) [online]. 2007. [upd. 7.10.2007] [cit. 14.1.2008].

<http://www.mzak.cz/motory/dv-2/>

HOUGHTON,E.L. –CARPENTER,P.W., 2003. Aerodynamics forEngineeringStudents.

5. vyd. Butterworth-Heinemann, 2003. 590 s. ISBN 0750651113.

ISO 31 (Quantities and units, International Organization for Standardization). Internati-

onal Organization for Standardization, Geneva, 3. vyd., 1992. ISBN 9267101854. [cit.

28.1.2008].

<http://en.wikipedia.org/wiki/ISO_31>

IUPAP-25: Symbols, Units, Nomenclature and Fundamental Constants in Physics (Red

book) [online]. International Union of Pure and Applied Physics (IUPAP), 1987. [cit.

28.1.2008].

<http://www-v2.sp.se/metrology/IUPAP_SUNAMCO/

IUPAPSUNAMCOCommission_files/Information_IUPAPSUNAMCO.htm>

JOHNSON, F. T. – TINOCO, E. N. – YU, N. J., 2003. AIAA 2003-3439 Thirty years of

development and application of CFD at Boeing commercial airplanes, Seattle. In: AIAA

Applied Aerodynamics Conference. 2003.

JOSLIN, R. D., 1997. Discussion of DNS: past, present, and future [online]. 1997. [cit.

20.1.2008].

<http://hdl.handle.net/2002/15304>

KOLECKI, J. C., 2002. An Introduction to Tensors for Students of Physics and Engineering

[online]. 2002. [cit. 2008-04-15].

82

LF KLI

<http://www.grc.nasa.gov/WWW/K-12/Numbers/Math/documents/Tensors_

TM2002211716.pdf>

KROO, I., 2005. Applied Aerodynamics - A Digital Textbook. Desktop Aeronautics, 2005.

Version 4.1, August 1997. [cit. 1.3.2006].

<http://www.desktopaero.com>

KUNDU, P. K. – COHEN, I. M., 2002. Fluid Mechanics. 2. vyd. Academic Press, 2002.

730 s. ISBN 0121782514.

LANGTRY, R. B. –MENTER, F. R., 2005. TransitionModeling for General CFD Applica-

tions in Aeronautics. AIAA paper 2005-522, 2005. [cit. 2.3.2008].

<http://www.mesco.com.pl/produkty/ansys/cfx/tech_transmodel.pdf>

MASON,W.H., 1997. Applied Computational Aerodynamics - course notes [online], 1997.

[cit. 19.2.2002].

<http://www.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/CAtxtTop.html>

MASON, W. H. – DEVENPORT, W. J., 1998. Applied aerodynamics education: develop-

ments and opportunities. 16th AIAA Applied Aerodynamics Conference, Albuquerque,

1998. 14 s. AIAA Paper 98-2791. [cit. 2.5.2006].

<http://www.aoe.vt.edu/~mason/Mason_f/AIAA98-2791.pdf>

MOLNÁR, V., 1977. Príspevok k výpočtu prúdenia a lopatkových mreží v prúdovej vrstve

premenlivej hrúbky. habilitačná práca, SVŠT, Bratislava, 1977.

MOLNÁR, V., 2005. Teória prúdových strojov [online]. 2005. [cit. 28.1.2008].

<http://www.cfd.sk/tps>

MUNSON, B. R. – YOUNG,D. F. –OKIISHI, T. H., 2001. Fundamentals of FluidMecha-

nics. 4. vyd.Wiley and Sons, 2001. 816 s. ISBN 047144250X.

NEDELKA, M. – et al., 1998. Slovenský letecký slovník terminologický a výkladový. Brati-

slava:Magnet-Press, 1998. 494 s. ISBN 8096807307.

83

LF KLI

POPPER, K., 2002. The Logic of Scientific Discovery. Routledge, 2002. 544 s. [First

english edition 1959]. ISBN 0415278449.

POVAŽAN, J., 1999a. Konštrukcia matematických modelov leteckých turbo-

kompresorových motorov. Košice: Vojenská letecká akadémia gen. Milana Rastislava

Štefánika, 1999a. 67 s. ISBN 8071660302.

POVAŽAN, J., 1999b. Vybrané problémy projektovania leteckých motorov. Košice: Vojen-

ská leteckáakadémiagen.MilanaRastislavaŠtefánika, 1999b. 54 s. ISBN8071660329.

PS-TSa, 1983. Návrh ventilátorového stupňamotora DV-2. Technická správa 119/80-DV-

2-PB, Považské strojárne Leteckémotory, Považská Bystrica, 1983.

PS-TSb, 1988. Zmeranie termodynamických charakteristík ventilátorového stupňa NTK

motoraDV-2. Technická správa 14/88-DV2, Považské strojárne Leteckémotory, Považ-

ská Bystrica, 1988.

QNET-CFD – A Thematic Network For Quality and Trust [online]. [cit. 11.4.2005].

<http://www.qnet-cfd.net>

ROHSENOW,W.M. – HARTNETT, J. P. – CHO, Y. I., 1998. Handbook of Heat Transfer.

3. vyd.McGraw-Hill Professional, 1998. 1344 s. ISBN 0070535558.

RŮŽEK, J., 1975. Teorie leteckých motorů IV (nadzvukové kompresory). Brno: VAAZ,

1975. 87 s.

SCHLICHTING, H., 1968. Grenzschicht theorie. 5. vyd. Karlsruhe: Verlag G. Braun,

1968. 744 s. Rus. preklad: Teorija pogranichnogo sloja, NaukaMoskva, 1969.

SI: International SystemofUnits (SI brochure). Bureau International desPoids etMesures,

Paris, 8. vyd., 2006. ISBN 9282222136. [cit. 28.1.2008].

<http://www.bipm.org/utils/common/pdf/si_brochure_8_en.pdf>

ŠESTÁK, Z., 1999. Jak psát a přednášet o věde. Praha: Academia, 1999. 210 s. ISBN

8020007555.

84

LF KLI

ŠVÉDA, J., 1975. Teorie vrtulníků. VAAZBrno, 1975. 114 s.

TANNEHILL, J. C. – ANDERSON, D. A. – PLETCHER, R. H., 1997. Computational

Fluid Mechanics and Heat Transfer. 2. vyd. Taylor & Francis, 1997. 816 s. ISBN

156032046X.

WALSH,P. P. – FLETCHER,P., 2004. Gas turbine performance. 2. vyd. Blackwell Science,

2004. xiv + 646 s. ISBN 063206434X.

WESSELING, P., 2000. Principles of Computational Fluid Dynamics. 1. vyd. Springer-

Verlag, 2000. 656 s. ISBN 3540678530.

WHITE, F., 2002. Fluidmechanics. 5. vyd.McGraw-Hill, 2002. 866 s. ISBN0072402172.

WIESER,W. – ESCH, T. –MENTER, F., 2002. Heat Transfer Predictions using Advanced

Two-Equation Turbulence Models [online]. Tech. Spr. CFX-VAL10/0602, 2002. [upd.

11.6.2002][cit. 11.4.2005].

<http://www-waterloo.ansys.com/cfx/horizons/media/heat_transfer.

pdf>

WRIGHT, T., 1999. FluidMachinery: Performance, Analysis, and Design. CRC, 1999. 376

s. ISBN 0849320151.

85

LF KLI

Príloha: Zápis vektorov a tenzorov

Pre zápis (napr. vektora a, alebo tenzora τ ) je možné použiť tri spôsoby, pričom každý

z nich je najvýhodnejší v inej situácii:

• vektorovo-algebraický (alebo iba vektorový – pretože sa pri ňom využíva symbolika

vyvinutá kvôli vektorom), pri ktorom vynikne geometrický význam a fyzikálny zmy-

sel vzťahu medzi veličinami. Pre označenie vektora alebo tenzora sa často používa

symbol v podobe tučného znaku. Tento spôsobmá tieto nevýhody:

– nie je okamžite jasné či dané písmeno predstavuje vektorovú alebo tenzorovú

veličinu

– nie je vhodný pre písanie rukou (pri prednáškach apod.).

Tieto nedostatky sú ošetrené štýlompodľa [Hassenpflug, 1993]. pre účely tejto práce

bol zvolený podobný štýl, t. j. vektor označený jednou šípkou (~a), tenzor 2. rádu

(dyáda) označený dvoma šípkami (~~τ ).

• komponentový, ktorý má význam pre praktické výpočty, lebo umožňuje rozpísať

vzájomnné operácií medzi jednotlivými zložkami. Komponenty (zložky) je možné

označiť samostatnými písmenami (zložky u, v, w vektora rýchlosti), alebo písme-

nom veličiny s indexom označujúcim zložku (zložky u1, u2, u3 vektora rýchlosti).

Podoba s indexom je systematickejšia a je v podstate nevyhnutná pri práci s ten-

zormi – hovoríme vtedy o indexovom (alebo tenzorovom) zápise. Okrem toho, že

prináša výhodu v tom, že podľa počtu indexov je ihneď jasné či sa jedná o skalár (a),

vektor (ai), alebo tenzor 2. rádu (aij), umožňuje aj radikálne skrátiť väčšinu operácií

medzi zložkami (viď ďalší podnadpis)

• maticový – kde jednotlivé dimenzie predstavujú riadky. Takže fyzikálny vektor pred-

stavuje stĺpcovú maticu – index zložky označuje číslo riadku. V prípade tenzorov je

to obdobne – prvý index označuje číslo riadku. Napríklad vektor rýchlosti ~u a tenzor

86

LF KLI

~~τ sa zapíšu nasledovne:

u1

u2

u3

,

τ11 τ12 τ13

τ21 τ22 τ23

τ31 τ32 τ33

Indexový zápis komponentov

V inžinierskych aplikáciách sa rýchlosť zvykne označovať písmenami v aleboV . Jednotlivé

zložky rýchlosti sa označujú samostatnými písmenami ako u, v,w (podobne sú zaužívané

písmená x, y, z pre priestorové súradnice a i, j, k pre jednotkové vektory súradnicového

systému).

Vo fyzike tekutín, sa často manipuluje s mohými veličinami súčasne v niekoľkých di-

menziách a predchádzajúci spôsob so samostatným písmenom pre každú zložku každej

veličiny je neprehľadný (v prípade tenzorov úplne nepoužiteľný).

Preto sa používa indexový (tenzorový) zápis s jednoznačným písmenom pre označenie

fyzikálnej veličiny a s indexom pre jej jednotlivé zložky (u vektorov a tenzorov). Indexový

zápis okrem toho umožňuje použitie premenného indexu (ktorý sa dá nahradiť ľubovoľnou

dimenziou), kedy stačí vzťah zapísať iba raz a vzťah pre všetky dimenzie sa dá ľahko dostať

dosadením konkrétnej dimenzie za premenný index.

Napríklad, zložka rýchlosti sa zapíše ako ui, kde premenný index i nadobúda konkrétne

označenie priestorovej dimenzie (buď číselne: u1, u2, u3, alebo písmenne ux, uy, uz) . Tam

kde je v rovnici potrebné skombinovať viacero priestorových zložiek navzájom, použijú sa

pre označenia premenných indexov ďalšie písmená v poradí (tzn. i, j, k, l, ...).

Ďalšia veľká výhoda indexového zápisu spočíva v použití sumačnej konvencie (zavedenej

AlbertomEinsteinom), ktorá umožňuje značne skrátiť zložité zápisy.

Ak sa v nejakom samostatne stojacom výraze vyskytne nejaký index viac než raz, zna-

mená to automaticky (bez prítomnosti symbolu pre súčet) súčet cez všetky hodnoty tohoto

87

LF KLI

indexu (tj. cez všetky dimenzie). Index, ktorý spúšťa toto pravidlo sa nazýva opakovaný

alebo nepravý (dummy), ostatné indexy sa nazývajú voľné. Napríklad uiviwj je chápaný

ako u1v1wj + u2v2wj + u3v3wj . Index i je opakovaný, zatiaľčo index j je voľný.

Výnimka pri označovaní komponentov polohy

Zložky vektora polohy ~x sa označujú xi. Za index i sa dosadzujú symboly jednotlivých

priestorových dimenzií – v trojrozmernom karteziánskom priestore buď klasicky, ako x, y,

z, alebo číslami 1,2,3. Použitie písmenných hodnôt x, y, z je trochu nepohodlné, pretože to

vedie k neprehľadnému zápisu xx, xy, xz. To, spolu s všadeprítomnosťou zložiek vektora

polohy v deriváciách fyzikálnych rovníc, je príčinou, prečo sa popri indexovom zápise

používajú aj ekvivalentné jednopísmenové označenia zložiek. Táto výnimka je častá hlavne

pri vektoroch polohy a jednotkových vektoroch. Preto sa zložky polohy častejšie označujú

akox,y, z a jednotkové vektory~i,~j,~k. Aby tobolo zrozumiteľnejšie, nasledujú ekvivalentné

označenia. Pre zložky polohy:

x1 ≡��HHxx ≡ x

x2 ≡��ZZxy ≡ y

x3 ≡��ZZxz ≡ z

a pre jednotkové vektory bázy súradnicového systému:

~e1 ≡ ~ex ≡~i

~e2 ≡ ~ey ≡ ~j

~e3 ≡ ~ez ≡ ~k

U ostatných vektorov sa používa iba indexový zápis. Výnimka jednopísmenného označo-

vania je tu kontraproduktívna. Napr. pre zložky vektora rýchlosti ~u:

u1 ≡ ux ≡�Zu

u2 ≡ uy ≡�Zv

u3 ≡ uz ≡��ZZw

88

LF KLI

Kombinácia vektorovej amaticovej symboliky

Vzájomné kombinovanie vektorovej algebry (označenie šípkou, skalárny súčin, ...) a ma-

tícových operátorov (maticový súčin, transponovanie, ...) v jednej rovnici nie je ideálne,

pretože, prísne vzaté, ide o matematický aparát s iným druhom abstrakcie. Matice sú ab-

strakcia v podobe číselných polí a vektory vystihujú geometrickú abstrakciu veličín a ich

transformácie v súradnicových sústavách. Našťastie, v konkrétnych prípadoch ide o ich

prienik, ale aj tak sa treba vyhnúť nedorozumeniu pri operáciách ako je napr. súčin. Na-

príklad symbol súčinu (·) má jednu definíciu v algebre (práca s jednoduchými číselnými

objektmi), inú definíciu vo vektorovej algebre (práca s tenzorovými objektmi) a úplne inú

vmaticovom počte (práca s číselnými poliami). Budú používané tieto pravidlá:

1. Lineárny súčin v lineárnej algebre sa v podstate neodlišuje od súčinu so skalárnou

veličinou vo vektorovej algebre, preto sa bude používať ten istý symbol s bodkou

(·), prípadne len nulová medzera medzi písmenami (v jednoznačných prípadoch).

To je tzv. vonkajší súčin – zovšeobecnenie jednoduchého súčinu vo vektorovej al-

gebre. V prípade použitia na zložitejšie objekty (tenzory prvého a vyššieho rádu)

dochádza vzájomným roznásobením zložiek k vzniku tenzora s vyšším rádom. To

je kvalitatívne odlišný efekt oproti násobeniu skalárov. Zároveň, pri použití obvyk-

lej bodky pre súčin tenzorov dochádza veľmi ľahko k nedorozumeniu kvôli zámene

so skalárnym alebo maticovým súčinom. Z týchto dvoch dôvodov sa tam, kde je to

kvôli lepšej zrozumiteľnosti potrebné, používa symbol ⊗ (nazývaný aj tenzorový,

dyadický, alebo Kroneckerov súčin). Príklady:

a · b ≡ ab = c

a ·~b ≡ a~b = ~c

~a ·~b ≡ ~a~b ≡ ~a⊗~b = ~~τ

2. Skalárny (tiež aj vnútorný) súčin vektorov, alebo tenzorov je diametrálne odlišná

operácia a nedorozumením môže dôjsť k zámene s tenzorovým súčinom, alebo ma-

ticovým súčinom. Preto sa v súčasnosti pre skalárny súčin často uprednostňuje

89

LF KLI

výraznejší symbol (•). Na rozdiel od tenzorového súčinu dochádza k redukcii v ráde

tenzora. Príklady:

~a •~b = c

~a •~~b = ~c

3. Pre maticový súčin bude používaný obvyklý symbol (·). Pre vylúčenie nejednoz-

načnosti budú symboly, ktoré sa chápu ako matice, uzavreté vždy do hranatých

zátvoriek. Príklady:

[a] · [b] =

a11

a21

a31

·[b11 b12 b13

]=

a11b11 a11b12 a11b13

a21b11 a21b12 a21b13

a31b11 a31b12 a31b13

90

LF KLI

Register

A

adiabatický . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

aerodynamické upchatie . . . . . . . . . . 13

analytickémodelovanie . . . . . . . . . 18, 20

B

bezrozmerové čísla . . . . . . . . . . . . . . 24

Boussinesqova hypotéza . . . . . . . . . . 53

Braytonov cyklus . . . . . . . . . . . . . . . . 5

BuckinghamovΠ-teorém . . . . . . . . . 27

C

C, C++ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

CAE . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 39, 77

celkový . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

CFD . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi, 34

metódy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

učebnice . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

CSD . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22, 39, 77

D

disipácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

dvojprúdovýmotor . . . . . . . . . . . xvi, 3, 6

dúchadlo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

E

Eulerove rovnice . . . . . . . . . . . . . . . 17

experiment . . . . . . . . . . . . . . 17, 20, 30

F

FEM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

FORTRAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

FSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77, 78

fyzikálnemodelovanie . . . . . . . . . . . . 24

G

generátor plynu . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

H

hardvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

I

izentropický . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

J

JAVA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

jednoprúdovýmotor . . . . . . . . . . . . . . 4

K

karteziánske siete . . . . . . . . . . . . . . . 38

kinematika prúdenia . . . . . . . . . . . . . 15

kontinuum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

kritériá podobnosti . . . . . . . . . . . . . . 25

M

Machovo číslo . . . . . . . . . . . . . . . 21, 25

medzná vrstva . . . . . . . . . . . . . . . 55, 56

metóda konečných objemov . . . . . . . . 58

modelovanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

modelovanie prechodu . . . . . . . . . . . 55

modelovanie turbulencie . . . . . . . . 22, 53

molekulová teória . . . . . . . . . . . . . . . 33

91

LF KLI

motor

DV-2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

dvojprúdový . . . . . . . . . . . . . xvi, 3, 6

jednoprúdový . . . . . . . . . . . . . . . . 4

prúdový . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

turbokompresorový . . . . . . . . . . . xvii

turbínový . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

N

napätia

Reynoldsove . . . . . . . . . . . . . . . . 52

viskózne . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

nestabilita medz. vrstvy . . . . . . . . . . . 56

neštruktúrované siete . . . . . . . . . . . . 37

NS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

numerická difúzia . . . . . . . . . . . . . . 37

numerickémodelovanie . . . . . . . . . 18, 21

nárazovitosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

O

obtokový pomer . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

obvodovámedzera . . . . . . . . . . . . . . . 9

odtrhnuté prúdenie . . . . . . . . . . . . . . xvi

P

piestovýmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

počítačové prostriedky . . . . . . . . . . . 38

programovacie jazyky . . . . . . . . . . . . 40

propfan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

propulzia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

propulzívna účinnosť . . . . . . . . . . . . . 4

prúdenie

odtrhnuté . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

primknuté . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

prúdenie vmreži . . . . . . . . . . . . . . . 15

prúdovýmotor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

pumpáž . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi, 14

pád . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

R

redukované parametre . . . . . . . . . . . 29

Reynoldsovo priemerovanie, napätia . . 52

Reynoldsovo číslo . . . . . . . . . . . . 21, 25

rovnice

Boltzmannove . . . . . . . . . . . . 17, 33

energie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

Eulerove . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

kontinuity . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

Navier-Stokesove . . . . . . . . . . 17, 47

RANS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

rozmerová analýza . . . . . . . . . . . . . . 25

rozmerová analýza dúchadla . . . . . . . . 27

S

samopodobnosť . . . . . . . . . . . . . . . . 26

separácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

siete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36, 60

simulácia . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18, 21

softvér . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

Spalart-Allmaras . . . . . . . . . . . . . . . 53

SST . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

stagnačný . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

stlačenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii, 5

stlačiteľnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

straty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

92

LF KLI

subsonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

supersonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

Š

škrtiace charakteristiky . . . . . . . . . 14, 32

štruktúrované siete . . . . . . . . . . . . . . 37

T

termodynamická účinnosť . . . . . . . . . . 5

teória kontinua . . . . . . . . . . . . . . . . 33

teória podobnosti . . . . . . . . . . . . . . . 24

TKPM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

tlak

celkový . . . . . . . . . . . . . . . . . 12, 66

stagnačný . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

topológia siete . . . . . . . . . . . . . . . 36, 61

transsonický . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvi

turbokompresorové jadro . . . . . . . . . . 4

turbokompresorovýmotor . . . . . . . xvii, 3

turbínovýmotor . . . . . . . . . . . . . . xvii, 3

Ť

ťah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Ú

účinnosť . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

izentropická . . . . . . . . . . . . . . . . 13

propulzívna . . . . . . . . . . . . . . . 1, 4

zníženie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

V

ventilátor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . xvii

vrtuľa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

Y

y+ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

93