Ogólna teoria względności jest rozszerzeniem teorii szczególnej, której podstawo-wym postulatem było, że każdy obserwator inercjalny zmierzy taką samą prędkość światła c: (Δs)2 := c2 (Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 = 0, (1.1) Hermann Minkowski zauważył w roku 1908, że transformacje pomiędzy inercjalnymi układami odniesienia zachowują nie tylko równanie (Δs)2 = 0, ale też wartość wyrażenia (Δs)2. Transformacje te, nazywane dziś transformacjami Lorentza, są liniowe w zmiennych (t, x, y, z). W geometrii euklidesowej odległość pomiędzy punktami o współrzędnych (x, y, z) i (x + Δx, y + Δy, z + Δz) jest dana przez L2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (1.2) i jest zachowywana przez rotacje, które też są liniowe w (x, y, z). Z podobieństwa wzorów (1.1) i (1.2) Minkowski wywnioskował, że szczególna teoria względności jest geometrią przestrzeni, którą dziś nazywamy czasoprzestrzenią Minkowskiego.

22.06.1864 Aleksota (obecnie Kowno) --12.01.1909 Göttingen

1. Grawitacja jako geometria (Einstein 1908 - 1915)

(Δs)2 := c2 (Δt)2 - (Δx)2 - (Δy)2 - (Δz)2 = 0, (1.1)

Einstein stwierdził już wcześniej, że pole grawitacyjne można symulować za pomocą ruchu przyspieszonego obserwatora. Transformacje zachowujące postać wyrażenia (1.1), nazywanego formą metryczną, opisują przejście do innego układu poruszającego się bez przyspieszenia i są liniowe w zmiennych (t, x, y, z). Przy transformacji do układu poruszającego się z przyspieszeniem nowe zmienne (t', x', y', z') są dowolnymi funkcjami starych (t, x, y, z). Po takiej transformacji współczynniki formy (1.1) nie są już stałe. Przykład: x = x' + t'2 → (Δs) 2 = (c2 - 4 t'2) (Δt')2 - 4 t' Δx' Δt' - (Δx')2 - (Δy)2 - (Δz)2. → Pole grawitacyjne powinno ujawniać się tak samo: w czasoprzestrzeni z polem grawitacyjnym, współczynniki przy kwadratach i iloczynach Δt, Δx, Δy i Δz powinny być funkcjami współrzędnych.

L2 = (Δx)2 + (Δy)2 + (Δz)2 (1.2)

Twórca podstaw takiej geometrii, Bernhard Riemann, przedstawił je w swoim wykładzie habilitacyjnym w roku 1854. Jego pomysł polegał na tym, żeby wzór Pita-gorasa (1.2) zastąpić symetryczną formą kwadratową w przestrzeni n-wymiarowej ds2 = g11(x1, ..., xn)(dx1)2 + 2 g12(x1, ..., xn) dx1 dx2+ .... + gnn(x1, ..., xn)(dxn)2, (1.3) której współczynniki są funkcjami współrzędnych. Wielkość ds jest odległością między punktami o współrzędnych (x1, x2, ...., xn) i (x1 + dx1, x2 + dx2, ...., xn + dxn).

Georg Friedrich Bernhard Riemann 17.09.1826, Breselenz (Hannover, Niemcy) – 16.06.1866, Selasca (Lago Maggiore, Włochy)

(w roku 1863)

W 4-wymiarowej czasoprzestrzeni, n = 4, liczba niezależnych składowych gij wynosi 10 (ponieważ gij = gji).

Pomysł zinterpretowania grawitacji jako modyfikacji geometrii czasoprzestrzeni musiał być uzupełniony równaniami, uogólniającymi prawa grawitacji Newtona. W równaniach Einsteina wyrażenia różniczkowe II rzędu zbudowane z dziesięciu wielkości gij są przyrównane do zera gdy szukamy rozwiązań w próżni; lub do 10 składowych tensora energii-pędu, które przedstawiają gęstość energii i rozkład ciśnień/naprężeń w źródle. W granicy newtonowskiej, c → ∞, jedno z tych równań przechodzi w równanie Poissona, pozostałe są spełnione tożsamościowo (obie strony dążą do zera).

ds2 = g11(x1, ..., xn)(dx1)2 + 2 g12(x1, ..., xn) dx1 dx2+ .... + gnn(x1, ..., xn)(dxn)2, (1.3)

2.1. Odkrycie anomalii orbitalnych Merkurego (le Verrier 1859)

2. Orbity ciał w polu grawitacyjnym

Orbita ciała (nazwijmy je umownie planetą) poruszającego się w sferycznie syme-trycznym polu grawitacyjnym jest opisywana równaniem:

(2.1)

gdzie r i φ są współrzędnymi biegunowymi, oraz

(2.2)

J = m r x v jest momentem pędu planety względem środka symetrii pola, M jest masą źródła pola grawitacyjnego (np. gwiazdy), m jest masą planety, G jest stałą grawitacyjną,

jest całkowitą energią planety.

Krzywa (2.1) jest elipsą, źródło pola znajduje się w jednym z ognisk elipsy.

(2.1)

Równanie (2.1) opisuje sytuację wyidealizowaną. Rzeczywista orbita planety w polu grawitacyjnym Słońca (według teorii Newtona!) byłaby elipsą gdyby przestrzeń wokół Słońca była pusta, Słońce było dokładnie kuliste i krążyłaby wokół niego tylko jedna planeta. Żadne z tych założeń nie jest spełnione w Układzie Słonecznym. Po uwzględnieniu przyciągania grawitacyjnego innych planet równanie orbity przybiera postać:

(2.3)

gdzie α jest stałą, inną dla każdej planety. Aby znaleźć się powtórnie w tej samej odległości od Słońca, planeta musi obiec Słońce o kąt

(2.3)

Orbita opisywana równaniem (2.3) wygląda następująco:

Kąt 2πα (kąt precesji perihelium) pokazany na rysunku jest znacznie przesadzony – patrz następna strona.

Obserwowana prędkość precesji perihelium Merkurego wynosi

≈ 600"/100 lat

z czego ≈ 280 jest spowodowane przyciąganiem Wenus, ≈ 150 przyciąganiem Jowisza, ≈ 100 przyciąganiem pozostałych planet...

Ale czy to się sumuje do wielkości obserwowanej?

Na to pytanie odpowiedział Urbain J. le Verrier (*) w roku 1859. Obliczył on wszystkie składniki zaubrzeń orbity Merkurego, zsumował je -- i wyszło mu o ok. 43"/100 lat za mało.

Według dzisiejszych pomiarów, rozbieżność ta wynosi

43.11 ± 0.45"/100 lat.

Dla innych planet odpowiednie wielkości nie przekraczają kilku sekund łuku na 100 lat i nie były wykrywalne w 19. wieku.

---------------------------------------------------------------------------------------------------------- (*) Le Verrier po raz pierwszy wsławił się w roku 1845, gdy przewidział istnienie nieznanej wtedy planety (Neptuna) na podstawie analizy zaburzeń orbity Urana. Tę samą metodę zastosował do badania orbity Merkurego.

Urbain J. le Verrier 11.03.1811, Saint-Lô -- 23.09.1877, Paris

2.2. Wyjaśnienie anomalii orbitalnych Merkurego (Einstein 1915)

Karl Schwarzschild znalazł w 1915 roku pierwsze ścisłe rozwiązanie równań Einsteina. Opisuje ono pole grawitacyjne w próżni wokół sferycznie symetrycznego obiektu.

Obliczenie wykonane w oparciu o to rozwiązanie wykazało, że orbita pojedynczej planety w polu grawitacyjnym Słońca powinna mieć kształt taki, jak na rysunku powyżej, zaś prędkość precesji perihelium Merkurego powinna wynosić, przy zanie-dbaniu wpływu innych planet

43.03"/100 lat.

Ten wynik jest zgodny z wynikiem obserwacji:

43.11 ± 0.45"/100 lat.

(2.3)

Karl Schwarzschild 9.10.1873, Frankfurt am Main -- 11.05.1916, Potsdam

2.3. Pulsar w układzie podwójnym (Hulse i Taylor 1974) Drugim najbardziej dziś znanym obiektem, dla którego zaobserwowano precesję periastrum, jest układ podwójny złożony z pulsara PSR 1913+16 i drugiej gwiazdy neutronowej. (Znajduje się on w gwiazdozbiorze Orła w odległości ok. 21 000 lat świetlnych od Ziemi.)

Odkryli go w 1974 roku Russel Hulse i Joseph Taylor.

Okres pulsów wysyłanego przezeń promieniowania radiowego wynosi w jego układzie spoczynkowym 59 ms.

Zmiany obserwowanej częstotliwości pulsów wywołane ruchem pulsara po orbicie (efektem Dopplera) pozwoliły obliczyć parametry orbity.

Russell Alan Hulse ur. 28.11.1950, New York City

Joseph Hooton Taylor, Jr. ur. 29.03.1941, Philadelphia, Pennsylvania

Przyjmijmy perihelium Merkurego: pM = 46 000 000 km jako jednostkę odległości. Periastrum PSR 1913+16: 770 000 km = 0.0167 pM Apoastrum PSR 1913+16: 3 360 000 km = 0.073 pM Masa towarzysza: ≈1.4 masy Słońca → Pulsar PSR 1913+16 porusza się w wielokrotnie silniejszym polu grawitacyjnym niż Merkury → efekty przewidywane przez teorię względności są w jego orbicie większe. Prędkość precesji periastrum: Dla PSR 1913+16: 4.2 stopni na rok Dla Merkurego: 43 sekund łuku na 100 lat. Za „odkrycie nowego typu pulsara, które otworzyło nowe możliwości badania grawitacji” Hulse i Taylor dostali w roku 1993 nagrodę Nobla.

3. Ugięcie promieni świetlnych w polu grawitacyjnym

3.1. Przepowiednia (Einstein 1916) Rozwiązanie Schwarzschilda umożliwiło uzyskanie jeszcze jednego sprawdzalnego wyniku. Promień światła wyemitowany przez ``nieskończenie'' dalekie źródło i przebiega-jący w sąsiedztwie obiektu o masie M (nazwijmy go umownie gwiazdą) powinien ugiąć się o kąt

gdzie M jest masą gwiazdy, R jest najmniejszą odległością promienia od środka gwiazdy. Wzór (3.1) jest przybliżony i dotyczy tylko sytuacji, gdy R >> 2GM/c2. Nie stosuje się on np. do promieni przebiegających w pobliżu czarnych dziur.

3.2. Potwierdzenie przez obserwacje optyczne (Eddington 1919)

T1 i T2 -- rzeczywiste położenia gwiazd. Gdy Słońce S jest widoczne pomiędzy gwiazdami, obserwator widzi obrazy gwiazd w kierunkach prostych OA1 i OA2 . Dwie ekspedycje Arthura Eddingtona wykonały takie obserwacje podczas całko-witego zaćmienia Słońca w roku 1919 i otrzymały dla Δφ następujące wyniki: W Sobral (Brazylia) : 1.98 ± 0.16‘’ Na wyspie Principe (w Zatoce Gwinejskiej) : 1.61 ± 0.40‘’ Teoria względności przewiduje: 1.75‘’

Arthur Stanley Eddington 28.12.1882, Kendal, Westmorland -- 22.11.1944, Cambridge

Δφ = (α2 – α1)/2

3.3. Potwierdzenie przez obserwacje radioastronomiczne (Fomalont i Sramek 1974)

Edward Fomalont i Richard Sramek wykonali analogiczny pomiar w roku 1974 dla mikrofal wysyłanych przez radioźródła o symbolach 0119+11, 0116+08 i 0111+02.

Każdego roku przez ok. 3 tygodni na przełomie marca i kwietnia Słońce przesuwa się przez obraz środkowego radioźródła (P2 na rysunku). Dwa pozostałe są wtedy na tyle daleko od trajektorii Słońca, że ich obserwowane położenia nie ulegają mierzalnemu zaburzeniu.

Edward Fomalont, ur. 14.05.1940 nie udało mi się zidentyfikować zdjęcia ani biografii Richarda Sramka

Gdy Słońce jest poza polem widzenia, radioźródła P1 , P2 i P3 są widoczne prawie na linii prostej (lewy rysunek). Rzeczywiste położenie P2 względem pozostałych dwu można wtedy zmierzyć. Gdy Słońce wchodzi w pole widzenia (prawy rysunek), obraz P2 przesuwa się. Rze-czywiste położenie P2 (małe kółko) można wtedy obliczyć względem P1 i P3 i porównać ze zmierzonym położeniem pozornym. Zmierzony w ten sposób kąt ugięcia podzielony przez wynik teoretyczny 1.75” dał wynik 1.007 ± 0.009.

3.4. Soczewki grawitacyjne

Soczewka grawitacyjna L ugina promienie wysłane przez źródło światła S pod takim

kątem, że przecinają się one w punkcie obserwacji O.

Może się to zdarzyć tylko wtedy, gdy odległości między S, L i O są wystarczająco

duże i we właściwej proporcji. W większości soczewek grawitacyjnych rzeczywiście obserwowanych przez astronomów źródłem światła S jest kwazar. Teoria i obserwacje soczewek grawitacyjnych (które w rzeczywistości mają bardziej skomplikowane kształty niż na rysunku powyżej) rozwinęły się dziś w osobną gałąź astronomii.

W przeciwieństwie do soczewek optycznych, soczewki grawitacyjne nie ogniskują promieni. Jak pokazuje równanie (3.1), promień biegnący dalej od osi optycznej ugina się pod mniejszym kątem niż promień bliższy osi. Nie można niczego „obejrzeć w powiększeniu” przez soczewkę grawitacyjną -- obraz jest bardzo zdeformowany. Następuje jednak wzmocnienie strumienia światła: promienie, które rozbiegłyby się w pustej przestrzeni, przecinają się w otoczeniu punktu obserwacji. Soczewki grawitacyjne zwiększają zasięg obserwacji optycznych.

Najsławniejszy przykład soczewki grawitacyjnej -- ``Krzyż Einsteina”. Jest to poczwórny obraz kwazara QSO 2237+0305 (peryferyjne jasne plamki na zdjęciu) utworzony przez bliższą galaktykę ZW 2237+030. Galaktyka ta jest widoczna jako niebieskawa mgiełka otaczająca wszystkie obra-zy. Jasna plama w środku zdjęcia jest jej jądrem.

Inny efektowny przykład so-czewki grawitacyjnej: galak-tyka LRG 3-757 (centralna plamka). Leży ona blisko linii prostej łą-czącej Ziemię z dalszym źród-łem światła – inną galaktyką, niewidoczną bezpośrednio. Ta prawie-osiowo-symetrycz-na konfiguracja powoduje, że obraz dalszej galaktyki tworzy prawie pełny pierścień.

4. Fale grawitacyjne

4. 1. Przewidywania teoretyczne Możliwość istnienia fal grawitacyjnych przewidział Einstein w r. 1916.

Są one pod wieloma względami podobne do fal elektromagnetycznych: są to impulsy pola grawitacyjnego generowane przez zmienne w czasie układy mas i rozchodzące się w przestrzeni z prędkością światła. Ale oddziaływanie grawitacyjne jest wielokrotnie słabsze od elektromagnetycznego. Siła przyciągania grawitacyjnego między dwoma elektronami jest 4.2 x 1042 razy mniejsza niż siła odpychania elektrostatycznego.

Promieniowanie grawitacyjne wytwarzane przez obiekty dostępne badaniom na Ziemi jest zbyt słabe, aby je wykryć. Przykład: Meteoryt o masie 20 000 ton uderza w Ziemię z prędkością 11 km/s i zatrzymuje się po zaryciu w grunt na głębokość 200 m (takie są oceny parametrów meteorytu, który ok. 50 000 lat temu utworzył krater w pobliżu miasta Winslow w Arizonie). Całkowita energia wyzwolona w zderzeniu meteorytu z powierzchnią Ziemi była według przybliżonych ocen równa energii wybuchu 2 500 000 ton trotylu (czyli 150 bomb zrzuconych na Hiroshimę). Ale tylko mała część tej energii została wypromieniowana w postaci fal grawi-tacyjnych: wystarczyłaby ona, aby podrzucić jeden proton na wysokość ok. 120 cm. Dla porównania: dla gwiazdy podwójnej w układzie Syriusza (jednego z najsłabszych astronomicznych źródeł fal grawitacyjnych, odległego o 8.5 lat świetlnych) oczekiwana na Ziemi gęstość strumienia energii niesionej przez fale grawitacyjne jest 30 000 razy większa.

Krater meteorytu w Arizonie Energia wypromieniowana przy uderzeniu tego meteorytu w postaci fal grawita-cyjnych (2 x 1019 ergów) wystarczyłaby, aby podrzucić jeden proton na wysokość ok. 120 cm. [Średnica krateru: 1200m, głębokość: 170 m]

4.2. Próby detekcji Wyobraźmy sobie okrąg, na którym rozmieszczono równomiernie małe masy. Załóżmy, że z kierunku prostopadłego do płaszczyzny okręgu nadbiega fala grawita-cyjna o płaskich czołach i o stałej polaryzacji. Wywoła ona oscylacje okręgu takie, jak pokazano na ilustracji poniżej. Różne testowane dziś detektory fal grawitacyjnych posługują się różnymi układami mas.

Pierwszym człowiekiem, który (na początku lat 1960tych) podjął próbę wykrycia fal grawitacyjnych był Joseph Weber z Uniwersytetu Stanu Maryland. Jego detektorem był aluminiowy walec o długości 2 m i średnicy 1 m. Atomy walca miały oscylować pod wpływem fal grawitacyjnych, a spowodowane tym wibracje miały być wykrywane przez opasujące go czujniki piezoelektryczne.

Joseph Weber 17.05.1919, Paterson, New Jersey -- 30.09. 2000, Pittsburgh, Pennsylvania

Weber doniósł, że wykrył sygnał dochodzący z kie-runku centrum naszej Galaktyki. Nikomu nie udało się powtórzyć jego wyników i uważa się dzisiaj, że był to fałszywy sygnał wywołany nieprawidłowym działaniem komputera. Powszechnie uznawaną zasługą Webera jest zapo-czątkowanie obserwacyjnego poszukiwania fal grawitacyjnych.

Najczęściej dziś używanym rodzajem detektora fal grawitacyjnych jest interferometr laserowy.

W tunelach o długości 4 km, w których biegną promienie wyemitowane przez laser, ciśnienie musi być mniejsze niż 10-12 atmosfer.

Obserwatorium LIGO w pobliżu Livingston (Louisiana, USA). LIGO = Laser Interferometer Gravitational wave Observatory.

Parametrem służącym do oceny siły sygnału jest A = ΔL/L, gdzie L jest początkową odległością obserwowanych mas w detektorze (zwierciadeł w interferometrze), zaś ΔL -- zmianą L pod wpływem fali grawitacyjnej. Dla spodziewanych źródeł fal grawitacyjnych A zawiera się w granicach A1 := 0.12 x 10-22 < A < 0.21 x 10-19 := A2

(4.1) A1 jest oczekiwaną siłą sygnału od pulsara PSR1913+16, A2 -- od gwiazdy zmiennej zaćmieniowej µ w gwiazdozbiorze Skorpiona. W temperaturze pokojowej większą amplitudę mają drgania termiczne atomów. → Detektory muszą być ochłodzone do temperatury ciekłego helu i dokładnie izolowane mechanicznie. Dla najlepszych istniejących interferometrów możliwe do zmierzenia A zawiera się między 10-20 and 10-19. Obecnie trwa analiza pierwszych zarejestrowanych sygnałów w celu wyłowienia fali grawitacyjnej z szumów, które mają kilkakrotnie większą amplitudę.

Dotychczas nie zaobserwowano fal grawitacyjnych bezpośrednio. Pośrednim świa-dectwem ich istnienia jest pulsar PSR1913+16. Jego okres obiegu i średnica orbity maleją w takim tempie, jak gdyby fale grawitacyjne unosiły energię z układu.

Czerwone punkty: zmierzona zmiana okresu obiegu w porównaniu z początko-wym momentem obserwacji jako funkcja daty obserwacji. Ciągła krzywa: ta sama wielkość obliczona z teorii względności.

5. Precesja osi żyroskopu na orbicie

5.1. Przepowiednia (Schiff 1960) W teorii względności obrót masywnego obiektu ujawnia się w jego zewnętrznym polu grawitacyjnym poprzez wleczenie lokalnych układów inercjalnych. Jedną z konsekwencji tego efektu (nie istniejącego w teorii grawitacji Newtona) jest precesja osi obrotu żyroskopu umieszczonego na orbicie wokół Ziemi. Ponadto, spin żyroskopu oddziałuje z jego orbitalnym momentem pędu, dając dodatkową składową precesji, wokół kierunku prostopadłego do poprzedniego. Jest to precesja geodezyjna. Wpływ obrotu źródła na zewnętrzne pole grawitacyjne obliczyli jako pierwsi Hans Thirring i Josef Lense w roku 1918. Możliwość zmierzenia prędkości precesji żyroskopu krążącego po orbicie wokół Ziemi przewidział Leonard Schiff w roku 1960. Użył on równań ruchu wirującego obiektu na orbicie grawitacyjnej, wyprowadzonych przez Myrona Mathissona w roku 1937.

Hans Thirring 23.03.1888, Wiedeń -- 22.03.1976, Wiedeń

Josef Lense 28.10.1890 , Wiedeń --28.12.1985, Monachium

Leonard Isaac Schiff 29.03.1915, Fall River, Massachusetts -- 21.01.1971 Stanford, California

Myron Mathisson 4.12.1897, Warszawa -- 13.09.1940, Cambridge

C. W. Francis Everitt ur. 8.03.1934 Sevenoaks, Anglia

5.2. Pomiar (Everitt 2007) Eksperyment zmierzający do wykrycia opisanego wyżej efektu wykonała grupa fizyków na Uniwersytecie Stanforda, której szefem jest Francis Everitt. Przewidywana prędkość precesji spinu żyroskopu wynosiła 6.60"/ rok dla precesji geodezyjnej 0.039"/ rok wskutek wleczenia układów inercjalnych Zmierzenie tak powolnej precesji było niezwykle trudne.

Odstęp czasu pomiędzy wystrzeleniem rakiety wprowadzającej satelitę na orbitę a zakończeniem pomiarów wyniósł 17 miesięcy (04.2004 -- 09.2005). Przez cały ten czas cztery żyroskopy musiały wirować z minimalnymi zmianami prędkości obrotu. Układ pomiarowy był utrzymywany w temperaturze 1.8 stopnia powyżej zera absolutnego, aby umożliwić zastosowanie nadprzewodzących osłon ekranujących zakłócenia magnetyczne. W celu wyeliminowania niestabilności mechanicznych żyroskopy (zrobione z kwarcu, wielkości piłeczki do ping-ponga) musiały być jak najdokładniej kuliste. Gdyby powiększyć je do rozmiaru Ziemi, najwyższe nierówności na ich powierzchni miałyby 2.4 metra wysokości. Według autorów eksperymentu, żyroskopy te były ``najdokładniej kulistymi obiektami kiedykolwiek wytworzonymi przez człowieka''.

Od początku przygotowań (1963) do pierwszego ogłoszenia wyników (2007) minęły 44 lata. Całkowity koszt eksperymentu o nazwie Gravity Probe B wyniósł 750 x 106 dolarów. Wyniki były następujące precesja geodezyjna precesja wywołana ["/rok] wleczeniem u.i. ["/rok]

wynik pomiaru 6.6018 ± 0.0183 0.0372 ± 0.0072 przewidywanie TW 6.6061 0.0392

Gravity Probe B na orbicie przebiegającej nad biegunami Ziemi

6. Efekty relatywistyczne w systemie GPS

6.1. Przepowiednia (Ashby 1979) W roku 1977 uruchomiono, początkowo tylko dla nawigacji wojskowej, Global Positioning System (GPS). GPS został udostępniony cywilnym użytkownikom w roku 1989. Satelity GPS krążą na 6 regularnie rozmieszczonych nad Ziemią orbitach nachylo-nych pod kątem 55⁰ do płaszczyzny równika, po 4 na jednej orbicie. Każdy satelita wysyła impulsy fal elektromagnetycznych, w których zakodowana jest informacja o chwili wysłania sygnału i o położeniu satelity w tejże chwili. Parametry orbit i rozmieszczenie satelitów na nich zostały dobrane tak, aby każdy odbiornik na Ziemi miał w polu widzenia 4 satelity przynajmniej przez część doby.

Odbiornik, aby ustalić swoje współrzędne, musi odebrać sygnał od co najmniej czterech satelitów równocześnie. Niech (xi, yi, zi, ti), i = 1, 2, 3, 4 będą współrzędnymi satelitów 1, 2, 3, 4 w momencie wysłania sygnałów. Współrzędne odbiornika na Ziemi (x, y, z, t) muszą spełniać układ 4 równań:

Rozwiązując ten układ względem (x, y, z, t) dostajemy położenie i czas odbiornika jako funkcję (xi, yi, zi, ti). Wielkości (xi, yi, zi, ti) są wyliczane przez komputery w satelitach i przesyłane na Ziemię, gdzie są sprawdzane i korygowane przez centralną stację naziemną.

(6.1)

Równanie (6.1) zakłada sytuację idealną: nieruchome źródło sygnału i nierucho-my odbiornik. Sytuacje rzeczywiste wymagają poprawek.

Zegary systemu GPS poruszają się w polu grawitacyjnym Ziemi.

Zegar w silniejszym polu grawitacyjnym opóźnia się względem zegarów umiesz-czonych w słabszym polu i względem „zegarów idealnych” w przestrzeni płaskiej

Zegar na powierzchni Ziemi spóźnia się o 6.95 x 10-10 sekund względem zegara idealnego w ciągu każdej sekundy.

Światło przebiega w tym czasie drogę prawie 21 cm.

→ Gdyby zapomnieć o tym efekcie, porównanie wskazań zegara na Ziemi z (obliczonym) wskazaniem zegara idealnego w każdej sekundzie dawałoby błąd położenia równy 21 cm.

W ciągu 24 godzin urósłby on do 18 km.

Jest to największa, ale nie jedyna poprawka wynikająca z ogólnej teorii względ-ności, którą trzeba uwzględnić w działaniu systemu GPS.

(6.1)

Wpływ największych efektów przewidywanych przez teorię względności na dokładność lokalizacji w systemie GPS

Efekt Błąd położenia po 24 godzinach Wpływ na zegary odbiorników Pole grawitacyjne Ziemi 18 km Spłaszczenie Ziemi 9.7 m Wzniesienie nad powierzchnię Ziemi (n.p. 10 km) 28 m Obrót Ziemi (na równiku) 31 m Prędkość zegara (n.p. 600 km/godz.) 10 m Wpływ na zegary w satelitach Pole grawitacyjne Ziemi 4.3 km Prędkość orbitalna satelity 2.2 km Efekty te przewidział Neil Ashby z Uniwersytetu Stanu Colorado w Boulder, w pracach z lat 1979 – 2002.

6.2. Sprawdzenie (my wszyscy) Za każdym razem, gdy ktoś z nas trafia do celu używając lokalizatora GPS, wykonujemy eksperyment potwierdzający ogólną teorię względności.

Neil Ashby ur. 5.03.1934, Dalhart, Texas

7. Przykład nierozwiązanego problemu: obserwacja dryfu redshiftu Wskutek ekspansji Wszechświata fotony wyemitowane w dalekiej przeszłości do-cierają do dzisiejszego obserwatora ``rozciągnięte'' -- obserwowana częstotliwość νo jest mniejsza niż częstotliwość w punkcie emisji νe. Powszechnie używaną w astronomii miarą tego rozciągnięcia jest redshift (przesu-nięcie ku czerwieni) z zdefiniowane następująco: (7.1) Jeżeli w chwili obecnej Wszechświat rozszerza się ruchem przyspieszonym, i odbie-rane w tej chwili światło zostało wyemitowane przez źródło S w okresie przyspie-szającej ekspansji, to dla ustalonego S redshift powinien rosnąć z czasem. Jeżeli Wszechświat rozszerza się ruchem opóźnionym, to redshift każdego ustalo-nego źródła światła powinien maleć z czasem.

Oczekiwany dryf redshiftu powinien spełniać: (7.2) Obserwatorium orbitalne Gaia, którego zadaniem jest sporządzenie dokładnej 3-wymiarowej mapy naszej Galaktyki, posiada aparaturę wystarczająco dokładną, aby zmierzyć dz/dt przez porównanie obserwacji wybranego źródła światła odległych od siebie w czasie o 30 lat. ``European Extremely Large Telescope'‘ (E-ELT) (obecnie w fazie projektowej, będzie zbudowany w Chile) potrafiłby wykryć ten efekt po 10 latach. Wynik tego pomiaru będzie niezależny od modelu kosmologicznego użytego do interpretowania obserwacji: dla każdego ustalonego źródła światła redshift będzie rósł albo malał z czasem. To będzie krytyczny test, który obiektywnie wykaże, czy Wszechświat rozszerza się ruchem przyspieszonym, czy nie, i będzie to też chwila prawdy dla modelu, w który wszyscy astronomowie obecnie wierzą.

Literatura C. M. Will, Am. J. Phys. 56, 413 (1988); cytat za poz. Will1981. C. M. Will, Theory and experiment in gravitational physics. Cambridge University Press 1981. K. Lang, Astrophysical formulae. Springer, Berlin 1974, str. 579. U. J. Le Verrier, Ann. de l'Obs. de Paris 5, 104 (1859); cytat za poz. Dicke 1964. R. H. Dicke, The theoretical significance of experimental relativity. Gordon and Breach, New York 1964. A. Einstein, Ann. Physik 49, 769 (1916), przedruk na str. 109-164 w poz. LWM1923; cytat wg poz. Mehr1974. A. Einstein, H. A. Lorentz, H. Weyl, H. Minkowski, The principle of relativity. A collection of original papers on the special and general theory of relativity. Dover Publications 1923.

J. Mehra, Einstein, Hilbert and the theory of gravitation. D. Reidel, Dordrecht 1974. Dyson, F. W., Eddington, A. S. and Davidson, C. (1920), Phil. Trans. Roy. Soc. London A220, 291; cited after Will (1981, p. 5). Fomalont, E. B. and Sramek, R., Astrophys. J. 199, 749 (1975); Phys. Rev. Lett. 36, 1475 (1976); Comments Astrophys. 7, 19 (1977). R. A. Hulse, J. H. Taylor, Astrophysical Journal 195, L51 (1975). https://en.wikipedia.org/wiki/PSR_B1913%2B16#cite_note-wtf1981-2 Ohanian, H. C. and Ruffini, R. (1994). Gravitation and Spacetime. W. W. Norton & Company, New York -- London. Weisberg, J.M.; Taylor, J.H. (July 2005). "The Relativistic Binary Pulsar B1913+16: Thirty Years of Observations and Analysis". Written at Aspen, Colorado, USA. In F.A. Rasio; I.H. Stairs. Binary Radio Pulsars. ASP Conference Series 328. San Francisco: Astronomical Society of the Pacific. p. 25. arXiv:astro-ph/0407149.

P. Schneider, J. Ehlers, E. E. Falco, Gravitational lenses. Springer, Berlin 1992, str. 1. M. Rees, R. Ruffini, J. A. Wheeler, Black holes, gravitational waves and cosmology: and introduction to current research. Gordon and Breach, New York, London, Paris 1974, 166 pp. H. Thirring, Physikalische Zeitschrift 19, 33 (1918); H. Thirring, Physikalische Zeitschrift 22, 29 (1921); J. Lense and H. Thirring, Physikalische Zeitschrift 19, 156 (1918). Reprinted in B. Mashhoon, F.W. Hehl and D.S. Theiss, Gen. Relativ. Gravit. 16, 711 -- 750 (1984) and in A. Krasiński, George F. R. Ellis, Malcolm A. H. MacCallum (editors). Golden Oldies in general relativity. Hidden gems. Springer, Heidelberg 2013, 493 pp, ISBN 978-3-642-34504-3. L. Schiff, Phys. Rev. Lett. 4, 215 (1960); Proc. Nat. Acad. Sci. USA 46, 871 (1960). M. Mathisson, New Mechanics of Material Systems. Acta Phys. Polon. 6, 163-200 (1937); reprinted in: Gen. Rel. Grav. 42, 1011-48 (2010).

C. W. F. Everitt, in Experimental Gravitation. Proceedings of the International School of Physics ``Enrico Fermi'', course 56. Edited by B Bertotti, Academic Press, New York 1974, p. 331. C. W. F. Everitt et al., Phys. Rev. Lett. 106, 221101 (2011). N. Ashby, D. W. Allan, Radio Science 14, 649 (1979). N. Ashby, Phys. Today May 2002, p. 41. N. Ashby, w: Gravitation and Relativity at the turn of the Millenium. Proceedings of the 15th International Conference on General Relativity and Gravitation. Edited by N. Dadhich and J.V. Narlikar. Inter-University Centre for Astrnomy and Astrophysics, Pune, India 1998 (ISBN 81-900378-3-8), p. 231 -- 258. N. Ashby, Mercury 25 no 3, 23 (1996). C. Quercellini, L. Amendola, A. Balbi, P. Cabella, M. Quartin, Phys. Reports. 521, 95 -- 134 (2012).

Literatura uzupełniająca A. A. Friedmann, Z. Physik 10, 377 (1922); Z. Physik 21, 326 (1924); Angielskie tłumaczenie obydwu prac z komentarzem historycznym: Gen. Rel. Grav. 31, 1985 (1999); + addendum: Gen. Rel. Grav. 32, 1937 (2000). Penzias, A. A. and Wilson, R. W., Astrophys. J. 142, (1965) Lemaitre, G., Ann. Soc. Sci. Bruxelles A53, 51 (1933); Angielskie tłumaczenie, z komentarzem historycznym : Gen. Rel. Grav. 29, 637 (1997). Szekeres, P., Commun. Math. Phys. 41, 55 (1975). Szekeres, P., Phys. Rev. D12, 2941 (1975). R. V. Pound, G. A. Rebka, Phys. Rev. Lett. 4, 337 (1960). R. V. Pound, J. L. Snider, Phys. Rev. Lett. 13, 539 (1964). R. V. Pound, J. L. Snider, Phys. Rev. B140, 788 (1965).

Str. 25 w poz. Mehra 1974. E. P. Hubble, Proc. Nat. Acad. Sci. USA 15, 169 (1929). A. Krasiński, G. F. R. Ellis, Gen. Rel. Grav. 31, 1985 (1999).