Statistička obrada hidrograma na HE Varaždin · SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET Dino Kerin Statistička obrada hidrograma na HE Varaždin ZAVRŠNI RAD Zagreb, rujan

SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET

Dino Kerin

Statistička obrada hidrograma na HE Varaždin

ZAVRŠNI RAD

Zagreb, rujan 2013.

Sveučilište u Zagrebu, Građevinski fakultet Završni rad

U Zagrebu, 17.09.2013. ‐i‐


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐ii‐

SADRŽAJ Prijava teme završnog rada ................................................................................................ i Popis slika .......................................................................................................................... v Popis tablica .................................................................................................................... viii

1 UVOD ....................................................................................................................... 11

2 PREGLED PODLOGA ................................................................................................. 12

3 IZRADA KRIVULJA TRAJANJA I UČESTALOSTI ZA HE VARAŽDIN ............................... 13

3.1 Definicija krivulje trajanja i učestalosti .................................................................... 14

3.2 Krivulje trajanja i učestalosti za HE Varaždin ........................................................... 15

3.2.1 Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka .......... 15 3.2.1.1 Za 1996 godinu ............................................................................ 15 3.2.1.2 Za 1997. godinu ........................................................................... 16 3.2.1.3 Za 1998. godinu ........................................................................... 17 3.2.1.4 Za 1999. godinu ........................................................................... 18 3.2.1.5 Za 2000. godinu ........................................................................... 19 3.2.1.6 Za 2001. godinu ........................................................................... 20 3.2.1.7 Za 2002. godinu ........................................................................... 21 3.2.1.8 Za 2003. godinu ........................................................................... 22 3.2.1.9 Za 2004. godinu ........................................................................... 23 3.2.1.10 Za 2005. godinu ........................................................................... 24 3.2.1.11 Za 2006. godinu ........................................................................... 25 3.2.1.12 Za 2007. godinu ........................................................................... 26 3.2.1.13 Za 2008. godinu ........................................................................... 27 3.2.1.14 Za 2009. godinu ........................................................................... 28 3.2.1.15 Za 2010. godinu ........................................................................... 29 3.2.1.16 Za 2011. godinu ........................................................................... 30 3.2.1.17 Za 2012. godinu ........................................................................... 31 3.2.1.18 Usporedba krivulja trajanja srednjih dnevnih vrijednosti protoka

od 1996. do 2012. godine ............................................................ 32 3.2.2 Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka .. 33

3.2.2.1 Za 1996. godinu ........................................................................... 33 3.2.2.2 Za 1997. godinu ........................................................................... 34 3.2.2.3 Za 1998. godinu ........................................................................... 35 3.2.2.4 Za 1999. godinu ........................................................................... 36 3.2.2.5 Za 2000. godinu ........................................................................... 37 3.2.2.6 Za 2001. godinu ........................................................................... 38 3.2.2.7 Za 2002. godinu ........................................................................... 39 3.2.2.8 Za 2003. godinu ........................................................................... 40 3.2.2.9 Za 2004. godinu ........................................................................... 41 3.2.2.10 Za 2005. godinu ........................................................................... 42 3.2.2.11 Za 2006. godinu ........................................................................... 43 3.2.2.12 Za 2007. godinu ........................................................................... 44


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐iii‐

3.2.2.13 Za 2008. godinu ........................................................................... 45 3.2.2.14 Za 2009. godinu ........................................................................... 46 3.2.2.15 Za 2010. godinu ........................................................................... 47 3.2.2.16 Za 2011. godinu ........................................................................... 48 3.2.2.17 Za 2012. godinu ........................................................................... 49 3.2.2.18 Usporedba krivulja trajanja maksimalnih dnevnih vrijednosti

protoka od 1996. do 2012. godine .............................................. 50 3.2.2.19 Krivulja trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka za 2004.

godinu .......................................................................................... 51 3.2.2.20 Usporedba krivulja trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti

protoka za 2004. godinu .............................................................. 52 3.2.2.21 Usporedba krivulja trajanja satnih, srednjih dnevnih i

maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu ........ 53

4 IZRADA TEORETSKIH VODNIH VALOVA ................................................................... 54

4.1 Primjena metoda matematičke statistike i teorije vjerojatnosti u hidrologiji ........ 55

4.1.1 Uvod ............................................................................................................. 55 4.1.2 Slučajne pojave i njihove raspodjele ............................................................ 56

4.1.2.1 Raspodjela slučajnih varijabli ...................................................... 57 4.1.3 Povratni period (povratno razdoblje) .......................................................... 59

4.2 Statistička obrada nizova podataka i osnove statistike ........................................... 59

4.3 Empirijske raspodjele slučajnih varijabli .................................................................. 61

4.3.1 Empirijska funkcija raspodjele vjerojatnosti ................................................ 62 4.3.2 Parametri empirijskih raspodjela ................................................................. 63

4.4 Teorijske funkcije raspodjele vjerojatnosti .............................................................. 63

4.4.1 Gaussova ili normalna funkcija .................................................................... 64 4.4.2 Standardna normalna raspodjela kao pojednostavljenje normalne

raspodjele .................................................................................................... 65 4.4.3 Galtonova ili log‐normalna funkcija ............................................................. 66 4.4.4 Gama funkcija .............................................................................................. 67 4.4.5 Troparametarska gama (Pearson III raspodjela) .......................................... 68 4.4.6 Log‐Pearson III funkcija ................................................................................ 69 4.4.7 Gumbelova funkcija ..................................................................................... 70

4.5 Zadatak 71

4.5.1 Prvi dio zadatka: Određivanje vjerojatnosti pojavljivanja poznatih maksimalnih godišnjih protoka za HE Varaždin statističkim metodama ..... 71 4.5.1.1 Podaci o uzorku ........................................................................... 71 4.5.1.2 Empirijska raspodjela .................................................................. 72 4.5.1.3 Teorijska raspodjela .................................................................... 73 4.5.1.3.1 Gaussova razdioba ....................................................................... 74 4.5.1.3.2 Galtonova ili log‐normalna razdioba ........................................... 75 4.5.1.3.3 Gumbelova razdioba ................................................................... 76 4.5.1.3.4 Pearson III razdioba ..................................................................... 77 4.5.1.3.5 Log‐Pearson III razdioba .............................................................. 78 4.5.1.4 Usporedba dobivenih rezultata ................................................... 79


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐iv‐

4.5.2 Drugi dio zadatka: Procjena maksimalnih vrijednosti godišnjih protoka za HE Varaždin statističkim metodoma za poznate vjerojatnosti pojavljivanja i poznata povratna razdoblja ......................................................................... 80 4.5.2.1 Empirijska funkcija vjerojatnosti ................................................. 81 4.5.2.2 Određivanje osnovnih statističkih parametara ........................... 82 4.5.2.3 Proračun vjerojatnosti pojave velikih voda izborom nekoliko

teorijskih funkcija raspodjele ...................................................... 84 4.5.2.3.1 Gaussova raspodjela .................................................................... 84 4.5.2.3.2 Gumbelova raspodjela ................................................................ 85 4.5.2.3.3 Pearson III raspodjela .................................................................. 86 4.5.2.3.4 Logaritamska – Pearson III raspodjela ......................................... 87 4.5.2.3.5 Logaritamska – normalna (Galtonova) raspodjela ...................... 89 4.5.2.3.6 Usporedba dobivenih rezultata ................................................... 90

5 RADNA ENERGIJA HE VARAŽDIN .............................................................................. 92

6 ZAKLJUČAK ............................................................................................................... 94

7 LITERATURA ........................................................................................................... 101

8 PRILOZI ................................................................................................................... 102 Prilog 1. Izvadak vrijednosti tabelirane gama funkcije G(z) Prilog 2. Vrijednosti kumulativne vjerojatnosti F(z) za standardnu Normalnu

(Gaussovu) funkciju raspodjele vjerojatnosti Prilog 3. Veličine funkcije ψ prema Foster‐Ribkinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐v‐

POPIS SLIKA Slika 1. HE Varaždin ......................................................................................................... 11 Slika 2. Konstrukcija (godišnjih) krivulja trajanja i učestalosti [1]................................... 14 Slika 3. Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za 1996.

godinu ..................................................................................................................... 15 Slika 4. Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za 1997.









godinu ..................................................................................................................... 24 Slika 13. Krivulja trajanje i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za 2006.







godinu ..................................................................................................................... 31 Slika 20. Krivulje trajanja srednjih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012.

godine ..................................................................................................................... 32 Slika 21. Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za

1996. godinu ........................................................................................................... 33 Slika 22. Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za

1997. godinu ........................................................................................................... 34


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐vi‐

Slika 23. Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za 1998. godinu ........................................................................................................... 35















Slika 38. Krivulje trajanja maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012. godine ..................................................................................................................... 50

Slika 39. Krivulje trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka za 2004. godinu .... 51 Slika 40. Krivulje trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

................................................................................................................................ 52 Slika 41. Krivulje trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti

protoka za 2004. godinu ......................................................................................... 53 Slika 42. Funkcija raspodjele i kumulativna funkcija gustoće vjerojatnosti [3] .............. 57 Slika 43. Funkcija raspodjele i kumulativna funkcija gustoće vjerojatnosti za

neprekidnu slučajnu varijablu [3] ............................................................................ 58 Slika 44. Primjer višedimenzionalne slučajne varijable [3] ............................................. 58 Slika 45. Krivulja standardne normalne raspodjele i vjerojatnost da će x poprimiti

vrijednost između (μ‐1σ) i (μ+1σ) ........................................................................... 65 Slika 46. Krivulja standardne normalne raspodjele i vjerojatnost da će x poprimiti

vrijednost između (μ‐1,96σ) i (μ+1,96σ) ................................................................. 65 Slika 47. Krivulje log‐normalne distribucije .................................................................... 66 Slika 48. Pearson III funkcija ........................................................................................... 68


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐vii‐

Slika 49. Gumbelova distribucija [2] ............................................................................... 70 Slika 50. Grafički prikaz dobivenih rezultata ................................................................... 79 Slika 51. Grafički prikaz odnosa dobivenih rezultata maksimalnih protoka i vjerojatnosti

pojavljivanja ............................................................................................................ 90 Slika 52. Grafički prikaz odnosa dobivenih rezultata maksimalnih protoka i povratnih

razdoblja ................................................................................................................. 91 Slika 53. Radna energija HE Varaždin po godinama ....................................................... 92 Slika 54. Radna energija HE Varaždin po mjesecima za svaku godinu ........................... 93 Slika 55. Vrijednosti srednjih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95% ................ 95 Slika 56. Vrijednosti maksimalnih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95% ........ 96


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐viii‐

POPIS TABLICA Tablica 1. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za

1996. godinu ........................................................................................................... 15 Tablica 2. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za
















2012. godinu ........................................................................................................... 31 Tablica 18. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti

protoka za 1996. godinu ......................................................................................... 33 Tablica 19. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti



protoka za 1999. godinu ......................................................................................... 36


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐ix‐

Tablica 22. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za 2000. godinu ......................................................................................... 37













Tablica 35. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka za 2004. godinu ..................................................................................................................... 51

Tablica 36. Vremenska serija maksimalnih godišnjih protoka i uređeni rastući niz godišnjih protoka .................................................................................................... 71

Tablica 37. Empirijska razdioba ‐ Weibull ....................................................................... 72 Tablica 38. Parametri ...................................................................................................... 72 Tablica 39. Parametri za teorijske raspodjele ................................................................. 73 Tablica 40. Proračun Gaussove razdiobe ........................................................................ 74 Tablica 41. Proračun Galtonove razdiobe ....................................................................... 75 Tablica 42. Proračun Gumbelove razdiobe ..................................................................... 76 Tablica 43. Linearna interpolacija tabelirane funkcije G(z) ............................................ 77 Tablica 44. Proračun Pearson III razdiobe ...................................................................... 77 Tablica 45. Proračun Log‐Pearson III razdiobe ............................................................... 78 Tablica 46. Usporedna tablica dobivenih rezultata vjerojatnosti za maksimalne godišnje

protoke te za različite krivulje raspodjele ............................................................... 79 Tablica 47. Osnovni podaci za statističku analizu ........................................................... 80 Tablica 48. Vjerojatnost pojavljivanja članova promatranog niza .................................. 81 Tablica 49. Određivanje statističkih parametara ............................................................ 83 Tablica 50. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema Gaussovoj krivulji raspodjele ....................................................................... 84 Tablica 51. Parametri za Gumbelovu raspodjelu ............................................................ 85


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐x‐

Tablica 52. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja prema Gumbelovoj krivulji raspodjele ................................................................... 85

Tablica 53. Linearna interpolacija za funkciju ψ za Pearson III raspodjelu ..................... 86 Tablica 54. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema raspodjeli Pearson III ................................................................................... 86 Tablica 55. Parametri za log‐Pearsonovu raspodjelu ..................................................... 87 Tablica 56. Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka ............................................... 88 Tablica 57. Linearna interpolacija za funkciju ψ za log‐Pearson III raspodjelu .............. 88 Tablica 58. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema logaritamskoj ‐ Pearson III raspodjeli .......................................................... 89 Tablica 59. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema log – normalnoj (Galtonovoj) raspodjeli ..................................................... 89 Tablica 60. Usporedna tablica dobivenih rezultata maksimalnih protoka za različita

povratna razdoblja, te za različite krivulje raspodjele ............................................ 90 Tablica 61. Izračun radne energije HE Varaždin ............................................................. 92 Tablica 62. Vrijednosti srednjih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95% ............ 95 Tablica 63. Vrijednosti maksimalnih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95% .... 96 Tablica 64. Razlika satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu ........ 97 Tablica 65. Razlika maksimalnih dnevnih i satnih vrijednosti protoka za 2004. godinu 98 Tablica 66. Razlika maksimalnih dnevnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004.

godinu ..................................................................................................................... 99


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐11‐

1 Uvod Hidroelektrana (HE) Varaždin smještena je na rijeci Dravi, u sjeverozapadnom dijelu Hrvatske pokraj grada Varaždina. Hidrotehnički sustav HE Varaždin sa svojom akumulacijom, nasipima, branom i derivacionim kanalima na dionici dugoj 28.5 kilometara rijeke Drave ima više namjena: proizvodi električnu energiju, brani zemljišta i naselja od poplava i erozivnog djelovanja, opskrbljuje vodom (šećeranu u Ormožu u Sloveniji), odvodnjava prekomjerno vlažno zemljište, stvara uvjete za gravitacijsku odvodnju doline i gravitacijsko natapanje zemljišta, a ima uvjete za razonodu, izletnički turizam i sport. HE Varaždin je izgrađena u relativno kratkom vremenu (4.5 godine), a u rad je puštena 1975. Ukupna instalirana snaga HE Varaždin je 94 MW (2 Kaplanove turbine snage 47 MW).

Slika 1. HE Varaždin U radu je ukratko prikazan, teorijski opis i definicije krivulja trajanja i učestalosti, matematička statistiku i vjerojatnost u hidrologiji, statistička obradu nizova i osnove statistike, emprijske i teorijske funkcije raspodjele vjerojatnosti. Zadatak rada je u za HE Varaždin za period od 1996. do 2012 godine izraditi krivulje trajanja i učestalosti na temelju podloga dobivenih od HEP‐a za srednje i maksimalne dnevne vrijednosti protoka, a za 2004. godinu posebno i za satne vrijednosti protoka, odrediti vjerojatnosti pojavljivanja poznatih maksimalnih godišnjih protoka statističkim metodama, procjeniti (proračunati) maksimalne vrijednosti godišnjih protoka statističkim metodoma za poznate vjerojatnosti pojavljivanja i poznata povratna razdoblja te napraviti izračun radne energije prema dostupnim podacima po godinama i po mjesecima za svaku godinu.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐12‐

2 Pregled podloga

Od strane HEP‐a su dane podloge za period od 1996. do 2012. godine za dnevne maksimalne, minimalne i srednje vrijednosti za:

Razine vode o GVB (gornja voda brane), o DVB (donja voda brane), o GVS (gornja voda strojarnice), o DVS (donja voda strojarnice) [m.n.m.]

Protoke o Dotok, o Preljev, o Brana ukupno, A1+A2 (agregati), o Ukupno HE [m3/s]

Radna energija [MWh] Posebno su za 2004. godinu dane i satne vrijednosti za sve gore navedene podatke o vodostajima, protocima i radnoj energiji za HE Varaždin.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐13‐

3 Izrada krivulja trajanja i učestalosti za HE Varaždin

U ovom poglavlju daje se kratki prikaz definicija krivulja trajanja i učestalosti, pregled krivulja trajanja i učestalosti za HE Varaždin za period od 1996. do 2012. godine za: srednje dnevne vrijednosti protoka (Slika 3.‐Slika 19.) i maksimalne dnevne vrijednosti protoka (Slika 21.‐Slika 37.). Napravljene su usporedbe krivulja trajanja svih godina za: srednje dnevne vrijednosti protoka (Slika 20.) i za maksimalne dnevne vrijednosti (Slika 38.). Posebno za 2004. godinu napravljena je krivulja trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka (Slika 39.) i usporedba krivulja trajanja za satne i dnevne srednje vrijednosti protoka (Slika 40.) te usporedba krivulja trajanja za satne, srednje dnevne i maksimalne dnevne vrijednosti protoka (Slika 41.).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐14‐

3.1 DEFINICIJA KRIVULJE TRAJANJA I UČESTALOSTI U mnogim hidrotehničkim analizama vrlo se često koriste podaci dobiveni iz krivulja trajanja i učestalosti protoka. Zapravo, radi se o pojmovima koji su u hidrotehničkoj praksi redovito sredstvo stručnog izlaganja i sporazumijevanja. Krivulja trajanja protoka je grafički prikaz ukupne učestalosti (kumulativne frekvencije) protoka na mjernom profilu vodotoka. Ova krivulja pokazuje koliko je trajao neki protok ili veći, odnosno manji od njega. Krivulja učestalosti protoka je grafički prikaz učestalosti određenog vodostaja u nekom razdoblju u mjernom profilu vodotoka. Kao karakteristične točke krivulja trajanja i učestalosti bilježimo:

(a) centar – aritmetička sredina svih obrađivanih veličina promatranog razdoblja

(b) medijana – veličina koja odgovara 50 [%] trajanju (ukupne učestalosti)

(c) modus – najučestalija veličina krivulje učestalosti (na krivulji trajanja odgovara

točki infleksije)

Termin „trajanje“ predstavlja pojam koji se u matematičkoj statistici naziva razdiobom jer ukazuje na činjenicu kako su vrijednosti podataka raspoređene u odnosu na neku određenu vrijednost, odnosno koliko ih ima veću, odnosno manju vrijednost od promatrane. Termin „učestalost“ predstavlja pojam koji se u matematičkoj statistici naziva funkcijom gustoće vjerojatnosti jer ukazuje na činjenicu koliko su vrijednosti podataka gusto raspoređene u odnosu na neku vrijednost.

Slika 2. Konstrukcija (godišnjih) krivulja trajanja i učestalosti [1]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐15‐

3.2 KRIVULJE TRAJANJA I UČESTALOSTI ZA HE VARAŽDIN

3.2.1 Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka

3.2.1.1 Za 1996 godinu Tablica 1. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka

za 1996. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 6 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 14 0.03878 3.88 361 100.003 101-150 150 20 20 13 0 0 0 0 0 2 0 0 1 56 0.15512 15.51 347 96.124 151-200 200 8 1 5 3 2 0 0 0 5 0 0 4 28 0.07756 7.76 291 80.615 201-250 250 3 0 2 9 1 5 2 13 10 0 4 9 58 0.16066 16.07 263 72.856 251-300 300 0 0 2 9 8 8 9 9 9 4 8 10 76 0.21053 21.05 205 56.797 301-350 350 0 0 0 7 5 9 4 5 3 5 1 4 43 0.11911 11.91 129 35.738 351-400 400 0 0 0 1 4 6 4 2 0 7 2 2 28 0.07756 7.76 86 23.829 401-450 450 0 0 0 0 6 0 2 2 1 2 1 0 14 0.03878 3.88 58 16.07

10 451-500 500 0 0 0 0 4 1 3 0 0 2 4 0 14 0.03878 3.88 44 12.1911 501-550 550 0 0 0 0 1 0 2 0 0 3 1 0 7 0.01939 1.94 30 8.3112 551-600 600 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 0 0 5 0.01385 1.39 23 6.3713 601-650 650 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 3 0.00831 0.83 18 4.9914 651-700 700 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 3 0.00831 0.83 15 4.1615 701-750 750 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 0 3 0.00831 0.83 12 3.3216 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00554 0.55 9 2.4918 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00277 0.28 7 1.9419 901-950 950 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 3 0.00831 0.83 6 1.6620 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00277 0.28 3 0.8323 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00554 0.55 2 0.55

� 31 27 30 29 31 30 31 31 30 31 30 30 361 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.

Učestalost protoka po mjesecima fi,k [dani]

Mjesec kProtok od - do

[m3/s]

Učestalost fi [dani]

Učestalost [1]

Karakteristični

protok [m3/s]

Slika 3. Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za 1996. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐16‐

3.2.1.2 Za 1997. godinu Tablica 2. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka

za 1997. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0 6 0.016438 1.64 365 100.003 101-150 150 0 6 9 22 3 0 0 0 1 22 8 3 74 0.20274 20.27 359 98.364 151-200 200 16 20 22 7 8 1 0 0 10 7 10 13 114 0.312329 31.23 285 78.085 201-250 250 14 2 0 0 13 5 4 9 11 0 2 8 68 0.186301 18.63 171 46.856 251-300 300 1 0 0 0 3 2 9 12 5 0 5 4 41 0.112329 11.23 103 28.227 301-350 350 0 0 0 0 3 3 7 6 3 0 2 2 26 0.071233 7.12 62 16.998 351-400 400 0 0 0 0 1 8 8 4 0 0 0 0 21 0.057534 5.75 36 9.869 401-450 450 0 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 1 6 0.016438 1.64 15 4.11

10 451-500 500 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0.010959 1.10 9 2.4711 501-550 550 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0.010959 1.10 5 1.3715 701-750 750 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]

Slika 4. Krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka

za 1997. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐17‐


za 1998. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 2 12 2 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0.04384 4.38 365 100.003 101-150 150 13 26 19 9 1 0 0 1 0 0 0 3 72 0.19726 19.73 349 95.624 151-200 200 17 0 0 14 13 2 0 7 2 0 0 16 71 0.19452 19.45 277 75.895 201-250 250 1 0 0 4 14 5 1 9 2 1 5 12 54 0.14795 14.79 206 56.446 251-300 300 0 0 0 1 1 7 8 8 4 3 6 0 38 0.10411 10.41 152 41.647 301-350 350 0 0 0 0 2 6 9 5 8 3 8 0 41 0.11233 11.23 114 31.238 351-400 400 0 0 0 0 0 6 4 0 3 4 6 0 23 0.06301 6.30 73 20.009 401-450 450 0 0 0 0 0 2 3 1 2 3 2 0 13 0.03562 3.56 50 13.70

10 451-500 500 0 0 0 0 0 2 3 0 3 3 0 0 11 0.03014 3.01 37 10.1411 501-550 550 0 0 0 0 0 0 1 0 1 6 1 0 9 0.02466 2.47 26 7.1212 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0.00548 0.55 17 4.6613 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0.00548 0.55 15 4.1114 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 0 3 1 0 0 5 0.0137 1.37 13 3.5615 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00548 0.55 8 2.1916 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 6 1.6417 801-850 850 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3719 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1024 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8226 1251-1300 1300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5533 1601-1650 1650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.


Mjesec k

Protok od - do

[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐18‐


za 1999. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 365 100.003 101-150 150 15 16 3 2 0 0 0 0 0 0 0 5 41 0.11233 11.23 362 99.184 151-200 200 14 10 12 8 0 0 0 0 0 0 3 17 64 0.17534 17.53 321 87.955 201-250 250 1 0 13 11 1 0 0 0 1 5 14 5 51 0.13973 13.97 257 70.416 251-300 300 0 0 3 5 2 4 5 0 3 8 8 4 42 0.11507 11.51 206 56.447 301-350 350 0 0 0 0 1 3 9 11 11 7 5 0 47 0.12877 12.88 164 44.938 351-400 400 0 0 0 2 3 7 6 6 3 3 0 0 30 0.08219 8.22 117 32.059 401-450 450 0 0 0 1 13 9 4 3 5 3 0 0 38 0.10411 10.41 87 23.84

10 451-500 500 0 0 0 1 6 6 1 5 2 0 0 0 21 0.05753 5.75 49 13.4211 501-550 550 0 0 0 0 3 1 3 2 4 3 0 0 16 0.04384 4.38 28 7.6712 551-600 600 0 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 12 3.2913 601-650 650 0 0 0 0 1 0 1 2 0 2 0 0 6 0.01644 1.64 9 2.4714 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0.00548 0.55 3 0.8215 701-750 750 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐19‐


za 2000. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 366 100.003 101-150 150 11 13 12 1 0 0 0 0 2 0 0 0 39 0.10656 10.66 365 99.734 151-200 200 20 15 16 8 0 0 0 1 19 1 0 0 80 0.21858 21.86 326 89.07

5 201-250 250 0 0 1 10 0 2 8 9 5 0 0 0 35 0.09563 9.56 246 67.216 251-300 300 0 0 1 1 1 5 9 10 3 3 0 6 39 0.10656 10.66 211 57.657 301-350 350 0 0 1 4 4 14 10 6 1 3 0 3 46 0.12568 12.57 172 46.998 351-400 400 0 0 0 4 13 8 1 0 0 4 0 9 39 0.10656 10.66 126 34.439 401-450 450 0 0 0 1 9 1 1 2 0 5 1 5 25 0.06831 6.83 87 23.77

10 451-500 500 0 0 0 1 4 0 2 1 0 1 1 3 13 0.03552 3.55 62 16.9411 501-550 550 0 0 0 0 0 0 0 1 0 6 2 4 13 0.03552 3.55 49 13.3912 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 2 0 4 0.01093 1.09 36 9.8413 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 3 0.0082 0.82 32 8.7414 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 0 6 0.01639 1.64 29 7.9215 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00546 0.55 23 6.2816 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0.01366 1.37 21 5.7417 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00546 0.55 16 4.3718 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00546 0.55 14 3.8319 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 5 0 5 0.01366 1.37 12 3.2822 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00546 0.55 7 1.9124 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00273 0.27 5 1.3725 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0.0082 0.82 4 1.0927 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐20‐


za 2001. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 10 13 0.03562 3.56 365 100.003 101-150 150 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 10 18 34 0.09315 9.32 352 96.444 151-200 200 0 0 1 0 0 0 0 5 8 17 15 3 49 0.13425 13.42 318 87.125 201-250 250 1 10 4 1 0 0 2 16 12 8 2 0 56 0.15342 15.34 269 73.706 251-300 300 6 16 14 10 1 2 2 7 6 3 0 0 67 0.18356 18.36 213 58.367 301-350 350 15 2 6 12 0 3 13 1 1 0 0 0 53 0.14521 14.52 146 40.008 351-400 400 2 0 5 7 1 7 11 0 0 0 0 0 33 0.09041 9.04 93 25.489 401-450 450 1 0 0 0 6 9 2 0 2 0 0 0 20 0.05479 5.48 60 16.44

10 451-500 500 2 0 1 0 14 5 0 0 0 0 0 0 22 0.06027 6.03 40 10.9611 501-550 550 1 0 0 0 7 1 0 0 0 0 0 0 9 0.02466 2.47 18 4.9312 551-600 600 1 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 9 2.4713 601-650 650 0 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 6 1.6416 751-800 800 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5517 801-850 850 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐21‐


za 2002. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 2 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 365 100.002 51-100 100 11 14 4 6 1 0 0 0 0 0 0 0 36 0.09863 9.86 362 99.183 101-150 150 18 11 19 6 0 0 3 1 0 0 0 0 58 0.1589 15.89 326 89.324 151-200 200 0 3 8 8 1 0 3 0 11 7 7 0 48 0.13151 13.15 268 73.425 201-250 250 0 0 0 8 6 5 6 3 10 9 5 7 59 0.16164 16.16 220 60.276 251-300 300 0 0 0 1 13 6 14 8 4 3 2 6 57 0.15616 15.62 161 44.117 301-350 350 0 0 0 0 6 7 4 10 3 7 1 4 42 0.11507 11.51 104 28.498 351-400 400 0 0 0 0 1 7 1 4 2 5 0 4 24 0.06575 6.58 62 16.999 401-450 450 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 0 1 5 0.0137 1.37 38 10.41

10 451-500 500 0 0 0 0 2 2 0 1 0 0 1 1 7 0.01918 1.92 33 9.0411 501-550 550 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 3 0.00822 0.82 26 7.1212 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 2 5 0.0137 1.37 23 6.3013 601-650 650 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 3 7 0.01918 1.92 18 4.9314 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 3 0.00822 0.82 11 3.0115 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 8 2.1916 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 6 1.6417 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 4 1.1022 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00548 0.55 3 0.8223 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐22‐


za 2003. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 0 4 2 0 0 0 4 1 0 0 0 11 0.03014 3.01 365 100.003 101-150 150 3 6 9 4 0 0 3 4 9 8 1 5 52 0.14247 14.25 354 96.994 151-200 200 11 19 17 18 2 3 5 15 11 11 1 6 119 0.32603 32.60 302 82.745 201-250 250 12 2 1 5 3 3 14 5 5 6 11 12 79 0.21644 21.64 183 50.146 251-300 300 5 1 0 1 13 7 5 1 1 3 5 4 46 0.12603 12.60 104 28.497 301-350 350 0 0 0 0 12 13 4 0 1 1 3 3 37 0.10137 10.14 58 15.898 351-400 400 0 0 0 0 0 4 0 0 1 1 0 1 7 0.01918 1.92 21 5.759 401-450 450 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0 6 0.01644 1.64 14 3.84

10 451-500 500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 0.00822 0.82 8 2.1911 501-550 550 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00548 0.55 5 1.3712 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 3 0.8213 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5521 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]


za 2003. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐23‐


za 2004. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 1 5 0.01366 1.37 366 100.003 101-150 150 11 15 2 0 0 0 0 0 0 1 1 4 34 0.0929 9.29 361 98.634 151-200 200 18 14 7 1 0 0 0 0 3 5 0 12 60 0.16393 16.39 327 89.345 201-250 250 2 0 6 2 1 0 0 5 10 14 6 9 55 0.15027 15.03 267 72.956 251-300 300 0 0 6 9 5 0 0 17 12 4 6 5 64 0.17486 17.49 212 57.927 301-350 350 0 0 2 12 13 4 2 6 2 4 5 0 50 0.13661 13.66 148 40.448 351-400 400 0 0 3 4 7 4 4 2 2 0 6 0 32 0.08743 8.74 98 26.789 401-450 450 0 0 1 1 2 2 7 0 1 1 1 0 16 0.04372 4.37 66 18.03

10 451-500 500 0 0 0 1 3 5 3 1 0 0 1 0 14 0.03825 3.83 50 13.6611 501-550 550 0 0 0 0 0 2 2 0 0 0 2 0 6 0.01639 1.64 36 9.8412 551-600 600 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 5 0.01366 1.37 30 8.2013 601-650 650 0 0 0 0 0 3 3 0 0 1 0 0 7 0.01913 1.91 25 6.8314 651-700 700 0 0 0 0 0 1 5 0 0 1 1 0 8 0.02186 2.19 18 4.9215 701-750 750 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 4 0.01093 1.09 10 2.7316 751-800 800 0 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 3 0.0082 0.82 6 1.6417 801-850 850 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 3 0.8219 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 2 0.5520 951-1000 1000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐24‐


za 2005. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 1 6 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 11 0.03014 3.01 365 100.003 101-150 150 12 9 7 3 1 2 0 0 0 0 0 7 41 0.11233 11.23 354 96.994 151-200 200 18 13 16 2 3 6 1 2 1 0 11 10 83 0.2274 22.74 313 85.755 201-250 250 0 0 5 8 7 9 2 5 2 1 17 10 66 0.18082 18.08 230 63.016 251-300 300 0 0 0 12 7 9 4 4 8 9 2 2 57 0.15616 15.62 164 44.937 301-350 350 0 0 0 4 9 3 10 3 11 1 0 1 42 0.11507 11.51 107 29.328 351-400 400 0 0 0 1 4 1 6 4 5 7 0 0 28 0.07671 7.67 65 17.819 401-450 450 0 0 0 0 0 0 4 5 1 2 0 0 12 0.03288 3.29 37 10.14

10 451-500 500 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0.00548 0.55 25 6.8511 501-550 550 0 0 0 0 0 0 1 3 1 2 0 0 7 0.01918 1.92 23 6.3012 551-600 600 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 4 0.01096 1.10 16 4.3813 601-650 650 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0.00548 0.55 12 3.2914 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 10 2.7415 701-750 750 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 9 2.4716 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 0 3 0.00822 0.82 7 1.9217 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1019 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8223 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5525 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐25‐


za 2006. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0.00548 0.55 365 100.002 51-100 100 4 4 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0 13 0.03562 3.56 363 99.453 101-150 150 17 11 2 0 0 0 0 0 1 4 13 18 66 0.18082 18.08 350 95.894 151-200 200 9 9 8 0 0 0 3 0 7 11 13 10 70 0.19178 19.18 284 77.815 201-250 250 0 4 13 0 0 2 11 9 14 10 0 2 65 0.17808 17.81 214 58.636 251-300 300 0 0 3 6 0 1 6 12 4 2 0 0 34 0.09315 9.32 149 40.827 301-350 350 0 0 1 9 3 12 8 8 3 2 0 1 47 0.12877 12.88 115 31.518 351-400 400 0 0 2 8 8 4 3 1 1 0 0 0 27 0.07397 7.40 68 18.639 401-450 450 0 0 1 5 4 6 0 1 0 0 0 0 17 0.04658 4.66 41 11.23

10 451-500 500 0 0 1 0 5 4 0 0 0 0 0 0 10 0.0274 2.74 24 6.5811 501-550 550 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 14 3.8412 551-600 600 0 0 0 1 3 0 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 10 2.7413 601-650 650 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 5 0.0137 1.37 6 1.6414 651-700 700 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]

Slika 13. Krivulja trajanje i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka za 2006. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐26‐


za 2007. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0.00548 0.55 365 100.002 51-100 100 5 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 8 0.02192 2.19 363 99.453 101-150 150 16 8 3 0 0 1 0 1 0 0 1 12 42 0.11507 11.51 355 97.264 151-200 200 10 14 16 2 3 1 3 8 3 8 13 13 94 0.25753 25.75 313 85.755 201-250 250 0 3 5 4 12 16 10 11 9 6 12 4 92 0.25205 25.21 219 60.006 251-300 300 0 0 6 16 13 11 4 5 7 14 3 0 79 0.21644 21.64 127 34.797 301-350 350 0 0 1 8 3 1 3 4 5 3 1 0 29 0.07945 7.95 48 13.158 351-400 400 0 0 0 0 0 0 4 2 4 0 0 0 10 0.0274 2.74 19 5.219 401-450 450 0 0 0 0 0 0 4 0 2 0 0 0 6 0.01644 1.64 9 2.47

11 501-550 550 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 3 0.8214 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]


za 2007. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐27‐


za 2008. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 366 100.002 51-100 100 4 4 3 0 0 0 0 0 0 1 0 0 12 0.03279 3.28 365 99.733 101-150 150 10 21 15 3 0 0 0 0 1 5 0 0 55 0.15027 15.03 353 96.454 151-200 200 15 4 13 14 3 0 0 1 7 16 0 2 75 0.20492 20.49 298 81.425 201-250 250 1 0 0 9 10 0 0 0 11 5 7 5 48 0.13115 13.11 223 60.936 251-300 300 0 0 0 4 3 0 2 7 9 0 9 4 38 0.10383 10.38 175 47.817 301-350 350 0 0 0 0 2 0 12 11 2 1 4 8 40 0.10929 10.93 137 37.438 351-400 400 0 0 0 0 0 7 8 8 0 1 3 7 34 0.0929 9.29 97 26.509 401-450 450 0 0 0 0 4 7 5 2 0 0 2 2 22 0.06011 6.01 63 17.21

10 451-500 500 0 0 0 0 5 9 3 0 0 0 3 2 22 0.06011 6.01 41 11.2011 501-550 550 0 0 0 0 3 3 1 1 0 0 1 1 10 0.02732 2.73 19 5.1912 551-600 600 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 3 0.0082 0.82 9 2.4613 601-650 650 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 2 0.00546 0.55 6 1.6414 651-700 700 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 3 0.0082 0.82 4 1.0920 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐28‐


za 2009. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 101-150 150 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 2 5 0.0137 1.37 365 100.004 151-200 200 12 8 1 0 0 0 0 0 0 5 17 3 46 0.12603 12.60 360 98.635 201-250 250 12 10 12 0 0 0 0 0 0 19 10 10 73 0.2 20.00 314 86.036 251-300 300 4 4 12 0 0 0 0 9 7 6 2 5 49 0.13425 13.42 241 66.037 301-350 350 2 2 2 0 0 0 5 12 5 1 0 2 31 0.08493 8.49 192 52.608 351-400 400 1 1 1 2 0 7 5 6 4 0 0 3 30 0.08219 8.22 161 44.119 401-450 450 0 2 1 3 1 6 6 1 5 0 0 1 26 0.07123 7.12 131 35.89

10 451-500 500 0 0 0 6 8 4 3 1 1 0 0 2 25 0.06849 6.85 105 28.7711 501-550 550 0 0 1 16 5 3 8 0 3 0 0 1 37 0.10137 10.14 80 21.9212 551-600 600 0 0 0 3 3 6 3 0 3 0 0 0 18 0.04932 4.93 43 11.7813 601-650 650 0 0 0 0 3 0 0 1 1 0 0 0 5 0.0137 1.37 25 6.8514 651-700 700 0 0 0 0 4 2 1 1 0 0 0 0 8 0.02192 2.19 20 5.4815 701-750 750 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 12 3.2916 751-800 800 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 0 1 5 0.0137 1.37 8 2.1917 801-850 850 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8218 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0.00274 0.27 2 0.5519 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐29‐


za 2010. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 365 100.002 51-100 100 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 364 99.733 101-150 150 0 3 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 363 99.454 151-200 200 8 18 9 9 0 0 4 3 0 1 0 0 52 0.14247 14.25 359 98.365 201-250 250 12 7 19 14 1 0 9 10 8 6 0 1 87 0.23836 23.84 307 84.116 251-300 300 8 0 2 6 4 2 13 7 6 13 0 7 68 0.1863 18.63 220 60.277 301-350 350 2 0 0 1 10 10 5 4 4 8 4 13 61 0.16712 16.71 152 41.648 351-400 400 0 0 0 0 5 5 0 2 2 2 7 2 25 0.06849 6.85 91 24.939 401-450 450 0 0 0 0 5 7 0 2 3 1 5 4 27 0.07397 7.40 66 18.08

10 451-500 500 0 0 0 0 3 1 0 2 1 0 7 2 16 0.04384 4.38 39 10.6811 501-550 550 0 0 0 0 1 5 0 0 2 0 4 1 13 0.03562 3.56 23 6.3012 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0 3 0.00822 0.82 10 2.7413 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 3 0.00822 0.82 7 1.9214 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1016 751-800 800 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 3 0.8219 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐30‐


za 2011. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 3 0.00822 0.82 365 100.003 101-150 150 0 2 9 0 0 0 0 1 3 2 3 15 35 0.09589 9.59 362 99.184 151-200 200 3 18 13 15 3 0 1 2 5 3 10 12 85 0.23288 23.29 327 89.595 201-250 250 16 8 6 11 11 0 4 9 11 10 12 0 98 0.26849 26.85 242 66.306 251-300 300 10 0 1 4 9 0 19 14 2 8 5 1 73 0.2 20.00 144 39.457 301-350 350 2 0 0 0 4 3 5 3 5 3 0 0 25 0.06849 6.85 71 19.458 351-400 400 0 0 1 0 1 7 1 0 0 2 0 0 12 0.03288 3.29 46 12.609 401-450 450 0 0 1 0 0 8 0 1 1 1 0 0 12 0.03288 3.29 34 9.32

10 451-500 500 0 0 0 0 2 4 1 1 2 1 0 0 11 0.03014 3.01 22 6.0311 501-550 550 0 0 0 0 1 2 0 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 11 3.0112 551-600 600 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 0 4 0.01096 1.10 8 2.1913 601-650 650 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1014 651-700 700 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8216 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5517 801-850 850 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐31‐


za 2012. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

2 51-100 100 6 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 18 0.04918 4.92 366 100.003 101-150 150 23 22 21 6 0 0 0 0 0 0 0 0 72 0.19672 19.67 348 95.084 151-200 200 2 0 4 16 2 0 1 0 0 0 0 0 25 0.06831 6.83 276 75.415 201-250 250 0 0 1 6 9 1 4 9 1 0 0 6 37 0.10109 10.11 251 68.586 251-300 300 0 0 0 2 11 8 5 11 8 2 0 8 55 0.15027 15.03 214 58.477 301-350 350 0 0 0 0 4 12 3 2 4 6 0 9 40 0.10929 10.93 159 43.448 351-400 400 0 0 0 0 5 7 1 2 4 7 2 3 31 0.0847 8.47 119 32.519 401-450 450 0 0 0 0 0 2 5 5 6 4 2 2 26 0.07104 7.10 88 24.04

10 451-500 500 0 0 0 0 0 0 4 2 2 3 5 2 18 0.04918 4.92 62 16.9411 501-550 550 0 0 0 0 0 0 5 0 2 5 4 1 17 0.04645 4.64 44 12.0212 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 4 0 5 0.01366 1.37 27 7.3813 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 1 0 4 0.01093 1.09 22 6.0114 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0.0082 0.82 18 4.9215 701-750 750 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 2 0 4 0.01093 1.09 15 4.1016 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0.0082 0.82 11 3.0117 801-850 850 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0.00546 0.55 8 2.1918 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00546 0.55 6 1.6420 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 4 1.0921 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 3 0.8227 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 2 0.5535 1701-1750 1750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐32‐

3.2.1.18 Usporedba krivulja trajanja srednjih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012. godine

Slika 20. Krivulje trajanja srednjih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012. godine


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐33‐

3.2.2 Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka

3.2.2.1 Za 1996. godinu

Tablica 18. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za 1996. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 101-150 150 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00554 0.55 361 100.004 151-200 200 3 4 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0.03047 3.05 359 99.455 201-250 250 24 22 14 0 0 0 0 0 0 0 0 1 61 0.16898 16.90 348 96.406 251-300 300 3 1 7 1 0 0 0 0 0 0 0 0 12 0.03324 3.32 287 79.507 301-350 350 0 0 1 0 0 1 1 0 2 0 0 1 6 0.01662 1.66 275 76.188 351-400 400 1 0 2 5 1 3 0 1 2 0 0 1 16 0.04432 4.43 269 74.529 401-450 450 0 0 0 6 0 4 1 5 3 0 3 6 28 0.07756 7.76 253 70.08

10 451-500 500 0 0 0 12 9 12 6 15 20 9 8 18 109 0.30194 30.19 225 62.3311 501-550 550 0 0 0 5 18 7 16 10 3 10 4 3 76 0.21053 21.05 116 32.1312 551-600 600 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 0 4 0.01108 1.11 40 11.0813 601-650 650 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 4 0 6 0.01662 1.66 36 9.9714 651-700 700 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 3 0.00831 0.83 30 8.3115 701-750 750 0 0 0 0 0 0 1 0 0 4 2 0 7 0.01939 1.94 27 7.4816 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0.00554 0.55 20 5.5417 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00277 0.28 18 4.9918 851-900 900 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0 3 0.00831 0.83 17 4.7119 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 0.00831 0.83 14 3.8820 951-1000 1000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00277 0.28 11 3.0521 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00277 0.28 10 2.7722 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 0 3 0.00831 0.83 9 2.4923 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00277 0.28 6 1.6624 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00277 0.28 5 1.3925 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00277 0.28 4 1.1126 1251-1300 1300 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00277 0.28 3 0.8328 1351-1400 1400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00277 0.28 2 0.5535 1701-1750 1750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00277 0.28 1 0.28

� 31 27 30 29 31 30 31 31 30 31 30 30 361 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]

Slika 21. Krivulje trajanja i učestalosti za maksimalne dnevne vrijednosti protoka za 1996. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐34‐

3.2.2.2 Za 1997. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00548 0.55 365 100.005 201-250 250 12 8 10 19 2 0 0 0 0 9 5 2 67 0.18356 18.36 363 99.456 251-300 300 12 20 21 2 2 0 0 0 1 5 4 1 68 0.1863 18.63 296 81.107 301-350 350 1 0 0 4 1 0 0 0 1 3 1 1 12 0.03288 3.29 228 62.478 351-400 400 0 0 0 1 3 0 0 0 2 1 2 4 13 0.03562 3.56 216 59.189 401-450 450 0 0 0 3 6 1 2 0 3 5 1 7 28 0.07671 7.67 203 55.62

10 451-500 500 6 0 0 0 9 9 9 9 14 5 13 12 86 0.23562 23.56 175 47.9511 501-550 550 0 0 0 1 8 15 19 22 9 2 3 4 83 0.2274 22.74 89 24.3813 601-650 650 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 6 1.6414 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1015 701-750 750 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8218 851-900 900 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5523 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐35‐

3.2.2.3 Za 1998. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 1 0 2 1 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0.0137 1.37 365 100.005 201-250 250 16 27 27 12 1 0 0 0 0 0 0 1 84 0.23014 23.01 360 98.636 251-300 300 8 1 0 10 2 0 0 2 0 0 0 3 26 0.07123 7.12 276 75.627 301-350 350 0 0 1 2 5 0 0 1 0 0 0 5 14 0.03836 3.84 250 68.498 351-400 400 1 0 1 0 3 0 0 3 0 0 0 3 11 0.03014 3.01 236 64.669 401-450 450 0 0 0 1 5 2 1 6 1 1 2 7 26 0.07123 7.12 225 61.64

10 451-500 500 5 0 0 3 10 7 3 14 11 9 18 10 90 0.24658 24.66 199 54.5211 501-550 550 0 0 0 1 5 21 21 2 11 6 7 2 76 0.20822 20.82 109 29.8612 551-600 600 0 0 0 0 0 0 1 1 0 4 0 0 6 0.01644 1.64 33 9.0413 601-650 650 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 0 0 3 0.00822 0.82 27 7.4014 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 5 0.0137 1.37 24 6.5815 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 19 5.2116 751-800 800 0 0 0 0 0 0 1 0 0 2 1 0 4 0.01096 1.10 18 4.9317 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 0 3 0.00822 0.82 14 3.8418 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0.00548 0.55 11 3.0121 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0.00548 0.55 9 2.4722 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 7 1.9224 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 2 0.00548 0.55 6 1.6426 1251-1300 1300 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1029 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8232 1551-1600 1600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5536 1751-1800 1800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐36‐

3.2.2.4 Za 1999. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 201-250 250 22 9 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 0.09041 9.04 365 100.006 251-300 300 5 18 27 2 0 0 0 0 0 0 0 7 59 0.16164 16.16 332 90.967 301-350 350 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 2 9 17 0.04658 4.66 273 74.798 351-400 400 2 0 0 6 0 0 0 0 0 1 6 5 20 0.05479 5.48 256 70.149 401-450 450 0 0 0 6 1 0 0 0 1 3 6 5 22 0.06027 6.03 236 64.66

10 451-500 500 0 0 0 11 2 8 10 5 8 13 15 5 77 0.21096 21.10 214 58.6311 501-550 550 0 0 0 3 23 21 15 19 16 9 1 0 107 0.29315 29.32 137 37.5312 551-600 600 0 0 0 0 2 1 1 0 3 0 0 0 7 0.01918 1.92 30 8.2213 601-650 650 0 0 0 0 2 0 1 1 1 0 0 0 5 0.0137 1.37 23 6.3014 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 18 4.9315 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 16 4.3816 751-800 800 1 0 0 0 0 0 1 3 0 2 0 0 7 0.01918 1.92 15 4.1117 801-850 850 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 3 0.00822 0.82 8 2.1918 851-900 900 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 3 0.00822 0.82 5 1.3720 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5525 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐37‐

3.2.2.5 Za 2000. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00546 0.55 366 100.005 201-250 250 18 8 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 33 0.09016 9.02 364 99.456 251-300 300 10 16 21 2 0 0 0 0 0 0 0 0 49 0.13388 13.39 331 90.447 301-350 350 1 2 1 2 0 0 0 3 6 0 0 0 15 0.04098 4.10 282 77.058 351-400 400 1 0 0 6 0 1 5 4 10 0 0 0 27 0.07377 7.38 267 72.959 401-450 450 0 1 0 4 0 2 5 3 9 2 0 0 26 0.07104 7.10 240 65.57

10 451-500 500 1 0 2 7 8 13 11 13 4 7 0 11 77 0.21038 21.04 214 58.4711 501-550 550 0 0 0 9 23 13 8 6 1 7 1 14 82 0.22404 22.40 137 37.4312 551-600 600 0 0 0 0 0 0 2 1 0 5 0 3 11 0.03005 3.01 55 15.0313 601-650 650 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 2 0 3 0.0082 0.82 44 12.0214 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 1 2 6 0.01639 1.64 41 11.2015 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 3 1 5 0.01366 1.37 35 9.5616 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 2 0 4 0.01093 1.09 30 8.2017 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 0 3 0.0082 0.82 26 7.1018 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0.0082 0.82 23 6.2819 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0.0082 0.82 20 5.4620 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 3 0.0082 0.82 17 4.6422 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00546 0.55 14 3.8324 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 0.0082 0.82 12 3.2825 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00273 0.27 9 2.4627 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 3 0.0082 0.82 8 2.1928 1351-1400 1400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00546 0.55 5 1.3729 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 3 0.8230 1451-1500 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 2 0.5534 1651-1700 1700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]Mjesec k

Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]

Učestalost protoka po mjesecima fi,k [dani]Učestalost

fi [dani]Učestalost

[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐38‐

3.2.2.6 Za 2001. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 6 0.01644 1.64 365 100.005 201-250 250 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 5 14 23 0.06301 6.30 359 98.366 251-300 300 0 13 12 3 0 0 0 0 0 1 1 2 32 0.08767 8.77 336 92.057 301-350 350 0 4 5 3 0 0 0 1 4 5 4 4 30 0.08219 8.22 304 83.298 351-400 400 0 3 4 2 1 0 0 5 3 8 10 2 38 0.10411 10.41 274 75.079 401-450 450 1 0 2 4 0 0 0 7 6 3 7 3 33 0.09041 9.04 236 64.66

10 451-500 500 16 3 7 10 0 6 9 14 9 10 3 0 87 0.23836 23.84 203 55.6211 501-550 550 11 5 1 6 26 21 20 2 7 2 0 0 101 0.27671 27.67 116 31.7812 551-600 600 0 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 5 0.0137 1.37 15 4.1113 601-650 650 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 10 2.7415 701-750 750 1 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 9 2.4716 751-800 800 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3720 951-1000 1000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1021 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8225 1201-1250 1250 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5526 1251-1300 1300 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐39‐

3.2.2.7 Za 2002. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

3 101-150 150 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 365 100.004 151-200 200 7 3 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 16 0.04384 4.38 363 99.455 201-250 250 20 23 7 5 1 0 0 0 0 0 0 0 56 0.15342 15.34 347 95.076 251-300 300 2 2 9 1 0 0 1 0 0 0 0 0 15 0.0411 4.11 291 79.737 301-350 350 0 0 4 3 0 0 1 2 0 0 2 0 12 0.03288 3.29 276 75.628 351-400 400 1 0 3 2 2 0 3 0 2 0 2 0 15 0.0411 4.11 264 72.339 401-450 450 0 0 2 7 3 0 2 3 5 4 0 1 27 0.07397 7.40 249 68.22

10 451-500 500 0 0 1 4 7 8 13 4 14 12 10 6 79 0.21644 21.64 222 60.8211 501-550 550 0 0 1 5 18 20 9 20 9 15 1 16 114 0.31233 31.23 143 39.1812 551-600 600 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 29 7.9513 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 4 6 0.01644 1.64 27 7.4014 651-700 700 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 2 3 0.00822 0.82 21 5.7515 701-750 750 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 3 0.00822 0.82 18 4.9317 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0.00548 0.55 15 4.1118 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 13 3.5619 901-950 950 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 0 4 0.01096 1.10 12 3.2921 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00548 0.55 8 2.1922 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 6 1.6424 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 4 1.1027 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 3 0.8229 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00548 0.55 2 0.55

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐40‐

3.2.2.8 Za 2003. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 0 2 2 0 0 0 1 0 0 0 0 5 0.0137 1.37 365 100.005 201-250 250 17 25 6 0 0 0 0 5 3 0 1 1 58 0.1589 15.89 360 98.636 251-300 300 0 1 4 1 0 0 2 0 1 0 0 0 9 0.02466 2.47 302 82.747 301-350 350 1 0 5 8 2 0 3 4 3 2 0 3 31 0.08493 8.49 293 80.278 351-400 400 1 2 9 9 1 1 2 8 5 3 0 3 44 0.12055 12.05 262 71.789 401-450 450 1 0 4 6 1 4 6 5 7 7 6 5 52 0.14247 14.25 218 59.73

10 451-500 500 8 0 1 2 20 14 13 5 10 14 14 16 117 0.32055 32.05 166 45.4811 501-550 550 3 0 0 2 7 11 5 1 0 5 4 3 41 0.11233 11.23 49 13.4212 551-600 600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 8 2.1914 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 7 1.9215 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 6 1.6416 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3720 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 2 0.00548 0.55 4 1.1024 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 2 0.5529 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]


Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]



[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐41‐

3.2.2.9 Za 2004. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.0082 0.82 366 100.005 201-250 250 15 19 2 0 0 0 0 0 0 0 0 2 38 0.10383 10.38 363 99.186 251-300 300 8 2 1 0 0 0 0 5 0 0 0 0 16 0.04372 4.37 325 88.807 301-350 350 3 3 0 0 0 0 0 2 1 0 0 3 12 0.03279 3.28 309 84.438 351-400 400 2 2 2 0 0 0 0 1 0 0 0 4 11 0.03005 3.01 297 81.159 401-450 450 2 2 5 2 1 0 0 3 0 5 1 3 24 0.06557 6.56 286 78.14

10 451-500 500 1 0 11 9 6 1 4 10 11 11 5 13 82 0.22404 22.40 262 71.5811 501-550 550 0 0 8 18 23 15 13 10 18 13 21 6 145 0.39617 39.62 180 49.1812 551-600 600 0 0 0 1 0 2 0 0 0 0 0 0 3 0.0082 0.82 35 9.5613 601-650 650 0 0 0 0 0 1 2 0 0 0 1 0 4 0.01093 1.09 32 8.7414 651-700 700 0 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 5 0.01366 1.37 28 7.6515 701-750 750 0 0 0 0 0 2 3 0 0 0 0 0 5 0.01366 1.37 23 6.2816 751-800 800 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 1 0 4 0.01093 1.09 18 4.9217 801-850 850 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 14 3.8318 851-900 900 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0.00546 0.55 13 3.5519 901-950 950 0 0 0 0 0 2 0 0 0 1 0 0 3 0.0082 0.82 11 3.0120 951-1000 1000 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 8 2.1921 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 2 0.00546 0.55 7 1.9122 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00273 0.27 5 1.3723 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 2 0.00546 0.55 4 1.0924 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 2 0.5525 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]


Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]



[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐42‐

3.2.2.10 Za 2005. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 365 100.005 201-250 250 3 2 4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0.0274 2.74 364 99.736 251-300 300 3 1 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0.01644 1.64 354 96.997 301-350 350 5 2 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 8 0.02192 2.19 348 95.348 351-400 400 9 6 4 3 1 3 0 1 0 0 0 0 27 0.07397 7.40 340 93.159 401-450 450 6 6 5 2 2 5 2 0 0 0 3 3 34 0.09315 9.32 313 85.75

10 451-500 500 4 8 6 11 8 11 5 6 6 1 19 25 110 0.30137 30.14 279 76.4411 501-550 550 1 3 9 14 19 10 18 14 22 19 7 3 139 0.38082 38.08 169 46.3012 551-600 600 0 0 0 0 0 0 2 3 1 0 0 0 6 0.01644 1.64 30 8.2213 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 0 1 2 0 0 3 0.00822 0.82 24 6.5814 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 2 0 1 0 0 4 0.01096 1.10 21 5.7515 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0.00822 0.82 17 4.6616 751-800 800 0 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 0 4 0.01096 1.10 14 3.8418 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 2 0 1 0 0 3 0.00822 0.82 10 2.7419 901-950 950 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 7 1.9220 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 6 1.6421 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3726 1251-1300 1300 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1027 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8229 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5530 1451-1500 1500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]


Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]



[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐43‐

3.2.2.11 Za 2006. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 365 100.005 201-250 250 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 363 99.456 251-300 300 8 9 21 0 0 0 0 0 1 1 3 2 45 0.12329 12.33 361 98.907 301-350 350 1 3 1 0 0 0 0 0 0 2 0 4 11 0.03014 3.01 316 86.588 351-400 400 2 5 2 0 0 0 0 0 1 1 3 4 18 0.04932 4.93 305 83.569 401-450 450 7 8 0 0 0 0 1 1 4 7 4 4 36 0.09863 9.86 287 78.63

10 451-500 500 11 2 3 4 4 3 9 9 8 10 9 12 84 0.23014 23.01 251 68.7711 501-550 550 0 1 3 23 13 26 21 20 15 9 9 5 145 0.39726 39.73 167 45.7512 551-600 600 0 0 1 1 4 0 0 1 1 0 0 0 8 0.02192 2.19 22 6.0313 601-650 650 0 0 0 0 4 1 0 0 0 0 0 0 5 0.0137 1.37 14 3.8414 651-700 700 0 0 0 2 4 0 0 0 0 0 0 0 6 0.01644 1.64 9 2.4715 701-750 750 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8216 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5518 851-900 900 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐44‐

3.2.2.12 Za 2007. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 365 100.005 201-250 250 10 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 4 19 0.05205 5.21 364 99.736 251-300 300 5 20 13 0 0 0 0 0 0 0 0 2 40 0.10959 10.96 345 94.527 301-350 350 2 1 2 0 0 0 1 2 0 0 1 5 14 0.03836 3.84 305 83.568 351-400 400 3 1 0 0 0 0 0 2 0 0 1 1 8 0.02192 2.19 291 79.739 401-450 450 4 2 2 1 0 2 3 0 0 1 3 4 22 0.06027 6.03 283 77.53

10 451-500 500 6 1 3 6 16 11 7 13 7 9 13 9 101 0.27671 27.67 261 71.5111 501-550 550 1 0 8 23 15 17 17 14 22 21 12 6 156 0.4274 42.74 160 43.8413 601-650 650 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1014 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8217 801-850 850 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5519 901-950 950 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]


Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]



[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐45‐

3.2.2.13 Za 2008. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 365 100.005 201-250 250 5 9 1 0 0 0 0 0 0 7 0 0 22 0.06027 6.03 362 99.186 251-300 300 2 9 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 12 0.03288 3.29 340 93.157 301-350 350 2 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 328 89.868 351-400 400 3 2 4 1 2 0 0 0 1 1 0 0 14 0.03836 3.84 324 88.779 401-450 450 1 6 5 2 2 0 0 1 2 1 0 0 20 0.05479 5.48 310 84.93

10 451-500 500 13 2 14 14 6 1 7 2 16 8 12 2 97 0.26575 26.58 290 79.4511 501-550 550 2 0 6 13 17 21 22 25 10 9 15 27 167 0.45753 45.75 193 52.8812 551-600 600 0 0 0 0 1 2 0 0 1 0 1 0 5 0.0137 1.37 26 7.1213 601-650 650 0 0 0 0 1 4 2 2 0 1 0 2 12 0.03288 3.29 21 5.7515 701-750 750 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 9 2.4716 751-800 800 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 1 0 4 0.01096 1.10 8 2.1920 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 2 0.00548 0.55 4 1.1021 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5528 1351-1400 1400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 30 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐46‐

3.2.2.14 Za 2009. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 251-300 300 19 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 26 0.07123 7.12 365 100.007 301-350 350 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 339 92.888 351-400 400 7 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 16 0.04384 4.38 337 92.339 401-450 450 3 5 5 0 0 0 0 0 0 1 2 1 17 0.04658 4.66 321 87.95

10 451-500 500 0 5 6 2 0 3 1 5 3 17 9 6 57 0.15616 15.62 304 83.2911 501-550 550 1 1 18 16 10 14 23 24 19 13 19 17 175 0.47945 47.95 247 67.6712 551-600 600 0 2 0 10 3 3 4 0 3 0 0 1 26 0.07123 7.12 72 19.7313 601-650 650 0 0 2 0 1 2 1 0 1 0 0 1 8 0.02192 2.19 46 12.6014 651-700 700 0 0 0 2 6 1 0 0 1 0 0 0 10 0.0274 2.74 38 10.4115 701-750 750 0 0 0 0 0 2 0 0 2 0 0 1 5 0.0137 1.37 28 7.6716 751-800 800 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 0 0 6 0.01644 1.64 23 6.3017 801-850 850 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 17 4.6618 851-900 900 0 0 0 0 1 1 0 2 0 0 0 0 4 0.01096 1.10 15 4.1119 901-950 950 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 11 3.0120 951-1000 1000 0 0 0 0 2 1 0 0 0 0 0 0 3 0.00822 0.82 9 2.4721 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 6 1.6422 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3723 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1024 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 2 0.00548 0.55 3 0.8229 1401-1450 1450 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐47‐

3.2.2.15 Za 2010. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

6 251-300 300 20 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 21 0.05753 5.75 365 100.007 301-350 350 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 6 0.01644 1.64 344 94.258 351-400 400 0 8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8 0.02192 2.19 338 92.609 401-450 450 3 4 4 3 1 0 5 1 1 0 0 0 22 0.06027 6.03 330 90.41

10 451-500 500 2 8 15 13 6 2 6 9 5 8 3 4 81 0.22192 22.19 308 84.3811 501-550 550 2 5 12 14 20 26 19 18 18 23 20 24 201 0.55068 55.07 227 62.1912 551-600 600 0 0 0 0 2 2 1 2 2 0 3 2 14 0.03836 3.84 26 7.1213 601-650 650 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 12 3.2914 651-700 700 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 2 0.00548 0.55 11 3.0115 701-750 750 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00548 0.55 9 2.4716 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 0.00548 0.55 7 1.9217 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 5 1.3719 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1020 951-1000 1000 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8221 1001-1050 1050 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 2 0.5525 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 1 0.27

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐48‐

3.2.2.16 Za 2011. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

5 201-250 250 1 3 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 6 0.01644 1.64 365 100.006 251-300 300 10 18 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 34 0.09315 9.32 359 98.367 301-350 350 2 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 3 7 0.01918 1.92 325 89.048 351-400 400 4 1 0 0 0 0 1 0 1 1 1 5 14 0.03836 3.84 318 87.129 401-450 450 1 4 3 2 0 0 4 3 2 2 7 10 38 0.10411 10.41 304 83.29

10 451-500 500 6 1 17 5 7 4 16 11 11 17 10 4 109 0.29863 29.86 266 72.8811 501-550 550 7 0 11 21 19 17 10 15 11 8 12 4 135 0.36986 36.99 157 43.0112 551-600 600 0 0 0 2 2 3 0 1 0 2 0 0 10 0.0274 2.74 22 6.0313 601-650 650 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 12 3.2914 651-700 700 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 0 2 0.00548 0.55 11 3.0115 701-750 750 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 9 2.4716 751-800 800 0 0 0 0 2 1 0 0 0 1 0 0 4 0.01096 1.10 8 2.1918 851-900 900 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0.00274 0.27 4 1.1023 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00274 0.27 3 0.8226 1251-1300 1300 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 2 0.00548 0.55 2 0.55

� 31 28 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 365 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]


Red. br.

Protok od - do

[m3/s]

Karakteristični

protok [m3/s]



[1.0]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐49‐

3.2.2.17 Za 2012. godinu


1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

4 151-200 200 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0.0082 0.82 366 100.005 201-250 250 25 20 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 47 0.12842 12.84 363 99.186 251-300 300 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 4 0.01093 1.09 316 86.347 301-350 350 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 4 0.01093 1.09 312 85.258 351-400 400 3 1 3 2 0 0 0 2 0 0 0 4 15 0.04098 4.10 308 84.159 401-450 450 0 1 10 5 3 0 3 1 0 0 0 15 38 0.10383 10.38 293 80.05

10 451-500 500 1 1 11 12 8 8 5 10 3 4 2 7 72 0.19672 19.67 255 69.6711 501-550 550 0 0 6 7 20 21 17 18 21 21 7 3 141 0.38525 38.52 183 50.0012 551-600 600 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 3 0 5 0.01366 1.37 42 11.4813 601-650 650 0 0 0 1 0 0 2 0 1 1 4 1 10 0.02732 2.73 37 10.1114 651-700 700 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 3 0.0082 0.82 27 7.3816 751-800 800 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 2 0 5 0.01366 1.37 24 6.5617 801-850 850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00546 0.55 19 5.1918 851-900 900 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 2 0.00546 0.55 17 4.6419 901-950 950 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 2 0.00546 0.55 15 4.1020 951-1000 1000 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 3 0 5 0.01366 1.37 13 3.5521 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0.00273 0.27 8 2.1922 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0.00273 0.27 7 1.9123 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 2 0.00546 0.55 6 1.6425 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 4 1.0927 1301-1350 1350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 3 0.8253 2601-2650 2650 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 2 0.5557 2801-2850 2850 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0.00273 0.27 1 0.27

� 31 29 31 30 31 30 31 31 30 31 30 31 366 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [dani]

Trajanje [%]

Red. br.



[m3/s]


Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]



U Zagrebu, 17.09.2013. ‐50‐

3.2.2.18 Usporedba krivulja trajanja maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012. godine

Slika 38. Krivulje trajanja maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka od 1996. do 2012. godine


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐51‐

3.2.2.19 Krivulja trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka za 2004. godinu

Tablica 35. Izrada krivulja trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka

za 2004. godinu

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

1 0-50 50 3 1 3 0 2 0 0 4 3 4 3 1 24 0.00321 0.32 7473 100.002 51-100 100 15 12 7 13 5 0 0 4 14 14 14 15 113 0.01512 1.51 7449 99.683 101-150 150 99 98 95 50 55 17 2 45 72 62 34 74 703 0.09407 9.41 7336 98.174 151-200 200 129 120 85 74 37 27 16 48 66 60 33 63 758 0.10143 10.14 6633 88.765 201-250 250 248 249 74 43 32 16 12 93 39 51 23 85 965 0.12913 12.91 5875 78.626 251-300 300 41 21 65 63 71 27 28 220 73 67 43 79 798 0.10678 10.68 4910 65.707 301-350 350 26 7 57 69 68 14 44 60 47 64 59 71 586 0.07842 7.84 4112 55.028 351-400 400 15 5 42 60 49 33 40 45 51 57 45 45 487 0.06517 6.52 3526 47.189 401-450 450 5 2 61 89 114 53 71 63 71 58 71 30 688 0.09206 9.21 3039 40.67

10 451-500 500 1 0 54 125 156 83 119 85 101 77 132 50 983 0.13154 13.15 2351 31.4611 501-550 550 0 0 35 68 97 169 126 24 49 40 103 7 718 0.09608 9.61 1368 18.3112 551-600 600 0 0 0 1 3 56 85 0 0 4 1 0 150 0.02007 2.01 650 8.7013 601-650 650 0 0 0 0 2 47 50 0 0 1 20 0 120 0.01606 1.61 500 6.6914 651-700 700 0 0 0 0 1 36 70 0 0 4 4 0 115 0.01539 1.54 380 5.0815 701-750 750 0 0 0 0 0 45 39 0 0 9 2 0 95 0.01271 1.27 265 3.5516 751-800 800 0 0 0 0 0 24 36 0 0 3 3 0 66 0.00883 0.88 170 2.2717 801-850 850 0 0 0 0 0 14 2 0 0 3 0 0 19 0.00254 0.25 104 1.3918 851-900 900 0 0 0 0 0 20 1 0 0 0 2 0 23 0.00308 0.31 85 1.1419 901-950 950 0 0 0 0 0 14 1 0 0 2 8 0 25 0.00335 0.33 62 0.8320 951-1000 1000 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 2 0 7 0.00094 0.09 37 0.5021 1001-1050 1050 0 0 0 0 0 3 1 0 0 1 2 0 7 0.00094 0.09 30 0.4022 1051-1100 1100 0 0 0 0 0 1 0 0 0 2 1 0 4 0.00054 0.05 23 0.3123 1101-1150 1150 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 5 0 8 0.00107 0.11 19 0.2524 1151-1200 1200 0 0 0 0 0 7 0 0 0 0 0 0 7 0.00094 0.09 11 0.1525 1201-1250 1250 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 4 0.00054 0.05 4 0.05

� 582 515 578 655 692 716 744 691 586 584 610 520 7473 1 100

Učestalost [%]

Trajanje [sati]

Trajanje [%]

Red. br.

Učestalost protoka po mjesecima fi,k [sati]


[m3/s]

Učestalost fi [sati]

Učestalost [1.0]

Karakteristični

protok [m3/s]

Slika 39. Krivulje trajanja i učestalosti za satne vrijednosti protoka za 2004. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐52‐

3.2.2.20 Usporedba krivulja trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

Slika 40. Krivulje trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐53‐

3.2.2.21 Usporedba krivulja trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

Slika 41. Krivulje trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti

protoka za 2004. godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐54‐

4 Izrada teoretskih vodnih valova U ovom poglavlju daje se kratki prikaz o: primjeni metoda matematičke statistike i teorije vjerojatnosti u hidrologiji, statističkoj obradi nizova i osnovama statistike, emprijskim funkcijama raspodjele vjerojatnosti (Weibull, Gringtorn, Hazen, Blom, Cunnane, California, Čegodajev, Adamowski i EWSD) i teorijskim funkcijama raspodjele vjerojatnosti (Gaussova ili normalna funkcija, log‐normalna (Galtonova) funkcija, gama funkcija, Pearson III raspodjela, log‐Pearson III funkcija i Gumbelova funkcija). Također se daje prikaz proračuna zadatka koji se sastoji od dva dijela. U prvom dijelu se na temelju maksimalnih godišnjih protoka od svake godine formira statistički rastući niz te se pomoću spomenutih funkcija raspodjele izračunaju vjerojatnosti njihovog pojavljivanja. U drugom dijelu zadatka se na temelju poznatih vjerojatnosti pojavljivanja odnosno povratnih razdoblja i formiranog padajućeg niza maksimalnih godišnjih protoka od svake godine, statističkim metodama izračunaju maksimalni protoci.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐55‐

4.1 PRIMJENA METODA MATEMATIČKE STATISTIKE I TEORIJE VJEROJATNOSTI U HIDROLOGIJI

4.1.1 Uvod Moderna hidrologija ne može se zamisliti bez primjene matematičkih metoda, posebno statistike i računa vjerojatnosti, jer se iz skupa hidroloških mjerenja i opažanja ne mogu sagledati značajke vodnog režima. Veličine kao što su otjecanje, oborine i temperatura zavise od velikog broja čimbenika koje je uglavnom nemoguće opisati, tako da se takvi događaji mogu tretirati kao slučajni (stohastički). Iako su te veličine kontinuirane pojave, one se obično razmatraju kao diskretne vrijednosti (dnevne, mjesečne, godišnje). Stohastičke procese nije moguće opisati s konačnim brojem varijabli pa iz tog razloga u hidrologiji dominantni značaj imaju mjerenja i metode matematičke statistike. U okviru hidroloških procesa postoje i hidrološke velične koje se mogu opisati s konačnim brojem varijabli, uglavnom se radi o uvjetima koje je čovjek prilagodio mjerenjima (pravilni kanali itd.). Povezivanje stohastčikih i determinističkih analiza najbolje opisuju hidrološki procesi temeljem kojih se dobivaju podaci i informacije od značaja za upravljanje vodama. Podaci za takve analize su neprekidni (kontinuirani) i prekidni (diskretni) vremenski nizovi koji se dobivaju na temelju izravnih motrenja ili mjerenja na terenu. Kao najčešći primjeri neprekidnih varijabli su vodostaji i protoci. U praktičnom radu oni se osrednjuju u dnevne vodostaje (prikazuju se stepeničasto) ili na temelju vodostaja u srednje dnevne protoke. Kod analize podataka analiziraju se u srednje tjedne, mjesečne i godišnje protoke. Kod složenih hidroloških obrada analiziraju se sve komponenete hidrološkog ciklusa (oborine, evapotranspiracija, otjecanje..) kao i njihova međuzavisnost, koje su promjenjive u vremenu i prostoru.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐56‐

4.1.2 Slučajne pojave i njihove raspodjele Nismo u mogućnosti analizirati cijelu populaciju nego njen reprezentativan uzorak koji se nekad prikuplja i desetljećima, a po karakteristikama uzorka izvodimo zaključke o cijeloj populaciji. Sve analize matematičke statistike se provode na bazi slučajnog uzorka, odnosno slučajnog kronološkog niza kod kojeg su svi parametri međusobno nezavisni, što znači da ne možemo predvidjeti određeni događaj, ali ga možemo izmjeriti i njegovo pojavljivanje vezati uz neku vjerojatnost. U hidrologiji su poznate samo učestalosti raznih događaja pa koristimo vjerojatnost a posteriori, statističku vjerojatnost, odnosno onu dobivenu promatranjem određenih događaja, ona koja se definira naknadno. Omjer slučajeva kada je nastupio povoljan događaj prema svim pokusima naziva se relativna frekvencija, ali sve postavke koje se izvode iz a priori vrijede i za relativnu frekvenciju, uz napomenu da ako je statistička vjerojatnost jednaka 0 to ne znači da se događaj ne može dogoditi nego da se u trenutku promatranja nije dogodio i ako je jednaka 1 ne znači da se događaj mora dogoditi. Slučajna varijabla, vezana uz funkciju vjerojatnosti može biti prekidna (diskretna) ili neprekidna (kontinuirana).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐57‐

4.1.2.1 Raspodjela slučajnih varijabli Diskretna slučajna varijabla Ako varijabla X može poprimati jednu od vrijednosti niza x1, x2,... xn s odgovarajućim vjerojatnostima p1, p2,... pn pri čemu je p1+ p2+... pn =1, tada za X kažemo da predstavlja diskretnu (prekidnu) slučajnu varijablu :

1

, 1n

i ii

X x p pi

( )i i ip P x P X x funkcija raspodjele gustoće vjerojatnosti.

Teorija vjerojatnosti bazirana je na osnovnom aksiomu da svaki xi ima kao mjeru vjerojatnost pi s osobinama da može biti broj od 0 do 1 uključujući granice i da je zbroj svih vjerojatnosti jednaka 1.

( )i

ix x

F x P X x p

je kumulativna funkcija raspodjele vjerojatnosti.

Grafičko prikazivanje krivulja je na način da na koordinatnim osima nanosimo skup vrijednosti x1 i p1, te ovisno o načinu spajanja točaka prikažemo kao krivulju, poligon ili histogram.

Slika 42. Funkcija raspodjele i kumulativna funkcija gustoće vjerojatnosti [3] Primjer slučajne varijable je broj kišnih dana u mjesecu.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐58‐

Kontinuirana slučajna varijabla Ako tekuća vaijabla x1 slučajne varijable X može uzimati bilo koju vrijednost iz jednog intervala, tj. može se neprekidno rasporediti duž tog intervala kažemo da je neprekidna.

Slika 43. Funkcija raspodjele i kumulativna funkcija gustoće vjerojatnosti za neprekidnu slučajnu varijablu [3]

Proticaji stalnih riječnih tokova, istjecanje iz jezera, nivoi podzemnih voda itd. su kontinuirane varijable, no većina njih se obradi na način da se opisuju diskretnima ili zbog tehnike mjerenja ili zbog lakšeg baratanja podacima. Višedimenzionalne slučajne varijable Mogu biti sastavljene samo od diskretnih ili samo od kontinuiranih vrijednosti varijabli.

Slika 44. Primjer višedimenzionalne slučajne varijable [3] F(x) je vjerojatnost da se određena veličina varijable X ne premaši, dok je

( ) 1 1 ( )x P X x P X x F x vjerojatnost da određena veličina slučajne

varijable X bude jednaka ili premašena.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐59‐

4.1.3 Povratni period (povratno razdoblje)

U hidrološkoj praksi se umjesto vjerojatnosti ( )F x P X x koristi

( ) 1 1 ( )x P X x P X x F x , te povratnim periodom (povratnim

razdobljem) nazivamo recipročnu vrijednost od ( )x :

1

( )( )

T xx

4.2 STATISTIČKA OBRADA NIZOVA PODATAKA I OSNOVE STATISTIKE

Za pouzdanu analizu ponašanja nekog hidrološkog procesa neophodno je prikupiti što više hidroloških i meteoroloških podataka (mjerenja oborina, vodostaja, protoka i dr.). Iz ovoga proizlazi da se hidrološke obrade i analize zasnivaju na velikom broju podataka, odnosno na velikim uzorcima slučajne hidrološke promjenjive. Pri tome pod hidrološkom obradom i analizom podrazumijevamo proceduru pomoću koje se iz velikog uzorka određuju neke numeričke karakteristike slučajne promjenjive koje ukazuju na ponašanje uzorka. U nastavku će biti spomenute najčešće korištene numeričke karakteristike uzoraka. [5]

Aritmetička sredina ili kako se često naziva srednja vrijednost je najtipičniji broj u skupu vrijednosti, što nikako ne znači da i sama srednja vrijednost mora biti jedna od vrijednosti slučajne promjenjive X.

Ako je dan niz vrijednosti slučajne promjenjive X

ni21 x,...,x,...,x,x

Tada se pod srednjom vrijednošću (aritmetičkom sredinom) podrazumijeva slijedeći izraz:

n

1ii

ni21_

xn

1

n

x...x...xxx

što ujedno predstavlja i prvi centralni moment.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐60‐

Moment drugog reda nazivamo varijancom. To je suma kvadrata odstupanja svakog

člana xi od aritmetičke sredine niza x pomnožena s odgovarajućom učestalosti, te

podijeljena s brojem elemenata uzorka. Obično ju nazivamo i „srednje kvadratno

odstupanje“ odnosno simbolom 2 . Drugi korijen iz varijance tj.

n

1i

2ii )xx(f

N

1

naziva se standardna devijacija. Iz samog je izraza evidentno da varijanca ili standardna devijacija kao njena modifikacija služe kao mjera rasprostranjenosti (disperzije ili

varijabiliteta podataka) članova ili jedinica ix od prosječne vrijednosti. Apsolutna

učestalost slučajne promjenjive označena je sa if .

Standardna devijacija ili odstupanje može se izraziti i običnim momentom:

n

1i

22ii )xx(f

N

1

dakle u obliku koji može pojednostaviti računanje.

Ponekad se u računima koristimo s pojmom srednje devijacije

N

)xx(

To je sredina apsolutnih devijacija vrijednosti od njihove aritmetičke sredine. Ovaj parametar sve više zamjenjuje standardnu devijaciju.

Nema sumnje da standardna devijacija ima iste mjerne vrijednosti kao i veličina ix .

Želimo li tu mjeru disperzije bezdimenzionalno izraziti, tada to možemo učiniti putem

novog pojma ‐ koeficijenta varijacije vC

xCv

Kao što se vidi koeficijent varijacije je odnos standardne devijacije i prosječne vrijednosti.

Naravno da standardna devijacija σ i koeficijent varijacije postižu identične veličine,

kad se članovi ix izražavaju modulnim koeficijentima ik . U tom slučaju će biti:

n

1i

2iiv )1k(f

N

1C


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐61‐

Za određivanje stupnja simetričnosti i spljoštenosti krivulje učestalosti služe momenti višeg reda ili adekvatne mjere disperzije višeg reda. Tako je koeficijent asimetrije (moment trećeg reda):

3

n

1i

3ii

33

s N

)xx(fC

ili izražen u modulnim koeficijentima ik :

3v

n

1i

3i

sNC

)1k(C

4.3 EMPIRIJSKE RASPODJELE SLUČAJNIH VARIJABLI Određivanje empirijske razdiobe, funkcije gustoće raspodjele vjerojatnosti određene iz uzorka (uzorak je nedovoljne veličine pa je zovemo linija učestalosti), odnosno kumulativne funkcije raspodjele vjerojatnosti, prethodi statističkim analizama i određivanju teorijskih krivulja vjerojatnosti. Na temelju odabranog niza izmjerenih hidroloških veličina potrebno je istražiti zakonitosti njihovih pojavljivanja. Određuje se pripadna empirijska razdioba (distribucija) kao frekvencija slučajne varijable.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐62‐

4.3.1 Empirijska funkcija raspodjele vjerojatnosti Kada je veličina uzorka premala da bi se uzorak grupirao u intervale radi konstrukcije krivulje učestalosti i kumulativne krivulje učestalosti, elementi se izdvoje po redu veličine u uređeni niz koji je rastući ili padajući, što je najčešći slučaj kod ekstremnih vrijednosti. Opadajući niz ...X – hidrološka veličina x1,x2,...,xN ‐ vrijednost hidrološke veličine vjerojatnost pojavljivanja m‐te veličine ili veće nekog opadajućeg niza: F(X≥xm) = m/N Vjerojatnost pojave jednake ili veće odnosno manje vrijednosti od xm je 1, odnosno: F(X≤xm) = (N‐m+1)/N Vjerojatnost pojave jednake ili veće odnosno manje od xm je 1: F(X≥xm) + F(X≤xm) = 1 Znači vjerojatnost pojave m‐tog člana niza nalazi se između veličina (m‐1)/N i m/N

(m‐1)/N < F(X≥xm) < m/N

Kod velikog broja članova niza (N veće od 40) ta je razlika mala, no budući da u puno slučajeva imamo kraće nizove pojedini autori predložili su pojedine kompromisne vrijednosti za empirijske razdiobe.

Weibull N + 1

m Gringorton

N + 0.12

m - 0.44 Hazen

N

m-0.5

Blom N + 0.25

m-0.375 Cunnane

N + 0.2

m-0.4 California

N

m

Čegodajev N + 0.4

m-0.3 Adamowski

N + 0.5

m-0.24 EWSD

N + 1-

m-

Za vrijednosti u sredini raspodjele razlike između izraza nisu velike, ali su značajnije na krajevima. Vrsta korekcije bira se prema iskustvu i namjeni proračuna. Izraz Čegodajeva je usvojen za određivanje empirijskih vjerojatnosti u okviru Hidrološkog informacijskog sustava Državnog hidrometeorološkog zavoda.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐63‐

4.3.2 Parametri empirijskih raspodjela Tablični pregled učestalosti (frekvencija) i odgovarajući grafički prikazi (krivulje trajanja i učestalosti) predstavljaju jedan vid organiziranja serija podataka hidroloških mjerenja. Njihove numeričke karakteristike interpretiraju se slijedećim vrstama parametara:

Parametri koji karakteriziraju centralnu tendenciju i lokaciju raspodjele učestalosi: srednja vrijednost, geometrijska sredina, harmonijska sredina, medijana, mod;

Parametri koji kvantificiraju (pokazuju) disperziju vrijednosti slučajne varijable oko srednje vrijednosti: interval varijacije, varijanca, standardna devijacija, koeficijent varijacije i dr.

Parametri s kojima se precizira (određuje) asimetrija i spljoštenost krivulje učestalosti: koeficijent asimetrije, mjera spljoštenosti. [6]

4.4 TEORIJSKE FUNKCIJE RASPODJELE VJEROJATNOSTI Za inženjersku praksu često su potrebna saznanja o hidrološkim veličinama povratnog razdoblja reda veličine 20, 50, 100 ili više godina, za koja se na osnovi izmjerenih podataka (uzorak ograničenog obujma) i empirijske razdiobe ne mogu dobiti povratne informacije. Ovaj problem sreće se pri dimenzioniranju brana ili korita vodotoka zbog pojave velikih voda, za proračun gradske kišne mreže zbog pojave kiša kratkog trajanja, pri dimenzioniranju akumulacija i sl. Zakonitosti koje se pojavljuju kod empirijskih razdioba, da unutar statističkih skupova na određen način povezujemo parametre u obliku diskretnog ili kontinuiranog zakona vjerojatnosti koje nazivamo modelima ili teorijama raspodjele, upućuju na mogućnost primjene teoretskih krivulja kojima se proširuje mogućnost određivanja hidroloških veličina povratnog razdoblja većeg od razdoblja mjerenja. Podudaranje neće biti potpuno, no bit će u granicama vjerojatnih odstupanja. Teorijska funkcija raspodjele vjerojatnosti najsažetije predstavlja neke empirjske raspodjele učestalosti. Gotovo sve postojeće funkcije kontinuirane raspodjele vjerojatnosti mogu se primjeniti na hidrologiju, no ograničen broj funkcija se primjenjuje na hidrološke empirijske raspodjele, kao što su log‐normalna (Galtonova), gama (posebno njen oblik sa dva parametra i Pearsonov tip III), dvostruka eksponencijalna i prosta eksponencijalna funkcija ekstremnih vrijednosti, te nešto slabije normalna (Gaussova).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐64‐

4.4.1 Gaussova ili normalna funkcija Najuobičajenija funkcija raspodjele u teoriji vjerojatnosti, matematičkoj statistici i stohastičkim procesima. U hidrologiji se koristi za :

prilagođavanje na simetrične empirijske raspodjele učestalosti u generiranju hidroloških podataka, za procjene intervala povjerenja, u analizama slučajnih pogrešaka , kao standardna raspodjela za uspoređivanje s drugim funkcijama.

Prema Gaussovu zakonu, raspodjela gustoće vjerojatnosti se opisuje sa dvoparametarskom funkcijom:

22

1( )

21( )

2

x

f x e

gdje su parametri σ odnosno standardna devijacija kao prikaz disperzije i μ kao srednja vrijednost članova niza; e = 2,718 (baza prirodnog logaritma); π = 3,14 Obilježja normalne raspodjele:

u potpunosti ju opisuju dva parametra te se simbolički prikazuje kao N(μ,σ); područje vrijednosti slučajne varijable (x) je (−∞,+∞); zvonolikog je oblika simetrična oko aritmetičke sredine; ukoliko se povećava vrijednost aritmetičke sredine krivulja se pomiče udesno,

a ukoliko se vrijednost aritmetičke sredine smanjuje krivlja se pomiče ulijevo (uz pretpostavku jednake varijance);

ukoliko se vrijednost varijance povećava krivulja se snižava i širi, a ukoliko se vrijednost varijance smanjuje krivlja se povisuje i sužava (uz nepromijenjenu aritmetičku sredinu);

aritmetička sredina i medijan poprimaju istu vrijednost; vjerojatnost da će normalno distribuirana slučajna varijabla (x), s aritmetičkom

sredinom (μ), i standardnom devijacijom (σ), poprimiti vrijednost između: (μ ‐ σ) i (μ + σ) iznosi 0,68; (μ ‐ 1,96 σ) i (μ + 1,96 σ) iznosi 0,95; (μ ‐ 2,58 σ) i (μ + 2,58 σ) iznosi 0,99.

Glavne karakteristike, simetrija i definirani raspon od do , u teoriji ograničena pri upotrebi jer hidrološke varijable ne poprimaju negativne vrijednosti i njihova preraspodjela najčešće nije simetrična.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐65‐

4.4.2 Standardna normalna raspodjela kao pojednostavljenje normalne

raspodjele Standardna normalna raspodjela ima vrijednost aritmetičke sredine 0, a vrijednost varijance 1. Simbolički se prikazuje N(0,1). Vrijednosti na horizontalnoj osi su standardizirane varijable, z ‐ vrijednosti, a računaju se:

xz

z‐vrijednosti određuju položaj pojedinog rezultata u nekoj normalnoj raspodjeli i to tako da se ta vrijednost izrazi u dijelovima standardne devijacije.

Slika 45. Krivulja standardne normalne raspodjele i vjerojatnost da će x poprimiti vrijednost između (μ‐1σ) i (μ+1σ)

Slika 46. Krivulja standardne normalne raspodjele i vjerojatnost da će x poprimiti vrijednost između (μ‐1,96σ) i (μ+1,96σ)

U hidrologiji se često definira vjerojatno relativno odstupanje za interval (raspon) povjerenja u kojemu se pojavljuje 95% podataka. To odstupanje kod normalne krivulje razdiobe iznosi: σp = ± 1,96 σ. Intervalu povjerenja od 95% odgovara razina povjerenja α = ± 5% (α = 0,05). Razina povjerenja od α = ± 5% je vjerojatnost da 5% članova razmatranog niza podataka leži izvan intervala povjerenja od 95%, tj. raspona u kojem se nalazi 95% članova niza.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐66‐

4.4.3 Galtonova ili log‐normalna funkcija Zbog specifičnosti hidroloških varijabli (npr. protok i padaline) da kod rezultata mjerenja nema negativnih vrijednosti i gornje granice, a podaci raspodjele su nesimetrični, bolja prilagodba vrijednosti uzorku je prema logaritamskoj normalnoj raspodjeli, budući da je logaritam od nula minus beskonačno pa radimo transformaciju: y = ln (x), x>0 Logaritamsko‐normalna raspodjela gustoće vjerojatnosti:

22

1( )

21( )

2

y y

y

f x e

pri čemu je: y = ln x (x je varijabla) ysr .... sredina od y σy .... standardna devijacija od y Obilježja logaritamsko‐normalne distribucije: • distribucija vjerojatnosti slučajne varijable čiji logaritmi slijede normalnu distribuciju; • izrazito je zakrivljena u desno; • kada logaritmiramo vrijednosti varijable čija distribucija je zakrivljena prema desno, dobiveni logaritmi slijede normalnu distribuciju; • geometrijska sredina; • kao mjera centralne tendencije upotrebljava se geometrijska sredina

Slika 47. Krivulje log‐normalne distribucije

Za proračun F(y) može se koristiti standardizirana normalna raspodjela sa standardiziranom slučajnom varijablom

y

y

yz

, odnosno y=μy+zσy

Vrijednost slučajne varijable: y yzyx e e


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐67‐

4.4.4 Gama funkcija Gama funkcija je jedna od osnovnih razdioba, što proizlazi iz njene povezanosti s normalnom razdiobom. Jednoparametarska gama funkcija s parametrom oblika α nije dovoljno fleksibilna za usporedbu s empirijskim raspodjelama učestalosti. Upotreba dvo i troparametarske razdiobe u hidrologiji je isto tako uobičajena kao i upotreba log‐normalne funkcije raspodjele vjerojatnosti. Nažalost, nije lako transformirati mjerilo koordinatnih osi na način da se sve kumulativne gama raspodjele mogu nanositi kao ravne linije, što njenu upotrebu u hidrološkoj praksi čini manje privlačnom. Za funkciju raspodjele vjerojatnosti u obliku:

11( )

( )

x

p x x e

gdje je: α = parametar oblika, β = parametar mjerila, kaže se da slijedi dvoparametarsku gama raspodjelu s parametrima α i β. Uvodeći z=x/β kumulativnu funkciju raspodjele vjerojatnosti svedemo na F(x)=G(z) gdje je G(z) tabelirana gama funkcija za zadane vrijednosti α čime sve svodimo na jednoparametarsku funkciju.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐68‐

4.4.5 Troparametarska gama (Pearson III raspodjela) Od 14 Pearsonovih funkcija raspodjele, u hidrologiji se najčešće koristi treći tip. Raspodjela Pearson III je nesimetrična troparametarska raspodjela. Dobije se tako da se u izraz za funkciju dvoparametarske gama raspodjele uvede i treći parametar, tzv. parametar položaja x0 (udaljenost od koordinatnog početka do početka raspodjele – najmanja vrijednost analizirane hidrološke veličine), tako da je x0 ≤ x ≤ ∞. Funkcija raspodjele vjerojatnosti je u obliku:

gdje je: α = parametar oblika raspodjele i ujedno vrijednost moda β = parametar mjerila x0 = parametar položaja

Slika 48. Pearson III funkcija

Ako se uvede standardizirana varijabla

0x xz

odnosno x=x0+zβ

funkcija gustoće troparametarske gama raspodjele poprima oblik već navedene jednoparametarske gama raspodjele pa se na isti način za proračun koristi funkcija G(z) data u nizu statističkih udžbenika. U hidrološkoj praksi se za proračun koristi analiza vjerojatnosti pomoću faktora frekvencije Kp(T) u ovisnosti s periodom T i koeficijentom asimetrije Cs, za čiju su funkciju izrađene tablice. Radi se o istoj formi kao i za normalnu raspodjelu.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐69‐

4.4.6 Log‐Pearson III funkcija Ako logaritmi varijable X imaju Pearson III raspodjelu, kaže se da varijabla X slijedi log‐Pearson III raspodjelu. Ako je y=ln(x) ili y=log(x) za x>0 Funkcija raspodjele vjerojatnosti je u obliku:

gdje je: y=ln x (x ‐ varijabla) Γ (α)− kompletna gama funkcija Možemo pisati

( ) ( )y P Yy T K T

Gdje je Kp(T) faktor Pearson III raspodjele, μy srednja vrijednost i σy standardna devijacija varijable y=ln(x) ili y=log(x) Karakteristike funkcije gustoće f(y) te kumulativne funkcije gustoće F(y) su iste kao i za Pearson III tako da je vrijednost vaijable x=ey i x=10y zavisno od korištenja baze logaritma. Za crtanje ove funkcije na dijagramu vjerojatnosti koristi se dijagram vjerojatnosti za log‐normalnu funkciju, a funkcija će imati oblik zakrivljene linije.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐70‐

4.4.7 Gumbelova funkcija Gumbelova funkcija raspodjele je nesimetrična i dvoparametarska. Ima veliku primjenu u hidrologiji kod analize slučajne varijable koja predstavlja neku ekstremnu vrijednost (maksimalni ili minimalni godišnji protoci). Vrlo je važna kod analize velikih voda jer serija vrijednosti od kojih svaka predstavlja maksimalni godišnji protok imat će raspodjelu prema zakonu ekstremnih vrijednosti. Funkcija raspodjele vjerojatnosti definirana je sljedećim izrazom:

( ) /1( ) exp ( ) x up x x u e

gdje je: α = parametar oblika raspodjele i ujedno vrijednost moda, u = parametar mjerila Standardizirana raspodjela uz standardiziranu varijablu

1( ),

x uz x u

a a

Funkcija gustoće raspodjele vjerojatnosti

( ) ,zeF z e z

Slika 49. Gumbelova distribucija [2]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐71‐

4.5 ZADATAK

4.5.1 Prvi dio zadatka: Određivanje vjerojatnosti pojavljivanja poznatih maksimalnih godišnjih protoka za HE Varaždin statističkim metodama

Cilj zadatka je da se odredi vjerojatnost pojavljivanja, odnosno funkcija raspodjele vjerojatnosti maksimalnih godišnjih proticaja funkcijama F(Q) koje u potpunosti opisuju raspodjelu slučajne varijable.

4.5.1.1 Podaci o uzorku Na osnovu raspoloživog uzorka maksimalnih dnevnih protoka unutar 17 godina promatranja za HE Varaždin raspoređenih kao vremenski niz međusobno neovisnih slučajnih varijabli metodom godišnjih ekstrema1, koja podrazumjeva najveću trenutnu vrijednost protoka unutar jedne godine, formira se vremenska serija maksimalnih godišnjih protoka te se od tih vrijednosti formira statistički i uređeni niz, rastući niz (Tablica 36.).

Tablica 36. Vremenska serija maksimalnih godišnjih protoka i uređeni rastući niz godišnjih protoka

Red.

br.

Vrijeme

(godina)

Protok (Qmax)

[m3/s]

Vrijeme

(godina)

Protok (Qmax)

[m3/s]

1 1996 1720 2006 888

2 1997 1107 2007 943

3 1998 1790 1997 1107

4 1999 1209 1999 1209

5 2000 1654 2010 1221

6 2001 1259 2004 1247

7 2002 1449 2001 1259

8 2003 1440 2011 1271

9 2004 1247 2008 1360

10 2005 1457 2009 1402

11 2006 888 2003 1440

12 2007 943 2002 1449

13 2008 1360 2005 1457

14 2009 1402 2000 1654

15 2010 1221 1996 1720

16 2011 1271 1998 1790

17 2012 2840 2012 2840

1 Pod pojmom godišnji ekstrem, podrazumijeva se najveća trenutna vrijednost protoka u određenom profilu rijeke, registrirane u toku kalendarske ili hidrološke godine. Uzimanjem svih takvih ekstrema iz raspoloživih broja godina, formira se vremenska serija maksimalnih godišnjih protoka. [2]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐72‐

4.5.1.2 Empirijska raspodjela Empirijska funkcija raspodjele vjerojatnosti Fe(x) koju umjesto relativne frekvencije f/n zbog matematičkih nelogičnosti korigiramo Weibullovom korekcijom, služi nam za organiziranje podataka odnosno pregled učestalosti pojavljivanja određene vrijednosti Qmax, te nam daje podatke o našem uzorku bez predviđanja tj. u periodu samog mjerenja.

Tablica 37. Empirijska razdioba ‐ Weibull

Godina Qmax m Fe Fe (%) F

2006 888 1 0.0556 5.56 0.9444

2007 943 2 0.1111 11.11 0.8889

1997 1107 3 0.1667 16.67 0.8333

1999 1209 4 0.2222 22.22 0.7778

2010 1221 5 0.2778 27.78 0.7222

2004 1247 6 0.3333 33.33 0.6667

2001 1259 7 0.3889 38.89 0.6111

2011 1271 8 0.4444 44.44 0.5556

2008 1360 9 0.5000 50.00 0.5000

2009 1402 10 0.5556 55.56 0.4444

2003 1440 11 0.6111 61.11 0.3889

2002 1449 12 0.6667 66.67 0.3333

2005 1457 13 0.7222 72.22 0.2778

2000 1654 14 0.7778 77.78 0.2222

1996 1720 15 0.8333 83.33 0.1667

1998 1790 16 0.8889 88.89 0.1111

2012 2840 17 0.9444 94.44 0.0556

Proračunavaju se numeričke karakteristike slučajne varijable (statistički parametri uzorka) statističkog niza, parametri koji opisuju :

centralnu tendenciju ‐ srednja vrijednost Qsr,

disperziju ‐ standardna devijacija SQ i faktor Cv koji pokazuje da je veličina standardne devijacije 17% od srednje vrijednosti,

asimetriju – faktor Cs= 1.0 pokazuje da je asimetrija velika i da je asimetričnost u pozitivnu stranu

Tablica 38. Parametri

srednja vrijednost Qsr=Qi/N= 1426.88standardna devijacija SQ = (1/N*(Qi-Qsr)2)1/2= 425.27koeficijent varijacije Cv=SQ/Qsr 0.298

koeficijent asimetrije Cs=�(Qi-Qsr)3/NSQ

3 1.966


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐73‐

4.5.1.3 Teorijska raspodjela Analitički izraz za funkciju raspodjele vjerojatnosti nemoguće je naći teorijski, nego se bazira na mjerenjima te pojave odnosno na bazi uzorka, a zbog specifičnosti usvojilo se korištenje teorijskih funkcija koje nemaju više od tri parametra. Kako bi mogli predvidjeti odnosno po obliku funkcije odrediti maksimalni protok za povratni period koji nadilazi vrijeme mjerenja (koje je skoro uvijek premalo za naše potrebe analiza linija vjerojatnosti) ocjena slučajnih događaja, rizik pojavljivanja događaja itd., biramo nekoliko najčešćih funkcija koje se prema iskustvu najbolje prilagođavaju ponašanju uzorka. Određuju se parametri i vrijednosti teorijskih funkcija raspodjele vjerojatnosti: Gaussova, log‐normalna (Galtonova), Gumbelova, Pearson III i log‐Pearson III. Prema iskustvu se zna da se Gaussova i Galtonova raspodjela uobičajeno loše prilagođavaju ekstremnim vrijednostima slučajne varijable, dok je Gumbelova funkcija posebno prilagođena ekstremnim vrijednostima.

Tablica 39. Parametri za teorijske raspodjele

parametar Gumbelove raspodjele 1/a=0,78*S= 331.71

mod Gumbelove krivulje Sm=Ssrednje‐0,577*1/a= 1235.48

srednja vrijednost protoka Qsr=∑Qi/N= 1426.88

standardna devijacija s = (1/N*∑(Qi‐Qsr)2)1/2= 425.27

kvadrat standardne devijacije S2

180854.5729

koeficijent asimetrije cs=�(Qi-Qsr)3/NSQ3 1.966

kvadrat koeficijenta asimetrije cs2

3.865

parametar oblika α=4/cs2

1.035

parametar razmjere β=(s2/α)

1/2418.03

parametar položaja x0=s‐αβ 994.25

srednja vrijednost log od protoka Ysr=Sqi/N= 7.227

standardna devijacija logaritama Sy = (1/N*S(Yi‐Ysr)2)1/2= 0.389477659

koeficijent varijacije Cv, y=Sy/Ysr 0.035565809

moment trećeg reda m3y=1/N�(Yi‐Ysr)3

0.015336938

koeficijent asimetrije Cs,y=m3y/Sy 0.903027546


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐74‐

4.5.1.3.1 Gaussova razdioba

Kumulativna funkcija F(Q) je integral Gaussove funkcije

22

1( )

21( )

2

SRQ

Q QS

Q

f Q eS

Tablica 40. Proračun Gaussove razdiobe

m Godina Qmax Qi-Qsr (Qi-Qsr)2 F(x) F(x) (%) F

1 2006 888 -538.8824 290394.19 0.1025 10.25 0.89752 2007 943 -483.8824 234142.13 0.1276 12.76 0.87243 1997 1107 -319.8824 102324.72 0.2260 22.60 0.77404 1999 1209 -217.8824 47472.72 0.3042 30.42 0.69585 2010 1221 -205.8824 42387.543 0.3141 31.41 0.68596 2004 1247 -179.8824 32357.661 0.3362 33.62 0.66387 2001 1259 -167.8824 28184.484 0.3465 34.65 0.65358 2011 1271 -155.8824 24299.308 0.3570 35.70 0.64309 2008 1360 -66.8824 4473.2491 0.4375 43.75 0.5625

10 2009 1402 -24.8824 619.13149 0.4767 47.67 0.523311 2003 1440 13.1176 172.07266 0.5123 51.23 0.487712 2002 1449 22.1176 489.19031 0.5207 52.07 0.479313 2005 1457 30.1176 907.07266 0.5282 52.82 0.471814 2000 1654 227.1176 51582.426 0.7033 70.33 0.296715 1996 1720 293.1176 85917.955 0.7547 75.47 0.245316 1998 1790 363.1176 131854.43 0.8034 80.34 0.196617 2012 2840 1413.1176 1996901.5 0.9996 99.96 0.0004

Qi 24257 (Qi-Qsr)2 3074479.8


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐75‐

4.5.1.3.2 Galtonova ili log‐normalna razdioba

Kumulativna funkcija log‐normalne (Galtonove) određene sa y=lnQ , Ysr i Sy

2

2

1( )

21( )

2

SRY

Y YS

y

f Y eS

Tablica 41. Proračun Galtonove razdiobe

m Godina Yi=ln(Qi max) Yi-Ysr (Yi-Ysr)2 F(x) F(x) (%) F

1 2006 6.7890 -0.4384 0.1922 0.0441 4.41 0.95592 2007 6.8491 -0.3783 0.1431 0.0706 7.06 0.92943 1997 7.0094 -0.2180 0.0475 0.1982 19.82 0.80184 1999 7.0975 -0.1298 0.0169 0.3068 30.68 0.69325 2010 7.1074 -0.1199 0.0144 0.3204 32.04 0.67966 2004 7.1285 -0.0989 0.0098 0.3503 35.03 0.64977 2001 7.1381 -0.0893 0.0080 0.3642 36.42 0.63588 2011 7.1476 -0.0798 0.0064 0.3781 37.81 0.62199 2008 7.2152 -0.0121 0.0001 0.4812 48.12 0.5188

10 2009 7.2457 0.0183 0.0003 0.5284 52.84 0.471611 2003 7.2724 0.0450 0.0020 0.5695 56.95 0.430512 2002 7.2786 0.0513 0.0026 0.5790 57.90 0.421013 2005 7.2841 0.0568 0.0032 0.5874 58.74 0.412614 2000 7.4110 0.1836 0.0337 0.7625 76.25 0.237515 1996 7.4501 0.2227 0.0496 0.8069 80.69 0.193116 1998 7.4900 0.2626 0.0690 0.8465 84.65 0.153517 2012 7.9516 0.7242 0.5245 0.9976 99.76 0.0024

Yi 122.8652 (Yi-Ysr)2 1.12324380


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐76‐

4.5.1.3.3 Gumbelova razdioba

Kumulativna funkcija za Gumbela je F(Q)=F(z)= zee

gdje z ovisi o Q, Qsr i SQ

Tablica 42. Proračun Gumbelove razdiobe

m Godina Qmax Qi-Qsr (Qi-Qsr)2 z=a*(Q-Qmo) F=e (̂-e-z) F(x) (%) F

1 2006 888 -538.88 290394.19 -1.0476 0.0578 5.78 0.94222 2007 943 -483.88 234142.13 -0.8818 0.0894 8.94 0.91063 1997 1107 -319.88 102324.72 -0.3873 0.2292 22.92 0.77084 1999 1209 -217.88 47472.72 -0.0798 0.3385 33.85 0.66155 2010 1221 -205.88 42387.54 -0.0437 0.3518 35.18 0.64826 2004 1247 -179.88 32357.66 0.0347 0.3806 38.06 0.61947 2001 1259 -167.88 28184.48 0.0709 0.3939 39.39 0.60618 2011 1271 -155.88 24299.31 0.1071 0.4072 40.72 0.59289 2008 1360 -66.88 4473.25 0.3754 0.5031 50.31 0.4969

10 2009 1402 -24.88 619.13 0.5020 0.5459 54.59 0.454111 2003 1440 13.12 172.07 0.6165 0.5829 58.29 0.417112 2002 1449 22.12 489.19 0.6437 0.5913 59.13 0.408713 2005 1457 30.12 907.07 0.6678 0.5988 59.88 0.401214 2000 1654 227.12 51582.43 1.2617 0.7534 75.34 0.246615 1996 1720 293.12 85917.96 1.4607 0.7929 79.29 0.207116 1998 1790 363.12 131854.43 1.6717 0.8287 82.87 0.171317 2012 2840 1413.12 1996901.48 4.8371 0.9921 99.21 0.0079

Qi 24257


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐77‐

4.5.1.3.4 Pearson III razdioba

Kumulativna funkcija za Pearson III raspodjelu je s troparametarske ‐ parametri:

α ‐parametar oblika, β ‐ parametar razmjere, x0 ‐ parametar položaja, zavisni o Qsr ,SQ i Cs,

svedena na jednoparametarsku standardiziranom varijablom z=(x‐x0 )/β . F(Q)=G(z) gdje je G(z) tabelirana funkcija u ovisnosti sa α=4/Cs²=1.035 u ovom slučaju vrijednosti funkcije određene su intepolacijom tabličnih vrijednosti. (Prilog 1.) [3]

Tablica 43. Linearna interpolacija tabelirane funkcije G(z)

G(z) α=1 α=2 α=1.035

0.99 4.605 6.638 4.676

0.95 2.996 4.744 3.057

0.9 2.303 3.890 2.359

0.8 1.609 2.994 1.657

0.7 1.204 2.439 1.247

0.6 0.916 2.022 0.955

0.5 0.693 1.678 0.727

0.4 0.511 1.376 0.541

0.3 0.357 1.097 0.383

0.2 0.223 0.824 0.244

0.1 0.105 0.532 0.120

Tablica 44. Proračun Pearson III razdiobe

m Godina Qmax Qi-Qsr (Qi-Qsr)3 z=(x-x0)/β G(z)=F(x) F(x) (%) F

1 2006 888 -538.88 -156488304.56 -0.2542 0.0118 1.18 0.98822 2007 943 -483.88 -113297245.51 -0.1226 0.1022 10.22 0.89783 1997 1107 -319.88 -32731872.11 0.2697 0.2185 21.85 0.78154 1999 1209 -217.88 -10343467.87 0.5137 0.3827 38.27 0.61735 2010 1221 -205.88 -8726847.14 0.5424 0.4008 40.08 0.59926 2004 1247 -179.88 -5820572.18 0.6046 0.4342 43.42 0.56587 2001 1259 -167.88 -4731677.56 0.6333 0.4496 44.96 0.55048 2011 1271 -155.88 -3787833.30 0.6620 0.4651 46.51 0.53499 2008 1360 -66.88 -299181.43 0.8749 0.5649 56.49 0.4351

10 2009 1402 -24.88 -15405.45 0.9754 0.6070 60.70 0.393011 2003 1440 13.12 2257.19 1.0663 0.6381 63.81 0.361912 2002 1449 22.12 10819.74 1.0878 0.6455 64.55 0.354513 2005 1457 30.12 27318.89 1.1070 0.6520 65.20 0.348014 2000 1654 227.12 11715279.13 1.5782 0.7808 78.08 0.219215 1996 1720 293.12 25184068.81 1.7361 0.8113 81.13 0.188716 1998 1790 363.12 47878668.78 1.9036 0.8351 83.51 0.164917 2012 2840 1413.12 2821856727.08 4.4154 0.9836 98.36 0.0164

24257 ∑(Qi-Qsr)3 2570432732.53


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐78‐

4.5.1.3.5 Log‐Pearson III razdioba Log‐Pearson III funkcija i kumulativna funkcija vjerojatnosti istih su karakteristika kao i kod Pearson III raspodjele, uz odnos Y=lnQ, i parametre Ysr, Sy i Cs,y, no u ovom primjeru rješena je uz pomoć Wilson‐Hilferty transformacije kojom odredimo z standardiziranu varijablu Gaussove krivulje i očitamo iz tablica površine za koje vrijedi F(z)=F(Y) (Prilog 2.) [3]

Tablica 45. Proračun Log‐Pearson III razdiobe

m Godina Yi=ln(Qi max) Yi-Ysr (Yi-Ysr)2 (Yi-Ysr)³ g=(yi-ysr)/S z F(z)=F(y) F(x) (%) F

1 2006 6.7890 -0.4384 0.1922 -0.0843 -1.70549001 -2.42 0.0078 0.78 0.99222 2007 6.8491 -0.3783 0.1431 -0.0541 -1.47170188 -1.88 0.0301 3.01 0.96993 1997 7.0094 -0.2180 0.0475 -0.0104 -0.84791461 -0.84 0.2005 20.05 0.79954 1999 7.0975 -0.1298 0.0169 -0.0022 -0.50502045 -0.40 0.3446 34.46 0.65545 2010 7.1074 -0.1199 0.0144 -0.0017 -0.46659704 -0.35 0.3632 36.32 0.63686 2004 7.1285 -0.0989 0.0098 -0.0010 -0.38462576 -0.26 0.3974 39.74 0.60267 2001 7.1381 -0.0893 0.0080 -0.0007 -0.34736764 -0.22 0.4129 41.29 0.58718 2011 7.1476 -0.0798 0.0064 -0.0005 -0.31046296 -0.18 0.4286 42.86 0.57149 2008 7.2152 -0.0121 0.0001 0.0000 -0.04716207 0.10 0.5398 53.98 0.4602

10 2009 7.2457 0.0183 0.0003 0.0000 0.07116294 0.22 0.5871 58.71 0.412911 2003 7.2724 0.0450 0.0020 0.0001 0.17520354 0.32 0.6255 62.55 0.374512 2002 7.2786 0.0513 0.0026 0.0001 0.19944249 0.34 0.6331 63.31 0.366913 2005 7.2841 0.0568 0.0032 0.0002 0.22086217 0.36 0.6406 64.06 0.359414 2000 7.4110 0.1836 0.0337 0.0062 0.71422356 0.80 0.7881 78.81 0.211915 1996 7.4501 0.2227 0.0496 0.0110 0.86644355 0.92 0.8212 82.12 0.178816 1998 7.4900 0.2626 0.0690 0.0181 1.02163434 1.05 0.8531 85.31 0.146917 2012 7.9516 0.7242 0.5245 0.3798 2.81736982 2.24 0.9875 98.75 0.0125

Yi (Yi-Ysr)2 (Yi-Ysr)³

122.8652 1.12324380 0.2607


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐79‐

4.5.1.4 Usporedba dobivenih rezultata Tablica 46. Usporedna tablica dobivenih rezultata vjerojatnosti za maksimalne godišnje

protoke te za različite krivulje raspodjele

Red. br.

GodinaQmax

[m3/s]

Weibullova razdioba

Gaussova razdioba

Galtonova razdioba

Gumbelova razdioba

Pearson III razdioba

Log-Pearson III razdioba

1 2006 888 0.9444 0.8975 0.9559 0.9422 0.9882 0.99222 2007 943 0.8889 0.8724 0.9294 0.9106 0.8978 0.96993 1997 1107 0.8333 0.7740 0.8018 0.7708 0.7815 0.79954 1999 1209 0.7778 0.6958 0.6932 0.6615 0.6173 0.65545 2010 1221 0.7222 0.6859 0.6796 0.6482 0.5992 0.63686 2004 1247 0.6667 0.6638 0.6497 0.6194 0.5658 0.60267 2001 1259 0.6111 0.6535 0.6358 0.6061 0.5504 0.58718 2011 1271 0.5556 0.6430 0.6219 0.5928 0.5349 0.57149 2008 1360 0.5000 0.5625 0.5188 0.4969 0.4351 0.4602

10 2009 1402 0.4444 0.5233 0.4716 0.4541 0.3930 0.412911 2003 1440 0.3889 0.4877 0.4305 0.4171 0.3619 0.374512 2002 1449 0.3333 0.4793 0.4210 0.4087 0.3545 0.366913 2005 1457 0.2778 0.4718 0.4126 0.4012 0.3480 0.359414 2000 1654 0.2222 0.2967 0.2375 0.2466 0.2192 0.211915 1996 1720 0.1667 0.2453 0.1931 0.2071 0.1887 0.178816 1998 1790 0.1111 0.1966 0.1535 0.1713 0.1649 0.146917 2012 2840 0.0556 0.0004 0.0024 0.0079 0.0164 0.0125

Slika 50. Grafički prikaz dobivenih rezultata


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐80‐

4.5.2 Drugi dio zadatka: Procjena maksimalnih vrijednosti godišnjih protoka za HE Varaždin statističkim metodoma za poznate vjerojatnosti pojavljivanja i poznata povratna razdoblja

Kao što je već ranije rečeno, proračun (procjena) velikih voda primjenom statističkih metoda predstavlja postupak određivanja mjerodavne funkcije raspodjele na temelju ulaznih podataka dobivenih hidrološkim motrenjima i mjerenjima. Funkcija raspodjele predstavlja način na koji su učestalosti članova neke cjeline raspodijeljene prema vrijednostima varijabli koje prikazuju. [5] Za proračun velikih voda na raspolaganju je bio 17 – godišnji niz maksimalnih mjesečnih protoka za HE Varaždin. Obradom tih podataka određene su vrijednosti maksimalnih godišnjih protoka (Tablica 47.).

Tablica 47. Osnovni podaci za statističku analizu

Red.

br.

Vrijeme

(godina)

Protok (Qmax)

[m3/s]

1 2012 2840

2 1998 1790

3 1996 1720

4 2000 1654

5 2005 1457

6 2002 1449

7 2003 1440

8 2009 1402

9 2008 1360

10 2011 1271

11 2001 1259

12 2004 1247

13 2010 1221

14 1999 1209

15 1997 1107

16 2007 943

17 2006 888 Na osnovu prikazanog niza maksimalnih godišnjih vrijednosti dotoka u HE Varaždin proveden je proračun ‐ procjena maksimalnih vrijednosti tih protoka statističkom metodom.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐81‐

4.5.2.1 Empirijska funkcija vjerojatnosti Maksimalne godišnje protoke poredane su po veličini i definirana je empirijska vjerojatnost pojavljivanja svakog pojedinog člana. U analiziranom slučaju usvojena je vjerojatnost pojavljivanja po Čegodajevu:

3,0m

4,0N.P.P

gdje su: P.P. – povratni period

N – broj članova niza m – redni broj člana u nizu

Tablica 48. Vjerojatnost pojavljivanja članova promatranog niza

m GodinaQmax

[m3/s]

Povratni

period

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]

1 2012 2840 24.9 0.04

2 1998 1790 10.2 0.10

3 1996 1720 6.4 0.16

4 2000 1654 4.7 0.21

5 2005 1457 3.7 0.27

6 2002 1449 3.1 0.33

7 2003 1440 2.6 0.39

8 2009 1402 2.3 0.44

9 2008 1360 2.0 0.50

10 2011 1271 1.8 0.56

11 2001 1259 1.6 0.61

12 2004 1247 1.5 0.67

13 2010 1221 1.4 0.73

14 1999 1209 1.3 0.79

15 1997 1107 1.2 0.84

16 2007 943 1.1 0.90

17 2006 888 1.0 0.96


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐82‐

4.5.2.2 Određivanje osnovnih statističkih parametara Prije nego se pristupi izračunavanju maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja prema krivuljama raspodjele, potrebno je iz analiziranog statističkog niza

podataka odrediti osnovne statističke parametre, a to su: aritmetička sredina x , standardna devijacija , koeficijent varijacije vC

i koeficijent asimetrije sC .

aritmetička sredina

n

1ii

ni21_

xn

1

n

x...x...xxx

gdje su: n – broj članova niza

ix – i ‐ ti član niza

standardna devijacija n

)xx(n

1i

2i

koeficijent varijacije x

Cv

koeficijent asimetrije 33

s

mC

gdje je m3 – moment trećeg reda:

n

1i

3i3 )xx(

n

1m

Dobivene vrijednosti prikazane su u tablici 49.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐83‐

Tablica 49. Određivanje statističkih parametara

Qi Qi-Qsr (Qi-Qsr)2 (Qi-Qsr)3

2840 1413.12 1996901.5 2821856727.1

1790 363.12 131854.4 47878668.8

1720 293.12 85918.0 25184068.8

1654 227.12 51582.4 11715279.1

1457 30.12 907.1 27318.9

1449 22.12 489.2 10819.7

1440 13.12 172.1 2257.2

1402 ‐24.88 619.1 ‐15405.4

1360 ‐66.88 4473.2 ‐299181.4

1271 ‐155.88 24299.3 ‐3787833.3

1259 ‐167.88 28184.5 ‐4731677.6

1247 ‐179.88 32357.7 ‐5820572.2

1221 ‐205.88 42387.5 ‐8726847.1

1209 ‐217.88 47472.7 ‐10343467.9

1107 ‐319.88 102324.7 ‐32731872.1

943 ‐483.88 234142.1 ‐113297245.5

888 ‐538.88 290394.2 ‐156488304.6

Qi (Qi-Qsr)2 (Qi-Qsr)3

24257 3074479.8 2570432732.5

aritmetička

sredina (x')

standardna

devijacija (σ)

koeficijent

varijacije

(Cv)

moment

trećeg reda

(m3)

koeficijent

asimetrije

(Cs)

1426.88 425.27 0.298 151201925.4 1.966


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐84‐

4.5.2.3 Proračun vjerojatnosti pojave velikih voda izborom nekoliko teorijskih funkcija raspodjele

Proračun velikih voda, odnosno njihova procjena, provedena je korištenjem uobičajenih nesimetričnih krivulja raspodjele (Gumbel, Pearson III, Log Pearson III, Galton), a radi usporedbe i Gaussovom simetričnom raspodjelom.

4.5.2.3.1 Gaussova raspodjela Veličine protoka velikih voda različitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza:

zxQmax

Prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 50.

Tablica 50. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema Gaussovoj krivulji raspodjele

Povratno

razdoblje [god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]z z*σ

Qmax

[m3/s]

1000 0.001 3.090 1314.1 2741

100 0.01 2.326 989.2 2416

50 0.02 2.054 873.5 2300

25 0.04 1.751 744.6 2172

10 0.1 1.281 544.8 1972

5 0.2 0.842 358.1 1785

2 0.5 0 0 1427 Vrijednosti standardizirane slučajne promjenljive varijable (z) za tražene povratne periode iščitane su iz tablice 8‐9 u knjizi D. Srebrenovića. [4]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐85‐

4.5.2.3.2 Gumbelova raspodjela

Veličine protoka velikih voda različitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza:

a

1zQQ mmax

gdje su: mQ – mod Gumbelove krivulje: a

1577,0xQm

a

1 – parametar Gumbelove raspodjele: 78,0

a

1

Tablica 51. Parametri za Gumbelovu raspodjelu

mod Gumbelove krivulje (Qm) 1235.487

parametar Gumbelove raspodjele (1/a) 331.71 Prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 52.

Tablica 52. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja prema Gumbelovoj krivulji raspodjele

Povratno

razdoblje [god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]z z*1/a

Qmax

[m3/s]

1000 0.001 6.92 2295.4 3531

100 0.01 4.62 1532.5 2768

50 0.02 3.92 1300.3 2536

25 0.04 3.20 1061.5 2297

10 0.1 2.28 756.3 1992

5 0.2 1.50 497.6 1733

2 0.5 0.37 122.7 1358 Vrijednosti standardizirane slučajne promjenljive varijable (z) za tražene povratne periode iščitane su iz tablice 8‐15 u knjizi D. Srebrenovića. [4]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐86‐

4.5.2.3.3 Pearson III raspodjela Veličine protoka velikih voda različitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se iz izraza:

x)1C(Q vmax

gdje je ψ – funkcija definirana kao: )p,C(f s ; vrijednosti funkcije ψ za različite

vjerojatnosti pojavljivanja p i različite koeficijente asimetrije sC određujemo iz Foster

– Ribkinovih tablica (Prilog 3.). Vrijednosti linearne interpolacije za funkciju ψ prikazane su u tablici 53., a prikaz dobivenih rezultata dan je u tablici 54.

Tablica 53. Linearna interpolacija za funkciju ψ za Pearson III raspodjelu

ψ(Cs=1.5) ψ(Cs=2.0) ψ(Cs=1.966)

1.5 2.0 1.966

0.1 5.26 5.91 5.87

1 3.33 3.60 3.58

2 2.74 2.91 2.90

4 2.15 2.23 2.22

10 1.33 1.30 1.30

20 0.69 0.61 0.62

50 ‐0.20 ‐0.30 ‐0.29

Vjerojatnost

pojavljivanja p [%]

Tablica 54. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja prema raspodjeli Pearson III

Povratno razdoblje

[god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]ψ Qmax [m

3/s]

1000 0.001 5.87 3921

100 0.01 3.58 2950

50 0.02 2.90 2659

25 0.04 2.22 2373

10 0.1 1.30 1981

5 0.2 0.62 1689

2 0.5 ‐0.29 1302


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐87‐

4.5.2.3.4 Logaritamska – Pearson III raspodjela

Kod ove raspodjele primjenjuje se logaritamska transformacija slučajne promjenjive varijable pa su oznake za raspodjelu i njihove veličine slijedeće:

logaritam maksimalne protoke maxQlogq

aritmetička sredina logaritama niza maxQlog

n

1i

qn

1q

standardna devijacija logaritama n

)qq(n

1i

2i

koeficijent varijacije q

Cv

koeficijent asimetrije 33

s

mC

gdje je m3 – moment trećeg reda:

n

1i

3i3 )xx(

n

1m

Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka različita reda pojave dobiju se prema izrazu:

q)1C(q vmax

gdje je ψ – funkcija definirana kao: )p,C(f s ; vrijednosti funkcije ψ za različite

vjerojatnosti pojavljivanja p i različite koeficijente asimetrije sC određujemo iz Foster

– Ribkinovih tablica (Prilog 3.). Veličine maksimalnih protoka velikih voda različitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se anti‐logaritmiranjem vrijednosti logaritama maksimalnih protoka, tj. iz izraza:

maxqmax 10Q

Tablica 55. Parametri za log‐Pearsonovu raspodjelu

aritmetička sredina log niza q' 3.138803803

standardna devijacija logaritama σ' 0.111634097

koeficijent varijacije Cv 0.035565809

moment trećeg reda m3 0.001256295

koeficijent asimetrije Cs 0.903027546


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐88‐

Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka prikazane su u tablici 56., linearna interpolacija za funkciju ψ u tablici 57., a vrijednosti maksimalnih protoka velikih voda za različita povratna razdoblja u tablici 58.

Tablica 56. Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka

qi=log(Qi max) qi-q' (qi-q')2 (qi-q')³

3.4533 0.3145 0.0989 0.0311

3.2529 0.1140 0.0130 0.0015

3.2355 0.0967 0.0094 0.0009

3.2185 0.0797 0.0064 0.0005

3.1635 0.0247 0.0006 0.0000

3.1611 0.0223 0.0005 0.0000

3.1584 0.0196 0.0004 0.0000

3.1467 0.0079 0.0001 0.0000

3.1335 -0.0053 0.0000 0.0000

3.1041 -0.0347 0.0012 0.0000

3.1000 -0.0388 0.0015 ‐0.0001

3.0959 -0.0429 0.0018 ‐0.0001

3.0867 -0.0521 0.0027 ‐0.0001

3.0824 -0.0564 0.0032 ‐0.0002

3.0441 -0.0947 0.0090 ‐0.0008

2.9745 -0.1643 0.0270 ‐0.0044

2.9484 -0.1904 0.0362 ‐0.0069

qi (qi-q')2 (qi-q')³

53.3597 0.2119 0.0214

Tablica 57. Linearna interpolacija za funkciju ψ za log‐Pearson III raspodjelu

ψ(Cs=0.8) ψ(Cs=1.0) ψ(Cs=0.903)

0.8 1.0 0.903

0.1 4.24 4.53 4.39

1 2.89 3.02 2.96

2 2.45 2.54 2.50

4 2.00 2.05 2.03

10 1.34 1.34 1.34

20 0.78 0.76 0.77

50 ‐0.10 ‐0.20 ‐0.15

Vjerojatnost

pojavljivanja p [%]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐89‐

Tablica 58. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja

prema logaritamskoj ‐ Pearson III raspodjeli

Povratno

razdoblje [god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]ψ qmax Qmax [m

3/s]

1000 0.001 4.39 3.63 4254

100 0.01 2.96 3.47 2944

50 0.02 2.50 3.42 2615

25 0.04 2.03 3.36 2317

10 0.1 1.34 3.29 1943

5 0.2 0.77 3.22 1678

2 0.5 ‐0.15 3.12 1324

4.5.2.3.5 Logaritamska – normalna (Galtonova) raspodjela

Vrijednosti logaritama maksimalnih protoka različita reda pojave dobiju se prema izrazu:

zqqmax

Veličine maksimalnih protoka velikih voda različitih vjerojatnosti pojavljivanja dobiju se anti‐logaritmiranjem vrijednosti logaritama maksimalnih protoka, tj. iz izraza:

maxqmax 10Q

Vrijednosti maksimalnih protoka velikih voda za različita povratna razdoblja prikazani su u tablici 59.

Tablica 59. Procjena maksimalnih godišnjih protoka različitih povratnih razdoblja prema log – normalnoj (Galtonovoj) raspodjeli

Povratno

razdoblje [god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]z qmax

Qmax

[m3/s]

1000 0.001 3.090 3.48 3046

100 0.01 2.326 3.40 2503

50 0.02 2.054 3.37 2334

25 0.04 1.751 3.33 2159

10 0.1 1.281 3.28 1913

5 0.2 0.842 3.23 1709

2 0.5 0 3.14 1377 Vrijednosti standardizirane slučajne promjenljive varijable (z) za tražene povratne periode iščitane su iz tablice 8‐9 u knjizi D. Srebrenovića. [4]


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐90‐

4.5.2.3.6 Usporedba dobivenih rezultata U tablici 60. su radi usporedbe prikazane vrijednosti maksimalnih protoka za različita povratna razdoblja dobivene odabirom različitih krivulja raspodjele.

Tablica 60. Usporedna tablica dobivenih rezultata maksimalnih protoka za različita povratna razdoblja, te za različite krivulje raspodjele

Povratno

razdoblje [god]

Vjerojatnost

pojavljivanja p [1]

Gauss

[m3/s]

Gumbel

[m3/s]

Pearson III

[m3/s]

Log Pearson

III [m3/s]

Galton

[m3/s]

1000 0.001 2741 3531 3921 4254 3046

100 0.01 2416 2768 2950 2944 2503

50 0.02 2300 2536 2659 2615 2334

25 0.04 2172 2297 2373 2317 2159

10 0.1 1972 1992 1981 1943 1913

5 0.2 1785 1733 1689 1678 1709

2 0.5 1427 1358 1302 1324 1377 Na slikama 50. i 51. grafički su prikazani dobiveni rezultati za različite krivulje raspodjele, te članovi opaženog početnog niza s odgovarajućim vjerojatnostima pojavljivanja odnosno povratnim razdobljima.

Slika 51. Grafički prikaz odnosa dobivenih rezultata maksimalnih protoka

i vjerojatnosti pojavljivanja


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐91‐

Slika 52. Grafički prikaz odnosa dobivenih rezultata maksimalnih protoka i povratnih razdoblja


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐92‐

5 Radna energija HE Varaždin U ovom poglavlju daje se kratki prikaz izračuna radne energije HE Varaždin po godinama i po mjesecima za svaku godinu prema dostupnim srednjim dnevnim podacima za 1996., 1997. i niz godina od 2000. do 2012. godine. Radna energija je iskazana u megavatsatima (MWh).

Tablica 61. Izračun radne energije HE Varaždin

Godina Siječanj Veljača Ožujak Travanj Svibanj Lipanj Srpanj Kolovoz Rujan Listopad Studeni Prosinac

Ukupno proizvedeno

godišnje [MWh]

1996 35 28 30 58 69 60 69 58 51 79 71 54 662

1997 41 37 33 29 47 71 64 57 46 25 38 49 537

2000 31 31 31 50 73 61 57 56 37 76 88 74 665

2001 68 49 46 61 85 76 64 42 46 38 30 23 628

2002 20 22 27 33 55 62 47 60 44 52 65 67 554

2003 43 34 31 33 54 53 42 34 36 39 56 44 499

2004 34 30 47 63 66 82 83 53 50 51 62 38 659

2005 30 28 35 51 52 44 65 67 62 70 40 40 584

2006 29 31 48 68 81 71 51 53 45 37 27 29 570

2007 27 28 44 51 47 46 55 45 56 50 40 32 521

2008 28 26 30 39 60 80 66 56 41 39 61 64 590

2009 41 51 48 88 90 82 80 64 71 44 40 55 754

2010 44 38 43 45 70 71 47 52 64 56 81 68 679

2011 45 36 38 41 51 78 54 49 47 50 39 28 556

2012 23 23 26 33 52 60 68 55 69 75 79 64 627

Slika 53. Radna energija HE Varaždin po godinama


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐93‐

Slika 54. Radna energija HE Varaždin po mjesecima za svaku godinu


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐94‐

6 Zaključak

1. U ovom završnom radu napravljene su krivulje trajanja i učestalosti za srednje dnevne vrijednosti protoka i maksimalne dnevne vrijednosti protoka za period od 1996. do 2012. godine za HE Varaždin prema podlogama od HEP‐a.

2. Napravljene su usporedbe krivulja trajanja za srednje dnevne i maksimalne dnevne vrijednosti protoka za navedeni period godina.

3. Posebno za 2004. godinu, bili su dostupni podaci i za satne vrijednosti protoka pa su napravljene krivulje trajanja i učestalosti prema tim podacima i usporedba krivulja trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka.

4. Statističkim metodama izračunate su vjerojatnosti pojavljivanja za različite maksimalne godišnje protoke u periodu od 1996. do 2012. godine za HE Varaždin.

5. Statističkim metodama procijenjeni maksimalni protoci za HE Varaždin za poznate vjerojatnosti pojavljivanja odnosno povratna razdoblja.

6. Prema dostupnim podacima za 1996., 1997. i period od 2000. do 2012. godine za srednje dnevne vrijednosti radne energije za HE Varaždin napravljene su usporedbe po godinama i po mjesecima za svaku od navedenih godina.

7. Prilikom proračuna uočene su slučajne pogreške u dobivenim podlogama. Dakle, prije daljnje obrade dobivenih podataka potrebno ih je provjeriti zbog eventualnih slučajnih ili sistematskih pogrešaka.

8. Iz slike 53. na kojoj je prikazana radna energija HE Varaždin po godinama vidljivo je da se najviše proizvelo radne enrgije 2009. godine (754 MWh), a najmanje 2003. godine (499 Mwh).

9. Iz slike 54. na kojoj je prikazana radna energija HE Varaždin po mjesecima za svaku godinu vidljivo je da se najmanje radne energije proizvelo u siječnju, veljači i ožujku, a najviše prvenstveno u svibnju, lipnju i srpnju.

10. Linearnom interpolacijom izračunate su vrijednosti srednjih dnevnih protoka (Tablica 62.) za trajanja od 1%, 50% i 95% za period od 1996. do 2012. godine. Te vrijednosti prikazane su grafički (Slika 55.).

a. Raspon protoka za trajanje od 1% je 539‐1261, od 50% 245‐373, a od 95% 121‐214 (m3/s).

b. Maksimum je bio 2000. godine (1261 m3/s), a minimum 2002. godine (121 m3/s).

c. Za trajanje od 1% uočava se da je svaka druga godina od 1996. do 2003. imala znatno manje protoke od prethodne, dok za preostali period od 2004. do 2012. nema očiglednih zakonitosti.

d. Za trajanje od 50% nema zakonitosti odnosno trenda rasta ili opadanja. e. Za trajanje od 95% uočava se trend laganog rasta.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐95‐

Tablica 62. Vrijednosti srednjih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95%

1 50 95

1996 990 316 154

1997 617 245 158

1998 1039 272 152

1999 695 328 169

2000 1261 336 172

2001 738 373 158

2002 939 282 121

2003 584 250 157

2004 839 323 170

2005 886 286 159

2006 673 274 152

2007 539 270 160

2008 733 292 155

2009 843 365 214

2010 736 328 212

2011 668 280 172

2012 1017 328 150

GodinaTrajanje [%]

Slika 55. Vrijednosti srednjih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95%


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐96‐

11. Također su linearnom interpolacijom izračunate vrijednosti maksimalnih

dnevnih protoka (Tablica 63.) za trajanja od 1%, 50% i 95% za period od 1996. do 2012. godine. Te vrijednosti prikazane su grafički (Slika 56.).

a. Raspon protoka za trajanje od 1% je 668‐1434, od 50% 484‐568, a od 95% 250‐358 (m3/s).

b. Maksimum je bio 2000. godine (1434 m3/s), a minimum 2002. godine (250 m3/s).

c. Za trajanje od 1% uočava se da je svaka druga godina od 1996. do 2003. imala znatno manje protoke od prethodne, dok za preostali period od 2004. do 2012. nema očiglednih zakonitosti.

d. Za trajanje od 50% uočava se trend blagog rasta. e. Za trajanje od 95% uočava se trend blagog rasta.

Tablica 63. Vrijednosti maksimalnih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95%

1 50 95

1996 1270 520 254

1997 718 487 262

1998 1354 509 258

1999 945 520 278

2000 1434 520 275

2001 1018 512 277

2002 1254 525 250

2003 1036 484 261

2004 1158 548 270

2005 1318 544 358

2006 745 541 316

2007 668 539 295

2008 1009 553 285

2009 1168 568 335

2010 968 561 343

2011 989 538 318

2012 1283 550 266

GodinaTrajanje [%]

Slika 56. Vrijednosti maksimalnih dnevnih protoka za trajanja od 1%, 50% i 95%


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐97‐

12. Budući da su za 2004. godinu dani podaci i za satne vrijednosti protoka

napravljene su usporedbe krivulja trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka (Slika 40) te usporedba krivulja trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih protoka (Slika 41.).

13. Linearnom interpolacijom izračunate su vrijednosti satnih, srednjih dnevnih i

maksimalnih dnevnih protoka za različita trajanja, a njihove razlike prikazane su u tablicama 64., 65. i 66.

Tablica 64. Razlika satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

Trajanje

[%]

Satne

vrijednosti

protoka [m3/s]

Srednje dnevne

vrijednosti

protoka [m3/s]

Razlika

[m3/s]

Razlika

[%]

5 703 698 5 0.7

10 593 548 45 7.6

20 544 439 105 19.3

30 506 388 118 23.3

40 454 352 102 22.5

50 382 323 59 15.4

60 327 293 34 10.4

70 283 260 23 8.1

80 243 228 15 6.2

90 193 196 ‐3 ‐1.6

95 167 170 ‐3 ‐1.8

a. Prema slici 40 (Slika 40). na kojoj su prikazane krivulje trajanja satnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu, uočavaju se očigledne razlike u odstupanjima krivulja za trajanja od 10% do 80% u razinama protoka od 200 do 600 m3/s.

i. Te razlike prikazane su u tablici 64., a najizraženije su za trajanja: od 20%, razlika iznosi 105 m3/s (19.3%), od 30% 118 m3/s (23.3%), od 40% 102 m3/s (22.5%), od 50% 59 m3/s (15.4%).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐98‐

Tablica 65. Razlika maksimalnih dnevnih i satnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

Trajanje

[%]

Maksimalne

vrijednosti

protoka [m3/s]

Satne vrijednosti

protoka [m3/s]

Razlika

[m3/s]

Razlika

[%]

5 797 703 94 11.8

10 599 593 6 1.0

20 587 544 43 7.3

30 574 506 68 11.8

40 562 454 108 19.2

50 548 382 166 30.3

60 526 327 199 37.8

70 504 283 221 43.8

80 419 243 176 42.0

90 294 193 101 34.4

95 270 167 103 38.1

b. Prema slici 41. na kojoj su prikazane krivulje trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu, uočavaju se očigledne razlike u odstupanjima krivulja trajanja za satne i maksimalne dnevne vrijednosti protoka.

i. Te razlike prikazane su u tablici 65., a najizraženije su za trajanja: od 40%, razlika iznosi 108 m3/s (19.2%), od 50% 166 m3/s (30.3%), od 60% 199 m3/s (37.8%), od 70% 221 m3/s (43.8%), od 90% 101 m3/s (34.4%), od 95% 103 m3/s (38.1%).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐99‐

Tablica 66. Razlika maksimalnih dnevnih i srednjih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu

Trajanje

[%]

Maksimalne

vrijednosti

protoka [m3/s]

Srednje dnevne

vrijednosti

protoka [m3/s]

Razlika

[m3/s]

Razlika

[%]

5 797 698 99 12.4

10 599 548 51 8.5

20 587 439 148 25.2

30 574 388 186 32.4

40 562 352 210 37.4

50 548 323 225 41.1

60 526 293 233 44.3

70 504 260 244 48.4

80 419 228 191 45.6

90 294 196 98 33.3

95 270 170 100 37.0

c. Prema slici 41. na kojoj su prikazane krivulje trajanja satnih, srednjih dnevnih i maksimalnih dnevnih vrijednosti protoka za 2004. godinu, uočavaju se očigledne razlike u odstupanjima krivulja trajanja za maksimalne dnevne i srednje dnevne vrijednosti protoka.

i. Te razlike prikazane su u tablici 66., a najizraženije su za trajanja: od 20%, razlika iznosi 148 m3/s (25.2%), od 30% 186 m3/s (32.4%), od 40% 210 m3/s (37.4%), od 50% 225 m3/s (41.1%), od 60% 233 m3/s (44.3%), od 70% 244 m3/s (48.4%), od 80% 191 m3/s (45.6%), od 90% 98 m3/s (33.3%), od 95% 100 m3/s (37.0%).

14. Zaključuje se da srednje dnevne vrijednosti protoka bolje odgovaraju satnim vrijednostima protoka nego maksimalne dnevne vrijednosti.


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐100‐

15. Prema tablici 46., u kojoj su prikazani dobiveni rezultati vjerojatnosti za

maksimalne godišnje protoke za period od 1996. do 2012. godine za HE Varaždin te za različite krivulje raspodjele, određene su vjerojatnosti pojavljivanja izražene u apsolutnim vrijednostima prema godinama:

za 1996. od 0.1778 prema Log‐Pearsonu III do 0.2453 prema Gaussu

za 1997. od 0.7708 prema Gumbeluu do 0.8018 prema Galtonu


za 1999. od 0.6173 prema Pearsonu III do 0.6958 prema Gaussu







za 2006. od 0.8975 prema Gaussu do 0.9922 prema Log‐Pearsonu III

za 2007. od 0.8724 prema Gaussu do 0.9699 prema Log‐Pearsonu III





za 2012. od 0.0004 prema Gaussu do 0.0164 prema Pearsonu III

16. Prema tablici 60., u kojoj su prikazani dobiveni rezultati maksimalnih protoka za HE Varaždin za različita povratna razdoblja odnosno vjerojatnosti pojavljivanja te za različite krivulje raspodjele, određeno je da se za povratna razdoblja od:

1000 godina protoci kreću od 2741 prema Gaussu do 4254 m3/s prema Log‐Pearsonu III (razlika od 1513 m3/s, odnosno 55.2 %),

100 godina protoci kreću od 2416 prema Gaussu do 2950 m3/s prema Pearsonu III (razlika od 534 m3/s, odnosno 22.1 %),

50 godina protoci kreću od 2300 prema Gaussu do 2659 m3/s prema Pearsonu III (razlika od 359 m3/s, odnosno 15.6 %),

25 godina protoci kreću od 2159 prema Galtonu do 2373 m3/s prema Pearsonu III (razlika od 214 m3/s, odnosno 9.9 %),

10 godina protoci kreću od 1913 prema Galtonu do 1992 m3/s prema Gumbelu (razlika od 79 m3/s, odnosno 4.1 %),

5 godina protoci kreću od 1678 prema Log‐Pearsonu III do 1785 m3/s prema Gaussu (razlika od 107 m3/s, odnosno 6.4 %),

2 godine protoci kreću od 1302 prema Pearsonu III do 1427 m3/s prema Gaussu (razlika od 125 m3/s, odnosno 9.6 %).


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐101‐

7 Literatura [1] Živko Vuković, Osnove hidrotehnike – prvi dio, prva knjiga, Akvamarine, Zagreb,

1994.

[2] Husno Hrelja, Inženjerska hidrologija, Univezitet u Sarajevu, Građevinski fakultet, Sarajevo, 2008.

[3] Husno Hrelja, Vjerojatnoća i statistika u hidrologiji, Građevinski fakultet, Sarajevo, 2000.

[4] Dionis Srebrenović, Primijenjena hidrologija, Tehnička knjiga, Zagreb, 1986.

[5] Nevenka Ožanić, Seminar „Velike i male vode” – Statističke obrade i velike vode hidromelioracijskih sustava, Zagreb, 2004.

[6] Koncept predavanja iz Hidrologije (http://www.grad.unizg.hr/predmet/hid_a)


U Zagrebu, 17.09.2013. ‐102‐

8 Prilozi


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 1. Izvadak vrijednosti tabelirane gama funkcije G(z)


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 1. Izvadak vrijednosti tabelirane gama funkcije G(z)


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 2. Vrijednosti kumulativne vjerojatnosti F(z) za standardnu Normalnu (Gaussovu) funkciju raspodjele vjerojatnosti


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 2. Vrijednosti kumulativne vjerojatnosti F(z) za standardnu Normalnu (Gaussovu)

funkciju raspodjele vjerojatnosti


U Zagrebu, 17.09.2013.

Nastavak Priloga 2.


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 3. Veličine funkcije ψ prema Foster‐Ribkinu


U Zagrebu, 17.09.2013.

Prilog 3. Veličine funkcije ψ prema Foster‐Ribkinu:

U tablici su dane vrijednosti funkcije ψ za različite vjerojatnosti pojavljivanja p i različite koeficijente asimetrije Cs. Veličine ψ u Foster‐Ribkinovim tablicama izvedene su za koeficijent varijacije Cv=1, prosjek niza odnosno aritmetičku sredinu xsr=1 i za prosječni maksimalni godišnji protok Qmax,sr=1.

Documents

Statistička obrada hidrograma na HE Varaždin · SVEUČILIŠTE U ZAGREBU GRAĐEVINSKI FAKULTET Dino Kerin Statistička obrada hidrograma na HE Varaždin ZAVRŠNI RAD Zagreb, rujan