View
108
Download
13
Embed Size (px)
DESCRIPTION
analisa
Citation preview
StatistikaMatematikaSoal dan Pembahasan
M. Samy Baladram
Bab 4Unbiasedness,
Consistency, andLimiting Distributions
Unbiasedness, Consistency, and Limiting Distributions
4.1 Ekspektasi Fungsi
Key Points
.Teorema 4.1.1Jika T =
ni=1 a iX i , a i suatu konstan,
maka
E [T ] =ni=1
a iE [X i ]
Akibat 4.1.1Jika T =
ni=1 a iX i , a i suatu konstan,
maka
Var [T ] =ni=1
a iVar [X i ]+2i
Variabel acak Y dapat ditulis Y =X1+X2+X3+X4+X5.
= E [Y ] = E [X1+X2+X3+X4+X5]
= 5E [X1] = 5
10
x 6x (1x )dx
= 52x 3 3
2x 410= 5 1
2
= 12.
2 =Var [Y ] =Var [X1+X2+X3+X4+X5]
= 5Var [X1] = 5
10
(x 12)2 6x (1x )dx
= 5
10
x 2x + 1
4
6x (1x )dx = 5 1
20
2 = 14= 0.25
3 [4.1.9]Misal X dan Y peubah acak dengan 1 = 1, 2 = 4, 21 = 4, 22 = 6, =
12.
Tentukan mean dan variansi dari Z = 3X 2Y ...Jawab:
Z = E [Z ] = E [3X 2Y ] = 3E [X ]2E [Y ] = 3122Z =5
2Z =Var [Z ] =Var [3X 2Y ] = 32Var [X ]+ (2)2Var [Y ]+2(3)(2)cov (X ,Y )= 921+4
2212 = 9 4+4 66
2Z = 54
copyright by M. Samy Baladram / 10108064 3
4.2 Konvergen dalam PeluangKey Points
.Teorema 4.2.1Misal {Xn } barisan peubah acak iid den-gan mean bersama dan variansi 2.
Misal Xn = 1nni=1
X i . Maka
XnP.
Teorema 4.2.2Misal Xn
P X dan Yn P Y . Maka,Xn +Yn
PX +Y .
Teorema 4.2.3Misal Xn
P X dan a suatu konstanta.Maka, aXn
aX .
Teorema 4.2.4Misal Xn
P a dan fungsi real g kontinudi a . Maka, g (Xn )
g (a ).
Teorema 4.2.5Misal Xn
P X dan Yn P Y . Maka,XnYn
X Y .
4 [4.2.2] Misal Yn peubah acak dengan distribusi b (n ,p ).a Tunjukkan Yn/n
P p .b Tunjukkan 1Yn/n P 1pc Tunjukkan (Yn/n )(1Yn/n ) P p (1p )..Jawab:a Karena Yn berdistribusi b (n ,p ), dapat dianggap Yn = X1 + +Xn dengan
X i berdistribusi b (1,p ) dengan = p .Berdasarkan Teorema
XnPX i
. Karena Yn/n =Xn dan X i = p maka terbukti
Yn/nP p .
b Berdasarkan Teorema, karena 1 P 1 dan Yn/n P p maka1Yn/n P 1p
c Berdasarkan Teorema 4.2.5, dan jawaban soal sebelumnya, maka didapat
(Yn/n )(1Yn/n ) P p (1p )
5 [4.2.4 dan 4.2.5] Misal X1, ,Xn adalah variabel acak yg i.i.d dengan pdf
f (x ) =
e(x ), x >0, lainnyaMisal Yn =min{X1, ,Xn }.
copyright by M. Samy Baladram / 10108064 4
a Tunjukkan Yn Pb Tentukan mean dari Ync Apakah Yn estimator tak-bias dari d Tentukan estimator tak-bias untuk dengan memanfaatkan Yn .
.
.Jawab:
Karena Yn =min{X1, ,Xn }, makaFYn (t ) = 1P(Yn t )
= 1P(X1 t , ,Xn t ) = 1 [P(X i t )]n = 1 [1P(X i t )]n
= 11 t
e(x )dxn = 11+ e(t ) e( )n
FYn (t ) = 1 en (t ), t >f Yn (t ) =
d
d tFYn (t )
f Yn (t ) = nen (t ), t >
a Akan dibuktikan limnP(|Yn | ") = 0 untuk setiap " > 0.
P(|Yn | ") = P(Yn ")+P(Yn )= (1P(Yn +))+ P(Yn )
=0, karena ( )
E [Zn ] = . Dari Yn ,
E [Yn ] = n2 +n3
1
n2(E [Yn ]n3) = E
Yn n3n2
=
Jadi, dapat dipilih Zn =Yn n3n2
yang merupakan estimator tak-bias bagi .
4.3 Konvergen dalam Distribusi
Key Points
.Teorema 4.3.1Jika Xn
PX maka Xn DXTeorema 4.3.2Jika Xn
Db , b konstan maka Xn PbTeorema 4.3.3Jika Xn
D X dan Yn P 0 makaXn +Yn
DXTeorema 4.3.4Jika Xn
D X dan g suatu fungsi kontinumaka g (Xn )
D g (X )Teorema 4.3.5 (Teorema Slutsky)Misal Xn , X , An , Bn adalah peubah
acak dan a , b konstan. Jika XnD X ,
AnP a , Bn Pb , maka
An + BnXnD a +bX
Teorema 4.3.6Misal {Xn } barisan peubah acak dan Xsuatu peubah acak. Jika Xn
D X , maka{Xn } terbatas dalam peluang.
Teorema 4.3.7Misal {Xn } barisan peubah acak dan{Xn } barisan peubah acak yang kon-vergen dalam peluang ke 0. Maka,
XnYnP 0
Teorema 4.3.8Misal YN adalah barisan peubah acakyang terbatas dalam peluang. Jika
Xn =op (Yn ), maka saat n, Xn P 0.
Teorema 4.3.9Misal {Xn } barisan peubah acak sehing-ga
pn (Xn ) DN (0,2)
Misal fungsi g (x ) punya turunan di dan g ( ) 6= 0. Makapng (Xn ) g ( ) DN (0,2(g ( ))2)
6 [4.3.2] Misal Y1 adalah statistik orde satu (yakni Y1 = minX1, ,Xn ) daripeubah acak berukuran n dengan distribusi yang memiliki pdf f (x ) = e(x ),x > , lainnya 0. Misal Zn = n (Y1 ). Tentukan kemanakah kekonvergenandistribusi Zn ...Jawab:
copyright by M. Samy Baladram / 10108064 6
Seperti pada soal [4.2.4],
FY1 (t ) = 1 en (t ), t>
lainnya 0. Maka,
FZn (t ) = P(n (Y1 ) t ) = P
Y1 t
n+
= 1 en ( tn + )= 1 et
limnFZn (t ) = 1 et
Karena 1 et merupakan cdf dari distribusi eksponensial dengan = 1 makaZn
D Exp(= 1).7 [4.3.5] Misal pmf dari Yn adalah pn (y ) = 1, y = n , lainnya 0. Tunjukkan dis-
tribusi Yn tidak konvergen kemanapun...Jawab:
Nilai cmf dari Yn dapat ditulis
FYn (y ) =
0, y < n1, y nUntuk n,
limnFYn (y ) = 0, y
9 [4.3.11] Misal Zn peubah acak berdistribusi Poisson dengan = n . TunjukkanYn = (Zn n )/pn DN (0,1)...Jawab:
mgf dari Zn adalah adalahMZn (t ) = e n (et1). Maka, mgf dari Yn adalah
MYn (t ) = E [et (Znn )/pn ] = E [e (t /
pn )Zntpn ]
= etpnE [e (t /
pn )Zn ] = et
pne n (e
t /pn1)
limnMYn (t ) = limne
tpn+n (e t /pn1)
ln limnMYn (t ) = limnt
pn +n (e t /
pn 1)
= limnn
e t /pn 1 tp
n
= lim
nn1+
tpn+
t 2
2n+o(e t /
pn )1 tp
n
= lim
nt 2
2+o(ne t /
pn ) =
t 2
2
limnMYn (t ) = e
t 2/2
Karena e t 2/2 merupakan mgf dari N (0,1) maka terbukti YnDN (0,1).
10 [4.3.14] dan [4.3.15] Misal Xn adalah rataan dari peubah acak berukuran ndari peubah acak Poisson dengan = 1.
a Tunjukkan mgf dari Yn =pn (Xn )
=pn (Xn 1) adalah exp[tpn +
n (e t /n 1)].b Selidiki kemanakah kekonvergenan distribusi Yn saat nc Dari sana, selidiki kemanakah kekonvergenan distribusi
pn (pXn 1).
.
.Jawab:a mgf dari distribusi Poisson untuk peubah acak X i dengan = 1 adalah
MX i (t ) = e et1. Maka, mgf dari Xn adalah
MXn (t ) = E [et Xn ] = E [e (t /n )
ni=1 X i ]
= E [e (t /n )X1e (t /n )X2 e (t /n )Xn ]= E [e (t /n )X1 ] E [e (t /n )X2 ] E [e (t /n )Xn ] = (E [e (t /n )X i ])n= e n (e
t /n1)
Jadi, mgf dari Yn adalah
MYn (t ) = E [etpn (X 11)]
= etpnE [e t
pnXn ] = et
pne n (e
(tpn )/n1)
MYn (t ) = exp[tpn +n (e t /pn 1)].
copyright by M. Samy Baladram / 10108064 8
b Akan dicari kekonvergenan distribusinya dengan menggunakan mgf
MYn (t ) = exptpn +n (e t /pn 1)
= expn
e t /pn 1 tp
n
ln lim
nMYn (t ) = limntpn +n (e t /
pn 1)
= limnn
e t /pn 1 tp
n
= lim
nn1+
tpn+
t 2
2n+o(e t /
pn )1 tp
n
= lim
nt 2
2+o(ne t /
pn ) =
t 2
2
limnMYn (t ) = e
t 2/2
Karena e t 2/2 merupakan mgf dari N (0,1) maka terbukti YnDN (0,1).
c Karena YnDN (0,1) dan fungsi g (x ) =px punya untuk x > 0 (nilai g (x ) =
12px), maka berdasarkan Teorema 4.3.9
pn (Xn 1) DN (0,1)
pn (g (Xn ) g (1)) DN (0,1 [g (1)]2)pn (
pXn 1) DN (0,1/4)
11 [4.3.16] dan [4.3.17]Misal Xn adalah rata-rata dari sampel acak berukuran ndengan distribusi yang memiliki pdf f (x ) = ex , 0< x
Agar limb
1t1 e (t1)b = 0, haruslah t < 1 sehingga
MX i (t ) = 0 1t 1 =1
1 t , t < 1Dari sana,
MXn (t ) = E [et Xn ] =
E [e (t /n )X i ]
n=
1
1 (t /n ), (t /n )< 1
akibatnya
MYn (t ) = E [etpn (Xn1)] = et
pnE [e t
pnX ]
= etpn
1
(1 (t /pn )/n ), ((t /
pn )/n )< 1
= etpn
1 tp
n
n, t /
pn < 1
MYn (t ) =
e t /pn (t /pn )e t /pnn , t
4.4 Teorema Limit Pusat
Key Points.
.
Teorema 4.4.1Misal X1,X2, Xn adalah pengamatan dengan peubah acak yang memiliki mean dan variansi 2. Maka, p
n (X n )
DN (0,1)
12 [4.4.1]Misal X adalah rataan dari sampel acak berukuran 100 dengan distribusi2(50). Hitung nilai hampiran P(49