Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare · J Avdelningen för Konstruktionsteknik Lunds Tekniska Högskola Lund Rapport TVBK Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet

J

Avdelningen för KonstruktionsteknikLunds Tekniska HögskolaLund

Rapport TVBK

Stagningsstyvhetensinverkan på stabilitet förträpelare- och hur det påverkar viddimensionering

Joakim Rubinsson

Avdelningen för KonstruktionsteknikLunds Tekniska HögskolaLund

Rapport TVBK

Stagningsstyvhetensinverkan på stabilitet förträpelare

och hur det påverkar viddimensionering

oakim Rubinsson

Avdelningen för KonstruktionsteknikLunds Tekniska HögskolaLunds

Rapport TVBK



oakim Rubinsson

Avdelningen för KonstruktionsteknikLunds Tekniska Högskola

Universit

Rapport TVBK



oakim Rubinsson


Universit

Rapport TVBK



oakim Rubinsson


Universit

Rapport TVBK



oakim Rubinsson


Universit

Rapport TVBK - 52



oakim Rubinsson


Universitet, 2015

524

Stagningsstyvhetensinverkan på stabilitet för


oakim Rubinsson


, 2015

44


och hur det påverkar vid

oakim Rubinsson


, 2015



oakim Rubinsson


, 2015






Avdelningen för Konstruktionsteknik









Stagningsstyvhetensinverkan på stabilitet förinverkan på stabilitet förinverkan på stabilitet för

i

Avdelningen för KonstruktionsteknikLunds Tekniska HögskolaBox 118221 00 LUND

Division of Structural EngineeringFaculty of Engineering, LTHP.O. Box 118S-221 00 LUNDSweden

Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelareoch hur det påverkar vid dimensionering

Bracing stiffness and it’s effect on stability for timber columnsand how it impacts on design

Joakim Rubinsson

2015

Rapport TVBK-5244ISSN 0349-4969ISRN: LUTVDG/TVBK-15/5244(96)

ExamensarbeteHandledare: Roberto CrocettiExaminator: Eva Frühwald HanssonMaj 2015

ii

AbstractColumns under vertical point loads will need a brace in order not to bend out in a mode ofcolumn buckling. To stabilize the column, a sufficient brace stiffness needs to be given, bothto avoid column instability and to reduce the horizontal force which occurs in the brace.

Column buckling is usually determined by Eulers buckling formula = . This is thevalue when buckling occurs regardless if the brace stiffness will be increased. However, if thestiffness is too low, the support will be unresistent and the column gets unstable at a lowerload according to = , where is the brace stiffness. The force developed in the braceis determined as = ∆ where ∆ is the support deformation.

When a column with a pinned joint at the top and at the foot is under axial load and the loadgets closer to the maximum load for bracing, i.e. the load given by Eulers buckling formula,the brace stiffness is decisive for the size of deformation ∆at the support. If the brace stiffnessis low, close to what is necessary to reach Eulers buckling load, it will cause a bigdeformation at the support. This will also result in a big force according to = ∆. Toprevent this big force, the stiffness shall be increased to relieve the support.

Columns with imperfections as initial out-of-straightness and initial deflection, will not affectEulers buckling load but can make huge impact on the brace force. This knowledge must beconsidered and a good reason to keep the stiffness at least twice the ideal bracing stiffness.

Stability theory of braced columns was investigated in laboratory tests. The timber columnsused in the tests were supported with varying stiffness and initial deflections. The results fromthe tests showed that the buckling forces and increasing brace forces caused by initialdeflection correlate well with the theory.

A collapse of a riding stable is investigated in the report, where the impacts from the actualbrace stiffness at the supports are considered. It is shown that the correct stiffness makesdifference for the stability of structures.

iii

FörordExamensarbetet har utförts vid Lunds Tekniska Högskola på avdelningen förkonstruktionsteknik. Kursen ingår som ett avslutande moment på civilingenjörsutbildningenVäg- och vattenbyggnad.

Jag vill tacka alla som har hjälpt mig under min utbildning. Lärare, vänner och familj.

Speciellt tack till Roberto Crocetti som varit min handledare under examensarbetet och EmiliaWetterberg som hjälpte mig med laborationerna. Vill också tacka Rikard Nagy och DavidPersson för deras hjälp och stöd under examensarbetet.

Lund maj 2015

Joakim Rubinsson

iv

SammanfattningPelare som utsätts för tryck kan behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycket isidled. För att stabilisera pelaren måste fjäderstyvheten i det stabiliserande stödet varatillräckligt stort. Detta för att undvika instabilitetsbrott men också för att fjäderkraften i stödetinte ska bli för stor.

För en pelare med en led i toppen och i botten beräknas vanligen Eulers knäckningslast

= . är ett värde då pelaren blir instabil och knäckning sker, oberoende av om stödensstyvhet ökas. Men då styvheten är låg i pelarens toppstöd kommer pelartoppen att varaeftergivlig och instabilitet i pelaren sker vid en lägre last enligt = , där ärfjäderstyvheten. Fjäderkraften beräknas enligt = ∆ där ∆ är stödets utböjning.

När en pelare med led i toppen och i botten belastas och lasten närmar sig den idealaknäckningslasten, det vill säga den last som ger Eulers knäckningslast, kommer styvheten itoppstödet avgöra hur stor utböjningen∆ blir. Om styvheten precis motsvarar vad som krävsför att klara den ideala knäckningslasten kommer detta ge en väldigt stor utböjning, vilketenligt = ∆ ger en oerhört stor kraft i stödet. För att minska kraften i stödet bör därförstyvheten ökas för att avlasta stödet.

Imperfektioner som snedställning och initiell krokighet påverkar inte knäckningslasten menkan ge stor inverkan på fjäderkraften som uppkommer i stödet. Detta gör att styvhetenkommer att behöva vara ännu större för att ge godtagbara krafter i stödet.

Vid de labbförsök som gjordes undersöktes pelare med och utan snedställning med varierandestagningsstyvheter. Försöksresultaten visar att teorin överensstämmer bra med verkligheten.Krafterna i stagen ökade också med ökad snedställning, vilket stämmer enligt teorin.

I rapporten undersöks ett ras av ett ridhus med fokus på hur stagningarnas styvhet inverkar påstabiliteten. Det visar sig att konstruktionen inte skulle klara de snölaster som uppkom vidrastillfället. Resultatet visar att det spelar stor roll att anslutningar beräknas med rätt styvhetermed hänsyn till stabiliteten i konstruktioner.

v

Innehållsförteckning1 Introduktion ............................................................................................................................. 1

1.1 Bakgrund .......................................................................................................................... 1

1.2 Syfte .................................................................................................................................. 1

1.3 Metod ................................................................................................................................ 1

1.4 Avgränsningar .................................................................................................................. 2

2 Stabilitetsteori .......................................................................................................................... 3

2.1 Vanliga begrepp ................................................................................................................ 3

2.2 Eulers knäckningslast ....................................................................................................... 4

2.3 Fjäderstyvhetens inverkan i pelarstöd .............................................................................. 5

2.3.1 Ledat infäst pelare ...................................................................................................... 5

2.4 Inverkan av ett eller flera mittstöd .................................................................................... 7

2.4.1 Ledad pelare med ett mittstöd .................................................................................... 7

2.4.2 Ledad pelare med två mittstöd ................................................................................... 8

2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd .................................................................................. 8

2.5 Fast inspänd pelare ......................................................................................................... 10

2.6 Inverkan av snedställning ............................................................................................... 11

2.6.1 Pelare med snedställning .......................................................................................... 11

2.6.2 Minskning av fjäderkraft .......................................................................................... 13

2.7 Inverkan av initialkrokighet ............................................................................................ 14

2.7.1 Pelare med initialkrokighet ...................................................................................... 14

2.8 Inverkan av lastexcentricitet ........................................................................................... 15

2.9 Ramar .............................................................................................................................. 16

2.10 Styvhet hos anslutningar ............................................................................................... 19

2.10.1 Styvhet för en balk ................................................................................................. 19

2.10.2 Styvhet hos ett spikförband .................................................................................... 19

3 Laboration ............................................................................................................................. 21

3.1 Syfte ................................................................................................................................ 21

3.2 Provningsuppställningar ................................................................................................. 21

3.3 Parametrar och egenskaper ............................................................................................. 23

3.3.1 Fjäderstyvhet ............................................................................................................ 23

3.3.2 E-modul .................................................................................................................... 24

3.3.3 Densitet .................................................................................................................... 25

vi

3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna ............................................................. 25

3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95 ...................................................... 25

3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x140 .................................................... 28

3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot Eulerknäckning ......... 29

3.5 Provningsresultat ............................................................................................................ 32

3.5.1 Tvärsnitt 22x95 ........................................................................................................ 33

3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1 .............................................................................. 35

3.5.2 Tvärsnitt 45x140 ...................................................................................................... 45

3.6 Stabilitetslaster ................................................................................................................ 49

3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1 .......................................................................... 49

3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2 .......................................................................... 49

3.6.3 Tvärsnitt 45x140 vid uppställning 1 ........................................................................ 50

3.7 Diskussion och slutsatser från provningarna .................................................................. 52

3.7.1 Felkällor ................................................................................................................... 52

3.7.2 Fjäderkrafter ............................................................................................................. 52

3.7.3 Eulers knäckningslast ............................................................................................... 53

4 Studieobjekt: Uddevalla ridhus ............................................................................................. 55

4.1 Beskrivning av systemet ............................................................................................. 55

4.2.2 Geometri .................................................................................................................. 58

4.2.3 Randvillkor ram ....................................................................................................... 58

4.3 Antaganden ..................................................................................................................... 58

4.4 Modeller .......................................................................................................................... 62

4.5 Val av element ................................................................................................................ 62

4.6 Laster .............................................................................................................................. 63

4.7 Analys Ram .................................................................................................................... 64

4.7.1 Stabilitetsanalys ....................................................................................................... 64

4.7.2 Normberäkningar ..................................................................................................... 67

4.8 Hanbalkens inverkan ...................................................................................................... 67

4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalk .................................................................................. 67


4.9 Takåsar ............................................................................................................................ 69

4.9.1 Stabilitetsanalys takåsar ........................................................................................... 71


vii

4.10 Vindkryss ...................................................................................................................... 72

4.10.1 Stabilitetsanalys med last från vindkryss ............................................................... 75

4.10.2 Normberäkningar ................................................................................................... 75

4.11 Diskussion och slutsatser från takrasutredningen ......................................................... 76

5 Diskussion och slutsatser ...................................................................................................... 77

6 Förslag till fortsatt arbete ...................................................................................................... 79

7 Referenser .............................................................................................................................. 81

8 Bilagor ................................................................................................................................... 83

8.1 Bilaga 1 ........................................................................................................................... 83

8.2 Bilaga 2 ........................................................................................................................... 92

1

1 Introduktion

1.1 Bakgrund1958 skrev George Winter sin uppsats ”Lateral bracing of columns and beams” [13]. Därvisade Winter att stabiliserande stöd inte enbart behöver ha tillräcklig bärförmåga för att stagaen pelare, de behöver också ha tillräcklig styvhet. Detta har senare utvecklats i regler fördimensionering och har främst blivit fördjupat i Joseph. A Yuras publikationer om stabilitet,ex ”bracing for stability” [3]. De publikationer som gjorts i ämnet har oftast handlat omstålkonstruktioner och har inte varit lika omfattande när det kommer till träkonstruktioner.

Pelare som utsätts för tryck kommer att behöva stabiliseras för att inte böja ut oönskat mycketi sidled. Knäckning av pelare beräknas vanligtvis med Eulers knäckningslast. Vid Eulersknäckningslast blir pelaren instabil och knäcker oberoende av om stödens styvhet ökas. Mendå styvheten är för låg i toppstödet kommer pelartoppen att vara eftergivlig och pelaren blirinstabil vid en lägre last, enligt Yura [3]. Även fjäderkraften i stöden kommer att varieraberoende på fjäderstyvheten, men fjäderkraften beror även av imperfektioner så som pelarenssnedställning och krokighet.

Vid dimensionering av konstruktioner är det sällan den korrekta styvheten i stöden används iberäkningarna. Det är därför av intresse att få en uppskattning av hur stor inverkan detta harpå stabiliteten och om det gör en utmärkande skillnad för en hel struktur.

1.2 SyfteSyftet med examensarbetet är att besvara hur stagningar och deras styvhet inverkar påtryckbelastade pelares stabilitet. Hur inverkar imperfektioner så som snedställning ochinitialkrokighet på pelarnas knäckningslaster och stagningarnas fjäderkrafter?

Hur väl stämmer teorin för tryckbelastade pelares knäckningslaster och fjäderkrafter medverkligheten? Vad ska man tänka på för att få ett så riktigt resultat som möjligt när manjämför teori med praktiska provningar?

När man dimensionerar bärverk för stabilitet antar man ofta att infästningar och stöd antingenär fullt ledade eller fast inspända. Hur påverkas en konstruktions stabilitet om infästningarnaskorrekta styvheter används vid dimensioneringen?

1.3 MetodStabiliteten kommer att undersökas analytiskt i kapitel 2 där påverkan av imperfektioner ochstyvheten i stöden beaktas. Detta för att ge en förståelse för knäckningslaster innan och dåEulers knäckningslast är uppnådd. Pelarna kommer att modelleras i ett finita elementprogrammed balkelement som stabiliseras av fjädrar.

FEM-programmet som används i examensarbetet har utvecklats av företaget StructuralDesign Software in Europe AB (Strusoft). Programmet är uppbyggt av 3D Plate, 3D Structure,Plane Strain, Plate, Pre Design, Reinforcement och Wall. 3D Structure används till avanceradfinita element analys och dimensionering av betong-, stål- och träkonstruktioner. Programmet

2

innehåller CAD-verktyg som gör det enkelt att använda de förinställda elementen så somplattor, väggar, pelare och balkar. Det gör det möjligt att analysera enstaka element eller helakonstruktioner. Det går bland annat att lösa statiska analyser och globala stabilitetsproblem,vilket kommer att vara användbart till detta examensarbete.

Det kommer att göras försök med tryckbelastade träpelare som stabiliseras av stöd i form avtryckfjädrar med varierande styvhet för att avgöra hur väl teorin stämmer överens medverkligheten.

I examensarbetet kommer en utredning göras av ett takras från vintern 2009/2010 med fokuspå hur anslutningarnas styvhet inverkar på stabiliteten i konstruktionen.

1.4 AvgränsningarDe beräkningar som redovisas i analysen kommer att göras med hänsyn till stabilitet ochdärför kommer andra hållfasthetsberäkningar vara mindre ingående i rapporten.

De delar av byggnaden som undersöks för takraset är de komponenter som ingår i ramarna,deras stabiliserande anslutningar sätts in som fjädrar med beräknad styvhet. Det ger en bättrebild av hur anslutningarnas styvheter inverkar på varje ram, eftersom de då enklare kanjämföras med samma ram med fullt ledade eller fast inspända anslutningar. Det som främstkontrolleras är om instabilitetsbrott är en trolig orsak till ras.

I examensarbetet kommer enbart stabilitet för pelare av trä att utredas, det vill säga att pelareav andra material inte kommer att undersökas, även om teorin är anpassningsbar på dem.

3

2 StabilitetsteoriDetta kapitel kommer att behandla pelare som är utsatta för tryckande normalkraft. Normaltkommer ett belastat element att deformeras i belastningsriktningen, men vid instabilitetsbrottkommer elementet istället att deformeras vinkelrätt belastningen. Detta beror på olikajämviktslägen som uppstår på grund av små avvikelser i form av krokighet. Då en stagadpelare belastas så kommer instabiliteten att vara beroende av lastens storlek och placering,pelarens styvhet och pelarens stagning.

Ett standardtvärsnitt kommer att väljas för samtliga exempel i teorikapitlet, se tabell 1.

Tabell 1 - Standardtvärsnitt som tillämpas i teorikapitlet

StandardtvärsnittLängd 6meterHållfasthetsklass C24E-modul 11GPaTröghetsmoment 2.85 ∙ 10 m

2.1 Vanliga begrepp

KnäckningEn pelare som belastas med tryck kommer att utsättas för tryckspänningar till dess att pelarenblir instabil och får en kraftig böjdeformation ut i sidled genom så kallad knäckning.Imperfektioner i pelaren och initiala imperfektioner i uppställningen gör att pelaren kommeratt ge horisontella krafter på stöden och börjar sakta böjdeformeras innan den knäcker. Enteoretiskt helt rak pelare kommer bara att deformeras i sin längdriktning. Den kommer varkenatt ge några horisontella krafter eller böjdeformeras innan den knäcker.

Fjäderstyvhet ( / )Fjäderstyvheten för ett element är ett mått på den kraft som behövs för att det skalldeformeras en viss längd. Exempelvis en tryckfjäder som trycks ihop en bestämd sträcka ∆vid en specifik kraft enligt =

∆.

Fjäderkraft ( )För exempelvis en stagad pelartopp uppkommer en fjäderkraft i stödet när det motarbetardeformation i stödet. Detta för att begränsa pelartoppens utböjning vid stödet och erhållaönskad kapacitet för pelaren. Fjäderkraften beror på vilken fjäderstyvhet som finns i stödet tillpelartoppen samt dess utböjning. Med en jämviktsekvation kan detta förklaras då utböjningen∆ multiplicerat med styvheten är ekvivalent med fjäderkraften, = ∙ ∆. För att begränsadeformationen i stödet krävs alltså en tillräckligt hög fjäderstyvhet för att motarbeta kraften.

Eulers knäckningslast ( )Vid knäckning beaktas ofta Eulers knäckningslast, vilket är ett maximalt värde påtryckbelastningen som kan påföras ett element innan det knäcks, oberoende av omfjäderstyvheten i de stabiliserande stöden ökas.

4

2.2 Eulers knäckningslastVanligtvis förenklas stagningen i en pelare till antingen inspänd eller ledad, med oändligstyvhet i de transversella riktningarna. De grundläggande knäckningsfall enligt Euler somuppstår för ett centriskt tryckbelastat element beskrivs generellt enligt ekvation 2.1.

=∙

( ) ( . )

Där

beskriver elementets styvhet

l beskriver knäcklängden

Det finns fyra renodlade knäckningsfall enligt figur 1.

Figur 1 – Eulers knäckningsfall

Knäckningsfallen kan härledas enligt Timoschenko [4], vilket visas i bilaga 2.

Dessa fyra knäckfall gäller då styvheten i stöden är större än den ideala styvheten, vilkenbeskrivs i ekvation 2.3 och figur 4.

2.3Nedan följer

2.3Pelaren är∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällerI figur 3 representeras samma pelare med längodtycklig styvhetförhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelarenstigningen fram till Eulerlasten fram till det som är Eulers knäck

∆

2.3 FjäderstyvhetenNedan följer

3.1Pelaren är∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


är utböjningen i

FjäderstyvhetenNedan följer

.1 Ledat iPelaren är∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


är utböjningen i

Figur

FjäderstyvhetenNedan följer

Ledat iPelaren är∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


är utböjningen i

Figur

FjäderstyvhetenNedan följer exempel på

Ledat infästPelaren är ledat infäst∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


är utböjningen i

Figur 2

Fjäderstyvhetenexempel på

nfästledat infäst

∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


är utböjningen i

2 - Extremfall för pelarens utböjningsform vid variation av styvhet i toppstödet


nfästledat infäst



är utböjningen i stödet

Extremfall för pelarens utböjningsform vid variation av styvhet i toppstödet


pelareledat infäst


För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällerI figur 3 representeras samma pelare med längodtycklig styvhetvarierarförhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelarenstigningen fram till Eulerlasten fram till det som är Eulers knäck

stödet


Fjäderstyvhetens inverkanexempel på

pelareledat infäst i topp


För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällerI figur 3 representeras samma pelare med län

varierarförhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelarenstigningen fram till Eulerlasten fram till det som är Eulers knäck

stödet


Figur

s inverkanexempel på hur

pelarei topp



varierarförhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelarenstigningen fram till Eulers knäckningslast visar hurlasten fram till det som är Eulers knäck

stödet vid påförd


Figur

s inverkanhur knäckningslaster uppkommer

i toppen∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


varierar momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.förhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelaren

s knäckningslast visar hurlasten fram till det som är Eulers knäck

vid påförd


Figur

s inverkanknäckningslaster uppkommer

en och i botten. Om styvheten varieras∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i


momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.förhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelaren


vid påförd


Figur 3 -

s inverkanknäckningslaster uppkommer

och i botten. Om styvheten varieras∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har nstödet i toppen bara kan röra sig i vertikalled




vid påförd


- Uppställning för jämvikt i tryckbelastad pelare

i pelarstödknäckningslaster uppkommer

och i botten. Om styvheten varieras∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har n

vertikalled




belastning


Uppställning för jämvikt i tryckbelastad pelare



vertikalled



s knäckningslast visar hurlasten fram till det som är Eulers knäcknings

belastning





vertikalled



s knäckningslast visar hurnings

∆

belastning



5



vertikalled, det vill säga



s knäckningslast visar hurningslast.

∆=

belastning



5



, det vill säga

→

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällerI figur 3 representeras samma pelare med längden


s knäckningslast visar hurlast.

∆


∆


l

knäckningslaster uppkommer


, det vill säga

→

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällergden


s knäckningslast visar hur


∆


l



, det vill säga

→

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gällergden


s knäckningslast visar hur





, det vill säga

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gälleroch stödet med styvheten


varierar ekvivalent med den kritiska



l

knäckningslaster uppkommer då styvheten varieras i stöden


, det vill säga ∆=

För fallet med en ledad pelare i toppen och i botten gälleroch stödet med styvheten





då styvheten varieras i stöden

och i botten. Om styvheten varieras∞ kommer pelaren variera mellan fallet där pelaren inte har något stöd i toppen och fallet där

= 0

Eulers knäckoch stödet med styvheten





∆


och i botten. Om styvheten varierasågot stöd i toppen och fallet där0, se figur


momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.förhållandet mellan kritisk last och fjäderstyvhet när pelaren i figur 3




∆


och i botten. Om styvheten varieras i toppstödetågot stöd i toppen och fallet där

, se figur


momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.i figur 3





i toppstödetågot stöd i toppen och fallet där

, se figur


momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.i figur 3




l



, se figur 2.

Eulers knäckningsoch stödet med styvheten

momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.i figur 3 belastas






.

ningsoch stödet med styvheten

momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2.belastas






ningslastoch stödet med styvheten

momentjämvikten enligt jämviktsekvationen 2.2. Ibelastas





i toppstödet mellan 0 ochågot stöd i toppen och fallet där

lastoch stödet med styvheten

figur 4belastas. D




mellan 0 ochågot stöd i toppen och fallet där

lastoch stödet med styvheten .

figur 4. Den linjära





=. För en

figur 4en linjära



då styvheten varieras i stöden.


∙

För envisas

en linjäravarierar ekvivalent med den kritiska

(2.



∙ .För en

visasen linjära


.2)


.För en

visasen linjära


6

Värdet på den styvhet som precis motsvarar Eulers knäckningslast kallas ideal styvhet . Ivårt fall ligger den ideala styvhetennära 15 kN/m, se figur 4.

= (2.3)

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Kriti

skla

stPc

r(kN

)

Fjäderstyvhet i stödet K (kN/m)

Figur 4 - Knäckningslast för en ledad pelare enligt tabell 1 med en varierande styvhet i toppstödet

7

/2

/2

/2

2.4 Inverkan av ett eller flera mittstödFöljande visar hur styvheten i pelarstöden inverkar på pelare som har stöd med varierandestyvhet på mitten och fullt stagade leder i toppen och i botten. Stöden i exemplen kommer attvara jämt fördelade över pelarens längd.

2.4.1 Ledad pelare med ett mittstödDetta fall börjar med att pelaren har en led i mitten utan någon styvhet och ser därför precis utsom den ledade pelaren i exemplet i avsnitt 2.3 med utknäckning i en halv sinuskurva se figur5a. Då styvheten ökar i mittstödet kommer knäckningsmoden tillslut att motsvara fallet därpelaren knäcker ut runt mittstödet i en hel sinuskurva se figur 5b. Det kommer se ut som tvåpelare utan mittstöd ovanpå varandra och kommer behöva knäckas ut i en utböjningsform som

motsvarar halva pelaren för att nå Eulers knäckningslast, vilket ger värdet = ∙

( ) .

→a) b)

Med en momentjämviktsekvation kan den ideala styvheten i mittstödet beräknas enligtWinter [13], se figur 6. Winter antar en led på pelarens mitt, vilket ger en enklare beräkningsom är mycket nära verkliga fallet då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva.

Då pelaren belastas med Eulers knäckningslast antas att pelaren böjer ut sträckan ∆ vidmittleden. Ett moment kring mittleden ger då förhållandet enligt ekvation 2.4 och den idealastyvheten enligt ekvation 2.5.

∆=2∙

2=

∆2∙

2(2.4)

=4 ∙

(2.5)

Figur 5 - Extremfall för utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i mittstödet

Figur 6 - Uppställning av jämvikt för en ledad pelare med ett mittstöd

/2

/2

/2

/2

∆

∆

8

2.4.2 Ledad pelare med två mittstödPelaren har två mittstöd som ger tre fält med samma längd, se figur 7b. Pelaren kommerenbart kunna röra sig vertikalt i toppen. Mittstöden kommer at ha samma styvhet som ökarlika mycket då knäckningslasten utreds för pelaren. Utan styvhet i mittstöden kommerutböjningsmoden motsvara den ledade pelaren i avsnitt 2.3.1, alltså knäckningslasten

= ∙ , se figur 7a. Då styvheten är tillräckligt stor så att Eulers knäckningslast uppnås,vilket motsvarar fallet i figur 7b, kommer utböjning ske i tre halvsinuskurvor. För att pelarenska knäcka ut i denna utböjningsmod måste lasten motsvara en last som knäcker en ledad

pelare med en tredjedels längd . Detta ger Eulers knäckningslast = ∙

( ) och m.h.a en

jämviktsekvation ges den ideala styvheten = ∙ .

→

a) b)

2.4.3 Pelare med 3 eller fler mittstöd

→ →

Pelarna är ledade i toppen och i botten med tre eller fler mittstöd med samma styvhet ochcentrumavstånd mellan stöden. Deras utböjningsmoder varierar mellan extremfallen för

Figur 7 - Extremfall av utböjningsform för en ledad pelare med varierande styvhet i två mittstöd

Figur 8 - Extremfall för utböjningsform för varierande styvhet i tre och fyra mittstöd

l

l

/4/4/4/4

/3

/3/3

/5/5/5/5/5

∆

∆∆

knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenska böjas mellan varje stöd, seut i ett antal halva sinuskurvor. P

knäckningslast

bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]beräknat vär

TabellTimoschenko [4]

Antal mittstöd

I figurdetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 ochde tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.


knäckningslast


TabellTimoschenko [4]

Antal mittstöd

figurdetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 ochde tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.


knäckningslast


Tabell 2Timoschenko [4]

Antal mittstöd

figur 9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 ochde tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.


knäckningslast


2 -Timoschenko [4]

Antal mittstöd

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 ochde tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.


knäckningslast

bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]beräknat värdena i tabell 2

Ideal styvhet i stöd för pelare med flera mittstödTimoschenko [4]

Antal mittstöd

Figur

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 ochde tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.

Kriti

ska

last

enPc

r(kN

)


knäckningslaster för pelare med tre och fyra mittstöd

bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]dena i tabell 2


Antal mittstöd

Figur

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommermellan 0 och ∞,de tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.

1000

1500

2000

2500

Kriti

ska

last

enPc

r(kN

)


er för pelare med tre och fyra mittstöd



Figur 9

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärtpelare med 4 mittstöd kommer

, se utböjningsformernade tryckbelastade pelarna kommer attpelaren böjer ut i.

0

500

1000

1500

2000

2500




Ideal styvhet i stöd för pelare med flera mittstöd

3

13.65

9 -


se utböjningsformernade tryckbelastade pelarna kommer att

0

500

1000

1500

2000

2500

0





3

13.65

Knäckningslast



040

0



bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]dena i tabell 2,


13.65

Knäckningslast

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visarkommer att variera linjärt mellan de olikapelare med 4 mittstöd kommer


400

850



bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]enligt ekvation


Knäckningslast

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visar

mellan de olikapelare med 4 mittstöd kommer


850

1250

knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenska böjas mellan varje stöd, se figur 8ut i ett antal halva sinuskurvor. P




18.12

Knäckningslast

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikadetta kapitel. Diagrammet visar förhållande

mellan de olikapelare med 4 mittstöd kommer 5


1250

1700

Fjäderstyvheten i stöden K (kN/m)

knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenfigur 8

ut i ett antal halva sinuskurvor. P




4

18.12

Knäckningslast

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikaförhållande

mellan de olika5 olika utböjningsformer att uppkomma då


1700

2150


knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenfigur 8

ut i ett antal halva sinuskurvor. På s




4

18.12

Knäckningslaster för pelare


mellan de olikaolika utböjningsformer att uppkomma då


2150

2600


knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenfigur 8. Då

å samma sätt som




er för pelare


mellan de olikaolika utböjningsformer att uppkomma då

se utböjningsformerna i figur 9de tryckbelastade pelarna kommer att vara de

2600

3050


knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelaren. Då styvhetenamma sätt som


bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]enligt ekvation 2.6.

=


er för pelare


mellan de olika utböjningsformolika utböjningsformer att uppkomma då

i figur 9vara de

3050

3450


9

knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenstyvheten

amma sätt som


bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]2.6.

=


er för pelare

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikaförhållandet mellan

utböjningsformolika utböjningsformer att uppkomma då

i figur 9vara de

3450

3900


9


amma sätt som


bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]2.6.

∙


5

22.39

er för pelare

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikamellan


i figur 9.vara desamma som antalet halva sinuskurvor som

3900

4350



amma sätt som


bestämma ideal styvhet i stöd för pelare med fler mittstöd än tre har Timoschenko [4]


5

22.39

enligt tabell 1

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikamellan


. Detta visar attsamma som antalet halva sinuskurvor som

4350

4800


knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenstyvheten är tillräckligt stor kommer pelaren böja

amma sätt som




22.39

enligt tabell 1

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikamellan knäcknings


Detta visar attsamma som antalet halva sinuskurvor som

4800

5250


knäckning, då ingen styvhet finns i stöden och då styvheten är tillräckligt stor för att pelarenär tillräckligt stor kommer pelaren böja

amma sätt som i

er för pelare med tre och fyra mittstöd till



enligt tabell 1

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olikaknäcknings



5250

5700


tidigare exempel

till



enligt tabell 1

9 visas knäckningslasterna för pelarna med olika antal mittstöd, vilka har beskrivits iknäcknings

utböjningsformer som pelarna kanolika utböjningsformer att uppkomma då


6150

6550


tidigare exempel

=


Ideal styvhet i stöd för pelare med flera mittstöd då spannen är lika långa

26.62

enligt tabell 1 med flera mittstöd

antal mittstöd, vilka har beskrivits iknäcknings

er som pelarna kanolika utböjningsformer att uppkomma då


6550


tidigare exempel

=


då spannen är lika långa

6

26.62

med flera mittstöd

antal mittstöd, vilka har beskrivits iknäckningslast och styvhet. Förhållandet


Detta visar att antalet utböjningsformersamma som antalet halva sinuskurvor som


tidigare exempel



26.62

med flera mittstöd

antal mittstöd, vilka har beskrivits ilast och styvhet. Förhållandet


antalet utböjningsformersamma som antalet halva sinuskurvor som


tidigare exempel

och



med flera mittstöd





tidigare exempel

och



med flera mittstöd




1 mittstödPe=343.99 kN





tidigare exempel

och



34.88

med flera mittstöd


er som pelarna kanolika utböjningsformer att uppkomma då styvheten varieras







ger detta

=



8

34.88

med flera mittstöd


er som pelarna kan böja ut istyvheten varieras







ger detta

=



34.88

med flera mittstöd


böja ut istyvheten varieras


Pe=343.99 kN

Pe=773.98 kN

Pe=1375.96 kN

Pe=2149.93 kN


ger detta

.




böja ut istyvheten varieras



ger detta E

. För att




böja ut i. Fstyvheten varieras



Euler

För att


(2.

enligt

43.14


. För enstyvheten varieras

antalet utböjningsformer församma som antalet halva sinuskurvor som


ulers

För att


.6)

enligt

10

43.14


ör enstyvheten varieras

församma som antalet halva sinuskurvor som


s

För att


enligt

0

43.14


ör en

församma som antalet halva sinuskurvor som

2.5

Pelaren kommerstyvhetFigur 10a visar hur10bvertikalled, men

Figurtoppstödet

I FEMmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställasknäckningslast. Ioändligt stor styvhetdetta

Figurtopps

2.5 Fast inspänd pelare

Pelaren kommerstyvhet

igur 10a visar hur10b visarvertikalled, men

Figurtoppstödet

FEMmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställasknäckningslast. Ioändligt stor styvhetdetta

Figurtopps

Fast inspänd pelare

Pelaren kommerstyvhet.

igur 10a visar hurvisar

vertikalled, men

Figur 11toppstödet

FEM-design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställasknäckningslast. Ioändligt stor styvhetdetta knäck

Figur 10toppstöd


Pelaren kommer. Di

igur 10a visar hurvisar knäckning för

vertikalled, men

11 - Knäcktoppstödet

design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställasknäckningslast. Ioändligt stor styvhet

knäck

10 - Extremfall för utböjningsform förtödet


Pelaren kommerDiagrammet i figur 11 visar

igur 10a visar hurknäckning för

vertikalled, men

Knäck


knäckfall borde värdet bli

Extremfall för utböjningsform för


Pelaren kommergrammet i figur 11 visar


vertikalled, men

Knäck


fall borde värdet bli



Pelaren kommer attgrammet i figur 11 visar


vertikalled, men förhindrad att röra sig horisontellt i toppen.

Knäcknings

design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställasknäckningslast. I figur 11oändligt stor styvhet




att ha en fast inspänning i botten ochgrammet i figur 11 visar

igur 10a visar hur knäckning ser ut för enknäckning för

förhindrad att röra sig horisontellt i toppen.

nings

design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställas

figur 11oändligt stor styvhet för att nå upp


Kriti

skla

stPc

r(kN

)



ha en fast inspänning i botten ochgrammet i figur 11 visar

knäckning ser ut för enknäckning för


ningslast för en fast inspänd pelare


figur 11för att nå upp


20

40

60

80

100

120

140

160

180

Kriti

skla

stPc

r(kN

)



a)


knäckning ser ut för enknäckning för en fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i


last för en fast inspänd pelare


figur 11 visasför att nå upp


0

20

40

60

80

100

120

140

160

180


a)


knäckning ser ut för enen fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i




visasför att nå upp


0







visas hur denför att nå upp


5







hur denför att nå upp till

10







hur dentill Eulers knäckningslast

=(

10 15


ha en fast inspänning i botten ochknäckningslast





hur den fastEulers knäckningslast

(0.

15 20


l

→


knäckning ser ut för en fast inspänd pelare utan något stöd i toppenen fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i




fastEulers knäckningslast

∙699

20 25

Fjäderstyvhet K (kN/m)


10

→


fast inspänd pelare utan något stöd i toppenen fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i




fast inspändaEulers knäckningslast

699 )

25 30


Extremfall för utböjningsform för en

10

→






inspändaEulers knäckningslast

)=

30


en fast inspänd p

∆

b)




last för en fast inspänd pelare enligt tabell 1


inspändaEulers knäckningslast

= 175

35


fast inspänd p

∆

b)

ha en fast inspänning i botten ochknäckningslasten beroende av styvhet



enligt tabell 1


inspända pelaren i figur 10Eulers knäckningslast

175

40


fast inspänd p

ha en fast inspänning i botten och ett ledat stöd ien beroende av styvhet



enligt tabell 1


pelaren i figur 10Eulers knäckningslast

175.9

45


fast inspänd p

l

ett ledat stöd ien beroende av styvhet



enligt tabell 1


pelaren i figur 10Eulers knäckningslast.

50


fast inspänd p




enligt tabell 1


pelaren i figur 10. Enligt Eulers knäckningslast för

50 55

fast inspänd pelare med varierande styvhet i



enligt tabell 1 med varierande styvhet i


pelaren i figur 10Enligt Eulers knäckningslast för

55 60

elare med varierande styvhet i



med varierande styvhet i



60 65


ett ledat stöd i toppenen beroende av styvhet





65 70


toppenen beroende av styvhet



design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurmycket stödets fjäderstyvhet ökades kunde inte en ideal styvhet fastställas till

saktaEnligt Eulers knäckningslast för

70


toppenen beroende av styvhet



design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurtill

saktaEnligt Eulers knäckningslast för


toppen med varierandeen beroende av styvheten i



design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurEulers

sakta går mot enEnligt Eulers knäckningslast för


med varierandeen i



design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurEulersgår mot en

Enligt Eulers knäckningslast för


med varierandetoppstödet.



design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hurEulersgår mot en




fast inspänd pelare utan något stöd i toppen. Fien fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i


design belastades en fast inspänd pelare med ett fjäderstöd i toppen. Oavsett hur

går mot enEnligt Eulers knäckningslast för



. Figuren fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i


går mot enEnligt Eulers knäckningslast för



guren fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i



guren fast inspänd pelare med en led i toppen som kan röra sig fritt i

11

Värdet stämmer bra då kurvan går mot en platå, men den ideala styvheten kommer att nåsförst när den är oändligt stor, se Yura [3].

2.6 Inverkan av snedställningDå en pelare belastas med en tryckande normalkraft kommer pelaren teoretiskt tryckas ihop isin längdriktning till dess att knäckningslasten är uppnådd och den böjs då ut genomknäckning. Detta är inte ett verkligt fall då pelare alltid har en viss imperfektion så somsnedställning. Nedan visas hur snedställning inverkar på pelaren och dess stöd.

2.6.1 Pelare med snedställning

Figur 12 visar samma exempel som i avsnitt 2.3.1 med skillnaden att det är en snedställning∆0 i toppen, vilket ger upphov till fjäderkraften . Salmon och Johnson [14] visar med hjälpav momentjämvikt enligt ekvation 2.7 vilken styvhet som krävs i toppstödet för en snedställdpelare, se ekvation 2.8

∆ = (∆ − ∆ )(2.7)

Där

∆ är den initiella snedställningen

∆ är utböjningen som uppkommer vid last

∆ = ∆ + ∆

Den ideala styvheten är som bekant

=

Med hjälp av ovanstående ekvationer beräknas den teoretiskt tillräckliga styvheten enligtekvation 2.8

= (1 +∆∆

)(2.8)

∆

Figur 12 - Utböjningsform för pelare med snedställning ∆

∆

12

0102030405060708090

100

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17

Kriti

skla

stPc

r(kN

)

Fjäderstyvhet i stöd K (kN/m)

02468

1012141618

5 25 45 65 85

Fjäd

erkr

afti

stöd

F(k

N)

Last P (kN)

L/100

L/200

L/300

0

200

400

600

800

1000

1200

0 20 40 60 80 100

Utb

öjni

ng(m

m)

Last P (kN)

L/100

L/200

L/300

Likaså

= (∆ + ∆ )(2.9)

Fjäderkraften kommer att variera beroende på hur styvt upplaget är, på grund av den ökandekraften som behövs för att undvika en för stor utböjning. I figur 13 visas hur fjäderkraften itoppstödet förhåller sig till lasten då styvheten hålls konstant som den ideala fjäderstyvheten.Detta visar att fjäderkraften kommer att öka mot oändligheten då lasten närmar sig denkritiska lasten. Utböjningen varierar ekvivalent med fjäderkraften enligt∆= , se figur 14,vilket visar orealistiskt stora utböjningar då lasten närmar sig knäckningslasten.Knäckningslasten i figur 15 är densamma som för en pelare utan snedställning.

Figur 15 - Knäckningslast för en ledat snedställd pelare enligt tabell 1

Figur 13 - Fjäderkrafter i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter

Figur 14 - Utböjning i stöd för en ledad pelare enligt tabell 1 med olika snedställningar L=6 meter

13

2.6.2 Minskning av fjäderkraftFör att inte fjäderkraften ska bli för stor i ett stöd är det viktigt att ha i beaktande att den idealafjäderstyvheten ger en fjäderkraft som går mot oändligheten vid Eulers knäckningslast. Därförbör fjäderstyvheten väljas större än den som motsvarar ideal fjäderstyvhet (Yura [3]). Ettrimligt antagande enligt Yura [3] är att öka den ideala styvheten till det dubbla värdet.I figur 16 visas fjäderkraften i toppstödet för pelaren i figur 12. Pelaren belastas upp till Eulersknäckningslast då toppstödet har ideal styvhet och då den ideala styvheten har det dubblavärdet.

Figur 16 - L/100=6 cm snedställd ledad pelare enligt tabell 1 med ideal styvhet 15 kN/m i stöd.Fjäderkraften hålls nere med antagandet att dubblera fjäderstyvheten till 30 kN/m.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

5 25 45 65 85

Fjäd

erkr

afti

stöd

F(k

N)

Last P (kN)

K=30

K=15

14

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

0 20 40 60 80 100

Fjäd

erka

ft(k

N)

Last P (kN)

L/200

L/300

2.7 Inverkan av initialkrokighetEn vanlig imperfektion för pelare är att pelaren är något krökt när den monteras. Dettainverkar på pelarens beteende, då den vill deformeras mer vid belastning.

2.7.1 Pelare med initialkrokighet

En pelare med initialkrokighet enligt figur 17 kommer vid en tryckande normalkraft att fåsamma Euler knäckninglast som den raka ledade pelaren i avsnitt 2.3.1. Skillnaden somuppkommer är fjäderkraften i stöden och att utböjningen i pelarens mitt ökar.

Till skillnad från pelaren med initial snedställning i avsnitt 2.6 kommer krafterna i toppstödetbli mycket mindre då lasten närmar sig Eulers knäckningslast. Den intitialkrokiga pelaren böjsut på mitten utan att några större horisontella krafter verkar i toppstödet. I figur 18 visasfjäderkrafterna efter analys i FEM-design för pelaren i figur 17. Fjäderkrafterna är mycketsmå innan pelaren når Eulers knäckningslast. Analysen av pelare med krokighet =L/100kunde inte visas i diagrammet eftersom den får en omedelbart för stor utböjning och pelarenkollapsar direkt vid belastning.

För en krokighet på L/200 är fjäderkraften 1 kN då knäckningslasten uppnås vilket ger enutböjning i toppstödet på 1/15 meter då styvheten är 15 kN/m. Enligt figur 19 är utböjningen imitten 2.5 meter vid samma last, vilket är orimligt mycket för en 6 meter lång pelare.Utböjningen ökar snabbt nära Eulers knäckningslast och pelaren kommer därför att kollapsaav den stora utböjningen.

Figur 18 - Fjäderkraft vid ideal styvhet i toppstödet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 medolika initiella krokigheter, L=6 meter

Figur 17 - Utböjningsform för en initialkrokig pelare

∆

15

Figur 19 - Utböjning i mitten vid ideal styvhet för ledat infästa pelare enligt tabell 1 med olikainitiella krokigheter, L=6 meter

2.8 Inverkan av lastexcentricitet

När en pelare belastas excentriskt enligt figur 20 kommer detta att ge upphov till ett moment ipelaren. Momentet vill skapa en utböjning av pelaren gentemot en centriskt belastad pelare,som teoretiskt enbart trycks ihop i sin längdriktning. Excentrisk belastning påverkar inteknäckningslasten men gör stor skillnad för utböjningen enligt figur 21. Den ger upphov tillfjäderkraft i pelarens upplag, se figur 22. Likt den initiellt krokiga pelaren blir fjäderkrafteninte så stor, men den kommer att öka markant när lasten närmar sig Eulers knäckningslast.

0

500

1000

1500

2000

2500

3000

0 20 40 60 80 100

Utb

öjni

ng(m

m)

Last P (kN)

L/200

L/300

∆

1 − 1

Figur 20 - Utböjningsform för en excentriskt belastad pelare

rr

1

16

Figur 21 - Utböjning i pelarens mitt för en ledad pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där rrepresenterar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet

Figur 22 - Fjäderkraft för en ledat infäst pelare enligt tabell 1 med excentrisk last, där rrepresenterar avståndet till tvärsnittets mitt när den ideala styvheten används i toppstödet

Lasterna är förhållandevis låga i stödet trots den stora utböjning som momentet ger upphovtill i pelaren. På samma sätt som för en initialkrokig pelare kommer kraften inte verka ihorisontalled utan istället vridas kring stöden och böja ut pelaren i mitten.

2.9 RamarEulers knäckningslast kan överföras på ett system med pelare och balkar då komponenterna ärberoende av varandra för att stabilisera systemet. Nedan visas ett enklare exempel på hurlasten kan beräknas, för vilken ett system blir instabilt och knäcker.

Ramen består av två pelare som sammankopplas med en balk mellan pelarnas toppar. De tvånedre pelarstöden är fullt ledade, medan balken är ihopkopplad med pelarna medmomentstyva kopplingar, se figur 23.

0100200300400500600700800900

1000

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Utb

öjni

ng(m

m)

Last P (kN)

i kant

1/4r från kant

1/2r från kant

3/4r från kant

0

0.001

0.002

0.003

0.004

0.005

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

Fjäd

erkr

aftF

(kN

)

Last P (kN)

i kant

1/4r frånkant1/2r frånkant3/4r frånkant

rr

1

1-1

1

rr

1-1

17

Figur 23 – Utböjningsform för tryckbelastade pelare i ram

Den kritiska lasten för ramen kan beräknas med hjälp av differentialekvationer i balkteoretiskberäkning enligt Timoschenko [4].

= − (2.10)

För att uppfylla kraven för pelarens nedre infästning används ekvationen

= (2.11)

För att vinklarna i övre sammankopplingen av pelarna till balken ska vara desamma och dåpelarna belastas med samma last i toppen blir kraven i pelartopp

( ) =6

( ) (2.12)

Detta ger enligt pelarens nedre infästning

=

6(2.13)

Om balken antas helt stel = ∞ och vi ställer upp

cos = 0 → =2(2.14)

Så blir det kritiska värdet

=4

(2.15)

Detta ger alltså samma värde på Eulers knäckningslast som en pelare med momentstyvinfästning i botten och utan stöd i toppen. Detta beror på att ramen får samma egenskaper

EI

EIbalk

EI

x y

18

eftersom balken kan ses som pelarnas momentstyva infästningar. Pelarna får alltså ettvridmoment runt deras topp medan de är fria att rotera i botten.

I verkliga ramar är det svårt att uppnå momentstyva hörn. I figur 24 visas ett diagram förramen då den vid belastning har en rotationsstyvhet med värdet och med antagandet attbalken är helt styv. Kritisk last för ramen då pelarna är samma som standardtvärsnittet är21.5 enligt ekvation 2.15. Den ideala rotationsstyvheten går mot ett platåvärde, men då

= 30 / är den kritiska lasten 20.5 , alltså 1 från Eulers knäckningslast.

Figur 24 – Kritisk last för ram med två pelare enligt tabell 1 och en stel balk, rotationsstyvhet i ramhörn

0

5

10

15

20

25

0 20 40 60 80 100 120

Kriti

skla

stPc

r(kN

)

Rotationsstyvhet Kr (kNm/deg)

19

2.10 Styvhet hos anslutningarTidigare i avsnitt 2 beaktades upplagens styvhet för att beräkna pelares knäckningslaster. Detär också av intresse att beräkna andra komponenters styvheter för att veta deras egenskap attdeformeras. Nedan följer exempel på hur styvheten beräknas för ett enskilt element och dessanslutningar, samt hur de samverkar då de är sammankopplade.

2.10.1 Styvhet för en balkEn balk som belastas av tryckande normalkraft kommer att behöva en viss styvhet för att varastabil i samma riktning. Denna stångstyvhet beräknas enligt ekvation 2.16, Gustafsson [2]

= (2.16)

Exempel 1:

Beräkna fjäderstyvheten för en takås med följande egenskaper

E=11 GPa

A=45x195mm

L=6m

Enligt formeln beräknas fjäderstyvheten för takåsen till

=11 ∙ 10 ∙ 0.045 ∙ 0.195

6= 16087.5 /

2.10.2 Styvhet hos ett spikförbandStyvheten för ett spikförband kan beräknas enligt Traekonstruktioner Förbindelser [5]

= ∙ (2.17)

Där

n är antalet spikar

F är bärförmåga vid tvärkraft per spik

u är deformationen i förbandet

Exempel 2:

Beräkna fjäderstyvheten för ett åsbeslag som är fäst i en takås med 6 ankarspik på var sida.Spikarnas dimension är 4.0x60mm och de har en skjuvkapacitet med karakteristiskt värde på2 kN.

20

Infästningens styvhet är främst beroende av spikarnas beteende. Styvheten kan då beräknasenligt

= ∙

Vid glidning uppskattas den verkande tvärkraften till 40 % av maximal last, vilket är en rimliguppskattning (Per-Johan Gustavsson Byggnadsmekanik LTH)

Deformationen vid = 0.4 avläses ur diagram i Traekonstruktioner Förbindelser [5] till

0.6mm

= ∙ = 12 ∙0.4 ∙ 20.0006

= 16000 /

Exempel 3:

Beräkna styvheten för en sammankoppling av takåsen i exempel 1 mellan två styva takbalkarmed infästningar enligt exempel 2.

För att beräkna den totala styvheten av sammankopplingen kan en inversberäkning användasenligt

1=

1+

1+

1(2.18)

, är styvheten för takåsens infästningar

är takåsens styvhet

Om takåsen och infästningen från exemplen ovan används så kan det totala styvhetsbidragetfrån takåsen och dess infästningar mellan takbalkarna i transversell riktning beräknas till

= = 16000kN/m

= 16087.5kN/m

→ = 5343.02 kN/m

Den totala styvheten för en balk och dess infästningar är alltså mycket lägre än styvheterna förbalken och infästningarna var för sig. Detta är bra att ha i åtanke då deformationen ofta är ettresultat av flera sammankopplade element.

21

3 Laboration

3.1 SyfteSyftet med provningarna är att undersöka hur fjäderstyvheten i pelares stöd inverkar påstabiliteten, hur detta påverkar utböjningsmoden och hur fjäderkraften varierar vid de olikastyvheterna. Provningarna kommer att ta hänsyn till hur imperfektion av snedställninginverkar på stagen, då främst hur detta inverkar på stagkrafterna.

En utvärdering kommer att göras för hur utböjningsformer och knäckningslaster vidprovningarna stämmer överens med teorin för en tryckbelastad pelare. Provningarna kommeratt genomföras för två provuppställningar. Den ena då pelarna är ledade i botten och stagademed tryckfjädrar i toppen. Den andra då pelarna är ledade i toppen och botten, samt stagademed tryckfjädrar på mitten, se figur 25.

3.2 ProvningsuppställningarProvningarna kommer att utföras med två olika typer av provkroppar, med egenskaper enligttabell 3. Provningarna kommer att utföras på tre pelare av varje provkroppstyp.Provkropparnas initialkrokighet kontrolleras okulärt innan provning för att säkerhetsställa attden ger så lite inverkan på provningarna som möjligt.

Tabell 3 - Egenskaper för provkroppar

Provkroppstyp 1 2Tvärsnitt 22x95 45x140Längd 2 meter 2 meterHållfasthetsklass C24 C24E-modul 11 GPa 11 GPaTröghetsmoment 8.43 ∙ 10 m 1.063 ∙ 10 mAntal provkroppar 3 (provkropp 1-3) 3 provkropp (4-6)

Provningarna innefattar två uppställningar enligt figur 25. Provkroppstyp 2 kommer att ha ettför grovt tvärsnitt för att kunna användas i uppställning 2 och används således bara iuppställning 1.

Uppställning 1 Uppställning 2

∆ ∆

Figur 25 – Uppställning 1 och uppställning 2 för provningarna

∗

∗

∗

∗

∗

= Lasten

= Fjäderstyvhetistödet

∆= Snedställningen

*Visar mätpunkternas placering

22

Tre olika snedställningar används för uppställningarna:

1. Utan snedställning2. Snedställning i topp L/100=2 cm3. Snedställning i topp L/50=4cm

I figurerna 26-28 visas den praktiska uppställningen av provkropparnas stagning ochmätutrustning.

Figur 26 - Stagning i ovankant med tryckfjädrar och mätceller för utböjning

Figur 27 - Mätcell för utböjning på mitten och led i botten

23

Figur 28 - Tryckfjädrar med olika styvheter och mätceller för utböjning

3.3 Parametrar och egenskaper

3.3.1 FjäderstyvhetVid provningarna används tryckfjädrar från Sodermann Industrifjedre A/S för att representerade olika fjäderstyvheterna i stagningarna. Valen av dessa grundade sig i att fjäderstyvhetenskulle vara nära den ideala styvheten, för att sedan uppmäta vad som sker vid ökningrespektive minskning av styvhet. Dessvärre krävs mycket låga styvheter vid uppställning 1 fördet slankare tvärsnittet, vilket gör att fjädrarna med så låg styvhet inte kan placeras medtillförlitlig stabilitet till provkropparna. Det är därför inte möjligt att använda sig av idealafjäderstyvheter i de provningarna.

De beställda tryckfjädrarna testades för att vara säker på vilken styvhet som används vidprovningarna, se tabell 4. Detta testades genom att trycka fjädrarna med en ökande last ochmäta hoptryckningen.

Tabell 4 - Styvheter i tryckfjädrar

Beställd styvhet (kN/m) Uppmätt styvhet (kN/m)6 8.6710 12.320 23.6340 41.05

24

3.3.2 E-modulE-modulen uppmättes för pelarna genom att lägga upp dem som balkar med två ledade stödför att sedan belasta med en punktlast i mitten enligt figur 29.

Figur 29 - Uppställning för mätning av elasticitetsmodul

Nedböjningen uppmättes med ökande belastning och E-modulen kunde sedan beräknas med

=48

(3.1)

är nedböjningen

=ℎ12

= 1.76

I tabell 5-6 visas medelvärdet för de beräknade E-modulerna.

Tabell 5 - Elasticitetsmoduler för 22x95 pelare

Provkropp E-modul (MPa)1 8217.6394132 8193.2755133 10015.187456

E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ettmedelvärde på E=8.81 GPa

Tabell 6 - Elacticitetsmoduler för 45x140 pelare

Provkropp E-modul (MPa)4 6546.2500945 7450.7534746 8467.881058

E-modulerna ligger alltså något under det karakteristiska värdet på 11 GPa och får ettmedelvärde på E=7.49 GPa

E-moduler uppmätta på det här sättet kommer inte att ge ett helt korrekt värde. Detta eftersomstöden kommer vara eftergivliga och ge en glidning vid upplagen. Det riktiga värdet kommerförmodligen ligga närmare 11GPa som är det förväntade värdet för de inköpta träpelarna. Iprovningsresultaten kommer därför både de teoretiska och de uppmätta värdena att visas.

25

3.3.3 DensitetPelarna vägdes och densiteten för respektive pelare beräknades till värdena som redovisas itabell 7-8.

Tabell 7 - Densitet för 22x95 pelare

Provkropp Densitet (kg/m3)1 508.612 458.133 419.62

Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 22x95 till 462.12 kg/m3.

Tabell 8 - Densitet för 45x140 pelare

Provkropp Densitet (kg/m3)4 614.375 536.116 609.52

Detta ger ett medelvärde för provkropparna med tvärsnitt 45x140 till 586.67 kg/m3.

3.4 Teoretisk analys av provningsuppställningarna

3.4.1 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 22x95Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1:

= (3.2)

= 11

=0.095 ∙ 0.022

12= 8.43 ∙ 10

= 2.288

= = 1.144 /

För uppställning 2 blir Eulers knäckningslast och ideal styvhet

=

2

(3.3)

= 9.15

=4

= 18.30 /

26

De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=8.81 GPa ändrar Eulers knäckningslastsamt den ideala styvheten för uppställning 1 och uppställning 2:

Uppställning 1

=∙ 8.81 ∙ 10 ∙ 8.43 ∙ 10

2= 1.83

= = 0.916 /

Uppställning 2

=∙ 8.81 ∙ 10 ∙ 8.43 ∙ 10

22

= 7.33

=4

= 14.66 /

I figur 30 visas teoretiska diagram över förväntade värden på Eulers knäckningslast förtvärsnitt 22x95. Tabell 9 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna dåpelarna belastas med Eulers knäckningslast.

Figur 30 – Teoretiska knäckningslaster för pelare 22x95 som används vid provning

0

0.5

1

1.5

2

2.5

0 0.5 1 1.5

Kriti

skla

st(k

N)

Fjäderstyvhet i stöd (kN/m) för uppställning 1

E=11 GPa

E=8.81 GPa

0123456789

10

0 10 20 30

Kriti

skla

st(k

N)

Fjäderstyvhet i stöd (kN/m) för uppställning 2

E=11 GPa

E=8.81 GPa

27

Tabell 9 – Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast

Enligt teorin blir det väldigt små krafter i toppstödet för provkropparna med defjäderstyvheter som ska användas vid provningarna.

Den teoretiska fjäderkraften för uppställning 2 vid Eulers knäckningslast beräknas enligtGalambos och Surovec [15] i ekvation 3.4. För att det ska uppkomma kraft i mittstödet måsteen initial utböjning ∆ antas. I figur 31 visas fjäderkrafterna i mittstödet vid olikafjäderstyvheter då Eulers knäckningslast belastar pelaren.

= ∆1 −

(3.4)

∆ Är initial utböjning vid mittstödet. Den antas enligt Galambos och Surovec [15] tillL/1000 = 0.002

Är den ideala styvheten i mittstödet

Är den aktuella styvheten i mittstödet

Figur 31 - Fjäderkraft i stöd för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast,beräknat enligt ekvation 3.4

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

10 20 30 40

Fjäd

erkr

aft(

kN)


Ki=18.3

Ki=14.66

Fjäderstyvhet(kN/m)

E-modul(GPa)

Fjäderkraftvid 2cm

snedställd(N)

Utböjning(mm) vid

2cmsnedställd

Fjäderkraftvid 4cm

snedställning(N)

Utböjning(mm) vid

4cmsnedställd

Last(kN)

8.67 11 26 3.0 52 6.5 2.28812.3 11 25 2.0 50 4.1 2.28823.63 11 24 1.0 48 2.0 2.2888.67 8.81 21 2.4 41 4.7 1.8312.3 8.81 20 1.6 40 3.3 1.8323.63 8.81 19 0.8 38 1.6 1.83

28

Tabell 10 visar förväntade värden på fjäderkraften i mittstödet när pelarna belastas med Eulersknäckningslast.

Tabell 10 – Teoretiska fjäderkrafter för uppställning 2, pelare 22x95 vid Eulers knäckningslast

3.4.2 Teoretiska knäckningslaster för tvärsnitt 45x140Eulers knäckningslast samt ideal styvhet beräknas med teoretisk E-modul för uppställning 1:

=

= 11

=0.14 ∙ 0.045

12= 1.063 ∙ 10

=∙ 11 ∙ 10 ∙ 1.063 ∙ 10

2= 28.85

= = 14.43 /

De uppmätta E-modulerna med ett medelvärde på E=7.49 GPa ändrar Eulers knäckningslastsamt den ideala styvheten för uppställning 1:

=∙ 7.49 ∙ 10 ∙ 1.063 ∙ 10

2= 19.65

= = 9.83 /


E-modul(GPa)

Fjäderkraft(N)

Utböjning(mm)

Last (kN)

8.67 11 * 9.1512.3 11 * 9.1523.63 11 162 6.9 9.1541.05 11 66 1.6 9.158.67 7.49 * 7.3312.3 7.49 * 7.3323.63 7.49 77 3.3 7.3341.05 7.49 46 1.1 7.33

*Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändlighetenvid kritisk last enligt avsnitt 2.6.

29

Tabell 11 visar vilka fjäderkrafter som förväntas uppkomma i fjädrarna då 45x140 pelarnabelastas med Eulers knäckningslast.

Tabell 11 - Fjäderkrafter för uppställning 1, pelare 45x140 vid Eulers knäckningslast

3.4.3 Jämförande beräkning - tryckt pelare enligt BKR gentemot EulerknäckningDetta avsnitt beskriver en relation mellan Eulers knäckningslast och den karakteristiskabärförmågan för en axiellt tryckbelastad slank pelare enligt beräkningar med Boverketskonstruktionsregler, BKR 99 [1]. Syftet är att ta reda på hur stor skillnaden blir i resultat ochhur den påverkas av tvärsnittets storlek.

Pelaren som först kontrolleras för tryck parallellt med fiberriktningen har samma egenskapersom provkroppstyp 2 som kommer att användas vid laborationerna:

Uppställning 1

= 21

ä = 45 140

ä = 2meter

Enligt BKR beräknas en pelares kapacitet för en tryckkraft enligt nedanstående ekvation där:

: ä ö ä

: ä

: ℎä ℎ

: ℎ ä ö


E-modul(GPa)

Fjäderkraftvid 2cm

snedställd(N)

Utböjning(mm) vid

2cmsnedställd

Fjäderkraftvid 4cm

snedställning(N)

Utböjning(mm) vid

4cmsnedställd

Last(kN)

8.67 11 * * 28.8512.3 11 * * 28.8523.63 11 742 31.4 1484 62.8 28.8541.05 11 445 10.8 890 21.7 28.858.67 7.49 * * 19.6512.3 7.49 974 79 1949 158 19.6523.63 7.49 336 14 673 28 19.6541.05 7.49 258 6.5 516 13 19.65

*Pelaren knäcker innan Eulers knäckningslast. Fjäderkraften går mot oändligheten vidkritisk last enligt avsnitt 2.6.

30

= ∙ ∙ enligt BKR 99 [1](3.5)

= =√12 ∙

→ (3.6)

= 153.96 → = 0,12

= 15.876

Om kapaciteten istället beräknas med hänsyn till Eulers knäckningslast enligt tidigare avsnittså blir värdet:

= = 28.85

Teoretiskt betyder detta att brottet inte kommer att uppkomma vid Eulers knäckningslast utanpelaren går till brott innan detta sker.

Hur slank behöver då pelaren vara för att hållfasthetsvärdena enligttryckbelastningsberäkningarna ovan ska vara mindre eller nära Eulers knäckningslast? För attta reda på detta ställs ett förhållande upp mellan dimensioneringsreglerna i BKR och Eulersknäckningslast.

: Den kritiska lasten med karakteristisk bärförmåga enligt BKR

: Eulers knäckningslast

= (3.7)

∙ ∙ = (3.8)

∙ ∙ ℎ ∙ =∙ ℎ ∙

12(3.9)

Vid beräkning då enbart tvärsnittets bredd b varieras med b=15, 22, 28 mm så blirförhållandet mellan den karakteristiska bärförmågan och Eulers knäckningslast:

För uppställning 1 med förhållandet

b=15mm → 97.1%

b=22mm → 95.9%

b=28mm → 94.88%

31

Samma beräkning görs för uppställning 2 med förhållandet

b=15mm → 94.5%

b=22mm → 91.9%

b=28mm → 89.4%

Tvärsnittet för provkroppstyp 1 som valts till 22x95 kommer förmodligen gå till brott innanEulers knäckningslast uppkommer, men är så pass nära att en stor utböjning kommer attuppstå innan brott.

De kritiska lasterna för tvärsnittet 22x95 beräknas till:

Uppställning 1

Karakteristisk bärförmåga enligt BKR: = 2.2

Eulers knäckningslast: = 2.288

Uppställning 2

Karakteristisk bärförmåga enligt BKR: = 8.4

Eulers knäckningslast: = 9.15

Teoretiskt krävs alltså ett mycket slankt tvärsnitt för att en 2 meter hög pelare ska kunnabelastas till ett knäckningsfall enligt Euler. Dimensioneringsformeln som används för trycktar hänsyn till slankheten av pelaren och beaktar knäckning. Förhållandet visar att det slankatvärsnittet vid laborationen är tillräckligt nära ett rent fall enligt Euler och kommer troligtvisge ett tydligt beteende av knäckning.

32

3.5 ProvningsresultatI följande avsnitt visas provningsresultaten som punkter i diagram med logaritmiskatrendlinjer. Dessa innefattar 3 provningar till varje trendlinje, och en trendlinje perfjäderstyvhet. För provningsresultat per pelare, se kapitel 8 bilaga 1.

Pelarna belastades med en tryckande punktlast i toppen och värdena för utböjningen vidmätcellerna registrerades tillsammans med belastningen som mätvärden i ett Excel-dokument.

I provningsresultaten kommer flertalet laster upp i ett högre värde än teoretisk knäckningslast.Det är inte praktiskt möjligt vid teoretiskt förutsatta förhållanden. Det finns många faktorersom kan ha stor inverkan på resultatet, exempelvis felaktig E-modul, geometri ochupplagsförhållanden vilket beskrivs nedan.

GeometriEulers knäckningslast för en tryckt pelare beror till stor del av geometrin genom

tröghetsmomentet enligt = = ∙ ∙ . Om bredden på tvärsnittet är någonmillimeter större så ökar värdet på den teoretiska knäckningslasten exponentiellt. Om verkligabredden är 23 mm istället för 22 mm så ökar knäckningslasten med 14 %.

UpplagsförhållandenUpplagsförhållandena för knäckning är en viktig faktor vilket nämndes i avsnitt 2.2. Om enaupplaget inte är helt ledat, utan istället kan uppta ett visst moment kommer knäckningslasten

istället bli någonstans mellan = och =( . )

. Upplagsförhållandena för den övre

leden i provningarna, se figur 26, kan påverka den teoretiska knäckningslängden.

E-modulDen uppmätta densiteten i tabell 7 och tabell 8 tyder på en högre E-modul än de som använtsvid beräkning av den teoretiska knäckningslasten. Detta tyder på att pelarnas kapacitet ärhögre än vad som beräknats fram. Figur 32 visar ett teoretiskt förhållande mellan E-moduloch densitet (0.5 – fraktilen).

Figur 32 – Samband på förhållandet E-modul/densitet enligt SS-EN 338

4

6

8

10

12

14

16

300 350 400 450 500 550

E-m

odul

(GPa

)

Densitet ρmed (kg/m3 )

Trendlinje

33

3.5.1 Tvärsnitt 22x95

3.5.1.1 Utböjning för uppställning 1I provningarna har tre fjäderstyvheter använts, alla tre över den ideala styvheten (0.916-1.144kN/m) eftersom en ideal tryckfjäder hade varit för instabil i sig för att kunna ge ett tillförlitligtresultat.

Figur 33 visar att fjädrarna inte böjer ut så mycket innan en högsta last uppnås. Vissaprovningar har kommit upp i mycket hög last för att sedan snabbt böja ut samtidigt som lastensjunker. Detta beror på att pelaren har varit mycket rak vid pålastningen. När sedan entillräcklig deformation har uppstått i pelaren har stödet plötsligt böjts ut och då inte kunnatklara av de höga laster som uppstått, detta främst vid den lägsta styvheten.

Figur 33 - Resultat från provning utböjning av pelartopp utan snedställning, 3 provningar

För en pelare med 2 cm snedställning i toppen visar kurvorna i figur 34 att fjädrarna med delägre styvheterna böjer ut direkt och oacceptabelt mycket vid låga laster för att sakta öka motden högsta lasten. Vid jämförelse med pelaren utan snedställning så gör snedställningen attpelarna inte riktigt kommer upp i samma last när provningen avbrutits. Avbrotten beroddeoftast på att pelaren deformerats så mycket att stöden kollapsade.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10 12 14

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

Teoretisk Knäckningslast(E=11 GPa)

Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)

Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

34

Figur 34 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 2 cm snedställning, 3 provningar

Vid snedställningen 4 cm i toppen enligt figur 35 uppstår ett liknande förlopp som vid 2 cmsnedställning, men det uppkommer en än större utböjning vid lägre last. De maximala lasternadå provningarna avbröts är väldigt lika för de två snedställda pelarna.

Figur 35 - Resultat från provning, utböjning av pelartopp med 4 cm snedställning, 3 provningar

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10 12 14

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

Teoretisk Knäckningslast(E=11 Gpa)


Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 2 4 6 8 10 12 14

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

35

Vid belastning av pelare med uppställning 1 så kommer utböjningen bli densamma oavsettvilken fjäderstyvhet stödet har, se figur 36.

3.5.1.2 Fjäderkraft för uppställning 1Fjäderkrafterna beror av fjäderstyvheten och utböjningen vid belastning enligt

= ∙ ∆

I figur 37 visas hur fjäderkraften beror av styvheten då pelaren saknar snedställning. Vid enlägre styvhet ökar fjäderkraften fortare vid en lägre last än för fjädrar med en högre styvhet.Det betyder att vid samma last blir utböjningen så mycket större i stödet då lägre styvheteranvänds att fjäderkraften = ∙ ∆ ger ett större värde än då styvheten är högre.

Figur 37 - Fjäderkraft från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 50 100

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Figur 36 - Utböjningsform för uppställning 1

36

Fjäderkraften för en 2 cm snedställd pelare visas i figur 38. Fjäderkraften börjar öka tidigareän för en pelare utan snedställning.

Figur 38 - Fjäderkraft från provning, pelare med 2 cm snedställning, 3 provningar

Vid en 4 centimeter snedställning blir lutningen vid pålastning än brantare mot en storfjäderkraft, se figur 39. Kraften ökar snabbt och är vid samma belastning mer påfrestande påstöden, jämfört med uppställningarna i figur 37-38. För alla provningar blir kraften större dåstyvheten är lägre, eftersom utböjningen blir mycket större.

Figur 39 - Fjäderkraft från provning, pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 50 100

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

Teoretisk Knäckninglast(E=11 GPa)Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 50 100

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

Teoretisk Knäckningslast(E=11GPa)


Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

37

3.5.1.3 Utböjning för uppställning 2För provningarna för uppställning 2 har fyra styvheter används där flera ligger nära den idealastyvheten (14.66-18.3 kN/m). Två styvheter är lägre än den ideala styvheten och två är högreän den ideala styvheten.

När stagningen sitter på mitten bildar utböjningsformerna en halv eller en hel sinuskurva dåstyvheten ligger under respektive över den ideala styvheten. Detta gör att utböjningen ifjädrarna inte kommer att bli så stora då utböjningsformen utgörs av en hel sinuskurva. Dåpelaren böjs ut på mitten som en halv sinuskurva kommer stöden inte att kunna stabiliserapelaren vid lika höga laster, eftersom den låga styvheten gör att stöden kollapsar på grund avför stor deformation. Utböjningarna när pelarna saknar snedställning visas i figur 40. Tabell12 visar vilka utböjningsformer som uppstod för respektive pelare och fjäderstyvhet vidprovningarna.

Figur 40 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt utan snedställning, 3 provningar

Tabell 12 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de saknar initiellsnedställning. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva

StyvhetkN/m

P1Utan

P2Utan

P3Utan

8.67 Halv Halv Halv12.3 Halv Halv Halv23.63 Hel Hel Hel41.05 Hel Hel Hel

Vid en snedställning på 2 cm i toppen av pelaren så går det inte att utgöra några störreskillnader mot en helt vertikal pelare, se figur 41. Bara styvheten K=12.3 kN/m visar en klarskillnad, då pelaren inte böjer ut mycket med 2 cm snedställning, medan den böjer ut mycketutan snedställning enligt figur 40. Styvheten är på gränsen till att vara ideal och små ändringari uppställningen gör skillnad för utböjningsmoden vid maximal last. För utböjningsformen förpelare med 2 cm snedställning se tabell 13.

0

2

4

6

8

10

12

0 3 6 9 12 15 18

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

Teoretisk Knäckningslast(E=11 GPa)Teoretisk Knäckningslast(8.81 GPa)Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

38

Figur 41 - Resultat från provning, utböjning av pelarmitt med 2 cm snedställning i topp,3 provningar

Tabell 13 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiellsnedställning på 2 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva

StyvhetkN/m

P12cm

P22cm

P32cm

8.67 Halv Halv Halv12.3 Halv Hel Halv23.63 Halv Hel Hel41.05 Hel Hel Hel

Vid en snedställning på 4 cm uppkommer inte heller några direkta skillnader mer än attutböjningen blir något större vid en lägre last, se figur 42. Vid denna snedställning blevutböjningsmoden för K=12.3 kN/m återigen en halvsinuskurva, se tabell 14. Samtidigtuppstod färre hela sinuskurvor för de andra styvheterna. Detta är svårt att förklara, mentroligen kan snedställningen ge en ofördelaktig deformation för ett sådant beteende. Samtidigtkan små förändringar i uppställningarna ge stora skillnader för resultatet och kan bero påtillfälliga avvikelser. Sammantaget är ändå pelarna med de två styvare fjädrarna mer benägnaatt böja ut i en hel sinuskurva enligt teorin för styvheter över den ideala styvheten vid Eulersknäckningslast.

0

2

4

6

8

10

12

0 3 6 9 12 15 18

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

Teoretisk Knäckningslast(E=11GPa)Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

39

Figur 42 - Resultat från provning, utböjning i pelarmitt med 4 cm snedställning i topp,3 provningar

Tabell 14 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer då de har en initiellsnedställning på 4 cm i toppen. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva

StyvhetkN/m

P14cm

P24cm

P34cm

8.67 Halv Halv Halv12.3 Halv Halv Halv23.63 Halv Hel Halv41.05 Halv Hel Hel

För pelare med uppställning 2 kommer utböjningsformen antingen vara en hel sinuskurvaeller en halv sinuskurva enligt figur 36, beroende av fjäderstyvheten enligt avsnitt 2.4.Utböjningsformen då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva visas i figur 43.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 3 6 9 12 15 18

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

Teoretisk Knäckningslast(E=11 GPa)Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

40

Figur 43 - Utböjningsform för uppställning 2

I figur 44 och i figur 45 kan utböjningsformen utläsas för provkropp 3 med stagning påmitten. Diagrammen visar utböjningen vid lägesgivarna över respektive under fjädern ochvisar hur pelaren böjer ut vid dessa punkter.

Lägesgivaren för utböjningarna i undre delen av pelarna gav något hackiga värden, meneftersom de endast var till för att visa utböjningsformerna behövde detta inte tas någon hänsyntill.

Figur 44 visar att pelaren för de låga styvheterna går mot en halv sinuskurva då bådalägesgivarna går åt samma håll, men en styvhet på 23.63 kN/m ger utböjning åt var sitt hållför provkropp 3 utan snedställning, det vill säga en hel sinuskurva. Liksom tabell 12-14 harvisat så uppkommer den ideala utböjningsformen av en hel sinuskurva då fjäderstyvheten ärnågonstans mellan 12.3 kN/m och 23.63 kN/m.

41

Figur 44 – Utböjningsform vid provning uppställning 2 utan snedställning för provkropp 3

Resultatet för provkropp 3 med en snedställning på 2 cm visar samma utböjningsform för derespektive styvheterna enligt figur 45. I vissa provningar var det svårt för pelaren att böja ut ien hel sinuskurva. Det krävdes då en större last för att detta skulle ske. Eftersom sammapelare var tänkt att användas för flera mätningar skulle inte tryckhållfastheten överskridas ochdetta testades således bara en gång för varje pelare.

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67 ö

K=8.67 u

K=12.3 ö

K=12.3 u

K=23.63 ö

K=23.63 u

K=41.05 ö

K=41.05 u

Teoretisk Knäckningslast(E=11 GPa)Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)

42

Figur 45 – Utböjningsform vid provning uppställning 2 med 2cm snedställning för provkropp 3

I tabell 15-16 visas en sammanfattning av utböjningsformerna från provningarna meduppställning 2.

Tabell 15 - Sammanställning av provkropparnas (P) utböjningsformer vid olika initiellasnedställningar. Hel=Hel sinuskurva Halv=Halv sinuskurva

StyvhetkN/m

P1Utan

P12cm

P14cm

P2Utan

P22cm

P24cm

P3Utan

P32cm

P34cm

8.67 Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv Halv12.3 Halv Halv Halv Halv Hel Halv Halv Halv Halv23.63 Hel Halv Halv Hel Hel Hel Hel Hel Halv41.05 Hel Hel Halv Hel Hel Hel Hel Hel Hel

Tabell 16 - Sammanställning av utböjningsformerna för samtliga provkroppar. Hel=Helsinuskurva Halv=Halv sinuskurva

Utan 2cm 4cm8.67 3 Halv 3 Halv 3 Halv12.3 3 Halv 1 Hel, 2 Halv 3 Halv23.63 3 Hel 2 Hel, 1 Halv 1 Hel, 2 Halv41.05 3 Hel 3 Hel 2 Hel, 1 Halv

Sammanställningarna visar att pelarna har lättare att böja ut i en hel sinuskurva då pelarnasaknar snedställning. Detta kan bero på att snedställningen ger en mer koncentrerad last tilltoppstödet och pelaren böjer således mest ut i övre delen av pelaren.

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67 ö

K=8.67 u

K=12.3 ö

K=12.3 u

K=23.63 ö

K=23.63 u

K=41.05 ö

K=41.05 u

Teoretisk Knäckningslast(E=11 GPa)Teoretisk Knäckningslast(E=8.81 GPa)

43

3.5.1.4 Fjäderkraft för uppställning 2Vid uppställningen med ett mittstöd kommer det på liknande sätt som för pelare utan mittstödbli högre krafter vid lägre styvheter. Skillnaden är att det blir ganska små fjäderkrafter påmittstödet då pelarna böjer ut i en hel sinuskurva. Fjäderkraften i mittstödet då pelaren saknarsnedställning visas i figur 46.

Figur 46 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd utan snedställning, 3 provningar

I figur 47 visas fjäderkraften för pelare med 2 cm snedställning. På samma sätt som för enpelare utan snedställning blir krafterna mindre då pelaren böjer ut i en hel sinuskurva. Det ärbara pelaren med den lägsta styvheten som ligger klart under den ideala styvheten och böjerlätt ut och ger en hög fjäderkraft i mittstödet. Fjädern med 12.3 kN/m var strax under denideala styvheten och brytpunkterna visar att några serier har haft en låg fjäderkraft och böjt uti en hel sinuskurva.

Figur 47 - Fjäderkraft från provning, pelare med mittstöd och 2 cm snedställning, 3 provningar

I fallet då pelarna hade 4 cm snedställning hade pelaren svårt att böja ut i en hel sinuskurvavid de högre styvheterna och skulle förmodligen behövt belastas mer innan ett sådant

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05


Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05


Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

44

beteende, se figur 48. Lasten skulle i så fall minskats i fjädrarna eller åtminstone rätats ut moten konstant kraft. Sådana beteenden uppkom med jämna mellanrum i försöken och kan haberott på att det uppstod en verkande kraft i fjädrarna från början. Detta ger pelaren en vissinitiell krokighet och den har därför lättare att börja böja ut i mitten.

Figur 48 - Fjäderkraft från provning pelare med 4 cm snedställning, 3 provningar

0

2

4

6

8

10

12

0 50 100 150

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05


Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

45

3.5.2 Tvärsnitt 45x140

3.5.2.1 Utböjning för uppställning 1Utböjningen vid en last lägre än Eulers knäckningslast går att utläsa i diagrammen nedan. Denlägsta styvheten ligger under den ideala styvheten medan de andra tre ligger över. Samtligaprovningar sker med uppställning 1.

En pelare utan snedställning visar att utböjningen ökar med lägre fjäderstyvhet i toppstödet, sefigur 49. Lasterna är inte i närheten av knäckningslasten då den teoretiska E-modulen förpelarna används, de är dock nära knäckningslasten då den uppmätta E-modulen används.Några av provningarna böjde knappt ut alls, vilket enbart märktes för pelare utansnedställning.

Figur 49- Resultat från provning, pelare utan snedställning, 3 provningar

Vid en snedställning på 2 cm enligt figur 50 böjer pelaren ut mer vid samma last änprovkropparna utan snedställning. Skillnaderna mellan de olika styvheterna i toppstödet geren klarare uppdelning av kurvorna, där en lägre styvhet ger en större utböjning.

0

5

10

15

20

25

30

0 3 6 9 12 15

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

46

Figur 50 - Resultat från provning, pelare med 2 cm snedställning i topp, 3 provningar

Provkropparna i figur 51 med 4 cm snedställning i toppen kom att böja ut mer än de utansnedställning. Det krävdes ändå en något högre last att böja ut mer än en 2 cm snedställdpelare. Resultaten är ändå väldigt lika när brytpunkterna kontrolleras. Detta visar att småskillnader ger ett större utslag för trendlinjerna eftersom antalet provningar var så passbegränsade.

Figur 51 - Resultat från provning pelare med 4 cm snedställning i topp, 3 provningar

0

5

10

15

20

25

30

0 3 6 9 12 15

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

0

5

10

15

20

25

30

0 3 6 9 12 15

P(k

N)

Utböjning (mm)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

47

3.5.2.2 Fjäderkraft för uppställning 1Fjäderkrafterna för provkropparna utan snedställning har samma beteende vid samma lastoavsett styvhet se figur 52. Teoretiskt ska stöden få en högre kraft då lasten närmar sigknäckningslasten. Provningslasterna är inte nära den teoretiska knäckningslasten, utansystemet fungerar troligtvis som en styv pelare som lutar sig mot en fjäder och kommer gesamma kraft i fjädern oavsett styvhet.

Figur 52 - Fjäderkraft från provning pelare utan snedställning, 3 provningar

Resultaten från de två snedställningarna ger samma resultat som pelaren utan snedställning,då alla styvheter ger nästan identiska kurvor för fjäderkraften oavsett vilken styvhet somanvänds. Se figur 53-54.

0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

48



0

5

10

15

20

25

30

0 50 100 150 200

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05



Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

02468

1012141618202224262830

0 50 100 150 200

P(k

N)

Kraft (N)

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05


Teoretisk Knäckningslast (7.49GPa)

Trendlinje K=8.67

Trendlinje K=12.3

Trendlinje K=23.63

Trendlinje K=41.05

49

3.6 StabilitetslasterDiagrammen nedan grundar sig på provningsresultaten vid en kritisk utböjning på L/50, detvill säga 4 cm (vilket motsvara en oacceptabelt stor utböjning vid dimensionering av bärverk).Detta jämförs med den teoretiska knäckningslasten för de olika provningsuppställningarna.

3.6.1 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 1För att stödet ska böja ut 4 cm i toppstödet måste lasten överstiga den teoretiskaknäckningslasten då styvheten är över 10 kN/m, se figur 55.

Figur 55 - Knäckningslaster från provning, vid 4 cm utböjning i toppstöd

För att pelaren ska böja ut 4 cm i mitten vid en varierande stagning i toppen så är lasten underden teoretiska knäckningslasten, se figur 56. Det betyder att pelaren inte klarar av att belastastill Eulers knäckningslast.

Figur 56 – Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren

3.6.2 Tvärsnitt 22x95 vid uppställning 2Figur 57 visar provningarna då ett stöd är placerat på mitten. Mätvärdena har valts antingendå pelaren böjt ut vid stödet i mitten, eller då pelaren böjer ut mellan toppstödet ochmittstödet, beroende på var utböjningen på 4 cm sker först. Detta har gett en knäckningslastsom stämmer bra överens med det teoretiska lastvärdet.

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

0 10 20 30

P(k

N)

Fjäderstyvhet (kN/m)

Provdata

TeoretiskKnäckningslast(E=11 GPa)

TrendlinjeKnäckningslast

TeoretiskKnäckningslast(E=8.81 GPa)

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

0 10 20 30

P(k

N)


Provdata




50

Figur 57 – Knäckningslaster från provning vid 4 cm utböjning då pelaren har ett stöd på mitten

3.6.3 Tvärsnitt 45x140 vid uppställning 1Knäckningslasten för pelaren med avseende på deformationen i toppstödet visar att pelarenbelastas långt under den teoretiska knäckningslasten då stödet deformeras 4 cm, se figur 58.

Figur 58 – Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i toppstöd

Provningsresultatet för det grövre tvärsnittet visar att den teoretiska knäckningslasten liggerbra mycket över vad provkropparna klarade att belastas med. Lasten då pelaren deformeras 4cm i mitten ligger under hälften av den teoretiska knäckningslasten enligt figur 59.

0

2

4

6

8

10

12

14

0 10 20 30 40 50

P(k

N)


Provdata




0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50

P(k

N)


Provdata




51

Figur 59 - Knäckningslaster från provning, 4 cm utböjning i mitten av pelaren

0

5

10

15

20

25

30

35

0 10 20 30 40 50

P(k

N)


Provdata




52

3.7 Diskussion och slutsatser från provningarnaProvningarna som sammanställs i figur 56-57 visar resultat som stämmer bra med teorin, mendet finns även resultat som är avvikande, figur 55, 58-59. Detta är väntat då testerna är gjordamed få provkroppar och materialegenskaper dem sinsemellan kan skilja sig mycket.

Diagrammen för provningarna av det slanka tvärsnittet visar att flera laster kommer upp ihögre värden än Eulers knäckningslast, det ska inte vara möjligt. För det grövre tvärsnittetligger lasterna bra mycket under Eulers teoretiska knäckningslast, vilket är väntat.

Provningarna för det slanka tvärsnittet visar att pelarna med de lägre fjäderstyvheterna böjerut mer då fjäderstyvheten är lägre och det går snabbare mot en stor kraft i stagningen dåpelaren närmar sig knäckningslasten. Lasterna då provkropparna går till brott stämmer ocksåbra med teoretiska värden.

Resultatet av provningarna bekräftar att teorin är applicerbar på verkligheten enligtdiskussionen och slutsatserna i 3.7.2 och 3.7.3. Resultatet visar också på avvikelser gentemotteorin som kan bero på flera felkällor vilka beskrivs i 3.7.1.

3.7.1 FelkällorDet finns många felkällor vid denna typ av laborationer då instabilitetsfenomen är väldigtkänsliga för stödens placering och lastens excentricitet.

Det visade sig svårt att placera mätcellerna på det ställe där pelarna knäcker ut som mest,vilket ger en viss avvikelse i resultatet mellan de olika mätserierna. Det hade varit optimalt attha fler mätceller utefter pelaren för att få en korrekt bild av utböjningen och hur stor denmaximala deformationen blir.

Kolven som belastar som en led i ovankant kan ge en viss stabilisering av pelarens ovankant,se avsnitt 3.5. Detta påverkar främst resultatet för tvärsnitt 22x95 då det slankare tvärsnittetlätt blir lite inspänt i toppen, vilket inte har lika stor inverkan på det mindre slanka tvärsnittet45x140 (Roberto Crocetti Konstruktionsteknik LTH).

Den uppmätta E-modulen visar att pelarnas egenskaper varierar, även individuellaimperfektioner i träet som kan vara svårt att upptäcka okulärt kan vara en bidragande orsak tillvariationen i resultatet.

Felkällorna som tagits fram för rapportens provningsuppställningar är mycket viktiga attundvika för att få korrekta resultat som kan jämföras med de teoretiska värdena. Detta är braatt tänka på vid liknande provningar som utförs i forskningssyfte.

3.7.2 FjäderkrafterTvärsnitt 22x45 med stöd i topp:Styvheterna i tryckfjädrarna låg över den ideala styvheten och skillnaden i kraft var ytterstliten vid dessa provningar då pelaren var helt vertikal. När pelarna var snedställda vidprovningarna visade det sig att utböjningen och lasten som verkar i stödet sker tidigare för denlägsta styvheten och pelarkonstruktionen klarar därmed inte lika höga laster vid en lägrestyvhet. Fjäderkrafterna som uppkommer vid knäckningslasten är under 10 procent av den

53

påförda lasten, men är ändå över den teoretiska fjäderkraften. Då pelarna är belastade medEulers knäckningslast är den uppmätta fjäderkraften mycket nära den teoretiska enligttabell 10.

Tvärsnitt 22x45 med stöd i mitt:Här visade sig tydligt ett beteende av att krafterna blir lägre i fjädrarna för de högrestyvheterna. De två lägsta styvheterna ligger nära den ideala styvheten och kommer vid stödpå mitten att bli mer belastade eftersom de inte är tillräckligt styva för att pelaren ska böja ut ien hel sinuskurva. Kraften är i storleksordningen enligt de teoretiska värdena i tabell 11.

Tvärsnitt 45x140 med stöd i topp:Resultatet visar inte så klara skillnader som vid det mindre tvärsnittet. Det ser ut som attkraften i fjädern med lägre styvhet blir lägre. Detta beror på att denna inte kan tryckas ihopmer än någon centimeter vilket ger en högsta kraft på 100 N och kommer därför snabbt atttryckas ihop och nå stödets maxlast. Krafterna går annars i samma linje. Lasterna kommerinte upp i Eulerknäckningslasten, vilket enligt teorin är då den stora skillnaden i fjäderkrafteruppstår.

Allmänt:Rapportens provningsresultat för fjäderkrafterna visar att teorin är väl applicerbar påverkligheten vad gäller styvhetens inverkan då belastningen närmar sig Eulers knäckningslast.När pelaren närmar sig knäckningslasten så ökar fjäderkraften markant. Det visade sig ocksåatt vid en lägre styvhet så uppkom den stora ökningen i fjäderkraft vid en lägre tryckkraft,vilket är riktigt enligt teorin. Fjädrarna kunde inte heller tryckas ihop så mycket, då de minstafjädrarna var väldigt slanka, detta gav ett lågt maxvärde innan de blev helt hoptryckta ochdärmed helt styva. Det syns också tydligt i diagrammen att vid ett stöd på mitten, så verkarsmå krafter på mittstödet när den ideala styvheten överskrids och pelaren böjer ut i en helsinuskurva. Kraften kommer istället föras över till det övre och det undre stödet medan detblir jämvikt vid mittstödet.

Resultatet i provningarna visar att en verkligt rak pelare kommer att få fjäderkraft i toppstödeteftersom en helt rak pelare inte är realistisk, speciellt inte för ett anisotropt material som trä.Teorin om att en rak pelare inte får någon fjäderkraft i toppstödet bör därför inte användas vidberäkning, istället ska en initiell snedställning alltid beaktas.

Provningarna visar att pelare som inte är slanka nog att belastas till en utböjningsform enligtEuler inte kommer att få en ökad fjäderkraft då toppstödets styvhet är låg, fjäderkraften blirdensamma oavsett vilken styvhet som används då pelaren belastas.

3.7.3 Eulers knäckningslastResultatet stämmer bra med teorin i flera fall, men det är också anmärkningsvärt att lasten vidflera provningar ligger över Eulers knäckningslast. Det är inte rimligt, men kan förklaras avflera möjliga felfaktorer för provningsuppställningar av denna typ som tagits fram i rapportenenligt avsnitt 3.5. Den teoretiska ideala styvheten för den slanka pelaren med mittstödstämmer bra i provningsresultatet, utböjningsformen av en hel sinuskurva kunde tydligt

54

påvisas vid styvheter högre än den ideala styvheten. Det betyder att teorin är vältillämpningsbar på verkligheten när styvheten i pelarens stabiliserande stöd ska beräknas.

Deformation som i rapporten används som krav vid knäckningslast i avsnitt 3.6 ser ut att varaett bra riktvärde för det slankare tvärsnittet där det verkar stämma bra med den teoretiskaknäckningslasten.

Lasterna vid provningarna för det grövre tvärsnittet ligger långt under det teoretiska värdet påEulers knäckningslast. Detta gäller för samtliga styvheter. Provningarnas maxlast för detgrövre tvärsnittet stämmer dock bra med beräkningen som gjordes i avsnitt 3.4.3, då detkarakteristiska värdet på maxlasten beräknades till 15.9 kN. Det visar att rapportensprovningar stämmer bra med teorin och bekräftar att felkällorna gör mindre inverkan på ettgrövre tvärsnitt. Det något lägre värdet på maximal last vid de lägre styvheterna betyder attpelaren kommer att vara instabil innan den belastas med sitt maxvärde, vilket är riktigt enligtteorin.

I denna studie begränsas värdet för utböjningen till L/50 för att kunna använda någotriktmärke för knäckningslasten. Om utböjningen hade begränsats till ett annat värde så hadedet givetvis påverkat resultatet för uppskattad knäckningslast. Det anses ändå att vid dennautböjning kunde inte pelarna belastas mycket mer då utböjningen hade ökat mer utan att enbetydande lastökning hade uppstått.

4I februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölastunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.

4.1Uddevalla riduppbyggnad enligt figur 6024.5m,centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa påväggreglar.

StudieobjektI februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölastunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.

.1 Beskrivning av systemetUddevalla riduppbyggnad enligt figur 6024.5m,centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa påväggreglar.


Beskrivning av systemetUddevalla riduppbyggnad enligt figur 6024.5m,centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa påväggreglar.


Beskrivning av systemetUddevalla riduppbyggnad enligt figur 60

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettcentrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa påväggreglar.


Beskrivning av systemetUddevalla riduppbyggnad enligt figur 60

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettcentrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa påväggreglar.


Beskrivning av systemetUddevalla ridhus är en limträkuppbyggnad enligt figur 60

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettcentrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på


Beskrivning av systemethus är en limträk

uppbyggnad enligt figur 60bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ett

centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnadenåsar och takbalkarna, vilket leder tistabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på

Studieobjekt: Uddevalla ridhusI februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölastunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.



centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnaden

karna, vilket leder tistabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på

: Uddevalla ridhusI februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölastunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.










Figur



uppbyggnad enligt figur 60. Stommenbestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ett

centrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggarstomstabiliserar byggnaden. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan


Figur


hus är en limträkonstruktion med måtten 25x43m och en noc. Stommen

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettcentrumavstånd på 6m. Taket ärfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar

. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellankarna, vilket leder ti

stabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på

Figur


onstruktion med måtten 25x43m och en noc. Stommen

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettcentrumavstånd på 6m. Taket är uppbyggt av trapetsprofilerad stålplåt liggandes på åsar avfingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar

. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellankarna, vilket leder ti


Figur 60


onstruktion med måtten 25x43m och en noc. Stommen

bestående av inspända pelare och treledsramar med dragband. Ramarna har ettuppbyggt av trapetsprofilerad stålplåt liggandes på åsar av

fingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan


- Uddevalla ridhus, stomme i 3d


onstruktion med måtten 25x43m och en noc. Stommen ha



karna, vilket leder tillstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på

Uddevalla ridhus, stomme i 3d


onstruktion med måtten 25x43m och en nochar



ll excentriciteter och försämrar konstruktionen urstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på


55


onstruktion med måtten 25x43m och en nocett bärande system av ramar



excentriciteter och försämrar konstruktionen urstabilitetssynpunkt. Väggarna är beklädda med trapetsprofilerad väggplåt och är fästa på


55







I februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölastunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.







































fingerskarvat virke. Vindkryss i tak och i längsgående väggar samt vindstag i gavlarna. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan






samt vindstag i gavlarna. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellan








onstruktion med måtten 25x43m och en nockhöjd på 9.med spännvidd på





khöjd på 9.med spännvidd på




I februari 2010 rasade delar av ridhuset i Uddevalla till följd av den stora snölast som verkadeunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.





som verkadeunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade innågra veckor senare efter ett nytt snöfall. Två ramar stod kvar då rivningsarbetet påbörjades.






khöjd på 9.3m ochmed spännvidd på





m ochmed spännvidd på









som verkadeunder denna period. Det började med att norra halvan rasade in medan två ramar rasade in



. Vindkryssen i taket ligger i ett plan under knutpunkterna mellanexcentriciteter och försämrar konstruktionen ur


56

I tabell 17 visas dimension och material på samtliga bärande element.

Tabell 17 – Bärande element

ELEMENT MATERIAL STORLEK (mm)Pelare långsida L40 215x450Pelare hörn L40 115x225Pelare gavlar L40 115x315Pelare gavlar mitt L40 140x315Takbalkar L40 115x675Takbalkar gavlar L40 66x360Takåsar K24 45x195Väggreglar K24 45x170Dragband Ks600s (sträckgräns 590 MPa) D=25Hanbalk K24 165x180Dragstag gavlar Hålband 60x2.0

Enligt SP Trätek [9] har vid okulära besiktningar kunnat konstateras flera brister ikonstruktionen.

Efter raset stod ett närliggande ridhus kvar med intakt snötäcke och med hjälp av det kundesnömängden på taket uppskattas vid rastillfället, vilket var betydligt tjockare på den västrasidan av taket än på den östra. Vid granskning av rasmassorna ansågs åsar, väggreglar ochdetaljer i takpartiet vara mycket enkelt utförda. När rasmassorna undersöktes, kunde en vissförskjutning i horisontalled uppvisas i de östra pelartopparna och att de då hade fallit utåt.Klossbrott uppmärksammades i dessa pelares infästning till grunden.

Dragstagens muttrar på östra sidan var inte korrekt åtskruvade. Likaså var de dåligtpåskruvade i väster, dessutom hade brickor i ett dragstag inte monterats alls. Detta harundersökts och visat sig vara en stor anledning till brott.

Hanbalken var inte korrekt utförd enligt ritningarna, ett mothållande block saknades påbalken. Dessa satt ändå kvar i rätt position efter raset och ska förmodligen inte vara enbakomliggande orsak till brott.

De ramar som rasade ingick alla i vindkryssen, detta kan bero på att urtag hade gjorts förinfästning av vindkryssen och nära 50 procent av tvärsnittet hade tagits bort. Sprickor hade dåskett i nivå med dessa urtag.

Utredningen som görs i denna rapport kommer att undersöka konstruktionens stabilitet ochhur konstruktionen skulle klara sig vid en korrekt uppbyggnad efter tillhörande ritningar.Figur 61 visar bilder på konstruktionen efter raset och figur 62 visar anslutningar vid nock ochpelar-balk.

57

Figur 61 – Bilder efter raset

Figur 62 – Till vänster: Taknock, hanbalk och åsar. Till höger Upplag och infästning avtakstolar och dragband

58

4.2.2 GeometriI figur 63 visas geometrin för en ram genom ridhuset, med tillhörande koordinatsystem.

Figur 63 - Geometri

4.2.3 Randvillkor ramÅsarnas infästningar till takbalkarna kan inte uppta något moment, men ger en viss låsningvinkelrätt takbalkarna. Infästningen mellan takbalk och pelare kommer vara förhindrad attröra sig transversellt men antas ledad i samtliga riktningar. Hanbalken och taknockenmodelleras med ledad infästning. Tabell 18 visar lokala riktningar för samtliga infästningarenligt figur 63.

Tabell 18- Randvillkor

Infästning Mx My Mz x y zTakås-takbalk - - - - Varierar* -Väggreglar-pelare

- - - - Varierar* -

Takbalk-pelare - - - Styv Styv StyvTaknock - - - Styv Styv StyvHanbalk-takbalk

- - - Styv Styv Styv

Pelare-grund - Styv Styv Styv Styv Styv* Beräknad styvhet enligt kapitel 4.3

4.3 AntagandenEn modell med och utan pelare undersöktes för att få en uppfattning om hur pelarna spelar in ikonstruktionen. Med detta konstaterades att resultaten påverkas av pelarnas eftergivlighet ochvalet blev därför en modell med pelare. Därför var hänsyn till väggreglarnas och takåsarnasstyvheter viktiga för modellen.

Z

Y

X

59

För att modellen skulle få en mer korrekt sidostagning behöver takåsarnas och väggreglarnasstyvhetsbidrag beräknas för deras normalkraftsriktning. Hela konstruktionen i sig ger ocksåett bidrag som måste beaktas vid den totala stagningen. Den totala stagningen beräknas enligtekvation 4.1.

1=

1+

1(4.1)

,är styvheten i takåsens infästning

är styvhetsbidraget från hela konstruktionen

Takåsar

Takåsarna har traditionella takåsinfästningar mot var sida av takbalken med 6 ankarspikar60x4.0 i takås och 6 ankarspikar i takbalk. Takåsarnas styvhetsbidrag beräknas ur ekvation4.2.

= (4.2)

är antalet spikar som verkar vid normalkraft i takåsen

är den verkade tvärkraften vid instabilitet och uppskattas till 40 % av maximal last

är glidningen vid F och avläses ur diagram i Traekonstruktioner Forbindelser [5] till 0.6mm

= 150 . ∙ 1.25 = 1.98

= 120.4 ∙ 1980

0.6= 15840 /

Väggreglar

Samma beräkning gäller för väggreglarna som är infästa med två vinkeljärn med 4ankarspikar i regeln och 6 ankarspikar i pelaren. De nedersta reglarna är dock infästa med 6spikar i regeln och pelaren vardera.

Nedersta väggregeln

= 120.4 ∙ 1980

0.6= 15840 /

Övriga väggreglar är infästa med 4 ankarspikar på var sida om regeln vilket ger styvheten:

Övriga väggreglar

= 80.4 ∙ 1980

0.6= 10560 /

Konstruktionens bidrag

5

34

1

6

2

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allauppförtsinkluderade i modellen.

Ramen som ska analyseras i en 2D modelllaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkterger sedan konsttakåsar, detta speglas med

5

34

1

6

2



7



7

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allauppförts, se figurinkluderade i modellen.

Figur


8

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allase figur

inkluderade i modellen.

Figur


8

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allase figur


Figur 64


9

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allase figur 6


64 -

Ramen som ska analyseras i en 2D modelllaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkterger sedan konstruktakåsar, detta speglas med

9

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med alla64. Beräknade styvheter för takåsarnas och väggregl


- 3D modell för beräkning av

Ramen som ska analyseras i en 2D modelllaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkter

ruktionens styvhetsbidrag. Figur 6takåsar, detta speglas med

10

För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med allaBeräknade styvheter för takåsarnas och väggregl


3D modell för beräkning av


tionens styvhetsbidrag. Figur 6takåsar, detta speglas med

Figur

10




tionens styvhetsbidrag. Figur 6takåsar, detta speglas med samma värden på andra halvan av ramen.

Figur

11




tionens styvhetsbidrag. Figur 6samma värden på andra halvan av ramen.

Figur 65

11





65 -

12





- Numrering

1312





Numrering

13





Numrering

14





Numrering

14

60



Ramen som ska analyseras i en 2D modell har reduceratslaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkter


Numrering av takåsar och väggreglar

15

60


3D modell för beräkning av konstruktionens stabiliserande bidrag

har reduceratslaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkter


av takåsar och väggreglar

15


konstruktionens stabiliserande bidrag












visarsamma värden på andra halvan av ramen.




har reducerats i modellen ovan. 1N Horisontellalaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkter

visarsamma värden på andra halvan av ramen.




i modellen ovan. 1N Horisontellalaster förs på takåsarna där anslutningen till ramen ska finnas. Utböjningarna i dessa punkter

visar numreringsamma värden på andra halvan av ramen.





numreringsamma värden på andra halvan av ramen.


För att få hela konstruktionens bidrag så har en balkmodell med alla stabiliserande elementBeräknade styvheter för takåsarnas och väggregl



numreringsamma värden på andra halvan av ramen.


stabiliserande elementBeräknade styvheter för takåsarnas och väggreglarnas infästningar är



numrering


stabiliserande elementarnas infästningar är



numrering för vä




för vä




för vä




för väggreglar och




greglar och



greglar och



greglar och


greglar och


greglar och

61

Tabell 19 - Konstruktionens styvhetsbidrag till takåsar och väggreglar

Väggregel/Takås Utböjning (mm) Kkonstr (N/mm)1 0.000204 4902.02 0.00103 970.93 0.00170 588.24 0.00219 456.65 0.00255 392.26 0.00897 111.57 0.0116 86.28 0.0134 74.69 0.0137 73.010 0.0127 78.711 0.0111 90.112 0.00975 102.613 0.00889 112.514 0.00885 113.015 0.00976 102.5

Med eftergivligheten i takåsarna så blir de totala styvheterna enligt tabell 19, med numreringenligt figur 65.

Beräkning av total styvhet sker enligt exempel för regel 1:

1=

115840

+1

4902

→ = . /

I tabell 20 visas den totala styvheten för takåsarna och väggreglarna med numrering enligtfigur 65.

Tabell 20 - Total styvhet i beräkningsmodellens väggreglar och takåsar

Väggregel/Takås Utböjning (mm) Ktot (N/mm)1 0.000204 3743.52 0.00103 914.83 0.00170 567.14 0.00219 433.85 0.00255 382.76 0.00897 110.77 0.0116 85.78 0.0134 74.39 0.0137 72.710 0.0127 78.311 0.0111 89.612 0.00975 101.913 0.00889 111.714 0.00885 112.215 0.00976 101.8

62

För stabilitet mot last på långsidan kommer takåsar och väggreglar inte ge något nämnvärtbidrag. Denna styvhet kommer därför främst komma från pelarnas inspända infästningar tillgrunden.

4.4 ModellerModellerna som används vid beräkningen är uppställda i Fem-Design 9.0. I analysen har ettantal uppställningar undersökts. Både balkelement och skalelement har används då dessa gerolika resultat vid en stabilitetsanalys. Skalelementen är bättre när det kommer till fenomen såsom vippning av konstruktionen, då excentriciteter och lokala spänningar är lättare att utreda.Balkelementen är bättre att använda då krafter skall undersökas för att analyseranormberäkningar.

4.5 Val av elementVid val av balkelement i modellen gjordes en kontroll när värdena konvergerar. Resultat viden stabilitetsanalys visade att 25 element var fullt tillräckligt för samtliga delar ikonstruktionen förutom dragbandet som sattes till 1 element. Att sätta dragbandet till 1element är rimligt då detta enbart skall belastas med dragkraft. Värdet på stabilitetslasten, dåmodellen blir instabil vid en stabilitetsanalys i FEM-design, ändras inte så mycket med fler än1 element, men det varierar mer när fler än 30 element används. Att det ger samma resultatmed 1 element beror på att balkar respektive pelare automatiskt delades in i 1 element mellanvarje takås eller väggregel och de blev således redan uppdelade i flera element.

Vid kontroll av skalelementsmodellen gjordes på samma sätt en stabilitetsanalys ochundersökning när denna konvergerade. Detta visar att en indelning med element mindre än 13cm ger ett mindre varierande värde på stabilitetslasten. Vid kontroll av andrautböjningsformer så blir dessa mer konstanta ju finare indelning som anges. Valet blir 5 cmför att vara säker på att indelningen är tillräckligt fin och för att denna storlek ger ett värdesom anses vara mer på säkra sidan. Se tabell 21 för skillnader mellan olika element vid enjämnt utbredd last. I figur 66 visas indelningen av element för skalmodellen ochbalkmodellen.

Figur 66 - Elementindelning. Till vänster: skalmodell. Till höger: Balkmodell

63

Tabell 21 – Val av antal element för balkmodell samt för skalmodell

Antal balkelementPer balkdel

StabilitetslastkN/m

Storlek påskalelementcm

StabilitetslastkN/m

1 5.600 20 3.4965 5.605 15 3.55610 5.605 14 4.07115 5.605 13 3.94220 5.610 12 4.20625 5.600 11 3.94830 5.618 10 3.99435 5.634 9 3.97640 5.673 8 3.95445 5.736 7 3.99050 5.276 6 3.81455 5.301 5 3.92060 5.242 4 3.922

4.6 LasterDe lastkombinationer som kommer att undersökas är en jämnt utbredd snölast och en ojämnsnölast, båda tillsammans med en vindlast och byggnadens egentyngd.

SnölastDå mätningar gjordes på plats vid rasplatsen har det konstaterats att snölasten var betydligtstörre på läsidan och har uppskattats till förhållandet 1:2 mellan lovart och lä, vilket kommeratt användas vid den ojämna lasten.

Snölasten vid raset har uppskattats på plats enligt SP Trätek [9] till 0.7-0.8 kN/m2 pålovartsidan och 1.4-1.5 kN/m2 på läsidan med det större värdet vid nocken. Detta ger en lastpå ramen med 6 meter spännvidd till 4.2-4.8 kN/m på lovartsidan och 8.5-9 kN/m på läsidan.

Lasterna kommer att antas belasta som en utbredd last över takbalken då takåsarna ligger medett så pass tätt avstånd.

VindlastVindlasten har antagits då detta inte var noterat vid rastillfället. Detta har enligt Eurocodessvenska standard [6] en referenshastighet på 25 m/s och med terrängtyp II givit enkarakteristisk vindlast till 0.81 kN/ m2. Detta ger en karakteristisk vindlast:

På långsidan

, = 0.81 ∙ 0.8 = 0.648 /

, ä = 0.81 ∙ −0.5 = −0.405 /

På kortsidan till

, = 0.81 ∙ 0.8 = 0.648 /

64

, ä = 0.81 ∙ −0.5 = −0.405 /

Detta ger en last på pelarna i x-led till

, = 0.648 ∙ 6 = 3.888 /

, = 0.405 ∙ 6 = 2.43 /

Eftersom ramen är 25 meter bred med uppdelning av vind på 8 ramar så ges lasten per pelare iy-led till

, =0.648 ∙ 252 ∙ 8

= 1.013 /

, =0.405 ∙ 252 ∙ 8

= 0.633 /

Eftersom det inte går att avgöra vilka vindlaster som var rådande vid raset, så kommervindlasterna att hållas konstanta i modellen med ett karakteristiskt värde. Detta för att ha ettvärde som motsvarar mer riktiga förhållanden, då inga säkerhetsfaktorer tillsätts. Iberäkningarna kommer undersökas huruvida vindlasten ger positiv eller negativ inverkan påkonstruktionen.

4.7 Analys RamEn stabilitetsanalys kommer att göras i beräkningsmodellen för att kontrollera för vilka lasterkonstruktionen blir instabil. Dessutom kommer en vidare analys genomföras för attkontrollera flera troliga brottorsaker. En extra kontroll kommer att göras för hanbalken ochtakåsarna för att undersöka hur dessa komponenter inverkar på konstruktionen och hur deklarar lasterna.

4.7.1 StabilitetsanalysSkalelement

En stabilitetsanalys av skalmodellen utfördes i beräkningsmodellen för att visa närkonstruktionen blir instabil. Detta gjordes för två lastuppställningar, en med jämnt fördeladlast över hela takbalken och en med ojämnt fördelad last över takbalken. Ojämnt fördelad lastinnebär i detta fall att ena halvan av takstolen hade dubbelt så mycket last som den andrasidan, så som visade sig råda vid raset. De laster som konstruktionen klarade visas i tabell 22.Utböjningsformen går att se i figur 68, där visas att takbalken böjer ut i underkant.

Tabell 22 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen

Lastuppställning Last (kN/m)Jämn last 3.92Ojämn last 2.58 resp. 5.16

Vid kontroll utan vindlast så är skillnaden i resultatet försumbar.

65

Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva i horisontalled så kommer konstruktionenklara en större last enligt tabell 23.

Tabell 23 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar äroändligt stora för skalmodellen


Figur 67 visar spänningarna i ena balken utsatt för den ojämnt fördelade lasten, strax innanstabilitetsbrott. Det blir både drag- och tryckspänningar i båda sidorna av balken, vilket visarpå en obalans med en vippande rörelse av balken.

Figur 67 - Övre två bilderna visar ena sidans spänningar (MPa), de två nedre visar den andrasidan

66

Figur 68 – Utböjningsmoder för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedre bilden)

Balkelement

En modell med balkelement uppfördes med samma lastförutsättningar som skalmodellen.Resultatet i tabell 24 visar på viss skillnad i stabilitetslasterna vid stabilitetsanalysen avkonstruktionen med balkelement gentemot skalelement. Utböjningsmoden för skalelementrespektive balkelement går att se i figur 68, där utböjningen visas från två vinklar.Balkelementet visar att takbalken böjer ut i underkant på samma sätt som skalmodellen. Ibalkmodellen måste excentriciteter mellan balk och pelare gentemot påförd last och balkmodelleras med enskilda element med hjälp av verktyget ”fictitious bar”, eftersom balk,pelare och last annars kopplas till samma noder. Elementen syns i figur 68 som kopplingarmellan överkant och underkant takbalk.

Tabell 24 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen

Lasten gäller utan vindlast, då det gav ett något värre fall men skillnaden är försumbar.


67

Om takåsar och väggreglar istället sätts helt styva så ger resultatet stort utslag även förbalkmodellen, se tabell 25.

Tabell 25 - Laster då konstruktionen blir instabil när styvheterna i väggreglar och takåsar äroändligt stora för balkmodellen

Balkmodellen får samma utböjningsform som i figur 68, men lasterna som krävs för eninstabil struktur är större.

Av analysen kan alltså tydligt visas att åsarnas och reglarnas styvhet spelar märkbart in påkonstruktionens stabilitet.

4.7.2 NormberäkningarBeräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattadosymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Vid kontroll i FEM-Design utansäkerhetsfaktorer så klarar sig konstruktionen. Hanbalken för knäckning har enutnyttjandegrad på 61 %. Den mest belastade takbalken har utnyttjandegraden 97 % förvippning, vilket är ett mycket högt värde, speciellt med hänsyn till dimensionering eftersominga säkerhetsfaktorer har använts. Vid normberäkningarna ger vindlasten ett visst positivtbidrag till konstruktionen och värdena gäller då vid värsta fallet, utan vindlast. Med vindlastblir värdena istället 109 % för hanbalken och 83 % för balkarna.

4.8 Hanbalkens inverkanEn jämförelse mellan konstruktionen med respektive utan hanbalk har gjorts.Uppställningarna som har undersökts är desamma med den enda skillnaden att hanbalken hartagits bort.

4.8.1 Stabilitetsanalys utan hanbalkSkalelement

Utböjningsmoden med skalelement blir densamma som med hanbalk, att takbalken böjs ut iunderkant, se figur 70. Om man jämför med tabell 22 är instabilitetslasten väsentligt lägreutan hanbalk enligt tabell 26.

Tabell 26 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen utan hanbalk



68

Balkelement

Vid en stabilitetsanalys av konstruktionen utan hanbalk blir instabilitetslasten lägre även förbalkmodellen enligt tabell 27, jämför med tabell 24. I figur 70 visas hur takbalkarna böjs ut iunderkant.

Tabell 27 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen utan hanbalk

Figur 70 - Utböjningsmod utan hanbalk för skalmodellen (övre bilden) och balkmodellen (nedrebilden)

4.8.2 NormberäkningarBeräkning görs för modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd, uppskattadosymmetrisk snölast vid raset och beräknad vindlast. Då hanbalken inte avlastar takbalkarnakommer den värst utnyttjade takbalken inte att klara sig, den kommer att utnyttjas 106 % förknäckning, men även 99 % för vippning och 95 % för kombinerad böjning och tyck.

Kraft och spänning med och utan hanbalk

Den ojämnt fördelade stabilitetslasten för balkmodellen utan hanbalk används för att se vilkakrafter som uppkommer i konstruktionen vid samma last, se tabell 28.


69

Tabell 28 – Resultat vid normberäkningar för balkmodell med respektive utan hanbalk

Kraft/Spänning Med hanbalk Utan hanbalkNormalkraft takbalk -192 kN -150 kNNormalkraft pelare -92 kN -92 kNNormalkraft dragband 170 kN 128 kNNormalkraft hanbalk 168 kN -Moment takbalk 145 kNm 193 kNmMoment pelare 18 kNm 25 kNmMoment hanbalk 0 kN 0Tvärkraft takbalk 35 kN 46 kNTvärkraft pelare 14 kNm 15 kNTvärkraft hanbalk 0.3 kN -Normalspänning takbalk -19 MPa -24 MPaNormalspänning pelare -4 MPa -5 MPaNormalspänning dragband 1.6 GPa 1.5 GPaNormalspänning hanbalk -6 MPa -

Resultatet visar att hanbalken är en viktig komponent när det kommer till stabilitet avkonstruktionen. Den avlastar även spänningarna i takbalkarna när momentet och tvärkraftenminskas i balken. Den ger dock en större normalkraft i balken och dragbandet, samt en lokalkraft vid hanbalkens infästning.

4.9 TakåsarTakåsarna har undersökts för sig då dessa inte är med i den ram som analyserats ovan mer än iform av ett stabiliserande stöd. Uppställningen ses i figur 71, den visar en takås med upplagpå tre takbalkar. Fingerskarvar finns på var sida om stödet i mitten och på insidan omytterstöden.

Figur 71 – Skalmodell (till vänster) och balkmodell(till höger) för takås

Leder

Takåsarna är skarvade med

De streckade linjerna visar origo i figuren och tyngdpunkt mellan spikarna kan beräknas till

Styvheten i lederna

Spikarna har dimensionerna 100x3.riktningar till

För att

Leder



Styvheten i lederna

pikarna har dimensionerna 100x3.riktningar till

För att

Leder



Styvheten i lederna


För att få ut rotationsstyvheten runt z



Styvheten i lederna


få ut rotationsstyvheten runt z



Styvheten i lederna





Styvheten i lederna





Styvheten i lederna

pikarna har dimensionerna 100x3.




Styvheten i lederna









=



Takåsarna är skarvade med 6 spikar


=60



6 spikar

Figur


60 +



6 spikar

Figur


+ 20

=

pikarna har dimensionerna 100x3.4 mm vilket ger en infästning med styvheter i transversella

=

=


6 spikar, deras placering

Figur 7


20 −

=10

4 mm vilket ger en infästning med styvheter i transversella

= 150

= 6

få ut rotationsstyvheten runt z-axeln används

eras placering

72 -


− 60

10 ∙


150

0.4

axeln används

eras placering

- Skarvning av takåsar


60 −6

4 −6


150 .

4 ∙ 12000.

axeln används

=

70

eras placering

Skarvning av takåsar


− 206

− 106


. ∙

1200.6

axeln används

=

70

eras placering



20

10 ∙


1.25

1200

axeln används

eras placering



+ 40

2=


25

=

axeln används

∙

kan



40

= 3


= 1

4800

enligt

kan ses i figur



+ 0

3.33


1.2

4800

enligt

ses i figur



0=

33


2

4800

enligt Gustafsson

ses i figur



= 6


/

Gustafsson

ses i figur


6.67


Gustafsson

Y

ses i figur 72


67


Gustafsson

Y

2.



Gustafsson [12

Z



[12]

X



]

X











(4.


.3)


71

där

är spikarnas individuella styvhet i transversell riktning

är spikarnas individuella hävarm till tyngdpunkten

= 4800(67.0 + 27.49 + 14. 91 + 53.75 + 35.9 + 14.9 ) ∙ 10= 47.36 /

Detta är något förenklat då inverkan av vinkeländringen inte tas till hänsyn, men denna ansesförsumbar.

Randvillkor

Takåsen ligger parallellt med x-led. Styvheten i takåsarnas upplag tas ur tidigare beräkningartill 15840 kN/m i transversella riktningar. Takplåtens infästning antas ge full transversellstagning i ovankant. Randvillkoren för takåsarna sammanfattas i tabell 29.

Tabell 29- Randvillkor takåsar

Infästning Mx My Mz x y zFingerskarv styv styv 47.36 4800 4800 4800Takås-takplåt - - - styv Styv styvTakås-takbalk - - - 15840 15840 15840

4.9.1 Stabilitetsanalys takåsarTakåsarnas båda modeller belastas med en jämnt utbredd last. Vid en stabilitetsanalys såklarar takåsarna i balkmodellen en maximal last på 15.2 kN/m. Skalelementmodellen klararen maximal last på 12.1 kN/m. Utböjningsmoderna för modellerna går att se i figur 73.Lasten då takåsarna blir instabila är relativt hög för en takås. Nedan visas resultat frånnormberäkningarna i FEM-design för att kontrollera takåsarnas bärförmåga vid raset.

Figur 73 - Utböjningsmoder för takåsar (skalelement till vänster, balkelement till höger)

4.9.2Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet1.5 kN/mutnyttjandegradenför vippning.

Maximala tryckvisas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastninget instabilitetsbrott utan

4.10Vindktakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten

Vindlast

Vindlasten

4.9.2Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet1.5 kN/mutnyttjandegradenför vippning.



10Vindktakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten

Vindlast

Vindlasten

4.9.2 NormberäkningarDen verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet1.5 kN/mutnyttjandegradenför vippning.



VindkryssVindkryssen är excentriskt placeradetakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten

Vindlast

Vindlasten

NormberäkningarDen verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet1.5 kN/mutnyttjandegradenför vippning.



Vindkryssryssen är excentriskt placerade

takbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten

Vindlast

Vindlasten

NormberäkningarDen verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet

1.5utnyttjandegradenför vippning.


Figur 74




Vindlasten ger en last på pelarna


5 ∙utnyttjandegraden

Maximala tryck-visas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.

Figur 74




ger en last på pelarna


1.5utnyttjandegraden utan säkerhetsfaktorer

- och dragspänningar undersöks i skalmodellen vidvisas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.

Figur 74






5 =utan säkerhetsfaktorer

och dragspänningar undersöks i skalmodellen vidvisas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.

Figur 74 –


ryssen är excentriskt placeradetakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten



= 2.utan säkerhetsfaktorer


Tryck


ryssen är excentriskt placeradetakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in isom uppstår vid lasten från vindkryssen



.25utan säkerhetsfaktorer


Tryck


ryssen är excentriskt placeradetakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De kuppstår förs sedan in i tidigare skal

från vindkryssen


Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet25

utan säkerhetsfaktorer


Tryck- och dragspänningar

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastnistället

ryssen är excentriskt placeradetakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De k

tidigare skalfrån vindkryssen


Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet/



och dragspänningar

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastnistället



Figur


,

Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet.



och dragspänningar

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastnistället ett materialbrott i takåsarna.



Figur

på långsidan

,

Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta falletVid en kontroll i FEM



och dragspänningar

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastnett materialbrott i takåsarna.


tidigare skal-från vindkryssen

Figur 75

på långsidan

=

=




och dragspänningar


enligt figur 7takbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De k

respektive balkmodellfrån vindkryssen.

5 - Placering av vindkryss

på långsidan

= 0

= 0


utan säkerhetsfaktorer 186 % för kombinerad böjning och drag och 162 %


och dragspänningar



respektive balkmodell

Placering av vindkryss

på långsidan

0.648

0.405

72


186 % för kombinerad böjning och drag och 162 %


och dragspänningar





på långsidan till

648

405 ∙

72




och dragspänningar (MPa) i takåsar vid 2.25 kN/m last

Detta betyder att takåsarna inte klarar belastningen som var rådande vid raset, men det blirett materialbrott i takåsarna.




till

∙ 6

∙ 6




(MPa) i takåsar vid 2.25 kN/m last

ingen som var rådande vid raset, men det blirett materialbrott i takåsarna.




till

=

=






enligt figur 75 och ger upphov till stora spänningar itakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De k



3.888

2.43






och ger upphov till stora spänningar itakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De k



888

43

Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta falletVid en kontroll i FEM-








888

Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet-design med balkelement så blir






respektive balkmodell för att


/

/

Den verkliga lasten som verkar på takåsarna är vid värsta fallet med c/c 1.5design med balkelement så blir




ingen som var rådande vid raset, men det blir


för att

/

med c/c 1.5design med balkelement så blir


och dragspänningar undersöks i skalmodellen vid 2.visas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.




för att



.25visas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.




för att undersöka



25visas att spänningarna överskrider materialets egenskaper för C24 virke.




undersöka

med c/c 1.5 m och snölast pådesign med balkelement så blir


/




undersöka

m och snölast pådesign med balkelement så blir


last. I figur 74




undersöka



last. I figur 74




den



last. I figur 74


och ger upphov till stora spänningar itakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell förhela konstruktionen belastas med de laster som verkade vid rastillfället. De krafter

den inverkan



last. I figur 74


och ger upphov till stora spänningar itakbalken. För att beräkna vilka krafter som uppstår i kryssen så kommer en balkmodell för

rafterinverkan



last. I figur 74



rafter sominverkan



last. I figur 74



sominverkan



last. I figur 74



sominverkan

73

För pelarna på kortsidan blir vindlasten

, = 0.648 ∙ 6.235 = 4.040 /

, = 0.405 ∙ 6.235 = 2.525 /

De yttersta pelarna belastas med halva värdet.

Snölast

Snölasten vid raset har uppskattats på plats till 0.7-0.8 kN/m2 på lovartsidan och 1.4-1.5kN/m2 på läsidan med det större värdet vid nocken.

Detta ger en last på takåsarna på lovartsidan till

, = 0.7 ∙ 1.5 = 1.05 /

, = 0.8 ∙ 1.5 = 1.2 /

Och på läsidan till

, ä = 1.4 ∙ 1.5 = 2.1 /

, ä = 1.5 ∙ 1.5 = 2.25 /

Kraft i vindkryss

Vid insättning av lasterna i en balkmodell, se figur 76, så fås de största lasterna i taketsvindkryss till 6.6 kN närmast nocken och 12 kN i krysset mot kanten. Eftersom vinden medstörsta sannolikhet inte verkade med sådan kraft vid kollaps så kontrolleras även byggnadenutan vindlast. Draget blir då istället 0.43 kN respektive 0 kN. Vindkryssen kommer attrepresenteras av punktlaster som verkar i vindkryssens riktning.

74

Figur 76 - Modell för framtagning av laster i vindkryss

75

4.10.1 Stabilitetsanalys med last från vindkryssSkalelement

Kontroll vid drag i vindkryssen görs med laster från drag i vindkryssen enligt 4.9.1 ochsnölasten vid rastillfället. Tabell 30 visar att detta ger en lägre stabilitetslast närkonstruktionen blir instabil än med vindlast mot väggarna enligt tabell 22.

Tabell 30 - Laster då konstruktionen blir instabil för skalmodellen med last från vindkryss

Balkelement

För balkmodellen är det också ett något värre fall för stabiliteten då vindlasten bara antas tasupp i vindstagen enligt tabell 31, än om den verkar som utbredda laster mot väggarna enligttabell 24.

Tabell 31 - Laster då konstruktionen blir instabil för balkmodellen med last från vindkryss

4.10.2 NormberäkningarFör normberäkningar i modellen med rätt styvheter och en belastning med egentyngd,uppskattad osymmetrisk snölast vid raset, utan vindlast och utan säkerhetsfaktorer med kraft istagen mellan 6.6-12kN respektive 0-0.43kN så blir utnyttjandegraden 91-94 % för takbalkenvid vippning. Hanbalken är värst utnyttjad på 97-109 %. Det värsta fallet inträffar då minstvindlast verkar.

Lastuppställning Last (kN/m)Jämn last 3.6Ojämn last 2.5 resp. 5


76

4.11 Diskussion och slutsatser från takrasutredningenResultaten från analysen i FEM-design visar på flera svaga komponenter i konstruktionen.Resultatet varierar för stabilitetsanalysen beroende på om balkelement eller skalelementanvänds. Skalmodellen som antas ge en mer realistisk bild av instabilitetsfenomenen pga.lokala spänningar visar att konstruktionen var klart för svag för den rådande snölasten. Ävenbalkmodellen visade att den rådande snölasten var för stor vid en stabilitetsanalys. De rådandesnölasterna ligger i den storleksordning som det ska dimensioneras för i Uddevalla enligt enenkel överslagsberäkning

= 1.5 ∙ 0.8 ∙ 6 = 7.2 /

Det visade sig att styvheten i takåsarnas och väggreglarnas infästningar gör stor skillnad förkonstruktionen. Med antagandet att dessa är helt styva skulle takbalkarna klara sig med delaster som verkade på konstruktionen vid raset.

Skulle takbalkarna analyseras enligt första ordningens teori så skulle dessa vara på gränsen attklara belastning för böjning, men de skulle inte gå till brott. Deformationerna är stora, mednedböjning i balken på omkring 200 mm och en viss tvärriktad utböjning i underkant.

Vid analys av andra ordningens effekter kommer balken att börja böja ut mer i vekariktningen. Balken böjer ut i underkant då balken är stagad i ovankant. Detta ser ut att stämmamed brottet på de bilder som har tagits av raset.

Takåsarna är alldeles för klena för den rådande lasten och kommer att vippa eller överskridaböjkapaciteten.

Vindlasten är svår att uppskatta vid raset, men för hela konstruktionens stabilitet har deningen större inverkan. I både balkmodellen och skalmodellen har vindlasten en liten negativinverkan då vindkryssen verkar på konstruktionen, eftersom lasterna ger en excentriskbelastning i modellen.

Vid tidigare utredningar upptäcktes även att några dragstag var felaktigt infästa ikonstruktionen, vilket enligt SP Träteks rapport [9] gjorde konstruktionen mycket klenare ochskulle vara en anledning till ras.

Utredningen av raset visar på att felet ligger i både felaktig dimensionering och i felaktigtuppförande av ridhuset.

77

5 Diskussion och slutsatserDå pelare utsätts för en tryckande normalkraft kommer de stabiliserande stöden ha en storinverkan på pelarens stabilitet. Upplagsförhållandena kommer att ge olika knäckningslasterenligt Euler, beroende på om pelarna är ledat eller inspänt infästa. Dessa knäckningslaster ärde maximala lasterna som en pelare kan utsättas för innan den knäcker. En låg fjäderstyvhet ide stabiliserande stöden kan dock göra att pelaren blir instabil vid en lägre last. En initialtsnedställd pelare kommer vid tryckbelastning att ge upphov till horisontella krafter somkommer att tas upp i de stabiliserande stöden. Stöden får en mycket stor fjäderkraft dåfjäderstyvheten är i närheten av den ideala styvheten och lasten närmar sig Eulersknäckningslast. Detta betyder att den ideala styvheten är ett alldeles för lågt värde att välja viddimensionering av pelares stabiliserande stöd, styvheten ska istället vara minst det dubblavärdet av den ideala styvheten.

Initialkrokiga pelare och excentriskt belastade pelare får en stor utböjning i mitten av pelaren,men stöden får inte lika stor fjäderkraft som en snedställd pelare eftersom pelarna iställetroterar kring de ledade stöden. Pelare ska därför vid dimensionering antas vara initielltkrokiga för att kunna begränsa den deformation som uppstår i pelaren. Detta eftersom en heltrak pelare bara finns i teorin men i verkligheten kommer den alltid ha en viss imperfektion.Det kan även förvärras på arbetsplatsen eftersom monteringen inte kan antas bli exakt efterritning, vilket alltid kräver byggtoleranser där exempelvis snedställning och excentrisk lastkan uppkomma.

I provningarna som gjordes på träpelare kan det tydligt visas att de teoretiska fallen ärapplicerbara i verkligheten. Då styvheten är nära den ideala så kommer pelare med mittstödatt få en utböjningsform av en hel sinuskurva då lasten närmar sig Eulers knäckningslast.Detta gäller för slanka pelare eftersom grövre tvärsnitt kommer att gå till brott av andraorsaker än de instabilitetsbrott som beskrivs i denna rapport. Då pelarna är slanka kommerfjäderkrafterna bli större då den initiala snedställningen ökas, fjäderkraften blir även större dåfjäderstyvheten är lägre eller nära den ideala fjäderstyvheten vilket stämmer med teorin. Detär intressant att se att fjäderkraften blir densamma för ett grövre tvärsnitt oavsett vilkenfjäderstyvhet som används. Detta beror på att lasten inte är nära Eulers knäckningslast ochpelaren kommer inte att få det beteende som uppstår vid ren Eulerknäckning.

Utifrån provningarna kunde även konstateras att upplagsförhållandena är svåra att arrangera ipraktiken. Det visade sig att Eulers knäckningslast överskreds vid flera provningar av detslanka tvärsnittet. Det är inte praktiskt möjligt vid teoretiskt förutsatta förhållanden, menslanka tvärsnitt får lätt en liten inspänning vid upplagen, vilket ökar knäckningslasten. Depraktiskt korrelerade E-modulerna utifrån densiteten visar på en högre E-modul än vadträpelarna var beställda för, vilket också ökar knäckningslasten utifrån formeln för Eulersknäckningslast. Vid dimensionering av bärverk brukar man anta ledade infästningar, vilket ärpå säkra sidan enligt Eulers knäckningsfall, där pelare med ledade infästningar klarar mindrelast än pelare med inspänning. Det uppstår dock ett visst moment i infästningen som manmåste anta vid en sådan uppställning. Att E-modulen är högre än vad som föreskrivs är ocksåpå säkra sidan, detta är för allas bästa, både för leverantören som måste uppfylla kraven på

78

sina produkter och för konstruktören som måste lita på att tillräcklig bärförmåga tillgodoses iekonomiskt pressade projekt.

Takraset som utreds i rapporten visar hur en hel konstruktion påverkas av infästningarnas ochanslutningarnas styvheter med hänsyn till stabilitet. Detta är något som sällan tas i beaktandevid dimensionering, infästningarna sätts antingen till fullt ledade eller fullt inspända medoändlig styvhet. I stabilitetsanalyserna som görs av den raserade byggnaden jämförsstabilitetslasten då konstruktionens anslutningar har oändligt styvhet och då styvheterna ärframräknade, vilket visar att beräknade styvheter ger en märkbar försämring avkonstruktionens stabilitet. Vid utredningen visade det sig att konstruktionen inte vartillräckligt stabil även då infästningarna hade oändlig styvhet.

Sammanfattningsvis kan man konstatera att stagningars fjäderstyvheter är en viktigkomponent för stabilitet samt för de krafter som uppstår i stagen. Främst gäller det för slankaelement med risk för knäckning eller vippning. Det är därför viktigt att ha i åtanke att deriktiga fjäderstyvheterna kan ge ett värre fall av instabilitet än då infästningar och anslutningarberäknas med oändlig fjäderstyvhet. När en konstruktion anses ha risk för stabilitetsbrott bördärför de stabiliserande elementen modelleras eller beräknas med rätt fjäderstyvheter iinfästningarna och anslutningarna.

79

6 Förslag till fortsatt arbeteBestäm hur Eulers knäckningslast verkar på en inspänd pelare. Stämmer teorin med praktiskaförsök?

Hur stämmer knäckningslaster och utböjningsformer för pelare med flera mittstöd?

Kontrollera hur anslutningars fjäderstyvhet påverkar en hel konstruktion, rotationsstyvheteretc. Stämmer praktiska försök med teorin?

80

81

7 Referenser[1] Boverket. Regelsamling för konstruktion, Boverkets konstruktionsregler, BKR.

2003.

[2] Per Johan Gustafsson. Kurspärm Balkteori. Lund University. Division ofStructural Mechanics. 2008.

[3] Joseph A. Yura, and Todd A. Helwig. Bracing for stability. Structural StabilityResearch Council. 1995.

[4] Stephen P.Timoschenko and James M.Gere. Theory of elastic stability. Seconded, Dover ed. Mineola, N.Y. Dover Publications. 2009[1961].

[5] H. J. Larsen and H. Riberholt. Traekontruktioner , Förbindelser. SBI-Anvisning194 – Statens Byggeforskningsinstitut. 1999.

[6] Tord Isaksson and Annika Mårtensson. Byggkonstruktion: regel- ochformelsamling: baserad på Eurokod. 2. uppl. Lund: Student literature. 2010.

[7] Tord Isaksson, Annika Mårtensson and Sven Thelandersson. Byggkonstruktion.Lund: Student literature. 2005.

[8] StruSoft. FEM-Design User Manual.Structural Design Software in Europe AB.2010.

[9] Mats Axelsson. Raserat Ridhus i Nöthult, Uddevalla Kommun. SP Trätek. 2010.

[10] Martinssons Limträ. Konstruktionsritningar Nöthult 1:14 Bäve, RidhusUddevalla. 1992

[11] Hans Carlsson. Sidostagning av slanka Takbärverk. Chalmers University ofTechnology, Division of Steel and Timber Structures. 1987.

[12] Per Johan Gustafsson. A Structural joint and support finite element. LundUniversity. Division of Structural Mechanics. 2006.

[13] George Winter. Lateral bracing of columns and beams. ASCE Journal.Structural Division. 1958.

[14] Charles G. Salmon, John E. Johnson. Steel Structures design and behavior 4th

edition (avsnitt 9.13, Lateral Bracing Design). Harper Collins CollegePublishers. 1996.

82

[15] Theodore V. Galambos, Andrea E. Surovek. Structural stability of steel:concepts and applications for structural engineers. John Wiley & Sons, Inc.2008.

83

8 Bilagor

8.1 Bilaga 1Labbdata för tvärsnitt 22x95

L/x=Initial snedställningen av pelartoppen: L=2meter, x=0, 50, 100

P1, P2, P3=Provkropp 1-3

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)

Fjäder i topp, L/0 P1

K=8.67

K=12.3

K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-2 0 2 4 6 8 10

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

-0.50

0.51

1.52

2.53

3.54

-2 0 2 4 6 8 10

P(k

N)

Utböjning (mm)

FJäder i topp, L/0 P3

K=8.67

K=12.3

K=23.63

84

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

85

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

86

-2

0

2

4

6

8

10

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)

Fjäder på mitt, L/0 P1

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

-2

0

2

4

6

8

10

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

87

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

-2

0

2

4

6

8

10

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

-2

0

2

4

6

8

10

12

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

88

-2

0

2

4

6

8

10

0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

2

4

6

8

10

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)

FJäder på mitt, L/50 P2

K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

-2

0

2

4

6

8

10

12

14

-10 0 10 20 30

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

89

Labbdata för tvärsnitt 45x140

L/x=Initial snedställningen av pelartoppen: L=2meter, x=0, 50, 100

P4, P5, P6=Provkropp 4-6

0

5

10

15

20

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

25

-2 0 2 4 6 8 10

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

25

-1 0 1 2 3

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

90

02468

1012141618

-10 0 10 20 30

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

-5 0 5 10 15 20

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

91

0

5

10

15

20

-10 0 10 20 30

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

0

5

10

15

20

25

-5 0 5 10 15

P(k

N)

Utböjning (mm)


K=8.67

K=12.3

K=23.63

K=41.05

92

8.2 Bilaga 2För =

= − = ( − )

En förenkling används

=

+ =

Ansats

= cos + sin +

Randvillkor

= = 0

När = 0

= −

= 0

Alltså när

= (1 − cos )

=

När =

cos = 0

Detta betyder att cos = 0 om det ska vara någon utböjning i toppen och kravet skauppfyllas

= (2 − 1)2

= 1,2,3 …

Valet av antalet utböjningskurvor på pelaren representeras av . Det lägsta värdet för denkritiska lasten uppkommer för en kurva, vilket motsvarar knäckfallet då = 1.

93

= =2

=∙

(2 )

För =

= − = −

Randvillkor

= 0 å = 0 ℎ =

" = 0 å = 0 ℎ =

Ansats

=

Kontroll av ansats

" = = 0 ö = 0 ℎ =

= = 0 ö = 0 ℎ =

För att beräkna knäckningslasten måste ≠ 0 å = /2

Detta ger lasten

=

=

För = .

Utböjningen som ges vid knäckfallet ger upphov till en horisontell last i den ledade änden dåden måste motverka momentet som uppstår i den fast inspända änden.

Differentialekvationen

+ = 0

Randvillkor

94

När = 0

= = 0

När =

= = 0

Lösningen till differentialekvationen då

=

Ger den generella lösningen

= cos + sin + +

Randvillkoren uppfylls då

+ = 0

+ = 0

+ = 0

cos + sin = 0

För att det ska kunna bli en utböjning på pelaren kan inte = = = = 0. Detta kräveren icke trivial lösning som uppfyller kraven.

Genom att byta ut B mot A med hjälp av de tre översta kraven blir den fjärde ekvationen.

−sin

+ cos = 0

Alltså

tan =

Lösningen där kurvan för tan och den linjära ekvationen = uppfylls vid ett lägstavärde

= 4.493

Vilket ger den lägsta kritiska lasten till

= = 4.493

95

=∙

(0.699 )

För = .

Den generella lösningen används även till detta knäckningsfall

= cos + sin + +

Randvillkor

= = 0

När = 0 och = 0

Dessa villkor ger följande ekvationer för att få fram konstanterna till den generella lösningen

+ = 0

+ = 0

cos + sin + + = 0

− sin + cos + = 0

För att finna en icketrivial lösning måste determinanten av dessa vara lika med noll.

1 00

0 11 0

cos sin − sin cos

11 0

= 0

Detta ger ekvationen

2(cos − 1) + sin = 0

sin och cos kan skrivas om till

sin = 2 sin2

cos2

cos = 1 − 2 sin2

Då kan ekvationen skrivas om som

sin2 2

cos2

− sin2

= 0

En lösning till ekvationen är

96

sin2

= 0

Vilket ger

= 2

= →

=∙

(0.5 )

Documents

Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet för träpelare · J Avdelningen för Konstruktionsteknik Lunds Tekniska Högskola Lund Rapport TVBK Stagningsstyvhetens inverkan på stabilitet