III 4. KRITERIJUMI STABILNOSTI LINEARNIH SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Osnovno obeležje svih kriterijuma stabilnosti je da se njihovim korišćenjem dobi-

ja odgovor na pitanje da li je razmatranisistem stabilan ili ne, a bez rešavanja njegove diferencijalne jednačine ponašanja.

U savremenoj teoriji i praksi automatskog upravljanja koriste se, uglavnom, tri

grupe kriterijuma: (i) algebarski kriterijumi, (ii) frekventni kriterijumi, (iii) grafo-analitički kriterijumi. 1. Algebarski kriterijumi stabilnosti Rautov kriterijum stabilnosti

Neka je data karakteristična jednačina sistema n-tog reda:

1,0)(0

=== ∑=

n

n

k

kk asasf . (17)

Od koeficijenata ia , i =1,2...n, formira se osnovna Rautova tablica koja ima

(n+1) vrstu i izgleda ovako:

L

M

L

L

L

L

L

1

321

321

321

531

42

H

CCCBBBAAA

aaaaaa

nnn

nnn

−−−

−−

, (18)

gde su:

1

3211

−

−−− −=

n

nnnn

aaaaa

A , 1

5412

−

−−− −=

n

nnnn

aaaaa

A

1

21311 A

AaaAB nn −− −

= , 1

31512 A

AaaAB nn −− −

=

1

21211 B

BAABC

−= ,

1

31312 B

BAABC

−= (19)

… … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … …

Za sistem drugog i trećeg reda Rautova šema izgleda ovako:

0

1

02

0

2

aa

aan =

1

1

02

13

3

BA

aaaa

n =

(20)

Teorema 4. Da bi sistem, dat svojom karakterističnom jednačinom, jed.(17), bio stabilan, potrebno je i dovoljno da svi koeficijenti Rautove prve kolone budu istog znaka. Teorema 5. Broj korena karakteristične jednačine sistema, jed.(17), koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka u Rautovoj prvoj koloni. Hurvicov kriterijum stabilnosti

Karakteristična jednačina razmatranog sistema n-tog reda data je sa:

1,0)(0

=== ∑=

n

n

k

kk asasf . (21)

Korišćenjem koeficijenata karakterističnog polinoma ia , i=1,2...n, može se formi-

rati Hurvicova determinanta:

02

1

2

31

42

531

0000000

0000000000

aaa

aaaaaaaaaa

nn

nn

nnn

nnn

n

MMLLMMM

LL

LL

LL

LL

−

−−

−−

−−−

=∆ , (22)

kao i glavni minori:

1

31

42

531

331

211 ,,0

,, −

−−

−−

−−−−−

− ∆=∆=∆=∆ n

nn

nnn

nnn

nn

nnn

aaaaaaaa

aaaa

a L . (23)

Teorema 6. Da bi sistem, dat svojom karakterističnom jednačinom, jed.(17), bio stabilan potrebno je i dovoljno: (i) da su svi koeficijenti njegovog karakterističnog polinoma pozitivni: a i >0, ∀i=1,2...n, (24) (ii) da su svi glavni uzastopni minori ∆i njegove Hurvicove determinante pozitivni: ∆ i >0, ∀i = 1,2...n-1. (25)

Ako bar jedan ili oba uslova nisu ispunjena, razmatrani sistem nije stabilan.

U slučajevima kada je sistem stabilan, Hurvicov kriterijum ne ukazuje u kojoj je meri ova osobina sistema zadovoljena. Naime, osnovni nedostatak ovde izloženih alge-barskih kriterijuma stabilnosti jeste njihova nemogućnost da ukažu na rezervu, odnosno stepen stabilnosti razmatranog sistema.