SIGNALI I SISTEMI - Project-BenefitLinearnost sistema •Sistem opisan dif. jednačinom (*) će biti linearan samo ako su početni uslovi jednaki nuli. •Ako početni uslovi nisu

Disclaimer: The European Commission support for the production of this website does not constitute

an endorsement of the contents which reflects the views only of the authors, and the Commission

cannot be held responsible for any use which may be made of the information contained therein.

FAKULTET ELEKTROTEHNIKE UNIVERZITETA U TUZLI

SIGNALI I SISTEMI LTI SISTEMI

PROF. DR. NERMIN SULJANOVIĆ PROF. DR. ASMIR GOGIĆ


LTI sistemi

• LTI • L - linear

• TI – time-invariant

• većina fizičkih procesa posjeduje ova svojstva i mogu se modelirati kao LTI sistemi,

• pogodni za analizu zbog svojstva superpozicije.


Svojstvo superpozicije

• Ako se ulaz u LTI sistem može predstaviti kao linearna kombinacija skupa osnovnih (baznih) signala, superpozicija se može iskoristiti da se izlaz sistema izračuna kao suma odziva sistema na pojedinačne bazne signale.


LTI sistemi

• Pokazaćemo da je relacija između ulaza i izlaza LTI sistema povezana preko operacije konvolucije.

• Značaj konvolucije: poznavanje odziva sistema na impulsni ulaz osigurava mogućnost određivanja odziva sistema na proizvoljne ulazne signale.


Odziv kontinualnih LTI sistema i konvolucioni integral

• Impulsni odziv: • Impulsni odziv h(t) kontinualnog LTI sistema (opisanog

pomoću operatora T) se definira kao odziv sistema kada je ulaz 𝛿(t), tj.

h(t)=T{𝛿(t)}

Zbog čega nam je zanimljiv impulsni odziv?


Impulsni odziv

• Omogućava nam da odredimo odziv LTI sistema na proizvoljan ulaz.

• Proizvoljan signal x(t) možemo predstaviti pomoću velikog broja pomjerenih impulsa.


• Aproksimiramo proizvoljni ulazni signal x(t) pomoću sume pomjerenih i skaliranih impulsa

)()(ˆ kxtx

)1(ktk


ima jediničnu površinu )(t

)1(k

)()( ktkx

k

ktkxtx )()()(ˆ

0 dtxtx

)()()(


Odziv na proizvoljan ulaz

• Pošto je sistem linearan, odziv y(t) na proizvoljan ulaz x(t) se može izraziti kao:

)()( tTth

dthxty )()()(

Jer je sistem vrem. invarijantan

KONVOLUCIONI INTEGRAL


Odziv na proizvoljan ulaz

LTI SISTEM JE U POTPUNOSTI OKARAKTERIZIRAN SVOJIM

IMPULSNIM ODZIVOM.


Ili na drugi način...

)(tx LTI sistem )(ty

)()( tht

k

ktkxtx )()()(ˆ

k

kthkxty )()()(ˆ

0

dthxty )()()(

dtxtx )()()(


Konvolucioni integral

• Konvolucija dva kontinualna signala x(t) i h(t) je:

• Fundamentalan rezultat da je izlaz bilo kojeg kontinualnog LTI sistema konvolucija ulaza x(t) i impulsnog odziva h(t).

dthxthtxty )()()(*)()(


Operacija konvolucije

dthxthtxty )()()(*)()(

)(h )( hobrnuti

)( h )( thpomjeriti za t

pomnožiti )()( thx

integrirati

dthx )()(


Primjer

x(t)

1

1 3 t

h(t)

1

-1 t -2

*

x()

1

1 3

h(t-)

t

Obrnuti i pomjeriti za t

t+1

t+2


Vremenski interval x()h(t- ) Izlaz

t < -1 0 0

x()

1

1 3

h(t-)

t t+1

t+2

0 1

1



-1 < t < 0 y(t)=(t+1)(t+2-1)/2

=(t+1)2/2

x()

1

1 3

h(t-)

t t+1

t+2

1 2

2

t+1 t+2

t+1



0 < t < 1 y(t)=(1/2)·1 · 1=1/2

x()

1

1 3

h(t-)

t t+1

t+2

2 3

2

t+1 t+2

1



1 < t < 2 y(t)=(1/2)-(t+2-3)(t-1)/2

= (1/2)-(t-1)2/2

x()

1

1 3

h(t-)

t t+1

t+2

3 4

4

t+1 t+2

1



t > 2 0

x()

1

1 3

h(t-)

t t+1

t+2

0


Svojstva konvolucionog integrala

1. Komutativnost

2. Asocijativnost

3. Distributivnost

)(*)()(*)( txththtx

)(*)(*)()(*)(*)( 2121 ththtxththtx

)(*)()(*)()()(*)( 2121 thtxthtxththtx


Primjeri

)()(*)( 00 ttxtttx

)()(*)( txttx


Odziv na step funkciju

)()( tuTts

dhdtuhtuthts

t

)()()()(*)()(

u()

1

u(t-)

1

t


Odziv na step funkciju

ODSKOČNI ODZIV s(t) SE MOŽE

DOBITI INTEGRACIJOM

IMPULSNOG ODZIVA h(t).

Ili integracijom poslednje jednačine:

h(t)=ds(t)/dt


Svojstva kontinualnih LTI sistema

• Sistemi sa ili bez memorije • Izlaz zavisi samo od ulaza u tom trenutku.

• Ako je sistem bez memorije linearan i vremenski invarijantan, očigledno da sistem posjeduje ova svojstva samo ako je y(t)=Kx(t).

• Bez memorije => nema izvoda i integrala.

• Da bi izlaz zavisio samo od ulaza u datom trenutku, mora vrijediti h(t)=0 za t≤0 (konvolucioni integral).

• Impulsni odziv takvog sistema je K(t)=K𝛿(t).


Kauzalnost

• Izlaz sistema zavisi samo od tekućih i prošlih vrijednosti ulaza u sistem.

• Da bi LTI sistem bio kauzalan, odziv y(t) ne smije zavisiti od ulaza x(𝜏) za 𝜏>t.

• U konvolucionom integralu članovi h(t-𝜏) koji množe vrijednosti x(𝜏) za 𝜏>t moraju biti nula.

• Ova činjenica zahtijeva da impulsni odziv kauzalnog kontinualnog LTI sistema zadovoljava:

h(t)=0 za t<0.


Kauzalnost

• Izlaz kauzalnog kontinualnog LTI sistema:

• Ako je i ulazni signal kauzalan:

dthxdtxhty

t

)()()()()(0

dthxdtxhty

tt

)()()()()(00


Stabilnost • Prema definiciji, sistem je BIBO stabilan ako ograničen

ulaz daje ograničen izlaz.

• Ako je Ix(t)I<B za svako t, onda vrijedi:

• Sistem je BIBO stabilan ako je njegov impulsni odziv apsolutno integrabilan:


Svojstvene funkcije kontinualnih LTI sistema

T: Ako operator T opisuje kontinualni LTI sistem, tada vrijedi T{est}=𝜆est, gdje je s kompleksna promjenljiva i 𝜆 kompl. konst.

D: Neka je y(t) izlaz sistema na ulaz x(t)=est.

T{est}=y(t)

Sistem je vremenski invarijantan:

T{es(t+t0)}=y(t+t0) za proizvoljno t0


Sistem je linearan:

T{es(t+t0)}=T{estest0}=est0T{est}=est0y(t)

T je operator koji se odnosi na t. Za njega je est0

konstanta.

y(t+t0)=est0y(t)

Kako je t0 proizvoljno, smjenom t0 u t imamo:

T{est}=est, =y(0)

y(t)=y(0)est=est

y(t0)=y(0)est0 Uzimajući t=0:


Svojstvene funkcije

• Funkcija X(·) koja koja zadovoljava jednačinu

T{X(·)}=𝜆X(·)

naziva se svojstvena (ili karakteristična) funkcija operatora T a konstanta 𝜆 je svojstvena vrijednost koja odgovara svojstvenoj funkciji X(·).


U konvolucionom integralu uzmemo x(t)=est:


Opis LTI sistema pomoću linearnih diferencijalnih jednačina

• Linearna diferencijalna jednačina sa konstantnim koeficijentima N-tog reda:

• ak, bk => realne konstante

N

k

M

kk

k

kk

k

kdt

txdb

dt

tyda

0 0

)()( IMPLICITNA

SPECIFIKACIJA

SISTEMA!

EKSPLICITNA:

RJEŠENJE

DIFERENCIJALNE

JEDNAČINE!

(*)


Značaj

• Red N se odnosi na najveći izvod y(t).

• Imaju glavnu ulogu u opisivanju relacija između ulaza i izlaza širokog spektra sistema.

• Primjer su linearna električna kola (R, L i C elementi.)


Primjer: serijsko RC kolo

)(1

)(1)(

txRC

tyRCdt

tdy

)()( tvtx s

)()( tvty c

)()()( tytyty ph Opšte rješenje

Homogeno

rješenje

Partikularno

rješenje


Homogeno rješenje

• Zadovoljava homogenu diferencijalnu jednačinu:

• Egzaktan oblik yh(t) određen je sa N početnih uslova:

za neki određeni trenutak t0.

0)(

0

N

kk

h

k

kdt

tyda

1

1 )(,...,

)(),(

N

N

dt

tyd

dt

tdyty


Linearnost sistema

• Sistem opisan dif. jednačinom (*) će biti linearan samo ako su početni uslovi jednaki nuli.

• Ako početni uslovi nisu nula, tada se odziv y(t) može izraziti kao:

y(t)=yzi(t)+yzs(t)

yzi =>odziv na početni uslov (“zero-input response”)

yzs => odziv linearnog sistema (nulti početni uslovi-”zero-state response”).


Linearnost sistema

NULTI POČETNI USLOVI

||

\/

SISTEM JE LINEARAN


• Suština je da se nelinearan sistem može predstaviti preko linearnog.

• Odziv cijelog sistema je superpozicija odziva linearnog sistema i odziva na početni uslov.

Linearan

sistem + )(tx

)(tyzs

)(tyzi

)(ty


UOČITE:

•yzi(t) yh(t)

•yzs(t) yp(t)


Suština

• Početni uslovi različiti od nule se odvojeno dodaju na LTI sistem, tj. nelinearni sistem predstavljamo pomoću linearnog.

• Linearni sistem: ulaz jednak nuli implicira da i izlaz mora biti nula. • Zbog osobine homogenosti.


Primjer: .),()()(

constatxtaydt

tdy

)()(,)0( 0 tuKetxyy bt

Homogeno rješenje asas 0

bt

h Aety )(

Partikularno rješenje

btpbt

p bBedt

dytBety 0,)(

(*)

btbtbt KeaBebBe


Primjer Partikularno

rješenje ba

KBKBba

)(

0,

teba

Ky bt

p

0,)(

teba

KAety btat

0)0(0 yyt ba

KyA

0


Primjer: Za t<0, x(t)=0 i imamo homogenu jednačinu:

0,)( tBety at

0,)()0( 000 teytyyByy at

Konačno rješenje?????


Rješenje?


Primjer:

Za t<0, x(t)=0 i imamo homogenu jednačinu:

0,)( tBety at

0,)()0( 000 teytyyByy at

)()( 0 tueeba

Keyty atbtat

Konačno rješenje:

yzi(t) yzs(t)

IZLAZ JE NULA

KADA JE ULAZ

NULA!


KAUZALNOST • Različiti početni uslovi vode različitim relacijama između ulaza i

izlaza.

• Da bi sistem opisan dif. jednačinom bio kauzalan, mora zadovoljiti uslov “početnog mirovanja”.

• Ako je x(t)=0 za t ≤ t0, tada mora vrijediti y(t)=0 za t ≤ t0.

• Ne definiramo početni uslov za neku fiksnu tačku u vremenu, već prilagođavamo ovu tačku tako da je odziv nula dok ulaz ne postane različit od nule.

• Odziv za t>t0 se dobija rješavanjem dif. jednačine uz početne uslove:

• Za početno mirovanje vrijedi yzi=0.

0)(

...)(

)(1

0

1

00

N

N

dt

tyd

dt

tdyty


Vremenska invarijantnost

• Uslov početnog mirovanja.

• Uzmimo za primjer sistem opisan jednačinom:

0)0(),()()(

ytxtaydt

tdy



• Neka je y1(t) odziv sistema na x1(t) i x1(t)=0 za t≤0.

• Neka je y2(t) odziv sistema na x2(t)=x1(t-𝜏) i x2(t)=0 za t≤𝜏.

0)0(),()()(

1111 ytxtaydt

tdy

0)(),()()(

2222 ytxtaydt

tdy



• Uvodimo smjenu:

tddttt ˆ,ˆ

)()( 12 tyty

0)0()()()( 1112 yytyty tt


EoL

Documents

SIGNALI I SISTEMI - Project-BenefitLinearnost sistema •Sistem opisan dif. jednačinom (*) će biti linearan samo ako su početni uslovi jednaki nuli. •Ako početni uslovi nisu