STABILITE DES SYSTEMES LINEAIRES1-INTRODUCTION :Ltude de la stabilit est dune importance capitale dans ltude des systmes et des systmes asservis. Voici une dfinition intuitive. Un systme est stable si, lgrement perturb de sa position dquilibre, il y revient. Il est instable, sil sen loigne. Un exemple simple qui permet de saisir la notion de stabilit est le pendule invers par comparaison au pendule non invers. Un pendule invers est instable car ds quil est lgrement perturb de sa position, il la quitte sans y revenir. Un pendule non invers, sil est perturb revient sa position dquilibre.

Figure 6.1 : Schma du pendule invers et non invers.

Voici quelques dfinitions de la stabilit : Un systme est stable si pour une entre constante, la sortie reste constante quelles que soient les perturbations. Un systme est stable si une entre borne correspond une sortie borne. Une dfinition quivalente est quun systme est stable si la rponse libre du systme tend vers zro linfini. 2-STABILITE A PARTIR DE LA REPONSE TEMPORELLE :Pour se rapprocher mathmatiquement de la dfinition intuitive de la stabilit vue prcdemment, on peut illustrer lide de systme lgrement perturb puis dobserver sil revient avec le temps sa position dquilibre. De part sa brivet, limpulsion de Dirac peut simuler une perturbation agissant sur un systme durant un laps de temps infinitsimal. a) Exemple dun systme stable du premier ordre Soit un systme de fonction de transfert correspondant, par exemple, un systme lectrique comme celui de la Figure 1 :

Figure 6.2: schma dun circuit lectrique Lquation diffrentielle qui relie lentre u (t) la sortie i (t) est : L. di +Ri =u

dt

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1 I ( p) Ce systme peut tre reprsent par sa fonction de transfert : F ( p) = = R U ( p ) 1 + Tp

avec T = L

R

On sait que lentre impulsion de Dirac est : u(t)= (t)par la rsolution de lquation diffrentielle ou par inversion de la fonction deRt L

transfert, la rponse impulsionnelle est : i (t) = i0 e

, on peut prsenter graphiquement cette solution

pour R=2 et L=1. Reprenons le trac de cette fonction :

Figure 6.3: rponse impulsionnelle dun systme du premier ordre stable

Est-ce que le systme, perturb par une impulsion de Dirac, revient sa position dquilibre ? On constate quaprs un certain temps (environ 2 secondes), il revient sa position dquilibre. Mathmatique cela signifie que lorsque t + ; y (t ) 0 ce qui signifie que le systme revient sa position initiale dquilibre. Ltude de la stabilit consiste analyser le comportement asymptotique de la rponse du systme considr. b) Exemple dun systme instable du premier ordre : Si nous considrons un autre systme de fonction de transfert

F ( p) =

1 ; la rponse limpulsion p2

de Dirac est i(t) = i0.e2t . la reprsentation graphique de cette courbe montre que, contrairement au premier systme, ce dernier est instable car, lgrement perturb, il sloigne de sa position dquilibre ; lorsque t + ; i (t ) +

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Im p u ls e R e s p o n s eFrom: U(1 ) 12

10

8

A m p lit u d e

To: Y (1 )

6

4

2

0 0 0 .2 0 .4 0 .6 0 .8 1 1 .2

Tim e (s e c . )

Figure 6.4: rponse impulsionnelle dun systme du premier ordre instable Leffet du signe des ples de la fonction de transfert sur la stabilit A partir des deux exemples simples prcdents, on constate que la stabilit dun systme est dtermine par le signe des ples de la fonction de transfert du systme tudi. On rappellera que les ples sont les solutions du dnominateur de la fonction de transfert du systme considr. Dans le premier exemple, le pole est un nombre rel ngatif p=-2, le systme est stable. Le fait que le pole soit rel ngatif conduit lexponentielle sannuler avec lcoulement du temps. Dans le deuxime cas, le pole est un nombre rel positif p=+2, le systme est instable car lexponentielle diverge.

Autres ExemplesExemple dun systme du second ordre stableSoit le systme G1 ( p ) =

1 ; les ples sont p = -2 et p = -1. On constate que tous les ples ( p + 2)( p + 1)

2 t A A sont parties relles ngatives. La solution limpulsion de Dirac est : y1 (t)= 1 .e t + 2.e

Il sagit dun systme stable.

Exemple dun systme du second ordre instableSoit le systme G2 ( p ) =

1 ; les ples sont p = +2 et p = -1. On constate quil ya un ple ( p 2)( p + 1)2 t y2 (t)= 1 .e+ t + 2.e A A

partie relle positive. La solution limpulsion de Dirac est Il sagit dun systme instable. (divergence).

Le pole partie relle positive induit linstabilit du systme

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Exemple dun systme du second ordre stable mais oscillantSoit le systme

G3 ( p ) =

1 ; les ples sont p1 = 1 j. 3 et p2 = 1 + j. 3 . On ( p + 2. p + 4)2

constate quil ya deux ples complexes conjugus partie relle ngative. La rponse limpulsion de t Dirac est y3 (t)=A .et cos( + ) , le systme revient sa position de repos en manifestant une oscillation amortie. Les parties imaginaires des ples sont responsables de loscillation. La partie relle ngative est responsable de la dcroissance.

Figure 6.5: rponse impulsionnelle dun systme du second ordre oscillatoire amorti Il sagit dun systme stable mais qui contient un effet oscillant amorti. Cet effet oscillatoire peur devenir gnant sil dure trop longtemps pour certains systmes. Les oscillations peuvent aussi crer des dpassements dont les niveaux peuvent tre inacceptables pour certains systmes et certaines applications.

Exemple dun systme du second ordre oscillantSoit le systme

G4 ( p ) =

1 ; ( p + 4)2

On peut le mettre sous la forme : G4 ( p ) =

A0 B0 1 1 = = + p + 4 ( p + 2 j )( p 2 j ) p + 2 j p 2 j2

Dans cette forme, on met en vidence deux ples complexes conjugus parties relles nulles. la solution t limpulsion de Dirac est y1 (t ) = A . cos( +) Le systme prsente un effet doscillation permanente qui nest pas amortie. On dit quil est la limite de la stabilit ou quil est juste oscillant. Cette situation est la limite entre la stabilit et linstabilit.

Exemple dun systme du second ordre instable et oscillantSoit le systme G5 ( p ) =

1 ; On peut le mettre sous la forme : ( p 0.1 p + 0.1)2

G5 ( p ) =

A0 B0 1 1 = = + p 0.1 p + 0.1 ( p 0.05 + 0.3 j )( p 0.05 0.3 j ) p 0.05 + 0.3 j p 0.05 0.3 j2

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Les ples sont complexes conjugus parties relles positives (p1= 0.05+0.3j) et (p2 = 0.05-0.3j). La 0.05 t . sin( 0.3t ) solution limpulsion de Dirac est y5 (t ) = A .e Le systme est instable tout en prsentant un effet doscillation (divergence oscillatoire).

Figure 6.6: rponse impulsionnelle dun systme du second ordre oscillatoire non amorti (instable) De tous les exemples considrs, on peut conclure que le signe des parties relles des ples est responsable de la stabilit ou de linstabilit. Les parties imaginaires sont responsables doscillations.

3-CONDITIONS GENERALES DE STABILITEPour quun systme linaire soit stable, il faut que tous les ples de sa fonction de transfert soient parties relles ngatives.

Critres de stabilitDans le cas ou les ples peuvent tre mis sous la forme dun produit de facteurs, la conclusion concernant la stabilit du systme est immdiate par simple examen des signes des parties relles des ples. Mais dans le cas ou lexpression du dnominateur de la fonction de transfert est une expression algbrique n n 1 polynomiale du type : Bn . p + Bn 1. p + ... + B1 . p + B0 il nest plus vident de juger la stabilit dun systme dun simple regard. Dans ce cas, le critre de Routh, permet par simple examen des coefficients dune quation algbrique, de savoir si toutes ses racines sont ou non parties relles ngatives. Il permet donc de juger la stabilit.

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Condition ncessairePour que le systme soit stable, il faut que tous les coefficients de lquation caractristique soient du mme signe que An. Cette condition est une condition suffisante pour les systmes du premier et du second ordre.

CRITERE DE ROUTHSoit donn une quation caractristique dune FT dun systme Bn . p + Bn 1. p + ... + B1 . p + B0 dont on veut tudier la stabilit. Lutilisation du critre de Routh commence par la construction du tableau suivant (tableau de Routh). Ce tableau est construit avec les coefficients du polynme de lquation caractristique (voir Tableau 6.1).n n 1

-- On commence par construire les deux premires lignes de ce tableau en permutant les coefficients Bi de lquation caractristique entre la premire ligne et la deuxime en commenant en plaant le coefficient Bn comme premier terme dans la premire ligne. -- On calcule les lments qui remplissent les autres lignes du tableau selon une rgle similaire celle du calcul des dterminants des matrices.

pn pn-1pn-2 pn-3

p 1

Tableau 6.1 : construction du tableau de Routh Le coefficient Bn est appel le pivot de la troisime ligne. 1 Les coefficients de la troisime ligne sont calculs comme suit

La quatrime ligne sobtient comme la troisime en multipliant en diagonale les termes de la deuxime et de la troisime ligne.

, et ainsi de suite :

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On continue le remplissage de nouvelles lignes jusqu extinction des lments. La premire colonne est appele colonne des pivots. Le coefficient Bn est appel le pivot de la troisime ligne et le terme c1 1 est le pivot de la quatrime ligne. Lorsque le tableau est achev, on peut lexploiter pour juger de la stabilit du systme donn en analysant tout simplement les signes des lments de la premire colonne. a) Si tous les termes de la premire colonne du tableau de Routh sont positifs (de mme signe), alors, lquation caractristique ne possde que des racines partie relle ngative et le systme de fonction de transfert T(p) est stable. Dans ce cas, la rponse transitoire du systme est compose dexponentielles amorties, la rponse tend vers zro pour t tendant vers linfini, le systme revient sa position dquilibre, le systme est stable. b) Sil ya n changements de signe dans la premire colonne, lquation caractristique possde n racines parties relles positives. Le systme est instable. Un seul pole partie relle positive est suffisant pour produire une divergence exponentielle, responsable de linstabilit. c) Si tous les coefficients dune ligne sont nuls, lquation caractristique possde alors des racines imaginaires pures conjugues. Le systme de fonction de transfert T(p) contient une oscillation. Deux situations peuvent arriver : sil na pas de changement de signe dans la premire colonne, le systme est un systme oscillant pur. sil ya au moins un changement de signe, alors le systme est instable mais contient une oscillation.

Mais, pour dcider de quelle situation il sagit, il faut pouvoir continuer lanalyse de la premire colonne du tableau de Routh. Le tableau se prsente sous la forme : pm+2 pm+1 pm pm-1 pm-2

10

20

30

---0

---0

Table 6.2 : cas de tous les coefficients nuls dune ligne Les racines partie relle nulle sont les zros du polynme de degr m dont les coefficients sont les termes , ,... de la dernire ligne non nulle 1 2

p + pm 1 2

m 2

+

2

p

m 4

.+ ...= 0

On peut continuer le remplissage de ce tableau en reconstituant la ligne des zros laide du polynme

p + p1 2

m

m 2

+

2

p

m 4

.+ ... . Pour cela, on drive ce polynme par rapport la variable p, dou :

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m. p1

m 1

+ ( m 2)

2

p

m 3

+ ( m 4)

2

p

m 5

. + =0 ...

Si on veut dterminer dans ce cas le signe des autres racines de lquation caractristique, il faut continuer le tableau de Routh en remplaant les coefficients nuls de la ligne p m 1 par les coefficients du polynme 2 driv ; c--d par les coefficients m.; (m ). ;.. 1 2 pm+2 pm+1 pm pm-1 pm-2 Table 6.3 : cas de tous les coefficients nuls dune ligne Cas particulier: Si on trouve un pivot nul, les termes de la mme ligne ntant pas tous nuls, on peut continuer le tableau en remplaant le pivot par , nombre petit.

1 m 1

2(m-2)

3(m-4) 3

2

---0

---0

ExempleSoit un systme de FT: F ( p ) =

1 p + 3. p + 3. p + 1 + k3 2

Lquation caractristique est : p3 +3p2 +3p +1 +k =0

avec k>0

On construit le tableau de Routh pour pouvoir juger de la stabilit de ce systme.

On applique le critre de Routh pour juger de la stabilit du systme. a--- Si k < 8, la premire colonne du tableau de Routh aura des coefficients tous positifs (de mme signe). Le systme est stable. b---Si k > 8, tous les termes de la premire colonne ne sont pas de mme signe. Le systme est instable. Il ya deux changements de signe, dou prsence de deux ples instables ( partie relle positive) c---Si k = 8, Il ya une ligne de coefficients tous nuls. Cest la preuve quil ya des racines imaginaires conjugues. Ces racines sont solutions du polynme prcdant la ligne des zros. Le polynme est : 3p2+ (1+8)=0 Les racines sont solutions de ce polynme oscillation. p1= j 3 et p2 = -j 3 . Le systme contient donc une

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Stabilit avec Matlab :On peut utiliser Matlab qui donne toutes les racines du polynme caractristique de la fonction de transfert. Soit lexemple suivant de la FT :

F ( p) =

p 2 3. p 2 p 4 + 3. p3 + 5. p 2 + 6. p + 7p4 + 3 p3 + 5 p2 + 6 p +7.

Le polynme caractristique est :

Pour dterminer les racines de ce polynme, Matlab dispose de la commande "roots". Il suffit de taper sous Matlab, c =[1 3 5 6 7] roots(c) Cette fonction (roots) dtermine les racines du polynme donn. Les racines sont prsentes ligne par ligne, partie relle suivie par la partie imaginaire.Rponse: -1.5724 + 0.9586i -1.5724 - 0.9586i 0.0724 + 1.4349i 0.0724 - 1.4349i

Le systme examin est instable car il a deux racines parties relles positives: p1 = 0.0724 + 1.4349i et p2 = 0.0724 - 1.4349i. Il contient aussi une oscillation due aux racines complexes conjugues.

4-DEGRE DE STABILITELes critres algbriques permettent de juger de la stabilit dun systme mais ne permettent pas de juger du degr de sa stabilit. Cette question est pourtant trs importante pour les systmes physiques qui peuvent se situer trs proche de la zone dinstabilit. Si les paramtres du systme viennent varier sous leffet des conditions extrieures : temprature, humidit, etc. et si le systme est perturb, est ce quil ne perdra pas sa stabilit ? Il existe toujours des erreurs de modlisation qui peuvent se rpercuter sur les valeurs des ples et affecter la stabilit. Il existe des retards plus ou moins importants et souvent ngligs qui peuvent affecter la stabilit du systme. Il est important donc de dfinir un degr ou une marge de stabilit pour un systme.

Lieu des ples et des zrosPour un systme donn, la stabilit dpend des ples de sa FT. Ceci peut tre reprsent dans le plan complexe. Dans ce plan, on reprsente les ples par des croix et les zros par des ronds. On sait alors que les ples instables sont situs droite du plan alors que les ples stables sont situs gauche du plan. De mme, on peut constater qualitativement que plus proche est la localisation dun ple partie relle ngative(stable) par rapport laxe imaginaire, moins bonne est la stabilit du systme. Inversement, plus loin, il se situe par rapport laxe imaginaire et meilleur est la stabilit. Le comportement dun systme est rgit par ses ples et ses zros.

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Notion de Modes : Un pole rel ou un couple de ples imaginaires conjugus dune FT constitue un mode pour ce systme. Un pole rel produit une rponse non oscillatoire que lon nomme mode non oscillatoire. Un couple de ples imaginaires conjugus produit une rponse oscillatoire que lon nomme mode oscillatoire. Voici quelques exemples de configurations de ples et de zros de quelques FT. Figure 6.7 : systme stable ; Figure 6.8 : systme instable oscillant ; Figure 6.9 : systme stable avec oscillation amortie.

En effet, pour un systme stable, la qualit de sa stabilit dpend de la distance entre laxe imaginaire et les ples les plus proches ce cet axe ainsi que des perturbations qui peuvent les affecter. La marge de gain et la marge de phase fournissent une mesure du degr de stabilit dun systme asservi. Cette question sera discute dans le chapitre qui traitera de la stabilit des systmes asservis.

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